Как найти точки на чертеже конуса

Как найти точки на чертеже конуса

Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Для нахождения недостающих проекций точек на поверхности конуса могут применяться следующие линии, принадлежащие поверхности конуса: окружность — параллель конуса (рис. 2.7, а), прямая — образующая конуса (рис. 2.7, б). Рассмотрим оба способа.

Пример 2.1. На поверхности конуса заданы проекции А2 и В, (см. рис. 2.7). Найдите недостающие проекции точек Ли В на поверхности конуса.

Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Рис. 2.7. Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Способ 1. На рис. 2.7, а точка А задана проекцией А. Для нахождения недостающих проекций точки А воспользуемся вышеизложенным алгоритмом.

  • 1. Через заданную проекцию точки Аг проводим линию, принадлежащую поверхности конуса — параллель.
  • 2. Строим проекции параллели на других изображениях конуса. Па виде сверху она представляет собой окружность радиусом Rvна виде слева — отрезок.
  • 3. На проекциях линии находим соответствующие проекции точек.
  • 4. На пересечении окружности радиусом Л., с вертикальной линией связи, опущенной из А2, отмечаем проекцию Л,.
  • 5. На виде сверху измеряем координату от проекции А, до горизонтальной оси и откладываем ее на проведенной линии связи на виде слева — получаем проекцию Л3.
  • 6. Отмечаем проекцию А.л как невидимую. Проекция А., задана как видимая, следовательно, точка лежит в той части конической поверхности, которая обращена к наблюдателю (на виде сверху это часть, расположенная ниже горизонтальной оси). Таким образом, на виде слева ее проекция не видна.

Способ 2. Па рис. 2.7, 6 точка В задана проекцией В,. Построение недостающих проекций аналогично построению проекций точки А, за исключением того, что вместо окружности используется образующая конуса, пересекающая его основание в точке 1.

Коническая поверхность вращения

Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криво-линейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.

Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.

Коническая поверхность вращения

Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность Конус с двумя параллельными основаниями, т.е. конус со срезанной вершиной, называют усеченным.

Построение проекций прямого кругового конуса

На рис. 4.71 показан пример построения проекций прямою кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения Коническая поверхность вращения, заданной высотой Коническая поверхность вращенияи основанием радиусом Коническая поверхность вращения.

Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса, которая представляет собой окружность заданного радиуса Коническая поверхность вращенияс вершиной Коническая поверхность вращения, совпадающей с осью вращения Коническая поверхность вращения.

Коническая поверхность вращения

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса:

  1. Круг радиуса Коническая поверхность вращенияявляется невидимой проекцией основания конуса.
  2. Круг радиуса Коническая поверхность вращенияс вершиной конуса Коническая поверхность вращенияявляется видимой проекцией боковой поверхности конуса.
  3. Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса Коническая поверхность вращенияКоническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращениякоторые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник Коническая поверхность вращениязаданной высоты Коническая поверхность вращения, ограниченный:

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:

  1. ‘Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.
  2. Выбрать положение базовой оси Коническая поверхность вращения(б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью Коническая поверхность вращениявращения на профильной проекции конуса.
  3. Профильная проекция конуса представляет собой треугольник Коническая поверхность вращенияограниченный:

слева и справа очерковыми образующими Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияпостроенными по координате Коническая поверхность вращения:

вершиной Коническая поверхность вращения, лежащей на базовой оси Коническая поверхность вращения; горизонтальным отрезком проекцией основания;

профильными проекциями характерных образующих Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращения, которые совпадают с осью вращения конуса Коническая поверхность вращения.

. Запомните характерные признаки очерков прямого круговою конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника.

. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса окружность основания и две равнобокие трапеции.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности конуса

Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.

На рис. 4.71 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращения, заданных фронтальными проекциям Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияно их принадлежности круговым параллелям.

Посфоение горизонтальных проекций заданных точек:

горизонтальные проекции точек Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияпостроены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.

Коническая поверхность вращения

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекции точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки , по их при надежности круговым параллелям:

Графический алгоритм I:

1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели Коническая поверхность вращениячерез заданную фронтальную проекцию точки Коническая поверхность вращения: проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.

2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели Коническая поверхность вращенияполученным радиусом Коническая поверхность вращения.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки Коническая поверхность вращенияна горизонтальной проекции параллели Коническая поверхность вращения

Повторить действия графического алгоритма 1 и построить аналогично горизонтальные проекции Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияточек Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращения.

Построение профильных проекций заданных точек. Точки Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияпостроены по принадлежности характерным образующим:

точка Коническая поверхность вращениялежит на видимой характерной образующей Коническая поверхность вращения, совпадающей с осью конуса;

На рис. 4.72 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки Коническая поверхность вращенияпо ее принадлежности образующей Коническая поверхность вращения.

Коническая поверхность вращения

  1. Построение горизонтальной проекции точки по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:

1-е действие. Провести через вершину конуса Коническая поверхность вращенияи заданную невидимую фронтальную проекцию точки Коническая поверхность вращениявспомогательную образующую Коническая поверхность вращения

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей Коническая поверхность вращенияпроходящей через вершину конуса Коническая поверхность вращенияи вспомогательную точку Коническая поверхность вращения, лежащую на основании конуса.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки Коническая поверхность вращенияпо ее принадлежности образующей Коническая поверхность вращения.

  1. Построение профильной проекции невидимой точки Коническая поверхность вращениявыполняется по принадлежности образующей Коническая поверхность вращения, построенной но координате Коническая поверхность вращения.

Коническая поверхность вращения

На рис. 4.72 показано построение фронтальной и профильной проекции точки по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом Коническая поверхность вращенияокружность вспомогательной параллели Коническая поверхность вращенияили вспомогательную образующую Коническая поверхность вращения, на которых лежит горизонтальная проекция точки Коническая поверхность вращения.

2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели Коническая поверхность вращенияили вспомогательной образующей Коническая поверхность вращения:

параллель Коническая поверхность вращенияпровести через вспомогательную точку Коническая поверхность вращенияна образующей Коническая поверхность вращенияпараллельно основанию конуса;

образующую Коническая поверхность вращенияпровести через вспомогательную точку Коническая поверхность вращенияна основании конуса и вершину конуса Коническая поверхность вращения

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки Коническая поверхность вращенияпо ее принадлежности либо параллели Коническая поверхность вращения, либо образующей Коническая поверхность вращения.

Коническая поверхность вращения

Конические сечения

Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся):

Коническая поверхность вращения

1-й случаи. Гели секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим Коническая поверхность вращения(фронтально-проецирующая плоскость Коническая поверхность вращения, рис. 4.73).

Коническая поверхность вращения

2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность но окружности (горизонтальная плоскость рис. 4.73).

3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость Коническая поверхность вращенияпараллельна одной образующей Коническая поверхность вращения, рис.4.74).

4-и случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость Коническая поверхность вращенияпараллельна двум образующим — Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращения, рис.4.75).

Коническая поверхность вращения

5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе, не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ), рис 4.76).

Рассмотрим построение на проекциях конуса линии пересечения для всех пяти случаев сечений.

1-й и 2-й случаи. На рис. 4.73 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью Коническая поверхность вращения, проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью Коническая поверхность вращения, расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость Коническая поверхность вращенияпересекает поверхность конуса по образующим Коническая поверхность вращения, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки Коническая поверхность вращениялежащей на основании конуса.

Коническая поверхность вращения

Плоскость пересекает поверхность конуса по окружности радиуса ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 4.74 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью Коническая поверхность вращения, расположенной параллельно одной образующей конуса Коническая поверхность вращения.

Плоскость пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена)

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:

  • проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате Коническая поверхность вращения).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 4.75 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью Коническая поверхность вращения, расположенной параллельно двум образующим конуса Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращения.

Плоскость Коническая поверхность вращенияпересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1. 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза Коническая поверхность вращения

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

Коническая поверхность вращения

На рис 4 75 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости Коническая поверхность вращенияпод углом Коническая поверхность вращенияк оси конуса. При Коническая поверхность вращенияплоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

5-й ыучай. На рис. 4.76 показано построение проекции конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью Коническая поверхность вращенияпересекающей все образующие конуса под углом Коническая поверхность вращенияк оси, отличным от прямого.

Плоскость Коническая поверхность вращенияпересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и про-межуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Почки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции но координате Коническая поверхность вращения(алгоритм I).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

. Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

Построении проекции прямого конуса со срезами плоскостями частного положения

На рис. 4.77 показан пример построения проекций прямого круговою конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью Коническая поверхность вращенияи профильной плоскостью Коническая поверхность вращения.

Коническая поверхность вращения

Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания Коническая поверхность вращенияи высоте Коническая поверхность вращенияфронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью Коническая поверхность вращенияи профильной плоскостью Коническая поверхность вращения;

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выпол-иить графический анализ сечений:

1. Фронтально-проецирующая плоскость Коническая поверхность вращенияпараллельна одной образующей конуса Коническая поверхность вращенияи пересекает его поверхность по участку параболы Коническая поверхность вращения, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения Коническая поверхность вращенияплоскостей срезов Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращения.

  1. Профильная плоскость Коническая поверхность вращенияпараллельна двум образующим конуса Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияи пересекает его поверхность по участку гиперболы Коническая поверхность вращения, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов Коническая поверхность вращенияи Коническая поверхность вращенияи плоскости Коническая поверхность вращенияс основанием конуса (4-4).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза Коническая поверхность вращенияопределяет видимая горизонтальная проекция участка параболы Коническая поверхность вращенияпостроенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

  1. Плоскость среза Коническая поверхность вращенияопределяет вертикальный видимый отрезок Коническая поверхность вращениявырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки Коническая поверхность вращениякоторой лежат на очерковой окружности основания конуса.

. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура:

  1. Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок Коническая поверхность вращения.
  2. Внутренний контур определяет видимый участок параболы Коническая поверхность вращения.

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, пост-роив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

Коническая поверхность вращения

1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы , построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

  1. Плоскость среза Коническая поверхность вращенияопределяют видимые участки гиперболы Коническая поверхность вращения, ограниченные видимым отрезком Коническая поверхность вращения(построен) и видимым отрезком Коническая поверхность вращения. точки которого построены но координате Коническая поверхность вращения.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

  1. Профильный очерк определяют:
  1. Внутренний контур определяют:

7-е действие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Помощь студентам в учёбеlfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmallfirmal

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения

При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.

Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.

Условие задачи

Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.

Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П2. Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали fγ. Точки 1 и 2 пересечения fγ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.

Высшие, низшие и граничные точки сечения

Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h0α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.

Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса

Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали hδ. Строим горизонтальные проекции окружности и прямой hδ. Их пересечение определяет точки 5′ и 6′ малого диаметра эллипса.

Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7′ и 8′ определяются аналогично 5′ и 6′, как это показано на рисунке.

Проекции сечения конической поверхности плоскостью

Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.

Построение натуральной величины сечения методом совмещения

Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след h0α. Его положение в процессе преобразований останется неизменным.

Построение натуральной величины сечения методом совмещения

Построение начинается с определения направления фронтального следа f1α. На прямой f0α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E’. Из E’ опустим перпендикуляр к h0α. Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом XαE» определяет положение точки E’1. Через Xα и E’1 проводим f1α.

Строим проекцию горизонтали h’1δ ∥ h0α, как это показано на рисунке. Точки O’1 и 5′1, 6′1 лежат на пересечении h’1δ с прямыми, проведенными перпендикулярно h0α из O’ и 5′, 6′. Аналогично на горизонтали h’1ε находим 7′1 и 8′1.

Строим проекции фронталей f’1γ ∥ f1α, f’3 ∥ f1α и f’4 ∥ f1α. Точки 1′1, 2′1, 3′1 и 4′1 лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h0α из 1′, 2′, 3′ и 4′ соответственно.

Источник

Точка, принадлежащая поверхности

Точка принадлежит поверхности, если
она принадлежит линиям, составляющим
каркас поверхности, а также любым линиям
принадлежащим поверхности.

Рассмотрим построение проекций точек,
принадлежащих поверхности конуса
(рис.2), когда одна проекция точки задана.
Проекция А2 принадлежит очерковой
образующей, следовательно проекция А1
строится переносом по линии связи. На
фронтальной проекции основания конуса
расположена проекция точки В2,
горизонтальных проекций можно построить
две, на передней и задней стороне конуса,
поэтому рассматриваем конкурирующие
точки В и В`.
На фронтальной проекции конуса
зададим проекцию точки D2
и D2`.
Для того чтобы построить вторые
горизонтальные проекции точек необходимо
использовать вспомогательные линии:
параллель или образующие. Воспользуемся
параллелью, для построения горизонтальной
проекции параллели, радиус
отмеряется всегда от оси вращения
до очерковой образующей. Для
построения фронтальной проекции точки
С использована образующая, которую
провели через заданную проекцию.
Положение образующей на основании
отмечено крестиком.

Рисунок 2. Построение точек, принадлежащих
поверхности конуса.

Пересечение
поверхности плоскостью.

Конические сечения.

В зависимости от положения плоскости
по отношению к плоскостям проекций,
сложность решения задачи, по определению
линии пересечения ее с поверхностью
существенно меняется. Наиболее простым
представляется случай, когда плоскость
проецирующая. Рассмотрим решение задачи
по определению линии пересечения конуса
фронтально – проецирующей плоскостью
(рис.3). На фронтальной плоскости проекций
линия пересечения определена, требуется
построить ее вторую горизонтальную
проекцию.

Линия пересечения плоскости с поверхностью
имеет форму кривой, для ее построения
определим основные и вспомогательные
точки. Основные точки :

– верх и низ кривой;

– принадлежащие очерковым образующим;

– принадлежащие основанию, экватору.

Вспомогательные точки служат для
уточнения формы кривой, их следует
располагать приблизительно на равном
расстоянии между основными.

Рисунок 3.Построение линии пересечения
конуса

с фронтально-проецирующей плоскостью.

Точки 1 и 4 являются основными точками,
их горизонтальные проекции строятся
без вспомогательных построений по
принципу принадлежности. Точки 2 и 3 –
вспомогательные, для их построения
использованы параллели. После того как
будут построены горизонтальные проекции
точек соединим их плавной симметричной
относительно горизонтальной оси конуса
линией, которая по форме является
параболой.

Рассмотрим сечение конуса
горизонтально-проецирующей плоскостью
(рис.4). На горизонтальной плоскости
проекций линия пересечения определена,
чтобы построить вторую проекцию этой
линии пересечения, обозначим основные
(1, 4 и 6) и вспомогательные точки ( 3, 2).
Точки 6 и 1 принадлежат основанию конуса
их вторые проекции построить легко.
Точка 5 принадлежит очерковой образующей
и является границей видимости кривой
на фронтальной проекции, ее построение
не представляет трудности. Вершина
кривой это точка ( 4), которая находится
ближе всего к вершине конуса (в предыдущей
задачи она определялась на фронтальной
проекции), то есть на перпендикуляре,
опущенном из вершины конуса. Точки 3 и
2 являются вспомогательными. Для
построения точек 4, 3 и 2 воспользуемся
параллелями. Чтобы построить фронтальные
проекции параллелей обозначим их
пересечение с очерковой образующей
крестиками и перенесем их на фронтальную
проекцию образующей. После того как
будут построены все проекции точек,
соединим их плавной линией, при этом
участок 6-5 будет невидимым, поэтому его
следует провести пунктирной линией.
Полученная кривая имеет форму гиперболы.

Рисунок 4. Построение линии пересечения
конуса

с горизонтально-проецирующей плоскостью

В зависимости от положения секущей
плоскости линиями сечения конической
поверхности могут быть (рис.5): эллипс,
парабола, гипербола, окружность и
треугольник.

Если плоскость Ф пересекает все
образующие поверхности конуса вращения,
т.е. если φ>α, то
линией сечения является эллипс
(рис.5). В этом случае секущая плоскость
не параллельна ни одной из образующих
поверхности конуса.

В случае, когда плоскость перпендикулярна
оси вращения конуса, в сечении получается
окружность.

Если плоскость Ф параллельна
одной образующей поверхности конуса,
т.е. φ=α, то линией
пересечения является парабола
(рис.5). В случае, когда плоскость
проходит через вершину конуса, линия
пересечения совпадает с образующими.
В сечении получается треугольник.

Если секущая плоскость параллельна
оси вращения, в сечении – гипербола.

Рисунок 5. Конические сечения.

Источник

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах.

Проецирование точек на поверхности цилиндра 

Последовательность проецирования точек
Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках).

1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью.

2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта. 

Проецирование точек на поверхности призмы 

Последовательность проецирования точек
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы.

1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы).

2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них. 

Способ I.

1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″.
2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′.
3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′.
4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Способ II.

1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″.
2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′.
3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром.
4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′.
5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?

Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами.

Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А.
В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Источник

Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Для нахождения недостающих проекций точек на поверхности конуса могут применяться следующие линии, принадлежащие поверхности конуса: окружность — параллель конуса (рис. 2.7, а), прямая — образующая конуса (рис. 2.7, б). Рассмотрим оба способа.

Пример 2.1. На поверхности конуса заданы проекции А2 и В, (см. рис. 2.7). Найдите недостающие проекции точек Ли В на поверхности конуса.

Рис. 2.7. Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Способ 1. На рис. 2.7, а точка А задана проекцией А. Для нахождения недостающих проекций точки А воспользуемся вышеизложенным алгоритмом.

  • 1. Через заданную проекцию точки Аг проводим линию, принадлежащую поверхности конуса — параллель.
  • 2. Строим проекции параллели на других изображениях конуса. Па виде сверху она представляет собой окружность радиусом Rvна виде слева — отрезок.
  • 3. На проекциях линии находим соответствующие проекции точек.
  • 4. На пересечении окружности радиусом Л., с вертикальной линией связи, опущенной из А2, отмечаем проекцию Л,.
  • 5. На виде сверху измеряем координату от проекции А, до горизонтальной оси и откладываем ее на проведенной линии связи на виде слева — получаем проекцию Л3.
  • 6. Отмечаем проекцию А.л как невидимую. Проекция А., задана как видимая, следовательно, точка лежит в той части конической поверхности, которая обращена к наблюдателю (на виде сверху это часть, расположенная ниже горизонтальной оси). Таким образом, на виде слева ее проекция не видна.

Способ 2. Па рис. 2.7, 6 точка В задана проекцией В,. Построение недостающих проекций аналогично построению проекций точки А, за исключением того, что вместо окружности используется образующая конуса, пересекающая его основание в точке 1.

Построение проекций линий пересечения конуса плоскостью с примером

Построение проекций линий пересечения конуса плоскостью:

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии. Они называются ли­ниями конических сечений.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его се­чении получается две прямые – образующие (треугольник) (рис. 5.29, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 5.29, б). Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 5.29, в, г, д) – в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.

Эллипс получается в том случае, когда угол

Если углы равны (то есть секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса), в сечении получается парабола (рис. 5.29, г).

Если секущая плоскость направлена под углом, который изменяется в пределах то в сечении получается гипербола. В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса. Гипербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двухполостная (рис. 5.29, д).

Известно, что точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии поверхности. Для конуса наиболее простыми линиями являются прямые (образующие) и окружности. Следова­тельно, если требуется найти горизонтальные проекции точек А и В, принадлежащих поверхности конуса, то нужно через точки провести одну из этих линий.

Горизонтальную проекцию точки А найдем с помощью образующей. Для этого через точку А и вершину конуса S проведем вспомогательную фронтально – проецирующую плос­кость Эта плоскость пересекает конус по двум образующим Их фронтальные проекции совпадают. Строим горизонтальные проекции образующих. Затем проводим через точку а’ линию связи. На пересечении линии связи и горизонтальных проекций образующих определим горизонтальную проекцию точки.

Задача имеет два ответа: точки . (рис. 5.30).

Горизонтальную проекцию точки В най­дем, построив окружность, на которой она лежит. Для этого через точку проведем горизонтальную плоскость Плоскость пересекает конус по окружности радиуса Строим горизонтальную проекцию этой окружности. Через точку проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Зада­ча также имеет два ответа — точки

Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения конуса фронтально – проецирующей плоскостью В этом случае в сечении получается эллипс (рис. 5.31).

Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальным следом плоскости

Для удобства решения задачи обозначим крайние образующие конуса и определим характерные (опорные) точки.

Нижняя точка 1 лежит на образующей AS, верхняя – 2 на образующей BS. Эти точки определяют положение большой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси. Чтобы найти малую ось, разделим отрезок 1-2 на две равные части. Точки 3 и 4 определяют малую ось эллипса. Точки 5 и 6, расположенные на образующих CS и DS, являются точками границы видимости для профильной плоскости проекций. Проекции точек 1, 2, 5 и 6 находятся на соответствующих проекциях образующих. Чтобы найти проекции точек 3 и 4, проводим дополнительную секущую плоскость Она рассекает конус по окружности радиуса На этой окружности находятся проекции данных точек.

На горизонтальную плоскость проекций окружность проецируется в натуральную величину. Проведя линию связи, находим горизонтальные проекции точек 3 и 4. Профильные проекции находим, отложив на линии связи от оси конуса у координаты точек 3 и 4 (рис. 5.3 I).

Для точного построения эллипса недостаточно перечисленных то­чек. Поэтому необходимо определить дополнительные (случайные точ­ки). Проекции этих точек находим аналогично точкам 3 и 4. Их можно найти также проводя через эти точки образующие. Найдя проекции всех точек, соединяем их. Определяем видимость. На горизонтальной плоскости все точки, лежащие на поверхности конуса, видимы. На профильной -точки 5, З, 1,4, 6 видимы, остальные – нет.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Развертка поверхности конуса
  • Шаровая поверхность
  • Винтовые поверхности
  • Способ вспомогательных секущих плоскостей
  • Пирамида с вырезом
  • Коническая и цилиндрическая поверхности
  • Построение проекций линии пересечения цилиндра плоскостью
  • Развертка поверхности цилиндра

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Лекция 7. Поверхности

7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных систем автоматизированного проектирования.

Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)— многочлен n-ой степени и трансцендентные (F(x,y,z)— трансцендентная функция.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l1,l2… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону (Рисунок 7.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму — изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в виде одной линии или целого семейства линий (m, n, p…).

Подвижную линию принято называть образующей (li), неподвижные – направляющими (m). Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим .

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий конгруэнтных профилю резца.

Рисунок 7.1 — Кинематическая поверхность

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые , образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на развертывающиеся , которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся .

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Такие поверхности носят название циклические (Рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 — Циклическая поверхность

Если группировать поверхности по закону движения образующей линии, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

  • поверхности вращения;
  • винтовые поверхности;
  • поверхности с плоскостью параллелизма;
  • поверхности параллельного переноса.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас.

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности .

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом .

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

Например, циклическая поверхность, каркас которой состоит из восьмиугольников (Рисунок 7.3), может быть задан следующим образом:

  • Геометрическая часть определителя: три направляющих l, m, n.
  • Алгоритмическая часть: выбираем плоскость α; находим точки А, В, С, в которых α пересекает соответственно направляющие l, m, n. Строим восьмиугольник, определяемый тремя найденными точками. Переходим к следующей плоскости и повторяем построение

Рисунок 7.3 –Образование циклической поверхности

7.2. Поверхности вращения

Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).

Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.

Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.

Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения

Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).

Наименьшая параллель называется горлом , наибольшая – экватором .

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом .

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом .

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра .

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой .

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным .

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π1 сплошной зелёной линией – на плоскости проекции π2 видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π3.

Пусть точка А на π2 видима (Рисунок 7.7). Тогда на π1 она будет видима, а на π3 невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового цилиндра не требуется дополнительных построений. На горизонтальной плоскости проекций точки пересечения (1 и 2) находятся сразу. Фронтальные проекции строим по линиям связи.

Но в общем случае, алгоритм решения рассмотрим на следующем упражнении.

Рисунок 7.8 – Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Упражнение

Заданы: прямой круговой цилиндр с осью вращения, перпендикулярной плоскости проекций π1 и прямая а общего положения (Рисунок 7.8).

Построить точки пересечения прямой а с поверхностью цилиндра.

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

  1. Заключить прямую во вспомогательную секущую плоскость частного положения σ (горизонтально-проецирующую).
  2. Построить фигуру пересечения поверхности цилиндра горизонтально-проецирующей плоскостью: результат пересечения — четырехугольник (на π2 условно заштрихован).
  3. Найти точки «входа» и «выхода» прямой: на пересечении её фронтальной проекции с фронтальными проекциями сторон четырёхугольника (они же — проекции образующей цилиндра);

Прямая а пересекается со сторонами сечения в двух точках – 1 и 2.

Определим видимость участков прямой: очевидно, что между точками 1-2 прямая невидима, а на плоскости проекций π2 будет ещё невидим участок прямой от точки 1 до левой крайней образующей.

7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра

Упражнение

Заданы : наклонный круговой цилиндр с осью вращения, наклонной к плоскости проекций π1 и прямая mобщего положения (Рисунок 7.9).

Построить точки пересечения прямой mс поверхностью цилиндра.
Решение :

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

Рисунок 7.9 – Пересечение прямой с наклонным цилиндром

  1. Заключить прямую m во вспомогательную плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру – четырехугольник (σ параллельна оси цилиндра или образующим). Эту плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми m∩(1M);
  2. Построить горизонтальный след плоскости σ (прямую пересечения σ с плоскостью проекций π1) как проходящую через горизонтальные следы прямых m и (1M) (точки пересечения прямых с плоскостью проекций π1 (основания)) – (MN);
  3. Найти точки пересечения MN с окружностью основания цилиндра. Через эти точки провести образующие r, по которым плоскость σ пересекает боковую поверхность цилиндра:

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с наклонным цилиндром.

7.6. Сферическая поверхность

Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.

Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.

Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).

Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.

Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.

Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности

Прямоугольная проекция шара (сферы) на любую плоскость – есть окружность, которую часто называют очерковой .

Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек

Упражнение

Заданы: сферическая поверхность тремя проекциями (Рисунок 7.11) и фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4.

