Как найти точки самопересечения кривой заданной параметрически

Если в х-вершине (у-вершине) касательный вектор параллелен аси Оу’ (оси ОХ) и не изменяет свае направление на противоположное, то вершина кривой называется гладкой, В регулярной точке вершина всегда является гладкой, Например, кривая на рис. 44 имеет вершины в точках Мз (верхнюю н правую), Мз (левую), Ма (пижшаю), Мз (верхнюю) и Мт (правую), из которых гладкими являются только Мз, М» и Мт. Рис,44 Для кривой, заданной в полярных координатах т = г(~р), также можно найти промежутки монотонности координатных функций х(у) = г(р) саве> и у(ср) = г(юр) ашу, исследовать направление касательного вектора н найти х- и у- вершины кривой с помощью формул (7) для х'(у) и у'(~р).

Кроме того, нужна исследовать на монотонность саму функцию т(у) с помощью ее производной г'(у), Если при х с (а;,о), т'(р) > О, то при увеличении угла у от а до р” г(~р) возрастает, т. е. соответствующая точка М(<р) кривой удаляется от полюса (начала координат), а если г'(р) < О, та наоборот, приближается к нему, Точки, в которых т(р) имеет экстремум, мы будем называть г-вершинами; дальней (в случае локального максимума) и бяижией (в точке локального минимума), Если кривая т = г(у) при ~р = уо имеет г-вершину, то г'(р) либо не существует, лнба г'(у) = О. В последнем случае касательная к кривой перпендикулярна радиус- вектору г = ОМс. Очевидно, что в окрестности г-вершины кривая г = г(р) находится па одну сторону от окружности радиуса В = ОМО с центром в начале координкг.

В точках, в которых г'(<р) = аа, касательная направлена по радиус-вектору ОМО. а=из Ф 7.НАНРАВлениевыпуклости,точки ПЕРЕГИБА И ГЛАВНЫЕ ВЕРШИНЫ Рие,45 Например, если г(ф непрерывна и г'(сз,) = г~( ) — г~( (~з) = са, зибер) > О при ьз ~ (сзмсзз) и,р ~ ( “(р) ~ О “р” Р н (О’~~) р ~ (~з,~з) р > ~~,ю~~~~м~ = „( ) при увели ьенни угла из удаляется от ишиаса на участках ат Мз да Мз и от Мз до М4 и приближается к нему на участках от Мо до Мп от Мз до Мз и после точки М4, В точках Мы Мз, Мз и Мв она имеет г-вершины, причем в точках Мы Мз и М4 — гладкие, а в точке Мз касательная направлена по радиусу ОМз (см. рис.

45), Для некоторых кривых г = г(р) точное исследование знака производных х'(Оз) и у'(Зз) затруднительно (например, для спирали г = а(с). В этих случаях мохоно ограничиться исследованием только производной г'((с). Заметим, что понятие х- и у- вершины кривой инвариантно относительно параллельного переноса системы координат (но не инвариантно относительно ее поворотов), Напротив, г-вершины инвариантны относительно поворотов, но не относительно параллельных переносов системы координат. Определение. Угвовой скоростью поворота вектора г = г(1) при $ = 1о называется предел Ьу 1пп —, сп-~О Ь$ ‘ где Ь(с — ориентируемый угол между векторами г($о) и г(г), ЬФ = 1 — 1о.

Воли г(4) = х(1)1+ у(1)» и координатные функции днфференцируемы в точке 1о и г(3о) р О, та угловую скорость по- ворота ветттора г(6) при Ф = 3о вычисляют по формуле х(го) у(го) — х(зо)у(то) хз(го) + у (то) Волн точка М (8) кривой г — г(з) является регулярной ((х(1))з+ ( ‘(Г))з > О) н существуют х(3) и у($), та определена и угловая скорость ьз($) поворота касательного вектора ч(1) = У( )1+ у( )», =’$1 которую находят па формуле х(г)у(о) — У(г)у($) (11) “‘= (у(и+(в Знак дроби в (11) полностью определяется знаком ее числителя, ко- торый мы обозначим т(1) и назовем показателен выпуклости (или кривизны): х у у(1) = ху — Уу= У у’ (12) Ьд К = 1пп м-+Мо Ьв Величина т(Ф) и угловая скорость ю(ь) поворота касательного век- тора тесно связаны с кривизной КЯ кривой г = г($).

Напомним, что кривизной кривой г = г(т) в ее точке Мо называется предел где Ьв — длина дуги между точками Мс и Мы а Ьд — угол между касательными к кривой в точках Мо и М (рис.46), В любой регулярной точке М(З) кривой, в которой существуют и вторые производные координатных функций, для кривизны К(з) справедливо представление О ~ ж(з) 9(з) — ж(Ф) в(з)1 ((й(з)) + (р(з))~)~/з Рис.

46 1 Ф)! ЬйН ~ р~~ ~ц~~~з’ Точки кривой, в которых кривизна достигает экстремума, называются главными вершинами, а точки, где кривизна равна нулю, называются точками распрялтения. Пример18, Найти всевершиныкрнвойх = За+1,у = 2+4з— зз Решение. Находим ж = 2$, у = 4 — 2$; х(з) имеет минимум при З = О, соответствующая точка М1 (1; 2) — левая хвершина; р(З) имеет максимум при з = 2, соответствующая точка Мз(б;6) — верхняя р-вершина.

Далее, Ж = 2, у = -2, 7(З) = -2(21) — 2(4-2З) = — 8, 6з+Рз = 41з+(4-21) з = 8Зз-16З+ + 16 = 8(ьз — 21+ 2), К(з) 8з/ (зз — 21+ 2)з/з 2/2(Зз — 2З+ 2)з/3′ Кривизна К(Ф) имеет экстремум (максимум) при З = 1, соответствующая точка Мз(2; б) является главной вершиной (рис, 47). П Определение, Кривая г(Г) называется положительно (атрииательно) выпуклой при сь с $ < /3, если для всех 1 6 (а;,9) касательный вектор г(1) ~ О существует и при увеличении З на (а;)3) поворачивается против хода часовой стрелки (соответственно по ходу Рис. 47 часовой стрелки). Точка Мс кривой г = г($) называется точкой выпуклости, если в ней кривая не меняет знака выпуклости, и точкой перегиба, если в Мс знак выпуклости меняется, Точка возврата Мс кривой г = г(Ф) называется тачкой возврата первого рода (второго рода), если в ней знак выпуклости не меняется (соответственно меняется на противоположный), Например, кривая примера 18 всюду отрицательно выпукла, а кривая, изображенная на рис.

44, положительно выпукла до точки Мм от Мз до Мз и от Мз до Мз, отрицательно выпукла от Мз до Мз и от Мв и далее, имеет перегибы в точках М1 и Ме, точку возврата первого рода Мз и точку возврата второго рода Мз. Все остальные точки этой кривой являются точками выпуклости. Теорема 1, Если для всех 3 6 (ьх;Р) существует г(З),г(ь) ф 0 и 7(ь) > 0 (7(ь) < 0), то кривая г(3) положительно (соответственно отрицательно) выпукла при а < ь’ < ~9, Теорема 2.

Бслн кривая г = г(Х) имеет при ь’ = $с перегиб, то 7(зс) = 0 или не существует. Теорема 3. Пусть в точке Мс кривая г = г(1) имеет касательную, а значит, и нормаль, Тогда в окрестности точки Мс’. (16) а) для кривой, заданной параметрически б) для кривой в поляр- ных координатах Рие,48 у(у) = гз — 1 г” + 2(г’)2, (14) а кривизна — по формуле ) Ь()( (гя+ (,,г)2)ЗУ2′ (18) 51 50 а) в точке выпуклости кривая расположена по одну сторону от касательной н по разные — от нормали (см. рис.

48, а); б) в точке перегиба — по разные стороны от касательной и от нормали (см. рис. 48, б); в) в точке возврата 1-го рода — по одну сторону от нормали и по разные — от касательной (см. рис, 48, в), г) в тс 1ке возврата 2-го рода — по одну сторону от касательной и от нормали (см. рис. 48, г), Если кривая задана в полярных координатах т = т( р) и функция г(у) дважды дифференцнруема, то ее показатель выпуклости вычисляется по формуле где штрих означает производную по 1в. Теоремы 1,2 и 3, разумеется, справедливы и для кривых, заданных в полярных координатах с той оговоркой, что у них не бывает точек возврата второго рода.

Для того чтобы выявить точки перегиба и точки возврата кривой, надо найти ее критические точки второго порядка, т, е. для которых .г($) = 0 или не существует, Далее для каждой из найденных точек следует определить, является ли она точкой гладкости или точкой возврата н меняет лн величина Т($) в ней знак или нет, и воспользоваться определением. В заключение отметим, что точки перегиба, возврата и главные вершины инвариантны относительно параллельных переносов системы координат и ее поворотов.

Я, ТОЧКИ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ Кривая, заданная параметрически ж = ж($), р = р($) нли в полярных координатах, может пересекать себя в одной или нескольких точках. Точки самопересечения (узловые точки) находят из системы уравнений (11) = к(22)’ в(11) = р(12)’ 21 ~ ~2~ г(ср1) = г(212) > 0; (Рз — 101 = 27ГЙ’, Й = ~1,~2,~3,… Отметим, что в полярных координатах полюс может быть кратной точкой, если т(у) = 0 при нескольких значениях К1 (не обязательно отличающихся на 2яй), Кроме того, если функции х(3) и д(3) имеют наименьший положительный период Т, то точки $1 и 12 следует искать на промежутке (0; Т), а в случае, если т(у) имеет период Ф = 2яи для некоторго натурального и, то и у1 и 212 также следует искать на промежутке (О; Ф).

12 Е2 1 2 1+ ~2 1+ 12 2 (1 — Й) 22(1 — 22) (11 Ф’ 22) Рнс, 50 , гр,, Зря 2+ гйп — = 2+ вш— 2 2 ~ря – ~р1 = 2яй, й Е Е О < р1 < у2 < Фг. Рнс. 49 53 Пример 19, Найти точки самопересечения кривых 12 ‘ т 13 , Зр а) я = —, и = —; б) т = 2 + е1п — (О < у < юг). 1+ Гг 1+ 12 Решение. а) Составим систему (1б): Очевидно, что $1 24 0 и 12 ф О, Разделив второе уравнение 2 на первое, получим — 1 = —, откуда 12-1 12=21-11Я ~-~ $1 12 1112(21-22)+(11 — 22)=0 ее (11-22)(1112+1) = О, ПосколькУЕ1 ф 22, то 1112+ 1 = О.

Подставив 22 =- -1/11 в первое уравнение, получим —, откуда$1 = 1 или 61 = ~1, 1+11 1+ 1/$1 Итак, 11 = 1, $2 = -1 (или наоборот). Прн этом ж(11) 1 = ю(12) = — р($1) = р(гя) = О. т1 Таким образом, 3Х~-; О) 2′ единственная точка самопересечения этой кривой, соответствующая значениям 1 = ~1 (рив. 49). б) Функция т(22) = 2 + , Зр + гйп — имеет периоды Ф„= 2 2 2ягг (и б Е), в частно- 3 сти, Фа = юг. Составим систе- мУ (17) Понятно„что гря — 221 = 2гг. Подставив (о2 = 221 + 2я, получим вш( — + 31г) = -а1п — 4е агп — =О, Зу1 .

З~Р1 . 39Р1 2 2 2 3Р1 2я”и ОтКуда — = 1ГП, 9г1 = —, П = О, 1 ИЛИ 2. ПОЛУЧИМ трн ТОЧКИ 2 ‘ 3 ‘ 2я самопересечения, отвечающих углам у1 = О и ~р2 = 2я, 221 =— 8я 4я 10я и <Р2 = — <Р1 = — и <р2 = — соответственно, Во всех трех 3 3 3 точках г(ср) = 2 (рис. 50). С) 9.

а у меня получается минимума, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс, наверное я что-то не так понимаю.

Коль скоро вам заданы параметрические уравнения кривой, для нахождения минимума и максимума вам не надо брать производную , если под минимум и максимумом вы понимаете минимальное (максимальное) значение . Само значение экстремума (т.е. чему равен максимальный или минимальный игрек) не зависит от , в том смысле, что какое бы уравнение не определяло , если икс вообще существует для нужного параметра , минимум или максимум игрека будет равен минимуму или максимуму , соответственно производную от игрека можно брать по параметру, получается , имеем два корня , вторая производная равна и значит в имеем максимум, а в минимум (максимум

, напомню, там, где вторая производная меньше

нуля, а минимум там где больше).
Найденные и подставляем в уравнения и и таким образом находим координаты локальных экстремумов по игрекам (ординатам).

Аналогично можно найти локальные экстремумы по иксам (абсциссам).
По ним (иксам), кстати, найденные экстремумы будут в вашей задаче глобальными.

Parametric representation

$$mathbf{r}(t)=((2+cos 3t)cos 2t, (2+cos 3t)sin 2t)), tin [0,2pi ]$$

can be replaced by this (complex) one

$$mathbf{r}(t)=(2+cos 3t)e^{2it} , tin [0,2pi ]$$

Thus, we are looking for values of $t_1$ and $t_2$, $t_1 neq t_2$, such that:

$$tag{1}(2+cos 3t_1)e^{2it_1}=(2+cos 3t_2)e^{2it_2}$$

Two complex numbers are equal if and only if their modules are equal and their arguments are equal (modulo $2 pi$).

Remark:
Due to the fact that $2+cos 3t>0$ for any value of $t$ shows that $2+cos 3t_1$ and $2+cos 3t_2$ are the modules of the LHS and RHS of (1), resp.

