Как найти точки возрастания функции по графику

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Запомните!
!

Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если

для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 »
выполняется неравенство

« y( x2 ) > y( x1 )».

Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.

x2 > x1
y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R
,
то есть « x » —
любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на

координатной плоскости
и проведем через них прямую.

график линейной функции y = 9x - 4

Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
растет
значение « y » .

график линейной функции возрастает

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

точки А и В на графике

У первой точки « (·)A »
координаты:
x1 = 0 ;   y1 = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ;   y2 = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ( x2 > x1 )»
растет
« y ( y2 > y1 ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?

Запомните!
!

Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x1 )» и
«y( x2 ) »?

Для нахождения « y( x1 )» и
«y( x2 ) »

достаточно подставить « x1 » и
« x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x1 ) = 9x1 − 4
y( x2 ) = 9x2 − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x2 > x1
y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Подставим в неравенство
« y( x2 ) >
y( x1 ) » полученные формулы

« y( x1 ) = 9x1 − 4» и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .

y( x2 ) > y( x1 )
9x2 − 4 > 9x1 − 4

Упростим полученное
неравенство.

9x2 − 9x1 > − 4 + 4
9x2 − 9x1 > 0

Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.

9(x2 − x1) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

При делении нуля на любое число получается ноль.

x2 − x1 > 0
x2 > x1

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x2 > x1».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».


Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x2 > x1
y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Вместо « y( x1 )» и
«y( x2 ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

y( x2 ) > y( x1 )

13x2 − 1 > 13x1 − 1

13x2 − 13x1 > 1 − 1

13(x2 − x1) > 0 |: 13

>

x2 − x1 > 0

x2 > x1

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Запомните!
!

Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 »
выполняется неравенство « y( x2 ) < y( x1 )».

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
растет, то
« y » должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».

x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1

(·) А (0; 1)

x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2

(·) B (1; −2)

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

график линейной функции y = 1 - 3x

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
уменьшается
значение
« y » .

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Запомните!
!

Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых
« x2 > x1 » выполняется

« y( x2 ) < y( x1 ) ».

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Подставим « y( x1 )» и
«y( x2 ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

y( x2 ) < y( x1 )

1 − 3x2 < 1 − 3x1

3x1 − 3x2 < 1 − 1

3(x1 − x2) < 0 | :3

<

x1 − x2 < 0

−x2 < −x1

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.

−x2 < −x1 | · (−1)

x2 > x1

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Как по графику функции определить возрастает или убывает функция

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

промежутки возрастания и убывания функции

Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

промежутки возрастания и убывания функции через неравенства

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

  • функция убывает при
       x ≤ −2;     0 ≤ x ≤ 3,5
  • функция возрастает при
        −2 ≤ x ≤ 0 ;     x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.

Ответ:

  • функция убывает на промежутках    
    x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
  • функция возрастает на промежутках     x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция

« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x1 » и « x2 ».

y( x2 ) < y( x1 )

mx2 − m − 3 + 2x2 < mx1 − m − 3 + 2x1

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.


mx2 − m − 3 + 2x2 mx1
+ m
+ 3
2x1
< 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.


mx2 − mx1
− m + m − 3 + 3 + 2x2 − 2x1

< 0

mx2 − mx1 + 2x2 − 2x1

< 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x2 − x1) + 2(x2 − x1)

< 0

Теперь
вынесем общий множитель

« ( x2 − x1 ) ».

( x2 − x1) (m + 2)

< 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

x2 > x1
y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ».
Перенесем все в левую часть.

x2 > x1

x2 − x1 > 0

По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x2 − x1) (m + 2)

» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.

+ · < 0
(x2 − x1) · (m + 2) < 0

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции y=fleft( x right). Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

  • область определения функции;
  • область значений функции;
  • нули функции;
  • промежутки возрастания и убывания;
  • точки максимума и минимума;
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось X.
Ось ординат — вертикальная ось, или ось Y.

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается x.
Другими словами, мы сами выбираем x, подставляем в формулу функции и получаем y.

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента x, при которых функция существует.
Обозначается: D(f) или D(y).

На нашем рисунке область определения функции y=fleft( x right) — это отрезок left[ -6; 6 right]. Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная y. На нашем рисунке это отрезок left[ -3; 7 right] — от самого нижнего до самого верхнего значения y.

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть y=0. На нашем рисунке это точки x=-4 и x=1.

Значения функции положительны там, где y textgreater 0. На нашем рисунке это промежутки left[ -6; -4 right] и left[ 1; 6 right].
Значения функции отрицательны там, где y textless 0. У нас это промежуток (или интервал) от -4 до 1.

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве M. В качестве множества M можно взять отрезок left[ a; b right], интервал left( a; b right), объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция y=fleft( x right) возрастает на множестве M, если для любых x_1 и x_2, принадлежащих множеству M, из неравенства x_2 textgreater x_1 следует неравенство fleft( x_2 right) textgreater fleft( x_1 right).

Иными словами, чем больше x, тем больше y, то есть график идет вправо и вверх.

Функция y=fleft( x right) убывает на множестве M, если для любых x_1 и x_2, принадлежащих множеству M, из неравенства x_2 textgreater x_1 следует неравенство fleft( x_2 right) textless fleft( x_1 right).

Для убывающей функции большему значению x соответствует меньшее значение y. График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция fleft( x right) возрастает на промежутке left[ -2; 4 right] и убывает на промежутках left[ -6; -2 right] и left[ 4; 6 right].

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке x=4 — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке x= -2 — точка минимума.

Точка x= -6 — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и x=6 на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это x=4 и x= -2.

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции y=fleft ( x right ) на отрезке left[ -4; 0 right]? В данном случае ответ: y= -3. Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен 4. Он достигается в точке x=4.

Можно сказать, что экстремумы функции равны 4 и -3.

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке left[ -6; 6 right] равно -3 и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно 7. Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Исследование графика функции» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Правильными будут следующие утверждения.

  • Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
  • Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
  • Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения нужно решить неравенства Применение производной к исследованию функции с примерами решения или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.    

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Уравнение Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет корни Применение производной к исследованию функции с примерами решения Это — критические точки. Область определения данной функции — множество Применение производной к исследованию функции с примерами решения — они разбивают на три промежутка: Применение производной к исследованию функции с примерами решения (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Следовательно, данная функция на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает, а на Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках  Применение производной к исследованию функции с примерами решения на Применение производной к исследованию функции с примерами решения — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Они всю область определения функции разбивают на интервалы: Применение производной к исследованию функции с примерами решения (рис. 73). Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Следовательно, функция убывает на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения Поскольку в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример:

Найдите критические точки функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения 

Решение:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдем произвольную функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения При любом значении Применение производной к исследованию функции с примерами решения выражение Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример:

Установите, на каком промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдём производную функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдём критические точки функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них. 

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения а убывает на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Способ 2. Решим неравенство Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ответ. Возрастает, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения является дифференцируемой, Применение производной к исследованию функции с примерами решения её производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную Применение производной к исследованию функции с примерами решения Это производная второго порядка, или вторая производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Например, найти производную 2-го порядка функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решенияозначает найти производную этой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения и полученную функцию продифференцировать: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решения называется выпуклой на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решения называется вогнутой на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решениявыпуклая на данном интервале; если вторая производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияположительная Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая вогнутая на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения могут быть только точки, в которых вторая производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть Применение производной к исследованию функции с примерами решения — критическая точка второго рода функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения Если при переходе через точку Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения меняет знак, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решенияявляется точкой перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

  1. найти область определения функции;
  2. найти критические точки второго рода;
  3. определить знак второй производной на образованных интервалах. Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая выпуклая; если Применение производной к исследованию функции с примерами решения — кривая вогнутая;
  4. если производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения меняет знак при переходе через точку Применение производной к исследованию функции с примерами решения то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

1) Область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Найдём вторую производную: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решенияКритические точки второго рода: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Других критических точек нет.

3)    Разбиваем область определения на интервалы Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому кривая вогнутая.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому кривая выпуклая.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения — кривая вогнутая.

Следовательно, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Напомним, что прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения будет вертикальной асимптотой кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения если при Применение производной к исследованию функции с примерами решения (справа или слева) значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Уравнение наклонной асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому Применение производной к исследованию функции с примерами решенияуравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом Применение производной к исследованию функции с примерами решения следует понимать и Применение производной к исследованию функции с примерами решения При этом указанные пределы могут быть разными при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

а) Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения то прямые Применение производной к исследованию функции с примерами решения — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения то прямые Применение производной к исследованию функции с примерами решения — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Будем искать наклонные асимптоты:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) если Применение производной к исследованию функции с примерами решения (проверьте самостоятельно), отсюда Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если для любых Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения из некоторого промежутка области определения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения выполняется условие Применение производной к исследованию функции с примерами решения то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если для любых Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения из некоторого промежутка области определения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения выполняется условие Применение производной к исследованию функции с примерами решения на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения положительна, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Так как Применение производной к исследованию функции с примерами решения то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график “поднимается “, т. е. функция возрастает. Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график “спускается”, т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция Применение производной к исследованию функции с примерами решениянепрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

На интервалах Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция Применение производной к исследованию функции с примерами решениявозрастает.

На интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения на промежутке удовлетворяющем неравенству Применение производной к исследованию функции с примерами решения т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения разбивают область определения функции на три интервала: Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из таблицы и непрерывности функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения видно, что данная функция возрастает на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения и убывает на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения Из графика так же видно, что задания решение верно.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

График производной Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения расположен выше оси Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения график производной расположен ниже оси Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит Применение производной к исследованию функции с примерами решения Так как функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения непрерывна, то на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения она возрастает, а на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

b) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения или Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

а) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной положительный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит,

функция возрастает. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной отрицательный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция убывает, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения значение функции равно 5.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

b) При Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной положительный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция возрастает. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной отрицательный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция убывает, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения значение функции равно 0.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1. Для значений Применение производной к исследованию функции с примерами решения равных Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Применение производной к исследованию функции с примерами решенияЭти точки являются критическими точками функции.

2. В точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения – критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума(Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения) производная функции равна нулю, а в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения непрерывна на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

  1. Применение производной к исследованию функции с примерами решения слева от точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения положительна, а справа – отрицательна, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой максимума.
  2. Применение производной к исследованию функции с примерами решения слева от Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна, а справа – положительна, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой минимума
  3. Применение производной к исследованию функции с примерами решения с каждой стороны от точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет одинаковые знаки, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на отрезке Применение производной к исследованию функции с примерами решения записываются как Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №5

Для функцииПрименение производной к исследованию функции с примерами решения определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3. Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервалах, выбрав пробные точки:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решениямаксимум

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решения минимум

4. Используя полученные для функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на отрезке Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как Применение производной к исследованию функции с примерами решения то критические точки можно найти из уравнения Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Критическая точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не принадлежит данному отрезку Применение производной к исследованию функции с примерами решения и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения и на концах отрезка.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №7

Найдите экстремумы функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Производная функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Проверим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Используя полученную для функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №8

Найдите экстремумы функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение Применение производной к исследованию функции с примерами решения или найти точки, в которых производная не существует. В точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не имеет конечной производной. Однако точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения принадлежит области определения. Значит, точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Определим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №9

По графику функции производной Применение производной к исследованию функции с примерами решения схематично изобразите график самой функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю, а при Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна, значит, на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция убывающая. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения Соответствующий график представлен на рисунке.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Построение графиков функции с помощью производной

Функция – многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

  • Определите точки пересечения с осями координат.
  • Найдите критические точки.
  • Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
  • Найдите максимумы и минимумы.
  • Постройте график.

Пример:

Постройте график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1) Точки пересечения с осями координат :

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю): Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

значит, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения расположены на графике.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

  • Найдите область определения.
  • Найдите асимптоты (если они есть).
  • Определите точки пересечения с осями координат.
  • Найдите критические точки.
  • Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
  • Постройте график.

Пример:

Постройте график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1) Область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

условии Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения т. е. график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения бесконечно приближается к прямой Применение производной к исследованию функции с примерами решения В этом случае прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения является наклонной асимптотой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения Вообще, если степень многочлена Применение производной к исследованию функции с примерами решения на 1 единицу больше степени многочлена Применение производной к исследованию функции с примерами решениято рациональная функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

4) Критические точки:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не определена, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту Применение производной к исследованию функции с примерами решения и наклонную асимптоту Применение производной к исследованию функции с примерами решения Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Обратите внимание! В области, близкой к точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения график функции ведет себя как парабола Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума – наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Применение производной к исследованию функции с примерами решения Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Применение производной к исследованию функции с примерами решенияВычислим площадь поверхности коробки. Она равна Применение производной к исследованию функции с примерами решения и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Тогда выразим Применение производной к исследованию функции с примерами решения подставим в формулу Применение производной к исследованию функции с примерами решения Зависимость объема коробки от переменной Применение производной к исследованию функции с примерами решения можно выразить следующим образом:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Теперь найдем область определения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения

или Применение производной к исследованию функции с примерами решенияЗначит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдем максимальное значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для этого используем производную первого порядка:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем, что Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Однако. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является Применение производной к исследованию функции с примерами решения

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция

Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Построив при помощи графкалькулятора график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения также можно увидеть, что при Применение производной к исследованию функции с примерами решения объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

зависимость функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения от переменной Применение производной к исследованию функции с примерами решения будет

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдем критические точки функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Сравнивая значения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при Применение производной к исследованию функции с примерами решения (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр Применение производной к исследованию функции с примерами решения и выразите искомую величину функцией Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 Применение производной к исследованию функции с примерами решения которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 Применение производной к исследованию функции с примерами решения которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Применение производной к исследованию функции с примерами решения Эти данные дают нам возможность найти зависимость между Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении Применение производной к исследованию функции с примерами решения где Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Критическая точка функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Подставим значение Применение производной к исследованию функции с примерами решения в формулу для высоты Применение производной к исследованию функции с примерами решения получим Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

  • Приложения производной
  • Производные высших порядков
  • Дифференциал функции
  • Дифференцируемые функции
  • Касательная к графику функции и производная
  • Предел и непрерывность функции
  • Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  • Предел функции на бесконечности

Чтобы определить характер функции  и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров  и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Определение 1

Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1  равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Возрастание и убывание функции на интервале

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность  при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

Точки экстремума, экстремумы функции

Определение 3

Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.

Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.

Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Точки экстремума, экстремумы функции

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Точки экстремума, экстремумы функции

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Определение 4

Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что

  • когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
  • когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

  • когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
  • когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

  • найти область определения;
  • найти производную функции на этой области;
  • определить нули и точки, где функция не существует;
  • определение знака производной на интервалах;
  • выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Пример 1

Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.

Решение

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:

y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2

Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.

Получаем, что

y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий  с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем

ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0

Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24

Графическое изображение

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.

Пример 2

Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0

После чего необходимо найти производную:

y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0

Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем

lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0

12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что

y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0

Изображение на прямой имеет вид

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233

Перейдем к вычислению минимумов:

ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273

Графическое изображение

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Ответ:

ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x

При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение  при х=1. Получаем:

y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.

Графическое изображение

Второй признак экстремума функции

Ответ: ymax=y(1)=4..

Третье достаточное условие экстремума

Определение 5

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка  в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)

Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0

Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.

Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0

Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0

Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Третье достаточное условие экстремума

Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Добавить комментарий