Аналитическая геометрия для «чайников»
Настоящая книга позволит вам в сжатые сроки (2-3 недели) освоить основы аналитической геометрии и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят быстро освоить минимум теории и максимум практики
Сначала немного о предмете…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает «аналитическая»? На ум сразу приходят два «штампованных» математических оборота: графический метод решения и аналитический метод решения.
Графический метод связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решения многих задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.
Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой
С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.
В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.
Что такое направляющий вектор прямой
Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.
Сформулируем, что такое направляющий вектор.
Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.
Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.
Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .
Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.
Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .
Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой
Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.
1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.
Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x – x 1 a x = y – y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .
Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.
Приведем пример задачи.
В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x – 1 4 = y + 1 2 – 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.
Решение
Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , – 3 . Это и будет нужный нам ответ.
Ответ: 4 , – 3 .
Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.
У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = – 1 y = 7 – 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.
Решение
Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = – 1 + 0 · λ y = 7 – 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , – 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.
Ответ: 0 , – 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0
Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .
А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.
У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x – 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.
Решение
В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.
Ответ: ( 0 , 1 )
А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.
1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.
2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.
3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .
Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.
Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y – 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.
Решение
Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:
3 x + 2 y – 10 = 0 ⇔ 3 x = – 2 y + 10
Получившееся равенство преобразовываем и получаем:
3 x = – 2 y + 10 ⇔ 3 x = – 2 ( y – 5 ) ⇔ x – 2 = y – 5 3
Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3
К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.
Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.
Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:
1) канонического уравнения прямой в пространстве x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z
2) параметрического уравнения прямой в пространстве x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z
Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.
Рассмотрим конкретную задачу.
Прямая в пространстве задана уравнением вида x – 1 4 = y + 1 2 0 = z – 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.
Решение
В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , – 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , – 3 · t при условии, что t является действительным числом.
Ответ: 4 · t , 0 , – 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0
Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = – 4 – λ .
Решение
Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = – 4 – 1 · λ .
Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.
Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?
Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.
Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.
Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .
n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 – это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.
Решим задачу, в которой применяется этот подход.
Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z – 1 = 0 2 x + 4 y – 4 z + 5 = 0 .
Решение
Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z – 1 = 0 и 2 x + 4 y – 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , – 4 .
У нас получится:
n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 – 4 = i → · 2 · ( – 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 – – k → · 2 · 2 – i → · 3 · 4 – j → · 1 · ( – 4 ) = – 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →
Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = – 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = – 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.
Ответ: – 20 , 10 , 0
В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.
Как найти вектор по точкам
Формула
Чтобы найти координаты вектора $overline$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_ <1>; y_<1>right)$ и конца $Bleft(x_ <2>; y_<2>right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть
Чтобы найти координаты вектора $overline$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_ <1>; y_ <1>; z_<1>right)$ и $Bleft(x_ <2>; y_ <2>; z_<2>right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:
Примеры нахождения координат вектора по точкам
Задание. Даны точки $A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline$ и $overline$
Решение. Для вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline$ равны
Для вектора точка $B$ является началом, а точка $A$ – концом. Тогда координаты вектора $overline$ равны
Ответ. $overline=(-2 ; 2), overline=(2 ;-2)$
Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов $overline$, $overline$, $overline$
Решение. Для искомого вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $B$ – концом. Тогда координаты вектора $overline$ соответственно равны:
$$overline=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$
Для вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $C$ – концом. Тогда его координаты соответственно равны
Для вектора $overline$ точка $B$ является началом, а точка $C$ – концом. Его координаты равны
Ответ. $overline=(2 ; 4 ; 1), overline=(-1 ; 1 ; 0,5), overline=(-3 ;-3 ;-0,5)$
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/napravljajuschij-vektor-prjamoj-koordinaty-napravl/
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_0.php
[/spoiler]
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора:
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Сумма векторов:
Разность векторов:
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и :
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму.
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
Для точки M:
То есть A + C + D = 0.
Для точки N:
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
.
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
;
.
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
.
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Упростим систему:
.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Векторы в пространстве и метод координат» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Содержание:
Аналитическая геометрия
В этой главе все геометрические объекты мы будем определять и изучать с помощью соответствующих уравнений этих объектов и, следовательно, в принципе геометрия может быть изложена без единого чертежа. И, действительно, все чертежи, которые мы будем использовать, будут служить лишь для визуальной иллюстрации наших рассуждений.
Уравнение поверхности в выбранной декартовой системе координат
т. е. в виде связи или зависимости между координатами х, у, z произвольной точки поверхно-аналогично, уравнение
определяет некоторую линию (кривую) в системе координат на плоскости.
Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей и, следовательно, она определяется системой из уравнений этих поверхностей:
Кроме того, кривую на плоскости или в пространстве можно также задать с помощью зависимостей координат произвольной то’жи этой кривой от некоторого параметра, т. е. с помощью параметрических уравнений:
где t – действительный параметр.
Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
Найдем уравнение плоскости в пространстве с выбранной в нем декартовой системой координат . Будем исходить из того, что положение этой плоскости полностью определяется точкой . через которую проходит плоскость и ненулевым вектором . ей перпендикулярным. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Пусть — произвольная точка плоскости П. Тогда вектор ортогонален вектору и, следовательно,
или, учитывая, что запишем в координатах уравнение плоскости П :
Преобразовав полученное уравнение к виду
мы получим тем самым общее уравнение плоскости.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует, одна из координат, то нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен соответствующей координатной оси и, следовательно, плоскость расположена параллельно этой координатной оси.
Аналогично, если в общем уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то нормальный вектор данной плоскости перпендикулярен соответствующей координатной плоскости и, значит, плоскость расположена параллельно этой координатной плоскости.
Научимся теперь находить уравнение плоскости по трем элементам.
1) Плоскость, проходящая через точку, параллельно двум векторам.
Пусть плоскость проходит через точку параллельно неколлинеарным векторам .
Обозначим через произвольную точку плоскости Для точек данной плоскости и только для них три вектора компланарны и, следовательно (глава II, §5, теорема), их смешанное произведение равно нулю, т. е.
Раскрыв определитель (проще всего, разлагая его по первой строке), получим общее уравнение плоскости
2)Плоскость, проходящая через две точки, параллельно вектору.
Найдем уравнение плоскости , проходящей через две точки , параллельно ненулевому вектору . Задача сводится к предыдущей, если положить, например, Тогда
– искомое уравнение плоскости
3)Плоскость, проходящая через три точки.
Если плоскость проходит через три точки , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно найти, как и в случае 1). положив например, Следовательно, уравнение плоскости записать в виде:
Замечание. Во всех трех случаях уравнение плоскости можно найти, вычислив предварительно ее нормальный вектор. Например, в первом случае в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение Тогда — уравнение плоскости.
Пример №1
Найти уравнение плоскости 11 ^ – перпендикулярной плоскости
параллельной вектору и проходящей через точку пересечения плоскости с координатного осью
Решение. Из уравнения плоскости находим у = — 2. Следовательно, плоскость проходит через точку Кроме того, , поэтому нормальный вектор плоскости параллелен плоскости . Осталось записать искомое уравнение по трем элементам: точке и векторам . Имеем:
Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид:
Пусть плоскость не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей. Тогда, очевидно, все числа A, В, С, D отличны от нуля.
Разделив обе части уравнения плоскости на число D. мы можем записать его в виде:
Числа а, b, с представляют собой величины отрезков, которые плоскость П отсекает на координатных осях. Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
Найдем теперь формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости
Обозначим искомое расстояние через. Очевидно., где точка — основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость П. Вычислим скалярное произведение коллинеарных векторов . С одной стороны,
С другой,
так как и поэтому Следовательно, расстояние от точки до плоскости П вычисляется по формуле:
В заключение этого параграфа выясним характер взаимного расположения двух плоскостей. Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями:
Очевидно, что угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами и, следовательно,
В частности,
Пример №2
Убедиться в том, что плоскость отсекающая на координатных осях отрезки величиной 2, —1, 2 соответственно и плоскость
параллельны и найти расстояние между ними.
Решение. Запишем уравнение плоскости II| в отрезках:
Преобразовав его к общему виду, получим:
Так как нормальные векторы плоскостей коллинеарны. то эти плоскости параллельны. Возьмем какую-нибудь точку в плоскости например, . Тогда
Уравнения прямой в пространстве
Пусть прямая L в пространстве с декартовой системой координат проходит через точку и параллельна ненулевому вектору, который называется направляющим вектором прямой.
Обозначим через произвольную точку прямой L. Вектор коллинеарен вектору и, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.
Эта двойная пропорция представляет собой канонические уравнения прямой в пространстве.
Заметим, что в канонических уравнениях прямой формально допускается запись нулей в знаменателях, это означает лишь то, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси или координатной плоскости.
Если прямая проходит через две точки , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор и, следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид:
Коллинеарные векторы линейно связаны (глава II. §1), т.е. существует действительный параметр t такой, что
Если точка М перемещается вдоль прямой, параметр t изменяется в пределах от до . Так как – радиусы-векторы точек и М соответственно, то последнее уравнение мы можем переписать в виде
Это уравнение называется векторным уравнением прямой.
Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрические уравнения прямой:
Прямую в пространстве можно задать также как пересечение двух плоскостей.
Система
составленная из уравнений этих плоскостей, дает нам общие уравнения прямой в пространстве. Для перехода от общих к каноническим уравнениям прямой, достаточно найти какую-нибудь точку на ней, решив при фиксированном значении одной из координат систему уравнений плоскостей, а также определить направляющий вектор прямой, которым может служить векторное произведение нормальных векторов плоскостей. т. е. вектор
Пример №3
Найти канонические уравнения прямой
Решение. Полагая в данной системе z = 0, получим
Решив эту систему, найдем х = 1, у = —2. Таким образом, мы получили точку на прямой. Найдем ее направляющий вектор:
Осталось записать канонические уравнения данной прямой:
Научимся теперь вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть задана точка и прямая L своими каноническими уравнениями
Искомое расстояние равно, очевидно, высоте треугольника, построенного, на векторах Воспользовавшись геометрическим смыслом длины векторного произведения (глава II. §4), найдем:
Пусть нам известны канонические уравнения двух прямых в пространстве:
Очевидно,
Один из углов между этими прямыми равен углу между их направляющими векторами и и, следовательно.
Изучим взаимное расположение прямых . Если направляющие векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны или совпадают. Совпадать они будут в том случае, когда
В случае, когда , прямые пересекаются или являются скрещивающимися.
Прямые пересекаются, очевидно, тогда и только тогда, когда векторы компланарны. В противном случае данные прямые являются скрещивающимися. Таким образом, для того, чтобы выяснить, являются ли две данные непараллельные прямые пересекающимися или скрещивающимися, достаточно вычислить смешанное произведение и, если оно окажется равным нулю, то прямые пересекаются, иначе – скрещиваются.
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно, очевидно, расстоянию между параллельными плоскостями, в которых расположены эти прямые и, следовательно, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах Отсюда, использовав геометрический смысл смешанного произведения (глава II. §5), мы и найдем искомое расстояние:
Пример №4
Убедиться в том, что прямые
являются скрещивающимися. Найти расстояние между ними и уравнение общего перпендикуляра к ним.
Решение. Первая прямая проходит через точку параллельно вектору . а вторая – через точку параллельно вектору Вычислим смешанное произведение векторов
следовательно, прямые являются скрещивающимися. Для вычисления расстояния между ними иенолтьзуем приведенную выше формулу. Так как
Осталось найти уравнение общего перпендикуляра к данным прямым. Заметим, прежде всего, что его направляющим вектором является уже вычисленный нами вектор . Очевидно, указанный перпендикуляр расположен в пересечении двух плоскостей , проходящих через данные прямые параллельно вектору Найдем уравнения этих плоскостей по трем элементам. Первая из них проходит через точку параллельно векторам следовательно (§1),
Таким образом, плоскость имеет уравнение Аналогично, плоскость содержит точку и расположена параллельно векторам поэтому
и, стало быть, – уравнение плоскости . Система из уравнений плоскостей и даст нам общие уравнения перпендикуляра к прямым :
В заключение этого параграфа вычислим угол между прямой L, заданной каноническими уравнениями
и плоскостью П, для которой известно ее общее уравнение
Очевидно, искомый угол связан с углом между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением следовательно, откуда,
В частности, если
Прямая на плоскости
Для прямой на плоскости наблюдается большее разнообразие ее уравнений, так как на плоскости прямая фиксируется точкой, через которую она проходит и, либо вектором ей перпендикулярным (нормальным вектором), либо вектором ей параллельным (направляющим вектором) и, следовательно, для прямой на плоскости можно записывать как уравнения, характерные для плоскости в пространстве (§1), так и аналоги уравнений прямой в пространстве (§2). Перечислим, не повторяя деталей, изложенных в предыдущих двух параграфах, основные уравнения прямой на плоскости и связанные с ними формулы.
Пусть прямая L на плоскости с выбранной в ней системой координат проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .
Уравнение такой прямой имеет вид:
откуда после очевидных преобразований получим уравнение
которое представляет собой общее уравнение прямой на плоскости.
Пусть прямая L отсекает на координатных осях отрезки величиной а и Ь соответственно.
Тогда, как и для плоскости, мы можем записать уравнение прямой в отрезках:
Если прямая L содержит точку и расположена параллельно ненулевому вектору
то ее каноническое уравнение имеет вид:
По аналогии с прямой в пространстве, прямая на плоскости может быть задана также векторным уравнением
и параметрическими уравнениями
Расстояние от точки прямой L на плоскости, заданной общим уравнением , может быть вычислено по формуле:
Найдем еще одно уравнение прямой на плоскости, характерное для этого геометрического объекта. Пусть прямая L, заданная своим каноническим уравнением , непараллельна оси
Тогдаи мы можем записать уравнение прямой L с угловым коэффициентом:
где – угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, который отсекает эта прямая на оси . В частности,
представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку
Если две прямые на плоскости заданы общими или каноническими уравнениями, то их взаимное расположение исследуется по аналогии с плоскостями или прямыми, заданными такими же уравнениями (§1 или §2). Изучим поэтому взаимное расположение двух прямых, которые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Итак, рассмотрим две прямые
Предположим сначала, что прямые не являются перпендикулярными, обозначим черезострый угол между ними. Тогда, очевидно, и, следовательно,
Если же, то нормальные векторы этих прямых ортогональны, следовательно,
Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы
Очевидно. прямые параллельны в том и только в том случае, когда равны углы, которые они образуют с осью Ох. Следовательно, для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы совпадали их угловые коэффициенты, т. е.
Пример №5
Даны прямая и точка А(—2, 1). Найти уравнения прямыхпроходящих через точку А и таких, что
Решение. Прямые имеют общий нормальный вектор , поэтому,
– общее уравнение прямой
Так как то направляющим вектором прямой является нормальный вектор прямой L, следовательно,
каноническое уравнение прямой
Из уравнения прямой L находим следовательно, Тогда угловые коэффициенты прямых удовлетворяют уравнению
откуда, Осталось записать уравнения прямых
Кривые второго порядка на плоскости
В предыдущих трех параграфах нами были изучены линейные геометрические объекты -плоскость и прямая в пространстве и на плоскости. Мы показали, что в декартовой системе координат они определяются алгебраическими уравнениями первой степени, т. е. линейными уравнениями. Предметом нашего исследования в этом параграфе будут являться кривые второго порядка, т. е. линии на плоскости, уравнения которых в декартовой системе координат Оху имеют вид:
где А, В, С, D, Е, F – действительные числа. Мы убедимся в том, что, за исключением случаев вырождения данное уравнение определяет одну из трех замечательных линий — эллипс, гиперболу или параболу. Приведем сначала геометрическое определение каждой из этих линий и найдем их канонические уравнения.
Эллипс
Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.
Найдем каноническое уравнение эллипса. Обозначим через 2с фокусное расстояние, т. е. расстояние между фокусами, а через 2а — постоянную сумму расстояний от точек эллипса до фокусов. Из неравенства треугольника следует, что . Выберем декартову систему координат на плоскости следующим образом: ось Ох направим через фокусы, а начало координат выберем посередине между ними.
Пусть М(х, у) — произвольная точка эллипса. По определению этой линии,
Упростим последнее уравнение:
откуда, использовав обозначение , мы и получим каноническое уравнение эллипса :
Построим эту линию. Для этого прежде всего заметим, что она симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как переменные x и у входят в каноническое уравнение в квадратах. Отсюда следует, что эллипс достаточно построить в первой координатной четверти и затем отразить его относительно координатных осей. Из канонического уравнения эллипса находим:
Очевидно, эта функция определена и убывает при Кроме того, ее график располагается выше прямой Из приведенных рассуждений следует, что эллипс представляет собой следующую замкнутую линию на плоскости:
Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Точка O(0,0) -центр эллипса, точки – вершины эллипса, отрезок — большая, — малая оси эллипса.
Форму эллипса характеризует величина . равная отношению фокусного расстояния к длине большой оси. Это число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, Так как
то при мы имеем , и, следовательно, эллипс по форме мало отличается от окружности. В предельном случае, когда . полуоси совпадают и эллипс превращается в окружность. Если же и эллипс является вытянутым вдоль оси Ох.
Замечание. В уравнении эллипса может оказаться, что Тогда фокусы эллипса находятся на оси — большая, — малая полуоси эллипса.
Гипербола
Определение: Гипербола представляет собой линию на плоскости, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная.
Обозначим и здесь фокусное расстояние через 2с. а через 2а — постоянную абсолютную величину разности расстояний от точек гиперболы до фокусов. Для гиперболы а < с, что следует из неравенства треугольника. Выберем декартову систему координат на плоскости точно также, как и при выводе канонического уравнения эллипса.
По определению гиперболы для произвольной точки М(х, у) этой линии
Избавляясь от корней в этом уравнении, получим:
Обозначая здесь , получим каноническое уравнение гиперболы:
Как видно из ее уравнения, гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Из канонического уравнения гиперболы следует, что в первой четверти
Эта функция возрастает, при всех при больших х.
а а а а
Это означает, что в первой четверти гипербола, выходя из точки (а, 0) на оси Ох, приближается
затем при больших значениях х к прямой Следовательно, гипербола выглядит следующим образом:
Прямые называются асимптотами гиперболы. Точка O(0,0) – центр гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Ось симметрии гиперболы, пересекающая ее в вершинах, называется действительной осью. Вторая ось симметрии, не имеющая с гиперболой общих точек, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Если полуоси равны, то гипербола называется равносторонней (равнобочной).
Как и для эллипса, определим эксцентриситет гиперболы как отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси:
Так как
то эксцентриситет гиперболы характеризует величину угла, в котором она располагается. При угол мал и, наоборот, если эксцентриситет велик, то и угол. в котором находится гипербола, близок к развернутому.
Замечание. В каноническом уравнении гиперболы знаки перед квадратами могут располагаться и в обратном порядке:
В этом случае фокусы и вершины находятся на оси
Парабола
Определение: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от. фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы).
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Число р > 0 называется параметром параболы. Выберем удобную систему координат на плоскости: ось Ох направим через фокус F перпендикулярно директрисе D, а начало координат возьмем посередине между директрисой и фокусом.
Если М(х,у) – произвольная точка параболы, то по определению этой кривой
После возведения в квадрат и очевидных преобразований, получим каноническое уравнение параболы:
Очевидно, парабола проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ох. Точка O(0,0) называется вершиной параболы, ось Ох – осью параболы.
Замечание. Если бы при выборе системы координат мы направили ее оси в противоположные стороны, то каноническое уравнение параболы приняло бы вид:
Аналогично, уравнения
также определяют параболы, фокусы которых расположены на оси Оу. а директрисы параллельны оси Ох.
Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Покажем, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости, кроме случаев вырождения, определяет одну из линий — эллипс, гиперболу или параболу.
Выясним сначала, как преобразуются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат. Предположим, что осуществлен параллельный перенос системы координат Оху в точку . Пусть — координаты точки М в старой Оху, а — координаты той же точки в новой системе координат.
Так как то новые и старые точки координаты на плоскости связаны линейными соотношениями:
Рассмотрим теперь уравнение второго порядка на плоскости в частном случае, когда оно не содержит произведения координат ху :
причем коэффициенты А и С не равны одновременно нулю. Здесь возможны три случая.
а) АС > 0. Очевидно, всегда можно считать, тгго А > 0, С > 0. Выделяя в уравнении второго порядка полные квадраты по переменным х и у, получим:
где — некоторые действительные числа. Ясно, что при > 0 ни одна из точек плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Если = 0, то единственным решением полученного уравнения является точка . Наконец, при < 0 уравнение приводится к виду
и, следовательно, в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат оно является каноническим уравнением эллипса:
b) АС < 0. Будем считать для определенности, что А > 0. С < 0.
В этом случае исходное уравнение второго порядка также приводится к виду (1). При F = 0 оно определяет пару прямых, проходящих, через точку :
Если же , то полученное уравнение мы можем преобразовать к виду
и, стало быть, после параллельного переноса системы координат в точку последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы:
c) АС = 0. Предположим, например, что
Выделяя в данном уравнении второго порядка полный квадрат по переменной у, получим:
С {у ~ Уо)2 + Dx + F1=0.
Если в этом уравнении D = 0, то при > 0 множество решений этого уравнения пусто, а при < 0 полученное уравнение определяет пару прямых, параллельных оси Ох :
Если же , то мы можем привести уравнение к виду:
т.е. после параллельного переноса системы координат в точку , мы получим тем самым каноническое уравнение параболы:
Аналогично. если в исходном уравнении второго порядка то, не принимая во внимание вырожденные случаи, это уравнение мы также можем привести к каноническому уравнению параболы:
Пример №6
Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, назвать и построить кривую:
Решение. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получим:
что представляет собой каноническое уравнение эллипса в смещенной в точку системе координат. Для этого эллипса и, следовательно, фокусы находятся в точках . Эксцентриситет эллипса равен
Пример №7
Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , осью симметрии, параллельной координатной оси Ох и фокусом на оси Оу. Построить параболу.
Решение. Фокус параболы находится в точке F(0 , 2), следовательно, уравнение параболы с учетом смещения имеет вид:
Здесь и, стало быть.
каноническое уравнение параболы.
Замечание. Для приведения к каноническому виду уравнения второго порядка, содержащего произведение координат ху, необходимо кроме параллельного переноса выполнить еще и поворот системы координат на определенный угол. Например, для равносторонней гиперболы ху = 1 следует повернуть систему координат Оху вокруг ее начала на угол 45° против часовой стрелки. Поскольку вершины гиперболы находятся на расстоянии от начала координат. то в новой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
Поверхности второго порядка в пространстве
В заключение этой главы мы изучим поверхности в пространстве, которые в декартовой системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени. Существуют пять видов таких поверхностей: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры второго порядка и конус второго порядка.
Поверхность вращения
Найдем уравнение поверхности, которая получается вращением некоторой линии вокруг одной из координатных осей. Пусть линия L, которая в координатной плоскости Oyz задается уравнением F(y, z) = 0. вращается вокруг оси Oz.
Пусть M(x,y,z) – произвольная точка на поверхности вращения. Перегоним ее по окружности, расположенной в сечении поверхности плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно оси Oz, в точку N на линии L. Поскольку расстояние от точки М до оси Oz равно то точка N имеет координаты . Подставив координаты точки N в уравнение линии L. мы и получим тем самым уравнение поверхности вращения:
Найдем теперь уравнения поверхностей, которые получаются вращением кривых второго порядка с последующей линейной деформацией этих поверхностей.
Эллипсоид
Возьмем в плоскости Oyz эллипс
и будем вращать его вокруг оси Oz. В результате, как следует из предыдущего пункта, мы получим поверхность с уравнением
которая называется эллипсоидом вращения. Заменив в найденном уравнении координату х на —, т. е. линейно деформируя поверхность вдоль оси Ох с коэффициентом —, мы получим тем самым уравнение эллипсоида общего вида:
Положительные числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.
Очевидно, сечениями эллипсоида плоскостями параллельными координатным, являются эллипсы.
Замечание. В частном случае, когда а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу
радиуса R с центром в начале координат.
Гиперболоиды
а) Однополостный гиперболоид.
Вращая гиперболу
вокруг оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения с уравнением
После линейной деформации вдоль оси Ох эта поверхность превращается в однополостный гиперболоид общего вида с осью Oz :
Аналогично, уравнения однополостных гиперболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:
Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями, перпендикулярными его оси, являются эллипсы, а в сечениях плоскостями, перпендикулярными другим координатным осям, располагаются гиперболы.
Двухполостный гиперболоид
Поверхность, полученная вращением вокруг оси Оz гиперболы
вершины которой расположены на оси вращения, называется двухполостным гиперболоидом вращения. Запишем уравнение двухполостного гиперболоида:
Линейная деформация двухполостного гиперболоида вращения вдоль оси Ох прообразует его в двухполостный гиперболоид общего вида с осью Oz. Уравнение этой поверхности имеет вид:
Двухполостные гиперболоиды с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:
Как и в случае однополостного гиперболоида, сечениями двухполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, являются эллипсы и гиперболы.
Параболоиды
а) Эллиптический параболоид
Вращение параболы вокруг ее оси приводит к поверхности, которая называется параболоидом вращения. В частности, если параболу с каноническим уравнением вращать вокруг оси Oz, то, как следует из пункта 0, уравнение полученного параболоида вращения имеет вид:
Линейная деформация параболоида вращения вдоль оси Оу превращает его в эллиптический параболоид с уравнением:
Положительные числа p, q называются параметрами параболоида, точка O(0,0) – вершина, ось Oz – ось эллиптического параболоида.
Уравнения эллиптических параболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:
Как следует из уравнения эллиптического параболоида, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, а в сечениях плоскостями, параллельными другим координатным, находятся параболы.
Замечание. Изменение знака в правой части уравнения эллиптического параболоида приводит к отражению этой поверхности относительно координатной плоскости, перпендикулярной оси параболоида.
b) Гиперболический параболоид.
Будем поступательно перемещать образующую параболу
расположенную в плоскости Oyz, параллельно самой себе вдоль направляющей параболы
находящейся в плоскости Oxz. Полученная таким образом поверхность называется гиперболическим параболоидом или седловидной поверхностью.
Найдем уравнение этой поверхности. Пусть М(х. у, z) – произвольная точка гиперболического параболоида. По его построению точка М принадлежит параболе с вершиной в точке , параллельной параболе Так как координаты произвольной точки этой параболы удовлетворяют уравнению
то, подставив в него координаты точки М, мы и получим после несложных преобразований уравнение гиперболического параболоида:
Здесь, как и для эллиптического параболоида, числа р, q – параметры гиперболического параболоида, точка O(0,0) и ось Oz – соответственно вершина и ось гиперболического параболоида.
Замечание 1. Седловидная поверхность может быть также получена перемещением параболы параллельно самой себе вдоль параболы
Судя по уравнению гиперболического параболоида, в сечениях этой поверхности плоскостями z = h > 0 находятся гиперболы, действительные оси которых параллельны координатной оси Ох. Аналогично, плоскости z = h < 0 пересекают данную поверхность по гиперболам с действительными осями, параллельными оси Оу. Наконец, плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид по двум прямым
Гиперболические параболоиды, осями которых служат координатные оси Ох и Оу, имеют, соответственно, уравнения:
Замечание 2. Отразив седловидную поверхность относительно координатной плоскости, перпендикулярной ее оси, получим гиперболический параболоид, уравнение которого отличается знаком правой части от уравнения исходной поверхности.
Цилиндры второго порядка
Цилиндром второго порядка называется поверхность, полученная перемещением некоторой прямой (образующей) вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей образующую, параллельно фиксированному ненулевому вектору в пространстве.
Ограничимся случаем, когда направляющая расположена в одной из координатных плоскостей, а образующая перпендикулярна этой плоскости. Возьмем для определенности в плоскости Оху кривую второго порядка и будем перемещать прямую, параллельную оси Oz, вдоль этой кривой. Так как проекцией любой точки M(x,y,z) полученного таким образом цилиндра на плоскость Оху является точка N(x,y), принадлежащая кривой второго порядка, то координаты точки М удовлетворяют уравнению этой кривой. Следовательно, уравнением построенного цилиндра является уравнение его направляющей.
Перечислим теперь цилиндры второго порядка.
1) – эллиптический цилиндр.
В частности, при а = b мы получим круговой цилиндр.
2 2 X у
2) – гиперболический цилиндр.
3) – параболический цилиндр.
Аналогичные уравнения имеют цилиндры второго порядка, образующие которых параллельны осям Ох и Оу, а направляющие расположены в координатных плоскостях Oyz и Oxz, соответственно.
Конус второго порядка
Конус второго порядка представляет собой поверхность, которая может быть получена перемещением прямой (образующей), имеющей неподвижную точку, которая называется вершиной конуса, вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей вершину.
Найдем уравнение конуса, вершина которого совпадает с началом координат, а направляющей служит эллипс с уравнением
расположенный в плоскости z = с, с > 0.
Пусть M(x,y,z) – произвольная точка конуса. Обозначим через точку перс-сечения образующей, проходящей через точку М, с направляющей. Координаты точки удовлетворяют уравнениям
а точки M – уравнениям
Из последних уравнений мы находим:
Подставив найденные выражения для в уравнение эллипса, получим после несложных преобразований уравнение конуса второго порядка:
Координатная ось Oz называется осью конуса. Если а = b, то конус является круговым.
Конусы второго порядка с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:
Покажем, что вид конуса второго порядка не зависит от выбора направляющей. Действительно, если в качестве направляющей взять гиперболу
находящегося в плоскости 2 = с, то после рассуждений, аналогичных предыдущим, получим поверхность с уравнением
т. е. конус с осью Ох. Если же за направляющую мы выберем в плоскости z = с параболу с уравнением
то построенный таким образом конус имеет уравнение
Наблюдая со стороны положительной полуоси Оу, повернем систему координат Oxz вокруг оси Оу на угол 45° против часовой стрелки. Тогда произведение xz в системе координат
запишется как (§4, пункт 4, замечание). Следовательно, в новой системе координат Oxyz найденное уравнение поверхности приобретает вид
и, стало быть, эта поверхность является конусом с осью
Как следует из уравнения конуса и его построения, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, сечениями конуса плоскостями, параллельными его оси, являются гиперболы, и, наконец, в сечениях конуса плоскостями, параллельными образующей, располагаются параболы.
Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
По аналогии с уравнением кривой второго порядка (§4, пункт 4), уравнение поверхности второго порядка, не содержащее произведений координат, мы можем за счет выделения полных квадратов привести к уравнению одной из рассмотренных в пунктах 1—5 поверхностей. Следовательно, мы получим одну из поверхностей второго порядка в смещенной с помощью параллельного переноса системе координат. Исключение, правда, составляет случай, когда уравнение поверхности содержит полный квадрат и два линейных слагаемых относительно других координат. Такая поверхность представляет собой параболический цилиндр в смещенной с помощью параллельного переноса и повернутой затем вокруг одной из координатных осей системе координат.
Пример №8
Привести уравнение второго порядка
к каноническому виду, назвать и построить поверхность.
Решение. После выделения полных квадратов по переменным у, z получим:
Переписав это уравнение в виде
мы замечаем, что в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат, эта поверхность представляет собой гиперболический параболоид с параметрами р = 1, q = 4.
Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости
Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск уравнением первой степени относительно двух переменных.
Если A – некоторая точка на прямой – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через A перпендикулярно проходит единственная прямая на плоскости, а, во-вторых, для любой точки вектор . Таким свойством обладают только точки, лежащие на.
Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск XOY .
В этой системе координат
Пусть M (x, y) – произвольная точка
на . Тогда (рис. 22 ) . Так как , то по свойству 5 скалярного произведения – векторное уравнение прямой .
поэтому по формуле (2.5) получим
Координаты точек, лежащих на прямой, связаны соотношением (3.1). Если же не перпендикулярен значит, координаты M не будут удовлетворять полученному уравнению. Поэтому (3.1) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных x и y .
Определение: Любой ненулевой вектор , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью.
. Обозначая , получим
(3.2) – общее уравнение прямой на плоскости,
Уравнение прямой с направляющим вектором
Определение: Любой ненулевой вектор , параллельный прямой, называется ее направляющим вектором.
Если A – некоторая точка на прямой – вектор, параллельный ей, то, во-первых, через A параллельно проходит единственная прямая, а, во-вторых, для любой точки вектор Таким свойством обладают только точки, лежащие на .
Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск XOY . В этой системе координат
Пусть M (x, y) – произвольная точка на . Тогда и . Запишем условие коллинеарности векторов:
(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.
Если – направляющий вектор прямой , поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть – направляющий вектор прямой не параллельна оси OY , тогда
Определение: Угловым коэффициентом прямой называется число
Очевидно, что если – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ, то
Рассмотрим уравнение (3.3) прямой с направляющим вектором
Отсюда следует (3.5) – уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Из (3.5) получим . Обозначим , тогда
(3.6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Угол между прямыми на плоскости
Определение: Углом между двумя прямыми на плоскости называется любой из двух смежных углов, образованных ими при пересечении. Если прямые параллельны, то угол между ними равен 0 или радиан.
Пусть прямые заданы общими уравнениями.
Условие параллельности прямых:
Условие перпендикулярности прямых:
Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.
Так как (рис. 24 ), то
Условие параллельности прямых:
Условие перпендикулярности:
Так как
не существует, то
Пример №9
Даны вершины треугольника:
Написать:
а) уравнение медианы AM , б) высоты AH , в) найти угол между AM и AH
(рис. 25).
Перепишем уравнение медианы в общем виде:
– нормаль АМ.
б) – нормаль AH . Уравнение прямой (3.1), проходящей через точку A перпендикулярно вектору :
в). По формуле (3.7)
Расстояние от точки до прямой на плоскости
Пусть в некоторой пдск XOY задана прямая и точка Найдем расстояние от точки M до прямой .
Пусть – проекция точки M на (рис. 26), тогда .
Нормаль
где d – искомое расстояние, – скалярное произведение.
Следовательно,
Так как . Поэтому
Отсюда
(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.
Пример №10
Найти длину высоты
Уравнение –
искомая длина высоты АН.
Кривые второго порядка
Окружность
Определение: Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск XOY задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных x,y.
Определение: Окружностью называется совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром.
Выведем уравнение окружности. Зададим пдск XOY . Пусть – фиксированная точка (центр окружности), а R – расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если – произвольная точка окружности, то длина равна R .
Если точка M (x, y) не лежит на окружности, то и ее координаты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центром радиуса R .
Если , то уравнение окружности примет вид:
(3.10) – каноническое уравнение окружности.
Пример №11
Показать, что уравнение задает окружность (то есть найти ее центр и радиус).
Приведем данное уравнение к виду (3.9), выделив полный квадрат по переменной x :
Пример №12
Написать уравнение линии центров окружностей
Найдем центр второй окружности:
Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки:
Эллипс
Определение: Эллипс – совокупность точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы , а ось ординат – посередине отрезка перпендикулярно оси абсцисс. Обозначим расстояние между фокусами тогда . Пусть M(x, y) – произвольная точка, лежащая на эллипсе, а 2a – сумма расстояний от точек на эллипсе до ,
2a>2c определению эллипса.
(рис. 27).
Запишем в виде уравнения свойство точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в определении:
(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к
более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11) на сопряженное выражение:
Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат:
Так как по определению a>c, то есть , то обозначим .
Тогда из (3.13) получим:
(3.14) – каноническое уравнение эллипса.
Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:
Из (3.14) следует, что
Значит, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами .
Кроме того, из уравнения следует, что он симметричен относительно OX и OY . O(0,0) – точка пересечения осей симметрии – центр симметрии эллипса.
Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.
– полуфокусное расстояние, – малая полуось,
– большая полуось эллипса и (рис. 28).
Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси называется эсцентриситетом эллипса. Он характеризует форму эллипса.
Так как , и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности .
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнение эллипса, центр которого , а оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:
ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс
и точка
Пример №13
Найти эксцентриситет эллипса (рис. 29).
Так как , то фокусы лежат на оси OY и поэтому
Гипербола
Определение: Гипербола – совокупность точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом:
ось абсцисс проведем через фокусы , а ось ординат – посередине отрез-
ка перпендикулярно оси абсцисс. Тогда – фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть M(x, y) – произвольная точка, лежащая на гиперболе.
– расстояние между фокусами, 2a – модуль разности расстояний от точек на гиперболе до (рис. 30).
Запишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении:
(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний положительна, и «–» – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим:
По определению . Обозначим , тогда (3.17) перепишется в виде:
(3.18) – каноническое уравнение гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.
Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если x=0, , значит, точек пересечения с OY нет; если y = 0 , то . Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы. Кроме того, из (3.18) следует, что . Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. Ось симметрии, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. При этом фокальная ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью.
c – полуфокусное расстояние, a – действительная полуось, b – мнимая полуось. Отношение полуфокусного расстояния к длине действительной полуоси называется эксцентриситетом гиперболы: . Так как по определению
Считая, что из (3.18) получим, что – уравнение части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при неограниченном возрастании разность , то есть при достаточно больших x гипербола приближается к прямой ,
причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой
прямой:. Прямая называется асимптотой гиперболы.
Из симметрии гиперболы следует, что то же самое происходит во второй, третьей и четвертой четвертях. Поэтому – также асимптота.
Итак, прямые – асимптоты гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31).
Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид:
Гиперболы (3.18) и (3.19) называются сопряженными (рис. 31). Уравнения асимптот (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY .
Если a = b, то гипербола называется равносторонней: – уравнения ее асимптот (рис. 32 ).
Очевидно, в этом случае асимптоты перпендикулярны. После поворота осей координат на против часовой стрелки, получим гиперболу, задаваемую уравнением
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гиперболы в точке , а оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид
ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа относится также пара пересекающихся прямых:
Пример №14
Найти координаты центра и написать уравнения асимптот гиперболы
Приведем данное уравнение к виду (3.20):
Таким образом, – центр, – уравнения асимптот данной гиперболы.
Парабола
Определение: Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой. Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33).
Пусть расстояние между фокусом F и директрисой DK равно p . Тогда . Если M(x, y) – произвольная точка на параболе, то по определению
(3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат.
Упростим его:
(3.22) – каноническое уравнение параболы; p называется ее параметром.
Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно OX и проходит через начало координат. Кроме того, если , поэтому кривая лежит в правой полуплоскости и с ростом величины также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34).
Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение имеет вид
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке и ось симметрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид
ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка параболического типа относятся также – пара совпадающих прямых;
– пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых.
Пример №15
Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой x + y – 1 = 0 и точки F(-3,2).
По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой, является параболой. Пусть M (x, y) – произвольная точка искомой параболы, тогда . Расстояние от точки M до прямой x + y – 1 = 0 вычисляется по формуле (3.8): . Из условия следует, что
– уравнение искомого геометрического места точек.
Если оси координат системы XOY повернуть на угол так, чтобы одна из них стала параллельна директрисе, а затем перенести начало координат в точку – вершину параболы, то в новой системе уравнение параболы будет каноническим (рис. 36).
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.
Преобразования координат на плоскости
Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n-мерном многообразии.
Параллельный перенос координатных осей
Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат получена из “старой” параллельным переносом осей в точку . Выясним, как связаны координаты одной и той же точки М в этих системах координат.
Пусть – орты координатных осей системы ХОУ, а – системы
Тогда
так как по определению равенства векторов (рис. 37).
Так как , то
или
(3.23) – формулы параллельного переноса осей пдск.
Поворот координатных осей на угол α
Поворот координатных осей на угол .
Пусть “новая” пдск получена из “старой” системы координат XOY поворотом осей ОХ и ОУ на угол (рис. 38) и М(х, у) – произвольная точка в системе XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.
Из рис. 38 очевидно, что
Так как , то
(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие старые координаты точки через новые.
Если обозначить , то (3.24) можно переписать: . Так как , то существует и
(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые координаты точки через старые.
Пример №16
Каким будет уравнение прямой x + y – 1 = 0 после поворота координатных осей на угол
новое уравнение прямой (рис. 39).
Линейные преобразования на плоскости
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Каждой точке плоскости M(x, y) по формулам (3.26) можно поставить в соответствие единственную точку той же плоскости. При этом точка N называется образом точки M , а точка M – прообразом точки N . Кроме того,уравнения (3.26) линейны относительно x и y , поэтому будем говорить, что (3.26) определяют линейное преобразование плоскости в себя.
Преобразование (3.26) определяется матрицей , которая называется матрицей линейного преобразования. Обозначая ,
(3.26) можно переписать в виде . Можно показать, что определитель равен коэффициенту изменения площадей при линейном преобразовании (3.26). При этом , если в результате преобразования направление обхода некоторого контура не меняется, и , если оно меняется на противоположное. Поясним это на примерах.
Пример №17
– растяжение вдоль
оси OX в 2 раза.
(рис. 40).
Пример №18
при этом направление обхода от O к A , затем к B – по часовой стрелке, а соответствующее направление обхода – против часовой стрелки. Геометрически данное преобразование – растяжение вдоль OX и OY в 2 раза и отражение симметрично относительно оси OY (рис. 41).
Определение: Линейное преобразование (3.26) называется невырожденным, если
В этом случае существует обратная матрица и можно найти . То есть, если , то не только у каждого прообраза существует единственный образ, но и наоборот: для каждого образа существует единственный прообраз. В этом случае говорят, что (3.26) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, или линейное преобразование плоскости на себя.
Можно показать, что невырожденное линейное преобразование переводит прямую в прямую, а кривую второго порядка – в кривую второго порядка.
Пример №19
Пусть преобразование вырожденное.
Какими будут образы точек, лежащих, например, на прямой x + y – 1 = 0
(рис. 42)?
Очевидно, что если , то есть у точки N(1,2) существует бесконечное множество прообразов: все они лежат на прямой x + y – 1 = 0. Потому данное вырожденное линейное преобразование не устанавливает взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости.
Пример №20
Рассмотрим формулы (3.25):
Очевидно, что поворот осей пдск на угол – линейное преобразование.
Так как это линейное преобразование невырожденное, то существует
Заметим, что в этом случае
Определение: Матрица A называется ортогональной, если .
Линейное преобразование, матрица которого ортогональна, называется ортогональным.
Таким образом, поворот координатных осей – ортогональное линейное преобразование.
Можно показать, что если A – ортогональная матрица, то (доказать самостоятельно). Таким образом, в результате ортогональных линейных преобразований на плоскости площади фигур остаются неизменными.
Произведение линейных преобразований
Рассмотрим матрицы Каждая из них определяет линейное преобразование плоскости. Если M(x, y) – некоторая точка плоскости, то под действием линейного преобразования с матрицей B она перейдет в точку
В свою очередь точка N под действием линейного преобразования с матрицей C перейдет в точку
Такое последовательное выполнение линейных преобразований называется их произведением:
Покажем, что произведение линейных преобразований также линейное преобразование, и найдем его матрицу. Подставим (3.27) в (3.28):
То есть
(3.29) – система линейных уравнений, а потому произведение линейных преобразований линейно. Матрица (3.29) имеет вид:
Таким образом, матрица произведения линейных преобразований равна произведению их матриц. Само же правило умножения матриц, сформулированное в гл.1, находит объяснение в этом выводе.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение: Квадратичной формой относительно двух переменных x и y называется однородный многочлен второй степени:
Уравнение задает на плоскости кривую второго порядка, причем, так как вместе с точкой M(x, y) , лежащей на этой кривой, ей принадлежит и точка , кривая симметрична относительно
начала координат, то есть является центральной кривой (эллиптического или гиперболического типа).
Предположим, что уравнение задает в пдск ХОУ эллипс. Если , то это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, а потому, хотя О(0, 0) – его центр, оси симметрии не совпадают с ОХ и ОУ (рис. 43). Тем не менее, заметим, что если оси системы XOY повернуть на
угол , то в системе эллипс будет задаваться каноническим уравнением: кривая симметрична относительно . Найдем линейное преобразование, соответствующее этому повороту.
Матрица называется матрицей квадратичной формы (3.30).
Пусть
Вычислим
Таким образом, квадратичная форма может быть записана в матричном виде:
Пусть x, y – координаты точек плоскости в системе XOY , а – координаты точек плоскости в новой системе , где кривая задается каноническим уравнением. Переход от “старых” координат к “новым” будем искать в виде
(3.32) – ортогональное линейное преобразование с матрицей
По определению ортогональной матрицы
(В результате ортогонального преобразования не происходит изменение площадей фигур, то есть фигуры не деформируются.)
Чтобы узнать, как изменится матрица квадратичной формы в результате линейного преобразования (3.32), подставим (3.32) в (3.31): (свойство 5 умножения матриц)
(свойство 2 умножения матриц и равенство (3.33)) – матрица новой квадратичной формы.
Так как в “новой” системе координат кривая должна задаваться каноническим уравнением, то есть в нем должно отсутствовать произведение координат xy, то имеет вид:
, где – неизвестные числа. Умножим равенство на матрицу T слева. Так как , то получим:
По определению равных матриц имеем:
Системы уравнений (3.34), (3.35) – линейные и однородные. Они имеют нетривиальное решение, если их определители равны 0.
Это означает, что являются решениями уравнения
Уравнение (3.36) называется характеристическим уравнением матрицы A (характеристическим уравнением квадратичной формы). Его решения называются собственными значениями матрицы A (квадратичной формы).
Покажем, что дискриминант квадратного уравнения (3.36) положителен, то есть любая квадратичная форма двух переменных имеет 2 различных собственных значения.
Вычислим определитель (3.36):
Дискриминант
так как (иначе квадратичная форма будет канонической).
Таким образом, коэффициентами при в каноническом виде квадратичной формы являются ее собственные значения, то есть решения уравнения (3.36).
Решим (3.36) и подставим в (3.34). Система имеет бесконечное множество решений и пусть – одно их них. Так как система (3.34) однородная, то – тоже решение. Подберем k так, чтобы вектор
был единичным:
Векторы называется собственными векторами квадратичной формы, соответствующими собственному значению , или первыми собственными векторами. Их направление называется первым главным направлением квадратичной формы. Таким образом, первым собственным вектором квадратичной формы называется любое ненулевое решение системы (3.34).
Аналогично подставим в (3.35) и найдем – второй собственный вектор, соответствующий собственному значению r2 . Его направление называется вторым главным направлением квадратичной формы. – второй единичный собственный вектор, то есть
Можно показать, что . Кроме того, – первый собственный вектор, а – второй собственный
вектор, поэтому ортами “новой” системы координат , к которой мы перейдем в результате линейного преобразования с матрицей T , являются единичные собственные векторы квадратичной формы, найденные как решения систем (3.34), (3.35). Направив оси “новой” системы координат вдоль собственных векторов , получим систему координат, в которой квадратичная форма будет иметь канонический вид
ВЫВОД.
Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, надо:
- Составить и решить характеристическое уравнение (3.36); его решения – собственные значения – являются коэффициентами при в каноническом виде квадратичной формы.
- Найти единичные собственные векторы, решив (3.34) и (3.35); они будут ортами новой системы координат .При этом если ось сонаправлена с – канонический вид, который квадратичная форма имеет в системе .
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
В результате невырожденного линейного преобразования с матрицей T квадратичная форма перейдет в квадратичную форму, линейная – в линейную, а свободный член не изменится. Каждую группу слагаемых будем преобразовывать отдельно, а именно: найдем ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, затем посмотрим, как в результате этого преобразования изменится линейная форма (ортогональное преобразование в нашем случае – это поворот осей).
После поворота осей подберем параллельный перенос новой системы так, чтобы после него уравнение кривой стало каноническим.
Пример №21
Привести к каноническому виду ранее полученное уравнение параболы (стр. 58) и построить ее:
1) Составим матрицу квадратичной формы:
2) Составим и решим характеристическое уравнение (3.36):
– собственные значения.
3) Найдем первый единичный собственный вектор, то есть решим систему (3.34):
– первый собственный вектор.
– первый единичный собственный вектор (орт оси ).
4) Найдем второй единичный собственный вектор, то есть решим (3.35):
– второй собственный вектор.
– второй единичный собственный вектор (орт оси ) .
Заметим, что ,так как скалярное произведение
В полученной таким образом системе координат , взяв несколько контрольных точек, нарисуем параболу (рxис. 44).
Сравните эскиз (рис. 36) и данный рисунок, являющийся результатом точных расчетов.
Плоскость
Покажем, что плоскость в пространстве задается в любой пдск линейным уравнением относительно трех переменных x, y, z.
Если A – некоторая точка на плоскости – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через A перпендикулярно проходит единственная плоскость, а, во-вторых, для любой точки вектор . Таким свойством обладают только точки, лежащие на .
Чтобы вывести уравнение плоскости, зададим в пространстве пдск OXYZ . В этой системе координат
Пусть M(x,y,z) – произвольная точка на плоскости .
Тогда и (рис. 45).
Вычислив скалярное произведение, получим:
Координаты точек, лежащих в плоскости , связаны соотношением (3.38). Если же не перпендикулярен ,значит, координаты такой точки не удовлетворяют полученному уравнению. Поэтому (3.38) – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно x, y, z.
Раскрыв скобки в (3.38), получим
Обозначим , тогда уравнение (3.38) примет вид:
(3.39) – общее уравнение плоскости в пространстве, – ее нормаль.
Определение: Любой ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости , называется ее нормальным вектором, или нормалью.
Особые случаи расположения плоскости
Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39).
- координаты точки O(0,0,0) удовлетворяют уравнению, значит, плоскость проходит через начало координат.
- , так как , значит, плоскость .
- , так как .Значит, плоскость .
- так как . Значит, плоскость .
- проходит через OX .
- проходит через OY .
- проходит через OZ .
- или .
- или .
- или .
- – плоскость YOZ .
- – плоскость XOZ .
- – плоскость XOY .
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит через начало координат. Тогда она отсекает на координатных осях отрезки a,b,c (рис. 46). Выведем уравнение такой плоскости.
Рассмотрим общее уравнение плоскости. Так как , то .
Аналогично
Подставив А, В, С в общее уравнение, получим
(3.40) – уравнение плоскости в отрезках.
Пример №22
Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями
Перепишем уравнение плоскости в виде (3.40):
уравнение данной плоскости в отрезках. Поэтому (рис. 47)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой:
. Известно, что через них проходит единственная плоскость .
Чтобы вывести ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости M(x,y,z) . Тогда – компланарные векторы, и их смешанное произведение равно нулю: . Тогда по формуле (2.9) получим
(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.
ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы коллинеарны и их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что координаты любой точки M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую и любую точку можно провести плоскость.
Пример №23
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Угол между плоскостями
Определение: Углом между плоскостями называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных плоскостями при их пересечении.
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0 или радиан.
Рассмотрим плоскости и
.
Очевидно,
или
Если –0 условие перпендикулярности плоскостей.
Если – условие параллельности плоскостей.
Пример №24
Найти угол между плоскостями
плоскости перпендикулярны.
Прямая линия в пространстве
Всякая линия в пространстве есть результат пересечения двух поверхностей. В частности прямую линию можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей
и
Если не параллельна , то есть не коллинеарен , то система уравнений
определяет прямую линию в пространстве.
Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве.
Очевидно, одна и та же прямая может быть результатом пересечения разных пар плоскостей (рис. 48), поэтому прямую в пространстве можно задать различными способами.
Уравнения (3.42) неудобны в использовании, так как не дают представления о расположении прямой относительно выбранной системы координат.
Поэтому выведем более удобные уравнения, эквивалентные (3.42), то есть из бесконечного множества плоскостей, проходящих через данную прямую, выберем в некотором смысле более заметную пару.
Канонические уравнения прямой в пространстве
Пусть в некоторой пдск задана прямая , проходящая через точку параллельно ненулевому вектору . Такой вектор называется направляющим вектором этой прямой.
Для произвольной точки вектор где t – не-который числовой множитель. Кроме того, – радиус-вектор точки M , – радиус вектор точки A
(рис. 49).
Отсюда
(3.43) – векторное уравнение прямой в пространстве. Из (3.43) получаем:
(3.44) – параметрические уравнения прямой в пространстве, – параметр.
Выразим из каждого уравнения (3.44) параметр:
Тогда
(3.45) – канонические уравнения прямой в пространстве, то есть уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
Заметим, что уравнения (3.45) задают прямую как результат пересечения плоскостей
одна из которых параллельна OZ , а вторая – OY или как
где первая плоскость параллельна OZ , а вторая – OX .
Если прямая проходит через две заданные точки , то направляющий вектор этой прямой, поэтому из (3.45) получим:
(3.46) – уравнения пространственной прямой, проходящей через две заданные точки.
Угол между прямыми в пространстве
Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:
и
Определение: Углом между прямыми в пространстве называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным.
Из определения следует, что . Если , то
1)– условие перпендикулярности прямых.
2) – условие параллельности прямых в пространстве.
Пример №25
Найти угол между прямой и прямой , проходящей через точки .
Заметим, что уравнение прямой имеет вид: . В данном случае ноль в знаменателе писать принято: он означает, что направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости XOZ . Эта прямая является результатом пересечения плоскостей
Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду
Рассмотрим прямую , заданную общими уравнениями (3.42) в пространстве:
Привести эти уравнения к каноническому виду можно двумя способами:
- найти координаты какой-либо точки , лежащей на , ее направляющий вектор s и написать уравнения (3.45);
- найти координаты двух точек, лежащих на , и воспользоваться уравнениями (3.46).
1 способ.
Координаты точки A – любое частное решение системы линейных уравнений (3.42). Эта система имеет бесконечное множество решений, так как ранги основной и расширенной матриц , а число неизвестных .
– направляющий вектор прямой , поэтому – нормаль плоскости – нормаль плоскости . Из определения векторного произведения векторов следует, что тогда . Так как – произвольный вектор, параллельный , то будем считать, что .
Пример №26
Привести уравнения прямой к каноническому виду.
Найдем какое-нибудь частное решение этой системы: пусть, например,
, то есть точка A(1,2,0) лежит на прямой.
Таким образом, – канонические уравнения данной прямой.
2 способ.
Найдем два произвольных частных решения системы уравнений, задающей прямую.
В рассмотренном примере . Пусть теперь
тогда – направляющий вектор прямой, который отличается от найденного ранее только знаком. Поэтому уравнения совпадают (с точностью до знака) с уже найденными.
Угол между прямой и плоскостью
Определение: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Пусть в некоторой пдск заданы плоскость
и прямая
Определение общих точек прямой и плоскости
Чтобы найти общие точки прямой : и плоскости, надо решить систему линейных уравнений:
Решение этой системы будет наименее трудоемким, если перейти к параметрическим уравнениям прямой (3.44):
1) Пусть . Это значит, что прямая не параллельна плоскости, а потому они имеют одну общую точку. Из (3.47) найдем
и по формулам (3.44) M(x,y,z) – их точку пересечения.
2) Пусть . Это означает, что в (3.47) решений нет: выполнено условие параллельности прямой и плоскости, при этом точка , но не лежит в плоскости , значит, прямая и плоскость общих точек не имеют.
3) Пусть . Тогда любое – решение (3.47) и система имеет бесконечно много решений: выполнено условие параллельности прямой и плоскости и точка , лежащая на прямой, лежит в плоскости. Это значит, что прямая лежит в плоскости, то есть имеет с ней бесконечное множество общих точек.
Пример №27
Найти проекцию точки на плоскость (рис. 53).
Пусть прямая проходит через точку М перпендикулярно плоскости . Точка ее пересечения с плоскостью и будет искомой проекцией. В качестве направляющего вектора можно взять нормаль к плоскости .
Напишем канонические уравнения прямой (3.45):
Подставим x,y,z в уравнение плоскости:
, то есть P 1,2,0 – искомая проекция.
Цилиндрические поверхности
Уравнение F(x, y, z)=0 задает в пространстве некоторую поверхность.
Пусть уравнение содержит только две переменные, например, F(x,y)=0.Рассмотренное в плоскости XOY , оно задает некоторую кривую. Но ему будут удовлетворять и все точки пространства, которые проецируются в точки этой кривой, так как в уравнении отсутствует z , то есть все точки M(x,y,z) у которых х и у связаны соотношением – произвольно.
Пример №28
Построить поверхность
На плоскости это уравнение задает окружность с центром О(0, 0) и R=1.
В пространстве ему удовлетворяют координаты всех точек, проекция которых на плоскость ХОУ лежит на этой окружности. Очевидно, что эта поверхность – круговой цилиндр
(рис. 54).
Цилиндрические поверхности бывают не только круговыми.
Определение: Цилиндрической называется поверхность, полученная движением прямой, параллельной некоторому вектору, и пересекающей при движении некоторую кривую. При этом движущаяся прямая называется образующей, а кривая, которую она пересекает, называется направляющей цилиндрической поверхности.
Для поверхности образующая параллельна оси OZ (так как в уравнении z отсутствует), а направляющей является окружность в плоскости XOY .
ВЫВОД. Если уравнение поверхности содержит только две переменные, то оно задает цилиндрическую поверхность. У поверхности F(y,z) ,образующая параллельна OX , а направляющая лежит в плоскости YOZ . Для поверхности F(x,z) ,образующая параллельна OY , направляющая в плоскости XOZ .
Пример №29
Построить и назвать поверхности Эти уравнения задают цилиндрические поверхности. В первом случае направляющей является парабола в плоскости YOZ , а образующая параллельна OX (рис. 55). Во втором – образующая синусоида в плоскости XOZ , образующая параллельна OY (рис. 56).
Поверхности вращения
Определение: Поверхностью вращения называется поверхность, полученная в результате вращения плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее
плоскости.
Из определения следует, что сечением такой поверхности любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность.
Пусть в плоскости YOZ задана кривая – координаты точки в плоской системе координат YOZ . Эта кривая вращается вокруг оси OZ . Выведем уравнение поверхности вращения.
Пусть M(x,y,z) – произвольная точка на поверхности, , z– центр окружности сечения, проходящего через точку M , а – точка, лежащая на кривой и одновременно в рассматриваемом сечении (рис. 57).
Тогда – радиусы сечения.
Но
Таким образом, уравнение поверхности вращения получим, если в уравнении кривой заменим на – на z. Тогда получим:
– уравнение поверхности вращения (OZ – ось вращения).
Очевидно, что если кривая F(y,z)=0 вращается вокруг OY , то уравнение
поверхности вращения имеет вид:
Некоторые поверхности второго порядка
1. Пусть эллипс вращается вокруг оси OY .
Полученная поверхность является поверхностью второго порядка, так ее уравнение – второй степени относительно переменных x,y,z . Она называется эллипсоидом вращения (рис. 58).
Поверхность, задаваемая уравнением , называется трехосным эллипсоидом.
2. Если гипербола вращается вокруг оси OZ , то уравнение
поверхности вращения имеет вид
или
Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 59).
3. Если гипербола вращается вокруг оси OY , то уравнение поверхности имеет вид . Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 60).
4. Если пара пересекающихся прямых вращается вокруг оси OY , то получается конус вращения с уравнением или (рис. 61).
5. При вращении параболы вокруг оси OZ получается поверхность , которая называется эллиптическим параболоидом вращения (рис. 62).
Лекции по предметам:
- Математика
- Алгебра
- Линейная алгебра
- Векторная алгебра
- Геометрия
- Высшая математика
- Дискретная математика
- Математический анализ
- Теория вероятностей
- Математическая статистика
- Математическая логика
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
- Нахождение координат вектора
- Примеры задач
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
Для плоских задач | AB = {Bx – Ax; By – Ay} |
Для трехмерных задач | AB = {Bx – Ax; By – Ay; Bz – Az} |
Для n-мерных векторов | AB = {B1 – A1; B2 – A2; … Bn – An} |
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).
Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.
Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.
Таким образом, B = (8; 19).
При изучении аналитической геометрии вы научитесь решать задачи векторной алгебры и использовать свойства линейных операций с геометрическими векторами, скалярного, векторного и смешанного произведений векторов для решения геометрических задач. Вы научитесь решать задачи аналитической геометрии, связанные с различными видами уравнений плоскости и прямой и их взаимным расположением.
Разложение вектора по базису
Постановка задачи. Найти разложение вектора
по векторам
План решения.
1.Искомое разложение вектора имеет вид
2.Это векторное уравнение относительно эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными
3.Peшaeм эту систему уравнений относительно и таким
образом определяем коэффициенты разложения вектора по векторам Записываем ответ в виде
Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы
лежат в одной плоскости, а вектор ей не принадлежит),
то вектор нельзя разложить по векторам Если система
уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы и вектор лежат в одной плоскости), то разложение вектора по векторам неоднозначно.
Пример:
Найти разложение вектора по векторам
Решение:
1.Искомое разложение вектора имеет вид
2.Это векторное уравнение относительно эквивалентно
системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными
3.Система имеет единственное решение
Ответ.
Коллинеарность векторов
Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы и
где и
План решения. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число а такое, что Иными словами, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны,
1.Находим координаты векторов пользуясь тем, что при
сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
на число координаты умножаются на это число.
2.Если координаты векторов и пропорциональны, т.е.
то векторы коллинеарны. Если равенства
не выполняются, то векторы неколлинеарны.
Пример:
Коллинеарны ли векторы где
и
Решение:
1.Находим координаты векторов пользуясь тем, что при
сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
на число координаты умножаются на это число:
2.Так как
то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы коллинеарны.
Ответ. Векторы коллинеарны.
Угол между векторами
Постановка задачи. Даны точки и
Найти косинус угла между векторами
План решения. Косинус угла между векторами определяется формулой
1.Чтобы вычислить длины векторов и скалярное
произведение находим координаты векторов:
2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения
векторов имеем
Вычисляем cos по формуле (1) и записываем ответ.
Пример:
Даны точки А(-2,4,-6), В(0,2,-4) и С(-6,8,-10).
Найти косинус угла между векторами
Решение:
1.Находим координаты векторов и
2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения
векторов имеем
3.Вычисляем cos по формуле(1):
Ответ. Косинус угла между векторами равен — 1.
Площадь параллелограмма
Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах если известно,
что и угол между векторами равен .
План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна модулю их векторного произведения:
1.Вычисляем используя свойства векторного произведения
2.Вычисляем модуль векторного произведения
( так как ).
3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу(1)
Пример:
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах и если известно, что и угол между векторами равен
Решение:
1.Вычисляем используя свойства векторного произведения
2.Вычисляем модуль векторного произведения
3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)
Ответ. Площадь параллелограмма равна (ед. длины
Компланарность векторов
Постановка задачи. Компланарны ли векторы
План решения. Для того чтобы три вектора были компланарны
(лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.
1.Смешанное произведение векторов выражается через их координаты формулой
2.Если определитель в правой части этого равенства равен нулю,
то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.
Пример:
Компланарны ли векторы и
Решение:
1.Вычисляем смешанное произведение векторов:
2.Так как векторы компланарны.
Ответ. Векторы компланарны.
Объем и высота тетраэдра
Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань
План решения.
1.Из вершины проведем векторы и
В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем
где — объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных
на векторах
С другой стороны,
где согласно геометрическому смыслу векторного произведения
Сравнивая формулы (1) и (2), получаем
2. Вычисляем смешанное произведение
и находим объем тетраэдра по формуле (1).
3. Вычисляем координаты векторного произведения
и его модуль.
4. Находим высоту h по формуле (3).
Пример:
Вычислить объем тетраэдра с вершинами
и и его высоту, опущенную из
вершины на грань
Решение:
1.Из вершины проведем векторы и
2.Вычисляем смешанное произведение:
и находим объем тетраэдра по формуле (1)
(ед.длины
3.Вычисляем координаты векторного произведения:
и его модуль
4.Находим высоту h по формуле (3):
ед. длины.
Ответ. (ед.длины h = 11 ед.длины.
Расстояние от точки до плоскости
Постановка задачи. Найти расстояние от точки
до плоскости, проходящей через точки и
План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту
тетраэдра с вершинами и
опущенную из вершины на грань (см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.
Расстояние d от точки до плоскости равно длине
проекции вектора на нормальный вектор плоскости т.е.
Поскольку нормальный вектор плоскости ортогонален векторам
его можно найти как их векторное произведение:
1.Находим координаты векторов:
и нормального вектора плоскости:
2.Вычисляем расстояние d от точки до плоскости
по формуле (1).
Пример:
Найти расстояние от точки до плоскости,
проходящей через точки
Решение:
1.Находим координаты векторов:
и нормального вектора плоскости:
2.Вычисляем расстояние d от точки до плоскости по формуле (1):
Ответ, d = 7 ед. длины.
Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору где точки имеют координаты
План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору имеет вид
1.В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор
2.Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором
проходящей через точку
Пример:
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору где точки имеют координаты (7, 8,-1) и (9, 7, 4).
Решение:
1.В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор
2.Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором
проходящей через точку
Ответ. Уравнение плоскости 2х — у + 5z + 16 = 0.
Угол между плоскостями
Постановка задачи. Найти угол между плоскостями
План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу
между их нормальными векторами
Поэтому угол между плоскостями определяется равенством
Пример:
Найти угол между плоскостями
х + 2y — 2z — 7 = 0, x + y — 35 = 0.
Решение:
Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и Поэтому угол между плоскостями определяется равенством
Таким образом,
Ответ. Угол между плоскостями
Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения.
1.Проверяем, что векторы и
неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некоторой прямой.
Канонические уравнения прямой с направляющим вектором
проходящей через данную точку , имеют вид
Поэтому чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
2.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,
то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам
обеих плоскостей, т.е. и
Следовательно, направляющий вектор находим по формуле
3.Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
4.Подставляем найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1) и записываем ответ.
Пример:
Написать канонические уравнения прямой, заданной
как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
Решение:
1.Проверим, что векторы и неколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем
Векторы и неколлинеарны, так как
их координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости
пересекаются по прямой.
2.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,
то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам
обеих плоскостей, т.е. и
Следовательно, направляющий вектор находим по формуле
3.Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.
Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения, например, с плоскостью у = 0. Координаты этой
точки находим, решая систему трех уравнений
Получим и т.е.
4.Подставляя найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1), получим
Ответ. Канонические уравнения прямой имеют вид
Точка пересечения прямой и плоскости
Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой
и плоскости
План решения.
1.Проверим, что прямая не параллельна плоскости. Это означает,
что направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости не ортогональны, т.е. их скалярное произведение не равно нулю:
В этом случае существует единственная точка пересечения прямой и
плоскости.
2.Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще
говоря, надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными
(два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнее
использовать параметрические уравнения прямой.
Положим
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
3.Подставляя эти выражения для x, у и z в уравнение плоскости
и решая его относительно t, находим значение параметра при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
4.Найденное значение подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:
Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются
в точке
Пример:
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
2x — 3y + z — 8 = 0.
Решение:
1.Имеем
Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный вектор
плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются в
единственной точке.
2.Положим
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
3.Подставляя эти выражения для x, у и z в уравнение плоскости,
находим значение параметра t, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости:
4.Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное
значение получаем
Ответ. Прямая и плоскость пересекаются в точке (3,-1,-1).
Проекция точки на плоскость или прямую
Постановка задачи. Найти координаты проекции точки на плоскость Ах + By + Cz + D = 0.
План решения. Проекция Р’ точки Р на плоскость является основанием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.
1.Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: {A,B,C}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
2.Находим координаты точки пересечения Р’ этой прямой с заданной плоскостью (см. задачу 1.11). Положим
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
3.Подставляя x,y,z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
4.Найденное значение подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки Р’.
Замечание:
Аналогично решается задача о нахождении координат проекции точки на прямую.
Пример:
Найти координаты проекции Р’ точки Р(1,2, — 1) на
плоскость Зх — у +2z — 4 = 0.
Решение:
1.Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: {3, — 1, 2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
2.Найдем координаты точки пересечения Р’ этой прямой с задан-
заданной плоскостью. Положим
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид
3.Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости,
находим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
4.Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное
значение получаем
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7, 0,1).
Ответ. Проекция Р’ имеет координаты (7,0,1).
Симметрия относительно прямой или плоскости
Постановка задачи. Найти координаты точки Q, симметричной точке относительно прямой
План решения. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной данной и пересекающей ее в точке Р’. Поскольку точка
Р’ делит отрезок PQ пополам, координаты точки Q
определяются из условий
где — координаты точки Р и — координаты
ее проекции Р’ на данную прямую.
1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р’
(см. задачу 1.12). Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р перпендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой,
т.е. Получаем
б) найдем координаты точки пересечения Р’ этой плоскости с заданной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме
Подставляя х,у, z в уравнение плоскости и решая его относительно t,
находим значение параметра при котором происходит пересечение прямой и плоскости;
в) найденное значение подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки Р’.
Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно данной прямой, определяем из условий (1). Получаем
Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат точки, симметричной данной, относительно плоскости.
Пример:
Найти координаты точки Q, симметричной точке
Р(2, —1,2) относительно прямой
Решение:
1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер-
перпендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: Тогда
б) найдем точку пересечения заданной прямой и плоскости
x — 2z + 2 = 0. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме:
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости: = — 1;
в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное
значение = — 1, получаем
Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0, 0,1).
2.Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан-
данной прямой, определяются из условий (1):
Геометрия на плоскости
Прямая, для которой указано направление, начало отсчета и масштаб, называется числовой осью. Откладывая целое число единичных отрезков влево и вправо, получим изображение множества целых чисел (рис. 2.1). Если каждый из единичных отрезков оси разделить на n равных частей, то точки деления будут изображать дроби со знаменателем n, эти точки дают изображение всех рациональных чисел типа m/n. Можно доказать, что на любом сколь угодно малом интервале числовой оси всегда находятся рациональные точки. Этот факт выражается так: рациональные точки расположены на числовой оси всюду плотно.
Каждая пара точек m и n, вместе со всеми точками между ними, называется отрезком числовой оси (или сегментом) и обозначается [m, n]. Если же рассматриваются только промежуточные точки между m и n, то говорят о промежутке (или интервале) числовой оси (m, n). Расстояние от точки 0 до точки m есть положительное число, которое называется абсолютной величиной числа m, и обозначается |m|. Расстояние между точками m и n есть положительное число, которое называется длиной отрезка [m,n] и обозначается |m,n|. Пусть отрезок находится внутри отрезка Если существуют такие два числа n и m, что длины отрезков А и В удовлетворяют соотношению то говорят что отрезок и А и В соизмеримы.
Возьмем квадрат со стороной, равной 1, его диагональ имеет длину (рис. 2.2). Если бы было соизмеримо с 1, то можно было бы найти такие два целых числа p и q, что В этом случае Можно доказать, что такого равенства быть не может. Вместе с тем при помощи циркуля на числовой оси от О можно отложить отрезок, равный диагонали квадрата. Построенная таким образом точка (правая граница отрезка ) существует на числовой оси и не является рациональной. Такие точки, а, следовательно, и числа, не соизмеримые с единицей называются иррациональными. Все точки, лежащие на оси, образуют множество вещественных чисел.
Системы координат на плоскости
Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке О, называемой началом системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную — осью ординат. Каждой точке плоскости М можно сопоставить ориентированный отрезок ОМ, берущий начало в точке О и оканчивающийся в точке М (см. рис. 2.3). Такой отрезок называют радиус-вектором точки М. Числа называются координатами точки М в декартовой системе координат. Положение любой точки плоскости М определяется заданием координат этой точки — упорядоченной пары чисел Задать точку в фиксированной системе координат означает указать значения ее координат. На плоскости расстояние d между двумя точками измеряется по прямой и вычисляется по формуле
Пример:
Найти расстояние d между двумя точками М(-3,4) и N (5,2). Согласно вышеприведенной формуле, имеем
Прямая линия на плоскости
Пусть прямая линия пересекает ось ординат в точке под углом к оси абсцисс (см. рис. 2.4 а). Выберем на прямой произвольную точку (такая точка называется текущей). Проекции направленного отрезка ВМ на оси координат соответственно равны При скольжении точки М по прямой проекции изменяются, однако, их отношение, равное
охраняется для всех точек прямой и не выполняется для точек, не принадлежащих прямой. Тангенс угла называется угловым коэффициентом и обозначается k. Выразив из (2.1) у, получим «уравнение прямой линии с угловым коэффициентом»
Если то прямая проходит через начало координат. Если (см. рис. 2.5 а), то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение Если вместо точки В дана другая фиксированная точка (см. рис. 2.5 б), то уравнение прямой, проходящей через данную точку
Любое из уравнений прямой можно привести к виду Например, для уравнения (2.2) т. е. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени. Если то и линейное уравнение можно привести к виду (2.2)
Если то получим уравнение Это уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке (рис. 2.5 б). Уравнение описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости. Верно и обратное утверждение: каждому уравнению первой степени с двумя неизвестными соответствует в прямоугольной системе координат одна и только одна прямая.
Кривые второго порядка
Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени
причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть не равен нулю.
Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке М(а, b) имеет вид
Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (2.5) получается из уравнения (2.4), если
Пример:
Пусть задано уравнение Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра? Попробуем привести данное уравнение к виду (2.5). Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4.
Сравнивая (2.6) с (2.5), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом и с центром в точке М(2,0).
Эллипс — замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек называемых фокусами эллипса, одинакова и равна, по определению, Для эллипса, представленного на рис. 2.6, сумма расстояний и равна сумме расстояний т. е.
Уравнение эллипса, центр симметрии которого находится в начале координат, а фокусы лежат на оси ОХ симметрично относительно оси ОY, называется каноническим
Параметры а и b называются полуосями, причем. Уравнение (2.7) получим из (2.4), если Очевидно, что окружность — частный случай эллипса, которого а центр находится в начале координат.
Гипербола — неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и по определению равная 2а (рис. 2.7). Разность Канонической уравнение гиперболы, центр симметрии которой совпадает 4 началом координат, а фокусы лежат на оси ОХ симметрично оси ОY,
Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы, причем Уравнение (2.8) получим из (2.4), если Особенность гиперболы — наличие асимптот — прямых, к которым неограниченно приближается кривая при Уравнение асимптот:
Парабола — неограниченная кривая, все точки которой (см. рис. 2.8) равноудалены от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой, причем расстояние между фокусом и директрисой равно р. Для параболы, изображенной на рис. 2.8, расстояния Каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси
ОХ, а директриса
перпендикулярна ОХ, есть
Уравнение (2.9) получим из (2.4), если Ось такой параболы совпадает с осью ОХ, а вершина лежит в начале координат.
Сделав поворот и сдвиг системы координат, любое уравнение (2.4) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (2.7), (2.8), (2.9) или к уравнению вида которому соответствуют две прямые. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай — окружность), гиперболу или параболу. Важным свойством линий второго порядка является то, что все они могут быть получены (см. рис. 2.9) как сечения конуса плоскостью, пересекающей его под различными углами.
Преобразование системы координат
Пусть даны две системы прямоугольных координат и (рис. 2.10 а). Свяжем координаты точки в одной
из систем с ее же координатами в другой системе координат. Решение задачи проводим в два этапа: вначале совмещаются начала координат, причем сохраняются старые направления осей (рис. 2.10 б), потом одна из систем поворачивается так, чтобы совпали направления осей координат.
Параллельный перенос системы координат. В первой системе координат точка имеет координаты (0,0), точка а точка Рассматривая проекции этих точек на оси координат первой системы, имеем
Чтобы получить координаты во второй системе, необходимо провести обратные действия. Это приведет к зависимостям
Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси повернуты на угол . Из рис. 2.10 б следуют соотношения
В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями
Пример:
Как изменятся координаты точки М(-2,3), если система будет повернута на 30° и сдвинута вверх на две единицы?
Применяя формулы (2.12) для угла имеем
Для определения положения точек на плоскости часто применяется так называемая полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку О, называемую полюсом, и исходящую из нее ось ОР, называемую полярной осью. На полярной оси выбрана единица масштаба. В этой систем как показано на рис. 2.11, положение точки М на плоскость вполне задается отрезком ОМ, называемым полярным радиусом точки М, равным расстоянию отрезка ОМ, и углом , который составляет полярный радиус с полярной осью, считая против часовой стрелки от полярной оси
Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс прямоугольной системы совпадают соответственно с полюсом и осью полярной системы координат (рис. 2.12), то декартовы и полярные координаты точки М связаны соотношением
Формулы (2.13) выражают координаты точки М в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе. Отсюда
Геометрия в пространстве
Системы координат в пространстве:
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве возникает, если взяты три одинаковые взаимно перпендикулярные числовые оси — оси координат, которые пересекаются в точке О, называемой началом системы координат. Первую ось ОХ называют осью абсцисс, вторую ось ОY — осью ординат, третью ОХ — осью аппликат. Через каждые две (из трех) координатные оси проходит координатная плоскость.
Существуют две, не сводящиеся друг к другу системы координат: правая система координат и левая система координат. Различить эти системы координат можно следующим образом: если посмотреть из любой положительной точки оси ОZ на ось ОY и ось ОХ окажется справа, то это правая система координат, если слева — левая (сравните рис. 2.13 а и рис. 2.13 6).
Каждой пространственной точке М можно сопоставить ориентированный отрезок ОМ, берущий начало в точке начала координат и оканчивающийся в точке М (см. рис. 2.14). Такой отрезок называют радиус-вектором точки М. Спроектируем точку М на оси координат. Каждой точке М соответствуют три точки на осях (на рис. 2.14 Р, Q, R) их координаты называют координатами точки М. Они однозначно определяют положение этой точки в выбранной системе координат. Наоборот, задав на каждой из осей координат по одной точке, например, Р, Q, и R, мы определим одну и только одну точку в пространстве (на рис. 2.14 точка М). Эта точка получается при пересечении трех взаимно перпендикулярных плоскостей проходящих соответственно через точки Р, Q и R параллельно осям координат. Расстоянием между двумя точками в пространстве называется число d, равное длине отрезка прямой, соединяющей эти точки
Например, расстояние между двумя точками М(2,-1,3) и N(-2,-1,0), согласно (2.16), равно
В пространстве всякая поверхность может рассматриваться как некоторое множество точек, между координатами которых установлены определенные соответствия
Основные поверхности в пространстве
- Плоскость в пространстве. Наиболее простой вид уравнения (2.17) — уравнение, линейное относительно всех неизвестных которое описывает плоскость в пространстве. Если то уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (см. главу 2.4).
2. Цилиндрические поверхности — это поверхности, описываемые прямой, называемой образующей, двигающейся параллельно фиксированной заданной прямой и пересекающей некоторую линию L, называемую направляющей цилиндрической поверхности. Направляющая линия не обязательно замкнута. В частности, если образующая параллельна оси ОZ, то уравнение такой цилиндрической поверхности описывается уравнением, не содержащим z
В этом случае вид функции F определяет направляющую линию цилиндра. Так, (см. рис. 2.5 а, б, в)) в пространстве
уравнение описывает круговой цилиндр,
уравнение описывает эллиптический цилиндр,
уравнение описывает гиперболический цилиндр.
Пример:
Какую поверхность определяет следующее уравнение:
Решение. Выделим полные квадраты в левой части уравнения: или Это уравнение описывает круговой цилиндр, вытянутый вдоль оси ОY (координата у отсутствует).
3. Конические поверхности. Поверхность, описываемая прямой (образующая конической поверхности), проходящей через данную точку, называемую вершиной, и пересекающей данную линию (направляющую конуса), называется конической поверхностью.
Наиболее простой формулой описывается конус, имеющий вершину в начале координат, а его образующая описывает вокруг оси координат некоторую замкнутую кривую, например, как показано на рис. 2.16, эллипс. Уравнение такого конуса имеет вид
Пример:
Найти уравнение поверхности, возникающей при вращении прямой вокруг оси OX.
Решение. При вращении прямой возникнет коническая поверхность. Вершиной конуса будет являться точка пересечения его образующей с осью ОХ с координатами Произвольная фиксированная точка образующей прямой при вращении вокруг оси ОХ описывает окружность, задаваемую уравнением произвольные точки поверхности искомого конуса, соответствующие сечению Подставляя значения в уравнение образующей прямой, имеем искомое уравнение конуса или, после преобразования,
4. Сфера есть геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Величина удаления точек сферы от центра есть расстояние от точки центра до точек сферы.
Следовательно, используя (2.16), можно записать уравнение сферы
где r — радиус сферы или расстояние от произвольной точки сферы до ее центра — фиксированной точки с координатами
5. Поверхности вращения. Пусть в плоскости YОZ лежит кривая, уравнение которой Если вращать эту кривую вокруг оси ОZ, то образуется поверхность вращения, описываемая уравнением
При анализе поверхностей вращения в каждом конкретном случае необходимо указывать, в какой плоскости лежит образующая кривая и вокруг какой оси она вращается. Так, например, эллипсоид вращения, описываемый уравнением
образован вращением вокруг оси ОZ эллипса, лежащего в плоскости ХОZ (рис. 2.17 а). Если этот же эллипс вращать вокруг оси ОХ, то уравнение соответствующего эллипсоида вращения (рис. 2.17 б) имеет вид
Пример:
Записать уравнение эллипсоида вращения, полученного от вращения эллипса вокруг оси ОY, если на его поверхности лежат точки А(3,0,0) и В(0,2,0).
Решение:
Заданные точки лежат в координатной плоскости ХОY и определяют вершины эллипса вращение которого образует искомый эллипсоид. Принимая во внимание предыдущие рассуждения, запишем уравнение эллипсоида вращения
Линию в пространстве образует пересечение двух поверхностей. Отсюда следует, что пространственную линию можно описать системой двух уравнений
Пример:
Найти линию, образуемую пересечением плоскости со сферой
Решение:
Искомая линия находится как решение системы этих уравнений
Решение этой системы есть уравнение окружности т. е. плоскость пересекает сферу по окружности.
Пересечение трех поверхностей может давать просто точку в пространстве. Математически это соответствует единственному решению системы трех уравнений
Если система (2.20) несовместна, то это означает, что поверхности, описываемые данными уравнениями, не пересекаются в одной точке.
Основы аналитической геометрии
Направленные отрезки
Положение точки на прямой линии определяется одной координатой.
Одно из двух взаимных направлений данной прямой (безразлично какое) называется положительным и обозначается стрелкой.
Противоположное направление называется отрицательным (рис. 3.1).
За начало координат принимают точку О (ноль). Прямую обычно
называют какой-либо буквой, например X. За единицу масштаба
принимают какой-либо отрезок прямой, например ОЕ = 1. Координатой точки М, лежащей на прямой, является длина отрезка ОМ со знаком «плюс», если точка М удалена в положительном направлении от точки О, и со знаком «минус», если точка М удалена в
отрицательном направлении от точки О, т.е. координату точки М можно представить в виде
Пример:
Обозначить на координатной оси ОХ точки,
имеющие координаты:
Решение:
Выбираем масштаб, имеющий длину
Точки с указанными координатами представлены на рис. 3.2. ►
Направленный отрезок характеризуется длиной и направлением
(рис. 3.3). Отрезок начинается в точке А и заканчивается в точке
В. Обозначается
Направленные отрезки и равны по длине и
противоположны по направлению.
Если известны координаты начала и конца отрезка, то
его длина рассчитывается по формуле
Пример:
Найти длину отрезка с координатами начала и
конца, представленными в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Решение:
Результаты расчета представлены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Знак «минус» перед значением длины отрезка указывает на
направление отрезка, противоположное направлению оси.
Прямоугольная система координат
Положение точки на поверхности (плоскость, поверхность шара
и т. д.) определяется двумя координатами (рис. 3.4).
Прямоугольная система координат на плоскости представляет из
себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и
направлениями. Такие прямые называются координатными осями.
Координатами точки называются координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси (рис. 3.4).
Ось ОХ называется осью абсцисс, а ось OY — осью ординат.
Четыре угла, образуемые осями координат, называются координатными углами и обозначаются I, II, III, IV (рис. 3.5).
Если не требовать перпендикулярности осей координат, то получим более общую систему декартовых координат.
Прямоугольная система координат является частным случаем декартовой.
Пример:
Построить на плоскости в прямоугольной системе координат точки, имеющие следующие координаты: (3; 5), (—2,5; 6),
(5; -4), (-3,5; -4,5), (-6; 3).
Решение:
Указанные точки представлены на
рис. 3.6. ►
Расстояние между двумя точками и на плоскости определяется выражением
Действительно, проведем через каждую из точек и по паре прямых, параллельных координатным осям (рис. 3.7).
Отсюда следует, что треугольник — прямоугольный с катетами
Поэтому гипотенуза равна
что и требовалось доказать.
Пример:
Найти периметр треугольника ABC по следующим
данным: А(2; 7), В(5; 7), С(5; 11).
Решение:
Исследуемый треугольник
представлен на рис. 3.8.
Прямая АВ равноудалена от оси Ох, поэтому она параллельна этой оси. По этой же причине прямая ВС параллельна оси Оу. Поэтому АВ и ВС перпендикулярны, т.е. треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом, АВ= 5 — 2 = 3, ВС= 11 -7 = 4,
Периметр треугольника П=3 + 4 + 5= 12. ►
Деление отрезка в данном отношении
Даны точки и Найти точку М(х, у) (ее координаты), делящую отрезок в отношении т.е. (рис. 3.9).
Прямые, проведенные из точек перпендикулярно оси
Ох, делят прямые Ох и на пропорциональные отрезки, т.е.
Преобразуем это выражение к виду
Отсюда находим
Точка M может быть расположена и вне отрезка (рис. 3.10).
В этом случае отношение является отрицательной
величиной, так как отрезки и имеют противоположное направление.
Пример:
Даны точки А(4; 2), В(10; 5). Найти точки и ,
делящие отрезок в отношении внутренним и внешним образом.
Решение:
Геометрия задачи представлена на рис. 3.11.
При делении отрезка внутренним образом координаты точки находятся по формулам (3.1) и (3.2):
При делении отрезка внешним образом координаты точки также находятся по формулам (3.1) и (3.2), но или принимается отрицательным.
Угол наклона отрезка к оси абсцисс
Проведем через точки и две прямые, параллельные оси
Оу, и две прямые, параллельные оси Ох (рис. 3.12).
Отрезок лежащий на оси Ох, называется проекцией отрезка на ось Ох. Его длина равна Аналогично
Из прямоугольного треугольника следует:
Уравнение прямой
В общем случае уравнение прямой записывают в виде
Ах + Ву + С = 0. (3.3)
Преобразуем это уравнение относительно у:
Введем обозначения:
Тогда
у = Кх + b. (3.4)
Это наиболее часто встречаемый вид уравнения прямой. Графически прямая представлена на рис. 3.13.
Коэффициент К, входящий в уравнение прямой, называется угловым коэффициентом и равен тангенсу угла между осью Ох и прямой K=tg a (рис. 3.13).
Коэффициент b — это координата точки пересечения прямой с осью Оу. В этом легко убедиться, положив х = 0, т.е.
y(0) = 0*x + b = b .
Уравнение прямой, параллельной оси Ох, следует из уравнения (3.4) при К = tg а = tg 0 = 0 и имеет вид
y = b. (3.5)
Уравнение прямой, параллельной оси Оу, следует из общего уравнения прямой (3.3) при b = 0. Тогда Ах + С = 0 . Решив это уравнение относительно х, получим
График этой прямой представлен на рис. 3.14
Пример:
Написать уравнение прямой, образующей с осью абсцисс угол и отсекающей начальную ординату b = 4. Начертить график.
Решение:
Положительное направление угла отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой стрелке (рис. 3.15).
Угловой коэффициент К=tg(-45)°=tgl35° = -1. Уравнение прямой имеет вид у=-х+4.
Точка пересечения прямой с осью ОХ находится из условия у=0. Ее координата равна х=4. График прямой предоставлен на рис. 3.15. ►
Пример:
Начертить график прямой у=2х-3.
Решение:
Ось Оу прямая пересекает в точке у=-3, а ось Ох — в точке х=32=1,5. Отметив на осях оказанные координаты, проводим прямую через две точки (рис. 3.16) ►
Пример:
Найти точку пересечения двух прямых:
Решение:
Точкой пересечения является решение системы из двух линейных уравнений (3.7). Вычитая из второго уравнения первое, получим 2х— 3+х — 4 = 0. Решив это уравнение, получим абсциссу точки пересечения прямых: х = 7/3.
Подставив значение абсциссы точки пересечения прямых в первое уравнение (3.7), получим значение ординаты точки пересечения, т.е.
Условие перпендикулярности прямых
Даны две прямые
Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. Тогда Умножив правую и левую части этого уравнения на получим условие перпендикулярности двух прямых:
Пример:
Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой у = х +1.
Решение:
Так как то в соответствии с (3.8) т.е. Отсюда находим ►
Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы уравнениями:
Если угол между прямыми равен то справедливо соотношение (рис. 3.17)
или Взяв тангенс от левой и правой частей последнего соотношения, получим
Пример:
Найти угол, образованный прямой у = -3х + 2 с прямой у = 2х~3 .
Решение:
Так как а то
Отсюда находим Графически решение представлено на рис. 3.18. ►
Пучок прямых
Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку , называется центральным пучком прямых или просто пучком. Точка называется центром пучка.
Уравнение
в котором угловой коэффициент К рассматривается как величина, способная принимать любые числовые значения, называется уравнением пучка с центром Этим уравнением нельзя представить только прямую, параллельную оси Оу.
Пример:
Указать точку, через которую проходят все прямые, представленные уравнением y + 3 = K(x + 1).
Решение:
Сопоставив уравнение примера с (3.10), определим координаты центра, равные (-1; -3). ►
В общем виде уравнение пучка прямых можно записать в виде
Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид
Если и то данные уравнения можно представить в стандартной форме
Используя (3.8), условие перпендикулярности двух рассматриваемых прямых можно представить в виде
или
Условие (3.13) будет выполняться, если положить и Тогда уравнение прямой, перпендикулярной прямой (3.13), можно представить как
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть имеются две точки и Определить уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку , имеет вид
Одна из этих прямых проходит также через точку В этом случае можно записать:
Из полученного уравнения определяем угловой коэффициент искомой прямой.
Подставив полученную формулу для углового коэффициента в уравнение пучка прямых, найдем
Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записывают в виде
Пример:
Составить уравнение прямой, проходящей через
точки: а) (4; — 2) и (-1; 7), б) (-4; — 5) и (-4; -1).
Решение:
а) Подставив данные примера в (3.15), найдем или Решив последнее уравнение относительно у, получим
б) подставив данные в (3.15), получим Так как
знаменатель в правой части равен нулю, а на ноль делить нельзя, то эта прямая параллельна оси Оу, что и следует из рис. 3.20.
Уравнение искомой прямой имеет вид х = -4 . ►
Пример:
Определить площадь S треугольника АВС с вершинами и при
(рис. 3.21).
Решение:
Площадь треугольника определяем по формуле
где — высота треугольника. Неизвестными здесь являются координаты Их можно найти как точку пересечения прямой, проходящей через точки А и В, и перпендикулярной к ней прямой, проходящей через точку С. Уравнение прямой, проходящей
через точки А и В, имеет вид
а ее угловой коэффициент определяется формулой
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки А и В,
можно представить в виде
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к рассматриваемой, определяем по формуле
Уравнение данной прямой имеет вид
Координаты точки D находим из системы двух линейных уравнений:
Вычитая из второго уравнения первое, получим
Отсюда находим
Для условий примера имеем
Определим высоту треугольника
Площадь треугольника равна
Расстояние от точки до прямой
Найти расстояние d от данной точки до данной прямой
Ах + Ву + С = 0. (3.16)
Расстояние d находим по формуле (рис. 3.22):
Точка — основание перпендикуляра,
опущенного из точки на прямую (3.16).
В соответствии с (3.14) уравнение прямой, перпендикулярной (3.16), имеет вид
Координаты точки находим из решения системы уравнений
Введем замену: Тогда (3.17) и (3.18)
можно записать в виде
Решая систему из двух последних уравнений, находим
Подставив эти значения в (3.19), получим
Пример:
Найти расстояние от точки М (—1; 1) до прямой
4х-3у+6 = 0.
Решение:
Искомое расстояние находится по формуле (3.20):
Уравнение окружности
Пусть дана окружность радиуса R с координатами центра C(a,b) (рис.
3.23).
Найдем ее уравнение. По определению окружности для С(а,b) любой ее точки М(а,b) расстояние от центра до этой точки постоянно и
равно радиусу окружности R. Как следует из формулы (3.1), это
расстояние равно
Возводя в квадрат правую и левую части этого равенства,
получим уравнение окружности
Если центр окружности лежит в начале координат, то а = b = 0 ,
а уравнение окружности приобретает вид
Уравнение вида
если хотя бы одна из трех величин А, В или С не равна нулю,
называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, — линией второго порядка. Выясним, при каких
условиях это уравнение является уравнением окружности. Для этих целей уравнение (3.21) представим в виде
В уравнении (3.22) положим и разделим правую
и левую части на А. В результате получим
Уравнение (3.24) имеет тот же вид, что и уравнение (3.23), т.е.
является уравнением окружности. Сопоставив (3.23) с (3.24), найдем
Пример:
Является ли уравнение
окружностью?
Решение:
Не является, так как в нем содержится слагаемое,
содержащее ху. ►
Пример:
Является ли уравнение
окружностью?
Решение:
Не является, так как коэффициенты при и не
равны. ►
Пример:
Найти координаты центра и радиус окружности
Решение:
Преобразуем исходное уравнение следующим образом:
1. Делим правую и левую части на 2:
2.Дополняем выражения до квадратов:
3.Приводим уравнение к виду (3.21):
Отсюда следует, что исходное уравнение является окружностью
радиуса с центром в точке (—3; 2). ►
Уравнение эллипса
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний для двух точек F и F’ равна постоянной величине 2а.
Пусть две точки F и F’ отстоят на расстояние 2с друг от друга
(рис. 3.24).
Сумма расстояний 2а от этих точек до любой точки эллипса
всегда больше 2с. В противном случае искомого геометрического места точек не существует. Найти уравнение эллипса.
Принимаем прямую FF’ за ось абсцисс, середину отрезка FF’ —
за начало координат. Тогда координаты точек F и F’ примут
значения
F'(-c, 0); F(c; 0).
По определению эллипса сумма расстояний для двух точек
F и F’ равна постоянной величине 2а, т.е.
Перепишем его в виде
Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства
и сгруппируем члены:
Сократим на 4, возведем в квадрат и приведем подобные члены
Разделив правую и левую части на получим
уравнение эллипса:
Из определения эллипса и геометрии рис. 3.24 следует, что при
совмещении точки М с точкой А большая ось эллипса А’А = 2а , т.е.
большая полуось равна а. Введем обозначение
Тогда уравнение эллипса принимает вид
Как следует из треугольника OBF и соотношения (3.26), малая
полуось эллипса ОВ равна b.
Точки F и F’ называются фокусами эллипса, а расстояние FF’ = 2с — фокусным расстоянием. Отношение фокусного расстояния к большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой Таким образом, можно записать
Пример:
Определить эксцентриситет окружности.
Решение:
Так как в окружности а = b, то, как следует из соотношения (3.21), с = 0, т.е. ►
Пример:
Фокусное расстояние эллипса равно 8 см, малая ось
равна 6 см. Найти большую ось и эксцентриситет.
Решение:
Так как фокусное расстояние FF’ = 2с = 8 , то с = 4, а
малая полуось b=3. Из соотношения (3.26) находим длину большой
полуоси:
Большая ось равна 2а = 10 см.
Эксцентриситет находим по формуле
Уравнение гиперболы
Гиперболой называется геометрическое место точек М, для которых
разность расстояний до двух точек F и F’, называемых фокусами, имеет одну и ту же абсолютную величину 2а.
Пусть две точки F и F’ отстоят на расстояние 2с друг от друга (рис. 3.25).
Разность расстояний 2а от этих точек до любой точки гиперболы
всегда меньше 2с. В противном случае искомого геометрического места точек не существует. Найти уравнение гиперболы.
Принимаем прямую FF’ за ось абсцисс, середину отрезка FF’ —
за начало координат. Тогда координаты точек F и F’ примут значения
F'(-c;0);F(c;0).
По определению гиперболы разность расстояний для двух точек
F и F’ равна постоянной величине 2а, т.е. для правой ветви
для левой ветви
Проведя те же преобразования, что и в предыдущем параграфе,
получим
В отличие от эллипса здесь разность отрицательна, так
как а < с .
Разделив правую и левую части на получим уравнение гиперболы:
Отрезок А’А называется действительной осью гиперболы. Из определения гиперболы и геометрии рис. 3.25 следует, что при совмещении точки М с точкой А действительная ось гиперболы А’А = 2а , т.е. действительная полуось равна а. Введем обозначение:
Тогда уравнение гиперболы принимает вид
Отрезок В’В = 2b называют мнимой осью гиперболы.
В силу (3.29) отрезок АВ = с (рис. 3.25).
Отношение фокусного расстояния FF’ к действительной оси
называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой
Таким образом, можно записать
В отличие от эллипса эксцентриситет гиперболы больше единицы.
Пример:
Определить эксцентриситет равносторонней
гиперболы, у которой а = b.
Решение:
Эксцентриситет равносторонней гиперболы
определяется соотношением
Асимптотой гиперболы называется прямая, проходящая через начало координат и неограниченно сближающаяся с ветвями гиперболы при (рис. 3.26).
Прямые, проходящие через центр гиперболы и точки с координатами (а, b), (-а, b), (-а, -b), (а, -b) являются асимптотами.
Доказательство:
Уравнение данной прямой и уравнение гиперболы (3.30) запишем в виде
Откуда
Так как сумма при и остается положительной величиной, то разность в (3.31) стремится к нулю и так же остается положительной. Но расстояние MP = d от точки М до прямой (3.30) пропорционально этой разности. Действительно, в
соответствии с (3.20) это расстояние равно
Отсюда видно, что расстояние MP = d стремится к нулю, когда
точка М удаляется в бесконечность, т.е. прямая (3.30) является
асимптотой. Аналогично доказываются и другие случаи.
Пример:
Фокусное расстояние гиперболы равно 10 см, мнимая
ось — 6 см. Найти действительную ось, эксцентриситет и асимптоты.
Решение:
Так как фокусное расстояние FF’ = 2с = 10 , то с = 5,
а мнимая полуось b = 3. Из соотношения (3.28) находим длину
действительной полуоси:
Большая ось равна 2а = 8 см.
Эксцентриситет находим по формуле
Асимптоты определяются по формуле
Уравнение параболы
Параболой называется геометрическое место точек М, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и прямой PQ, называемой директрисой параболы. Расстояние FC = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.
Пусть прямая PQ и точка F отстоят на расстоянии р от искомого геометрического места точек (рис. 3.27).
Найти уравнение параболы.
Примем за начало координат середину отрезка CF. фокусное расстояние. Ось абсцисс направим по лучу OF.
Тогда фокус F будет иметь следующие координаты: Расстояние FM определяется выражением
расстояние КМ — выражением По определению
параболы эти два расстояния равны друг другу, т.е.
Данное выражение является уравнением параболы. Возведя
левую и правую части в квадрат и приведя подобные члены, получим каноническое уравнение параболы:
Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после
отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На
этом принципе построены параболические зеркальные антенны.
Пример:
Написать каноническое уравнение параболы с
фокусным расстоянием, равным 3.
Решение:
Так как фокусное расстояние равно 3, то параметр
параболы р = 2 • 3 = 6. Используя уравнение (3.32), получим
каноническое уравнение параболы
Уравнение плоскости в трехмерной системе координат
Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.
Прямоугольная система координат в пространстве представляет
из себя три перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и
направлениями. Такие прямые называются координатными осями.
Координатами точки называются координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.
Всякое уравнение, линейное относительно координат, определяет плоскость, и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.
Общее уравнение плоскости имеет вид (рис. 3.28)
Ax + By + Cz + D = 0. (3.33)
Уравнение плоскости может быть представлено в векторной
форме
вектор, перпендикулярный плоскости.
Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат.
Если A = 0 (В = 0,С = 0), то плоскость параллельна относительно оси Ox (Оу, Oz).
Пример:
Составить уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной вектору
Решение:
Из (3.34) следует, что уравнение плоскости, проходящей через начало координат, определяется соотношением
Поэтому искомое уравнение имеет вид
Нормальное уравнение плоскости имеет вид
или
где — единичный вектор, перпендикулярный плоскости; р — расстояние плоскости от начала координат.
Уравнение плоскости в отрезках:
где а, b и с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с
учетом знака.
Пример:
Составить уравнение плоскости, отсекающей от
каждой оси одинаковое число линейных единиц.
Решение:
Так как а = b = с , то уравнение плоскости имеет вид
x+y+z=а.►
Две плоскости, представляемые уравнениями
образуют четыре двугранных угла, равных попарно. Когда говорят
об угле между двумя плоскостями, то имеют в виду любой из этих
углов и приписывают ему значение , заключенное между 0 и 180°.
Одно из значений равно углу между нормальными векторами
и другое значение дополняет первое до 180°. Данный угол определяют по формуле
Пример:
Найти угол между плоскостями, заданными
уравнениями
Решение:
Подставив в (3.38) соответствующие коэффициенты,
получим
Таким образом, (это угол между нормальными векторами и a
Расстояние от точки до плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
определяется по формуле
Пример:
Найти расстояние от точки М (2,1,1) до плоскости
2х + 2у- z-2 = 0.
Решение:
Подставив исходные данные в формулу (3.38), получим
Уравнение прямой в пространстве
Всякая прямая линия представляется системой двух уравнений
первой степени
которые, взятые по отдельности, представляют какие-либо две
плоскости, проходящие через эту прямую.
Если коэффициенты и пропорциональны коэффициентам и а свободные члены не подчиняются той же пропорции
то плоскости параллельны и никогда не пересекутся, т.е. такая
система не представляет прямой линии.
Направляющим вектором прямой называется всякий ненулевой вектор лежащий на этой прямой или параллельный ей. Координаты l, m, n направляющего вектора называются направляющими коэффициентами прямой.
За направляющий вектор прямой (3.39) можно принять векторное
произведение нормальных векторов и
Отсюда находим
Пример:
Найти направляющие коэффициенты прямой
Решение:
По формулам (3.40) находим
Под углами между прямой и осями координат понимают
углы между направляющим вектором и ортами
соответственно. Косинусы этих углов вычисляются по формулам
Пример:
Для условий примера 3.27 найти направляющие
косинусы и углы, образуемые прямой с осями координат.
Решение:
По формулам (3.41) находим
Находя арккосинусы, получим
Под углом между двумя прямыми понимается угол между их
направляющими векторами и В
зависимости от выбора направления векторов (каждый из них может иметь два взаимно противоположных направления) этот угол может иметь два значения, дополняющих друг друга до 180°. Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле
Пример:
Даны две прямые с направляющими векторами
и Определить угол между ними.
Решение:
Подставим данные примера в формулу (3.42):
Отсюда находим
Углом между прямой L и плоскостью Р называют острый угол
между прямой L и ее проекцией L’
на плоскость Р (рис. 3.29).
Пусть даны направляющий вектор прямой L и
нормальный вектор плоскости Р. Косинус угла между этими векторами равен
Как следует из рис. 3.29, Тогда
Пример:
Найти угол между прямой
и плоскостью 2x + y + z + 5—0.
Решение:
Направляющими коэффициентами прямой являются числа
Координаты нормального вектора плоскости:
А = 2, 5 = 1, С = 1 .
Подставив полученные цифры в (3.43), найдем
Отсюда следует
Проекция прямой
(коэффициенты и не равны нулю одновременно) на
координатную плоскость хОу находится по следующему правилу: чтобы найти проекцию прямой (3.44) на координатную плоскость хОу
достаточно исключить z из уравнений (3.44); полученное
уравнение совместно с уравнением z = 0 представляет искомую
проекцию.
Аналогично находятся проекции прямой на координатные
плоскости yOz и zOx.
Пример:
Найти проекции прямой
на координатные плоскости.
Решение:
Исключив z из системы уравнений, получим уравнение проекции данной прямой на плоскость хОу :
11х + 10у-78 = 0.
Исключив у из системы уравнений, получим уравнение проекции
данной прямой на плоскость zOx :
4x + 5z-32 = 0.
Исключив х из системы уравнений, получим уравнение проекции
данной прямой на плоскость yOz :
8y-11z + 8 = 0. ►
Пусть задан направляющий вектор прямой,
проходящий через точку Такая прямая описывается симметричными (каноническими) уравнениями вида
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат