Как найти точки парето точка парето

Эффекти́вность по Паре́то — такое состояние системы, при котором ни один показатель системы не может быть улучшен без ухудшения какого-либо другого показателя.

Таким образом, по словам самого Парето: «Всякое изменение, которое никому не приносит убытков, а некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением»^{[источник не указан 2567 дней]}. Значит, признаётся право на все изменения, которые не приносят никому дополнительного вреда.

Множество состояний, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето» либо «множеством парето-оптимальных альтернатив». Используются также термины «компромиссные», «не улучшаемые» альтернативы.

В экономике ситуация, когда достигнута оптимальность по Парето, — это ситуация, когда все выгоды от обмена сторон исчерпаны.

Эффективность по Парето является одним из центральных понятий для современной экономической науки. На основе этого понятия строятся Первая и Вторая теоремы благосостояния.

Одним из приложений парето-оптимальности является т. н. парето-распределение ресурсов (трудовых ресурсов и капитала) при международной экономической интеграции, то есть экономическом объединении двух и более государств. Интересно, что парето-распределение до и после международной экономической интеграции было адекватно математически описано.

Экономический анализ показывает, что добавленная стоимость секторов экономики и доходы трудовых масс находятся в противоречии, что в физике аналогично хорошо известным уравнением теплопроводности, движением частиц газа или жидкости в пространстве. Эта аналогия даёт возможность применить физические методы анализа в отношении экономических задач по дрейфу экономических параметров.

Оптимум по Парето подразумевает, что суммарное благосостояние общества достигает максимума, а распределение благ и ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.

Парето-оптимальное состояние рынка — ситуация, когда нельзя улучшить положение любого участника экономического процесса, одновременно не снижая благосостояния как минимум одного из остальных.

Согласно критерию Парето (критерию роста общественного благосостояния), движение в сторону оптимума возможно лишь при таком распределении ресурсов, которое увеличивает благосостояние по крайней мере одного человека, не нанося ущерба никому другому.

См. также[править | править код]

• Равновесие Нэша
• Дилемма заключённого
• Закон Парето
• Кривая Филлипса

Литература[править | править код]

• Блауг М. Экономическая теория благосостояния Парето // Экономическая мысль в ретроспективе = Economic Theory in Retrospect. — М.: Дело, 1994. — С. 540—561. — XVII, 627 с. — ISBN 5-86461-151-4.
• Ногин В. Д. Множество и принцип Парето. — СПб: Издательско-полиграфическая ассоциация высших учебных заведений, 2022, 2-е издание, исправленное и дополненное, 111 с.
• Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005, 176 с.
• Ногин В. Д. Сужение множества Парето: аксиоматический подход. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016, 272 с.
• Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
• Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982, 2007.
• Посицельская Л. Н. Равновесие и Парето-оптимальность в шумной дуэли дискретного типа с ненулевой суммой // Фундамент. и прикл. матем., 8:4 (2002), 1111—1128
• Посицельская Л. Н. Равновесие и оптимальность по Парето в шумных дискретных дуэлях с произвольным количеством действий // Фундамент. и прикл. матем., 13:2 (2007), 147—155

Ссылки[править | править код]

• Агапова И. И. Взгляд на экономическую теорию благосостояния В. Парето. «Оптимум по Парето»

Множество Парето

Множество Парето содержит точки третьего класса, каждую из которых можно переместить во множестве М лишь при условии уменьшения хотя бы одной из координат.

• Ввод данных
• Решение

С помощью калькулятора среди исходных точек выделяются точки третьего класса, из которых формируется множество Парето.

Операция называется оптимальной по Парето, если не существует операций, которые бы ее доминировали. Соответственно, решение x ∈ Q называется оптимальным по Парето, если не существует решений, которые бы его доминировали.

В случае, если количество Парето-оптимальных решений больше одного, то для определения лучшего решения можно применить:

• взвешивающую формулу f(x,y)=2x-y, если x→max, y→min.
• метод идеальной точки

Применение множества Парето в задачах оптимизации

Считается, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.

1. Биматричные игры.
2. Метод последовательных уступок.
3. Метод идеальной точки.
4. Анализ доходности и риска финансовых операций.

Примеры

Пример №1

Пример. Необходимо отобрать в множество Парето микросхемы ПЗУ из 10 штук. ПЗУ характеризуются емкостью и быстродействием. На графике наши объекты расположатся следующим образом:

Быстродействие
Емкость

5
7
1
8
2
6
10
9
3
4

Решение. Характеристики ПЗУ Быстродействие и Емкость максимизируются, т.е. чем выше их значение, тем лучше ПЗУ. Рассмотрим ПЗУ5 и ПЗУ1. ПЗУ1 лучше ПЗУ5 по емкости, поэтому ПЗУ5 можно отбросить. Также ПЗУ6 хуже ПЗУ2 по быстродействию и, поэтому в дальнейшем рассматриваться не будет. Наиболее плохими характеристиками обладают ПЗУ7,8,9,10. Из ПЗУ1,2,3,4 нельзя выбрать наилучшее, потому что у каждого из них одна из характеристик (быстродействие или емкость) лучше чем у других, а другая хуже. Эти ПЗУ1,2,3,4 и составляют множество Парето.

Пример №2

Пусть имеется задача с двумя целевыми функциями.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8
F1	13	32	17	-3	11	12	2	14
F2	1	5	2	15	9	43	5	11

Требуется найти оптимальные по Парето решения, если целевые функции требуется максимизировать.

Решение. Критерии оптимизации:

x → max, y → max

Операция №2 доминирует над №1,3,7.

Операция №5 доминирует над №7.

Операция №6 доминирует над №4,5,7.

Операция №8 доминирует над №1,5,7.
Загрузка…
Следовательно, операции №2,6,8, оптимальны по Парето.

Операции, оптимальные по Парето, не обязательно являются «самыми лучшими» и даже просто «хорошими» – эти операции не являются худшими.

Пример №3

Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со случайными эффективностями, описываемыми случайными величинами E1, E2, E3, E4 с рядами распределения:

E1	2	5	8	4
p	1/6	1/2	1/6	1/6

E2	2	3	4	12
p	1/2	1/6	1/6	1/6

E3	3	5	8	10
p	1/6	1/6	1/2	1/6

E4	1	2	4	8
p	1/2	1/6	1/6	1/6

Требуется определить, какие из этих операций оптимальны по Парето.

Решение. Ожидаемые эффективности и риски равны соответственно MЕ₁ = 4.81, σ₁ = 1.77, MЕ₂ = 4.16, σ₂ = 3.57, MЕ₃ = 7.00, σ₃ = 2.30, MЕ₄ = 2.81, σ₄ = 2.54. Нанесем точки (ME_i; σ_i) на единый график (рис.). i-я операция доминирует j-ю, если точка, соответствующая i-й операции, находится на графике правее и ниже точки, соответствующей j-й операции.

Критерии оптимизации:

MЕ → max, σ → min
Загрузка…

Рисунок – График «риск – доходность»

Видно, что первая операция доминирует вторую и четвертую, третья операция также доминирует вторую и четвертую. При этом первая операция не доминирует третью, а третья не доминирует первую. Первая и третья операции, таким образом, оптимальны по Парето.

Множество Парето для двух критериев
можно построить графически. Для каждой
альтернативы, представленной на графике
точкой, строится прямоугольник. На
рисунке такие прямоугольники построены
для точек 1, 2 и 6. Очевидно, угловая точка
каждого прямоугольника является лучшей
точкой по отношению ко всем другим,
оказавшимся внутри этого прямоугольника,
так как у этой угловой точки значения
критериев у1 и у2 наибольшие. Поэтому
все точки, оказавшиеся внутри построенных
прямоугольников, например, точки 8, 4, 5
для прямоугольника с вершиной в точке
6 и точка 2 для прямоугольника с вершиной
в точке 1, исключаются из рассмотрения.
Процесс продолжается до тех пор, пока
не будут построены прямоугольники для
всех точек. Неисключенные точки (в данном
случае это точки 1, 3, 9) образуют множество
Парето. Заметим, что при других направлениях
улучшения критериев y1, y2 правила
построения прямоугольников (точнее,
углов) и исключения точек будут другими.
Например, на приведенном ниже рисунке
лучшей будет угловая точка угла 1, а
угловые точки для углов 2 и 3 будут
исключены.

3.5. Множество Парето и другие критерии оптимальности

3.5.1. Множество Парето и критерий удовлетворения тз

Грамотное задание ТЗ. Неграмотное
задание ТЗ

Пусть имеем два частных критерия y₁,
y₂
и требования технического задания
(ТЗ), выраженное неравенствами: а₁<y₁<а₂;
b₁<y₂<b₂
определяющими прямоугольную форму
области допустимых значений D
критериев y₁,
y₂.
Взаимное расположение области D
и множество Парето может быть
различно (см. рисунок). В примере
неграмотного задания ТЗ ни одна из точек
множества Парето не попадает в область
допустимых значений.

3.5.2. Множество Парето и обобщенный критерий в виде самого важного частного и остальных критериев как ограничений.

Пусть
каждая альтернатива характеризуется
двумя частными критериями y₁
и y₂,
где y_2
— наиболее важный, и наложено
ограничение y₁
> а.
Будем искать лучшую альтернативу по
критерию y₂,
учитывая ограничение на y₁.
Тогда альтернатива. отображаемая точкой
1, оптимальна, так как она одновременно
принадлежит множеству Парето, удовлетворяет
ограничениям на y₁
и в ней y₂
имеет наилучшее значение по сравнению
с остальными точками из допустимых.

3.5.3. Множество Парето и требование экстремума одного из частных критериев

В этом случае оптимальные точки
соответствуют крайним точкам области
кривой множества Парето.

3.5.4. Множество Парето и обобщенный аддитивный критерий

Пусть выбран
обобщенный аддитивный критерий:

Y=а₁*y₁+а₂*y₂

Необходимо найти оптимальную точку
множества Парето, в которой Y
имеет максимальное значение. Для
решения этой задачи построим линию
уровня критерия Y,
т.е. линию постоянных значений Y
= const:

а1*y1+а2*y2=const

Отсюда:

Предельное
значение положения линии уровня —
положение, когда линия уровня касается
кривой множества Парето (точка касания
— точка оптимума).

Как влияют на положение точки оптимума
веса критериев? Из формулы аддитивного
критерия видно, что при малом весе a1
наибольший вклад в Y вносит критерий
y2, а при малом a2 — критерий y1. Соответственно,
угол наклона линий уровня изменяется
так, что точка оптимума сдвигается к
максимуму критерия у2 или у1

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Принцип Парето: формулировки и сомнения

В литературе по менеджменту (в основном – в популярной или посвященной time-менеджменту) обязательно упоминается так называемый принцип Парето или правило 80/20. Вот некоторые его формулировки:

• 20% клиентов (товаров) дают 80% оборота или прибыли;
• 20% ошибок обусловливают 80% потерь;
• 20% исходных продуктов определяют 80% стоимости готового изделия;
• за 20% расходуемого времени достигается 80% результатов ([1], с.111)
• 80% ваших посетителей смотрит только 20% страниц вашего сайта ([8])
• 20% преступников виновны в 80% преступлений ([7])

Применение этого правила к управлению запасами носит название ABC-анализа (от деления запасов на 3 группы A, B и C, первая из которых находится на постоянном контроле, вторая – на системе периодического дозаказа, а третья планируется и закупается на год. Не путать с ABC – Activity Based Costing, функционально-стоимостным анализом – сокращения одинаковые, сущность разная). Данная система, пожалуй, наиболее разработанное применение правила 80/20 (см. пример в [2], с.177-179). Развернутая история и интерпретация этого принципа содержится в статье [7].

Первоначальная, историческая формулировка – 80% всех богатств принадлежит 20% населения. Именно она встречается в сочинениях Вильфредо Парето, который утверждал, что «способ распределения доходов, по существу, является одним и тем же в разных странах и в различные исторические эпохи» [3]. Согласитесь, это более сильное и более осмысленное утверждение, чем популярный принцип 80/20.

Настораживает и другой факт. Почему в книгах, являющихся энциклопедиями приемов менеджмента ([4], [5]), нет упоминания (во всяком случае, я не нашел) о принципе Парето или правиле 80/20. Чем-то он показался авторам сомнительным, если они решили не включать его в свои книги. В сети есть замечательная статья [6], посвященная анализу применения этого принципа. В ней обращается внимание на то, что в литературе отсутствует масса примеров успешного применения этого принципа. Что-то неладно с этим принципом.

Я намереваюсь показать, что правило 80/20 не укоренено в реальности и имеет чисто психологический характер. Для этого нам понадобятся логика и немного математики – в пределах школьного курса.

Математика и магия чисел

«20% товаров дают 80% прибыли» – очень яркая, запоминающаяся формулировка. 20% товаров дают 100%-20%=80% прибыли. Соответственно оставшиеся 100%-20%=80% товаров дают 100%-80%=20% прибыли. Замечательная кососимметричность! Именно она сделала этот принцип столь знаменитым.

Чтобы разобраться в природе принципа Парето, рассмотрим его математический смысл.

Математическая формулировка

Есть список объектов или видов объектов (товаров) T ₁, T ₂… T _n и есть некоторый измеримый результат (прибыль), который является аддитивной функцией от объектов (общая прибыль является суммой прибылей от всех товаров), R(T ₁,T ₂…T _n)=R(T ₁)+R(T ₂)+…R(T _n). Так вот, принцип Парето гласит:

(1) Существует такое число 0< a<0,5, что объекты можно разбить на две группы M1 и M2 так, что численность группы M1 будет равна a*n, а результат R(M1)=(1- a)*R(M1,M2), т.е. 1- a от общего результата всех объектов,

(2) и при этом a=0,2 (20%).

В такой формулировке видно, что принцип Парето распадается на две части – наличие точки кососимметричности a (точки Парето), и утверждения о значении этой точки a=0,2. Докажем сначала первую часть – что точка Парето существует.

Рассмотрим гистограмму результатов по объектам, предварительно упорядочив по убыванию результата. А теперь построим гистограмму накопленного результата и приблизим ее непрерывным графиком.

В дальнейших рассуждениях мы будем рассматривать непрерывный график результата, т.е. считаем, что объектов у нас очень много (пример – население страны, несколько тысяч товаров супермаркета). Итак, y=f(x) – график результата, линия красного цвета. График построен в безразмерных единицах – 1 по оси абсцисс соответствует полная совокупность объектов, 100% от их количества; 1 по оси ординат соответствует суммарный результат от полного набора объектов. Где же должна лежать точка Парето? – На прямой y=1-x, именно это равенство выражает искомую кососимметричность, толстая прямая синего цвета.

Их пересечение дает искомую точку Парето, точку a, такую, что f( a)=1- a. График y=f(x) строго возрастает, более того – это выпуклая функция (вспоминаем, что объекты мы упорядочивали по убыванию результата, т.е. производная убывает). Отсюда следует, что график функции результата всегда лежит выше прямой y=x (зеленая прямая) и совпадает с ней в одном случае – когда все объекты имеют одинаковый результат, равномерное распределение. Тем самым мы доказали, что искомая точка Парето всегда существует, ее значение меньше 0,5 и равно ему в единственном случае – равномерного распределения результата по объектам.

Из этого графика видно, как мы можем итерационно продолжить Парето-анализ. Если мы рассмотрим ограничение функции на интервале (0, a), то можем построить точку Парето второго порядка (тот же красный график и тонкая синяя прямая; точка Парето-2 показана пунктиром). Аналогично можем поступить на интервале ( a, 1) и так далее.

Магия чисел

Итак, первая часть принципа Парето доказана. Она оказалась на удивление тривиальной – всего лишь иное выражение неравномерности распределения результата по объектам, а в практическом плане – сначала самое важное, потом остальное. Не грех лишний раз напомнить и в этом наибольшая польза этого принципа. Но, может быть, вторая его часть более содержательна? Может, действительно, практически у всех реальных распределений точка Парето равна 0,2? А вот тут мы вступаем в противоречие как с реальными данными, так и с логикой.

Для начала, с чего бы это существенно различным системам иметь какой-то общий для всех, прямо-таки волшебный параметр? Так ли это на самом деле? Обратимся к фактическим данным. На моем рисунке точка Парето примерно равна 0,3, т.е. правило должно бы звучать как 70/30. Но это – так, рисунок с выдуманными данными. А другие примеры? Если обратиться к примеру из книги [2], то числовые данные в приведенной на стр. 178 таблице дадут скорее 75/25, а соответствующий график на стр. 179 – 65/35. Но это – тоже учебные примеры. А вот реальные данные:

• По утверждению Н. Харитонова, КПРФ, 13% населения России владеет 93% ее богатств [6]. Это скорее ближе к 90/10, чем к 80/20;
• Р. Акофф в [12], с. 74 говорит: «Собирая данные для того, чтобы приступить к проблеме прогнозирования, автор обнаружил, что примерно на 10% видов продукции приходится 90% выручки и еще больший процент прибыли»;
• Распределение спроса по наименованиям журналов: доля обращений в зависимости от процента количества журналов по разным электронным журналам дает значение точки Парето от 18 до 28% [13]. Кстати, это действительно достоверное исследование, с внятной методикой и инструментами;
• В статье [11] исследовано применение принципа Парето к заработной плате и выведен несколько шутливый «принцип Парето по-русски» – его численное значение оказалось 86/14, т.е. значение точки Парето равно 0,14.

Как мы видим, значение точки Парето 0,2 – величина очень приблизительная. Казалось бы, велика ли разница между 80/20 и 90/10? – Огромна. Рассмотрим, во сколько раз объект из группы лидеров приносит результата больше, чем из группы аутсайдеров. Оказывается, в (1- a) ²/ a² раз. Для 80/20 это 16, а для 90/10 – 81 раз. Для 70/30 это 70/30 это примерно 5,4 раза. Так что различия – существенные и нельзя говорить, что все эти ситуации описываются примерно одним законом.

Отсюда делаем вывод: 80/20 – это чистой воды магия цифр, к реальности не имеющая большого отношения.

Логическое противоречие

Но расхожие формулировки принципа Парето несут в себе и логическое противоречие. Оно связано с итерационным применением этого принципа. Зададимся вопросом, а может ли существовать такое распределение, такая функция результата, что на любом интервале точка Парето будет постоянна? Пусть это так. Применим этот принцип к интервалам, содержащим точку 0. Получим: f( a)=1- a, f( a²)=(1- a) ², … f( a^k)=(1- a) ^k. Это дает следующее решение: . Интересно отметить, что если мы возьмем последовательность интервалов, сжимающуюся к 1, то получим ту же формулу. Заметим, что у графика этой функции касательная в точке 0 вертикальна, а в точке 1 – горизонтальна. Отсюда получаем противоречие – если взять последовательность интервалов, сжимающихся к другой точке, к примеру, к точке a справа – первый интервал (0, a), потом ( a², a) и т.д., то получим иную формулу – касательная к графику в точке a будет горизонтальна, а для ранее найденной формулы это не так. Значит, не существует такого распределения, такой функции, на которой всегда выполнялся бы принцип Парето с постоянным значением точки Парето.

Математическое доказательство хорошо, но есть и практические противоречия. Для этого сравним принцип Парето с пятым следствием закона Мерфи:

События, предоставленные сами себе, имеют тенденцию развиваться от плохого к худшему.

В чем принципиальное отличие от принципа Парето? В том, что мы можем что-то изменить. Если же следовать букве правила 80/20, то что бы мы ни делали, результат останется тем же! А как еще можно понять, что 20% товаров приносят 80% прибыли? Неужели все менеджеры настолько безграмотны, что не управляют своей сбытовой политикой? Или так безграмотно управляют? Похоже, «собака порылась» в принципе Парето, а не в поведении менеджеров.

Пример из практики – комплектация телевизоров

Но наибольшее противоречие, прямо-таки произвол этого принципа, не в этом. Я наткнулся на него случайно, анализируя различные параметры комплектации телевизоров. Телевизор, согласно комплектовочной ведомости, состоит из примерно 50 частей (не считая радиодеталей, это уже при конвейерной сборке готовой продукции). Вот реальные данные по стоимости по одной из наших моделей:

№	Наименование	%	% накопленный Y=f(X)	Линия Y=100%-X
1	323 Кинескоп	51,06	51,06	97,78
2	869 Электронный модуль	16,51	67,57	95,56
3	702 Передняя панель	8,75	76,32	93,33
4	703 Задний корпус	7,10	83,42	91,11
5	890 ПДУ	4,64	88,06	88,89
6	698 Упаковочный ящик из гофрокартона	2,18	90,24	86,67
7	892 Громкоговорители	2,09	92,33	84,44
8	731 Пеновкладыши	2,05	94,38	82,22
9	891 Петля размагничивания	1,60	95,98	80,00
10	73 Плата кинескопа в сборе	1,30	97,28	77,78
11	913 Держатель кинескопа металлический	0,62	97,90	75,56
12	701 Блок кнопок управления	0,34	98,24	73,33
13	896 Прокладка резиновая под кинескоп Т2	0,31	98,55	71,11
14	903 Прокладка резиновая 30х30х9 мм	0,20	98,75	68,89
15	4686 Направляющая передняя вспомогательная	0,12	98,87	66,67
16	699 Сетевая кнопка	0,12	98,99	64,44
17	920 Пакет полиэтиленовый для ТВ	0,11	99,10	62,22
18	4685 Провод монтажный	0,10	99,20	60,00
19	4688 Прокладка резиновая 25х7 мм	0,09	99,29	57,78
20	700 Блок световодов	0,09	99,38	55,56
21	1136 Гайка М6	0,08	99,46	53,33
22	4689 Жгут ОС	0,07	99,53	51,11
23	911 Шайба металлическая зубчатая	0,06	99,59	48,89
24	893 Батарейки диоксид-марганцевые	0,05	99,64	46,67
25	4687 Направляющая задняя поддерживающая	0,05	99,69	44,44
26	918 Инструкция по эксплуатации ТВ	0,04	99,73	42,22
27	897 Прокладка из стекловолокна	0,03	99,76	40,00
28	1008 Опора трансформатора пластм.	0,03	99,79	37,78
29	716 Талон гарантийный	0,03	99,82	35,56
30	899 Ярлык пластиковый AV самоклеящ. задний	0,02	99,84	33,33
31	898 Стяжка пластмассовая 2,5х95 мм	0,02	99,86	31,11
32	905 Держатель шнура питания пластм.	0,02	99,88	28,89
33	1009 Наклейка фирменная на короб	0,02	99,90	26,67
34	895 Лента самоклеющ. 150х19х0,3 мм	0,01	99,91	24,44
35	919 Пакет полиэтиленовый для аксессуаров	0,01	99,92	22,22
36	914 Шильдик “Полар” алюминевый	0,01	99,93	20,00
37	901 Ярлык пластиковый AV самоклеящ. боковой	0,01	99,94	17,78
38	915 Пружина винтовая 6ммХ40	0,01	99,95	15,56
39	888 Схема принципиальная-чертеж ТВ	0,01	99,96	13,33
40	2363 Этикетка самокл. штрих-код	0,01	99,97	11,11
41	900 Ярлык пластиковый (номер модели)	0,01	99,98	8,89
42	906 Переходник сетевого выключателя пластм.	0,01	99,99	6,67
43	2289 Гарантийная пломба	0	99,99	4,44
44	916 Пружина винтовая 0.7X10X18mm	0	99,99	2,22
45	917 Наклейка самоклеящ. цвет корпуса	0	100,00	0,00

В последних двух столбцах содержатся данные для вычисления точки Парето. Видим, что пересечение достигается на пятой позиции, a=0,11. Тут действует правило 89/11, а не 80/20. Казалось бы, все понятно. Но в оперативном управлении (в основном, в логистических задачах – доставка, растаможка, складирование) мы не анализируем комплектацию по полусотне позиций. Для этих целей большинство этих позиций объединяется в одну – «мелочевка». Посмотрим, как изменится значение точки Парето после группировки:

№	Наименование	%	% накопленный Y=f(X)	Линия Y=100%-X
1	Кинескоп	51,06	51,06	87,50
2	Электронный модуль	16,51	67,57	75,00
3	Передняя панель	8,75	76,32	62,50
4	Мелочевка	7,71	84,03	50,00
5	Задний корпус	7,10	91,13	37,50
6	ПДУ	4,64	95,77	25,00
7	Упаковочный ящик	2,18	97,95	12,50
8	Пеновкладыши	2,05	100,00	0,00

Теперь картина изменилась просто кардинально. Пересечение уже в районе точки a=0,3, правило приобретает вид 70/30. Задумаемся над этим изменением.

Разве как-то изменилась реальность? – Нет, она осталась прежней. В чем же фокус? – Изменилась модель реальности. Вместо физических объектов считаем их группы, т.е. абстракции. А разве до того были физические объекты? Ведь часть из этих деталей идет не по одной штуке (общее количество деталей с учетом количества для данной модели составляет 280, и это без учета саморезов и стяжек). Расписав все по физическим объектам, мы могли бы получить и правило 99/1.

Заметим, что операциями дробления и объединения мы можем почти произвольно сдвигать значение точки Парето в любую сторону. Какой-то странный этот принцип Парето, который так сильно меняется от точки зрения.

Ложные следствия и ограничения правила Парето

Ложные следствия

Одной из особенностей принципа Парето является то, что он в силу своей хлесткой красоты способствует ложным из него выводам. К примеру, в одной из студенческих работ в сети (жаль, не сохранил ссылку) встретил замечательную рекомендацию отказаться от 80% товаров, которые дают всего-то 20% прибыли. Автор свысока своего студенческого знания обвиняет предпринимателей в незнании этого принципа и нежелании увеличить свою прибыль! Или, к примеру, бездумное итеративное применение этого принципа приводит к заключению ([9]), что 49% усилий дают 99% результата. Воистину, стоит немного подумать о естественных ограничениях этого принципа, о его области релевантности.

Многокритериальность

Прежде всего, даже если принцип Парето верен, то он говорит об оценке по одному параметру. Пусть даже 20% товаров приносят 80% прибыли и дохода, но для прибыли и дохода это, скорее всего, разные группы товаров. Близкий мне пример – затраты на погрузку в порту пропорциональны весу товара, затраты на транспортировку и складское хранение пропорциональны его объему, таможенные платежи пропорциональны стоимости товара, время работы декларантов на растаможку (и, соответственно, вероятность ошибок) пропорционально количеству позиций в инвойсе, время разгрузки на склад примерно пропорционально количеству коробок. Если обратиться к ранее рассмотренному примеру (см. п.2.4), то кинескопы попадают в лидеры по стоимости, весу, объему, а мелочевка – в аутсайдеры по этим позициям. Если же посмотреть на время работы декларантов и на время разгрузки машины, то ситуация прямо противоположная – с кинескопами все просто-быстро, а с мелочевкой куча проблем. Так что принцип Парето в данном случае лишь частный прием в решении отдельных аспектов логистических задач, на что-то глобальное он не тянет.

Если обратиться к финансам, то только очень простой бизнес управляется на основе одного показателя. Как правило, этих показателей 5-8, так что и здесь принцип Парето не станет чем-то глобальным. А как частный случай, как прием – сначала обращать внимание и усилия на самое важное, на лидеров – да, работает, и хорошо работает.

Неаддитивность

Как мы видели в математической формулировке (см. п.2.1), существенным условием является аддитивность функции результата. То есть объекты должны быть независимы. Всегда ли это так на самом деле? 80% прибыли дают 20% товаров. Почему магазины не откажутся от остальных 80% товаров? – А вы пойдете в такой магазин? Мои потребности явно не ограничиваются самым необходимым, я хочу иметь возможность купить то, что мне нужно (пусть это и не самый ходовой товар). Если магазин откажется от этого товара, то я скорее пойду в другой магазин, даже если там все немного дороже. То есть продажи товаров не всегда независимы! И что, бедные владельцы магазинов не могут ничего сделать? – Разумеется, могут. Они закажут меньше неходовых товаров (оптимизация запасов), установят на них бо’льшую наценку (помните о многокритериальности? Неходовой товар может стать более прибыльным – недаром в маркетинге есть стратегия «падающего лидера», когда на ходовой товар резко снижается цена, это увеличивает поток покупателей, которые раскупают и менее ходовые товары с большей наценкой).

Это лишь один пример неаддитивности. А вот другой – скорость работы конвейера определяется продолжительностью самой долгой операции. Упорядочим операции по времени выполнения и займемся лидерами. Пусть мы расшили узкие места (распараллелили или усовершенствовали технологию) и время выполнения этих операций сократилось в 5 раз. Неужели конвейер стал работать в 5 раз быстрее? Скорее всего – нет, просто теперь скорость его работы определяется другими операциями. Здесь работает иная стратегия – нам не надо максимального сокращения длительности конкретной операции, нам надо приемлемое сокращение. У конвейера обычно есть какие-то железные ограничения – для сборки телевизоров это длина линейки прогрева и нормы времени на прогрев. Мы легко можем поделить время прогрева на максимальное количество телевизоров на линейке прогрева и получим физическое ограничение такта конвейера. Тут принцип Парето может быть применим к ранжированию проблем, но важно другое – напрямую длительности операций этому принципу не подчиняются.

Те же соображения применимы и для скорости транспортной колонны, и для обеспечения безопасности – не стоит ставить бронированные ворота с вооруженной охраной фасада, если сзади есть неохраняемая деревянная дверь с амбарным замком. Тот же принцип достижения не максимального, а приемлемого результата.

Вообще говоря, здесь работает именно иной базовый принцип, не принцип Парето – для системы, чей вход непрерывен, а выход дискретен, необходимо добиваться не максимальных, а приемлемых решений. Абитуриенту, поступающему в университет, надо набрать определенный проходной балл – это не значит, что ему надо стремиться получить по всем предметам максимальные оценки. К примеру, он может рассчитывать получить по сочинению (даже не знаю, сейчас на экзаменах его пишут?) любую оценку кроме двойки, а большинство баллов набрать на профильных предметах. Поэтому он может свой непрерывный ресурс (время на подготовку к экзаменам) распределить между предметами соответствующим образом.

Крайняя степень неаддитивности – продукцию можно произвести, только если есть ВСЕ комплектующие. Не важно, сколько стоит/весит/занимает объема деталь, но если ее нет, то конвейер будет стоять. Тут в принципе работает не сложение, а логические операции.

Неопределенность во времени

Отдельного обсуждения требует неопределенность будущего. Я на этом много останавливаться не буду, отсылаю к замечательной статье [6]. Основная ее мысль – сегодняшние аутсайдеры могут стать будущими лидерами. Некоторый аналог принципа Парето в этом плане – матрица БКГ ([4], с.167-168, [5], с.279-280), в последнее время подвергается обоснованной критике (см. [10]).

Интересно сопоставить принцип Парето с принципом Эйзенхауэра (см. [1], с.118-120) в time-менеджменте. В первом один критерий, во втором – два (важность и срочность). Со вторым принципом у меня всегда были проблемы – некоторые дела все же надо делать сейчас, иначе они потом вырастут в большие проблемы. Как их классифицировать? Срочные, но не важные, или важные, но не срочные? Наверное, часть так, часть так. Пожалуй, оптимальный портфель дел по Эйзенхауэру должен состоять из важных, но не срочных и срочных, но не важных. При таком портфеле любую задачу можно поручить, всегда будет время на важные дела, а некоторыми не важными в крайнем случае можно пожертвовать. А что покажет тут принцип Парето? По срочности – одно, по важности – противоположное. Этот пример показывает, что даже более развернутая модель (двухпараметрическая) вызывает проблемы с классификацией, так как же может эта система управляться однопараметрическим критерием?

Еще один временной аспект – в экономических системах классификация параметров зависит от временного масштаба. К примеру, в краткосрочном плане затраты на бухгалтерию являются условно-постоянными, а в долгосрочном плане – переменными. Если мы планируем открыть еще один цех или крупный склад, то потребуется увеличение штата бухгалтеров на обработку операций, затраты на бухгалтерию становятся переменными – они зависят от объема бизнеса. В пределе все затраты являются переменными – на уровне решения вопроса, каков должен быть масштаб бизнеса и стоит ли этому бизнесу существовать.

Как это связано с принципом Парето? Вот как – результаты Парето-анализа, примененные к разным временным масштабам, могут противоречить друг другу. Если помнить, что принцип Парето есть не более чем частный инструмент, вроде умения находить максимум функции с помощью производной, то все в порядке. А вот если возвести его в глобальный принцип – жди беды.

Доказательство верности правила 80/20

А теперь, когда мы рассмотрели и раскритиковали принцип Парето, нашли в нем логические противоречия, докажем его верность именно в изначальной постановке, как правило 80/20.

Группировка объектов

Мы работаем не с реальностью, а с моделями реальности. И эти модели несут в себе отпечаток не только реальности, но и нашей психики. Одним из таких психологических источников является закон 7±2. Посмотрите на большинство круговых диаграмм в литературе или используемых в вашей работе. Как правило, они имеют от 5 до 9 секторов, редко больше. Посмотрите на многоуровневые классификаторы товаров или материалов в учетных программах. Те из них, которые правильно организованы, удобны персоналу, имеют на каждом уровне до двух десятков значений (кроме нижнего уровня). Слишком подробная информация неудобна для анализа, точность должна быть минимально достаточной.

Еще одна особенность – группировка часто предшествует сбору данных. В п.2.2приводились статистические данные по распределению богатства населения России. Напомню, 13% населения владеют 93% богатств. Почему такие странные цифры – 13 и 93? Логичнее бы звучало, что 10% населения владеют 91% богатств, или 20% населения владеют 99% богатств. Почему обе цифры не круглые? Потому, что это след от предварительной группировки населения. Сначала все население по каким-то признакам было разбито на группы, а уж потом оценивался размер этих групп и размер богатств, им принадлежащих. Важно отметить, что часто группировка осуществляется на основе качественной модели системы, и лишь потом измеряется количественно. А создание качественных систем во многом искусство, часто это не формализуемый процесс.

Неизмеримость и недостаток информации

Все, кто проводил социологические опросы, знают, что результаты существенно зависят от постановки вопроса. В результате получаются количественные данные, но что они описывают? Как правило, некоторый сплав представления о ситуации исследователя (вопросы) и респондентов (ответы). Реальность они описывают только тогда, когда у исследователя адекватная модель этой реальности и правильно сформулированы вопросы. Да и то, это искаженное описание реальности. Экономика (а социальные науки – тем более) тем и отличается от математики, что изначально работает с неполными и не достаточно достоверными данными.

Можно группировать людей по первой букве фамилии (нормальная модель для словаря или библиотечного каталога), но узнать распределение доходов людей по буквам алфавита вряд ли возможно иначе, как получить полный список людей и их доходов и потом совершить группировку. Беда в том, что у нас нет и никогда не будет столь полных данных. А часть данных вообще невозможно измерить количественно, тем более – заранее. Как можно оценить эффект от какого-либо дела, особенно если оно личного плана. В чем он выражается? – Только качественно, «большой», «средний», «незначительный». Можно, конечно, этим оценкам приписать какие-то числовые значения, но будут ли они суммироваться? Равняются ли пять незначительных эффектов одному среднему? Или двум?

Психологическое доказательство верности правила 80/20

Один пашет, а семеро руками машут

В чем же мы ошибались, когда рассматривали математическую формулировку принципа Парето? Мы упустили из виду операцию группировки. Эта операция существенно влияет на один из исходных параметров – количество объектов. Как мы видели в практическом примере (см. п.2.4), операция группировки меняет значение точки Парето с 0,11 на 0,3, что очень существенно. Как уже отмечалось (см. п.4.1), мы работаем с моделями реальности. А эти модели мы строим сообразно нашему разуму, а не только сообразно реальности. Поэтому мы группируем объекты в 7±2 групп, причем делаем это при каждой итерации Парето-деления. Тем самым исходная математическая формулировка не верна – на каждой итерации мы работаем с новыми объектами, не унаследованными с предыдущей итерации, т.е. с новой моделью. Теперь можем сформулировать психологическую формулировку принципа Парето:

Из 7±2 объектов (групп, дел) 1-2 заслуживают нашего особого внимания (приносят основной результат).

В такой формулировке значение точки Парето находится как раз в пределах 0,1-0,25, что примерно соответствует правилу 80/20. В этой формулировке становится понятно, почему принцип Парето в основном упоминается в книгах по time-менеджменту – неопределенности в оценке важности дел и потребного на них времени настолько велики, что этот принцип не поддается точной количественной проверке. А как наглядный стимул он работает что надо. Думаю, любой рекламщик отдал бы мизинец, лишь бы придумать столь яркий слоган.

Заключение. Принцип Дисбаланса

Принцип Парето, или правило 80/20, имеет еще одно название – принцип Дисбаланса. Обычно он звучит так:

Большая часть усилий пропадает зря.

Более вредное утверждение трудно придумать! Вы этому верите? Если да, то ваша картина мира явно одномерна. Любая сложная система описывается набором параметров. Глупо думать, что каждый из них распределен по всей системе равномерно, на каких-то элементах достигается максимум. Но еще глупее думать, что максимум по всем параметрам достигается на одних и тех же элементах.

К примеру, возьмем какой-нибудь боевик, где небольшая группа спецназа в тылу врага идет на задание. Если это правильно подобранная группа, то умения членов этой группы далеко не однородны. Пусть они распределены так, как показано в таблице.

	Рукопашный бой	Стрельба	Знание языков	Скалолазание	Компьютер
Джо	5	2	1	4	0
Билл	2	2	2	3	4
Грег	2	5	1	2	1
Адам	2	4	3	2	2
Сэм	4	1	1	5	1
Дик	1	2	2	1	5
Чарли	2	1	5	1	1
Тэд	2	3	4	1	1

Если проанализировать по Парето по любому из параметров – что рукопашный бой, что стрельба – то состав группы явно не оптимален. Вроде как лишние люди. Но если посмотреть на группу в целом, то по любому параметру достигается максимум. И из таблицы, а особенно на объемном графике (см. ниже), видно, что все максимумы достигаются на разных людях (вершины показаны бледно-желтым цветом). Более подробный анализ показывает, что максимум не один, есть резерв (для спецназа это уж точно необходимо).

Психологи знают, что именно такой состав небольшой группы дает психологическую устойчивость – каждый член группы в чем-то лучший, каждый пользуется заслуженным уважением. То же самое про распределение максимумов различных параметров можно сказать о любой достаточно сложной системе – если она действительно система, т.е. ее элементы взаимосвязаны.

Вильфредо Парето был гораздо мудрее своих последователей, когда говорил, что неравномерность распределения доходов неизбежна. Это следствие того, что мы работаем со сложной системой. В конце концов, деньги – это всего лишь один из параметров жизни, важный, но не единственный важный.

Таким образом, принцип Парето, правило 80/20 – лишь локальный прием, вроде нахождения локального максимума с помощью производной. Для поиска глобального максимума одного параметра не достаточно. Кстати, равномерное распределение параметра может говорить как о том, что максимум достигнут, так и о том, что система не зависит от этого параметра.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Содержательные представления об устойчивости, выгодности и справедливости многообразны. Выше мы рассматривали проявление устойчивости через равновесие. Существует и иной вариант устойчивости ситуации, в большей степени, чем равновесность, отражающий черты ее выгодности. Это оптимальность по Парето. 5.1. Множество Парето Рассмотрим на плоскости (U, V) множество ft (рис.8).

Каждая его точка обладает одним из следующих свойств: либо все точки, ближайшие к ней, принадлежат множеству ft (такая точка называется внутренней точкой множества ft), либо сколь угодно близко от нее расположены как точки множества ft, так и точки, множеству ft не принадлежащие (такие точки называются граничными точками множества ft).

Граничная точка может как принадлежать множеству ft, так и не принадлежать. Здесь мы будем рассматривать только такие множества, которым принадлежат все точки границы. Множество всех граничных точек множества называется его границей. Обозначение: 0ft. Пусть М — произвольная точка множества ft, внутренняя или граничная, и (U, V)— ее координаты. Поставим следующий вопрос: можно ли, оставаясь во множестве ft, переместиться източки М в близкую точку так, чтобы при этом увеличились обе ее координаты. Если М — внутренняя точка, то это бесспорно возможно.

Если же М — граничная точка, то такое возможно не всегда (рис. 9). Из точек М, М2, Л#з это сделать можно, но уже из точек вертикального отрезка АВ можно переместиться, увеличивая лишь координату V (координата U при этом остается неизменной). Перемещая точку горизонтального отрезка PQ вправо, мы увеличиваем координату U (при этом координата V сохраняет свое значение). Что же касается дуги BQy то перемещение вдоль нее способно увеличить лишь одну из координат при одновременном уменьшении другой.

Тем самым, точки множества ft можно разбить на три класса: в первый класс относятся точки, которые, оставаясь во множестве ft, можно сдвинуть так, чтобы одновременно увеличились обе координаты (в этот класс попадают все внутренние точки множества ft и часть его граничных точек), второй класс образуют точки, перемещением которых по множеству П можно увеличить только одну из координат при сохранении значения второй (вертикальный отрезок АВ и горизонтальный отрезок PQ на границе множества ft), в третий класс попадут точки, перемещение которых по множеству Q способно лишь уменьшить либо одну из координат, либо обе (дуга BQ границы дП) (рис. 10).

Множество точек третьего класса называется множествам Парето, или границей Парето данного множества Q (выделено на рис. 10). 5.2. Метод идеальной точки Пусть на плоскости (х, у) задано множество и (рис. 11) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции Рассмотрим следующую задачу. Во множестве и) найти точку у,), в которой Обычно это записывается так Сразу же отметим, что в общем случае поставленная задача решения не имеет.

В самом деле, нарисуем на плоскости (С/, V) все точки, координаты которых вычисляются по формулам Из рис. 12 видно, что наибольшее значение U – Umax — и наибольше значение V – Vmax — достигаются в разных точках, а точка с координатами лежит вне множества Q. Тем самым, в исходной постановке задача, вообще говоря, неразрешима — удовлетворить обоим требованиями одновременно невозможно. И, следовательно, нужно искать какое-то компромиссное решение.

Опишем один из путей, использующий множество Парето. точка утопии идеальная точка . Сначала на плоскости (U, V) задается целевая точка, в качеств координат которой часто выбирается сочетание наилучших значений обоих критериев U и V. В данном случае это точка ((7тм, Vmax). Вследствие того, что обычно такая точка при заданных ограничениях не реализуется, ее называют тонкой утопии. Затем строится множество Парето и на нем ищется точка, ближайшая к точке утопии — идеальная точка (рис. 13). 5.3.

Оптимальность по Парето в биматричной игре Рассмотрим биматричную игру с 2 х 2-матрицами Пусть средние выифыши игроков А и В.

Ситуация (р», q.) в биматричной игре А и В наказывается оптимальной по Парето, если из того, что вытекают равенства Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш одного из игроков, не уменьшив при этом выигрыш другого. Различие ситуации равновесия от ситуации, оптимальной по Парето, состоите следующем: в ситуации равновесия ни один из игроков, действуя в одиночку, не может увеличить своего собственного выигрыша; в ситуации, оптимальной по Парето, игроки, действуя совместно, не могут (даже нестрого) увеличить выигрыш каждого.

Обратившись к игре «Дилемма узников», покажем, как практически отыскиваются оптимальные по Парето ситуации. Напомним, что соответствующие платежные матрицы в этой игре имели следующий вид Тем самым, на единичном квадрате (рис. 14) возможных значений вероятностей р и д заданы две функции Точки с координатами (U, 7), вычисленными по приведенным формулам, на плоскости (U, V) заполняют четырехугольник с вершинами Граница Парето этого множества — ломаная NKL.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Каждый из игроков заинтересован в наибольшем значении своего среднего выигрыша Оптимальность по Парето Множество Метод идеальной точки Нетрудно заметить, что в данном случае Тем самым, точкой утопии в этой задаче является начальная точка 0(0, 0). Ближайшая к ней точка множества Парето — К(-1, -1) (рис. 16). Идеальная точка К(-1, -1) — точка с наибольшими выигрышами для каждого из игроков — оказывается лучше, чем равновесная точка М(-6, -6), и ей соответствуют чистые стратегии обоих игроков Несколько слов в заключение На анализе полученных результатов стоит остановиться чуть подробнее.

Из приведенных примеров видно, что числа С и D из соотношений (#*) на с. 273 могут быть как положительными, так и отрицательными. Они могут, в частности, даже обращаться в нуль. Рассмотрим однако наиболее интересный в приложениях случай, когда ни С ни D нулю не равны, Тогда, как нетрудно видеть, точка равновесия определяется парой Эти формулы являются весьма примечательными: в равновесной ситуации выбор игрока А полностью определяется элементами платежной матрицы игрока В, (и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы), а выбор игрока В в равновесной ситуации полностью определяется элементами платежной матрицы игрока А, (и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы).

Иными словами, равновесная ситуация обоих игроков определяется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать этот выигрыш). И если, например, заменить в биматричной игре матрицу выплат игроку А, а матрицу выплат игроку В оставить прежней, то игрок А никак не изменит своего «равновесного» поведения (просто не обратит внимания на эту замену), в то время как игрок В изменит свою стратегию на новую, равновесную. Оптимальность по Парето Множество Метод идеальной точки Таким образом, в биматричной (неантагонистичсской) игре мы вновь встречаемся с антагонизмом.

Правда, теперь это уже не антагонизм интересов (как это было в антагонистической, матричной игре), а антагонизм поведения. Отметим, что в биматричными играх (в отличие от матричных) при наличии нескольких ситуаций равновесия средний выигрыш игрока в разных равновесных ситуациях различен (напомним, что в матричной игре выигрыш игрока один и тот же вне зависимости от количества точек равновесия). Но если средние выигрыши разнятся, то какую равновесную ситуацию следует считать оптимальной?

Наконец, сше одно, не менее

интересное. Вспомним, с какими трудностями мы столкнулись, пытаясь перевести эмоциональные оценки результатов общения студент-преподаватель в количественные показатели. В целом сохраняя основные соотношения, эти количественные оценки могут, конечно, изменяться как от студента к студенту, так и от преподавателя к преподавателю.

Однако, если эти изменения будут не слишком значительными — элементы платежной матрицы пошевельнутся «слегка» — то слегка пошевелятся и зигзаги, не изменяя ни своей обшей формы, ни взаимного расположения, а, значит, число равновесных ситуаций не изменится. Впрочем, сказанное относится лишь к случае, когда множество ситуаций равновесия конечно и состоит из нечетного числа точек (одной или трех).

Как принято говорить в подобных случаях, это число устойчиво относительно малых шевелений. Конечно, в некоторых биматричных играх равновесные ситуации случаются и вчи-стых стратегиях (в последнем из разобранных примеров таких ситуаций даже две). И (в принципе это совсем нетрудно) можно дать определение ситуации равновесия в чистых стратегиях. Найти ее (если она, конечно, существует) — дело довольно простое. Но, как показывают приведенные примеры, во-первых, чистой ситуации равновесия может вовсе не быть, а, во-вторых, даже при ее наличии не исключено существование равновесных ситуаций в смешанных стратегиях.

И желая найти их все, неизбежно приходится обращаться к описанному выше подходу. Реальные конфликтные ситуации приводят к разным видам игр. Различны и способы их анализа и разрешения. Мы остановились лишь на трех видах игр — матричных, позиционных и бима-тричных. Сделанный выбор обусловлен тем, что уже здесь можно наглядно показать, какой смысл вкладывается в термин игра и чем именно занимается теория игр, а также познакомить с относительно несложным математическим инструментарии, опирающимся на ключевые понятия вероятности, матрицы и координаты и позволяющим разрешать простейшие из этих видов игр.

Вместе с тем, нам не хотелось бы, чтобы у читателя сложилось впечатление, что доступными анализу могут быть только игры, описанные выше. Существует обширный, содержательный и интересный, привлекающий неослабевающее внимание исследователей класс игр, в которых хотя бы один из игроков имеет бесконечное множество возможных стратегий — бесконечные игры.

В этом — заключительном — разделе мы приведем три примера бесконечных игр: непрерывной игры на единичном квадрате (непрерывными называются бесконечные игры, в которых функции выигрышей непрерывно зависят от стратегий, выбираемых игроками), дуэли (играми с выбором момента времени, или играми типа дуэли, называются игры, характеризующиеся моментом выбора хода и вероятностями получения выигрыша в зависимости от времени, прошедшего от начала игры до момента выбора) и дифференциальной игры поиска (в дифференциальных играх допускается делать ходы непрерывно и связывать поведение игроков условиями, описываемыми дифференциальными уравнениями).

При этом мы ограничимся, как и ранее, играми двух лиц и проведем лишь постановку задач (описание возможностей в поведении игроков и построение функций выигрышей), хотя для каждой из приводимых игр разработаны достаточно эффективные подходы к построению их решения. Борьба за рынки (игра на единичном квадрате) Одна из конкурирующих фирм (игрок А) пытается вытеснить другую фирму (ифока В) с одного из двух рынков сбыта. Предположим, что общая сумма средств, выделенная на это игроком А, равна 1. Типичной стратегией игрока А является разделение выделенной суммы на две части: х (0 ^ х ^ 1) для первого рынка и 1 – х для второго.

Подобным образом выглядят и стратегии игрока В: выделение им части у (0 ^ у ^ 1) своей суммы на первый рынок и 1 – у на второй. Будем считать, что если игрок А добился превосходства на одном из рынков (на другом превосходства автоматически добивается игрок В), то он вытесняет противника с этого рынка и получает выигрыш, пропорциональный избытку вложенных средств с коэффициентом, характеризующим важность рынка (этот коэффициент равен к| для первого рынка и кг для второго).

Тогда функция выигрыша Н(х, у) игрока А определяется формулой Ясно, что функция выигрыша игрока В равна -Я(ж, у Дуэль Два дуэлянта (игроки А и #) начинают сходиться в момент времени t = 0. У каждого пистолет заряжен одной пулей. Они встретятся в момент времени t = 1 (если только ни один из них не застрелит другого раньше). Каждый из дуэлянтов может выстрелить, когда пожелает. Если при этом одному из них удастся поразить противника, а самому остаться невредимым, то он становится победителем (его выигрыш равен 1) и дуэль тут же прекращается. Если оба промахнутся, дуэль закончится вничью (выигрыш каждого из игроков равен 0).

Если оба выстрелят одновременно и каждый поразит противника, то дуэль также считаете я окончившейся вничью. Если игрок А произведет выстрел в момент времени , то его выстрел будет успешным с вероятностью р{х). Подобным же образом, выстрел игрока В в момент времени будет успешным с вероятностью q(y). При условии игрок А выиграете вероятностью р{х), а проиграет с вероятностью Тем самым, его средний выигрыш при будет равен С другой стороны, если х> у, его средний выигрыш будет равен

При х = у средний выигрыш Оптимальность по Парето Множество Метод идеальной точки Таким образом, функция выигрыша Н(х, у) игрока А имеет вид и антагонистическая игра задана. В частности, если игроки стреляют без промаха, р(х) = q(y) = 1, Дифференциальная игра поиска Ищущий (игрок А) стремится обнаружить уклоняющегося (игрока В). Оба игрока перемещаются с постоянными скалярными скоростями (а и /? соответственно) по плоскости внутри некоторой поисковой области П. В любой момент времени каждый из игроков управляет своим перемещением, задавая направление вектора скорости.

Пусть (хл, уА) и (хв, у в) — координаты игроков. Тогда имеем dt Игра поиска заканчивается в тот момент, когда игроки сблизятся на расстояние I > О, иными словами, когда будет выполнено неравенство В случае успешного обнаружения выигрыш игрока А считается равным I. Построение решения в этой игре существенно зависит от характера и степени информированности игроков. Все, о чем говорилось в этой книге, — примеры бескоалиционных игр, когда любые соглашения, обмен информацией, побочные платежи, совместный выбор стратегий запрещены. Другой важный класс составляют кооперативные игры, в которых разрешены самые разнообразные формы сотрудничества.

Возможность соглашений между игроками оказывает существенное влияние на исход игры. Если допустить, например, в игре «Дилемма узников» совместный выбор стратегий, то исход игры может оказаться совсем иным. При наличии побочных платежей по-иному окончится и «Семейный спор». Вне поля наших рассмотрений остались игры с одним участником, а также игры с участием трех и более игроков; последние особенно интересны, но они и трудны. Задачи к разделу 1.

Найдите нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют): а) 2. Найдите решения следующих матричных игр: 3. Найдите точные и приближенные решения следующих матричных игр: а) 1-й ход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}. 2-й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1,2}. 3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, зная значение у, выбранное игроком В на 2-м ходе, но не помня собственного выбора х на 1-м ходе.

б) /-йход делает игрок А: он выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}. 2-йход делает игрок В: зная выбор игрока А на 1-м ходе, он выбираетчисло у из множества двух чисел {1, 2}. 3-й ход делает игрок А: он выбираетчисло z из множества двух чисел {1, 2}, не зная значения у, выбранного игроком В на 2-м ходе, но помня собственный выбор х на 1-м ходе. в) 1-й ход производится случайно: игрок О выбирает число х, равное 1 с вероятностью 0,3 и равное 2 с вероятностью 0,7. 2-й ход делает игрок А:

он выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе. 3-й ход делает игрок В он выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная выбор у игрока А на 2-м ходе, но не зная случайного выбора х на 1-м холе. 4. Дайте графическое предстаааение, приведите к нормальной форме и найдите точное решение позиционной игры со следующей функцией выигрышей W(iу, z): Найдите решение биматричной игры: Найдите ситуации равновесия в каждом из двух случаев: Ответы