Как найти точки минимума на определенном отрезке - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: – 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с “+” на “-“. Значит, x = – 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Определение 1

Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

Точки экстремума, экстремумы функции

Определение 3

Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.

Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.

Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Определение 4

Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что

когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

найти область определения;
найти производную функции на этой области;
определить нули и точки, где функция не существует;
определение знака производной на интервалах;
выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Пример 1

Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.

Решение

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:

y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2

Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.

Получаем, что

y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем

ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0

Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24

Графическое изображение

Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.

Пример 2

Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0

После чего необходимо найти производную:

y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0

Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем

lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0

12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что

y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233

Перейдем к вычислению минимумов:

ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273

Графическое изображение

Ответ:

ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x

При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:

y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.

Графическое изображение

Ответ: ymax=y(1)=4..

Третье достаточное условие экстремума

Определение 5

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)

Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0

Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.

Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0

Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0

Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.

Источник

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Экстремумы функции

Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.

Определение 1

Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)le f(x'{rm })$.

Определение 3

Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)ge f(x'{rm })$.

Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.

Определение 4

Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:

Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
$f’left(x'{rm }right)=0$ или не существует.

Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.

Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.

«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇

Теорема 2

Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $left(a,x'{rm }right) и (x'{rm },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:

Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright) >0$, а в $(x'{rm },b)$ $f’left(xright)
Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright)0$, то $x’$ –будет точкой минимума для этой функции.
Если и в $(a,x'{rm })$, и в $(x'{rm },b)$ производная $имеет один и тот же постоянный знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.

На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.

Рисунок 1.

Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.

Рисунок 2.

Правило исследования на экстремум

Найти $D(f)$;
Найти $f'(x)$;
Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)le f(x’)]

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)ge f(x’)]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

Найти $f'(x)$;
Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Примеры задач

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]: $fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$

Решение.

$f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
$f’left(xright)=0$;
[3x^2-6x-45=0]
[x^2-2x-15=0]
[x=5, x=-3]
$f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
$5in left[0,6right]$;
Значения:

[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$

Ответ: $max=225, min=50$.

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения на [-1,1]:$fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}$

Решение.

[fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}=frac{{(x-2)}^2}{x-2}=x-2, xne 2]

$f’left(xright)=(x-2)’=1$;

Точек экстремума нет.
Значения:

[fleft(-1right)=-3] [fleft(1right)=-1]

Ответ: $max=-1, min=-3$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Значения функции и точки максимума и минимума

Наибольшее значение функции

Наменьшее значение функции

Точки max

Точки min

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?

Найти точку максимума / минимума

Взять производную от предложенной функции.
Приравнять ее к нулю.
Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Задания с ЕГЭ:

Найдите точку максимума функции

Берем производную:

Приравняем ее к нулю:
Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

Преобразуем и возьмем производную:

Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.

Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

Взять производную от предложенной функции.
Приравнять ее к нулю.
Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.

Задания с ЕГЭ:

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]

Преобразуем и возьмем производную:
«3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?

Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:

Ответ: −6

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]

Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».

Ответ: 11

Выводы:

70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

– Производная положительна там, где функция возрастает. – Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Возрастание и убывание функции на интервале

Точки экстремума, экстремумы функции

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Первое достаточное условие экстремума

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Второй признак экстремума функции

Третье достаточное условие экстремума

Экстремумы функции

Правило исследования на экстремум

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Примеры задач

Значения функции и точки максимума и минимума

Найти точку максимума / минимума

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

Вам также может понравиться

Как найти интервал действительных чисел

Приснился сон как я нашел клад

Как составить анкету для учеников

Добавить комментарий Отменить ответ

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.