Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Пример 1
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
$5x = x- 2$;
$4x = -2$;
$x=-frac{1}{2}$
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-frac{1}{2} – 2 = – 2frac12$.
Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
Бесплатное пробное занятие
*количество мест ограничено
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Пример 2
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Составим систему:
$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;
$2x^2 – 3x – 2 = 0$.
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.
Третий способ
«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» 👇
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Пример 3
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023
Точки пересечения графиков функций
В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.
График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)), координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)
Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.
Как найти координаты, примеры решения
Существует несколько способов решения подобных задач:
- Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
- Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
- Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.
В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:
(f(x) = k_1 x+m_1)
(g(x) = k_2 x + m_2)
Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)). Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.
Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2). В противном случае (k_1=k_2), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.
Задача № 1
Имеются функции: (f(x) = 2x-5)
(g(x)=x+3)
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.
Решение
В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:
(k_1 = 2)
(k_2 = 1)
Заметим, что:
(k_1 neq k_2)
По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:
(f(x)=g(x))
(2x-5 = x+3)
Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные – в правую:
(2x – x = 3+5)
(x = 8)
В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)), либо в (g(x)):
(f(8) = 2cdot 8 – 5 = 16 – 5 = 11)
Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.
Ответ: M (8;11)
Задача № 2
Записаны две функции: (f(x)=2x-1)
(g(x) = 2x-4.)
Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.
Решение
Угловые коэффициенты:
(k_1 = k_2 = 2)
Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.
Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.
Задача № 3
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)
(g(x)=x^2+1)
Решение
В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:
(x^2-2x+1=x^2+1)
Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:
(x^2-2x-x^2=1-1)
(-2x=0)
(x=0)
Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:
(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)
M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.
Ответ: M (0;1)
Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней
Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.
Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:
- раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
- перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
- математические преобразования;
- определение корня.
Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:
- разложение на множители;
- выделение полного квадрата;
- поиск дискриминанта;
- теорема Виета.
В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.
Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:
((-S)^2-4PU)
В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.
Квадратные уравнения решают таким образом:
- выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
- выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
- проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.
Примечание
Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.
Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:
- понижение степени, то есть разложение на множители;
- замена переменной.
Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:
- выполнение математических преобразований;
- выражение переменной через другую;
- решение квадратного или линейного уравнения;
- подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
- вычисление искомых корней;
- проверка;
- исключение ложных решений;
- запись ответа.
Путем составления системы уравнений
Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:
Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.
Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:
Решение будет иметь следующий вид:
Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.
Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:
Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).
В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:
- система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
- решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
- система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.
При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.
В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:
Решение имеет следующий вид:
График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).
Ответ: (0; 1); (-1; 0).
Можно решить систему графическим способом:
В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).
Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).
В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:
Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.
Далее необходимо построить график функции:
График будет являться ломанной:
Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:
При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:
Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)
Нахождение через графическое построений функций
Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:
(f1(x)=f2(x))
Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.
Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.
В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:
(y1=k1x+b1)
(y2=k2x+b2)
Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:
(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)
После преобразований получится, что:
(k1x-k2x=b2-b1.)
Далее нужно выразить x:
(x=(b2-b1)/(k1-k2).)
При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:
(((b2-b1)/(k1-k2); k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2))
График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.
С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:
В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0). Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0). В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0), откуда и находим (x=-b/a). В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)
При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)), график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.
Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.
Координаты точки пересечения графиков функций
Как найти?
- Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
- Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
- Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.
Случай двух линейных функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ – это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
| Пример 1 |
| Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций. |
| Решение |
|
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую: $$ 2x – x = 3+5 $$ $$ x = 8 $$ Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $: $$ f(8) = 2cdot 8 – 5 = 16 – 5 = 11 $$ Итак, $ M (8;11) $ – является точкой пересечения графиков двух линейных функций. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M (8;11) $$ |
| Пример 2 |
| Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций. |
| Решение |
| Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения! |
| Ответы |
| Графики функций параллельны, нет точек пересечения. |
Случай двух нелинейных функций
| Пример 3 |
| Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $ |
| Решение |
|
Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ $$ -2x=0 $$ $$ x=0 $$ Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например: $$ f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ – точка пересечения графиков функций |
| Ответ |
| $$ M (0;1) $$ |
Содержание материала
- Мой способ
- Собираем воедино
- Видео
- Как найти координаты, примеры решения
- Случай двух линейных функций
- Найти точку пересечения графиков линейных функций — Науколандия
- Третий способ
- Готовые работы на аналогичную тему
- Методики нахождения точек
- Первой и второй степени
- Кубические и биквадратные
- Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве
Мой способ
Собираем воедино
Как найти координаты, примеры решения
Существует несколько способов решения подобных задач:
- Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
- Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
- Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.
