Касательная к параболе
Воскресенье, 3 ноября, 2019
Иногда в заданиях ЕГЭ и даже ОГЭ по математике, особенно в заданиях с параметром, возникают ситуации, когда нужно установить, при каком условии некоторая прямая касается параболы. Составить уравнение касательной к функции можно с помощью производной, и старшеклассникам обычно рассказывают в школе, как это делать. Но в случае с параболой можно обойтись без этих премудростей. Достаточно уметь решать квадратные уравнения, а этому учат уже в основой школе. В данной статье профессиональный репетитор по математике рассказывает о том, как получить уравнение касательной к параболе в некоторой точке без использования производной.
Уравнение касательной к параболе
Давайте изобразим координатную плоскость и нарисуем в ней параболу, которая проходит через начало координат. Так бывает, конечно, не всегда. Но эту проблему можно легко устранить. Достаточно просто перенести начало координат в вершину параболы, и мы получим нужную нам ситуацию. Поэтому целесообразно рассматривать именно случай, когда парабола проходит через начало координат. В этом случае уравнение такой параболы имеет вид 
:
Мы для определённости взяли положительный коэффициент 
, поэтому ветви данной параболы направлены вверх. Но на самом деле все дальнейшие рассуждения будут справедливы и для отрицательных .
Отметим некоторую точку A, которая принадлежит нашей параболе. Пусть она имеет координаты 
. Проведём касательную к параболе в этой точке. Касательная – это прямая. А в общем виде уравнение прямой записывается как 
. То есть ситуация получается следующая:
Ну и давайте зададимся целью найти неизвестные коэффициенты 
и 
через известные значения 
и . Так у нас и получится касательная к параболе, а точнее её уравнение в точке . Но давайте сразу договоримся, что делать мы это будем без помощи производной, чтобы этот материал был понятен не только старшеклассникам.
Итак, что же у нас есть? У нас есть парабола , причём 
. Иначе это была бы не парабола, а просто прямая линия, которая совпадает с осью OX. Также у нас есть касательная . Но важно то, что эта касательная и парабола имеют общую точку с координатами .
А это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять и уравнению параболы, и уравнению касательной. Значит, если мы подставим координаты этой точки в уравнение параболы и в уравнение касательной, то мы должны при этом получить верные равенства. Итак, имеет место следующая система уравнений:
![[ begin{cases} y_0=ax_0^2 \ y_0 = kx_0 + b end{cases} ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81c3b8b33bf77426c6a92221ff2a65ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Именно её нам и нужно решить. Но как это сделать? Ну, во-первых, обратим сразу внимание, что у этих уравнений одинаковые левые части. А значит, равны и правые. То есть получается вот такое уравнение:
![[ ax_0^2-kx_0-b = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3c0c1a95efb648e10221dc18a473224_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Это квадратное уравнение, которое может иметь от нуля до двух решений, в зависимости от дискриминанта. Вот здесь и возникает самая главная идея! Поскольку прямая касается параболы (ведь это касательная к параболе), то у них есть только одна общая точка. А это означает, что данное уравнение должно иметь единственное решение. Ну а единственное решение оно имеет только в том случае, если дискриминант равен нулю. Осталось его посчитать:
(1) 
Ну а сам корень уравнения при нулевом дискриминанте равен:
(2) 
Ну а дальше подставляем выражение (2) в уравнение (1) и получаем следующее уравнение:
![[ 4a^2x_0^2+4ab = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d19d8afcfff01e0c5343668ab2564c73_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ ax_0^2+b=0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7c549e033c1bddaf1c9c1c29d73ef674_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(3) 
Ну и получилось, что мы смогли выразить коэффициент и коэффициент через и (уравнения (2) и (3), соответственно), как и было нужно. Подставляя их в уравнение прямой, получаем искомое уравнение касательной к параболе:
Уравнение касательной к параболе в общем виде
В общем виде парабола задаётся формулой: 
. Как уже отмечалось выше, такую параболу можно всегда свести к параболе путём простого переноса начала системы координат в вершину исходной параболы. Но зададимся вопросом, как будет выглядеть уравнение касательной к такой параболе, если мы не будем осуществлять такой перенос.
Касательная к параболе — это прямая, поэтому в общем виде уравнение этой прямой записывается по аналогии с предыдущим пунктом: 
. Только здесь мы используем букву 
, поскольку буква уже занята:
И вновь мы ссылаемся на тот факт, что данная касательная и парабола будут иметь общую точку . Значит, координаты этой точки должны удовлетворять следующей системе уравнений:
![[ begin{cases} y_0 = ax_0^2+bx_0+c \ y_0 = kx_0+d end{cases} ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8176337792ada69638b8aeac2cbe1cf9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
У записанных уравнений равны левые части, значит, равны и правые. То есть имеет место следующее квадратное уравнение:
![[ ax_0^2+bx_0+c = kx_0+d ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e124a6347a61188a98f463a194a56ff8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ ax_0^2+(b-k)x_0+c-d = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-582d047a71fe9aed3956ab972bbc52b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ну и поскольку у касательной с параболой есть только одна общая точка, то последнее уравнение должно иметь единственное решение. Такое возможно только в том случае, если его дискриминант равен нулю. То есть имеет место равенство:
(4) 
При этом сам корень уравнения должен быть равен:
(5) 
Подставляем выражение (5) в выражение (4) и получаем:
![[ (b- 2ax_0-b)^2-4a(c-d) = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-887ef263ce1366f7b2443aaeeebdf868_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ 4a^2x_0^2 - 4a(c-d) = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4672cad9c6c85bbaa58651c5abd040eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ ax_0^2 - c + d = 0 ]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19a93a2738211bc56f974bc5ae78045f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
(6) 
Итак, мы получили искомые коэффициенты. Значит, уравнение касательной к параболе в общем виде будет выглядеть так:
При этом легко убедиться, что в частном случае при 
(то есть когда парабола проходит через начало координат) мы получаем то же самое уравнение, которое уже было нами получено в предыдущем пункте.
Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33
Отсюда следует, что αx=arctg33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что
y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk
32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos32x0-π4-13
y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13
y0=3·1–192-13 или y0=3·-1–192-13
y0=45-13 или y0=-45+13
Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5
Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид
y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид
y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34
Имеем, что точки касания – 234; -5+34.
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-13·x-234+-5+34
Графически изобразим это таким образом:
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}
Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) – существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$
Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
Например:
 |
Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). (f(x_0)=1^2+3=4 ) |
п.3. Вертикальная касательная
В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) – существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).
Внимание!
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]{x}).
Например:
 |
Пусть (f(x)=sqrt[5]{x-1}+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). (f(x_0)=sqrt[5]{1-1}+1=1) |
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 |
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=-2 end{array} right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end{gather*} Касательная в точке (x_0=-2): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end{gather*} |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 |
Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac{15}{8} end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=1cdotleft(x+frac34right)-frac{15}{8}=x-frac98 end{gather*} |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin{gather*} f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end{gather*} Точка касания (x_0=-frac32) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end{gather*} Или, в каноническом виде: begin{gather*} 2x+y+frac92=0 end{gather*} |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 |
У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin{gather*} 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end{gather*} Точка касания (x_0=-1) begin{gather*} f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=0cdot(x+1)-2=-2 end{gather*} |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac{x^2+2}{x+3}-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac{1}{k_1}=-frac{1}{11}) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^2+2}{x+3}right)’-x’=frac{2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1}{(x+3)^2}-1=frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\ =frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- frac{11}{(x+3)^2} end{gather*} В точке касания: begin{gather*} f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac{11}{(x+3)^2}=-frac{1}{11}Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-14\ x=8 end{array} right. end{gather*} 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin{gather*} f(x_0)=frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\ y=-frac{1}{11}(x+14)-4=-frac{x+58}{11} end{gather*} Уравнение касательной при (x_0=8) begin{gather*} f(x_0)=frac{8^2+2}{8+3}-8=frac{66}{11}-8=-2\ y=-frac{1}{11}(x-8)-2=-frac{x+14}{11} end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac{x+58}{11})
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac{x+14}{11})
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin{gather*} f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b – для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin{gather*} g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin{gather*} begin{cases} 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ a+b=frac53 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow begin{cases} 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end{cases} Rightarrow begin{cases} a=frac73\ b=-frac23 end{cases} end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac{49}{9}=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin{gather*} a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac{49}{9}-frac{35}{3}+6=frac{49-105+54}{9}=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac{4-6+9}{9}=frac79 end{gather*}
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin{gather*} x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac{-3pmsqrt{5}}{2} end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) – решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin{gather*} 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 2x^2+3=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=-frac32 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ xinvarnothing end{array} right. Rightarrow x=0 end{gather*} Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 |
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})
Уравнение касательной к графику функции
П. Романов, Т. Романова,г. Магнитогорск,
Челябинская обл.
Уравнение
касательной к графику функции
Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. Тут, на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.
На современном этапе развития
образования в качестве одной из основных его
задач выступает формирование творчески мыслящей
личности. Способность же к творчеству у учащихся
может быть развита лишь при условии
систематического привлечения их к основам
исследовательской деятельности. Фундаментом для
применения учащимися своих творческих сил,
способностей и дарований являются
сформированные полноценные знания и умения. В
связи с этим проблема формирования системы
базовых знаний и умений по каждой теме школьного
курса математики имеет немаловажное значение.
При этом полноценные умения должны являться
дидактической целью не отдельных задач, а
тщательно продуманной их системы. В самом
широком смысле под системой понимается
совокупность взаимосвязанных взаимодействующих
элементов, обладающая целостностью и устойчивой
структурой.
Рассмотрим методику обучения
учащихся составлению уравнения касательной к
графику функции. По существу, все задачи на
отыскание уравнения касательной сводятся к
необходимости отбора из множества (пучка,
семейства) прямых тех из них, которые
удовлетворяют определенному требованию
– являются касательными к графику некоторой
функции. При этом множество прямых, из которого
осуществляется отбор, может быть задано двумя
способами:
а) точкой, лежащей на
плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок
прямых).
В связи с этим при изучении
темы «Касательная к графику функции» с целью
вычленения элементов системы нами были выделены
два типа задач:
1) задачи на касательную,
заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым
коэффициентом.
Обучение решению задач на
касательную осуществлялось при помощи
алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2].
Его принципиальное отличие от уже известных
заключается в том, что абсцисса точки касания
обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем
уравнение касательной приобретает вид
y = f(a) + f ‘(a)(x – a)
(сравните с y = f(x0) + f ‘(x0)(x
– x0)). Этот методический прием, на наш
взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче
осознать, где в общем уравнении касательной
записаны координаты текущей точки, а где
– точки касания.
Алгоритм
составления уравнения касательной к графику
функции y = f(x)
1. Обозначить буквой a
абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f ‘(x) и f ‘(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f ‘(a) в
общее уравнение касательной y = f(a) = f ‘(a)(x – a).
Этот алгоритм может быть
составлен на основе самостоятельного выделения
учащимися операций и последовательности их
выполнения.
Практика показала, что
последовательное решение каждой из ключевых
задач при помощи алгоритма позволяет
формировать умения написания уравнения
касательной к графику функции поэтапно, а шаги
алгоритма служат опорными пунктами действий.
Данный подход соответствует теории поэтапного
формирования умственных действий, разработанной
П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3].
В первом типе задач были
выделены две ключевые задачи:
- касательная проходит через
точку, лежащую на кривой (задача 1); - касательная проходит через
точку, не лежащую на кривой (задача 2).
Задача 1. Составьте уравнение
касательной к графику функции 
в точке M(3; – 2).
Решение. Точка M(3; – 2)
является точкой касания, так как 
1. a = 3 – абсцисса точки
касания.
2. f(3) = – 2.
3. f ‘(x) = x2 – 4, f ‘(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение
касательной.
Задача 2. Напишите уравнения
всех касательных к графику функции y = – x2
– 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).
Решение. Точка M(– 3; 6) не
является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
1. a – абсцисса точки
касания.
2. f(a) = – a2 – 4a + 2.
3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a)
– уравнение касательной.
Касательная проходит через
точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению касательной.
6 = – a2 – 4a + 2 – 2(a +
2)(– 3 – a),
a2 + 6a + 8 = 0 ^ a1 = – 4, a2 = – 2.
Если a = – 4, то уравнение
касательной имеет вид y = 4x + 18.
Если a = – 2, то уравнение
касательной имеет вид y = 6.
Во втором типе ключевыми
задачами будут следующие:
- касательная параллельна
некоторой прямой (задача 3); - касательная проходит под
некоторым углом к данной прямой (задача 4).
Задача 3. Напишите уравнения
всех касательных к графику функции y = x3 – 3x2
+ 3, параллельных прямой y = 9x + 1.
Решение.
1. a – абсцисса точки
касания.
2. f(a) = a3 – 3a2 + 3.
3. f ‘(x) = 3x2 – 6x, f ‘(a) = 3a2 – 6a.
Но, с другой стороны, f ‘(a) = 9
(условие параллельности). Значит, надо решить
уравнение 3a2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3
(рис. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f ‘(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 – уравнение
касательной;
1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f ‘(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);
y = 9x – 24 – уравнение
касательной.
Задача 4. Напишите уравнение
касательной к графику функции y = 0,5x2 – 3x + 1,
проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).
Решение. Из условия f ‘(a) =
tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.
1. a = 4 – абсцисса точки
касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).
y = x – 7 – уравнение
касательной.
Несложно показать, что
решение любой другой задачи сводится к решению
одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим
в качестве примера следующие две задачи.
1. Напишите уравнения
касательных к параболе y = 2x2 – 5x – 2, если
касательные пересекаются под прямым углом и одна
из них касается параболы в точке с абсциссой 3
(рис. 5).
Решение. Поскольку дана
абсцисса точки касания, то первая часть решения
сводится к ключевой задаче 1.
1. a = 3 – абсцисса точки
касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f ‘(x) = 4x – 5, f ‘(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой
касательной.
Пусть a – угол наклона первой
касательной. Так как касательные
перпендикулярны, то 
– угол наклона второй касательной. Из
уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем
Это значит, что угловой
коэффициент второй касательной равен 
.
Дальнейшее решение сводится к
ключевой задаче 3.
Пусть B(c; f(c)) есть точка
касания второй прямой, тогда
1.
– абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение
второй касательной.
– абсцисса второй точки касания.
– уравнениеПримечание. Угловой
коэффициент касательной может быть найден проще,
если учащимся известно соотношение
коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2
= – 1.
2. Напишите уравнения всех
общих касательных к графикам функций
Решение. Задача сводится к
отысканию абсцисс точек касания общих
касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в
общем виде, составлению системы уравнений и
последующему ее решению (рис. 6).
1. Пусть a – абсцисса
точки касания, лежащей на графике функции y = x2
+ x + 1.
2. f(a) = a2 + a + 1.
3. f ‘(a) = 2a + 1.
4. y = a2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a2.
1. Пусть c – абсцисса
точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f ‘(c) = c.
4.
Так как касательные общие, то
Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3
– общие касательные.
Основная цель рассмотренных
задач – подготовить учащихся к
самостоятельному распознаванию типа ключевой
задачи при решении более сложных задач,
требующих определенных исследовательских
умений (умения анализировать, сравнивать,
обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу
таких задач можно отнести любую задачу, в которую
ключевая задача входит как составляющая.
Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную
задаче 1) на нахождение функции по семейству ее
касательных.
3. При каких b и c прямые y = x и
y = – 2x являются касательными к графику функции
y = x2 + bx + c?
Решение.
Пусть t – абсцисса точки
касания прямой y = x с параболой y = x2 + bx + c; p
– абсцисса точки касания прямой y = – 2x с
параболой y = x2 + bx + c. Тогда уравнение
касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t2, а
уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p +
b)x + c – p2.
Составим и решим систему
уравнений
Ответ: 
Задачи для
самостоятельного решения
1. Напишите уравнения
касательных, проведенных к графику функции y = 2x2
– 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x +
3.
Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a
касательная, проведенная к графику функции y = x2
– ax в точке графика с абсциссой x0 = 1,
проходит через точку M(2; 3)?
Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p
прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2?
Ответ: p1 = – 10, p2
= 2.
4. Найдите все общие точки
графика функции y = 3x – x3 и касательной,
проведенной к этому графику через точку P(0; 16).
Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. Найдите кратчайшее
расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и
прямой 
Ответ: 
6. На кривой y = x2 – x + 1
найдите точку, в которой касательная к графику
параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.
Ответ: M(2; 3).
7. Напишите уравнение
касательной к графику функции y = x2 + 2x –
| 4x |, которая касается его в двух точках.
Сделайте чертеж.
Ответ: y = 2x – 4.
8. Докажите, что прямая y = 2x
– 1 не пересекает кривую y = x4 + 3x2 + 2x.
Найдите расстояние между их ближайшими точками.
Ответ: 
9. На параболе y = x2
взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3.
Через эти точки проведена секущая. В какой точке
параболы касательная к ней будет параллельна
проведенной секущей? Напишите уравнения секущей
и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение
секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
10. Найдите угол q между касательными
к графику функции y = x3 – 4x2 + 3x + 1,
проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
Ответ: q = 45°.
11. В каких точках
касательная к графику функции 
образует с осью Ox угол в 135°?
Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).
12. В точке A(1; 8) к кривой 
проведена
касательная. Найдите длину отрезка касательной,
заключенного между осями координат.
Ответ: 
13. Напишите уравнение всех
общих касательных к графикам функций y = x2 –
x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5.
Ответ: y = – 3x и y = x.
14. Найдите расстояние между
касательными к графику функции 
параллельными оси абсцисс.
Ответ: 
15. Определите, под какими
углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось
абсцисс.
Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6).
16. На графике функции 
найдите все
точки, касательная в каждой из которых к этому
графику пересекает положительные полуоси
координат, отсекая от них равные отрезки.
Ответ: A(– 3; 11).
17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y
= x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите
точку K пересечения прямых, касающихся параболы в
точках M и N.
Ответ: K(1; – 9).
18. При каких значениях b
прямая y = 9x + b является касательной к графику
функции y = x3 – 3x + 15?
Ответ: – 1; 31.
19. При каких значениях k
прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с
графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных
значений k определите координаты точки.
Ответ: k1 = – 5, A(– 2;
0); k2 = 11, B(2; 12).
20. При каких значениях b
касательная, проведенная к графику функции y = bx3
– 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2,
проходит через точку M(1; 8)?
Ответ: b = – 3.
21. Парабола с вершиной на
оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1;
2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.
Ответ: 
22. При каком значении
коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается
оси Ox?
Ответ: k = д 2.
23. Найдите углы между
прямой y = x + 2 и кривой y = 2x2 + 4x – 3.
Ответ: 
24. Определите, под какими
углами пересекаются графики функций y = 2x2 +
3x – 3 и y = x2 + 2x + 3.
Ответ: 
25. При каком значении k угол
между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4
будет равен 45°?
Ответ: k = – 3.
26. Найдите все значения x0,
при каждом из которых касательные к графикам
функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в
абсциссой x0 параллельны.
Ответ: 
27. Под каким углом видна
окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)?
Ответ: 
28. Найдите геометрическое
место точек, из которых парабола y = x2 видна
под прямым углом?
Ответ: прямая 
29. Найдите расстояние между
касательными к графику функции 
образующими с
положительным направлением оси Ox угол 45°.
Ответ: 
30. Найдите геометрическое
место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b,
касающихся прямой y = 4x – 1.
Ответ: прямая y = 4x + 3.
Литература
1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я.,
Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач
для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа,
1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых
учителей. Тема «Приложения производной». – М.,
«Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе
теории поэтапного усвоения умственных действий.
/ Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной.
– М., МГУ, 1968.
Как найти точку касания параболы и прямой
Здравствуйте! Продолжаем рассматривать задачи входящие в состав экзамена по математике. Задания, которые мы рассмотрим ниже, по-большому счёту, никаких глубоких знаний теории не требуют. Для их решения необходимо понимание геометрического смысла производной , умение решать квадратное уравнение и немного логики.
Суть заданий следующая: дана парабола вида у = ах 2 +bх+c и касательная к этой параболе у=kх b. Один из коэффициентов (a, b или c) неизвестен и его необходимо найти.
Как решать такие задачи? Что необходимо вспомнить?
1. Если даны уравнения двух функций, то точка (точки) пересечения их графиков находится путём решения системы этих уравнений. Пара (х;у) являющаяся решением системы есть точка пересечения графиков (или пары, если точек пересечения больше).
2. Если к графику функции проведена касательная, то производная этой функции в точке касания равна угловому коэффициенту этой касательной (см. ссылку выше).
Рассмотрим задачи (показаны два способа решения):
Прямая у=х+7 является касательной к графику функции ах 2 –15х+15. Найдите a.
Прямая и график данной функции имеют одну общую точку, это значит, что данные уравнения можно внести для решения в одну систему, но этих уравнений будет недостаточно для решения (кроме неизвестных х и у имеется ещё параметр а).
Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f′(xo) = k. Это третье уравнение, запишем систему:
Подставим из второго уравнения в первое:
Найдём а, подставим х = 1 в ах 2 – 15х + 15 = х + 7 или в 2ах – 15 = 1
По смыслу задачи параметр a ≠ 0, график заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ах 2 – 15х + 15 = х + 7 имело единственно решение:
Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю:
Прямая у=3х+1 является касательной к графику функции ах 2 +2х+3. Найдите a.
Прямая у=5х–8 является касательной к графику функции 6х 2 + bх + 16
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Прямая и парабола пересекаются в одной точке, поэтому оба уравнения можно внести в систему, но она не решаема, так как имеем три неизвестных:
Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f′(x o ) = k. Это третье уравнение, запишем систему:
Кратко можно сказать так:
Условия касания графика функции f (x) = k и прямой у = kх + b задаётся системой требований:
По условию, абсцисса точки касания положительна, значит х = 2.
График заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение
имело единственно решение. Преобразуем:
Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю:
Теперь определим, при каком значении b абсцисса точки касания будет больше нуля. Можно подставить поочерёдно полученные значения в систему:
Далее решить её и сдать вывод. Верным решением будет то значение b, при котором получим положительную абсциссу.
Но мы сразу подставим их (поочерёдно) в 28х 2 + (b – 5) + 24 = 0.
Таким образом, b = – 19 (при этом значении абсцисса точки касания положительна).
Прямая у = –5х+8 является касательной к графику функции 28х 2 + bх + 15.
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Прямая у=–6х–2 является касательной к графику ф-ии 18х 2 +6х+с. Найдите c.
Условия касания графика функции у = f (x) и прямой у = kx + b задаётся системой требований:
График заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение
имело единственное решение, преобразуем:
Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю, значит:
Прямая у=3х+4 является касательной к графику функции 3х 2 –3х+с. Найдите c.
Как видим, понимание способа нахождения точки пересечения графиков функций, заключающееся в решении системы, пригодилось при решении указанных задач (на ЕГЭ могут быть и другие). Но какие бы они не были, если чётко уясните геометрический смысл производной, проблем с подобными у вас не будет.
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
Имеется круглая мишень радиуса R. На ней отмечены две окружности, радиусы которых равны 1/3 и 2/3 от радиуса мишени. Какова вероятность того, что кинутый в мишень дротик попадёт в закрашенную часть мишени? Результат округлите до тысячных.
*Учесть, что дротик мимо мишени попасть не может.
Тот учащийся, который первый напишет верный ответ, получит поощрительный приз в размере 150 рублей 😉
Надеюсь материал был вам полезен. Успехов Вам!
Наука: Математика
Секция: Геометрия
- Условия публикаций
- Все статьи конференции
КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПАРАБОЛЕ
Паршева Валентина Васильевна
научный руководитель, заслуженный учитель РФ, учитель математики, школа № 24, г. Северодвинск
150%;background:”>
Понятие касательной — одно из важнейших в математическом анализе. «Изучение прямых, касательных к кривым линиям, во многом определили пути развития математики» [2, с. 229]. Но касательную можно провести к различным кривым, в том и числе и к параболе, интерес к которой проявляли древние математики, такие как Апполоний Пергский, Архимед, Папп, Исидор Милетский. Интерес к касательным не ослабевал и у математиков последующих поколений. Исследования, связанные с построением касательных с помощью аналитических методов, проводили Р. Декарт, Г.В. Лейбниц, И. Ньютон.
150%;background:”>
С помощью циркуля и линейки нетрудно построить касательную к окружности в данной ее точке. В Древней Греции умели строить с помощью циркуля и линейки касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам, что свидетельствует о высоком уровне развития геометрии в то время.
150%;background:”>
Актуальность работы в том, что понятия касательной к параболе, ее уравнение изучается только в 11 классе, и ее свойства не рассматриваются. В то же время исследование вопроса о касательной к параболе расширяет знания о параболе и круг решаемых задач. Одновременно актуальной является идея применения ИГС GeoGebra для проведения компьютерного моделирования исследуемого вопроса.
150%”>
Проблемный вопрос: Понятие касательной к кривым вводится в школьном курсе математики только в 11 классе с помощью производной функции. Понятие производной функции возникло на много позже (XVII век) понятий параболы и касательной к ней. Можно ли без понятия производной функции дать определение параболы, сделать вывод ее уравнения и полученные знания применить для построения касательной к параболе?
150%;background:”>
Цель исследования: применить имеющиеся знания о касательной для исследования новых свойств функции y=x 2 и попытаться использовать эти свойства для построения касательных к параболе y=x 2 без вычисления производной.
line-height:150%;background:”>
1.Установить геометрическое место точек, являющихся точками пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у=ах 2 .
line-height:150%;background:”>
2.Установить, что касательная к параболе, проходящая через точку А параболы, является прямой, содержащей биссектрису угла, образованного лучом AF, где А — фокус параболы, и перпендикуляром, опущенном из точки А на директрису параболы.
line-height:150%;background:”>
3.Установить, что точки, симметричные фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных, расположены на директрисе параболы.
line-height:150%;background:”>
4.Установить, что касательные в концах фокальной хорды параболы пересекаются на директрисе параболы.
line-height:150%;background:”>
5.На основании установленных свойств касательной к параболе выявить способы построения касательной.
line-height:150%”>
·Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики.
line-height:150%”>
·Компьютерное моделирование математических объектов с помощью ИГС GeoGebra (компьютерный эксперимент).
line-height:150%”>
·Анализ полученных с помощью компьютерного эксперимента данных.
line-height:150%”>
·Обобщение найденных с помощью компьютерного эксперимента закономерностей.
line-height:150%;background:”>
·Аналитические рассуждения.
150%”>
Объект исследования: парабола
150%”>
Предмет исследования: касательные к параболе.
150%”>
Гипотеза исследования Видимо, касательная к параболе, как любой геометрический объект, имеет свои свойства, которые расширят наши знания о параболе.
150%;background:”>
В учебной литературе даются такие определения касательной к параболе:
150%;background:”>
Определение 1. Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не параллельная ее оси, называется касательной к параболе.
150%;background:”>
В математическом анализе касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей МN при приближении точки N по кривой к точке М.
150%;background:”>
Определение 2. Касательной к кривой в данной точке МО называется предельное положение секущей ММ1 при условии, что точка М1 стремится к точке М по данной кривой [1, с. 21].
Вывод уравнения касательной к параболе у = ах 2 в точке М (х; ах 2 )
150%;background:”>
•Точки М(х; ах 2 ) и М1(х1; ах1 2 ) принадлежат параболе у=ах2. Уравнение секущей М0М1 имеет вид:
Пусть точка М1 стремится к точке М. Тогда х1 стремится к х и в пределе уравнение секущей переходит в уравнение касательной в точке М(х; ах 2 )
150%;background:”>
Касательная пересекает ось абсцисс в точке А (х/2; 0), что следует из уравнения касательной при у=0. Этот факт дает возможность построить касательную к параболе в данной точке М с помощью циркуля и линейки. Для этого нужно провести перпендикуляр МН из данной точки М к оси абсцисс, а затем построить середину отрезка ОН. Это точка А. Проведем прямую через точки А и М.
line-height:150%;background:”>
• Прямая АМО является касательной к параболе в данной точке М0.
Построение касательной в ИГС GeoGebra
Алгоритм построения с помощь. ИГС аналогичен, только выполняется с помощью инструментов программы:
line-height:150%;background:”>
• перпендикулярная прямая;
line-height:150%;background:”>
• середина или центр;
line-height:150%;background:”>
• прямая по двум точка.
150%;background:”>
Задача. К параболе y = x 2 составить уравнения взаимно-перпендикулярных касательных. Найти точку их пересечения.
150%;background:”>
Решение. Уравнение касательной к параболе y = ax 2 в точке с абсциссой х. Угловой коэффициент этой касательной k = 2ax. Уравнение касательной к параболе y = ax 2 в точке с абсциссой х1. Угловой коэффициент этой касательной k1 = 2ax1.
150%;background:”>
Найдем соотношение между абсциссами х и х1. k·k1=-1 — условие перпендикулярности двух прямых. Тогда: 2ax∙2ax1 = -1; 4a 2 xx1 = -1;
150%;background:”>
Искомое уравнение
background:”>
background:”>
150%;background:”>
Составим уравнения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = х 2 в различных точках, найдем их точки пересечения и сделаем сравнение
150%;background:”>
Выполнив аналогичные рассуждения для параболы у = ах 2 и сравним координаты точек пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = ах 2 можно сделать вывод: абсциссы этих точек разные, а ординаты равны -1/4а, т. е. все такие точки находятся на прямой у = -1/4а, т. е. взаимно-перпендикулярные касательные пересекаются на директрисе параболы.
150%;background:”>
Возникает вопрос: всегда ли к параболе можно провести две взаимно-перпендикулярных касательных. Ответ очевиден — исключением является вершина параболы.
150%;background:”>
Теорема параболы. Пусть A — точка на параболе с фокусом F, директриса d, АD — перпендикуляр, опущенный на директрису. Тогда касательной к параболе, проходящей через точку A, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD.
150%;background:”>
Доказательство. Пусть касательная t в точке M параболы пересекает ее директрису в точке Q и пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на директрису.
150%;background:”>
В четырехугольнике MFQP два противолежащих угла — прямые и стороны MP и MF равны.
150%;background:”>
Следовательно, ΔPMQ = ΔQMF и касательная t является биссектрисой угла, образованного фокальным радиусом и прямой, проходящей через данную точку параллельно оси x.
150%;background:”>
Если MP — перпендикуляр, опущенный из точки M параболы на директрису, то биссектриса угла FMP есть касательная к параболе в точке M.
150%;background:”>
Вывод. Отсюда, далее, следует, что основания перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на ее касательные, принадлежат касательной к параболе в ее вершине.
150%;background:”>
На основании свойств касательной можно выполнить построение касательных к параболе, проведенных из точки P. Пусть парабола задана фокусом F и директрисой d. Используя циркуль и линейку, построим касательную к параболе, проходящую через данную точку C. С центром в точке C и радиусом CF проведем окружность и найдем ее точки пересечения с директрисой d. Если расстояние от точки C до фокуса больше, чем расстояние до директрисы, то таких точек две. Обозначим их D1 и D2. Проведем биссектрисы углов FCD1 и FCD2соответственно. Прямые a1 и a2, содержащие эти биссектрисы являются серединными перпендикулярами к отрезкам FD1 и FD2 и, значит, будут искомыми касательными к параболе. Для построения точек касания через точки D1 и D2 проведем прямые, перпендикулярные директрисе и найдем их точки пересечения
150%;background:”>
A1 и A2 с прямыми a1 и a2. Они и будут искомыми точками касания. Через точку C проходят две касательные к параболе.
150%;background:”>
Построение касательных, проходящих через точку С выполнено в ИГС GeoGebra с помощью инструментов: Окружность по центру и радиусу, Отрезок по двум точкам, Пересечение двух объектов, Серединный перпендикуляр.
150%;background:”>
В результате выполнения работы установлено, что:
line-height:150%;background:”>
•геометрическое место точек, являющихся точками пересечения взаимно-перпендикулярных касательных к параболе у = ах 2 .
line-height:150%;background:”>
•касательная к параболе, проходящая через точку А параболы, является прямой, содержащей биссектрису угла, образованного лучом AF, где А — фокус параболы, и перпендикуляром, опущенном из точки А на директрису параболы.
line-height:150%;background:”>
•точки, симметричные фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных, расположены на директрисе параболы.
line-height:150%;background:”>
•На основании установленных свойств касательной к параболе выявлены способы построения касательной
150%;background:”>
При выполнении работы были продемонстрированы возможности применения ИГС GeoGebra, что явилось новизной в исследовании поставленной проблемы.
-1.0cm;line-height:150%;background:”>
1.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класса — М.: Вита — Пресс, 2003. — 176 с.;
-1.0cm;line-height:150%;background:”>
2.Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.;
 |
| План занятий |
 |
Парабола. Фокус. Директриса. У равнение параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Условие касания прямой и параболы.
Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.
Уравнение параболы ( рис.1 ) :
Здесь ось ОХ является осью симметрии параболы.
Пусть Р ( х 1 , у 1 ) – точка параболы, тогда уравнение касательной к параболе в данной точке имеет вид:
