Как найти точки пересечения окружности с абсциссой

Пересечение окружности с осью абсцисс

Введем основные тригонометрические функции.

Пусть радиус-вектор $vec = bar$ точки $M$ образует угол $alpha$ с осью $Ox$ (рис.), причем $x$ и $y$ соответственно абсцисса и ордината конца $M$ вектора, $r$ – его модуль, а величина угла $alpha$ измеряется в градусах или в радианах.

1. Синусом угла $alpha$ (обозначение: $sin alpha$) называется отношение ординаты $y$ (см. рис.) к длине $r$ радиуса-вектора $bar $:

2. Косинусом угла $alpha$ (обозначение: $cos alpha$) называется отношение абсциссы $x$ к длине $r$ радиуса-вектора $bar $:

3. Тангенсом угла $alpha$ (обозначение: $tg alpha$) называется отношение синуса угла $alpha$ к косинусу этого угла:

4. Котангенсом угла $alpha$ (обозначение: $ctg alpha$) называется отношение косинуса угла $alpha$ к синусу этого угла:

5. Секансом угла $alpha$ (обозначение: $sec alpha$) называется величина, обратная $cos alpha$:

6. Косекансом угла $alpha$ (обозначение: $cosec alpha$) называется величина, обратная $sin alpha$:

Замечание 1. Тригонометрические функции (1) – (6) действительно являются функциями только угла $alpha$, т. е. не зависят от длины подвижного радиуса-вектора. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что если подвижный радиус-вектор $vec$ образует с осью абсцисс данный угол $alpha$, то отношения $frac<х>$ и $frac<у>$ не зависят от длины радиуса-вектора.

Замечание 2. Из определения $tg alpha$ и $ctg alpha$ следует, что

$tg alpha = frac$, (7)
$ctg alpha = frac$. (8)

Соотношения (7) и (8) можно было бы принять в качестве определений для $tg alpha$ и $ctg alpha$.

Замечание 3. Аналогично получаем

$sec alpha = frac$,(9)
$cosec alpha = frac$ (10).

Соотношения (9) и (10) можно было бы также принять в качестве определений для $sec alpha$ и $cosec alpha$.

Замечание 4. Во всех определениях (1) – (6) предполагаем, что соответствующие отношения существуют (имеют смысл). Например, $tg alpha$ имеет смысл, если $cos alpha neq 0, ctg alpha$ имеет смысл, если $sin alpha neq 0$, и т.д. Поскольку (замечание 1) тригонометрические функции (1) – (6) угла $alpha$ не зависят от длины подвижного радиуса-вектора, то в качестве радиуса-вектора можно брать вектор с длиной, равной единице $(| vec| = r = 1)$. Такой вектор называют единичным радиусом-вектором. В случае единичного радиуса-вектора формулы для основных тригонометрических функций запишутся так (рис.):

$begin sin alpha = y, cos alpha = x \ tg alpha = frac, ctg alpha = frac \ sec alpha = frac<1>, cosec alpha = frac<1> end$. (11)

Формулы для $tg alpha$ и $ctg alpha$ остались прежними (см. (7) и (8)), а формулы для остальных основных тригонометрических функций приняли более простой вид (см. (1), (2), (9) и (10)). Следовательно, синус и косинус угла а равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Конец этого единичного радиуса-вектора при изменении угла а от $0^<circ>$ до $360^<circ>$ опишет окружность, называемую единичной окружностью (рис.). Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов. Осью тангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке $A$ к неподвижному радиусу-вектору $bar$. Положительное и отрицательное направления на оси тангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси ординат (рис.). Рассмотрим угол $alpha = angle AOM$ и введем понятие соответствующей точки оси тангенсов.

а) Если точка $M$ единичной окружности лежит справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовем точку $M_<1>$ (точку пересечения продолжения $MO$ с осью тангенсов, рис а.

б) Если точка $M$ единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой сси тангенсов назовем точку $M_<1>$ (точку пересечения продолжения $MO$ с ссыо тангенсов, рис. б.

Заметим, что тангенс угла а численно равен ординате $y_<1>$ (рис.) соответствующей точки сси тангенсов, т. е. всегда $tg alpha – y_<1>$. Докажем это для углов первых двух четвертей:

1) $0^ <circ>leq alpha < 90^<circ>$ (рис. a), $tg alpha = frac> <1>= y_ <1>geq 0$, где $y_<1>$ – ордината точки $M_<1>$.
2) $90^ <circ>< alpha leq 180^<circ>$ (рис. б). $tg alpha = frac>> leq 0$, где $x_<2>$ и $y_<2>$ – абсцисса и ордината точки $M$. Из подобия прямоугольных треугольников $OMM_<2>$ и $OM_<1>A$ имеем

Следовательно, $tg alpha = frac>> = y_ <1>leq 0$.

Заметим еще следующее:
а) если точка $M$ лежит на оси ординат (например, $alpha = 270^<circ>$), то соответствующей ей точки сси тангенсов не существует, но при этом и $tg alpha$ также не существует;
б) в рассмотренных случаях 1)-2) мы брали угол $alpha$ в пределах от $0^<circ>$ до $360^<circ>$, но в наших рассуждениях ничего не изменится, если мы будем предполагать угол $alpha$ любым.

Осью котангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке В (конец радиуса-вектора $bar $, образующего с осью $Ox$ угол, равный $90^<circ>$) к оси ординат. Положительное и отрицательное направления на оси котангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси абсцисс (рис.). Введем понятие соответствующей точки оси котангенсов.

а) Если точка $M$ единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку $M_<1>$ (точку пересечения продолжения $OM$ с осью котангенсов, рис. а).

б) Если точка $M$ единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой сси котангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения $MO$ с осью котангенсов, рис. б).

Аналогично предыдущему можно получить, что котангенс угла $alpha$ равен абсциссе $x_<1>$ соответствующей точки оси котангенсов, т. е. $ctg alpha = x_<1>$. Если точка $M$ лежит на оси абсцисс (например, $alpha – 180^<circ>$), то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует, но при этом и $ctg alpha$ также не существует.

Пересечение с осями онлайн

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.

Найти точки пересечения функции с осями координат:

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось – в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

О чем эта статья:

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число x_M равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу x_M. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число x_M — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки M_x на Ох, а M_y на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения M_x и M_y.Тогда у точки M_x на оси Оx есть соответствующее число x_M, а M_y на Оу — y_M. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (x_M, y_M), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это x_M, ордината М — это y_M.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (x_M, y_M) имеет соответствующую точку на плоскости.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathforyou.net/online/calculus/intercepts/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/Os-abstsiss-i-ordinat

[/spoiler]

Как найти точку пересечения окружностей

Геометрические задачи, решаемые аналитически при помощи приемов алгебры, являются неотъемлемой частью программы школьного обучения. Кроме логического и пространственного мышления они развивают понимание ключевых взаимосвязей между сущностями окружающего мира и абстракциями, применяемыми людьми для формализации отношений между ними. Нахождение точек пересечения простейших геометрических фигур – один из типов подобных задач.

Инструкция

Предположим, что даны две окружности, заданные своими радиусами R и r, а также координатами их центров — соответственно (x1, y1) и (x2, y2). Требуется вычислить, пересекаются ли эти окружности, и если да, то найти координаты точек пересечения.Для простоты можно предположить, что центр одной из заданных окружностей совпадает с началом координат. Тогда (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Также имеет смысл предполагать, что a ≠ 0 и b ≠ 0.

Таким образом, координаты точки (или точек) пересечения окружностей, если они есть, должны удовлетворять системе из двух уравнений:x^2 + y^2 = R^2,
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2.

После раскрытия скобок уравнения приобретают вид:x^2 + y^2 = R^2,
x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 = r^2.

Теперь первое уравнение можно вычесть из второго. Таким образом, квадраты переменных исчезают, и возникает линейное уравнение: -2ax – 2by = r^2 – R^2 – a^2 – b^2. С его помощью можно выразить y через x:y = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2 – 2ax)/2b.

Если подставить найденное выражение для y в уравнение окружности, задача сводится к решению квадратного уравнения: x^2 + px + q = 0, гдеp = -2a/2b,
q = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2)/2b – R^2.

Корни этого уравнения позволят найти координаты точек пересечения окружностей. Если уравнение неразрешимо в действительных числах, то окружности не пересекаются. Если корни совпадают между собой, то окружности касаются друг друга. Если корни различны, то окружности пересекаются.

Если a = 0 или b = 0, то исходные уравнения упрощаются. Например, при b = 0 система уравнений примет вид:x^2 + y2 = R^2,
(x – a)^2 + y^2 = r^2.

После вычитания первого уравнения из второго получается:- 2ax + a^2 = r^2 – R^2.Его решение: x = – (r^2 – R^2 – a2)/2a. Очевидно, что в случае b = 0 центры обеих окружностей лежат на оси абсцисс, и у точек их пересечения будет одинаковая абсцисса.

Это выражение для x можно подставить в первое уравнение окружности и получить квадратное уравнение относительно y. Его корни — ординаты точек пересечения, если таковые существуют. Аналогичным образом находится выражение для y, если a = 0.

Если a = 0 и b = 0, но при этом R ≠ r, то одна из окружностей заведомо находится внутри другой, и точки пересечения отсутствуют. Если же R = r, то окружности совпадают, и точек их пересечения бесконечно много.

Если ни у одной из двух окружностей центр не совпадает с началом координат, то их уравнения будут иметь вид:(x – x1)^2 + (y – y1)^2 = R^2,
(x – x2)^2 + (y – y2)^2 = r^2.Если перейти к новым координатам, получающимся из старых методом параллельного переноса: x′ = x + x1, y′ = y + y1, то эти уравнения приобретают вид:x′^2 + y′^2 = R^2,
(x′ – (x1 + x2))^2 + (y′ – (y1 + y2))^2 = r^2.Задача, таким образом, сводится к предыдущей. Найдя решения для x′ и y′, можно легко вернуться к изначальным координатам, обратив уравнения для параллельного переноса.

Источники:

• как найти точки пересечения окружности с прямой

Рассмотрим вопрос про пересечение прямой с окружностью. Пусть  R –
радиус окружности и  d – расстояние от центра окружности до прямой. Возьмём
центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, – за
ось  х. Тогда уравнением окружности будет 

х² + у² =
R²,

а уравнение прямой 

х = d.

Прямая и окружность пересекаются, если система двух уравнений

х² + у² =
R²,  х = d

имеет решения. И наоборот, любое решение этой системы даёт координаты  х, у  точки пересечения прямой с окружностью.

Решив нашу систему, получим:

Из выражения для  у  видим, что
система имеет два решения, то есть:

– окружность и
прямая пересекаются в двух точках, если  R
> d.

Система имеет одно решение,
если:
– прямая и окружность касаются, если  R = d.

Система не имеет решений, если:

– прямая и окружность
не пересекаются, если  R
< d.

ПРИМЕР:

Найдите точки пересечения окружности 

х² +
у² =
1 

и прямой  

у =
2х + 1.

РЕШЕНИЕ:

Так как точки пересечения лежат
на окружности и прямой, то их координаты удовлетворяют систему уравнений:

х² + у² =
1,  у = 2х + 1.

Решим эту систему. Подставим  у  из второго уравнения в первое. Получим уравнение
с  х:

5х² + 4х = 0.

Уравнение имеет два корня:

х₁ =
0,  х₂
= –0,8. 

Это абсциссы точек пересечения.
Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставив в него  х₁  и  х₂. Получим:

у₁ =
1,  у₂
= –0,6.

Точки пересечения прямой и
окружности будут:

(0; 1),  (–0,8; –0,6)

Задания к уроку 30

Приветствую вас, друзья! В этой заметке подробно разберем задачу из ОГЭ по математике. Получается, что уровень сложности задачи: ~ 9 класс.

Задание

Прямая y  =  2•x + b касается окружности x²  +  y² =  5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Решение:

В самом начале я привел рисунок, который описывает как может располагаться прямая и окружности (рисунок не подходит к нашей задаче, это сделано специально для того, чтобы бы вы подумали на начальном этапе).

Итак, прямая может:
1. Не иметь с окружностью общих точек (не пересекаться)
2. Иметь с окружностью одну общую точку (касаться окружности)
3. Иметь с окружностью две общих точкий (пересекать окружность, образуя хорду).

В нашей задаче нужно рассмотреть именно 2-й случай (обратите внимание на условие задачи).

Способ 1

Допустим, нам необходимо решить задачу со знаниями 9 класса. Найдем точку пересечения функций. Для этого решим совместную систему:

Решение последнего уравнения определяет количество точек пересечения прямой с окружностью и координаты этих точек. Так как в задании сказано, что прямая является касательной, то квадратное уравнение должно давать одно решение, зависящее от параметра. То есть в нашем уравнении должен быть нулевой дискриминант. Учтем это:

Если мы представим графическое решение, то поймем, что касание может происходит сверху и снизу. Нам же нужно выбрать ту точку, у которой будет положительное значение абсциссы.

Ответ: x₀ = 2 при значении параметра b = – 5

Способ 2

Если мы уже знакомы с производными, то можно написать уравнение для касательной к окружности. Анализ функций дает нам подсказку, что касание должно происходить в области, где x > 0 и y < 0, это значит, что функцию можем выразить явно. Это может понадобиться для дальнейшего нахождения производной этой функции. Производная в точке касания будет определять коэффициент наклона касательной.

Данное уравнение совпадает с уравнением касательной в условии задачи. Поэтому, приравняв соответствующие коэффициенты, мы сможем найти как абсциссу касания, так и значения параметра:

Выбираем положительное значение, получаем тот же ответ:

Ответ: x₀ = 2 при значении параметра b = – 5

Общий ответ: точка касания M(2; -1) при значение параметра b = -5

Понравилась заметка ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram

Геометрические задачи, решаемые аналитически при помощи приемов алгебры, являются неотъемлемой частью программы школьного обучения. Кроме логического и пространственного мышления они развивают понимание ключевых взаимосвязей между сущностями окружающего мира и абстракциями, применяемыми людьми для формализации отношений между ними. Нахождение точек пересечения простейших геометрических фигур – один из типов подобных задач.

Предположим, что даны две окружности, заданные своими радиусами R и r, а также координатами их центров — соответственно (x1, y1) и (x2, y2). Требуется вычислить, пересекаются ли эти окружности, и если да, то найти координаты точек пересечения.Для простоты можно предположить, что центр одной из заданных окружностей совпадает с началом координат. Тогда (x1, y1) = (0, 0), а (x2, y2) = (a, b). Также имеет смысл предполагать, что a ≠ 0 и b ≠ 0.

Таким образом, координаты точки (или точек) пересечения окружностей, если они есть, должны удовлетворять системе из двух уравнений:x^2 + y^2 = R^2,
(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2.

После раскрытия скобок уравнения приобретают вид:x^2 + y^2 = R^2,
x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 = r^2.

Теперь первое уравнение можно вычесть из второго. Таким образом, квадраты переменных исчезают, и возникает линейное уравнение: -2ax – 2by = r^2 – R^2 – a^2 – b^2. С его помощью можно выразить y через x:y = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2 – 2ax)/2b.

Если подставить найденное выражение для y в уравнение окружности, задача сводится к решению квадратного уравнения: x^2 + px + q = 0, гдеp = -2a/2b,
q = (r^2 – R^2 – a^2 – b^2)/2b – R^2.

Корни этого уравнения позволят найти координаты точек пересечения окружностей. Если уравнение неразрешимо в действительных числах, то окружности не пересекаются. Если корни совпадают между собой, то окружности касаются друг друга. Если корни различны, то окружности пересекаются.

Если a = 0 или b = 0, то исходные уравнения упрощаются. Например, при b = 0 система уравнений примет вид:x^2 + y2 = R^2,
(x – a)^2 + y^2 = r^2.

После вычитания первого уравнения из второго получается:- 2ax + a^2 = r^2 – R^2.Его решение: x = – (r^2 – R^2 – a2)/2a. Очевидно, что в случае b = 0 центры обеих окружностей лежат на оси абсцисс, и у точек их пересечения будет одинаковая абсцисса.

Это выражение для x можно подставить в первое уравнение окружности и получить квадратное уравнение относительно y. Его корни — ординаты точек пересечения, если таковые существуют. Аналогичным образом находится выражение для y, если a = 0.

Если a = 0 и b = 0, но при этом R ≠ r, то одна из окружностей заведомо находится внутри другой, и точки пересечения отсутствуют. Если же R = r, то окружности совпадают, и точек их пересечения бесконечно много.

Если ни у одной из двух окружностей центр не совпадает с началом координат, то их уравнения будут иметь вид:(x – x1)^2 + (y – y1)^2 = R^2,
(x – x2)^2 + (y – y2)^2 = r^2.Если перейти к новым координатам, получающимся из старых методом параллельного переноса: x′ = x + x1, y′ = y + y1, то эти уравнения приобретают вид:x′^2 + y′^2 = R^2,
(x′ – (x1 + x2))^2 + (y′ – (y1 + y2))^2 = r^2.Задача, таким образом, сводится к предыдущей. Найдя решения для x′ и y′, можно легко вернуться к изначальным координатам, обратив уравнения для параллельного переноса.