В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:
(f(x) = k_1 x+m_1)
(g(x) = k_2 x + m_2)
Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)). Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.
Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2). В противном случае (k_1=k_2), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.
Задача № 1
Имеются функции: (f(x) = 2x-5)
(g(x)=x+3)
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.
Решение
В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:
(k_1 = 2)
(k_2 = 1)
Заметим, что:
(k_1 neq k_2)
По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:
(f(x)=g(x))
(2x-5 = x+3)
Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:
(2x — x = 3+5)
(x = 8)
В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)), либо в (g(x)):
(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)
Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.
Ответ: M (8;11)
Задача № 2
Записаны две функции: (f(x)=2x-1)
(g(x) = 2x-4.)
Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.
Решение
Угловые коэффициенты:
(k_1 = k_2 = 2)
Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.
Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.
Задача № 3
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)
(g(x)=x^2+1)
Решение
В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:
(x^2-2x+1=x^2+1)
Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:
(x^2-2x-x^2=1-1)
(-2x=0)
(x=0)
Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:
(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)
M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.
Ответ: M (0;1)
Видео
Случай двух линейных функций
Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.
Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ — это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.
| Пример 1 |
| Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций. |
| Решение |
|
Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую: $$ 2x — x = 3+5 $$ $$ x = 8 $$ Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $: $$ f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11 $$ Итак, $ M (8;11) $ — является точкой пересечения графиков двух линейных функций. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ M (8;11) $$ |
| Пример 2 |
| Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций. |
| Решение |
| Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения! |
| Ответы |
| Графики функций параллельны, нет точек пересечения. |
Найти точку пересечения графиков линейных функций — Науколандия
Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.
Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент (k) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m, угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.
Если две линейные функции имеют различные k, но одинаковые m, то они пересекаются в точке (0; m). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k, y становится равен m. Пример: y = –1.3x + 8 и y = 2.1x + 8.
Если две линейные функции имеют различные и k и m, то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y. Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x. Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.
Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y. Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x, при котором это равенство верно. А далее, имея x, можно вычислить y, через любую из функций. Пример:Даны y = 4x – 5 и y = –2x + 14x – 5 = –2x + 14x + 2x = 1 + 56x = 6x = 1y = 4 * 1 – 5 = –1 или y = –2 * 1 + 1 = –1
Таким образом точка пересечения (1; –1).
Третий способ
Готовые работы на аналогичную тему
Курсовая работа Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения 410 ₽ Реферат Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения 240 ₽ Контрольная работа Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения 230 ₽
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Методики нахождения точек
Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.
Первой и второй степени
Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:
- Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
- Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.
- Произвести необходимые математические преобразования.
- Найти корень.
Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:
- Разложить на множители.
- Выделить полный квадрат.
- Найти дискриминант.
- По теореме Виета.
Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).
Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.
Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными вообще не имеет решений. Определить значение корней возможно по таким соотношениям: t1=[-S-(Д)^(1/2)]/2P и t2=[-S+(Д)^(1/2)]/2P, где t1 и t2 — точки пересечения с осью абсцисс.
Если коэффициент при второй степени (P) эквивалентен 1, то дискриминант можно не высчитывать, а воспользоваться сокращенным вариантом решения — теоремой Виета. Суть ее заключается в подборе корней по таким формулам: t1+t2=-S и t1*t2=U. Иногда для реализации этой методики нужно сократить обе части на коэффициент Р. Алгоритм решения квадратных уравнений имеет следующий вид:
- Выполнить при необходимости различные алгебраические преобразования (раскрыть скобки и привести подобные слагаемые).
- Выбрать один из способов решения и реализовать его.
- Проверить корни, подставив их в исходное выражение.
Следует отметить, что распространенная ошибка новичков — отсутствие проверки. В результате неправильных действий образуются ложные корни, а оценка на контрольной, зачете или экзамене существенно снижается.
Кубические и биквадратные
Решение тождеств кубического и биквадратного типов с неизвестными осуществляется двумя способами. К ним относятся:
- Понижение степени (разложение на множители).
- Замена переменной.
В первом случае необходимо выполнить преобразования, которые позволят применить одну из формул сокращенного умножения. Однако этот метод применяется довольно редко, поскольку математики отдают предпочтение второму способу. Для его реализации вводится дополнительная переменная, обладающая более низкой степенью и существенно упрощающая выражение. Алгоритм имеет такой вид:
- Выполняются необходимые математические преобразования.
- Выражается переменная через другую.
- Решается квадратное или линейное уравнение.
- Промежуточные корни, полученные в третьем пункте алгоритма, подставляются во второй.
- Вычисляются искомые корни.
- Осуществляется проверка.
- Отсеиваются ложные решения, и записывается ответ.
Для проверки рекомендуется воспользоваться онлайн-приложениями, позволяющими вычислить корни, а также построить графики функций. Кроме того, для кубического многочлена Pt 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:
- Уравнение требуется разделить на P.
- Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
- Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S 3 -9PSU+27(P 2 )V] / (27P 3 ) и l=[(3PU-S 2 )/(3P 2 )]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.
Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.
Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве
Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.
Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=A2x+B2y+C2z+D1= а прямая b — A3x+B3y+C3z+D3=A4x+B4y+C4z+D4=.
Когда точка М является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:
A1x+B1y+C1z+D1=A2x+B2y+C2z+D2=A3x+B3y+C3z+D3=A4x+B4y+C4z+D4=
Рассмотрим подобные задания на примерах.
Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=y+2z+3= и 3x+2y+3=4x-2z-4=
Решение
Составляем систему x-1=y+2z+3=3x+2y+3=4x-2z-4= и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида A=112324-2 и расширенную T=1112-34-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.
Получаем, что
1=1≠, 11=1≠, 11232=-4≠, 1112-332-34-24=
Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений x-1=y+2z+3=3x+2y+3=4x-27-4= в результате дает только одно решение.
Базисный минор имеет определитель 11232=-4≠, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=y+2z+3=3x+2y+3=4x-2z-4=⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 . Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=y=-3.
Значит, имеем, что точка пересечения x-1=y+2z+3= и 3x+2y+3=4x-2z-4= имеет координаты (1, -3, ).
Ответ: (1, -3, ).
Система вида A1x+B1y+C1z+D1=A2x+B2y+C2z+D2=A3x+B3y+C3z+D3=A4x+B4y+C4z+D4= имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.
В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.
Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=A2x+B2y+C2z+D2=A3x+B3y+C3z+D3=A4x+B4y+C4z+D4= решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.
Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.
Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=2x-y+5= и x-3z=3x-2y+2z-1=. Найти точку пересечения.
Решение
Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=2x-y+5=x-3z=3x-2y+2z-1= . решаем ее методом Гаусса:
12-342-1-51-33-221~12-34-56-13-2-4-811-11~~12-34-56-13-1256575-1595~12-34-56-13-1256531110
Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.
Ответ: нет точки пересечения.
Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.
Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-3=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.
Решение
Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что
x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=3x+z+11=x2=y-3=z5⇔y-3=x2=z5⇔y-3=5x-2z=
Находим координаты 3x-y+9=3x+z+11=y-3=5x-2z=, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-1311=-3≠, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что
3x-y+9=3x+z+11=y-3=5x-2z=⇔3x-y+9=3x+z+11=y-3=
Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).
Ответ: (-2, 3, -5).
Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги
Теги
Точки пересечения функций
Примеры кривых
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^2
- – возведение в квадрат
- x^3
- – возведение в куб
- x^5
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x – 6
- – вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- – число Пи
- e
- – основание натурального логарифма
- i
- – комплексное число
- oo
- – символ бесконечности
