Как найти точки разрыва функции в точке

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

• первый род;
• второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

• Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

• Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.
• Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Содержание:

• Определение точки разрыва
• Точка разрыва первого рода
• Точка разрыва второго рода
• Точка устранимого разрыва
• Примеры решения задач

Определение точки разрыва

Точка разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва

Примеры решения задач

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Содержание:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. По стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке

2. Точка называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции f(x) в точке

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

Пример №32

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения При х=0 функция

не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как то х=0 – точка устранимого разрыва.

Если положить f(0)=0, то функция будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения и х=2 – точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то х=2 -точка разрыва второго рода.

Пример №33

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции – вся числовая прямая: Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Исследуем точку

Так как – точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен

Исследуем точку

Поскольку то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех

Построим график функции.

——

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка  будет точкой разрыва функции  если выполняется одно из условий:

1. функция в точке  не определена;
2. не существует предела функции в точке  или он равен бесконечности;
3. предел функции в точке  не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений  только справа или слева от точки  Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Обозначают:

Точку  называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку  называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке  — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку  называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Пример №522

Найдите точки разрыва функции  и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является  Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

 Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому  — точка разрыва второго рода.

Пример №523

Исследуйте функцию  на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов  функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой  то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Если  слева, то функция имеет вид

  а при  справа  Следовательно,  — точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая  называется вертикальной асимптотой кривой, если при  (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Например, ось  является вертикальной асимптотой для графиков функций  (см. рис. 17, б) и  (см. рис. 33).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №524

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Решение:

Поскольку функция не определена в точке  то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Следовательно,  вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если  — вертикальная асимптота функции  — точка разрыва второго рода.

Пример №525

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве 

а) Функция  не определена в точке  следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку  является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.

б) Функция  не определена в точке  эта точка является точкой разрыва. Поскольку  то  является точкой разрыва второго рода.

Пример №526

Заданные функции до определить в точке  так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Решение:

а) Имеем  Положив  получим, что  т.е. функция непрерывна в точке  Итак, 

б) Вычислим предел заданной функции в точке  Имеем:

Если теперь за значение функции в точке  взять число  , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак, 

Пример №527

Имеет ли уравнение  хотя бы один действительный корень на отрезке 

Рассмотрим функцию  Эта функция непрерывна на отрезке  и на его концах приобретает различные по знаку значения:  Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка  в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №528

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая 

Решение:

1) Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке  Поскольку  то прямая  — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Горизонтальных асимптот нет.

Точки разрыва функции

Как найти точки разрыва функции — пошаговая инструкция

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Точки разрыва функции онлайн

Функция является непрерывной в некоторой точке , если выполняются следующие условия:

Т.е. предел функции при стремлении (слева), равен пределу функции при стремлении (справа) и равен значению функции в точке .

Если хотя бы одно из условий нарушается, тогда говорят, что функция имеет разрыв в точке .

Все точки разрыва функции делят на точки разрыва первого рода и точки разрыва второго рода.

Eсли существуют конечные односторонние пределы и , тогда точка называется точкой разрыва первого рода.

Точки разрыва первого рода в свою очередь подразделяются на точки устранимого разрыва и скачки.

Если – является точкой разрыва первого рода и при этом , точка называется точкой устранимого разрыва.

График соответствующей функции приведён на рисунке ниже:

Eсли же , тогда в точке . происходит скачок функции Величина скачка определяется по формуле . Соответствующий график приведён на рисунке:

Если хотя бы один из пределов или равен , точка называется точкой разрыва второго рода. Пример соответствующего графика функции представлен на рисунке ниже:

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha вычисляет точки разрыва заданной функции с описанием подробного хода решения.

Точки разрыва функции — алгоритмы и примеры решения

Нахождение точек разрыва функции является одним из важнейших элементов исследования в математическом анализе. Многие студенты используют для пополнения своих знаний информацию из интернета, однако даже не подозревают, что она может быть недостоверной. Чтобы избежать неприятных последствий, следует решать по методике, которую рекомендуют специалисты, а также обладать определенными базовыми знаниям.

Общие сведения

Функцией называется зависимость одной переменной от другой. Если записать ее в виде равенства w = f (p), то величина «w» зависит от «р». Первая называется значением функциональной зависимости, а вторая — ее аргументом. Последний может принимать любые значения, кроме превращающих «w» в пустое множество. Примером является выражение w = [(p — 2)(p + 7)] / (p 2 — 1). При значениях р1 = -1 и р2 = 1 получается пустое множество, поскольку на нуль делить нельзя.

Когда математики говорят, что нужно произвести исследование функции на непрерывность, т. е. необходимо найти точки разрыва первого и второго рода. Если же таковых нет, то данное утверждение следует доказать математическим методом.

Непрерывной называется функция, которая не имеет точек разрыва, и меняется без существенных скачков в некоторых точках или промежутках, т. е. обладает определенным знакопостоянством. Это свойство определяется при помощи метода, представляющего совокупность математических преобразований. Последние основываются на теоремах. Они позволяют доказать существование или отсутствие точек и интервалов разрыва графика функции.

Базовые знания

Базовые знания — совокупность навыков, необходимых для решения какой-либо задачи. Для нахождения точек разрыва необходимы такие знания:

• Область определения — D.
• Решение уравнений.
• Нахождение пределов при известных значениях левосторонней и правосторонней границ.
• Классификация точек разрыва.

Когда список сформирован, тогда необходимо приступать к изучению материала. После полного понимания первого пункта необходимо переходить к последующему. Все пять элементов связаны между собой. Специалисты рекомендуют не заучивать наизусть понятия и термины, а понимать их.

Область определения

Областью определения некоторой функции w = f (p) называется интервал или числовой промежуток всех значений аргумента «р», при которых существует эта функция. Величину следует обозначать литерой «D». Конечная запись для вышеописанного тождества имеет такой вид: D (w) или D (f (р)).

Следует отметить, что D (w) зависит от ее вида. В алгебре бывают только простые и составные. К первым нужно отнести следующие подтипы:

• Алгебраические: рациональные (целые и дробные) и иррациональные (знак радикала).
• Тригонометрические (sin, cos, tg, ctg и производные от них).
• Трансцендентные (степенные, показательные и логарифмические).

К рациональным равенствам целого типа относятся любые выражения без корней, степеней, дробей, логарифмов, а также тождества, не содержащие каких-либо тригонометрических функций. В этом случае D соответствует всему интервалу действительных, которые обозначаются литерой «Z».

Для дробных D (w) зависит от знаменателя. В этом случае нужно решить уравнение, приравняв знаменатель к нулю. Например, чтобы найти D у функции вида w = [(p — 2)(p + 7)] / (p 2 — 1), нужно приравнять знаменатель дроби к 0.

Когда выражение является иррациональным, тогда нужно обратить внимание на степень корня и подкоренное выражение. Если степень четная, то выражение не должно быть отрицательным числом. Функция действительна для всех Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем в пустое множество. Например, для w = (p — 2) / [(p 2 — 1)]^(½) нужно решить неравенство (p 2 — 1) > 0. Интервалы, которым соответствует решение, можно записать в таком виде: (-бесконечность;-1) U (1;бесконечность). Бесконечность можно еще обозначать «inf».

Выражение под натуральным логарифмом должно быть всегда больше 0. В этом случае решается также неравенство, состоящее из тождества, находящегося под его знаком. Интервал для косинуса и синуса — все Z. Однако для tg (x) рекомендуется исключить значения аргумента (Pi / 2) + Pi * k, а для и ctg (x) — Pi * k (к принадлежит множеству Z).

Решение уравнений

Уравнения бывают нескольких видов: линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Первые являются самыми простыми, и решаются при помощи такой методики:

• Выполнение математических преобразований, упрощающих выражение.
• Перенос неизвестных в одну, а известных — в другую часть.
• Определение неизвестной.

К квадратным относятся равенства вида ap 2 + bp + c = 0. Математики их классифицируют на неполные и полные. К первым относятся только равенства, которые не содержат второй или третий член. Квадрат при первом коэффициенте должен быть всегда. Существует 4 метода решения:

• Если а = 1, то решается по теореме Виета.
• Использование дискриминанта.
• Разложение на множители.
• Построение графика.
• Использование программного обеспечения.

В первом случае нахождение корней осуществляется с помощью двух формул: р1 + р2 = -b и р1 * р2 = с. Однако при а > 1 нужно воспользоваться формулой для расчета некоторого вспомогательного параметра. Он называется дискриминантом (D). Для решения уравнения по второй методике рекомендуется применять такой алгоритм:

Рассчитать D по формуле: D = b 2 — 4ac.

D > 0 (два корня): р1 = [(-b) + (D)^(½)] / (2 * а) и р2 = [(-b) — (D)^(½)] / (2 * а).

D = 0: р = (-b) / (2 * а).

D Нахождение пределов

Нахождение предела функции — основа математического анализа. В некоторых источниках описаны разнообразные формулы и теоремы. Предел состоит из трех элементов:

• Знака «lim».
• Запись «t->a», которая означает, что аргумент «t» стремится к некоторой величине «а».
• Функция.

Для примера следует рассмотреть функцию w = [(t — 2)(t + 7)] / (t 2 — 1). Ее предел записывается в таком виде: lim [((t — 2)(t + 7)) / (t 2 — 1)] | (t -> 2). Читается запись следующим образом: предел функции w = [(t — 2)(t + 7)] / (t 2 — 1) с аргументом t, значение которого стремится к 2. Данный предел является простым, и решение сводится к подстановке аргумента в функцию: lim [((t — 2)(t + 7)) / (t 2 — 1)] | (t -> 2) = [((2 — 2)(2 + 7)) / (2 2 — 1)] = 0.

Существует еще один тип пределов, в которых необходимо делить на 0 или бесконечность (inf). Найти решение очень просто: lim [((t — 2)(t + 7)) / (t 2 — 1)] | (p -> 1) = бесконечность и lim [7 / (t 2 — 1)] | (t -> +inf) = lim [7 / бесконечность] | (t -> +inf) = 0.

Более сложные пределы не решаются первым способом (подстановкой). Если ее произвести, то может получиться соотношение inf/inf. В этом случае нужно разделить числитель и знаменатель на старшую степень, а затем выполнить подстановку. Процедуру можно выполнять неограниченное количество раз до получения необходимого результата. Для нахождения значения предела lim [((t — 2)(t + 7)) / (t 2 — 1)] | (t -> +inf) нужно воспользоваться таким алгоритмом:

Раскрыть скобки в числителе: (t — 2)(t + 7) = t 2 + 7t — 2t — 14 = t 2 + 5t — 14.

Разделить числитель и знаменатель на t 2 : lim [(t 2 / t 2 + 5t / t 2 — 14 / t 2 ) / (t 2 / t 2 — 1 / t 2 )] | (t -> +inf) = lim [(1 + 5/t — 14 / t 2 ) / (1 — 1 / t 2 )] | (t -> +inf).

Подставить значение переменной: lim [(1 + 5/t — 14 / t 2 ) / (1 — 1 / t 2 )] | (t -> +inf) = (1 + 0 — 0) / (1 — 0) = 1/1 = 1.

При «0/0» рекомендуется упростить числитель и знаменатель. Например, следует вычислить lim [(2t 2 — 3t — 5) / (t + 1)] | (t -> -1). Для упрощения числителя нужно решить уравнение 2t 2 — 3t — 5 = 0. Следует воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

D = (-3)^2 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0.

Корни: t1 = -1 и t2 = 5/2.

Следовательно, 2t 2 — 3t — 5 = (t + 1) * (2t — 5). После разложения нужно вычислить предел: lim [((t + 1) * (2t — 5)) / (t + 1)] | (t -> -1) = lim [2t — 5] | (t -> -1) = [2* (-1) — 5] = -2 — 5 = -7. Уравнения могут объединяться в системы.

Виды разрывов

Чтобы исследовать функцию на непрерывность, нужно уметь определять характер разрыва. Он классифицируется следующим образом: первого и второго рода. Первые бывают двух типов: устранимые и неустранимые.

Разрыв I рода существует в том случае, когда оба предела (левосторонний и правосторонний) являются конечными, т. е. не равны inf. Когда оба предела равны, то это точка устранимого разрыва. В противном случае (при неравенстве односторонних пределов) — разрыв является неустранимым, и называется «скачком».

Возможен вариант, когда один из пределов эквивалентен бесконечности. В этом случае говорят, что это разрыв II рода. Запись левого и правого пределов имеет такой вид: p -> -5 — 0 и p -> -5 + 0 соответственно.

Решения задач

После получения базовых знаний необходимо разобрать примеры решения. Точки разрыва функции следует искать по следующему алгоритму:

Вычисление пределов.

Сравнение.

Выводы.

Однако для начала нужно найти область определения, которая играет важную роль в решении. Если она является множеством всех действительных чисел, то искать разрыв не имеет смысла. Он не существует. Если указанная функция содержит неизвестную, которая может превратить ее значение в неопределенность, то нужно вычислить правосторонний и левосторонний пределы (пункт 1). После этого их нужно сравнить, и сделать выводы о принадлежности точки к какому-нибудь виду.

Простые варианты

Нужно исследовать функцию w = (r 2 — 1) / (r — 2) на непрерывность или доказать, что она разрывная. Область определения D (w) = (-inf;2) U (2;+inf). Существует некоторый разрыв в точке r = 2. Для классификации его характера необходимо найти пределы:

lim [(r 2 — 1) / (r — 2)] | (r -> 2 — 0) = lim [((2 — 0)^2 — 1) / (2 — 0 — 2)] | (r -> 2 — 0) = 3 / -0 = -inf.

lim [(r 2 — 1) / (r — 2)] | (r -> 2 + 0) = 3 / 0 = inf.

Из полученных вычислений можно сделать вывод, что r = 2 является разрывом II рода. Это были простые задачи. Однако существуют более сложные, в которых нужно выполнять математические преобразования.

Сложное задание

Дано некоторое выражение: (2s 2 — 98) / (4s 2 — 8s — 16). Необходимо представить его в виде функции, и доказать существование типа разрыва в пространстве. Для доказательства нужно сначала решить уравнение в знаменателе:

• Вынести общий множитель, и сократить его (должен быть числом): 4 (s 2 — 2s — 4) = s 2 — 2s — 4 = 0.
• Найти D: D = 4 — 4 * (-4) = 20.
• Корни: s1 = (-2 — 2 * 5^(½)) / 2 = -1 — 5^(½) и s2 = 5^(½) — 1.

Это свидетельствует о том, что разрыв есть. Далее нужно определить его характер по такому алгоритму:

lim [(2s 2 — 98) / (4s 2 — 8s — 16)] | (s -> 5^(½) — 1 — 0) = 2 * lim [(s 2 / s 2 — 49 / s 2 ) / (2s 2 / s 2 — 4s / s 2 — 8 / s 2 )] | (s -> 5^(½) — 1 — 0) = (- 11,25) / [(2 — 4 / (5^(½) — 1 — 0) — 2].

Если выполнить такой же расчет для правосторонней границы, то ее значение будет соответствовать левосторонней.

Выполнять вычисления для двух точек необязательно, поскольку пределы будут равны и в этом случае. Следовательно, это устранимый разрыв I рода.

Таким образом, для нахождения разрывов необходимо знать некоторые особенности и методику, позволяющую правильно классифицировать их характер.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathforyou.net/online/calculus/discontinuity/

http://sprint-olympic.ru/uroki/matematika-uroki/93133-tochki-razryva-fynkcii-algoritmy-i-primery-resheniia.html

[/spoiler]