Как найти точки разрыва нескольких функций - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

первый род;
второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.
Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.
Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Источник

Непрерывность функций нескольких переменных

Понятие непрерывности функции нескольких
переменных можно определить с помощью
предела.

Определение.Функцияназывается непрерывной в точке,
если выполнены следующие три условия:

1)
определена в точкеи некоторой ее окрестности;

2) существует
;

3)
=.

Если в точке
одно из указанных трех условий не
выполняется, то она является точкой
разрыва функции.

Для функции
двух независимых переменных точки
разрыва могут быть изолированными или
образовывать линию разрыва. Для функциитрех независимых переменных точки
разрыва могут быть изолированными,
образовывать линию или поверхность
разрыва.

Определение.Функцияназывается непрерывной на множестве
D, если она непрерывна в каждой точке
этого множества.

Пример.Найти точки разрыва функции
.

Решение.Данная функция определена
на R²всюду, кроме точки,
которая и является точкой разрыва
функции.

Пример.Найти точки разрыва функции
.

Решение.Данная функция определена
для любых,
таких, что.
Следовательно, прямаяявляется линией разрыва функции.

Пример.Найти точки разрыва функции
.

Решение.Функция
определена для любых,
таких, что.
Следовательно, сфера с центром в
начале координат и радиусомR=3
является поверхностью разрыва функции.

Дифференцирование функций нескольких переменных

Частные и полные приращения функции

Пусть
— функция двух независимых переменных
и D—
область ее определения. Выберем
произвольную точкуDи дадимприращение,
а значениеоставим неизменным. При этом функцияполучит приращение

которое называется частным приращением
функции
по переменнойв точке.

Аналогично, считая
постоянной и придаваяприращение,
получаем частное приращение функциипо переменнойв точке:

Полным приращением функции
в точкеназывают разность

Замечание.В общем случае полное
приращение не равно сумме частных
приращений, т.е..

Геометрически частные и полное приращения
функции
можно изобразить отрезками.

Пример.Найти частные и полное
приращения функциив точке,
если=
0,2,=
0,3.

Решение.По определению найдем
частные приращения:

Найдем полное приращение функции:

При
=1,=2,=0,2,=0,3
:= 0,22 = 0,4,

=10,3 = 0,3,

0,4 + 0,3 +0,20,3 = 0,76,

=0,4 + 0,3 = 0,7,

0,70,76,

т.е. мы получили, что при таких условиях
.

Аналогично определяют частные и полное
приращения функции nпеременных.

Частные производные

Определение. Частной производной
функциипо переменнойв точкеназывается предел отношения частного
приращения функциик соответствующему приращению аргумента,
когда последнее произвольным образом
стремится к нулю, т.е.

Используются также и другие обозначения
частных производных:
,,.

Аналогично определяют и частную
производную функции
в точкепо переменной:

Таким образом, частная производная
функции нескольких переменных определяется
как производная функции одной переменной
при фиксированных значениях остальных
переменных.

Пример. Найти частные производные
функции.

Решение. Частную производную функциивычисляем как производную данной функции
по переменной,
считаяпостоянной:

.
Аналогично.

Пример. Найти частные производные
функции.

Решение. Частную производную функциивычисляем как производную данной функции
по переменной,
считаяипостоянными:

Аналогично
и.

Геометрический смысл частных производных
функции двух переменных. Пусть графиком
функцииявляется некоторая поверхностьQ.
Возьмем точкуD.
На этой поверхности ей соответствует
точка.
Пересечем график данной функции
плоскостью.
В сечении получим кривую(
на рисунке это кривая),
которую можно рассматривать как график
функции одной переменнойв плоскости.

Тогда, согласно геометрическому смыслу
производной функции одной переменной,
значение частной производной
функциив точкеравно тангенсу угла α, образованного
положительным направлением оси Ох и
касательной, проведенной в точкек линии пересечения поверхностии плоскости.

Аналогично трактуется и геометрический
смысл частной производной функции
по.

Механический смысл частных производных
функции двух переменных. Частные
производныеихарактеризуют скорость изменения
функциив данной точке,
причем частная производнаязадает скорость изменения функции в
направлении прямой,
частная производная― в направлении прямой.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

Источник

Содержание:

Точки разрыва и их классификация

Непрерывность или разрыв функции может зависеть от конкретных условий, в которых рассматривается задача. Рассмотрим, например, численность населения земного шара как функцию времени. Она увеличивается на 1 в момент рождения каждого человека и уменьшается на 1 в момент смерти. Но рождения и смерти следуют друг за другом через бесконечно малые интервалы времени и изменение численности населения планеты на 1 настолько мало его меняет, что практически функцию можно рассматривать непрерывной. По стоит перейти от численности населения земного шара к численности населения одной квартиры, как рождение или смерть отдельного ее жителя будут так заметно менять ее численность, что функцию нельзя будет рассматривать как непрерывную.

Если хотя бы одно из условий определения непрерывности функции в точке (см. п. 3.1) не выполнено, то в данной точке функция терпит разрыв. Различают три вида точек разрыва непрерывной функции.

1. Точка

Чтобы устранить разрыв в точке достаточно положить В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывной в точке

2. Точка называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа не равные друг другу:

При этом величина называется скачком функции f(x) в точке

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то называется точкой разрыва второго рода функции f(x).

Пример №32

Исследовать функции на непрерывность. В случае устранимого разрыва доопределить функцию до непрерывной.

Решение:

1. Данная функция элементарная, т.к. получена с помощью конечного числа арифметических действий над основными элементарными функциями: экспоненциальной, постоянной и степенной. Следовательно, она непрерывна в области определения При х=0 функция

не определена и поэтому разрывна. Исследуем характер точки разрыва. Так как то х=0 – точка устранимого разрыва.

Если положить f(0)=0, то функция будет непрерывной для всех х.

2. Функция является элементарной как композиция основных элементарных функций. Следовательно, она непрерывна в области определения и х=2 – точка разрыва. Для исследования характера точки разрыва найдем односторонние пределы:

Так как один из односторонних пределов равен бесконечности, то х=2 -точка разрыва второго рода.

Пример №33

Исследовать функцию на непрерывность. Построить схематично график функции.

Решение:

Область определения этой функции – вся числовая прямая: Однако функция является составной. Составляющие ее функции непрерывны на множестве действительных чисел как элементарные. Поскольку функция задана различными аналитическими выражениями, то проверить на непрерывность нужно точки «стыка» Исследуем точку

Так как – точка разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен

Исследуем точку

Поскольку то в точке функция непрерывна. Следовательно, искомая функция непрерывна для всех

Построим график функции.

——

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка будет точкой разрыва функции если выполняется одно из условий:

функция в точке не определена;
не существует предела функции в точке или он равен бесконечности;
предел функции в точке не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений только справа или слева от точки Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Обозначают:

Точку называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Пример №522

Найдите точки разрыва функции и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому — точка разрыва второго рода.

Пример №523

Исследуйте функцию на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Если слева, то функция имеет вид

а при справа Следовательно, — точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая называется вертикальной асимптотой кривой, если при (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Например, ось является вертикальной асимптотой для графиков функций (см. рис. 17, б) и (см. рис. 33).

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №524

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Решение:

Поскольку функция не определена в точке то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Следовательно, вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если — вертикальная асимптота функции — точка разрыва второго рода.

Пример №525

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве

а) Функция не определена в точке следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.

б) Функция не определена в точке эта точка является точкой разрыва. Поскольку то является точкой разрыва второго рода.

Пример №526

Заданные функции до определить в точке так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Решение:

а) Имеем Положив получим, что т.е. функция непрерывна в точке Итак,

б) Вычислим предел заданной функции в точке Имеем:

Если теперь за значение функции в точке взять число , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак,

Пример №527

Имеет ли уравнение хотя бы один действительный корень на отрезке

Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна на отрезке и на его концах приобретает различные по знаку значения: Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №528

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая

Решение:

1) Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке Поскольку то прямая — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Горизонтальных асимптот нет.

Дифференциальное исчисление
Исследование функций с помощью производных
Формула Тейлора и ее применение
Интегрирование рациональных дробей
Преобразования декартовой системы координат
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Замечательные пределы
Непрерывность функций и точки разрыва

Источник

Содержание:

Определение точки разрыва
Точка разрыва первого рода
Точка разрыва второго рода
Точка устранимого разрыва
Примеры решения задач

Определение точки разрыва

Определение

Точка $a$, в которой нарушено хотя бы одно
из трех условий непрерывности функции, а именно:

функция $f(x)$ определена в точке и ее окрестности;
существует конечный предел функции $f(x)$
в точке $a$;
это предел равен значению функции в точке $a$,
т.е. $lim _{x rightarrow a} f(x)=f(a)$

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция $y=sqrt{x}$ не определена в точке
$x=-1$, а значит, эта точка является точкой
разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке $a$ существуют конечные
пределы $f(a-0)$ и
$f(a+0)$, такие, что
$f(a-0) neq f(a+0)$, то точка
$a$ называется точкой разрыва первого рода.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Функция $f(x)=left{begin{array}{l}{0, x>1} \ {1, x leq 1}end{array}right.$ в точке
$x=1$ имеет разрыв первого рода, так как

$f(1-0)=1$, а
$f(1+0)=0$

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или
$f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то
точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции $y=frac{1}{x}$ точка
$x=0$ – точка разрыва второго рода, так как
$f(0-0)=-infty$ .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют
левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением
функции $f(x)$ в точке
$a$:
$f(a) neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция
$f(x)$ не определена в точке
$a$, то точка
$a$ называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=left{begin{array}{l}{3 x+1, x lt 0} \ {1-4 x, x>0} \ {e^{2}, x=0}end{array}right.$ .
Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x=0$:

$f(0)=e^{2}$

$f(0-0)=lim _{x rightarrow 0-} f(x)=lim _{x rightarrow 0-}(3 x+1)=1$

$f(0+0)=lim _{x rightarrow 0+} f(x)=lim _{x rightarrow 0+}(1-4 x)=1$

Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в
точке, то точка $x=0$ – точка устранимого разрыва.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Исследовать функцию $f(x)=left{begin{array}{l}{x^{2}, x lt 1} \ {(x-1)^{2}, 1 leq x leq 2} \ {3-x, x>2}end{array}right.$ на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и
непрерывна на промежутках
$(-infty ; 1)$,
$(1 ; 2)$ и
$(2 ;+infty)$, на которых она задана непрерывными
элементарными функциями $y_{1}(x)=x^{2}$,
$y_{2}(x)=(x-1)^{2}$ и
$y_{3}(x)=3-x$ соответственно. А тогда, разрыв возможен
только на концах указанных промежутков, то есть в точках
$x=1$ и
$x=2$ .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку $x=1$ . Для нее

$f(1)=left.(x-1)^{2}right|_{x=1}=0$

$f(1-0)=lim _{x rightarrow 1-} f(x)=lim _{x rightarrow 1-} y_{1}(x)=lim _{x rightarrow 1-} x^{2}=1$

$f(1+0)=lim _{x rightarrow 1+} f(x)=lim _{x rightarrow 1+} y_{2}(x)=lim _{x rightarrow 1+}(x-1)^{2}=0$

Так как $f(1-0) neq f(1+0)$ , то в точке
$x=1$ функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки $x=2$ имеем:

$f(2)=left.(x-1)^{2}right|_{x=2}=1$

$f(2-0)=lim _{x rightarrow 2-} f(x)=lim _{x rightarrow 2-} y_{2}(x)=lim _{x rightarrow 2-}(x-1)^{2}=1$

$f(2+0)=lim _{x rightarrow 2+} f(x)=lim _{x rightarrow 2+} y_{3}(x)=lim _{x rightarrow 2+}(3-x)=1$

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке
$x=2$ функция непрерывна.

Ответ. В точке $x=1$ функция
терпит разрыв первого рода, а в точке $x=2$ непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y=e^{frac{1}{x-1}}$
на непрерывность в точках $x_{1}=1$ и
$x_{2}=0$ .

Решение. 1) Исследуем функцию на
непрерывность в точке
$x_{1}=1$:

$f(1-0)=lim _{x rightarrow 1-} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-infty}=0$

$f(1+0)=lim _{x rightarrow 1+} e^{frac{1}{x-1}}=e^{+infty}=infty$

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка $x_{1}=1$
– точка разрыва второго рода.

2) Для точки $x_{2}=0$ получаем:

$f(0-0)=lim _{x rightarrow 0-} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-1}=frac{1}{e}$

$f(0+0)=lim _{x rightarrow 0+} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-1}=frac{1}{e}$

и значение функции в точке

$f(0)=e^{frac{1}{x-1}}=frac{1}{e}$

Таким образом, в точке $x_{2}=0$ заданная
функция является непрерывной.

Ответ. $x_{1}=1$
– точка разрыва второго рода, а в точке $x_{2}=0$
функция непрерывна.

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Источник

Определение функции двух и более переменных
Примеры функций двух переменных
Геометрическое изображение функции двух переменных
Предел функции двух переменных
Непрерывность функции двух переменных
- Определение непрерывности функции двух переменных
- Основные свойства непрерывных функций двух переменных
Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции и точки разрыва

До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, т. е. функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной.

При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, температура тела в данный момент времени t может изменяться от точки к точке. Каждая точка тела определяется тремя координатами х, у и z, поэтому температура зависит от трех переменных х, у и z, а если еще учитывать зависимость температуры от времени t, то значения ее будут уже определяться значениями четырех переменных х, у, z и t. Площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны хну, определяется значениями двух переменных х и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z, — значениями трех переменных х, у и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.

Эта часть курса и посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.

Определение функции двух и более переменных

Аналогично функции одной переменной вводится понятие функции двух переменных.

Определение:

Пусть X, Y и Z — некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (х; у; z) таких, что и каждая упорядоченная пара чисел (х; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (х; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f(x; у). Число z называется значением функции f в точке (х; у). Переменную z называют зависимой переменной, а переменные х и у — независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} —областью определения функции, а множество Z — множеством значений функции.

Функцию двух переменных обозначают также следующими символами: и т. д.

Так как каждой упорядоченной паре чисел (х; у) при фиксированной прямоугольной системе координат соответствует единственная точка М плоскости и, обратно, каждой точке М соответствует единственная упорядоченная пара чисел (х; у), то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки М и вместо z=f(x; у) писать z=f(M). Областью определения функции в этом случае является некоторое множество {M} точек плоскости. В дальнейшем будем использовать эти два обозначения функции двух переменных.

Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры функций двух переменных

1. . Область определения этой функции — множество {М} всех пар чисел (х; у), т. е. вся плоскость Оху, а множество значений — промежуток .
2. Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определено, т. е. множество точек, для которых Множество всех таких точек образует круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Множество значений функции представляет собой отрезок [0,1].
3. Область определения этой функции — множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству т. е. множество точек, лежащих вне круга с радиусом 1 и центром в начале координат, а множество значений представляет собой промежуток

Из рассмотренных примеров следует, что областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость Оху или ее часть.

Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (х; у; z) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (х; у; z) в пространстве соответствует точка М (х; у; z), и наоборот. Если вместо множества (М) точек плоскости взять множество {M} точек пространства, то аналогично можно дать определение функции трех переменных u=f(M) или u=f(x; y; z). Областью определения функции трех переменных является все пространство или его часть. Так, например, функция определена во всем пространстве, а функция — на множестве точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству xyz>0. В первом случае множеством значений функции является промежуток , а во втором — .

Аналогично можно дать определение функции четырех переменных u=f(x, у, z, t). В этом случае множество упорядоченных четверок чисел (х; у: z; t) образуют так называемое четырехмерное пространство, а каждая четверка (z; y; z; t) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырех переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования. Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n переменных .

Далее подробно рассмотрены функции двух переменных; следует иметь в виду, что обобщение определений и полученных результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.

Геометрическое изображение функции двух переменных

Как известно, функция одной переменной изображается на плоскости в виде линии, определенной уравнением y=f(x). Функция двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x, у), т. е. сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.

В аналитической геометрии рассматриваются различные поверхности и их уравнения. Так, например, уравнение является уравнением плоскости. Данная плоскость есть график функции

Уравнение является уравнением сферы радиуса R с центром в начале координат. С другой стороны, сфера есть объединение графиков двух функций

Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на сечении поверхности z=f(x, у) плоскостями z=c, где с —любое число, т. е. плоскостями, параллельными плоскости Оху.

Назовем линией уровня функции z=f(x, у) множество точек (х; у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же значение с. Очевидно, при различных с получаются различные линии уровня для данной функции.

Если взять числа образующие арифметическую прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление о графике функции, т. е. о форме поверхности. Там, где линии располагаются «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность идет круче), а в тех местах, где линии уровня располагаются реже, функция изменяется медленнее (поверхность более пологая) (рис. 162). Ясно, что чем меньше h, тем полнее представление о графике функции.

Термин «линии уровня» заимствован из картографии. Там линии уровня — это линии, на которых высота точек земной поверхности над уровнем моря постоянна. По ним можно судить не только о высоте над уровнем моря определенной точки местности, но и о характере рельефа, что особенно важно, если местность гористая.

Пример:

Построить линии уровня функции

Решение:

Линии уровня данной функции определяются уравнением Давая с различные значения, получаем семейство линий уровня, представляющих собой концентрические окружности. При с=0 окружность вырождается в точку (0; 0) (рис. 163).

Так как в данном случае линии уровня — окружности с центрами в начале координат, то графиком данной функции должна быть поверхность вращения вокруг оси Oz. Действительно, из аналитической геометрии известно, что уравнение определяет параболоид вращения.

Предел функции двух переменных

Введем понятие -окрестности данной точки и понятие сходящейся последовательности точек плоскости.

Определение:

Множество всех точек, координаты х и у которых удовлетворяют неравенству или, короче, называется -окрестностью точки

Другими словами, -окрестность точки — это все точки, лежащие внутри круга с центром радиуса .

Рассмотрим последовательность точек Будем кратко обозначать эту последовательность символом .

Определение:

Последовательность точек называется сходящейся к точке , если для любого существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство При этом точка , называется пределом последовательности .

Обозначение:

Заметим, что понятие сходящейся последовательности точек плоскости является обобщением понятия сходящейся числовой последовательности. Действительно, задание последовательности точек на прямой равносильно заданию числовой последовательности и неравенство переходит в этом случае в неравенство

Теперь определим предел функции двух переменных. Его определение аналогично определению предела функции одной переменной.

Пусть функция z=f(M) определена на некотором множестве {М} и точка , но обладает тем свойством, что в любой -окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {М}, отличная от .

Определение:

Число А называется пределом функции z=f(М) в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначение:

Так, например, функция определена на всей плоскости. Найдем предел этой функции в точке (1; 2). Для любой последовательности точек , сходящейся к точке , имеем

Приведем пример функции, не имеющей предела в некоторой точке. Функция определена всюду, кроме точек прямой х+у=0. Покажем, что она не имеет предела в точке (0; 0). Для этого выберем две сходящиеся к точке (0; 0) последовательности точек ; тогда

Таким образом, двум различным последовательностям точек, сходящимся к началу координат, соответствуют две последовательности значений функции, которые имеют разные пределы. Следовательно, по определению 3 данная функция не имеет предела в точке (0; 0).

Приведенное определение предела функции двух переменных дано с помощью понятия предела последовательности. Так же, как для функции одной переменной, можно дать эквивалентное определение, используя терминологию.

Определение:

Число А называется пределом функции z=f(AM) в точке если для любого существует такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Используя логические символы, данное определение можно записать в виде

Доказательство эквивалентности определений 3 и 4 проводится точно так же, как и в случае функции одной переменной. Следует только в доказательстве теоремы 4.1 заменить последовательность последовательностью точек , точку — точкой разности — соответственно расстояниями , а числовую последовательность — числовой последовательностью .

Используя определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной переменной на функции двух переменных. Например, имеет место следующая теорема.

Теорема:

Пусть функции f(М) и g(М) определены на одном и том же множестве {M} и имеют в точке пределы В и С. Тогда функции имеют в точке пределы, равные соответственно

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4.3 и может быть получено из него формальной заменой букв буквами , только вместо определения 1 предела функции одной переменной следует использовать определение 3 предела функции двух переменных.

Определение:

Функция z=f(M) называется бесконечной малой в точке (или при ), если

Если функция z=f(M) имеет в точке предел, равный А, то функция — A является бесконечно малой в точке . Действительно, Отсюда получаем специальное представление для функции, имеющей в точке предел, равный При этом говорят, что функция f(M) в окрестности точки отличается от числа А на бесконечно малую функцию.

Сравнение бесконечно малых функций двух переменных производится точно так же, как и бесконечно малых функций одной переменной, причем, как и в случае одной переменной, под символом о будем понимать любую бесконечно малую в данной точке функцию более высокого порядка малости, чем бесконечно малая в точке функция

Непрерывность функции двух переменных

Понятие непрерывности функции двух переменных вводится на основе понятия предела.

Определение непрерывности функции двух переменных

Пусть на некотором множестве {M} определена функция f(M), точка и любая -окрестность точки содержит точки множества {M}.

Определение:

Функция z=f(M) называется непрерывной в точке
, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е.

Согласно определению предела функции в терминах последовательностей данное определение непрерывности функции в точке равносильно тому, что для любой последовательности такой, что , последовательность сходится и

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
Например, функция

разрывна в точке (0; 0), так как предел этой функции при , не существует; функция
в точке (1; 2) разрывна, так как

Сформулируем определение непрерывности функции, используя определение предела функции в терминах

Определение:

Функция z=f(М) называется непрерывной в точке
, если для любого существует такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Используя символы, определение 2 можно записать в виде
Так же как для функции одной переменной, используя данные определения непрерывности и соответствующие теоремы о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным функциям.

В дальнейшем используется определение 1 непрерывности функции, записанное в другом виде.

Назовем полным приращением функции z=f(M) в точке функцию определяемую формулой

где М — любая точка из области определения функции. Пусть точки имеют соответственно координаты . Обозначим Используя эти обозначения, для получаем следующее выражение:

Определение 3. Функция z f (М) называется непрерывной в точке
, если ее полное приращение в этой точке есть бесконечно малая при функция, т. е.

Это условие, очевидно, равносильно условию из определения 1.

Пример:

Функция непрерывна в любой точке (x; у)-Действительно, полное приращение данной функции в точке (x; у) имеет вид

Очевидно, т. е. согласно определению 3 функция непрерывна в точке (х; у).

Функция z=f(М) называется непрерывной на некотором множестве {М}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Приведем без доказательства основные свойства непрерывных функций двух переменных, поскольку они в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной. Предварительно введем ряд понятий для множеств {М} точек плоскости.

Определение:

Множество {М} точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек данного множества. Например, круг — связное множество, а множество, состоящее из двух кругов, не имеющих общих точек, не является связным.

Определение:

Точка М называется внутренней точкой множества {М}, если существует -окрестность этой точки, состоящая из точек данного множества.

Определение:

Множество {М}, состоящее лишь из внутренних точек, называется открытым множеством.

Определение:

Связное открытое множество {М} точек называется открытой областью, или короче, областью. Простейшими областями являются: внутренность треугольника, круга, эллипса и т. п.

Определение:

Точка М называется граничной точкой области, если в любой ее -окрестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области. Множество всех граничных точек области называется границей этой области.

Например, для области, которая состоит из точек, лежащих внутри круга, границей является окружность.

Определение:

Множество {М} точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью.

Определение:

Множество {М} называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

Отрезок и треугольник — ограниченные множества. Прямая не является ограниченным множеством.

Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

Теперь сформулируем основные свойства непрерывных функций двух переменных:
1°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области, т. е. существует число k такое, что для всех точек области выполняется неравенство
2°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.
3°. Если функция z=f(M) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т. е. если — какие-то значения функции f(М) в данной области, то в этой области существует точка , в которой

Отсюда, в частности, следует, что если — точки данной области и , то в области существует точка
, в которой

4°. Если функция z=f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно-непрерывна в этой области, т. е. для любого существует такое, что для любых двух точек М’ и М» области, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

В заключение отметим, что понятия предела, непрерывности и перечисленные свойства функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных.