Для отыскания условия пересечения двух сфер примем прямую, соединяющую их центры, за ось х. Пусть точка — центр первой сферы, — ее радиус. Точка — центр второй сферы, а — ее радиус. Уравнениями сфер будут
Решая эту систему, можно прийти к выводу:
Т.4.1. Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Пример. Радиусы шаров равны 25 и расстояние между их центрами Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Решение. Рассмотрим на плоскости отрезок длиной и две окружности с центрами в точках О и радиусами 25 и Если А — одна из точек пересечения этих окружностей (рис. 202), то радиус окружности пересечения данных в условии задачи сфер (поверхностей данных шаров) равен высоте треугольника и его можно найти, предварительно вычислив площадь по формуле Герона
. С другой стороны, откуда
Длина окружности пересечения сфер равна .
Пересечение двух сфер рассмотрим на примере, представленное ниже. А для начало необходимо ознакомиться с заданием. Как видите, даны две сферы, у которых центры смещены друг от друга.
Алгоритм пересечение двух сфер:
1.) Чертится первоначальный вид геометрических фигур согласно заданию.
2.) Вид линии пересечения будем определять методом секущих плоскостей, и обозначим a, b, m.
Как видно из нижнего изображения, часть секущей плоскости «а» и обозначил синим цветом. Затем провел из крайних точек двух фигур прямые до осевых линий и начертил синим цветом дополнительные окружности, они пересекаются в точке.
3.) Рассмотрим секущую плоскость «b», часть ее имеет сиреневый цвет. Из крайних точек фигур опускаем линии до осей на вид сверху и чертим окружности, которые пересекаются в 2 точках.
4.) Секущая «m» также делит сферы на окружности, крайние точки которых переносим на вид сверху, точнее на осевые линии и чертим окружности (имеют зеленый цвет), пересекающие в 2 точках.
5.) У основания, точки находятся аналогичным путем как и в предыдущих 3-х пунктах.
6.) Найденные точки, описанные в пунктах 2,3 и 4, необходимо перенести на вид спереди (фронталь).
Я не зря обозначил разными цветами, это поможет лучше понять как чертить.
Сначала построим точки,показывающие линию с видимой передней стороны. Все точки с вида сверху переносятся на вид спереди.
От точки синего цвета ведется прямая до секущей плоскости «a»(часть имеет также синий цвет) и в месте пересечения указывается точка.
От точек сиреневого цвета ведутся линии вверх до пересечения с плоскостью «b» и вместе их пересечения ставятся точки.
От точек зеленого цвета ведутся прямые до пересечения с плоскостью «m», в месте пересечения ставятся точки.
Точки оснований проще перенести. Проводятся линии от вида сверху до вида спереди, которые имеют место пересечения в точках (имеют черный цвет).
8.) Последним шагом является удаление дополнительных линий построения. А также, если это необходимо, обозначают точки согласно расположениям в проекциях.
Просмотрели 302
Скачать материал
без ожидания
Скачать материал
без ожидания
- Сейчас обучается 962 человека из 80 регионов
- Сейчас обучается 35 человек из 26 регионов
- Сейчас обучается 76 человек из 34 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Урок геометрии в 11 классе
.Полушина Елена Владимировна
учитель математики Зудиловской школы Алтайского края -
2 слайд
Истинное знание состоит не в знакомстве с фактами, которые делают человека лишь педантом, а в использовании фактов, которые делают его философом.
Г. Боклъ -
-
4 слайд
Что называется сферой, шаром?
Что называется радиусом и диаметром шара?
Какие точки называются диаметрально противоположными?
Какая фигура образуется при пересечении шара с плоскостью, сферы с плоскостью?
Где лежит центр этой окружности?
Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
Какая плоскость называется касательной плоскостью сферы? -
5 слайд
Пересечение двух сфер
-
6 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
-
7 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
-
8 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения -
9 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство: -
10 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
,
Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 -
11 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1, R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 ,
2. α∩сферы по окружности (В,АВ), -
12 слайд
Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А и В – точки пересечения сфер
Доказать: линия пересечения – окружность
Доказательство:
1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 ,
2. α∩сферы по окружности (В,АВ),
3. т.о. окружность (В,АВ)- линия пересечения сфер. -
13 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
-
14 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R) -
15 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения. -
16 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров, -
17 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности, -
18 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
3. ∆АО1О2 – равносторонний, -
19 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
3. ∆АО1О2 – равносторонний,
4. радиус окружности равен высоте ∆А О1О2 , -
20 слайд
Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
Найти: длину линии пересечения.
Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
3. ∆АО1О2 – равносторонний,
4. радиус окружности равен высоте ∆А О1О2 ,
5. h =½R√3
6. C = π R√3 -
21 слайд
Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по разные стороны от линии пересечения.
Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15
Найти: О1 О2
Решение: 1. АО =12,
2. О1О = √400-144 = 16,
3. ОО2 = √225 – 144 = 9,
4. О1 О2 = 16 + 9 = 25
О -
22 слайд
Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по одну сторону от линии пересечения.
Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15
Найти: О1 О2
Решение: 1. АО =12,
2. О1О = √400-144 = 16,
3. ОО2 = √225 – 144 = 9,
4. О1 О2 = 16 – 9 = 7О
-
23 слайд
Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
1,6 R.Дано: сфера (О1,R ),
сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
Найти: АВ
Решение: 1. АО1 =R,
АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R -
24 слайд
Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
1,6 R.
Дано: сфера (О1,R ),
сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
Найти: АВ
Решение: 1. АО1 =R,
АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
2. ∆АО1О2 – равнобедренный,
АВ – высота→медиана -
25 слайд
Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
1,6 R.
Дано: сфера (О1,R ),
сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
Найти: АВ
Решение: 1. АО1 =R,
АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
2. ∆АО1О2 – равнобедренный,
АВ – высота→медиана
3. О1В = 0,8 R
4. АВ = √ R2 -0,64 R2,=0,6R -
26 слайд
Итог урока
1. Мы доказали, что линия пересечения двух сфер есть окружность2. Научились практически применять теорему при решении задач.
3. Проверили свой уровень знаний -
27 слайд
Домашнее задание:
Повторить п. 187-190
Выучить теорему 20.6 (существование окружности ) п.191
Самостоятельно доказать единственность окружности
Решить задачу № 45 -
28 слайд
Критерий оценивания
25 – 27 баллов – «5»
21 – 24 балла – «4»
15 – 20 баллов – «3» -
29 слайд
Дорогу осилит идущий, а геометрию – мыслящий.
-
30 слайд
На этом наш урок закончен
Спасибо за работу
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 258 559 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
-
Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Материал подходит для УМК
-
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.
Тема
62. Пересечение двух сфер
Больше материалов по этой теме
Другие материалы
Зачетная работа по теме “Пирамида. Конус.”
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.
- Тема: 47. Пирамида
- 28.01.2018
- 1017
- 4
Тест по теме “Аксиомы стереометрии”
- Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.
- Тема: 1. Аксиомы стереометрии
- 22.01.2018
- 2271
- 1
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в вузе в условиях реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация технической поддержки клиентов при установке и эксплуатации информационно-коммуникационных систем»
-
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
-
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»
-
Курс повышения квалификации «Информационная этика и право»
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Пересечение двух сфер
Пересечение двух сфер
Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Доказательство. Пусть О1 и О2 — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость , перпендикулярную прямой О1О2.
Обозначим через В точку пересечения плоскости с прямой О1О2. По теореме 20.3 плоскость пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.
Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О1О2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О1 и О2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.
Задача (44). Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Решение. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО1 со сторонами, равными R.
Высота равна
.
Следовательно, длина линии равна
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.
Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки
© Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний – Владимир Спиваковский
При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов –
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других “взрослых” тем.
Разработка – Гипермаркет знаний 2008-
Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email:
Линия пересечения двух сфер есть окружность.
Доказательство
Пусть O1 и O2 – центры сфер и A – их точка пересечения. Проведем через точку A плоскость α, перпендикулярную прямой O1O2.
Обозначим через B точку пересечения плоскости α с прямой O1O2. По теореме сечение шара плоскостью плоскость α пересекает обе сферы по окружности K с центром B, проходящей через точку A. Таким образом, окружность K принадлежит пересечению сфер.
Докажем, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности K. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности K. Проведем плоскость через точку X и прямую O1O2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами O1 и O2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности K, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Следовательно, пересечение сфер есть окружность. Теорема доказана