Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y=kx+b называется угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.
На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
- Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
- Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k=tg α=BCAC=f(xB)-fxAxB-xA, где абсциссами точек А и В являются значения xA, xB, а f(xA), f(xB) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0), с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y=x+1, считается касательной к y=2x в точке с координатами (1; 2). Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к (1; 2) значениями. Функция y=2x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y=2x сливается с прямой у=х+1.
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.
Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.
Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.
Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f’(x) может существовать в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).
Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y=ex+1+x33-6-33x-17-33 в точке с координатами (1; 3) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, (1; 3) является точкой касания, тогда x0=-1, f(x0)=-3.
Необходимо найти производную в точке со значением -1. Получаем, что
y’=ex+1+x33-6-33x-17-33’==ex+1’+x33′-6-33x’-17-33’=ex+1+x2-6-33y'(x0)=y'(-1)=e-1+1+-12-6-33=33
Значение f’(x) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда kx=tg αx=y'(x0)=33
Отсюда следует, что αx=arctg33=π6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y=f'(x0)·x-x0+f(x0)y=33(x+1)-3y=33x-9-33
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y=3·x-15+1 в точке с координатами (1;1). Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y’=3·x-15+1’=3·15·(x-1)15-1=35·1(x-1)45
Если x0=1, тогда f’(x) не определена, но пределы записываются как limx→1+035·1(x-1)45=35·1(+0)45=35·1+0=+∞ и limx→1-035·1(x-1)45=35·1(-0)45=35·1+0=+∞, что означает существование вертикальной касательной в точке (1;1).
Ответ: уравнение примет вид х=1, где угол наклона будет равен π2.
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y=115x+23-45×2-165x-265+3x+2, где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно ох;
- Касательная параллельна прямой y=85x+4.
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x∈-∞; 2 и [-2; +∞). Получаем, что
y=-115×3+18×2+105x+176, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12, x∈[-2; +∞)
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y’=-115×3+18×2+105x+176′, x∈-∞; -2115×3-6×2+9x+12′, x∈[-2; +∞)⇔y’=-15(x2+12x+35), x∈-∞; -215×2-4x+3, x∈[-2; +∞)
Когда х=-2, тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
limx→-2-0y'(x)=limx→-2-0-15(x2+12x+35=-15(-2)2+12(-2)+35=-3limx→-2+0y'(x)=limx→-2+015(x2-4x+3)=15-22-4-2+3=3
Вычисляем значение функции в точке х=-2, где получаем, что
- y(-2)=115-2+23-45(-2)2-165(-2)-265+3-2+2=-2, то есть касательная в точке (-2;-2) не будет существовать.
- Касательная параллельна ох, когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда kx=tg αx=f'(x0). То есть необходимо найти значения таких х, когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f’(x) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной ох.
Когда x∈-∞; -2, тогда -15(x2+12x+35)=0, а при x∈(-2; +∞) получаем 15(x2-4x+3)=0.
Решим:
-15(x2+12x+35)=0D=122-4·35=144-140=4×1=-12+42=-5∈-∞; -2×2=-12-42=-7∈-∞; -2 15(x2-4x+3)=0D=42-4·3=4×3=4-42=1∈-2; +∞x4=4+42=3∈-2; +∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y1=y-5=115-5+23-45-52-165-5-265+3-5+2=85y2=y(-7)=115-7+23-45(-7)2-165-7-265+3-7+2=43y3=y(1)=1151+23-45·12-165·1-265+31+2=85y4=y(3)=1153+23-45·32-165·3-265+33+2=43
Отсюда -5; 85, -4; 43, 1; 85, 3; 43 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 85 . Для этого нужно решить уравнение вида y'(x)=85. Тогда, если x∈-∞; -2, получаем, что -15(x2+12x+35)=85, а если x∈(-2; +∞), тогда 15(x2-4x+3)=85.
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
-15×2+12x+35=85×2+12x+43=0D=122-4·43=-28<0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
15(x2-4x+3)=85×2-4x-5=0D=42-4·(-5)=36×1=4-362=-1∈-2; +∞x2=4+362=5∈-2; +∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y1=y(-1)=115-1+23-45(-1)2-165(-1)-265+3-1+2=415y2=y(5)=1155+23-45·52-165·5-265+35+2=83
Точки со значениями -1; 415, 5; 83 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y=85x+4.
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y=85x+4, синяя линия – касательные в точках -1; 415, 5; 83.
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y=3cos32x-π4-13, которые располагаются перпендикулярно прямой y=-2x+12.
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется -1, то есть записывается как kx·k⊥=-1. Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k⊥=-2, тогда kx=-1k⊥=-1-2=12.
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х, после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x0 получаем, что kx=y'(x0). Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
Получаем, что
y'(x0)=3cos32x0-π4-13’=3·-sin32x0-π4·32×0-π4’==-3·sin32x0-π4·32=-92·sin32x0-π4⇒kx=y'(x0)⇔-92·sin32x0-π4=12⇒sin32x0-π4=-19
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
32×0-π4=arcsin-19+2πk или 32×0-π4=π-arcsin-19+2πk
32×0-π4=-arcsin19+2πk или 32×0-π4=π+arcsin19+2πk
x0=23π4-arcsin19+2πk или x0=235π4+arcsin19+2πk, k∈Z
Z- множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у:
y0=3cos32x0-π4-13
y0=3·1-sin232x0-π4-13 или y0=3·-1-sin232x0-π4-13
y0=3·1–192-13 или y0=3·-1–192-13
y0=45-13 или y0=-45+13
Отсюда получаем, что 23π4-arcsin19+2πk; 45-13, 235π4+arcsin19+2πk; -45+13 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y=12x-23π4-arcsin19+2πk+45-13,y=12x-235π4+arcsin19+2πk-45+13, k∈Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [-10;10], где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y=-2x+12. Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x0; y0, которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.
Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x-324+y-5225=1 в точках со значениями x равного х=2.
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х=2. Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x-324x=2+y-5225=114+y-5225=1⇒y-52=34·25⇒y=±532+5
Тогда 2; 532+5 и 2; -532+5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y. Получим, что
x-324+y-5225=1y-5225=1-x-324(y-5)2=25·1-x-324y-5=±5·1-x-324y=5±524-x-32
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y=5+524-x-32, а нижний y=5-524-x-32.
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2; 532+5 будет иметь вид
y’=5+524-x-32’=52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==-52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=-52·2-34-(2-3)2=523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=523(x-2)+532+5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2; -532+5 принимает вид
y’=5-524-(x-3)2’=-52·124-(x-3)2·4-(x-3)2’==52·x-34-(x-3)2⇒y'(x0)=y'(2)=52·2-34-(2-3)2=-523⇒y=y'(x0)·x-x0+y0⇔y=-523(x-2)-532+5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter
В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x-324-y+329=1 в точке 7; -33-3.
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x-324-y+329=1⇒y+329=x-324-1⇒y+32=9·x-324-1⇒y+3=32·x-32-4 или y+3=-32·x-32-4⇒y=32·x-32-4-3y=-32·x-32-4-3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7; -33-3.
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y(7)=32·(7-3)2-4-3=33-3≠-33-3, тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y(7)=-32·(7-3)2-4-3=-33-3≠-33-3, значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
Получаем, что
y’=-32·(x-3)2-4-3’=-32·x-3(x-3)2-4⇒kx=y'(x0)=-32·x0-3×0-32-4×0=7=-32·7-37-32-4=-3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y=-3·x-7-33-3=-3·x+43-3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.
Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что
x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x-2y2-5y+3, когда имеем угол наклона касательной 150°.
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
-2y2-5y+3-x=0D=(-5)2-4·(-2)·(3-x)=49-8xy=5+49-8x-4y=5-49-8x-4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
Получаем:
kx=y'(x0)=tg αx=tg 150°=-13
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y’=5+49-8x-4’=149-8x⇒y'(x0)=149-8×0=-13⇔49-8×0=-3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y’=5-49-8x-4’=-149-8x⇒y'(x0)=-149-8×0=-13⇔49-8×0=-3×0=234⇒y(x0)=5-49-8·234-4=-5+34
Имеем, что точки касания – 234; -5+34.
Ответ: уравнение касательной принимает вид
y=-13·x-234+-5+34
Графически изобразим это таким образом:
Приветствую вас, друзья! В этой заметке подробно разберем задачу из ОГЭ по математике. Получается, что уровень сложности задачи: ~ 9 класс.
Задание
Прямая y = 2•x + b касается окружности x² + y² = 5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Решение:
В самом начале я привел рисунок, который описывает как может располагаться прямая и окружности (рисунок не подходит к нашей задаче, это сделано специально для того, чтобы бы вы подумали на начальном этапе).
Итак, прямая может:
1. Не иметь с окружностью общих точек (не пересекаться)
2. Иметь с окружностью одну общую точку (касаться окружности)
3. Иметь с окружностью две общих точкий (пересекать окружность, образуя хорду).
В нашей задаче нужно рассмотреть именно 2-й случай (обратите внимание на условие задачи).
Способ 1
Допустим, нам необходимо решить задачу со знаниями 9 класса. Найдем точку пересечения функций. Для этого решим совместную систему:
Решение последнего уравнения определяет количество точек пересечения прямой с окружностью и координаты этих точек. Так как в задании сказано, что прямая является касательной, то квадратное уравнение должно давать одно решение, зависящее от параметра. То есть в нашем уравнении должен быть нулевой дискриминант. Учтем это:
Если мы представим графическое решение, то поймем, что касание может происходит сверху и снизу. Нам же нужно выбрать ту точку, у которой будет положительное значение абсциссы.
Ответ: x₀ = 2 при значении параметра b = – 5
Способ 2
Если мы уже знакомы с производными, то можно написать уравнение для касательной к окружности. Анализ функций дает нам подсказку, что касание должно происходить в области, где x > 0 и y < 0, это значит, что функцию можем выразить явно. Это может понадобиться для дальнейшего нахождения производной этой функции. Производная в точке касания будет определять коэффициент наклона касательной.
Данное уравнение совпадает с уравнением касательной в условии задачи. Поэтому, приравняв соответствующие коэффициенты, мы сможем найти как абсциссу касания, так и значения параметра:
Выбираем положительное значение, получаем тот же ответ:
Ответ: x₀ = 2 при значении параметра b = – 5
Общий ответ: точка касания M(2; -1) при значение параметра b = -5
Понравилась заметка ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end{gather*}
Уравнение касательной к кривой (y=f(x)) в точке (x_0) имеет вид: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ при условии, что производная (f'(x_0)=aneinfty) – существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+underbrace{f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0}_{=b} $$
Уравнение касательной с угловым коэффициентом: begin{gather*} y=kx+b\ k=f'(x_0), b=f(x_0)-f'(x_0)cdot x_0 end{gather*}
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
Например:
 |
Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). (f(x_0)=1^2+3=4 ) |
п.3. Вертикальная касательная
В случае, если производная (f'(x_0)=pminfty) – существует, но бесконечна, в точке (x_0) проходит вертикальная касательная (x=x_0).
Внимание!
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]{x}).
Например:
 |
Пусть (f(x)=sqrt[5]{x-1}+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). (f(x_0)=sqrt[5]{1-1}+1=1) |
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 |
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x=-2 end{array} right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end{gather*} Касательная в точке (x_0=-2): begin{gather*} f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end{gather*} |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 |
Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac{15}{8} end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=1cdotleft(x+frac34right)-frac{15}{8}=x-frac98 end{gather*} |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin{gather*} f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end{gather*} Точка касания (x_0=-frac32) begin{gather*} f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end{gather*} Или, в каноническом виде: begin{gather*} 2x+y+frac92=0 end{gather*} |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 |
У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin{gather*} 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end{gather*} Точка касания (x_0=-1) begin{gather*} f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end{gather*} Уравнение касательной: begin{gather*} y=0cdot(x+1)-2=-2 end{gather*} |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) ( f(x)=frac5x+frac x5, x_0=4 ) begin{gather*} f(x_0)=frac54+frac45=frac{25+16}{20}=frac{41}{20}\ f'(x)=left(frac5xright)’+left(frac x5right)’=-frac{5}{x^2}+frac15=frac{-25+x^2}{5x^2}=frac{x^2-25}{5x^2}\ f'(x_0)=frac{4^2-25}{5cdot 4^2}=-frac{9}{80} end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-frac{9}{80}(x-4)+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+frac{9}{20}+frac{41}{20}=-frac{9}{80}x+2,5 $$
б) ( f(x)=frac{x^2+5}{3-x}, x_0=2 ) begin{gather*} f(x_0)=frac{2^2+5}{3-2}=frac91=9\ f'(x)=frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)’}{(3-x)^2}=frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\ =frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\ f'(x_0)=frac{-2^2+6cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac{x^2+2}{x+3}-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac{1}{k_1}=-frac{1}{11}) begin{gather*} f'(x)=left(frac{x^2+2}{x+3}right)’-x’=frac{2x(x+3)-(x^2+2)cdot 1}{(x+3)^2}-1=frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\ =frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- frac{11}{(x+3)^2} end{gather*} В точке касания: begin{gather*} f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac{11}{(x+3)^2}=-frac{1}{11}Rightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=-14\ x=8 end{array} right. end{gather*} 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin{gather*} f(x_0)=frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\ y=-frac{1}{11}(x+14)-4=-frac{x+58}{11} end{gather*} Уравнение касательной при (x_0=8) begin{gather*} f(x_0)=frac{8^2+2}{8+3}-8=frac{66}{11}-8=-2\ y=-frac{1}{11}(x-8)-2=-frac{x+14}{11} end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac{x+58}{11})
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac{x+14}{11})
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin{gather*} f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b – для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin{gather*} g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin{gather*} begin{cases} 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end{cases} Rightarrow begin{cases} a-b=3\ a+b=frac53 end{cases} Rightarrow \ Rightarrow begin{cases} 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end{cases} Rightarrow begin{cases} a=frac73\ b=-frac23 end{cases} end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac{49}{9}=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin{gather*} a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac{49}{9}-frac{35}{3}+6=frac{49-105+54}{9}=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac{4-6+9}{9}=frac79 end{gather*}
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin{gather*} x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac{-3pmsqrt{5}}{2} end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) – решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin{gather*} 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ 2x^2+3=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ x^2=-frac32 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=0\ xinvarnothing end{array} right. Rightarrow x=0 end{gather*} Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 |
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin{gather*} 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac{0,4}{2}=-0,2 end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2sqrt{2^2+1^2}=frac{sqrt{5}}{5})
Ответ: (frac{sqrt{5}}{5})
Геометрический смысл производной
Если плохо разбираешься в производной, то вот тебе полноценный гид по ней, с текстом, примерами и вебинарами: «Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования»!
Рассмотрим график какой-то функции ( y=fleft( x right)):
Выберем на линии графика некую точку ( A). Пусть ее абсцисса ( {{x}_{0}}), тогда ордината равна ( fleft( {{x}_{0}} right)).
Затем выберем близкую к точке ( A) точку ( B) с абсциссой ( {{x}_{0}}+Delta x); ее ордината – это ( fleft( {{x}_{0}}+Delta x right)):
Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии).
Обозначим угол наклона прямой к оси ( Ox) как ( alpha ).
Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Какие значения может принимать угол ( alpha )?
Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол – ( 180{}^circ ), а минимально возможный – ( 0{}^circ ).
Значит, ( alpha in left[ 0{}^circ ;180{}^circ right)). Угол ( 180{}^circ ) не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с ( 0{}^circ ), а логичнее выбирать меньший угол.
Возьмем на рисунке такую точку ( C), чтобы прямая ( AC) была параллельна оси абсцисс, а ( BC) – ординат:
По рисунку видно, что ( AC=Delta x), а ( BC=Delta f).
Тогда отношение приращений:
( frac{Delta f}{Delta x}=frac{BC}{AC}={tg}alpha )
(так как ( angle C=90{}^circ ), то ( triangle ABC) – прямоугольный).
Давай теперь уменьшать ( Delta x).
Тогда точка ( B) будет приближаться к точке ( A). Когда ( Delta x) станет бесконечно малым ( left( Delta xto 0 right)), отношение ( frac{Delta f}{Delta x}) станет равно производной функции в точке ( {{x}_{0}}).
Что же при этом станет с секущей?
Точка ( B) будет бесконечно близка к точке ( A), так что их можно будет считать одной и той же точкой.
Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки ( A), но этого достаточно).
Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.
Угол наклона секущей к оси ( displaystyle Ox) назовем ( varphi ). Тогда получится, что производная
( {f}’left( {{x}_{0}} right)underset{Delta xto 0}{mathop{=}},frac{Delta f}{Delta x}= {tg}varphi ),
то есть
Производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке
Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:
( y=kx+b).
За что отвечает коэффициент ( displaystyle k)? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент.
Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью ( displaystyle Ox)!
То есть вот что получается:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k).
Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей?
Посмотрим: Теперь углы ( alpha ) и ( displaystyle varphi ) тупые. А приращение функции ( Delta f) – отрицательное.
Снова рассмотрим ( triangle ABC): ( angle B=180{}^circ -alpha text{ }Rightarrow text{ } {tg}angle B=- {tg}alpha ).
С другой стороны, ( {tg}angle B=frac{AC}{BC}=frac{-Delta f}{Delta x}).
Получаем: ( frac{-Delta f}{Delta x}=- {tg}alpha text{ }Rightarrow text{ }frac{Delta f}{Delta x}= {tg}alpha ), то есть все, как и в прошлый раз.
Снова устремим точку ( displaystyle B) к точке ( displaystyle A), и секущая ( displaystyle AB) примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке ( displaystyle A).
Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}varphi =k)
Это и есть геометрический смысл производной.
Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции ( displaystyle y=mathsf{f}left( x right)) и касательная к нему в точке с абсциссой ( {{x}_{0}}).
Найдите значение производной функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).
Решение.
Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:
( displaystyle f’left( x right)=k= {tg}varphi).
Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной.
На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!
Угол наклона касательной к оси ( displaystyle Ox) – это ( displaystyle angle BAC). Найдем тангенс этого угла:
( displaystyle {tg}angle BAC=frac{BC}{AC}=frac{6}{5}=1,2).
Таким образом, производная функции ( displaystyle mathsf{f}left( x right)) в точке ( {{x}_{0}}) равна ( displaystyle 1,2).
Ответ: ( displaystyle 1,2).
Теперь попробуй сам.
Уравнение касательной к графику функций
А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных.
Предположим, у нас есть какая-то функция, например, ( fleft( x right)=left( {{x}^{2}}+2 right)). Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке ( {{x}_{0}}). Например, в точке ( {{x}_{0}}=2).
Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:
Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости?
Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты ( k) и ( b) в уравнении
( y=kx+b).
Но ведь ( k) мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:
( k={f}’left( {{x}_{0}} right)).
В нашем примере будет так:
( {f}’left( x right)={{left( {{x}^{2}}+2 right)}^{prime }}=2x;)
( k={f}’left( {{x}_{0}} right)={f}’left( 2 right)=2cdot 2=4.)
Теперь остается найти ( b) . Это проще простого: ведь ( b) – значение ( y) при ( displaystyle x=0).
Графически ( b) – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь ( displaystyle x=0) во всех точках оси ( displaystyle Oy)):
Проведём ( BCparallel Ox) (так, что ( triangle ABC) – прямоугольный).
Тогда ( angle ABC=alpha )(тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны ( displaystyle AC) и ( displaystyle BC)?
По рисунку явно видно, что ( BC={{x}_{0}}), а ( AC=fleft( {{x}_{0}} right)-b). Тогда получаем:
( {f}’left( {{x}_{0}} right)= {tg}alpha =frac{AC}{BC}=frac{fleft( {{x}_{0}} right)-b}{{{x}_{0}}}text{ }Rightarrow text{ }b=fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right)).
Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:
( y=kx+b={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot x+fleft( {{x}_{0}} right)-{{x}_{0}}cdot {f}’left( {{x}_{0}} right);)
( y={f}’left( {{x}_{0}} right)cdot left( x-{{x}_{0}} right)+fleft( {{x}_{0}} right))
Это и есть уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)) в точке ( {{x}_{0}}).
Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции ( fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+3) в точке ( {{x}_{0}}=3).
Решение:
На этом примере выработаем простой…
Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №7. Производная функции — геометрический смысл, дифференцирование
На этом видео мы вспомним, что такое функция и её график, научимся искать производную некоторых функций, например, такой: y = 2×3 – 3×2 + x + 5.
Мы разберём от А до Я все 7 типов задач, которые могут попасться в задаче №7 из ЕГЭ. Узнаем, на какие 3 фразы в условии задачи нужно обратить особое внимание, чтобы с лёгкостью решить задачу и не потерять баллы на ровном месте.
Разберём все возможные ошибки, которые можно допустить в этих задачах. Мы поймём, что многие из этих задач решаются обычным подсчётом клеточек на графике! Главное – не перепутать, что нужно считать.
P.S. Не забудьте потом посмотреть родственную тему: «Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций».
Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной
Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.
Определения и понятия
Угол наклона прямой y = k x + b называется угол α , который отсчитывается от положительного направления оси о х к прямой y = k x + b в положительном направлении.
На рисунке направление о х обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.
Угловой коэффициент прямой y = k x + b называют числовым коэффициентом k .
Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k = t g α .
- Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности о х и угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0 . Значит, вид уравнения будет y = b .
- Если угол наклона прямой y = k x + b острый, тогда выполняются условия 0 α π 2 или 0 ° α 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α > 0 , причем имеется возрастание графика.
- Если α = π 2 , тогда расположение прямой перпендикулярно о х . Равенство задается при помощи равенства x = c со значением с , являющимся действительным числом.
- Если угол наклона прямой y = k x + b тупой, то соответствует условиям π 2 α π или 90 ° α 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Определение 3
Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f ( x ) . Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.
По рисунку видно, что А В является секущей, а f ( x ) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.
Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника А В С можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.
Получаем формулу для нахождения секущей вида:
k = t g α = B C A C = f ( x B ) – f x A x B – x A , где абсциссами точек А и В являются значения x A , x B , а f ( x A ) , f ( x B ) – это значения функции в этих точках.
Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A или k = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B , причем уравнение необходимо записать как y = f ( x B ) – f ( x A ) x B – x A · x – x A + f ( x A ) или
y = f ( x A ) – f ( x B ) x A – x B · x – x B + f ( x B ) .
Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А , от А до В , справа от В . На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.
По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.
Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у = 0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.
Касательная к графику функции f ( x ) в точке x 0 ; f ( x 0 ) называется прямая, проходящая через заданную точку x 0 ; f ( x 0 ) , с наличием отрезка, который имеет множество значений х , близких к x 0 .
Рассмотрим подробно на ниже приведенном примере. Тогда видно, что прямая, заданная функцией y = x + 1 , считается касательной к y = 2 x в точке с координатами ( 1 ; 2 ) . Для наглядности, необходимо рассмотреть графики с приближенными к ( 1 ; 2 ) значениями. Функция y = 2 x обозначена черным цветом, синяя линия – касательная, красная точка – точка пересечения.
Очевидно, что y = 2 x сливается с прямой у = х + 1 .
Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной А В при бесконечном приближении точки В к точке А . Для наглядности приведем рисунок.
Секущая А В , обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной α x .
Касательной к графику функции y = f ( x ) в точке А считается предельное положение секущей А В при В стремящейся к А , то есть B → A .
Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.
Геометрический смысл производной функции в точке
Перейдем к рассмотрению секущей А В для функции f ( x ) , где А и В с координатами x 0 , f ( x 0 ) и x 0 + ∆ x , f ( x 0 + ∆ x ) , а ∆ x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆ y = ∆ f ( x ) = f ( x 0 + ∆ x ) – f ( ∆ x ) . Для наглядности приведем в пример рисунок.
Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник А В С . Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆ y ∆ x = t g α . Из определения касательной следует, что lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . По правилу производной в точке имеем, что производную f ( x ) в точке x 0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆ x → 0 , тогда обозначим как f ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Отсюда следует, что f ‘ ( x 0 ) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , где k x обозначают в качестве углового коэффициента касательной.
То есть получаем, что f ’ ( x ) может существовать в точке x 0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x 0 , f 0 ( x 0 ) , где значение углового коэффициента касательной в точке равняется производной в точке x 0 . Тогда получаем, что k x = f ‘ ( x 0 ) .
Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.
Уравнение касательной прямой
Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x 0 при пересечении.
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x 0 , f 0 ( x 0 ) принимает вид y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) .
Имеется в виду, что конечным значением производной f ‘ ( x 0 ) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) = ∞ и lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) = ∞ или отсутствие вовсе при условии lim x → x 0 + 0 f ‘ ( x ) ≠ lim x → x 0 – 0 f ‘ ( x ) .
Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента k x = f ‘ ( x 0 ) . При параллельности к оси о х получаем, что k k = 0 , при параллельности к о у – k x = ∞ , причем вид уравнения касательной x = x 0 возрастает при k x > 0 , убывает при k x 0 .
Произвести составление уравнения касательной к графику функции y = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 в точке с координатами ( 1 ; 3 ) с определением угла наклона.
Решение
По условию имеем, что функция определяется для всех действительных чисел. Получаем, что точка с координатами, заданными по условию, ( 1 ; 3 ) является точкой касания, тогда x 0 = – 1 , f ( x 0 ) = – 3 .
Необходимо найти производную в точке со значением – 1 . Получаем, что
y ‘ = e x + 1 + x 3 3 – 6 – 3 3 x – 17 – 3 3 ‘ = = e x + 1 ‘ + x 3 3 ‘ – 6 – 3 3 x ‘ – 17 – 3 3 ‘ = e x + 1 + x 2 – 6 – 3 3 y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( – 1 ) = e – 1 + 1 + – 1 2 – 6 – 3 3 = 3 3
Значение f ’ ( x ) в точке касания является угловым коэффициентом касательной, который равняется тангенсу наклона.
Тогда k x = t g α x = y ‘ ( x 0 ) = 3 3
Отсюда следует, что α x = a r c t g 3 3 = π 6
Ответ: уравнение касательной приобретает вид
y = f ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + f ( x 0 ) y = 3 3 ( x + 1 ) – 3 y = 3 3 x – 9 – 3 3
Для наглядности приведем пример в графической иллюстрации.
Черный цвет используется для графика исходной функции, синий цвет – изображение касательной, красная точка – точка касания. Рисунок, располагаемый справа, показывает в увеличенном виде.
Выяснить наличие существования касательной к графику заданной функции
y = 3 · x – 1 5 + 1 в точке с координатами ( 1 ; 1 ) . Составить уравнение и определить угол наклона.
Решение
По условию имеем, что областью определения заданной функции считается множество всех действительных чисел.
Перейдем к нахождению производной
y ‘ = 3 · x – 1 5 + 1 ‘ = 3 · 1 5 · ( x – 1 ) 1 5 – 1 = 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5
Если x 0 = 1 , тогда f ’ ( x ) не определена, но пределы записываются как lim x → 1 + 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( + 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 – 0 3 5 · 1 ( x – 1 ) 4 5 = 3 5 · 1 ( – 0 ) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , что означает существование вертикальной касательной в точке ( 1 ; 1 ) .
Ответ: уравнение примет вид х = 1 , где угол наклона будет равен π 2 .
Для наглядности изобразим графически.
Найти точки графика функции y = 1 15 x + 2 3 – 4 5 x 2 – 16 5 x – 26 5 + 3 x + 2 , где
- Касательная не существует;
- Касательная располагается параллельно о х ;
- Касательная параллельна прямой y = 8 5 x + 4 .
Решение
Необходимо обратить внимание на область определения. По условию имеем, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Раскрываем модуль и решаем систему с промежутками x ∈ – ∞ ; 2 и [ – 2 ; + ∞ ) . Получаем, что
y = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )
Необходимо продифференцировать функцию. Имеем, что
y ‘ = – 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ‘ , x ∈ – ∞ ; – 2 1 15 x 3 – 6 x 2 + 9 x + 12 ‘ , x ∈ [ – 2 ; + ∞ ) ⇔ y ‘ = – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) , x ∈ – ∞ ; – 2 1 5 x 2 – 4 x + 3 , x ∈ [ – 2 ; + ∞ )
Когда х = – 2 , тогда производная не существует, потому что односторонние пределы не равны в этой точке:
lim x → – 2 – 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 – 0 – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 = – 1 5 ( – 2 ) 2 + 12 ( – 2 ) + 35 = – 3 lim x → – 2 + 0 y ‘ ( x ) = lim x → – 2 + 0 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 1 5 – 2 2 – 4 – 2 + 3 = 3
Вычисляем значение функции в точке х = – 2 , где получаем, что
- y ( – 2 ) = 1 15 – 2 + 2 3 – 4 5 ( – 2 ) 2 – 16 5 ( – 2 ) – 26 5 + 3 – 2 + 2 = – 2 , то есть касательная в точке ( – 2 ; – 2 ) не будет существовать.
- Касательная параллельна о х , когда угловой коэффициент равняется нулю. Тогда k x = t g α x = f ‘ ( x 0 ) . То есть необходимо найти значения таких х , когда производная функции обращает ее в ноль. То есть значения f ’ ( x ) и будут являться точками касания, где касательная является параллельной о х .
Когда x ∈ – ∞ ; – 2 , тогда – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 , а при x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) получаем 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 .
– 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 0 D = 12 2 – 4 · 35 = 144 – 140 = 4 x 1 = – 12 + 4 2 = – 5 ∈ – ∞ ; – 2 x 2 = – 12 – 4 2 = – 7 ∈ – ∞ ; – 2 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 0 D = 4 2 – 4 · 3 = 4 x 3 = 4 – 4 2 = 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ – 2 ; + ∞
Вычисляем соответствующие значения функции
y 1 = y – 5 = 1 15 – 5 + 2 3 – 4 5 – 5 2 – 16 5 – 5 – 26 5 + 3 – 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( – 7 ) = 1 15 – 7 + 2 3 – 4 5 ( – 7 ) 2 – 16 5 – 7 – 26 5 + 3 – 7 + 2 = 4 3 y 3 = y ( 1 ) = 1 15 1 + 2 3 – 4 5 · 1 2 – 16 5 · 1 – 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y ( 3 ) = 1 15 3 + 2 3 – 4 5 · 3 2 – 16 5 · 3 – 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Отсюда – 5 ; 8 5 , – 4 ; 4 3 , 1 ; 8 5 , 3 ; 4 3 считаются искомыми точками графика функции.
Рассмотрим графическое изображение решения.
Черная линия – график функции, красные точки – точки касания.
- Когда прямые располагаются параллельно, то угловые коэффициенты равны. Тогда необходимо заняться поиском точек графика функции, где угловой коэффициент будет равняться значению 8 5 . Для этого нужно решить уравнение вида y ‘ ( x ) = 8 5 . Тогда, если x ∈ – ∞ ; – 2 , получаем, что – 1 5 ( x 2 + 12 x + 35 ) = 8 5 , а если x ∈ ( – 2 ; + ∞ ) , тогда 1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 .
Первое уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля. Запишем, что
– 1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 – 4 · 43 = – 28 0
Другое уравнение имеет два действительных корня, тогда
1 5 ( x 2 – 4 x + 3 ) = 8 5 x 2 – 4 x – 5 = 0 D = 4 2 – 4 · ( – 5 ) = 36 x 1 = 4 – 36 2 = – 1 ∈ – 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ – 2 ; + ∞
Перейдем к нахождению значений функции. Получаем, что
y 1 = y ( – 1 ) = 1 15 – 1 + 2 3 – 4 5 ( – 1 ) 2 – 16 5 ( – 1 ) – 26 5 + 3 – 1 + 2 = 4 15 y 2 = y ( 5 ) = 1 15 5 + 2 3 – 4 5 · 5 2 – 16 5 · 5 – 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Точки со значениями – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 являются точками, в которых касательные параллельны прямой y = 8 5 x + 4 .
Ответ: черная линия – график функции, красная линия – график y = 8 5 x + 4 , синяя линия – касательные в точках – 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 .
Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.
Написать уравнения всех имеющихся касательных функции y = 3 cos 3 2 x – π 4 – 1 3 , которые располагаются перпендикулярно прямой y = – 2 x + 1 2 .
Решение
Для составления уравнения касательной необходимо найти коэффициент и координаты точки касания, исходя из условия перпендикулярности прямых. Определение звучит так: произведение угловых коэффициентов, которые перпендикулярны прямым, равняется – 1 , то есть записывается как k x · k ⊥ = – 1 . Из условия имеем, что угловой коэффициент располагается перпендикулярно прямой и равняется k ⊥ = – 2 , тогда k x = – 1 k ⊥ = – 1 – 2 = 1 2 .
Теперь необходимо найти координаты точек касания. Нужно найти х , после чего его значение для заданной функции. Отметим, что из геометрического смысла производной в точке
x 0 получаем, что k x = y ‘ ( x 0 ) . Из данного равенства найдем значения х для точек касания.
y ‘ ( x 0 ) = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 ‘ = 3 · – sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 x 0 – π 4 ‘ = = – 3 · sin 3 2 x 0 – π 4 · 3 2 = – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) ⇔ – 9 2 · sin 3 2 x 0 – π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 – π 4 = – 1 9
Это тригонометрическое уравнение будет использовано для вычисления ординат точек касания.
3 2 x 0 – π 4 = a r c sin – 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π – a r c sin – 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 – π 4 = – a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 – π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z – множество целых чисел.
Найдены х точек касания. Теперь необходимо перейти к поиску значений у :
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 – π 4 – 1 3
y 0 = 3 · 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – sin 2 3 2 x 0 – π 4 – 1 3
y 0 = 3 · 1 – – 1 9 2 – 1 3 или y 0 = 3 · – 1 – – 1 9 2 – 1 3
y 0 = 4 5 – 1 3 или y 0 = – 4 5 + 1 3
Отсюда получаем, что 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 – 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; – 4 5 + 1 3 являются точками касания.
Ответ: необходимы уравнения запишутся как
y = 1 2 x – 2 3 π 4 – a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 – 1 3 , y = 1 2 x – 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk – 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Для наглядного изображения рассмотрим функцию и касательную на координатной прямой.
Рисунок показывает, что расположение функции идет на промежутке [ – 10 ; 10 ] , где черная прямя – график функции, синие линии – касательные, которые располагаются перпендикулярно заданной прямой вида y = – 2 x + 1 2 . Красные точки – это точки касания.
Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе
Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.
Касательная к окружности
Для задания окружности с центром в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и радиусом R применяется формула x – x c e n t e r 2 + y – y c e n t e r 2 = R 2 .
Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:
y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.
Для составления уравнения окружности в точке x 0 ; y 0 , которая располагается в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y = R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = – R 2 – x – x c e n t e r 2 + y c e n t e r в указанной точке.
Когда в точках x c e n t e r ; y c e n t e r + R и x c e n t e r ; y c e n t e r – R касательные могут быть заданы уравнениями y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r – R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r – R ; y c e n t e r будут являться параллельными о у , тогда получим уравнения вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r – R .
Касательная к эллипсу
Когда эллипс имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r с полуосями a и b , тогда он может быть задан при помощи уравнения x – x c e n t e r 2 a 2 + y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что
y = b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r y = – b a · a 2 – ( x – x c e n t e r ) 2 + y c e n t e r
Если касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны о х или о у . Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.
Написать уравнение касательной к эллипсу x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 в точках со значениями x равного х = 2 .
Решение
Необходимо найти точки касания, которые соответствуют значению х = 2 . Производим подстановку в имеющееся уравнение эллипса и получаем, что
x – 3 2 4 x = 2 + y – 5 2 25 = 1 1 4 + y – 5 2 25 = 1 ⇒ y – 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Тогда 2 ; 5 3 2 + 5 и 2 ; – 5 3 2 + 5 являются точками касания, которые принадлежат верхнему и нижнему полуэллипсу.
Перейдем к нахождению и разрешению уравнения эллипса относительно y . Получим, что
x – 3 2 4 + y – 5 2 25 = 1 y – 5 2 25 = 1 – x – 3 2 4 ( y – 5 ) 2 = 25 · 1 – x – 3 2 4 y – 5 = ± 5 · 1 – x – 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 – x – 3 2
Очевидно, что верхний полуэллипс задается с помощью функции вида y = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 , а нижний y = 5 – 5 2 4 – x – 3 2 .
Применим стандартный алгоритм для того, чтобы составить уравнение касательной к графику функции в точке. Запишем, что уравнение для первой касательной в точке 2 ; 5 3 2 + 5 будет иметь вид
y ‘ = 5 + 5 2 4 – x – 3 2 ‘ = 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = – 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = – 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 ( x – 2 ) + 5 3 2 + 5
Получаем, что уравнение второй касательной со значением в точке
2 ; – 5 3 2 + 5 принимает вид
y ‘ = 5 – 5 2 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = – 5 2 · 1 2 4 – ( x – 3 ) 2 · 4 – ( x – 3 ) 2 ‘ = = 5 2 · x – 3 4 – ( x – 3 ) 2 ⇒ y ‘ ( x 0 ) = y ‘ ( 2 ) = 5 2 · 2 – 3 4 – ( 2 – 3 ) 2 = – 5 2 3 ⇒ y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y 0 ⇔ y = – 5 2 3 ( x – 2 ) – 5 3 2 + 5
Графически касательные обозначаются так:
Касательная к гиперболе
Когда гипербола имеет центр в точке x c e n t e r ; y c e n t e r и вершины x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r – α ; y c e n t e r , имеет место задание неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = 1 , если с вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b и x c e n t e r ; y c e n t e r – b , тогда задается при помощи неравенства x – x c e n t e r 2 α 2 – y – y c e n t e r 2 b 2 = – 1 .
Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида
y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 – a 2 + y c e n t e r или y = b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r y = – b a · ( x – x c e n t e r ) 2 + a 2 + y c e n t e r
В первом случае имеем, что касательные параллельны о у , а во втором параллельны о х .
Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.
Составить уравнение касательной к гиперболе x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 в точке 7 ; – 3 3 – 3 .
Решение
Необходимо преобразовать запись решения нахождения гиперболы при помощи 2 функций. Получим, что
x – 3 2 4 – y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x – 3 2 4 – 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x – 3 2 – 4 и л и y + 3 = – 3 2 · x – 3 2 – 4 ⇒ y = 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3 y = – 3 2 · x – 3 2 – 4 – 3
Необходимо выявить, к какой функции принадлежит заданная точка с координатами 7 ; – 3 3 – 3 .
Очевидно, что для проверки первой функции необходимо y ( 7 ) = 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , тогда точка графику не принадлежит, так как равенство не выполняется.
Для второй функции имеем, что y ( 7 ) = – 3 2 · ( 7 – 3 ) 2 – 4 – 3 = – 3 3 – 3 ≠ – 3 3 – 3 , значит, точка принадлежит заданному графику. Отсюда следует найти угловой коэффициент.
y ‘ = – 3 2 · ( x – 3 ) 2 – 4 – 3 ‘ = – 3 2 · x – 3 ( x – 3 ) 2 – 4 ⇒ k x = y ‘ ( x 0 ) = – 3 2 · x 0 – 3 x 0 – 3 2 – 4 x 0 = 7 = – 3 2 · 7 – 3 7 – 3 2 – 4 = – 3
Ответ: уравнение касательной можно представить как
y = – 3 · x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 · x + 4 3 – 3
Наглядно изображается так:
Касательная к параболе
Чтобы составить уравнение касательной к параболе y = a x 2 + b x + c в точке x 0 , y ( x 0 ) , необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y = y ‘ ( x 0 ) · x – x 0 + y ( x 0 ) . Такая касательная в вершине параллельна о х .
Следует задать параболу x = a y 2 + b y + c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у . Получаем, что
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c – x = 0 D = b 2 – 4 a ( c – x ) y = – b + b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a y = – b – b 2 – 4 a ( c – x ) 2 a
Графически изобразим как:
Для выяснения принадлежности точки x 0 , y ( x 0 ) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна о у относительно параболы.
Написать уравнение касательной к графику x – 2 y 2 – 5 y + 3 , когда имеем угол наклона касательной 150 ° .
Решение
Начинаем решение с представления параболы в качестве двух функций. Получим, что
– 2 y 2 – 5 y + 3 – x = 0 D = ( – 5 ) 2 – 4 · ( – 2 ) · ( 3 – x ) = 49 – 8 x y = 5 + 49 – 8 x – 4 y = 5 – 49 – 8 x – 4
Значение углового коэффициента равняется значению производной в точке x 0 этой функции и равняется тангенсу угла наклона.
k x = y ‘ ( x 0 ) = t g α x = t g 150 ° = – 1 3
Отсюда определим значение х для точек касания.
Первая функция запишется как
y ‘ = 5 + 49 – 8 x – 4 ‘ = 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3
Очевидно, что действительных корней нет, так как получили отрицательное значение. Делаем вывод, что касательной с углом 150 ° для такой функции не существует.
Вторая функция запишется как
y ‘ = 5 – 49 – 8 x – 4 ‘ = – 1 49 – 8 x ⇒ y ‘ ( x 0 ) = – 1 49 – 8 x 0 = – 1 3 ⇔ 49 – 8 x 0 = – 3 x 0 = 23 4 ⇒ y ( x 0 ) = 5 – 49 – 8 · 23 4 – 4 = – 5 + 3 4
Имеем, что точки касания – 23 4 ; – 5 + 3 4 .
Ответ: уравнение касательной принимает вид
Задачи с параметрами. Условия касания.
Темы для повторения:
Графический метод решения задач с параметрами
Друзья, мы продолжаем тему «Задачи с параметрами». Это №18 Профильного ЕГЭ по математике. В этой статье рассказано, как в решении задач с параметрами применяется производная.
Рассмотрим следующую задачу:
При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 решения?
Поскольку логарифмы определены для положительных чисел, 
Это значит, что
Сделаем замену 
При 
каждому значению соответствует два значения
В левой части уравнения — линейная функция, в правой — логарифмическая. Это функции разных типов. Пытаться справиться с таким уравнение аналитически — бесполезно. Попробуем графический способ.
Если , то и условие не выполняется. Рассмотрим по отдельности случаи 
и 
Пусть . Нарисуем графики функций и Функция монотонно возрастает при . Обозначим 
Функция монотонно убывает при .
Докажем, что графики функций и имеют единственную точку пересечения при и любом 
Рассмотрим функцию Функция является монотонно возрастающей при 
(как сумма монотонно возрастающих функций и ), следовательно, каждое свое значение, в том числе и значение , она принимает ровно один раз.
Уравнение имеет единственное решение при положительных и Значит, при всех исходное уравнение имеет ровно 2 решения. Теперь случай
Уравнение имеет единственное решение, если прямая касается графика функции Мы помним, как записываются условия касания:
В нашем случае 
Учитывая, что , получим:
Мы получили, что, — точка касания. При этом .
Ответ: 
Построение сопряжений
Часто при изображении на чертеже контура детали приходится выполнять плавный переход одной линии в другую (плавный переход между прямыми линиями или окружностями) для выполнения конструктивных и технологических требований. Плавный переход одной линии в другую называют сопряжением.
Для построения сопряжений необходимо определить:
- • центры сопряжений (центры, из которых проводят дуги);
- • точки касания/точки сопряжения (точки, в которых одна линия переходит в другую);
- • радиус сопряжения (если он нс задан).
Рассмотрим основные типы сопряжений.
Сопряжение (касание) прямой и окружности
Построение прямой, касательной к окружности. При построении сопряжения прямой и окружности используется известный признак касания этих линий: прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Касание прямой и окружности:
К — точка касания
Для проведения касательной к окружности через точку Л, лежащую вне окружности, необходимо:
- 1) соединить заданную точку А (рис. 1.13) с центром окружности О;
- 2) отрезок ОА разделить пополам (ОС = СА, см. рис. 1.7) и провести вспомогательную окружность радиусом СО (или СА);
Рис. 1.13. Построение касательной прямой к окружности
3) точку /С, (или К.» поскольку задача имеет два решения) соединить с точкой А.
Линия АК^ (или АК.,) является касательной к заданной окружности. Точки Ki и К2— точки касания.
Следует отметить, что рис. 1.13 иллюстрирует также один из способов точного графического построения двух перпендикулярных прямых (касательной и радиуса).
Построение прямой, касательной к двум окружностям. Обращаем внимание читателя на то, что задачу построения прямой, касательной к двум окружностям, можно рассматривать как обобщенный случай предыдущей задачи (построение касательной из точки к окружности). Сходство этих задач прослеживается из рис. 1.13 и 1.14.
Внешнее касание двух окружностей. При внешнем касании (см. рис. 1.14) обе окружности лежат но одну сторону от прямой.
На рис. 1.14 изображены малая окружность радиусом R с центром в точке А и большая окружность радиусом R< с центром в точ-
Рис. 1.14. Построение внешней касательной к двум окружностям ке О. Чтобы построить внешнюю касательную к этим окружностям, необходимо выполнить следующие действия:
- 1) через центр О большей окружности провести вспомогательную окружность радиусом (/?, – R);
- 2) построить касательные к вспомогательной окружности из точки А (центр малой окружности). Точки К< и К., — точки касания прямых и окружности (заметим, что задача имеет два решения);
- 3) точки К< и К2 соединить с центром О и продолжить эти линии до пересечения с окружностью радиусом Rv Точки пересечения Кли /С, являются точками касания (сопряжения);
- 4) через точку А провести радиусы, параллельные линиям ()КЛи ОКг Точки пересечения этих радиусов с малой окружностью — точки К-и Кл являются точками касания (сопряжения);
- 5) соединив точки Кл и /С(;, а также Кл и К5, получить искомые касательные.
Внутреннее касание двух окружностей (окружности лежат по разные стороны от прямой, рис. 1.15) выполняется по аналогии с внешнем касанием, с той лишь разницей, что через центр О большей окружности проводится вспомогательная окружность радиусом /?, + R. Па рис. 1.15 изображено два возможных решения задачи.
Рис. 1.1 5. Построение внутренней касательной к двум окружностям
Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности заданным радиусом. Построение (рис. 1.16) сводится к построению окружности радиусом R, касающейся одновременно обеих заданных линий.
Для нахождения центра этой окружности проводим две вспомогательные прямые, параллельные заданным, на расстоянии R от каждой из них. Точка пересечения этих прямых является центром О дуги сопряжения. Перпендикуляры, опущенные из центра О на заданные прямые, определяют точки сопряжения (касания) /С, и К2.
Рис. 1.16. Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности
Рис. 1.17. Построение сопряжения окружности и прямой дугой заданным радиусом R:
а — внутреннее касание; б — внешнее касание
Сопряжение окружности и прямой дугой заданным радиусом.
Примеры построения сопряжений окружности и прямой дугой заданным радиусом R приведены на рис. 1.17.
[spoiler title=”источники:”]
http://studme.org/237334/informatika/postroenie_sopryazheniy
[/spoiler]
