Как найти точки на промежутке окружности

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки – положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» – точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности – каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., – спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_=frac<4>=frac<2pi r><4>=frac<pi r><2>.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac>=frac<pi r><2cdot r>=frac<pi> <2>$$

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
(frac<pi><6>)	(frac<pi><4>)	(frac<pi><3>)	(frac<pi><2>)	(frac<2pi><3>)	(frac<3pi><4>)	(frac<5pi><6>)	(pi)	(frac<3pi><2>)	(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M – искомая. При t Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<pi><4>, frac<pi><2>, frac<2pi><3>, pi), а также (-frac<pi><6>, -frac<pi><4>, -frac<pi><2>, -frac<2pi><3>, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<13pi><6>, frac<25pi><6>), и (-frac<11pi><6>). Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac<pi><6>right)=Mleft(frac<pi><6>+2pi kright)\ frac<pi><6>-2pi=-frac<11pi><6>\ frac<pi><6>+2pi=frac<13pi><6>\ frac<pi><6>+4pi=frac<25pi> <6>end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac<pi> <6>lt t lt frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi klt tltfrac<pi><3>+2pi k $$
Интервал
$$ -frac<pi> <6>leq t leq frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tleqfrac<pi><3>+2pi k $$
Полуинтервал
$$ -frac<pi> <6>leq t ltfrac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tltfrac<pi><3>+2pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^<circ>=frac<pi><6>.\ EC=60^<circ>=frac<pi><3>.\ AE=EC+CD=90^<circ>+30^<circ>=120^<circ>=frac<2pi><3>.\ ED=EC+CD=60^<circ>+90^<circ>=150^<circ>=frac<5pi><6>. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<pi><2>; frac<3pi><4>; frac<7pi><6>; frac<7pi><4>).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac<pi><2>=-90^<circ>, frac<3pi><4>=135^<circ>\ frac<7pi><6>=210^<circ>, frac<7pi><4>=315^ <circ>end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<11pi><2>; 5pi; frac<17pi><6>; frac<27pi><4>).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk – четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac<11pi><2>=frac<-12+1><2>cdotpi=-6pi+frac<pi><2>rightarrow frac<pi><2>=90^<circ>\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^<circ>\ frac<17pi><6>=frac<18-1><6>pi=3pi-frac<pi><6>rightarrow pi-frac<pi><6>=frac<5pi><6>\ frac<27pi><4>=frac<28-1><4>pi=7pi-frac<pi><4>rightarrow pi-frac<pi><4>=frac<3pi> <4>end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac<3,14><2>=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac<3pi><2>approx frac<3cdot 3,14><2>=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac<3pi> <2>Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac<3pi><2>lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/edinichnaya-chislovaya-okruzhnost-na-koordinatnoj-ploskosti/

[/spoiler]

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

• Через градусы
• Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

• Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
• Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
•  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
• Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

• ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
• ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

• ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
• ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

• ( y=sin alpha )
• ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

• Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
• Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
•  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
• Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

• ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
• ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x — 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 — 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 .

(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Точки принадлежащие кругу и окружности

Вводятся координаты (x;y) точки и радиус круга ( r ). Определить принадлежит ли данная точка кругу, если его центр находится в начале координат.

Будем считать, что точка принадлежит кругу, если находится внутри его или на его окружности.

Из любой точки координатной плоскости можно провести отрезок к началу координат. Если длина этого отрезка больше радиуса круга, то точка лежит за пределами круга и, следовательно, не принадлежит ему. Если же отрезок, соединяющий точку и начало координат, меньше радиуса круга с центром в начале координат или равен ему, то точка будет принадлежать кругу.

Отрезок между любой точкой и нулевой точкой (началом координат) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны значениям x и y координаты данной точки.

Таким образом задача сводится по-сути к двум действия:

1. Нахождение длины отрезка между точкой и началом координат по теореме Пифагора (квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов).
2. Сравнению полученного значения с радиусом круга.

Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности. Это расстояние называется радиус и в записях обозначается буквой R .
Центр окружности обозначают буквой O.

Окружность разделяет плоскость на две части, внутреннюю и внешнюю. Внутренняя часть, включающая саму окружность, называется кругом. (Наведите курсор на рисунок.)

Точка O — это центр и круга и окружности.

Отрезки OA, OB, и OC — это радиусы, их длины равны. Отрезок BC, проходящий через центр окружности (круга) называется диаметром и обозначается буквой D. Диаметр разделяет круг на два полукруга, а окружность на две полуокружности.

Диаметр равен двум радиусам, это хорошо видно на рисунке.

BC = OC + OB , так как BC = D а OC = OB = R , то

Точки A и B делят окружность на две части, которые называются дугами, а точки A и B концами этих дуг.

Дуга окружности — это часть окружности ограниченная двумя точками.

На рисунке точки B и C разделили окружность на две дуги, голубую и зеленую.

Записать их названия мы можем так:

BC (дуга BC) — в данном случае речь может идти как о голубой так и о зеленой;

BAC (дуга BAC) — в данном случае речь идет именно о зеленой дуге.

Выберите верные утверждения, исходя из рисунка:

1) Точки C, B и E не принадлежат кругу.

2) Точки D, B и O принадлежат окружности.

3) Точки A, B и O принадлежат кругу. Неверно. Точка B принадлежат кругу, так как окружность часть круга. Неверно. Точка O центр окружности, но не лежит на ней. 1) Точка О является центром и окружности, и круга.

2) Точка О является центром окружности, но не центром круга.

3) Точки D и B не принадлежат окружности. 1) Точки B и D не принадлежат кругу.

2) Точки A, B, D и O принадлежат кругу.

3) Точки B, D и E принадлежат кругу. Неверно. Точка О является центром и окружности, и круга. Неверно. Точки D и B принадлежат окружности. Неверно. Точки B и D принадлежат кругу, так как лежат на окружности, а она часть круга. 1) Точки B и D разделяют окружность на 4 дуги.

2) Точки B и D разделяют окружность на 3 дуги.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке дается определение окружности и круга, а также определение дуги, радиуса, хорды и диаметра окружности, рассматривается взаимное расположение точек и окружности, а также двух окружностей, решаются различные задачи по этой теме.

Окружность и круг

Окружность можно построить с помощью циркуля (рис. 1). Ножку с иголкой устанавливают в точку, а ножка с грифелем опишет замкнутую линию, которую называют окружностью.

Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки (точки О), которую называют центром окружности. Окружность разделит плоскость на 2 части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с самой окружностью, называют кругом. Точка О является как центром окружности, так и центром круга (рис. 2).

Рис. 2. Окружность и круг

Взаимное расположение окружности и точки

Точки могут лежать на окружности, т. е. принадлежать окружности. Точки А и В принадлежат окружности с центром в точке О (Рис. 3); точки О, Е и D не принадлежат окружности с центром в точке О; точки О, Е, А, В принадлежат кругу с центром в точке О, а точка D не принадлежит этому кругу.

Рис. 3. Окружность и круг с центром в точке О

Точки А и В делят окружность на две части (рис. 4), каждую из которых называют дугой окружности; точки А и В – концами дуг.

Рис. 4. Окружность

Дуга, радиус, хорда, диаметр окружности

Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками. Пример. На окружности с центром в точке О отмечены точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти дуги делят окружность. Дуги с концами в точках А и В: дуга АВ, дуга АСВ. Дуги с концами в точках В и С: дуга ВС, дуга ВАС. Дуги с концами в точках А и С: дуга АС, дуга АВС. Отрезки ОА, ОВ соединяют центр окружности с точками, лежащими на окружности. Их называют радиусами (рис. 5).

Рис. 5. Радиусы окружности

Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки окружности. Радиусы одной окружности равны. Обозначают радиусы R или r. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. Обозначают: d или D. Свойства диаметра: 1. диаметр – самая большая хорда. 2. d = 2R. Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность – на две полуокружности

Задача 1

Постройте окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Постройте прямую а так, чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В (рис. 6). На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В?

Рис. 6. Окружность с центром в точке О и радиусом 4 см

Так как расстояние между двумя точками – это длина отрезка с концами в этих точках, то нам необходимо найти длины отрезков ОА и ОВ. По определению отрезки ОА и ОВ – радиусы одной и той же окружности. Тогда ОА = ОВ = R= 4 см. Значит, на расстоянии 4 см находятся точки А и В от центра окружности.

Задача 2

Постройте отрезок АВ, равный 4 см. Постройте первую окружность с центром в точке А радиусом 3 см, и другую окружность с центром в точке В радиусом 2 см. Назовите точки пересечения окружностей точками Е и С (рис. 7). Чему равны длины отрезков АЕ, АС, ЕВ и ВС?

Рис. 7. Отрезок АВ

По определению, отрезок АЕ, АС – это радиусы первой окружности. АЕ = АС = = 2 см.

Задача 3

Начертите отрезок СМ, равный 5 см. Постройте точку, удаленную от концов отрезка на 3 см. Сколько таких точек можно построить? Таких точек можно построить 2. Они будут лежать на пересечении двух окружностей с центром в точке С и с центром в точке М радиусом 3 см (рис. 8).

Рис. 8. Точки, удаленные от концов отрезка на 3 см

Список литературы

1. Н.Я. Виленкин. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
2. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5–6. – М.: Илекса, 2011. – 106 с.
3. Ершева А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006. – 432 с.
4. Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5–9 классы. – М.: Илекса, 2011. – 248 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Учебник математики. 5 класс. Н.Я. Виленкин. № 850–856.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.