Необходимо построить горизонтальные и профильные проекции заданных точек.

  • Проанализируем их расположение на поверхности сферы. Точки 1, 2, 3 лежат на очерковых образующих сферы.
  • Точка 1 принадлежит главному меридиану (очерковой окружности на π2), проекция которого на π1 совпадает с проекцией горизонтальной оси, на π3 – с проекцией вертикальной оси.
  • Недостающие проекции точки 1 находим посредством линий проекционной связи. Все проекции точки 1 видимы.
  • Рассмотрим положение точки 2. Точка 2 принадлежит экватору (очерковой окружности на π1), проекции которого на π2 и π3 совпадают с проекцией горизонтальной оси. Горизонтальная проекция точки 2 строится посредством линии проекционной связи, для построения профильной проекции необходимо измерить расстояние, отмеченное дугой, и отложить его по линии связи от точки О3 вправо. Профильная проекция точки 2 невидима.
  • Точка 3 принадлежит очерковой окружности на π3, которая также является меридианом, проекции которого на π2 и π1 совпадают с проекцией вертикальной оси. Профильная проекция точки строится посредством линии проекционной связи. Для построения горизонтальной проекции точки 3 необходимо расстояние, отмеченное на π3 двумя засечками, отложить на π1 вверх от точки О1. Горизонтальная и профильная проекции точки 3 видимы.
  • Для построения проекций точки 4 необходимо ввести вспомогательную секущую плоскость (зададим плоскость σ//π1 и σ⊥π2). Плоскость σ пересекает поверхность сферы по окружности радиусом r. На π1 строим данное сечение и по линии проекционной связи находим 41. Для построения профильной проекции необходимо расстояние, отмеченное засечкой, отложить по линии проекционной связи на π3 вправо от оси. Все проекции точки 4 видимы.

7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы

Упражнение

Заданы: сфера и прямая общего положения АВ.

Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).

Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:

  1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность сферы так, чтобы получались простые фигуры (например, круг, ограниченный окружностью);
  2. Построить фигуру пересечения сферы вспомогательной плоскостью;
  3. Найти общие точки прямой и контура фигуры (окружность): так как прямая и окружность лежат в одной плоскости, то они, пересекаясь, образуют точки, общие для прямой и сферы, которые и будут являться искомыми точками (Рисунок 7.12).
  • Через прямую проводим плоскость σ. Пусть σ⊥π1 и пересекает сферу по окружности радиусом r. С – центр окружности сечения ОС⊥σ:

Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы

  • Введём π3⊥π1 и π3//σ1. Построим проекцию окружности сечения на π3 и проекцию А3В3.
  • Находим точки их пересечения 12 и 23.
  • Определим видимость участков прямой.
  • На π1 точки 1 и 2 находятся на переднем полушарии, следовательно, на π2 они видимы.

7.8. Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).

Тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью вершиной и плоскостью, называется конусом .

Плоская фигура, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса .

Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса .

Если основание конуса является кругом, то конус называется круговым .

Если вершина конуса расположена на перпендикуляре к основанию, восстановленному из его центра, то конус называется прямым круговым .

Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности

Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.
Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).

1 способ . Для построения ортогональных проекций точки, расположенной на поверхности конуса, построим проекции образующей, проходящей через данную точку. При таком положении точки А все её проекции – видимы.

2 способ . Точка А лежит на параллели конуса радиусом r. На π1 строим проекцию окружности (параллели) и по линии проекционной связи находим А1. По двум проекциям точки строим третью.

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

  1. Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
  2. Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое, (σ=SM∩m).

  1. Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
  2. Построим горизонтальные проекции этих объектов.
  3. Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

  1. Построим её горизонтальную проекцию.
  2. Соединим точки M1N1, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
  3. Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
  4. На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
  5. Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

  1. Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
  2. Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
  3. Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

  1. Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
  2. Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π1 произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
  3. Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π3. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ1 и откладываем его по соответствующей линии связи на π3. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

7.11. Пересечение сферы плоскостью

Плоскость пересекает поверхность сферы всегда по окружности. Задачу пересечения плоскости со сферой мы рассматривали при решении задачи построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы (см. выше).

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π2 (Рисунок 7.16).

  1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
  2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
  3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
  4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
  5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π2 (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

  1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
  2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π2 и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π1. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π1 и π3 совпадают с линиями проекционной связи.
  3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π1 строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
  4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
  5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

7.13. Задачи для самостоятельной работы

1. Достроить проекции сферы с заданным вырезом (Рисунок 7.20).

Рисунок 7.20
2-3. Построить три проекции конуса с призматическим отверстием (Рисунки 7.21, 7.22).

Рисунок 7.21

Рисунок 7.22
4. Построить точки «входа» и «выхода» прямой при пересечении её с поверхностью полусферы (Рисунок 7.23).

Рисунок 7.23

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/postroenie-proektsij-linij-peresecheniya-konusa-ploskostyu

Лекция 7. Поверхности

[/spoiler]

Источник

kompleksnihyj chertezh konusa

kursy kompas 3d v20

Здравствуйте! Мы продолжаем учиться создавать  ассоциативный чертеж по 3d модели и находить недостающие проекции точек на нем. Сегодня мы построим чертежи цилиндра и конуса. 

Создание ассоциативных чертежей цилиндра и конуса

Процесс создания ассоциативных чертежей цилиндра и конуса, такой же как и призмы, и пирамиды. Поэтому детали я опущу, подробнее о построении можете прочитать здесь — Как создать ассоциативный чертеж по 3d модели и найти проекции точек на пирамиде и призме?

Хочу только отметить следующее. Вы уже успели заметить, что созданные виды на чертеже, находятся в проекционной связи, т. е. перемещать их можно только вдоль границ главного вида. И только, начав перемещение главного вида, можно сдвинуть вверх или вниз и остальные.

associativnihyj chertezh cilindra

комплексный (ассоциативный) чертеж цилиндра

Для того чтобы получить возможность перемещать каждый вид по отдельности нужно отменить проекционную связь. Для этого нажимаем левой кнопкой мыши по габаритному прямоугольнику вида (при этом, он подсветится зеленым), затем правой кнопкой вызываем контекстное меню и снимаем выделение с команды «Проекционная связь».

Находим недостающие проекции точек на комплексных чертежах цилиндра и конуса

Ассоциативные чертежи в «Инженерной графике» называют комплексными.

Как найти недостающие проекции точек на комплексном чертеже цилиндра?

nedostayuthie proekcii tochek na cilindre

находим недостающие проекции точки m цилиндре

Построение недостающих проекций точек на цилиндре аналогично нахождению их на призме. Принцип тот же, только вместо граней, здесь окружность.  Для нашего цилиндра недостающие проекции точек К и М находятся, как показано на рисунке при помощи вертикальных и горизонтальных линий связи.

Подробнее о процессе построения смотрите на уроке как найти проекции точек на пирамиде и призме

Как найти недостающие проекции точек на комплексном чертеже конуса?

postroitj nedostayuthie proekcii tochek na konuse

находим проекции точек на конусе

Необходимо построить недостающие проекции точек К и М на комплексном чертеже конуса.

Точка М задана фронтальной проекцией m’, точка К – горизонтальной проекцией k.

postroitj nedostayuthie proekcii tochek

построения при нахождении горизонтальной проекции точки

Построим горизонтальную проекцию m. Для этого:

  1. через точку m’ и вершину конуса s проводим вспомогательную прямую до пересечения ее с основанием в точке a.
  2. Затем через полученную точку а проводим вертикальную  линию связи до пересечения с окружностью основания конуса в точке b.
  3. Через полученную точку b и вершину конуса s проводим прямую.
  4. Опускаем вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с прямой bs.
  5. Горизонтальная проекция m найдена.

Профильная проекция m’’ находится обычным образом по линиям связи.

Фронтальная проекция (k’) находится таким же, вышеописанным образом. Вот рисунок

frontaljnaya proekciya tochki k na konuse

строим фронтальную проекцию точки k

Профильную проекцию (k’’) находим по линиям связи.

Окончательно комплексные чертежи цилиндра и конуса выглядят так.

kompleksnihyj chertezh konusa

готовый комплексный чертеж конуса

kompleksnihyj chertezh cilindra

готовый комплексный чертеж цилиндра

Для лучшего понимания материала рекомендую посмотреть видеоурок.

Скачать чертежи бесплатно можно здесь

Надеюсь урок “Строим ассоциативные чертежи цилиндра и конуса, находим на них недостающие проекции точек” был вам полезен.

The following two tabs change content below.

  • Bio
  • Latest Posts

Рада приветствовать Вас в своем блоге! Я создала его с целью помочь всем желающим освоить программу Компас 3d. Мы пройдем весь путь от азов черчения до создания серьезных сборок. Присоединяйтесь!

Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.

Источник

Добавить комментарий