Thus, (1) is equivalent to:

$$cases{cos(3t_1)=cos(3 t_2)\2t_1=2t_2 modulo 2 pi}$$

As $$cos(u)=cos(v) iff u=pm v+K 2pi:$$

the previous conditions are equivalent to

$$cases{3t_1= s 3 t_2+K 2pi\2t_1=2t_2+K’ 2 pi}$$

where $s=pm1$ and $K,K’$ are integers.

$$tag{2}iff cases{t_1= s t_2+K 2pi/3\t_1=t_2+K’ pi}$$

The cases where $s=1$ will not give double points (because they lead to $t_1=t_2+K”2pi$). We can thus assume $s=-1$, i.e.,

$$tag{3}iff cases{t_1= -t_2+K 2pi/3 (a)\t_1=t_2+K’ pi (b)}$$

Adding and substracting (3)(a) and (3)(b):

$$tag{4}cases{2t_1=K2pi/3+K’pi iff t_1=Kpi/3+K’pi/2 (a)\2t_2=K2pi/3-K’pi iff t_2=Kpi/3-K’pi/2 (b)}$$

with the same values of $K$ and $K’$ in (4)(a) and (4)(b).

For example, if $K=2$ and $K’=1$, $(t_1,t_2)=(7pi/6,pi/6)$, giving point $(1,sqrt{3}).$

I leave you the task to consider the different other cases (by taking different possible cases for integers $K$ and $K’$, some of them being redundant). You will end up with the three following solutions (up to an exchange between $t_1$ and $t_2$, of course):

$$(t_1,t_2)=(7pi/6,pi/6), (5pi/6,11pi/6), (pi/2,3pi/2), $$ yielding double points :

$$(1,sqrt{3}), (1,-sqrt{3}), (-2,0)$$

respectively.

Основные формулы дифференцирования элементарных функций.

Дифференцирование
показательно-степенных выражений:

– продифференцировать
как показательную функцию, а потом как
степенную и результаты дифференцирования
сложить.

Кривые
на плоскости и функции, заданные
параметрически. Дифференцирование
параметрически заданных функции.

Опр.
Кривой на плоскости xoy
называют всякий образ отрезка

при непрерывном отображении

.

параметрическое
задание кривых (параметризация).

Функции



– непрерывные функции параметра

.

Непрерывность
отображения


означает, что оно либо растягивает,
либо сжимает участки

,
искривляет и помещает в

,
но не разрывает отрезок

.

При
параметризации задается начало конец
и направление движения вдоль кривой,
таким образом параметрическое задание
удобно для описания траектории движения
материальной точке.

Одну
и ту же кривую на плоскости можно задать
бесконечным множеством параметризаций.

Опр.

.
Кривые, заданные параметрически,
эквивалентны, если существует отображение
непрерывное и строго монотонное

такое, что диаграмма коммутативна, т.е.

.

Опр.
Пусть дана параметризация

прямой на плоскость. Эта параметризация
называется непрерывно дифференцируемой,
если функции

на отрезке

дифференцируемы и имеют непрерывные
производные.

В
том случае, когда параметризация


строго монотонная у нее существует
обратная функция

,
в этом случае параметризация

задает не только кривую, но и функцию,
при этом существование обратной функции



не означает, что мы сможем практически
разрешить это уравнение относительно
t,
аналогично, если строго монотонна

.

Дифференцирование
параметрически заданных функций.

Правило.
Если имеется функция, заданная
параметрически, то необходимо
продифференцировать по t
оба уравнения и поделить функцию

,
при этом производная функции запишется
в параметрическом виде следующим
образом:

Если
функция задана параметрически, то и
производная должна быть задана
параметрически. В таком виде производная



готова к новому дифференцированию.

Уравнение касательной прямой, в кривой, заданной параметрически.

3 Класса точек параметрически заданной кривой:

– в
точках I
класса обязательно существует
касательная, которая записывается
симметричным уравнением.

Уравнение
может быть записано и в виде уравнения
для I
класса.

В
данном случае не гарантированно, что
функция запишется в виде

.

Такие
точки в дальнейшем будем называть
особыми точками параметрически заданной
функции. В них одновременно обе
производные равны 0.

Оказывается,
в особых точках касательная прямая
может быть, а может ее и не быть вовсе,
это определяется старшими производными
в точке

и является предметом изучения такой
науки как дифференциальная геометрия.

Вывод.
В неособой точке параметрически заданной
кривой обязательно существует касательная
и она записывается уравнением

.

Нормальная
прямая в точке кривой, заданной на
плоскости.

Опр.
Прямую N,
проходящую через

кривой и перпендикулярную касательной
прямой, называют нормальной прямой к
кривой Г в

.

–
уравнения
нормали в

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #