Как найти точки пересечения прямых аналитически - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b – A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться в точке, координаты которой являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что

5·2-2·(-3)-16=0⇔0=02·2-5·(-3)-19=0⇔0=0

Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ: заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5·2+3·(-3)-1=0⇔0=07·2-2·(-3)+11=0⇔31=0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М0– это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).

Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Пример 3

Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0. Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:

x-9y+14=05x-2y-16=0⇔x=9y-145x-2y-16=0⇔⇔x=9y-145·9y-14-2y-16=0⇔x=9y-1443y-86=0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9·2-14y=2⇔x=4y=2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M0 (4, 2) является точкой пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Пример 4

Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду. Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:

x=4+9·λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1·(x-4)=9·(y-2)⇔x-9y+14=0

После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что

x-5=y-4-3⇔-3·x=-5·y-4⇔3x-5y+20=0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x-9y+14=03x-5y+20=0⇔x-9y=-143x-5y=-20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆=1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22∆x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22⇒y=∆y∆=2222=1

Ответ: M0 (-5, 1).

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.

Пример 5

Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:

4+9·λ-5=2+λ-4-3

При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.

Ответ: M0 (-5, 1).

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Пример 6

Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

Решение

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3)y=-70=22-72

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n1→=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2→=(2(3+2), -7 – нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254·12-y=2⇔x=12y=-118

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).

Ответ: M0(12, -118).

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b – A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

Решение

Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.

Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0 имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ: (1, -3, 0).

Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Пример 10

Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:

12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Пример 11

Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3=05x-2z=0

Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-3≠0, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

Ответ: (-2, 3, -5).

Источник

В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой. Различение этих случаев и поиск точки пересечения используется, например, в компьютерной графике, при планировании движения^[en] и для обнаружения столкновений.

В трёхмерной евклидовой геометрии, если две прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися и не имеют точек пересечения. Если прямые находятся в одной плоскости, имеется три возможности. Если они совпадают, они имеют бесконечно много общих точек (а именно, все точки на этих прямых). Если прямые различны, но имеют один и тот же наклон, они параллельны и не имеют общих точек. В противном случае они имеют одну точку пересечения.

В неевклидовой геометрии две прямые могут пересекаться в нескольких точках и число непересекающихся с данной прямой других прямых (параллельных) может быть больше единицы.

Пересечение двух прямых[править | править код]

Необходимым условием пересечения двух прямых является принадлежность их одной плоскости, то есть эти прямые не должны быть скрещивающимися. Выполнение этого условия эквивалентно вырожденности тетраэдра, у которого две вершины лежат на одной прямой, а две другие — на другой (т.е. объём этого тетраэдра равен нулю). Алгебраическую форму этого условия можно посмотреть в статье «Проверка скрещенности».

Если заданы по две точки на каждой прямой[править | править код]

Рассмотрим пересечение двух прямых ${displaystyle L_{1},}$ и ${displaystyle L_{2},}$ на плоскости, где прямая ${displaystyle L_{1},}$ определена двумя различными точками ${displaystyle (x_{1},y_{1}),}$ и ${displaystyle (x_{2},y_{2}),}$ , а прямая ${displaystyle L_{2},}$ — различными точками ${displaystyle (x_{3},y_{3}),}$ и ${displaystyle (x_{4},y_{4}),}$ ^[1].

Пересечение прямых ${displaystyle L_{1},}$ и ${displaystyle L_{2},}$ можно найти при помощи определителей.

${displaystyle P_{x}={frac {begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\x_{2}&y_{2}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\x_{4}&y_{4}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}},!qquad P_{y}={frac {begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\x_{2}&y_{2}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\x_{4}&y_{4}end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}{begin{vmatrix}{begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{1}&1\y_{2}&1end{vmatrix}}\\{begin{vmatrix}x_{3}&1\x_{4}&1end{vmatrix}}&{begin{vmatrix}y_{3}&1\y_{4}&1end{vmatrix}}end{vmatrix}}},!}$

Определители можно переписать в виде:

${displaystyle {begin{aligned}(P_{x},P_{y})={bigg (}&{frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},\&{frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}{bigg )}end{aligned}}}$

Заметим, что точка пересечения относится к бесконечным прямым, а не отрезкам между точками, и она может лежать вне отрезков. Если (вместо решения за один шаг) искать решение в терминах кривых Безье первого порядка, то можно проверить параметры этих кривых 0.0 ≤ t ≤ 1.0 и 0.0 ≤ u ≤ 1.0 (t и u — параметры).

Если две прямые параллельны или совпадают, знаменатель обращается в ноль:

${displaystyle (x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})=0.}$

Если прямые очень близки к параллельности (почти параллельны), при вычислении на компьютере могут возникнуть числовые проблемы и распознавание такого условия может потребовать подходящего теста на «неопределённость» для приложения. Более устойчивое и общее решение может быть получено при вращении отрезков таким образом, что один из них станет горизонтальным, а тогда параметрическое решение второй прямой легко получить. При решении необходимо внимательное рассмотрение специальных случаев (параллельность/совпадение прямых, наложение отрезков).

Если заданы уравнения прямых[править | править код]

Координаты и точки пересечения двух невертикальных прямых можно легко найти с помощью следующих подстановок и преобразований.

Предположим, что две прямые имеют уравнения и , где и — угловые коэффициенты прямых, а и — пересечения прямых с осью y. В точке пересечения прямых (если они пересекаются), обе координаты будут совпадать, откуда получаем равенство:

Мы можем преобразовать это равенство с целью выделения ,

а тогда

${displaystyle x={frac {d-c}{a-b}}}$

Чтобы найти координату y, всё что нам нужно, это подставить значение x в одну из формул прямых, например, в первую:

${displaystyle y=a{frac {d-c}{a-b}}+c}$

Отсюда получаем точку пересечения прямых

${displaystyle Pleft({frac {d-c}{a-b}},a{frac {d-c}{a-b}}+cright)=Pleft({frac {d-c}{a-b}},{frac {ad-bc}{a-b}}right)}$

Заметим, что при a = b две прямые параллельны. Если при этом c ≠ d, прямые различны и не имеют пересечений, в противном же случае прямые совпадают ^[2].

Использование однородных координат[править | править код]

При использовании однородных координат точка пересечения двух явно заданных прямых может быть найдена достаточно просто. В 2-мерном пространстве любая точка может быть определена как проекция 3-мерной точки, заданной тройкой . Отображение 3-мерных координат в 2-мерные происходит по формуле . Мы можем преобразовать точки в 2-мерном пространстве в однородные координаты, приравняв третью координату единице — .

Предположим, что мы хотим найти пересечение двух бесконечных прямых в 2-мерном пространстве, которые заданы формулами ${displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}$ и ${displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}$ . Мы можем представить эти две прямые в линейных координатах^[en] как ${displaystyle U_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ и ${displaystyle U_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$ ,

Пересечение двух прямых тогда просто задаётся формулами ^[3]

${displaystyle P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$

Если ${displaystyle c_{p}=0}$ , прямые не пересекаются.

Пересечение n прямых[править | править код]

Существование и выражение пересечения[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В двухмерном пространстве прямые числом больше двух почти достоверно не пересекаются в одной точке. Чтобы определить, пересекаются ли они в одной точке, и, если пересекаются, чтобы найти точку пересечения, запишем i-ое уравнение (i = 1, …,n) как ${displaystyle (a_{i1}quad a_{i2})(xquad y)^{T}=b_{i},}$ и скомпонуем эти уравнения в матричный вид

где i-ая строка n × 2 матрицы A равна ${displaystyle (a_{i1},a_{i2})}$ , w является 2 × 1 вектором (x, y)^T, а i-ый элемент вектора-столбца b равен b_i. Если столбцы матрицы A независимы, ранг матрицы равен 2. Тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы^[en] [A | b ] равен также 2, существует решение матричного уравнения, а тогда существует и точка пересечения n прямых. Точка пересечения, если таковая существует, задаётся формулой

${displaystyle w=A^{g}b=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b,}$

где ${displaystyle A^{g}}$ — псевдообратная матрица матрицы . Альтернативно решение может быть найдено путём решения любых двух независимых уравнений. Но если ранг матрицы A равен 1, а ранг расширенной матрицы равен 2, решений нет. В случае же, когда ранг расширенной матрицы равен 1, все прямые совпадают.

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Представленный выше подход без труда распространяется на трёхмерное пространство. В трёхмерном и более высоких пространствах даже две прямые почти наверняка не пересекаются. Пары непараллельных непересекающихся прямых называются скрещивающимися. Но когда пересечение существует, его можно найти следующим образом.

В трёхмерном пространстве прямая представляется пересечением двух плоскостей, каждая из которых задаётся формулой ${displaystyle (a_{i1}quad a_{i2}quad a_{i3})(xquad yquad z)^{T}=b_{i}.}$ Тогда множество n прямых может быть представлено в виде 2n уравнений от 3-мерного координатного вектора w = (x, y, z)^T:

где A — матрица 2n × 3, а b — 2n × 1. Как и ранее, единственная точка пересечения существует тогда и только тогда, когда A имеет полный ранг по столбцам, а расширенная матрица [A | b ] таковой не является. Единственная точка пересечения, если существует, задаётся формулой

${displaystyle w=(A^{T}A)^{-1}A^{T}b.}$

Ближайшая точка к непересекающимся прямым[править | править код]

В размерностях два и выше можно найти точку, которая является ближайшей к этим двум (или более) прямым в смысле наименьшей суммы квадратов.

В двухмерном пространстве[править | править код]

В случае двухмерного пространства представим прямую i как точку $p_{i}$ на прямой и единичную нормаль ${displaystyle {hat {n}}_{i}}$ , перпендикулярную прямой. То есть, если $x_{1}$ и $x_{2}$ — точки на прямой 1, то пусть ${displaystyle p_{1}=x_{1}}$ и

${displaystyle {hat {n}}_{1}:={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}(x_{2}-x_{1})/|x_{2}-x_{1}|}$

который является единичным вектором вдоль прямой, повёрнутым на 90º.

Заметим, что расстояние от точки x до прямой задаётся формулой

${displaystyle d(x,(p,n))=|(x-p)cdot {hat {n}}|=|(x-p)^{top }{hat {n}}|={sqrt {(x-p)^{top }{hat {n}}{hat {n}}^{top }(x-p)}}.}$

Следовательно, квадрат расстояния от x до прямой равен

${displaystyle d(x,(p,n))^{2}=(x-p)^{top }({hat {n}}{hat {n}}^{top })(x-p).}$

Сумма квадратов расстояний до набора прямых является целевой функцией:

${displaystyle E(x)=sum _{i}(x-p_{i})^{top }({hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top })(x-p_{i}).}$

Выражение можно преобразовать:

${displaystyle {begin{aligned}E(x)&=sum _{i}x^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }x-x^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}-p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }x+p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}\&=x^{top }left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x-2x^{top }left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right)+sum _{i}p_{i}^{top }{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}.end{aligned}}}$

Чтобы найти минимум, продифференцируем по x и приравняем результат нулю:

${displaystyle {frac {partial E(x)}{partial x}}=0=2left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x-2left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right)}$

Таким образом,

${displaystyle left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)x=sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}}$

откуда

${displaystyle x=left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }right)^{-1}left(sum _{i}{hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }p_{i}right).}$

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Хотя в размерностях выше двух нормаль ${displaystyle {hat {n}}_{i}}$ не определить, его можно обобщить на любую размерность, если заметить, что ${displaystyle {hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }}$ является просто (симметричной) матрицей со всеми собственными значениями, равными единице, кроме нулевого собственного значения в направлении прямой, что задаёт полунорму между точкой $p_{i}$ и другой точкой. В пространстве любой размерности, если ${displaystyle {hat {v}}_{i}}$ является единичным вектором вдоль i-ой прямой, то

${displaystyle {hat {n}}_{i}{hat {n}}_{i}^{top }}$

превращается в ${displaystyle E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top }}$

где E — единичная матрица, а тогда

${displaystyle x=left(sum _{i}E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top }right)^{-1}left(sum _{i}(E-{hat {v}}_{i}{hat {v}}_{i}^{top })p_{i}right).}$

См. также[править | править код]

Пересечение отрезков
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Аксиома параллельности Евклида

Примечания[править | править код]

↑ Weisstein, Eric W. “Line-Line Intersection.” From MathWorld. A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 10 января 2008. Архивировано 10 октября 2007 года.
↑ Похожие выкладки можно найти в книге Делоне и Райкова (стр. 202-203)
↑ Homogeneous coordinates. robotics.stanford.edu. Дата обращения: 18 августа 2015. Архивировано 23 августа 2015 года.

Литература[править | править код]

Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. Аналитическая геометрия. — М., Л.: ОГИЗ, Государственнон издательство технико-теоретической литературы, 1948. — Т. 1.

Ссылки[править | править код]

Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach, applicable to two, three, or more dimensions.

Источник

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Методы решения. Существует два метода решения плоских задач на определение координат точки пересечения прямых:

графический
аналитический

Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2x – 1 и y = -3x + 1.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x – 1
y = -3x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y – y = 2x – 1 – (-3x + 1)
y = -3x + 1
=>

0 = 5x – 2
y = -3x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5x = 2
y = -3x + 1
=>

x = 25 = 0.4
y = -3x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4
y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2x – 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x – 1
x = 2t + 1
y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2t + 1) – 1
x = 2t + 1
y = t
=>

t = 4t + 1
x = 2t + 1
y = t
=>

-3t = 1
x = 2t + 1
y = t
=>

t = -13
x = 2t + 1
y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = -13
x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13
y = -13

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (13, -13)

Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2x + 3y = 0 и x – 23 = y4.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2x + 3y = 0
x – 23 = y4

Из второго уравнения выразим y через x

2x + 3y = 0
y = 4·x – 23

Подставим y в первое уравнение

2x + 3·4·x – 23 = 0
y = 4·x – 23
=>

2x + 4·(x – 2) = 0
y = 4·x – 23
=>

2x + 4x – 8 = 0
y = 4·x – 23
=>

6x = 8
y = 4·x – 23
=>

x = 86 = 43
y = 4·x – 23
=>

x = 86 = 43
y = 4·4/3 – 23 = 4·-2/3 3 = -89

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (43, -89)

Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2x – 1 и y = 2x + 1.

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k₁ = k₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2x – 1
y = 2x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y – y = 2x – 1 – (2x + 1)
y = -3x + 1
=>

0 = -2
y = -3x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений – отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3x – 2.

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

1 = 1

1 = 3·1 – 2 = 1

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N – точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Пример 6. Найти точку пересечения прямых x – 1 = y – 1 = z – 1 и x – 3-2 = 2 – y = z.

Решение: Составим систему уравнений

x – 1 = a
y – 1 = a
z – 1 = a
x – 3-2 = b
2 – y = b
z = b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
x – 3-2 = b
2 – y = b
z = b

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a + 1 – 3-2 = b
2 – (a + 1) = b
a + 1 = b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = b
1 – a = b
a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = b
1 – a = b
a + 1 + (1 – a) = b + b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = b
1 – a = b
b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2-2 = 1
1 – a = 1
b = 1

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a – 2 = -2
a = 0
b = 1

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a = 0
a = 0
b = 1

x = 0 + 1 = 1
y = 0 + 1 = 1
z = 0 + 1 = 1
a = 0
a = 0
b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых
x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
и
x = t + 1
y = 3t – 2
z = 3
.

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
x = a + 1
y = 3a – 2
z = 3

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
2t – 3 = a + 1
t = 3a – 2
–t + 2 = 3

x = 2t – 3
y = t
z = –t + 2
2t = a + 4
t = 3a – 2
t = -1

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) – 3
y = (-1)
z = -(-1) + 2
2·(-1) = a + 4
-1 = 3a – 2
t = -1

x = -5
y = -1
z = 3
a = -6
a = 13
t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 13, то прямые не пересекаются.

Источник

Пусть заданы прямые
l₁:

и l₂:
.
Тогда для того чтобы l₁||l₂
(l₁l₂),
необходимо и достаточно, чтобы

.

4.
Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку

в заданном направлении ()

(4)

5.
Положение
прямой на плоскости однозначно определено
также и в том случае, если известны две
точки
,
через которые проходит прямая. Пусть

– произвольная точка прямой. Тогда
векторы

и

коллинеарны, то есть выполняется
равенство

(5)

Уравнение (5)
определяет прямую, проходящую через
две точки
.

6.
Положение прямой на плоскости однозначно
определено, если задана некоторая точка
на этой прямой и так называемый
направляющий
вектор,
принадлежащей прямой, параллельной
данной. Пусть

– некоторая точка прямой l,

– ее направляющий вектор. Пусть

– произвольная точка прямой. Тогда
векторы
,

коллинеарны, и выполняется равенство
=,
где 
– некоторое действительное число, а
также равенства
,
;
следовательно, и
.
Уравнение

(6)

определяет прямую,
проходящую через известную точку
,
параллельную направляющему вектору
,
и называется каноническим
уравнением прямой
l.

Замечание.
Уравнение (6) может быть получено из
уравнения (5), если в последнем вектор

принять за направляющий вектор.

Расстояние от
точки до прямой

Пусть
заданы точка

и прямая l:
.
Тогда расстояние от точки M до прямой l
(т.е. длина перпендикуляра, опущенного
из точки M на прямую l) определяется из
следующего соотношения:

.
(7)

Взаиморасположение
двух прямых

Пусть заданы прямые
уравнениями

l₁: , l₂: , .	l₁: l₂: .
Угол между прямыми
Равен углу между нормальными векторами данных прямых	и , угол между прямыми можно определить как тангенс разности двух углов Если нужно вычислить острый угол между прямыми l₁ и l₂., то
Условие параллельности прямых l₁\|\|l₂
, т.к. их нормальные вектора параллельны	, так как углы наклона прямых к оси равны.
Условие перпендикулярности прямых l₁l₂
, так как нормальные векторы данных прямых взаимно перпендикулярны	, вытекает из того, что не существует, т.е.
Точка пересечения прямых и аналитически находится путем решения системы уравнений, определяющих эти прямые

Пример

Даны прямые l₁:

и
l₂:

.

А) найти аналитически
и графически координаты точки
пересечения
прямых l₁
и l₂

Б) проверить
принадлежит ли точка пересечения прямых
и

прямым

и
;

В) найти угол между
прямыми
и
.

Решение:

А) Для нахождения
точки пересечения двух прямых необходимо
составить систему уравнений, описывающих
данные прямые. Систему уравнений можно
решать разными способами, например,
методом Гаусса:

2 получаем

Сложим оба уравнения,
получим
,
откуда

или
.

Подставив

в любое из уравнений системы, получим
.

Второй способ
решения полученной системы уравнений:
можно выделить

в каждом из уравнений
:
и
:
,
а затем приравнять правые части
,
умножим на 2 обе части уравнения
,
откуда

или
.
Подставив

в любое из уравнений прямых, получим
.

Итак,
точка
пересечения прямых
и
.

Для того чтобы
решить задачу графически, надо прямые
и

построить на координатной плоскости.
Так как через две точки можно провести
только одну прямую, найдем по две точки,
принадлежащие прямым
и
.

Для прямой

найдем точки пересечения ее с осями
координат:

Пусть
,
тогда

или
.

Таким образом,
имеем две точки

и
.

Для прямой

найдем две произвольные точки, задавая
произвольные значения одной из переменных,
причем желательно задавать такое целое
значение одной переменной, чтобы для
точности построения вторая переменная
имела также целые значения.

Пусть
,
тогда
,
то есть
.

аким образом, имеем две точки

и
.

Рис. 3

з чертежа видим, что точка пересечения
данных прямых
,
то есть данное решение совпадает с
аналитическим.

Б) Для того чтобы
проверить, проходит ли прямая через
данную точку, достаточно подставить
координаты этой точки в уравнение прямой
и убедиться, что уравнение обращается
в тождество.

В уравнение прямой
:

подставим координаты точки
,
получим
,
откуда
,
что неверно; значит, точка

не принадлежит прямой
.

В уравнение прямой
:

координаты точки
,
получим

откуда
,
это верно; значит, точка

принадлежит прямой
.

В) Для нахождения
угла 
между прямыми
и

воспользуемся формулой:

В первом случае

или

,
откуда

Во втором случае
.
В данном случае необходимо знать угловые
коэффициенты прямых
и
.

l₁:

, следовательно,
,
то есть

l₂:

,
следовательно,
,
то есть

,
откуда
.

При решении
контрольной работы угол 
достаточно найти одним способом.

Пример

Даны точки,
,
.
Составить уравнения прямых:

А)

– проходящей через точки
,
;

Б)

– проходящей через точку
перпендикулярно
вектору
;

В)
–
проходящей через точку

параллельно прямой
;

Г)

– проходящей через точку

перпендикулярно прямой
.

Решение:

А) Для составления
прямой, проходящей через две заданные
точки, воспользуемся формулой:
.
В нашем случае

или
,
откуда

или
.

Построим прямую

по точке пересечения с осями координат.
Убедитесь, что построенная прямая
проходит через точки
,
(для
этого подставьте координаты данных
точек в уравнение прямой и получите
верные равенства).

	0	4
	2	0

Б) Для составления
уравнения прямой

воспользуемся уравнением прямой в виде
.

Найдем

Так как
,
то за нормальный вектор прямой можем
взять
,
тогда

имеет уравнение
или
.

Построим прямую

по любым двум точкам, удовлетворяющим
полученному уравнению прямой.

	0	-3
	-1	5

В) Для составления
уравнения прямой

воспользуемся условием параллельности
прямых
||,то
есть
=1,
то есть у параллельных прямых нормальные
векторы могут быть равны (а не только
пропорциональны).

Таким образом, все
прямые, имеющие вид
,
параллельны прямой
,
которая имеет уравнение
.

Подставив в
уравнение координаты точки
,
найдем с:
,
откуда
.
Получаем уравнение прямой
:
.

Построим прямую

,
найдя
любые две точки, удовлетворяющие
уравнению
.

	0	3
	5	-1

Г)
Составить уравнение

– проходящей через точку

перпендикулярно прямой
.
Найдем угловой коэффициент прямой
,
а затем воспользуемся условием
перпендикулярности прямых

и уравнением
.
Для этого в уравнении
:

уединим переменную

в левой части
.

Коэффициент перед
переменной

есть угловой коэффициент прямой
.
Из условия перпендикулярности прямых
имеем
.
Тогда

имеет уравнение
.
Умножим обе части уравнения на 2, получим

или уравнение прямой

в общем виде
.

Построим прямую

по уравнению, отыскав точки пересечения
с осями координат.

	0	-8
	4	0

§ 2. Кривые второго
порядка на плоскости

Кривыми
второго порядка
называются линии, уравнения которых
могут быть записаны следующим образом:

где коэффициентыи

не могут быть равны нулю одновременно.

Соседние файлы в папке Высшая математика

Источник

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых (“канонический” или “параметрический” ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

Содержание
1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

(1)

(2)

где M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) − точки, лежащие на прямых L₁ и L₂, соответственно, а q₁={m₁, p₁, l₁} и q₂={m₂, p₂, l₂} − направляющие векторы прямых L₁ и L₂, соответственно.

Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂ (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L₁ и L₂ не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L₁ и L₂ совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L₁ и L₂ .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ в параметрическом виде:

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и L₂ можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L₁ и L₂ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L₂ к каноническому виду:

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L₁ и L₂ решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂:

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Запишем решение:

Ответ. Точка пересечения прямых L₁ и L₂ имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂:

Приведем параметрическое уравнение прямой L₁ к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa₃₃. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L₁ и L₂ не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L₁ имеет направляющий вектор q₁={2,6,7}, а прямая L₂ имеет направляющий вектор q₂={3,1,1}. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ скрещиваются .

Ответ. Прямые L₁ и L₂ не пересекаются.

Источник

Точка пересечения двух прямых – определение

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Пересечение двух прямых[править | править код]

Если заданы по две точки на каждой прямой[править | править код]

Если заданы уравнения прямых[править | править код]

Использование однородных координат[править | править код]

Пересечение n прямых[править | править код]

Существование и выражение пересечения[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В трёхмерном пространстве[править | править код]

Ближайшая точка к непересекающимся прямым[править | править код]

В двухмерном пространстве[править | править код]

В трёхмерном пространстве[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Вам также может понравиться

Как найти издержки обращения по формуле

Как найти хорошего гомеопата

Как найти лимонадную стойку

Добавить комментарий Отменить ответ