Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.
(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.
(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
(-7): минимум.
(3): максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции (f'(x)).
- Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
- Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).
Ответ. (-2).
Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Скачать статью
Как найти точки минимума и максимума функции
Содержание:
-
Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
- Исследование функций на экстремумы
- Примеры задач
Минимум и максимум функции
Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:
- (y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
- (x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
- (y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.
Точка минимума, минимум функции
Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))
Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.
Точка максимума, максимум функции
Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))
Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)
Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.
Точки максимума и минимума на графике:
Исследование функций на экстремумы
Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.
Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:
-
Найти область определения функции — D(y).
-
Определить производную — f ‘(x).
-
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
-
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
-
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
-
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Примеры задач
Задача 1
Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)
Решение задачи по алгоритму:
1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.
2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .
3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:
Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)
4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 – точка максимума, а x=2 – минимума.
5) Найдем значение экстремумов функции.
(f(0)=0-3times0=0)
(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)
Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) – минимум функции, (2;-4) – максимум.
Задача 2
Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).
1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)
2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})
3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.
Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.
Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).
Задача 3
Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.
1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.
2) (f'(x)=5x^4+6x)
3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.
Утверждение доказано
Простой алгоритм нахождения экстремумов. Учимся находить с bugaga.net.ru.
- Находим производную функции
- Приравниваем эту производную к нулю
- Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
- Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
- Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.
Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.
https://bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html bugaga.net.ru
Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:
Полученные значения переменных наносим на
координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну
например, для первого возьмём -2,
тогда производная будет равна -0,24,
для второго возьмём 0, тогда
производная будет 2 , а для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.
Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.
Смотрите также:
- Решение ЕГЭ по математике (часть B)
- Как найти экстремум (точки максимума и минимума) функции
- Формулы логарифмов
- Таблица со значениями синусов, косинусов
- Таблица производных
Еще больше материалов для подготовки к ЕГЭ
Значения функции и точки максимума и минимума
Наибольшее значение функции
Наменьшее значение функции
Точки max
Точки min
Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!
Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.
12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.
12 задание бывает двух видов:
- Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
- Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).
Как же действовать в этих случаях?
Найти точку максимума / минимума
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
Задания с ЕГЭ:
Найдите точку максимума функции
- Берем производную:
- Приравняем ее к нулю:
- Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15
Найдите точку минимума функции
- Преобразуем и возьмем производную:
- Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.
- Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!
Ответ: −2
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
- В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
- Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.
Задания с ЕГЭ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]
- Преобразуем и возьмем производную:
- «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
- Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:
Ответ: −6
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]
- Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
Ответ: 11
Выводы:
- 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
- Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
- Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
- В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
- А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.
Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:
$$f^{/}(x)>0 leftrightarrow f(x) Uparrow ;$$
$$f^{/}(x)<0 leftrightarrow f(x) Downarrow ;$$
Кроме этого, производная от функции может быть равна нулю. Функция в той точке, где производная равна нулю, будет принимать наибольшее или наименьшее значение в окрестности этой точки. На графике нашей функции (Рис. 1) эти точки выглядят как «холмы» и «впадины».
Обратите внимание, что «холмов» и «впадин» на графике может быть бесконечно много, какие-то из этих «холмов» будут выше, какие-то ниже. Производная равна нулю во всех таких точках. И значения функции во всех таких точках я называю наибольшими и наименьшими, хотя на самом деле это локальные наибольшие и наименьшие значения.
Кстати, ТОЧКАМИ минимума или максимума называют координаты «холмов» и «впадин» по оси (x). Еще их называют точками экстремума функции: это общее название для минимумов и максимумов. Поэтому, когда вас просят найти точки экстремума, это значит найти координаты по оси (x) и минимумов, и максимумов.
В точке (x=-2) будет минимум функции. Точка (x=-3) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.
Чтобы определить наименьшее значение, подставим в исходную функцию найденную точку минимума и концы отрезка (xin[-2,5;0]):
$$y(-2)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2)-ln(-2+3)^3=-6-0=-6;$$
$$y(-2,5)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2,5)-ln(-2,5+3)^3=-7,5-ln(0,5)^3;$$
$$y(0)=3x—ln(x+3)^3=3*0-ln(0+3)^3=ln(3)^3;$$
Обратите внимание, что значение функции в точках ((-2,5)) и ((0)) получились “плохие”: мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.
Кстати, подставлять в этом примере границы отрезка необязательно еще и по другой причине: на промежутке ([-2,5;-2)) функция убывает, а на промежутке ((-2;0]] возрастает. Минимальное значение на указанном промежутке может быть только в точке минимума.
Ответ: (-6.)
Пример 21
Найдите наименьшее значение функции (y=x*sqrt{x}-9x+25) на интервале ([1;50].)
Производную от данной функции можно посчитать, воспользовавшись формулой производной от произведения ((f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/}:)
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(xsqrt{x})^{/}-(9x)^{/}+25^{/}=x^{/}*sqrt{x}+x*(sqrt{x})^{/}-9=$$
$$=1*sqrt{x}+x*frac{1}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{sqrt{x}*sqrt{x}}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{1}{2}*sqrt{x}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$
Есть другой вариант взятия производной, на мой взгляд, он легче. Для это мы представим квадратный корень в виде степени:
$$sqrt{x}=x^{frac{1}{2}};$$
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(x*x^{frac{1}{2}}-9x+25)^{/}=(x^{frac{3}{2}-9x+25)^{/}=frac{3}[2}*x^{frac{1}{2}}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$
Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения на указанном интервале:
$$frac{3}{2}*sqrt{x}-9=0;$$
$$sqrt{x}=9*frac{2}{3};$$
$$sqrt{x}=6;$$
$$x=36;$$
На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:
