Содержание:
Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при 
Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке 
возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке 
Точка 
называется точкой локального максимума (минимума) функции 
если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство 
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции 
то либо 
не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть 
– критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку 
меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция 
имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную 
в самой точке . Если 
то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же 
то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке 
функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка 
.
Пример:
Найти экстремумы функции 
Решение:
Так как 
то критические точки функции 
и 
Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку 
производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.
Пример:
Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение:
Обозначим стороны площадки через 
Площадь площадки равна 
Пусть у – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому 
(длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). 
откуда 
Поскольку 
– единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При 
значит, в точке 
функция S имеет максимум. Значение функции 
Поскольку S непрерывна на 
и ее значения на концах 
равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.
Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.
Пример:
Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью 
Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение:
Площадь полной поверхности цилиндра равна 
Мы знаем объем цилиндра 
Значит, 
Находим производную этой функции:
следовательно, 
Экстремумы функции
Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки 
называется любой промежуток, для которого 
является внутренней точкой.
Точка 
называется точкой минимума (максимума) функции 
если для всех 
из некоторой окрестности точки 
выполняется неравенство 
Точки минимума и максимума обозначают 
соответственно.
Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: 
Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.
Например, для функции 
точка 
является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: 
Для функции 
точка 
является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: 
Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: 
— точки максимума; 
и 
— точки минимума.
Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.
Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
— её критическая точка, 
Тогда: точка 
при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.
Действительно, если производная функции 
отрицательная, то при переходе через точку 
возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае 
— точка максимума. Если же при переходе через точку 
убывание функции изменяется на возрастание, то 
— точка минимума (рис. 80).
Если же производная функции в точке 
равна нулю, а слева и справа от 
производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то 
не является точкой экстремума.
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №552
Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции 
Решение:
Критические точки функции: 
При переходе через точку 
производная меняет знаке 
поэтому 
—точка максимума. При переходе через точку 
производная меняет знак с 
поэтому 
— точка минимума (рис. 82).
Ответ. 
Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.
Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:
- найти область определения функции;
- исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
- найти точки пересечения графика функции с осями координат;
- исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
- найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
- найти асимптоты графика функции;
- построить график функции.
Пример №553
Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение:
Область определения функции — все действительные числа, кроме 
Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.
Уравнение 
не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось 
Ось 
он пересекает в точке с ординатой 
Критические точки: 
Составим и заполним таблицу.
На промежутках 
функция возрастает, на промежутках 
функция убывает. 
— точка максимума, 
—точка минимума, 
Область значений функции: 
График функции имеет вертикальную асимптоту 
так как 
График этой функции изображён на рисунке 83.
Пример №554
Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке 
А чётная функция?
Решение:
Нечётная функция не может. Если в окрестности точки 
функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки 
Чётная функция может. Например, функция 
Пример №555
Существуют ли такие числа 
при которых имеет экстремум функция 
Решение:
При любых действительных значениях 
В каждой точке 
производная данной функции неотрицательная. Функция 
возрастает на 
поэтому не может иметь экстремумов.
Ответ. Не существуют.
Пример №556
Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение. 
2) Функция — нечётная, поскольку 
Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке 
3) если 
— график пересекает оси координат только в точке 
4) Найдём производную функции:
Очевидно, что 
для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков 
и не имеет максимумов и минимумов.
Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:
График функции имеет вертикальные асимптоты 
и 
(Убедитесь самостоятельно.)
График функции изображён на рисунке 84.
- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- Скалярное произведение и его свойства
- Векторное и смешанное произведения векторов
- Преобразования декартовой системы координат
- Определитель матрицы
- Критерий совместности Кронекера-Капелли
- Формулы Крамера
- Матричный метод
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
Содержание:
- Необходимое условие экстремума
- Первое достаточное условие экстремума
- Второе достаточное условие экстремума
Определение
Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности
выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_{0}right)$.
Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой
точки, что для всех $x$ из этой окрестности
$f(x) geq fleft(x_{0}right)$.
Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума –
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.
Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.
Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Необходимое условие экстремума
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке
$x_{0}$, то ее производная
$f^{prime}left(x_{0}right)$ либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки – это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Первое достаточное условие экстремума
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:
- функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
- $f^{prime}left(x_{0}right)=0$ или $f^{prime}left(x_{0}right)$ не существует;
- производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.
Тогда в точке $x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если
при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой
знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$
производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:
- найти производную $f^{prime}(x)$;
- найти критические точки, то есть такие значения $x$,
в которых $f^{prime}(x)=0$ или
$f^{prime}(x)$ не существует; - исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
- найти значение функции в экстремальных точках.
Пример
Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
$y^{prime}=left(x^{4}-1right)^{prime}=4 x^{3}$
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{prime}(x)=0$:
$y^{prime}=4 x^{3}=0 Rightarrow x=0$
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку
$x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и
исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное
значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку $x=0$ производная
сменила свой знак с “-” на “+”, то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
$y_{min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.
Замечание. Также можно определить интервалы
монотонности функции: так как на интервале
$(-infty ; 0)$ производная
$y^{prime}(x) lt 0$, то на этом интервале функция
$y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале
$(0 ;+infty)$ производная
$y^{prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$
Второе достаточное условие экстремума
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:
- она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
- первая производная $f^{prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
- $f^{prime prime}(x) neq 0$ в точке $x_{0}$ .
Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум,
причем, если $f^{prime prime}left(x_{0}right)>0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет минимум; если
$f^{prime prime}left(x_{0}right) lt 0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ достигает максимум.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Исследовать функцию $y(x)=frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.
Решение. Находим первую производную заданной функции:
$y^{prime}(x)=left(frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}right)^{prime}=frac{2 xleft(x^{2}+1right)-left(x^{2}-1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}$
Находим точки, в которых первая производная равна нулю:
$y^{prime}(x)=0 Rightarrow frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=0 Rightarrow x=0$
Вторая производная заданной функции:
$y^{prime prime}(x)=left(frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}right)^{prime}=frac{4left(x^{2}+1right)^{2}-4 x cdot 2left(x^{2}+1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{4}}=$
$=-frac{4left(3 x^{2}-1right)}{left(x^{2}+1right)^{3}}$
В стационарной точке $x=0$ вторая производная
$y^{prime prime}(0)=-frac{4 cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает
минимум, причем $y_{min }=y(0)=frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.
Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Что подразумевается под понятием «экстремум»?
Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в
момент достижения им минимального или максимального показания. Под
понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается
значение функции (у).
Точка экстремума – что это такое?
Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами,
максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта
точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при
достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и,
наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой
максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или
минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются
минимальные или максимальные значения.
Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?
Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x)
при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой
окрестность (x₀ – V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого
значения x <> x₀ действительно следующее неравенство:
f(x)>f(x₀).
Как описать точку минимума функции?
Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой
функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений,
приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это
означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки,
прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и
представляет собой точку ее минимума.
Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она
достигает в точке своего минимума?
Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной
функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать
следующим образом:
y’ = 4x³ – 12x² + 12x – 4
Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно
переписать равенство в следующем виде:
4x³ – 12x² + 12x – 4 = 0
Сократим данное уравнение на 4:
x³ – 3x² + 3x – 1 = 0
Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после
перемены местами слагаемых:
(x³ – 1) + (-3x² + 3x) = 0
Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:
(x – 1)(x² + x + 1) -3x(x – 1) = 0
Это же уравнение может выглядеть так:
(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0
Произведем сложение слагаемых х и -3х:
(x – 1) (x² -2x + 1) = 0
Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:
(x – 1)(x-1)² = 0
Получившееся равенство:
(x – 1)³ = 0
В этом случае х = 1
-∞ 1 +∞
Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.
После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является
точкой минимума функции:
у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² – 4*1 = 1 – 4 +6 – 4 = -1
Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для
функции y = -x/x²+484?
Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная
начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к
поиску точки максимума для функции, указанной в задании.
Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:
(U/V)’ = (U’V – UV’)/V²
Подставляем приведенные в задании значения и получаем:
y’ = (-(x² + 484) – 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²
Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся
уравнение:
(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0
Упростим уравнение и получим:
(-x²-484 -2x) = 0
(x² +484)² ≠ 0
-x²-484 -2x = 0
Избавимся от минусов в уравнении:
x² + 2x +484 = 0
D < 0
В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что
невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки
производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать
вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.
Что представляет собой точка максимума функции?
Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает
значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в
соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой
функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее
максимум.
Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее
максимума и минимума?
В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется
определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого
графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями»
производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график
производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в
это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также
изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая
пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если
же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из
положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется
на убывание, то речь идет о точке ее максимума.
Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?
Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно
приравнять функцию к 0:
у = 0
Это же означает, что:
4X⁴ + 2X² + 1 = 0
Введем обозначения:
Х2 = А, при этом А больше 0.
С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:
4A² + 2A + 1 = 0
D = 4 – 4 = 0 ; √ D = 0
A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (< 0) 1
Очевидно, что корней нет.
Ответ: х = 0, у = 1.
Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?
Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем
виде:
у = -0,25+ (x-1,5)²
Отсюда следует, что:
miny = – 0,25 при условии, что х-1,5 = 0
Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.
Запишем производную данной функции:
y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3
А затем приравняем ее к 0:
y ‘ = 0, значит:
2x -3 = 0.
Это позволяет сделать вывод о том, что:
x = 3/2.
Получается, что, если x < 3/2, то производная y’ < 0, и при этом функция убывает.
Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.
x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой
минимума.
miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.
Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?
Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с
которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не
существует.
Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x – 3/x не
может иметь критической точки?
Для начала нужно определить, что под критической точкой функции
подразумевается та точка, при пересечении с которой производная
приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует
в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно
дифференцировать.
Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:
f ‘(x) =(sin2x – 3x)’ = 2sin2x-3
Приравняем производную функции к 0:
f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.
Следовательно:
sin2x= 3 2 не имеет решения
Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых
х.
Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?
Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее
производная равна 0 или вовсе не существует.
В задании дана функция:
y=|x|/(1+x²)
Предположим, что x<0, тогда:
y=-x/(1+x²)
Запишем производную функции и приравняем ее к 0:
y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0
х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.
Теперь предположим, что x≥0.
Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:
y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0
х = – 1 не отвечает условию, значит х = 1.
Ответ: х = 1, х = -1.
Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок № 16. Экстремумы функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Определение точек максимума и минимума функции
2) Определение точки экстремума функции
3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции
Глоссарий по теме
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, 
из этого промежутка выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Точка максимума функции. Точку х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
.
Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
.
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, 
из этого промежутка выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
1) Найти область определения функции D(f)
2) Найти f’ (x).
3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не
существует) точки функции y = f(x).
4) Отметить стационарные и критические точки на числовой
прямой и определить знаки производной на получившихся
промежутках.
5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее
экстремума.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.
- Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
- Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
Точки максимума и минимума – точки экстремума.
Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.
Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.
Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.
Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:
- найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
- найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
- выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5
Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8
2x-8=0
х=4
Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9
Решение: Найдем производную заданной функции: 
Найдем нули производной: 
х=-2,5
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Ответ: -2,5 точка min
№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.
Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.
V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc
Ответ: V=12 мc
№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3
Ответ: 3
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Экстремумы функции
Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.
Определение 1
Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.
Определение 2
Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)le f(x'{rm })$.
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
Бесплатное пробное занятие
*количество мест ограничено
Определение 3
Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)ge f(x'{rm })$.
Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.
Определение 4
Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:
- Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
- $f’left(x'{rm }right)=0$ или не существует.
Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.
Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.
«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇
Теорема 2
Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $left(a,x'{rm }right) и (x'{rm },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:
- Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright) >0$, а в $(x'{rm },b)$ $f’left(xright)
- Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright)0$, то $x’$ –будет точкой минимума для этой функции.
- Если и в $(a,x'{rm })$, и в $(x'{rm },b)$ производная $имеет один и тот же постоянный знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.
На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.
Рисунок 1.
Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.
Рисунок 2.
Правило исследования на экстремум
- Найти $D(f)$;
- Найти $f'(x)$;
- Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
- Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
- Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
- Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
- Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.
Понятие наибольшего и наименьшего значений
Определение 5
Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется
[fleft(xright)le f(x’)]
Определение 6
Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется
[fleft(xright)ge f(x’)]
Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:
- Найти $f'(x)$;
- Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
- Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
- Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
- Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
- Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
Примеры задач
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]: $fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$
Решение.
- $f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
- $f’left(xright)=0$;
- [3x^2-6x-45=0]
- [x^2-2x-15=0]
- [x=5, x=-3]
- $f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
- $5in left[0,6right]$;
-
Значения:
[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
-
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$
Ответ: $max=225, min=50$.
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения на [-1,1]:$fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}$
Решение.
[fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}=frac{{(x-2)}^2}{x-2}=x-2, xne 2]
-
$f’left(xright)=(x-2)’=1$;
Точек экстремума нет.
-
Значения:
[fleft(-1right)=-3] [fleft(1right)=-1]
Ответ: $max=-1, min=-3$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
