Как найти точки пересечения двух сфер

Для отыскания условия пересечения двух сфер примем прямую, соединяющую их центры, за ось х. Пусть точка — центр первой сферы, — ее радиус. Точка — центр второй сферы, а — ее радиус. Уравнениями сфер будут

Решая эту систему, можно прийти к выводу:

Т.4.1. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Пример. Радиусы шаров равны 25 и расстояние между их центрами Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Решение. Рассмотрим на плоскости отрезок длиной и две окружности с центрами в точках О и радиусами 25 и Если А — одна из точек пересечения этих окружностей (рис. 202), то радиус окружности пересечения данных в условии задачи сфер (поверхностей данных шаров) равен высоте треугольника и его можно найти, предварительно вычислив площадь по формуле Герона

. С другой стороны, откуда

Длина окружности пересечения сфер равна .

Пересечение двух сфер рассмотрим на примере, представленное ниже. А для начало необходимо ознакомиться с заданием. Как видите, даны две сферы, у которых центры смещены друг от друга.

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание.

Задание на пересечение двух сфер.

Алгоритм пересечение двух сфер:

1.) Чертится первоначальный вид геометрических фигур согласно заданию.Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 1

2.) Вид линии пересечения будем определять методом секущих плоскостей, и обозначим a, b, m.

Как видно из нижнего изображения, часть секущей плоскости «а» и обозначил синим цветом. Затем провел из крайних точек двух фигур прямые до осевых линий и начертил синим цветом дополнительные окружности, они пересекаются в точке.

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 2

3.) Рассмотрим секущую плоскость «, часть ее имеет сиреневый цветИз крайних точек фигур опускаем линии до осей на вид сверху и чертим окружности, которые пересекаются в 2 точках.Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 3

4.) Секущая « также делит сферы на окружности, крайние точки которых переносим на вид сверху, точнее на осевые линии и чертим окружности (имеют зеленый цвет), пересекающие в 2 точках.Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 4

5.) У основания, точки находятся аналогичным путем как и в предыдущих 3-х пунктах.Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 5

6.) Найденные точки, описанные в пунктах 2,3 и 4, необходимо перенести на вид спереди (фронталь).

Я не зря обозначил разными цветами, это поможет лучше понять как чертить. 

Сначала построим точки,показывающие линию с видимой передней стороны. Все точки с вида сверху переносятся на вид спереди.

От точки синего цвета ведется прямая до секущей плоскости «(часть имеет также синий цвет) и в месте пересечения указывается точка.

От точек сиреневого цвета ведутся линии вверх до пересечения с плоскостью « и вместе их пересечения ставятся точки.

От точек зеленого цвета ведутся прямые до пересечения с плоскостью «m», в месте пересечения ставятся точки.

Точки оснований проще перенести. Проводятся линии от вида сверху до вида спереди, которые имеют место пересечения в точках (имеют черный цвет).

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 6

Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 7

8.) Последним шагом является удаление дополнительных линий построения. А также, если это необходимо, обозначают точки согласно расположениям в проекциях.Пересечение двух сфер на примере. Подробное описание. 8

Просмотрели 302

Скачать материал

без ожидания

Урок геометрии в 11 классе .


Полушина Елена Владимировна
учитель математик...

Скачать материал

без ожидания

  • Сейчас обучается 962 человека из 80 регионов

  • Сейчас обучается 35 человек из 26 регионов

  • Сейчас обучается 76 человек из 34 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Урок геометрии в 11 классе .


Полушина Елена Владимировна
учитель математик...

    1 слайд

    Урок геометрии в 11 классе
    .

    Полушина Елена Владимировна
    учитель математики Зудиловской школы Алтайского края

  • Истинное знание состоит не в знакомстве с фактами, которые делают человека ли...

    2 слайд

    Истинное знание состоит не в знакомстве с фактами, которые делают человека лишь педантом, а в использовании фактов, которые делают его философом.
    Г. Боклъ

  • Что называется сферой, шаром?
Что называется  радиусом и диаметром  шара?
Как...

    4 слайд

    Что называется сферой, шаром?
    Что называется радиусом и диаметром шара?
    Какие точки называются диаметрально противоположными?
    Какая фигура образуется при пересечении шара с плоскостью, сферы с плоскостью?
    Где лежит центр этой окружности?
    Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
    Какая плоскость называется касательной плоскостью сферы?

  • Пересечение двух сфер

    5 слайд

    Пересечение двух сфер

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность

    6 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность

    7 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружностьДано: сфера (О1, R), сфер...

    8 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
    Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружностьДано: сфера (О1, R), сфер...

    9 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
    Дано: сфера (О1, R), сфера (О2, R), А – точка пересечения
    Доказать: линия пересечения – окружность
    Доказательство:

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность,
Дано: сфера (О1 , R), с...

    10 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
    ,
    Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения
    Доказать: линия пересечения – окружность
    Доказательство:
    1. через А проведем α перпендикулярную О1О2

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружностьДано: сфера (О1, R), сфер...

    11 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
    Дано: сфера (О1, R), сфера (О2 , R), А – точка пересечения
    Доказать: линия пересечения – окружность
    Доказательство:
    1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 ,
    2. α∩сферы по окружности (В,АВ),

  • Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружностьДано: сфера (О1 , R), сфе...

    12 слайд

    Теорема: линия пересечения двух сфер есть окружность
    Дано: сфера (О1 , R), сфера (О2 , R), А и В – точки пересечения сфер
    Доказать: линия пересечения – окружность
    Доказательство:
    1. через А проведем α перпендикулярную О1О2 ,
    2. α∩сферы по окружности (В,АВ),
    3. т.о. окружность (В,АВ)- линия пересечения сфер.

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    13 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    14 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    15 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
    Найти: длину линии пересечения.

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    16 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
    Найти: длину линии пересечения.
    Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    17 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
    Найти: длину линии пересечения.
    Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
    2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    18 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
    Найти: длину линии пересечения.
    Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
    2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
    3. ∆АО1О2 – равносторонний,

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    19 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
    Найти: длину линии пересечения.
    Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
    2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
    3. ∆АО1О2 – равносторонний,
    4. радиус окружности равен высоте ∆А О1О2 ,

  • Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на...

    20 слайд

    Задача1. два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найти длину линии, по которой пересекаются их поверхности
    Дано: сфера (О, R) пересекает сферу (О1 , R)
    Найти: длину линии пересечения.
    Решение: 1. проведем сечение через центры шаров,
    2. по теореме 20.6 сферы пересекаются по окружности,
    3. ∆АО1О2 – равносторонний,
    4. радиус окружности равен высоте ∆А О1О2 ,
    5. h =½R√3
    6. C = π R√3

  • Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, рад...

    21 слайд

    Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по разные стороны от линии пересечения.

    Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15
    Найти: О1 О2
    Решение: 1. АО =12,
    2. О1О = √400-144 = 16,
    3. ОО2 = √225 – 144 = 9,
    4. О1 О2 = 16 + 9 = 25
    О

  • Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, рад...

    22 слайд

    Задача 2. Две сферы, радиусы которых 15 и 20, пересекаются по окружности, радиус которой равен 12. Найти расстояние между центрами сфер, если они находятся по одну сторону от линии пересечения.
    Дано: сфера (О1,R1 ), сфера (О2, R2), R1 = 20, R2 = 15
    Найти: О1 О2
    Решение: 1. АО =12,
    2. О1О = √400-144 = 16,
    3. ОО2 = √225 – 144 = 9,
    4. О1 О2 = 16 – 9 = 7

    О

  • Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер ра...

    23 слайд

    Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
    1,6 R.

    Дано: сфера (О1,R ),
    сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
    Найти: АВ
    Решение: 1. АО1 =R,
    АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R

  • Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер ра...

    24 слайд

    Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
    1,6 R.
    Дано: сфера (О1,R ),
    сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
    Найти: АВ
    Решение: 1. АО1 =R,
    АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
    2. ∆АО1О2 – равнобедренный,
    АВ – высота→медиана

  • Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер ра...

    25 слайд

    Задача 4. Найти радиус окружности пересечения двух сфер, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно
    1,6 R.
    Дано: сфера (О1,R ),
    сфера (О2, R),О1 О2 =1,6 R
    Найти: АВ
    Решение: 1. АО1 =R,
    АО2 =R, О1 О2 = 1,6 R
    2. ∆АО1О2 – равнобедренный,
    АВ – высота→медиана
    3. О1В = 0,8 R
    4. АВ = √ R2 -0,64 R2,=0,6R

  • Итог урока1. Мы доказали, что линия пересечения двух сфер ест...

    26 слайд

    Итог урока
    1. Мы доказали, что линия пересечения двух сфер есть окружность

    2. Научились практически применять теорему при решении задач.
    3. Проверили свой уровень знаний

  • Домашнее задание:Повторить п. 187-190
Выучить теорему 20.6 (существование окр...

    27 слайд

    Домашнее задание:
    Повторить п. 187-190
    Выучить теорему 20.6 (существование окружности ) п.191
    Самостоятельно доказать единственность окружности
    Решить задачу № 45

  • Критерий  оценивания
25 – 27 баллов – «5»
21 – 24 балла – «4»
15 – 20 баллов...

    28 слайд

    Критерий оценивания

    25 – 27 баллов – «5»
    21 – 24 балла – «4»
    15 – 20 баллов – «3»

  • Дорогу осилит идущий, а геометрию – мыслящий.

    29 слайд

    Дорогу осилит идущий, а геометрию – мыслящий.

  • На этом наш урок законченСпасибо за работу

    30 слайд

    На этом наш урок закончен
    Спасибо за работу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 258 559 материалов в базе

  • Выберите категорию:

  • Выберите учебник и тему

  • Выберите класс:

  • Тип материала:

    • Все материалы

    • Статьи

    • Научные работы

    • Видеоуроки

    • Презентации

    • Конспекты

    • Тесты

    • Рабочие программы

    • Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

  • «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

    «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

    Тема

    62. Пересечение двух сфер

    Больше материалов по этой теме

Другие материалы

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

Зачетная работа по теме “Пирамида. Конус.”

  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.
  • Тема: 47. Пирамида
  • 28.01.2018
  • 1017
  • 4

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

Тест по теме “Аксиомы стереометрии”

  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.
  • Тема: 1. Аксиомы стереометрии
  • 22.01.2018
  • 2271
  • 1

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Погорелов А.В.

Вам будут интересны эти курсы:

  • Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

  • Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в вузе в условиях реализации ФГОС»

  • Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»

  • Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация технической поддержки клиентов при установке и эксплуатации информационно-коммуникационных систем»

  • Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»

  • Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»

  • Курс повышения квалификации «Информационная этика и право»

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 11 класс>>Математика:Пересечение двух сфер

Пересечение двух сфер

Теорема 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Доказательство. Пусть О1 и О2 — центры сфер и А — их точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость 24-06-52.jpg, перпендикулярную прямой О1О2.

Обозначим через В точку пересечения плоскости 24-06-52.jpg с прямой О1О2. По теореме 20.3 плоскость 24-06-52.jpg пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер.

Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку X и прямую О1О2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами О1 и О2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана.

Задача (44). Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Решение. Проведем сечение через центры шаров (рис. 461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО1 со сторонами, равными  R.

Высота равна

Формула.

 Формула

Следовательно, длина линии равна

Пересечение двух сфер

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать

Содержание урока
1236084776 kr.jpg конспект урока                       
1236084776 kr.jpg опорный каркас  
1236084776 kr.jpg презентация урока
1236084776 kr.jpg акселеративные методы 
1236084776 kr.jpg интерактивные технологии 

Практика
1236084776 kr.jpg задачи и упражнения 
1236084776 kr.jpg самопроверка
1236084776 kr.jpg практикумы, тренинги, кейсы, квесты
1236084776 kr.jpg домашние задания
1236084776 kr.jpg дискуссионные вопросы
1236084776 kr.jpg риторические вопросы от учеников

Иллюстрации
1236084776 kr.jpg аудио-, видеоклипы и мультимедиа 
1236084776 kr.jpg фотографии, картинки 
1236084776 kr.jpg графики, таблицы, схемы
1236084776 kr.jpg юмор, анекдоты, приколы, комиксы
1236084776 kr.jpg притчи, поговорки, кроссворды, цитаты

Дополнения
1236084776 kr.jpg рефераты
1236084776 kr.jpg статьи 
1236084776 kr.jpg фишки для любознательных 
1236084776 kr.jpg шпаргалки 
1236084776 kr.jpg учебники основные и дополнительные
1236084776 kr.jpg словарь терминов                          
1236084776 kr.jpg прочие 

Совершенствование учебников и уроков
1236084776 kr.jpg исправление ошибок в учебнике
1236084776 kr.jpg обновление фрагмента в учебнике 
1236084776 kr.jpg элементы новаторства на уроке 
1236084776 kr.jpg замена устаревших знаний новыми 

Только для учителей
1236084776 kr.jpg идеальные уроки 
1236084776 kr.jpg календарный план на год  
1236084776 kr.jpg методические рекомендации  
1236084776 kr.jpg программы
1236084776 kr.jpg обсуждения


Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.

Авторські права | Privacy Policy |FAQ | Партнери | Контакти | Кейс-уроки

©  Автор системы образования 7W и Гипермаркета Знаний – Владимир Спиваковский

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов –
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других “взрослых” тем.

Разработка – Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email:

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Доказательство

Пусть O1 и O2 – центры сфер и A – их точка пересечения. Проведем через точку A плоскость α, перпендикулярную прямой O1O2.
Обозначим через B точку пересечения плоскости α с прямой O1O2. По теореме сечение шара плоскостью плоскость α пересекает обе сферы по окружности K с центром B, проходящей через точку A. Таким образом, окружность K принадлежит пересечению сфер.
Докажем, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности K. Допустим, точка X пересечения сфер не лежит на окружности K. Проведем плоскость через точку X и прямую O1O2. Она пересечет сферы по окружностям с центрами O1 и O2. Эти окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности K, да еще в точке X. Но две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Следовательно, пересечение сфер есть окружность. Теорема доказана

Добавить комментарий