Как найти точки в правильной шестиугольной призме

На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про составные многогранники.

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и теорема косинусов. Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны.

*Противолежащие стороны параллельны.

Рассмотрим задачи:

272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁E₁. По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ₁ является гипотенузой,  АА₁ и А₁Е₁ катеты.  Ребро АА₁ нам известно. Катет А₁Е₁ мы можем найти используя используя теорему косинусов.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следовательно

По теореме Пифагора:

Ответ: 96

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.

Таким образом,

Ответ: 70

273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  BB₁E₁. По теореме Пифагора:

Отрезок B₁E₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус  равен стороне шестиугольника, то есть

Таким образом,

Ответ: 200

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD₁D.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне. 

Таким образом,

Ответ: 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 23. Найдите угол  DAB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём  углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

Ответ: 60

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 10. Найдите угол  AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC₁C:

Найдём AC. В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Таким образом,

Значит, угол AC₁C равен 60 градусам.

Ответ: 60

274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник AС₁С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Катет С₁С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):

В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть

Следовательно

Таким образом:

Ответ: 60

245364. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками А и Е₁.

Посмотреть решение

245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками В и Е.

Посмотреть решение

245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁все ребра равны корню из пяти. Найдите расстояние между точками В и Е₁.

Посмотреть решение

245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD₁D.

Посмотреть решение

245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах. 

Посмотреть решение

245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха Вам!

В состав ЕГЭ включены и другие задачи по стереометрии, и они довольно разнообразны. Обязательно будем их рассматривать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

1.  Система координат в пространстве.

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси х, y и z . Выберем масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве.

Каждая точка характеризуется тремя числами – координатами по x, y и z.  Запись M(−1;
3;
2)
означает,
что координата точки M по
x (абсцисса) равна −1, координата
по y (ордината) равна 3, а координата по z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

 Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами
x, y и z:

ﺂ؟(xa; ya; za)

Чтобы найти
координаты
вектора, так же, как и на плоскости,  из
координаты конца надо вычесть координату начала.

1. 

    
2.  

   
Если   точка M – середина отрезка AB,
то ее координаты находятся по формуле:

    
3.          

     4.  – сумма векторов.        

    
5. – разность векторов.

    
6.  – произведение вектора на число.

  7.  – скалярное произведение векторов

  8.  – косинус угла между
векторами.

  2. Введение системы координат.

Метод
координат – это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2
никаких координат и векторов нет, поэтому их надо вводить.

Самое
замечательное свойство заключается в том, что не имеет никакого значения как
именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и
ответ будет правильным.

2.1
Координаты куба.

          
Система координат вводится очень просто:

1.    Начало
координат – в точке A

2.    Если
ребро куба не указано, то принимаем его за единичный отрезок;

3.    Ось
x
направляем по ребру АВ,  у – по ребру АD, а
ось z
– по ребру AA_{1 .}

                                                             Теперь
у каждой вершины куба есть координаты:

                                                    
A
(0; 0; 0),     B (1; 0; 0),     C
(1; 1; 0),     D (0; 1; 0),

                                                    
A₁  (0; 0;1)      B
(1; 0; 1)      C₁
(1; 1; 1),    D₁
(0; 1; 1).

2.2 Координаты
правильной треугольной призмы

 A
(1; 0; 0),    B,     C
(0; 0; 0),    A₁ (1;
0; 1),     B₁ ,     C₁ (0; 0; 1).

2.3
Координаты правильной шестиугольной призмы

                      
,                  ,                     ,                 ,               
,                        ,                  ,                

                     
,                      ,               ,                 
,                       .

    2.4 Координаты
правильной четырехугольной пирамиды

 Введем
систему координат с началом в точке А

A (0; 0; 0),  B (1;
0; 0),  C (1; 1; 0),  D (0; 1; 0),  H (0,5;
0,5; 0).

Найдем
координаты точки S. Рассмотрим треугольники ASH  и ABH

1.    AS = AB =
1 по условию;

2.    Угол AHS = AHB =
90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали
квадрата;

3.    Сторона AH — общая.

Следовательно,
прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному
катету и гипотенузе. Значит, SH = BH =
0,5 · BD. Но BD — диагональ квадрата
со стороной 1. Поэтому имеем:

Итак,
координаты точки S:

Рассмотрим
случай, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания. 
В этом случае рассмотрим треугольник AHS:

Треугольник AHS — прямоугольный,
причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое
ребро исходной пирамиды SABCD. Катет: AH =
0,5 · AC. Оставшийся катет SH найдем по теореме
Пифагора. Это и будет координата z для
точки S.

3.    Матрицы и
определители второго и третьего порядка.

Определение:
Таблица, составленная из четырёх чисел называется
квадратной матрицей второго порядка. Числа называют
элементами матрицы.

Определение:  
Число  ∆ называется определителем или детерминантом матрицы.

∆=

Определитель третьего порядка можно вычислить так:

 4.   Метод
координат в пространстве

4.1   Угол 
между прямыми.

Вычисление
направляющих векторов для прямых.

В задаче С2
прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть
вектор с началом и концом в этих точках, получим направляющий вектор для
прямой.

 

α-угол
между прямыми

3.1 Угол
между двумя прямыми – это угол между их направляющими векторами.

Задача 1.

В единичном
кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
найдите угол между прямыми AE  и BF, где E –
середина ребра A₁B₁,
где Е – середина ребра А₁В₁ а F –
середина ребра B₁C_1.

  Решение
(1 способ)

K–
середина A₁D₁ AK║BF
угол KAE = φ

По теореме
Пифагора

По
теореме косинусов для  ∆ AKE

KE² = AE²
+ AK²
– 2 * AE
*AK
* cos φ

cos φ=0,8   
φ=arccos0.8

Решение
(2 способ)

С
помощью векторов и координат легко найти угол  между прямыми.

 А
если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то
для этого нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

4.2   
Плоскость в пространстве задается уравнением.

   Ax+By+Cz+D=0,

где A,
B
и С – координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют
нормалью к плоскости.

Чтобы
написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек.
Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Напишем
уравнение плоскости, проходящей через точки M (1;
0; 1), N(2;
-2; 0) и К (4; 1; 2)

Уравнение
плоскости выглядит так:

Ax+By+Cz+D=0

Получим
систему из трех уравнений:

В ней
четыре неизвестных: A, B,
С и D. 
Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило –
простое вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

 
Решив систему, получим:

A=-    B=-    C=

Уравнение
плоскости MNK имеет вид:

Умножим
обе части уравнения на -3. Тогда коэффициенты станут целыми:

x+4y+7z+6-0

Вектор
(1; 4; -7) – это нормаль к плоскости MNK.

Если 
плоскость проходит через начало координат, то D=0
(так как D≠0 не позволит получить верное числовое
равенство).

 Уравнение
плоскости,  проходящей, через заданную точку имеет
вид:

Уравнение плоскости можно составить и с помощью определителя третьего
порядка :

Пусть имеем точки

,

Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти
три точки ,будет  иметь вид:

=0

4.3  
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к
этим плоскостям:

cos φ=

При
пересечении двух плоскостей образуется четыре угла . Мы
берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения –
чтобы косинус угла был неотрицателен.

Задача
2

 В кубе ABCDA1B1C1D1  точки E и F с
середины ребер соответственно A1B1 и

A1D1. Найдите косинус угла между плоскостями AEF и BDD1.

 Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы
строить пересечения. Но координатный метод значительно всё
упрощает.  Достаточно отметить координаты нужных точек и найти
угол между нормалями
к плоскостям
AEF и BDD1.

A(0;
0; 0),     C(1; 1; 0)

Сначала
– нормаль к плоскости BDD₁.
Мы можем подставить координаты точек B, D
и D₁ в уравнение плоскости и найти координаты 
вектора нормали. А можно увидеть нужную нормаль  на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ – это диагональное сечение куба. Вектор  перпендикулярен этой плоскости.

Итак,
первый вектор нормали у нас  уже есть:

Напишем
уравнение плоскости AEF.

A  E  F

Составим уравнение плоскости:

  

Уравнение
плоскости AEF: 2x+2y–z=0

Нормаль
к плоскости AEF: (2;
2; -1)

Найдем
угол между плоскостями:                             

4.4   
Угол между прямой и плоскостью

Задача
3.

В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все
ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где E-середина
апофемы SF
грани  ASB
грани и плоскостью ASC

        

     

OB –
вектор нормали плоскости ASC

DE –
направляющий вектор прямой

OB –   – вектор нормали
плоскости ASC

DE –  – вектор направляющей
вектор прямой DE

Ответ:

4.5  
Расстояние от точки до плоскости

Задача
4

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E
до прямой B₁C₁.

Решение
(1 способ)

1) Рассмотрим ΔCDE:

по теореме косинусов:

СЕ² = 2СD²
 – 2CD² cos120° = 2 + 2*1/2 = 3 =>

CE =

2) Рассмотрим ΔС₁СЕ: он
прямоугольный, т.к. С₁С перпендикулярна плоскости нижнего основания
=> CC₁
перпендикулярна СЕ.

По теореме Пифагора:

С₁Е²  = ()² + 1²
= 4, С₁Е = 2

3) Рассмотрим ΔBCE:
он прямоугольный , т.к. 120° – 60°:2 = 90° (из ΔCDE)

ВЕ² = ()² + 1²
= 4, ВЕ = 2

4) Рассмотрим ΔВВ₁Е: он прямоугольный,
т.к. ВВ₁ перпендикулярна ВЕ,

по теореме Пифагора:

В₁Е² = В₁В²
+ ВЕ²  = 4 + 1 = 5, ВЕ =

5) Рассмотрим ΔВ₁С₁Е:

С₁Е = 2, С₁В₁
= 1, В₁Е = , т.е. 2² + 1²
= ()². Таким образом,
по теореме обратной теореме Пифагора, ΔВ₁С₁Е –
прямоугольный, угол В₁С₁Е = 90°

6) Искомое расстояние от точки  Е до прямой В₁С₁
– это длина С₁Е = 2

2
способ

1) 
Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси,
как показано на рисунке. СС₁, СВ и СЕ попарно перпендикулярны,
поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С₁ (0;0;1),
Е (;0;0), В₁ (0;1;1)

2) Найдем координаты
векторов С₁В₁ и С₁Е:

С₁В₁
(0;1;0), С₁Е (;0;-1).

3) Найдем косинус угла
между С₁В₁ и С₁Е, используя скалярное
произведение векторов С₁В₁ и С₁Е:

cosβ =   = 0  => β
= 90° => C₁E
– искомое расстояние.

4) С₁Е =  =2

4.6       Расстояние между скрещивающимися прямыми

в пространстве — это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок с
концами на этих прямых, перпендикулярный обеим этим прямым.

     
Если прямые в пространстве пересекаются, расстояние между ними считается равным
0.

Пусть есть не
пересекающиеся в пространстве прямые a и b.

Построим плоскости α и β так, чтобы эти плоскости были
параллельны, плоскость α содержала в себе прямую a, плоскость β содержала в себе прямую b.

       Расстоянием между прямыми a и b будет расстояние между плоскостями α и β.

Введение системы координат

30 мая 2011

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат — в точке A;
2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA₁.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

И для верхней:

Точка	A1	B1	C1	D1
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

1. Начало координат — в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Смотрите также:

1. Четырехугольная пирамида в задаче C2
2. Метод координат в пространстве
3. Сложение и вычитание дробей
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Как решать простейшие логарифмические уравнения
6. Задача B4: транзит нефти