Как найти точку максимума дробной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Анализ дробно-рациональной функции. Асимптоты, экстремум

Функция $y=frac{k}{x}$ . Гипербола. Свойства.

Пример 1: Построить график для функции $y=frac{1}{x}$, $fleft(xright)=frac{1}{x}$

Вычислим значения функции в разнознаковых точках и нанесем точки с вычисленными координатами в системе $XOY$.
$fleft(1right)=1$ $fleft(frac{1}{2}right)=2$ $fleft(-1right)=-1$ $x=-frac{1}{2}$ $fleft(-frac{1}{2}right)=-2$ $fleft(2right)=frac{1}{2}$ $fleft(frac{1}{4}right)=4$ $fleft(-frac{1}{4}right)=-4$ $fleft(4right)=frac{1}{4}$ $fleft(1right)=8$ $fleft(-4right)=-frac{1}{4}$ $fleft(-frac{1}{8}right)=-8$ .
Точки Графика $(1;1)$, $(2;1/2)$, $(4;1/4)$, $(1/2;2)$, $(1/4;4)$, $(1/8;8)$, $(-1;-1)$, $(-2;-1/2)$, Еще точки: $(-4;-1/4)$, $(-1/2;-2)$, $(-1/4;-4)$, $(-1/8;-8)$ . По всем точкам построим кривые – график функции $y=frac{1}{x}$
График имеет разрыв по вертикальной линии $x=0$. Ветви графика прижимаются к горизонтальной линии $y=0$.

Графиком функции $y=frac{k}{x}$ $kne0$ является гипербола , ветви прижимаются к асимптотическим линиям.

если коэффициент $k > 0$ , в I и III координатных четвертях. Точка $(0;0)$ – центр симметрии.
если $k < 0$ , то во II и IV координатных четвертях. Точка $(0;0)$ – центр симметрии.
Асимптоты: Вертикальная асимптота, линия $x=0$, Горизонтальная асимптота, линия $y=0$

Cвойства функции $y=frac{k}{x}$ при $k > 0$ ( ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах) .

Свойство 1: Область Определения Функции – вся числовая прямая , кроме $x=0$. Свойство 2: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$. Свойство 3: Функция убывает на промежутках $( – ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4: Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Свойство 5: Ни наименьшего, ни наибольшего значений $у$ у функций нет. Свойство 6: Функция непрерывна на $( – ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$. Свойство 7: Область значений функции – $( – ∞ ; 0 )$ U $( 0 ; + ∞)$. имеет разрыв в точке $x=0$.

Cвойства функции $y=frac{k}{x}$ при $k < 0$ (ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах).

Свойство 1: Область Определения Функции – вся числовая прямая , кроме $x=0$. Свойство 2: $y > 0$ при $x < 0$ ; $y < 0$ при $x > 0$. Свойство 3: Функция возрастает на промежутках $( – ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 4: Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Свойство 5: Ни наименьшего, ни наибольшего значений $у$ у функций нет. Свойство 6: Функция непрерывна на $( – ∞ ; 0 )$ и $( 0 ; + ∞)$ Свойство 7: Область значений функции – объединение $( – ∞ ; 0 )$ U $( 0 ; + ∞)$ . имеет разрыв в точке $x=0$.

Метод Замены для построения Графика Функции.

Мысль: Умеем строить график функции попроще … используем его для построения функции при “сдвинутых” аргументах и значениях.

Как построить график функции $y=kcdot fleft(xright)$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

График $y=5cdot fleft(xright)$: Расстянуть вертикально вверх по оси $OY$ 5 раз все, что над $OX$ графика $y=fleft(xright)$ , $k$ раза.
График $y=5cdot fleft(xright)$: Расстянуть вертикально вниз по оси $OY$ 5 раз все, что под $OX$ графика $y=fleft(xright)$ , $k$ раза.
График $y=frac{1}{3}cdot fleft(xright)$: Сжать по вертикали, оси $OY$ график $y=fleft(xright)$ 3 раза.
Еще способ: Перемасштабирование. Для $y=5cdot fleft(xright)$ … построить $y=fleft(xright)$, изменить масштаб: “1” станет “5”, “-2” станет “-10”, и т.д.

Как построить график функции $y=-fleft(xright)$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

Эти функции принимают ровно противоположные значения. Значит: график $y=fleft(xright)$ надо отразить по оси $OX$, “перевернуть”.

Как построить график функции $y=fleft(x+lright)$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

Построить график $y=fleft(x+lright)$, где $l > 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OX$ на $l$ единиц масштаба влево.
Построить график $y=fleft(x-lright)$, где $l < 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OX$ на $l$ единиц масштаба вправо.

Как построить график функции $y=fleft(xright)+m$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

Построить график $y=fleft(xright)+m$, где $m > 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OY$ на $m$ единиц масштаба вверх;
Построить график $y=fleft(xright)-m$, где $m > 0$? Сдвинуть график $y=fleft(xright)$ вдоль оси $OY$ на $m$ единиц масштаба вниз.

Как построить график функции $y=fleft(x+lright)+m$, если известен график функции $y=fleft(xright)$.

График функции $y=fleft(x+lright)+m$ можно получить из графика $y=fleft(xright)$ параллельными сдвигами по осям $OX$ и $OY$.

График Дробной Функции.

Пример 2: Построить график функции $y=-frac{5}{x+3}$ .

сначала построим график функции $y=-frac{5}{x}$ … от графика $y=frac{1}{x}$ … отразим от $OX$ и растянем по вертикали 5 раз.
сдвинем получившуюся гиперболу вдоль оси $OX$ на $3$ единицы влево, получится требуемый график.
это гипербола с асимптотами $x=-3$; $y=0$. “почему так?” – как мы строим графики?
берем несколько $x$ – точек и находим для каждого свои $y$ – значения в соответствии “с формулой функции”.
По точкам проводим график. Очевидно, если, скажем, $x=0,52$ функция $y=-frac{5}{x+3}$ дает какое-то значение,
… то, конечно для $x=3,52$ другая функция, $y=-frac{5}{x}$ дает ровно такое же значение.
значит, точки графиков будут различаться на $3$ единицы по $x$ – координате и совпадать по $y$ – координате.
Ровно так и для всех точек. “Сравни две функции и вообрази их графики: каковы различия и что общего? “

Пример 3: Построить график функции $y=frac{4}{x}-5$ .

Сначала надо построить график функции $y=frac{4}{x}$ . Гиперболу $y=frac{1}{x}$ “растянем” четыре раза.
Сдвинуть получившуюся гиперболу вдоль оси $OY$ на $5$ клеточек вниз. Т.к. каждое значение должно отличаться на 5 единиц.
получится требуемый график. Это гипербола с асимптотами $x=0$; $y=-5$.
Важно знать где пересекается с нулем. Решение, корень $frac{4}{x}-5=0$ дает абсциссу $x=0.8$. Точка графика $left(0,8;0right)$.
Исследование: Найдем производное: $left(frac{4}{x}-5right)’=-frac{4}{x^2}$. Нигде не = 0, Экстремума нет!
Производная для всех $x$ (кроме $0$) отрицательна – значит всюду убывает.
Область Определения: $D_f=left(-infty;0right)+left(0;+inftyright)$ Область значений $E_f=left(-infty; -5right)+left(-5;+inftyright)$
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-infty;0,8right)$ – функция отрицательна, $-Z_f=left(0,8;+inftyright)$ – функция положительна.
Монотонность: $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ – возрастает $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$ – функция убывает

Вертикальная асимптота ( $x=0$,) проходит в полюсе, точке разрыва функции. Точка обнуления знаменателя. Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота ( $y=-5$ ), линия, на которую “ложится” график при значениях $х$ около $+-infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола – график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы “зажаты – прижаты” к асимптотическим линиям .

Наклонная асимптота – линия типа $y=2x+3$, к которой “прижимаются” ветви графика “на” или “около” + – бесконечнoсти.

Пример 4: Построить график функции $y=frac{x-5}{x^2-25}$

Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
Тождественное преобразование, сокращение $frac{x-5}{x^2-25}=frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=frac{1}{x+5}$. Так, что график $y=frac{1}{x+5}$ ?
Не спеши! Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З – в исходной функции нет места $x=5$.
Значит: можем строить гиперболу $y=frac{1}{x+5}$ взамен нашей $y=frac{x-5}{x^2-25}$, но “без точки $x=5$”.
Точка $x=5$ разрывает “гладкий” график гиперболы. Она называется “выколотая точка с координатами $left(5;0,1right)$”.

Важно уметь исследовать функцию – график около точек разрыва. + / – поблизости. Куда тянется?

Исследуем около $x=-5$. Возьмем “близкие” точки $-5,01$ и $-4,99$. Вычислим приближенные значения.
Чуть левее … $fleft(-5,01right)=frac{-5,01-5}{(-5,01)^2-5^2}approx -100$. Чуть правее … $fleft(-4,99right)=frac{-4,99-5}{(-4,99)^2-5^2}approx 100$.
Прямая $x=-5$ – вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается “вниз”, к $-infty$ . А справа поднимается вверх к $+infty$.
Около $x=5$. Чуть левее $fleft(4,99right)=frac{4,99-5}{4,99^2-5^2}approx0,101$. $fleft(5,01right)=frac{5,01-5}{5,01^2-5^2}approx0,099$.
Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике выколотая точка $left(5;0,1right)$. Т.к. в ней $y=frac{1}{5+5}=0,1$.
“О нулях”: при $x=0$ $y=0,2$ . Но функция нигде не обнуляется, $yne0$. Прямая $y=0$ – горизонтальная асимптота.
Анализ: Найдем производное: $left(frac{x-5}{x^2-25}right)’=left(frac{1}{x+5}right)’=-frac{1}{left(x+5right)^2}$
Производная не равна нулю нигде и всюду отрицательна. Экстремума нет, Всюду убывающая функция.
Область Определения функции: $D_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ .
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ – функция положительна. $-Z_f=left(-infty;-5right)$ – функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=varnothing $ – нет роста. $-M_f=left(-infty;-5right)+left(-5;5right)+left(5;+inftyright)$ – функция убывает
Область значений $E_f=left(-infty;0right)+left(0;0,8right)+left(0,8;inftyright)$

Пример 5: Построить график функции $y=frac{x^2-16}{x+4}$

О.Д.З функции $xne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим $y=frac{x^2-16}{x+4}=x-4$.
График нашей функции – прямая линия $y=x-4$ с выколотой точкой $left(-4;-8right)$ при $x=-4$.
“Близко чуть левее”: $x=-4,01$ значение $fleft(-4,01right)=frac{(-4,01)^2-16}{-4,01+4}=-8,01$. Ближе? … Предел $approx-8$.
“О нулях”. при $x=0$ $y=-4$ . Обнуление функции $y=0$ при $x=4$ – пересечение с $x$ – осью.
Анализ: Найдем производное: $left(frac{x^2-16}{x+4}right)’=left(x-4right)’=1$
Производное всюду равно 1. Постоянный рост. Кроме разрыва, конечно. Нет точки Экстремума.
Область Определения: $D_f=left(-infty;-4right)+left(4;+inftyright)$ Область значений $E_f=left(-infty;-8right)+left(-8;inftyright)$
Знакопостоянство: $+Z_f=left(4;+inftyright)$ – функция положительна. $-Z_f=left(-infty;4right)$ – функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=left(-infty;-4right)+left(-4;inftyright)$ – возрастает

График Дробно – Рациональной Функции.

Определение: дробно-рациональной порядка $left(n;mright)$ называется функция вида $y=frac{acdot x^n+5x^3-x+c}{bcdot x^m-4x^2-7x+d}$

Числитель – многочлен степени $n$ , знаменатель – многочлен степени $m$ . Общий вид: $y=frac{Pleft(xright)}{Qleft(xright)}$

Нули функции – корни числителя $Pleft(xright)=0$ , Асимптоты (полюсы) – корни знаменателя $Qleft(xright)=0$.

Пример 6: Построить график функции $y=frac{x^2}{x^2-9}$.

Функция $fleft(xright)=frac{x^2}{x^2-9}$ – четная: $fleft(xright)=fleft(xright)$ $fleft(8right)=fleft(-8right)$ – Слева и справа от $OY$ симметрично.
Вычисления: $fleft(-4right)=frac{left(-4right)^2}{left(-4right)^2-9}=frac{16}{7}approx2,3$ $fleft(-10right)=frac{100}{91}approx 1,1$ $fleft(-5right)=frac{25}{16}approx 1,6$ $fleft(-3,5right)=frac{12.25}{3,25}approx 3,8$
$fleft(-2right)=fleft(2right)=frac{4}{-5}approx -0,8$ $fleft(-1right)=fleft(1right)approx -0,1$ $fleft(3,5right)approx 3,8$ $fleft(4right)approx 2,3$ $fleft(5right)approx 1,6$ $fleft(10right)approx 1,1$
Наша функция имеет нули в точке $x=0$ , а вертикальные асимтоты – линии $x=-3$ , $x=3$
Асимптота – прямая линия, к которой “прижимается” график функции, “подходя” к ней бесконечно близко.
Чему равно $frac{x^2}{x^2-9}$ при очень больших $x$ ? $xapproxpm1000$ ? Конечно, $yapprox1$ горизонтальная асимптота $y=1$ .
Анализ графика: 1) Обнуляется при $x=0$ . 2) Значение в нуле : $y=frac{x^2}{x^2-9}$ в $x=0$ равно $y=0$.
3) Поведение в разрывах: “чуть левее” полюса $xapprox-3-0,01$ значение $y > 0$ – “большое положительное”.
“чуть правее” разрыва $xapprox-3+0,01$ значение функции “большое отрицательное”.
Поведение около другого разрыва: когда $x$ “чуть левее” , например $xapprox3-0,01$ , то $y < 0$ ;
когда $x$ “чуть правее” , например $xapprox3+0,01$ , то $y > 0$.
4) Поведение на бесконечности: при $xapproxpminfty$ значение “ложится” около $yapprox1$.
5) Область определения функции – все точки оси $x$ , кроме $x=pm3$
6) Функция положительна $y > 0$ на интервалах $x < -3$ , $x > 3$.
7) Функция отрицательна $y < 0$ на интервалах $-3 < x < 0$ , $0 < x < 3$.

Исследование Функции:

Найдем производное: $left(frac{x^2}{x^2-9}right)’=frac{2xleft(x^2-9right)-x^2cdot2x}{left(x^2-9right)^2}=frac{-18x}{left(x^2-9right)^2}$
Производное равно нулю дает точку Экстремума: $x=0$. Точка Максимума.
Производная отрицательна – значит убывает $x > 0$. Производная положительна, значит возрастает: $x < 0$
Область Определения: $D_f=left(-infty;-3right)+left(-3;3right)+left(3;+infty8right)$ – область определения функции.
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-infty;-3right)+left(3;+inftyright)$ – функция положительна. $-Z_f=left(-3;3right)$ – функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=left(-infty;-3right)+left(-3;0right)$ – возрастает $-M_f=left(0;3right)+left(3;+inftyright)$ – функция убывает
Область значений $E_f=left(-infty;0right)+left(1;inftyright)$

пробaп

Пример 7: Анализ графика функции $y=frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}$

нули – точки обнуления числителя $4x^2-5x-6=0$ $x=2$ $x=-frac{3}{4}$
Представление: $frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}=frac{2cdot left(2x^2-3x+1right)+x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{2x^2-3x+1}=2+frac{x-8}{left(2x-1right)left(x-1right)}=2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}$
разрыв (полюс): $2x^2-3x+1=0$ вертикальные асимптоты – $x=1$ и $x=0,5$.
при $xapproxpm infty$ значение “ложится” около $yapprox2$. $-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}$ $x=0,75$ $x=15,24$
Производное: $left(2+frac{15}{2x-1}-frac{7}{x-1}right)’=-frac{30}{left(2x-1right)^2}+frac{7}{left(x-1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x-1right)^2cdotleft(x-1right)^2}$
Или так: $left(frac{4x^2-5x-6}{2x^2-3x+1}right)’=frac{left(4x^2-5x-6right)’cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(2x^2-3x+1right)’}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{left(8x-5right)cdotleft(2x^2-3x+1right)-left(4x^2-5x-6right)cdotleft(4x-3right)}{left(2x^2-3x+1right)^2}=frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}$
Уравнение Экстремумов: $frac{-2x^2+32x-23}{left(2x^2-3x+1right)^2}=0$. $-2x^2+32x-23=0$. $x=8pm0,5sqrt{210}$
Производная отрицательна на интервалах $-M_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;8-0,5sqrt{210}right)+left(8+0,5sqrt{210};inftyright)$. Убывает.
Производная положительна на интервалах $+M_f=left(8-0,5sqrt{210};1right)+left(1;8+0,5sqrt{210}right)$. Возрастает.
Точка Минимума: $x=8-0,5sqrt{210}$ $xapprox0,75$ . Точка Максимума: $x=8+0,5sqrt{210}$ $xapprox15,25$
Область Определения: $D_f=left(-infty;0,5right)+left(0,5;1right)+left(1;+inftyright)$ .
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-infty;-0,75right)+left(0,5;1right)+left(2;+inftyright)$ – положительна. $-Z_f=left(-0,75;0right)+left(1;2right)$ – отрицательна.
Область значений (приближенно!) $E_fapproxleft(-infty;2,001right)+left(60;inftyright)$

Пример 8: Анализ графика функции $y=frac{3x^2-5x-8}{x-2}$

нули – точки обнуления числителя $3x^2-5x+8=0$ $x=-1$ $x=frac{8}{3}approx2,7$
разрыв (полюс): $x-2=0$ вертикальные асимптоты – $x=2$ .
“чуть левее”: $fleft(2-10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2-10^{-7}right)^2-5left(2-10^{-7}right)-8}{2-10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8-12cdot10^{-7}+5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{-10^{-7}}approx6cdot10^7$ Значит, уходит к $+infty$
Чуть правее: $fleft(2+10^{-7}right)=frac{3cdotleft(2+10^{-7}right)^2-5left(2+10^{-7}right)-8}{2+10^{-7}-2}=frac{3cdot4-5cdot2-8+12cdot10^{-7}-5cdot10^{-7}+3cdotleft(10^{-7}right)^2}{10^{-7}}approx-6cdot10^7$ …. бежит к $-infty$
Представим нашу функцию по-другому : $frac{3x^2-5x-8}{x-2}=frac{3x^2-6x+x-2-6}{x-2}=3x+1-frac{6}{x-2}$
Видно, что при больших $x=2$ она “почти совпадает” с линейной функцией $3x+1$. “прижимается к ней”.
$y=3x+1$ – наклонная асимптота нашей функции.
Найдем производное: $left(frac{3x^2-5x-8}{x-2}right)’=frac{left(6x-5right)left(x-2right)-1cdotleft(3x^2-5x-8right)}{(x-2)^2}=frac{3x^2-12x+18}{(x-2)^2}=frac{3left(x^2-4x+6right)}{(x-2)^2}$
Производное нигде не равно нулю, нет Экстремума: Производное всюду положительно, значит, возрастает.
Область Определения: $D_f=left(-infty;2right)+left(2;+inftyright)$ . Полюс в $x=2$ .
Знакопостоянство: $+Z_f=left(-1;2right)+left(frac{8}{3};+inftyright)$ – функция положительна. $-Z_f=left(-infty;-1right)+left(-1;frac{8}{3}right)$ – функция отрицательна
Монотонность: $+M_f=left(-infty;2right)+left(2;inftyright)$ – всюду возрастает
Область значений $E_f=left(-infty;+inftyright)$

Графический способ решения уравнений

Пример 9: Решить уравнение $frac{2}{x}=x^2+1$ графическим способом.

Построим гиперболу $y=frac{2}{x}$ и параболу $y=x^2+1$ . Равенство означает пересечение.
Левая функция и правая функция приобретают одинаковые значения … графики этих функций пересекаются.
По чертежу видно, что графики пересекаются в точке с координатами $left(1;2right)$. ответ: $x=1$.

Пример 10: Решить уравнение $frac{5}{x}=x-4$.

Построим их графики: гиперболу $y=frac{5}{x}$ и прямую $y=x-4$. пересекаются ?
Гипербола и прямая пересекаются в точках $(-1;-5)$ и $(5;1)$. ответ: $x_1=-1$; $x_2=5$.

Пример 11: Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y=frac{1}{x}$ на отрезках а) $left[frac{1}{3};5right]$ и б) $left[-7;-1right]$.

Построим график функции $y=frac{1}{x}$ .
Выделим часть графика, соответствующую значениям переменной $x$ на отрезке $left[frac{1}{3};5right]$.
Для выделенной части графика находим: наименьшее значение $y=frac{1}{5}$ при $x=5$ , наибольшее $y=3$ при $x=frac{1}{3}$.
Выделим часть графика, соответствующую значениям переменной $x$ на отрезке $left[-7;-1right]$.
Для выделенной части графика находим: наименьшее значение $y=-frac{1}{7}$ при $x=-7$ наибольшее $y=-1$ при $x=-1$.

Упражнения

Источник

Главная
Новости
ЕГЭ
- ЕГЭ Профиль 2023
- ЕГЭ Профиль 2022
- ЕГЭ Профиль 2016-2021
- Варианты профильного ЕГЭ
- ЕГЭ База 2023
- ЕГЭ База 2022
- ЕГЭ База 2016-2021
ОГЭ
- ОГЭ 2019
- ОГЭ 2023
ГВЭ
- ГВЭ 11 класс
ВПР
- ВПР 4 класс
- ВПР 5 класс
- ВПР 6 класс
- ВПР 7 класс
- ВПР 8 класс
Алгебра
- Алгебра 7-9
- Алгебра 10-11
Геометрия
- Геометрия 7-9
- Геометрия 10-11
YouTube
Прочее
- Class100
- Разработки
- Обо мне
- Репетитор

ЕГЭ профильный уровень. №11 Степенные, иррациональные и дробные функции. Задача 53

ЕГЭ профильный уровень. №11 Степенные, иррациональные и дробные функции. Задача 53admin2023-03-22T18:53:09+03:00

Задача 53. Найдите точку максимума функции (y = frac{{16}}{x} + x + 3)

Область определения функции: (x in ,,left( { — infty ;0} right) cup left( {0;infty } right).)

Найдём производную заданной функции:

(y’ = ,frac{{{{16}^prime } cdot x — 16 cdot x’}}{{{x^2}}} + x’ + 3′ = frac{{0 cdot x — 16}}{{{x^2}}} + 1 = — frac{{16}}{{{x^2}}} + 1)

Найдём нули производной:

(1 — frac{{16}}{{{x^2}}} = 0,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,,,,,{x^2} = 16,,,,,,,, Leftrightarrow ,,,,,{x_1} = — 4,,,,,,,{x_2} = 4.)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка максимума (x = — 4.)

Ответ: –4.

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

1 мая

Новый сервис: можно исправить ошибки!

1 мая

Бесплатные курсы подготовки к ЕГЭ и ОГЭ

29 апреля

Разместили актуальные шкалы ЕГЭ  — 2023

24 апреля

Учителю: обновленный классный журнал

7 апреля

Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю

30 марта

Решения досрочных ЕГЭ по математике

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Исследование частных

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 11 № 77467

Найдите точку максимума функции

Аналоги к заданию № 77467: 129843 129871 523993 … Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 11 № 77468

Найдите точку минимума функции

Аналоги к заданию № 77468: 129873 129899 129901 … Все

Решение

1 комментарий

Видеокурс

Помощь

Тип 11 № 77469

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 77469: 129903 129931 129905 … Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 11 № 77470

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Аналоги к заданию № 77470: 129933 129961 129935 … Все

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 11 № 77471

Найдите точку максимума функции

Аналоги к заданию № 77471: 129965 129963 130011 … Все

Решение

1 комментарий

Видеокурс

Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

Здравствуйте, дорогие
друзья! Экзамен не за горами, мы вышли на финишную прямую, не будем суетиться и
переживать, будем готовиться. И на занятие сегодня я хочу рассмотреть некоторые
аспекты задания № 12 «Исследование функций». Мы поговорим о задачах, в которых
рассматриваются функции и в условии стоят вопросы, связанные с их
исследованием. Рассмотрим основные теоретические моменты, которые необходимо
знать и понимать для их решения.

Это
целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о
нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего)
значения функции на заданном интервале. Рассматриваются:

— Степенные и
иррациональные функции.

— Рациональные
функции.

— Исследование
произведений и частных.

— Логарифмические
функции.

—
Тригонометрические функции.

Если
вы поняли теорию пределов, понятие производной, свойства производной для
исследования графиков функций и её геометрический смысл, то такие задачи
никакого затруднения у вас не вызовут и вы решите их с
лёгкостью.

Следующая
информация — это теоретические моменты, понимание которых позволит
осознать, как решать подобные задачи. Постараюсь изложить их именно так, чтобы
даже тот, кто эту тему пропустил или изучил слабо, смог без особых затруднений
решать подобные задачи.

В
задачах данной группы, как уже сказано, требуется найти либо точку минимума
(максимума) функции, либо наибольшее (наименьшее) значение функции на
интервале.

Точки
минимума, максимума. Свойства производной.

Рассмотрим график функции:

Точка
А – это точка максимума, на интервале от О до А функция возрастает, на
интервале от А до В убывает.

Точка
В – это точка минимума, на интервале от А до В функция убывает, на
интервале от В до С возрастает.

В
данных точках (А и В) производная обращается в нуль (равна нулю).

Касательные
в этих точках параллельны оси ox.

Добавлю,
что точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и
наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами.

Важный
момент:

1.
Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (при подстановке
значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит,
если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное
значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2.
На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке
значения из интервала в выражение производной получается отрицательное
число).

Значит,
если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет
отрицательное значение, то график функции на этом интервале
убывает.

Это
надо чётко уяснить!!!

Таким
образом, вычислив производную и приравняв её к нулю, можно найти точки, которые
разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов
можно определить знак производной и далее сделать вывод о её возрастании или
убывании.

*Отдельно
следует сказать о точках, в которых производая не существует. Например, можем
получить производную, знаменатель которой при определённом х обращается в нуль.
Понятно, что при таком х производная не существует. Так вот, данную точку также
необходимо учитывать при определени интервалов возрастания (убывания).

Функция
в точках, где производная равна нулю, меняет свой знак не всегда.
Об этом можно почитать отдельно, но на самом ЕГЭ таких задач не будет.

Вышеизложенные
свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и
убывание.

Что
ещё необходимо знать для решения оговоренных задач: таблицу производных
и правила дифференцирования. Без этого никак. Это базовые знания, в теме
производной. Производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Исследование
функций

Задачи на нахождение точек максимума и минимума

Алгоритм
нахождения точек максимума (минимума) функции:

1.
Находим производную функции f’(x).

2.
Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f’(x)=0 и
решаем полученное уравнение). Также находим точки, в которых производная не
существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).

3.
Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки
производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в
выражение производной.

4.
Далее делаем вывод.

Вывод
будет один из двух:

1.
Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с
положительного на отрицательное.

2. Точка
минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного
на положительное.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего
значения функции на интервале.

В
другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на
заданном интервале.

Алгоритм
нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1.
Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f’(x),
затем решаем f’(x)=0 (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма).

2.
Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и
записываем лежащие в его пределах.

3.
Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную в
условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в
пределах интервала (п.2).

4.
Вычисляем значения функции.

5.
Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от
того, какой вопрос был поставлен в задаче и далее записываем ответ.

Вопрос:
для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции
необходимо искать точки максимума (минимума)?

Ответ
лучше всего это проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение
графиков, задаваемых функций:

В
случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить
наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти
нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала
(не находя нули функции), то получим неверный ответ, это видно по
графикам.

И
всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график
на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому
находите нули функции обязательно!!!

Если
уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения, это значит, что точек
максимума-минимума нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной
задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.

Ещё
один важный момент. Помните, что ответом должно быть целое число или конечная
десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы
будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем.
Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат
таких выражений ответом являться не будет. Если возникнет желание
вычислить такое значение, то сделайте это (числа: е ≈ 2,71
Пи ≈ 3,14 ).

Много
наговорила, запутала наверное? По конкретным примерам вы увидите, что всё
просто.

Далее
хочу открыть вам маленький секрет. Дело в том, что многие задания можно решить
без знания свойств производной и даже без правил дифференцирования. Об этих
нюансах я вам обязательно расскажу и покажу как это делается? не пропустите!

Но
тогда зачем же я вообще изложил теорию и ещё сказал, что её нужно знать
обязательно. Всё верно – знать надо. Если её поймёте, тогда никакая
задача в этой теме в тупик вас не поставит.

Те
«хитрости», о которых вы узнаете, помогут вам при решении конкретных
(некоторых) прототипов задач. Как дополнительный инструмент эти приёмы
использовать, конечно, удобно. Задачу можно решить в 2-3 раза быстрее и
сэкономить время на решение части С.

. Но не для всех
примеров применение «стандартного» алгоритма будет рационально. Если следовать
ему в представленных примерах, то процесс решения будет «перегружен»
вычислениями.

Так какие же задания
имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная
функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе стоит
квадратичная функция вида:

Мы рассмотрим подход без
нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать?

Свойство параболы,
напомним его:

Если а > 0, то её
ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её
ветви направлены вниз.

Далее вспомним
координату (абсциссу) вершины параболы:

То есть, это точка
экстремума квадратичной функции (в ней функция меняет своё поведение с
возрастания на убывание или наоборот).

Следующий важный факт
(ключевой для этих задач)!

Если исходная функция
монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее точка х также будет
точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

И конечно, не теряйте из
виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под
знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под
знаком логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в
знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовала
находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в
представленных задачах это ничего нам не даёт).

Рассмотрим задачи:

Найдите точку
максимума функции

Под корнем
квадратичная функция 13 + 6х – х²

Ее график —
парабола, ветви направлены вниз, поскольку а = – 1 < 0

Значит, максимальное
значение функция приобретает в точке:

Проверим, принадлежит ли
полученное значение области определения. То есть будет ли подкоренное выражение
числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 3²
= 13 + 18 – 9 = 22 > 0

Почему необходимо это
сделать? Дело в том, что абсцисса соответствующая вершине параболы может не
войти в область определения, это будет означать, что области определения будет
принадлежать только участок ветви параболы (таких заданий на ЕГЭ не будет).

Ответ: 3

Решите самостоятельно: Найдите
точку максимума функции

Ответ: – 2.

Найдите наименьшее
значение функции

Под корнем
квадратичная функция х² + 8х + 185.

Ее график —
парабола, ветви направлены вверх, т.к. а = 1 > 0

Абсцисса вершины
параболы:

Так как ветви
параболы направлены вверх, то в точке х = – 4 функция

х² + 8х + 185
принимает наименьшее значение.

Функция квадратного
корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума всей функции,
вычислим её наименьшее значение:

Ответ: 13

Решите самостоятельно:
Найдите наименьшее значение функции

Ответ: 2.

Найдите точку
максимума функции у=log₇(–2 – 12х – х²) + 10.

Под знаком логарифма
квадратичная функция –2 – 12х – х².

График — парабола,
ветви направлены вниз, так как а = – 1 < 0

Абсцисса вершины
параболы:

Проверим, принадлежит ли
полученное значение х области определения (выражение под знаком логарифма
должно быть число положительное):

– 2 –
12∙(–6) – (–6)² = – 2 + 72 – 36 = 34 > 0

То есть, в точке х = – 6

функция f (х) = – 2 – 12х – х²
будет иметь максимальное значение.

Значит, и у=log₇(–2–12х–х²)+10
в этой точке так же будет иметь максимальное значение.

Ответ: – 6.

Решите самостоятельно: Найдите
точку максимума функции у=log₂(2 + 2х – х²) – 2

Ответ: 1.

Найдите наименьшее
значение функции у=log₉ (х² – 10х + 754) + 3

Под корнем
квадратичная функция х² – 10х + 754.

Ее график — парабола,
ветви направлены вверх, поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины
параболы:

То есть, в точке х
= 5 функция f (x) = х² – 10х + 754 принимает наименьшее
значение.

Функция log₉х
монотонная, значит у =log₉ (х² – 10х + 754) + 3
в точке х = 5 также принимает наименьшее значение, вычислим его:

Ответ: 6

Решите самостоятельно:
Найдите наименьшее значение функции у=log₃(х² –
6х + 10) + 2

Ответ: 2.

Найдите точку максимума функции

В показателе стоит
квадратичная функция – 30 + 12х – х².

График — парабола,
ветви направлены вниз, так как а = –1 < 0.

Абсцисса вершины
параболы:

То есть, в точке х = 6
функция f (х) = – 30 + 12х – х² приобретёт максимальное значение.
Значит и данная функция в этой точке будет иметь также максимальное значение.

Ответ: 6

Решите самостоятельно: Найдите
точку максимума функции:

Ответ: 3.

Найдите наименьшее
значение функции

В показателе стоит
квадратичная функция х² + 16х + 66.

Ее график —
парабола, ветви направлены вверх, поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины
параболы:

То есть, в точке х
= – 8 функция х² + 16х + 66 принимает наименьшее значение.

Показательная
функция монотонна, поэтому её наименьшее значение будет также в точке х = – 8,
вычислим его

Ответ: 36

Решите самостоятельно: Найдите
наименьшее значение функции

Ответ: 16.

Далее мы поговорим о
задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения логарифмических функций.

Рассмотрим задачи:

Найдите наименьшее значение функции
у=5х–ln (х+5)⁵на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на
концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном
интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную,
приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной
на заданном отрезке:

*Дробь равна нулю тогда,
когда числитель равен нулю.

Точка х= – 4 принадлежит заданному интервалу.

Таким образом, вычисляем
значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами,
которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь,
что наименьшим значением функции на данном отрезке является
“– 20”.

Но вычислять их не
обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо
конечная десятичная дробь (это условие ЕГЭ в части с кратким ответом). А
значения с логарифмами: – 22,5 – ln 0,5⁵ и –
ln3125 такого ответа не дадут.

Кроме того, убедится в
том, что в точке х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно
определив знаки производной на интервалах от (– 5:– 4) и (– 4;+∞).

Теперь информация для
тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет
трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних
расчётов?

Итак, если учесть, что
ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое
значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом,
либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в
скобках у нас будет единица или число е. В противном случае, мы не сможем
получить оговоренное значение. А это возможно только при х = – 4.

Значит, в этой точке
значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить
самостоятельно: Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln
(х+3)³на отрезке [–2,5;0].

Ответ: – 6.

Найдите наибольшее значение функции у=ln
(х+5)⁵–5х на отрезке [–4,5;0].

Ответ: 20.

Найдите наибольшее значение функции у=х²–13х+11∙lnх+12
на отрезке [13/14; 15/14].

Чтобы найти наименьшее
значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его
концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную,
приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное
уравнение, получим

Точка х = 1,
принадлежит заданному интервалу.

Точка х = 22/4 ему
не принадлежит.

Таким образом, вычисляем
значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом
является целое число либо конечная десятичная дробь, значит, наибольшее
значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не
получим, так как натуральный логарифм данных дробей такого результата не
даст.

Кроме того, убедится в
том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно
определив знаки производной на интервалах от (0:1) и (1;+∞).

Как решить такой тип
задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом
должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие
обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с
конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма у нас будет
единица или число е.

Это возможно только при
х = 1.

Значит в точке х = 1 (или 14/14)
значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции
у = 2х²–13х+9∙lnх+8 на отрезке [13/14; 15/14].

Отмечу, что способ
решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для
экономии времени при вычислении задания на самом ЕГЭ. И только в том случае,
когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение
производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при
решении без производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов,
которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить.
Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на
какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его
просто забудете или вам попадёт такой тип задания на ЕГЭ, который видите
впервые.

Ну и, конечно, еще раз
повторю, что для того чтобы решать задачи на нахождение наибольшего или
наименьшего значения, задачи на нахождение экстремумов, важно понимать свойства
производной для исследования функций, знать таблицу производных и правила
дифференцирования.

После решения каждой
задачи есть разъяснения другого подхода к решению («хитрости» — они
здесь). Рассмотрим задачи: связанные с числом е

Найдите наименьшее значение функции
у = (х–17)е^х–16 на отрезке [15;17].

Мы знаем, что для того,
чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, необходимо
вычислить её значение на границах заданного интервала и в точках, где
производная равна нулю. Действуем по алгоритму:

1. Найдём производную заданной функции:

2. Найдем нули производной на заданном
отрезке, то есть приравниваем производную к нулю и вычислим корни уравнения:

*Выражение е^х-16не
равно нулю ни при каких х, так как известно, что показательная функция имеет
положительные значения на всей области определения.

3. Определяем
принадлежит ли найденная точка интервалу.

Точка х = 16
принадлежит интервалу [15;17]. Значит значение функции будем вычислять в
точках 15, 16 и 17:

*Учтите, что число е ≈
2,71. Это нецелое число и неконечная десятичная дробь, поэтому любое
выражение с этим числом в подобных задачах на ЕГЭ не является верным ответом,
но вы всё равно его проанализируйте. В данной задаче, если мы –2 разделим
на число 2,71 то результат будет лежать в пределах от –1 до 0 (можно
посчитать столбиком для проверки).

4. Делаем вывод.

Таким образом,
наименьшее значение функции равно –1.

Ответ: –1

Далее «хитрости»,
которые можно использовать при решении. Если вы поняли теорию производной и
знаете, как находить максимальные и минимальные значения, то тогда идем
подобные задания мгновенно.

Итак! Мы знаем, что
ответом в задачах на ЕГЭ в части с кратким ответом должно быть целое число,
либо конечная десятичная дробь.

Посмотрите на данную
функцию. Сразу можно сказать, что значение функции будет являться целым
числом только при х = 16 или при х = 17, и ни при каких других
значениях х. Поэтому достаточно вычислить:

и далее записать ответ.

Ещё один путь
решения (без нахождения производной). Сразу подставляем в функцию все
целые значения из интервала (их всего три 15, 16 и 17), вычисляем и выбираем
наименьшее значение:

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции
у = (22 – х)е^х–21 на отрезке [16;25].

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Число е^х-21 не
может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в
результате число положительное, значит х = 21.

Полученное значение
принадлежит интервалу [16;25].

Вычислим значения данной
в условии функции в точках 16, 21 и 25:

*То есть на границах
интервала и в точке, где производная обращается в нуль.

Первый результат меньше
единицы (это понятно и без вычислений).

Третий результат так же
меньше единицы (отрицательное число).

Значит наибольшее
значение функции на заданном интервале равно 1.

*Помните, что ответы с
числом е (по требованиеям ЕГЭ) не являются верными.

Ответ: 1

Если у вас всё-таки
неразрешимые проблемы с нахождением производной, то подставляйте в исходную
функцию все целые значения из интервала и выбирайте наибольшее полученное
значение.

*Кроме того, по данной
функции сразу видно, что её значение будет целым числом только при х = 21
или при х = 22.

Можете подставить только
их в функцию, далее произвести вычисления и выбрать наибольшее значение.

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции
у = (2х² – 10х + 10)е ^х на отрезке [–4; 3].

Необходимо определить
значения на границах интервала, и в точках, где производная обращается в нуль.

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Произведение множителей
равно нулю, когда какой либо из этих множителей равен нулю.

Число е^х не может быть равно
нулю, так как степень положительного числа всегда даст в результате число
положительное.

Значит решением являются корни:
х₁=0 и х₂=3

Обе точки принадлежат интервалу [–4;3], х=3
совпадает с границей интервала.

Вычисляем значения функции в точках: – 4, 0
и 3:

Значит наибольшее
значение функции равно 10.

Ответ: 10

*Как вы уже поняли,
можно в заданную функцию можно подставить все целые значения х из интервала, и
таким образом найти наибольшее значение функции. Но в данном случае придётся
перебрать 8 чисел (–4;–3;–2;–1;0;1;2;3).

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение
функции у = (х + 44)²е^–44–х на
отрезке [– 46; –43]

Найдём производную заданной функции:

Обратите внимание, что результат мы
представили сразу в виде множителей, это будет удобно при вычислении нулей
производной.

Найдем нули производной:

Решением являются
корни: х₁= – 44 и х₂= – 42.

Заданному интервалу [–
46;–43] принадлежит только точка х = – 44.

Вычисляем значения
функции в точках – 46, – 44 и – 43, то есть на границах интервала и в точке,
где производная равна нулю:

Наименьшее значение
функции равно 0.

Ответ: 0

*Как это задание решить
быстро?

Учитывая, что ответом
должно быть целое число, видно что значение данной функции будет целым только
при х= – 44 и х= 44.

указанному в условии
интервалу принадлежит х= – 44, вычисляем:

Решите самостоятельно:

Но в заданиях на нахождение точек минимума
и максимума мы ОБЯЗАТЕЛЬНО должны использовать производную.

Найдите точку
минимума функции у = (х + 18)е^х-18

1. Найдём производную
заданной функции:

2. Найдем нули
производной:

Получаем, что х =
–19.

*Выражение е^х-18 не
равно нулю ни при каких х, так как известно, что показательная функция имеет
положительные значения на всей области определения.

3. Определим знаки производной функции на интервалах (подставляем любые
произвольные значения в производную) и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х = –19 функция
меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка
минимума.

Ответ: –19

Как решать быстрее
данный тип задач?

Когда мы получили
производную и приравняли её к нулю:

(х + 19)е^х–18
= 0

Далее получили, что х=–19. Данное решение и
будет являться ответом задачи.

*То есть, в при решении
данного типа задач, можно обойтись без определения знаков производной на
интервалах. Но будте осторожны! В других заданиях на нахождение максимума
(минимума), где получите несколько нулей производной, её знаки на интервалах
нужно определять обязательно.

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у =
(3х² – 15х + 15)е^7–х

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Число е^7-х не
может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в
результате число положительное.

Решаем – 3
(х–5)(х–2) = 0. Получим х₁ = 5 и х₂ = 2
.

Определим знаки производной функции (подставляя любые значения из
интервалов в найденную производную) и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х = 5 функция меняет знак с
положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 5

Решите самостоятельно:

Найдите точку
максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу запишем, что х–11>0 (по
определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию
будем на интервале (11;∞).

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в
область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на
числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции,
подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в
найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная
функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка
максимума.

Ответ: 11,2

Решите самостоятельно:

Найдите точку
максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Найдите точку
минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству
логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию
будем на интервале (– 5;+∞).

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5
не входит в область определения функции и в ней производная не существует.
Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75. Определим
знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов
(–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке
поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75
производная функции меняет знак с отрицательного на положительный,
значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75

Решите самостоятельно:

Найдите точку
минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Найдите точку
максимума функции у = х²–34х+140lnх–10

По свойству логарифма
выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем
рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное
уравнение, получим: D = 9 х₁ = 10 х₂
= 7.

Точка х = 0 не
входит в область определения функции и в ней производная не существует.
Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10.

Ось ох разбивается на
интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения
из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке
поведение функции:

Таким образом, в точке х = 7 производная
функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это
искомая точка максимума.

Ответ: 7

Решите самостоятельно:

Найдите точку
максимума функции у = 2х² –13х+9lnх+8

Источник

Рациональная функция. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров. Требуется определить точки максимума или минимума. Ранее уже были рассмотрены подобные задания с логарифмами, тригонометрическими и степенными функциями.

Рекомендую повторить теорию, необходимую для решения, в том числе приоизводные элементарных функций и правила дифференцирования.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой.

*Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы возрастания (убывания) функции.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из полученных интервалов в производную).

Рассмотрим задания:

77471. Найдите точку максимума функции

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции, подставляя значения из интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции. На числовой прямой, кроме найденных корней, так же отмечаем точку в которой производная не существует, для данной функции это точка х = 0 (в ней функция прерывается):

В точке х = – 4 функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: – 4

77500. Найдите точку максимума функции

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной:

*В данном случае производная существует при всех значениях х.

Отметим на числовой прямой точки х₁ = –17 и х₂ = 17. Определим знаки производной функции на интервалах, подставляя значения из них в найденную производную:

В точке х = –17 функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: – 17

77501. Найдите точку минимума функции

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной:

*В данном случае производная существует при всех значениях х.

Отметим на числовой прямой точки х₁ = –1 и х₂ = 1. Определим знаки производной функции на интервалах, подставляя значения из них в найденную производную: