Как найти точки пересечения с осями абсцисс

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось

в двух точках, а ось

– в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции

с осью
. Сразу отметим, что в этих точках координата
. Поэтому для их поиска, нам нужно
решить уравнение:

Это
квадратное уравнение
имеет два корня:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс:

и
. Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью

эквивалентна задаче нахождения
нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата
. Поэтому для их поиска, просто подставляем значение

в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат
.

Точки пересечения графика осями

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке ( -b/k ; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a ∙ 0²+b ∙ 0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Пересечение с осями онлайн

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.

Найти точки пересечения функции с осями координат:

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось – в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac<1> <2>– 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac<1> <2>= frac<1><2>$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.

Третий способ

Готовые работы на аналогичную тему

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.05.2021

[spoiler title=”источники:”]

http://mathforyou.net/online/calculus/intercepts/

http://spravochnick.ru/matematika/kak_nayti_koordinaty_tochek_peresecheniya_grafika_funkcii_primery_resheniya/

[/spoiler]

Для
того, чтобы найти точки пересечения
графика функции

с осью абсцисс,

(нули функции), нужно решить систему:

Аналогично с осью ординат,

:

Найти точки пересечения графика функции
с осями координат

3.1

 С осью OX:

Получили точку

.

С осью OY:

Получили точку

3.2

 С осью OX:

Получили точки:

.

С осью OY:

Получили точку

4.3

 С осью ОХ:

Получили точку

С осью OY: точка

не входит в область определения, значит
график функции ось OY не
пересекает

4 Промежутки знакопостоянства функции. Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.Ч. И на бесконечности

Промежутки знакопостоянства функции
разделяют точки пересечения графика
функции с осью абсцисс и точки разрыва
функции.

Если эти точки изобразить на оси ОХ,
то на каждом из полученных интервалов
функция сохраняет свой знак.

Для того чтобы выяснить, какие значения
принимает функция на каждом интервале,
нужно взять любое число из интервала,
подставить в формулу, которой задается
функция и найти значение.

Если функция принимает положительные
значения на промежутке, то ее график на
этом промежутке располагается над осью
абсцисс, если отрицательные – под осью
абсцисс.

Исследование поведения функции на
концах промежутков знакопостоянства,
проводится с помощьютеории пределов.
Рассмотрим на конкретных примерах

Указать промежутки знакопостоянства
функций. Исследовать поведение функции
на концах промежутков знакопостоянства,
в т.ч. на бесконечности

4.1

 Функция обращается в нуль при

и терпит разрыв при

.
Наносим эти точки на ось ОХ:

В каждом из интервалов она сохраняет
определенный знак, а именно

Так как функция

нечетная (3.1), то на симметричных интервалах
знак меняется на противоположный.

Вывод На интервалах:

и

график функции проходит над осью ОХ,
а на интервалах

и

под осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на
концах промежутков знакопостоянства
вычислим следующие пределы:

4.2



По аналитическому заданию функции
можно определить, что

,
т.е. график функции проходит только над
осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на
концах промежутков знакопостоянства
вычислим следующие пределы:

;

Обратите внимание, что в точке

поведение
функции исследуется отлько справа, т.к.
слева функция неопределенна

4.3


Имеем
(4.3)

и

.

,

.

Вывод. На интервалах:

и

график функции проходит над осью ОХ,
на интервале

под осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на
концах промежутков знакопостоянства

(данная функция в точке

определена только слева, а в точке

только справа) вычислим следующие
пределы:

,

.

Вывод:
–
левосторонняя вертикальная асимптота,

–
правосторонняя вертикальная асимптота.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Пример 2

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Составим систему:

$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» 👇

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Пример 3

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023