Как найти точку максимума функции с корнем

Сайты, меню, вход, новости

Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о задачах, которые можно решать без нахождения производной. В данной рубрике мы уже рассмотрели некоторые примеры с логарифмами, числом е, функции  с произведениями. Смысл заданий тот же –  требуется найти либо точку максимума (минимума) функции, либо определить максимальное (минимальное) значение функции. 

В чём суть и каков «стандартный» алгоритм решения — можно посмотреть в этой статье. Но не для всех заданий применение этого алгоритма будет рационально. Если следовать ему в представленных ниже примерах, то процесс решения будет «перегружен» вычислениями. А потеря времени на экзамене вам не нужна. Так какие же задания имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе находится квадратичная функция вида:

Рассмотрим подход без нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать? Свойство параболы, напомним его:

Если а > 0, то её ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её ветви направлены вниз.

Далее вспомним  координату  (абсциссу)  вершины параболы:

То есть, это точка экстремума квадратичной функции – в ней функция меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Следующий важный факт (ключевой для этих задач):

Если исходная функция монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее указанная точка «х» также будет точкой экстремума.

Почему? Давайте рассмотрим отдельно функции подробнее.

Квадратичная функция в показателе степени (при чём n>1):

Смотрите! Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом.

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) – при х от минус бесконечности до –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция у=n^f(x) будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a, так как при минимуме в показателе получится минимум в результате.

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция у=n^f(x) будет иметь максимальное значение в точке х=–b/2a, так как при максимуме в показателе получится максимум в результате.

Квадратичная функция под знаком логарифма (при чём n>1):

Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом:

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) –  при х от минус бесконечности до  –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от–b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция log_nz будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция уменьшается при уменьшении аргумента (видно по графику).

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция log_nz будет имеет максимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция увеличивается при увеличении аргумента (видно по графику).

Квадратичная функция под знаком корня:

Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что:

При a>0 значение z минимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь минимальное значение. *Корень из наименьшего значения в результате даст наименьшее число.

При a<0 значение z максимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь максимальное значение.

Таким образом, сформулируем ключевое правило:

ВНИМАНИЕ! Конечно, если глубже уйти в тему, то возможны варианты когда сложная функция имеет отрицательный знак, когда логарифм находится в знаменателе дроби, когда основание логарифма или основание степени находится в пределах от 0 до 1. Разумеется,  важно понимать как ведёт себя данная в условии функция (возрастает или убывает). Но для решения типовых заданий экзамена указанного вывода вам будет вполне достаточно.

И конечно, не теряйте из виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под знаком  логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовал находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в представленных ниже примерах это ничего важного нам не даёт и не влияет на ответ).

Рассмотрим примеры:

Найдите точку максимума функции 

Под корнем  квадратичная функция  13+6х–х². Ее график — парабола, ветви направлены вниз, поскольку  а=–1<0. Значит максимальное значение  функция приобретает в точке:

Проверим чему равно подкоренное выражение при х=3 То есть будет ли оно числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 3² = 13 + 18 – 9 = 22 > 0 

Почему необходимо это сделать? Дело в том, что при полученной абсциссе квадратичная функция теоретически может дать отрицательное значение, то есть график такой параболы будет лежать ниже оси ох. Это  будет означать что решения (таких вариантов заданий на самом ЕГЭ не будет).

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

Под корнем  квадратичная функция   х² + 8х + 185.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а =  1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

Так как  ветви параболы направлены вверх, то в точке  х = – 4 функция

х² + 8х + 185 принимает наименьшее значение.

Функция кважратного корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума  всей функции, вычислим  её наименьшее  значение:

Ответ: 13

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у=log₇(–2 – 12х – х²) + 10. 

Под знаком логарифма квадратичная функция    –2 – 12х – х².

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = – 1 < 0 

Абсцисса вершины параболы:

Проверим, принадлежит ли полученное значение х области определения (выражение под знаком логарифма должно быть число положительное):

– 2 – 12∙(–6) – (–6)² = – 2 + 72 – 36 = 34 > 0

То есть, в точке х = – 6

функция f (х) = – 2 – 12х – х²   будет иметь  максимальное значение.

Значит, и у=log₇(–2–12х–х²)+10  в этой точке так же будет иметь максимальное значение.

Ответ: – 6.

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=log₂(2 + 2х – х²) – 2

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции  у=log₉ (х² – 10х + 754) + 3

Под корнем  квадратичная функция   х² – 10х+754.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 5 функция f (x) = х²  – 10х + 754 принимает наименьшее значение.  

Функция log₉х  монотонная, значит у =log₉ (х² – 10х + 754) + 3  в точке х = 5 также принимает наименьшее значение, вычислим его:

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции  у=log₃(х² – 6х + 10) + 2

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции 

В показателе стоит квадратичная функция   – 30 + 12х – х².     

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = –1 < 0.

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 6 функция f (х) = – 30 + 12х – х² приобретёт максимальное значение. Значит и данная функция в этой точке будет иметь также максимальное значение.

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции: 

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

В показателе стоит   квадратичная функция  х²  + 16х + 66.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = – 8 функция х²  + 16х + 66 принимает наименьшее значение.

Показательная  функция монотонна, поэтому её наименьшее значение будет также в точке х = – 8, вычислим его  

Ответ: 36

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Разумеется,  что  это краткая схема решения и, конечно же, нужно понимать свойства квадратичной, показательной, логарифмической, дробно-рациональной функции,  но эта схема работает.

В данной рубрике мы ещё рассмотрим задания с тригонометрическими функциями, не пропустите! Успеха вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   – если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   – если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   – если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

10 апреля 2014

Сегодня мы продолжаем рассматривать задачи на экстремумы из ЕГЭ по математике. Итак, задача:

Задача B15. Найдите точку максимума на отрезке (0; π/2):

y = (3 − 12x) sin x − 12 cos x + 16

Сразу сделаю небольшое лирическое отступление. Дело в том, что это предпоследний урок из серии уроков, посвященным производным в ЕГЭ по математике. И сразу скажу, что оба эти урока будут посвящены тригонометрии, а точнее, нестандартным задачам на тригонометрию.

Вот и сейчас перед нами довольно-таки нестандартная задача. Хотя, как мы убедимся через пару минут, решается она довольно просто.

Решение задач на точки максимума и минимума

Давайте в первую очередь посмотрим, что от нас требуется. А требуется найти точку максимума. Заметьте: не наибольшее или наименьшее значение, а именно точку максимума. Из этого сразу следует, что наши любимые приемы, чтобы как-то подобрать х, как-то выделить красиво значение функции — в данной задаче эти приемы не работают просто потому, что значение функции нас не интересует.

Давайте работать по старинке. Прежде всего, я запишу общий алгоритм решения подобных задач.

1. В первую очередь нас интересует производная: y‘ = ?
2. Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение, находим корни. Их редко получается больше, чем две штуки: y‘ = 0; x₁, x₂, …;
3. Третьим шагом мы берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на интервале, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об интервале (0; π/2). Итак, интересуют только те корни, которые лежат на обозначенном интервале или отрезке: x₁, x₂ ∈ (0; π/2);
4. Наконец, мы чертим прямую, отмечаем на ней концы отрезка, а также все корни, которые лежат внутри этого отрезка. Затем смотрим знаки. Там, где «плюс» переходит в «минус», будет точка максимума. И наоборот: там, где «минус» переходит в «плюс», будет точка минимума.

Вот и все, что нам нужно знать для решения сегодняшней задачи.

Замечание по поводу тригонометрических функций

Однако некоторые ученики скажут: «На третьем этапе мы отбираем корни только в тех задачах, где требуется найти значение функции, а не точку максимума или минимума. Зачем выполнять отбор корней?»

Согласен, в большинстве задач на поиск точки экстремума отбирать точки не нужно, однако в нашем случае речь идет о тригонометрических функциях, и, как следствие, уравнение y‘ = 0 будет иметь бесконечное множество корней. Вы что будете отмечать множество корней?

А еще нужно искать между ними знаки, смотреть, где «плюс» переходить в «минус». Это бред! Поэтому, когда вы видите, что в задаче требуется найти производную тригонометрической функции, просто запомните для себя: мы в любом случае отбираем корни на интервале, независимо от того, требуется ли от нас найти значение функции или просто точку минимума или максимума.

При вычислении точек максимума/минимума тригонометрической функции отбор корней на отрезке не просто желателен — такой отбор становится необходимостью!

Это замечание существенно упрощает задачу, потому что лучше отметить один или два корня и посмотреть знаки вокруг них, чем бегать по всей числовой прямой и выяснять, где стоят плюсы, а где — минусы.

Решение задачи B15 на тригонометрию

Все, с разъяснениями мы закончили, переходим к решению конкретной задачи.

Производная тригонометрической функции

Итак, первый шаг: нужно найти производную функции:

y‘ = ((3 − 12x) sin x − 12 cos x + 16)’ = ((3 − 12x) · sin x)’ − (12 cos x)’

Первое слагаемое у нас представляет собой произведение двух функций, в каждой из которых присутствует элемент х, следовательно, нам нужно посчитать производную произведения. Напомню формулу производной произведения:

(f · g)’ = f ‘ · g + f · g‘

Запомните, что производная произведения не равна произведению производных. Считаем:

((3 − 12x) · sin x)’ = (3 − 12x)’ · sin x + (3 − 12x) · (sin x)’ = −12 · sin x + (3 − 12x) · cos x

Все, мы посчитали первое слагаемое. Переходим ко второму:

(12 cos x)’ = −12 sin x

Теперь подставляем два значения в нашу исходную формулу. Получим:

y‘ = −12 · sin x + (3 − 12x) · cos x − (− 12 sin x) = (3 − 12x) cos x

Находим точки экстремума

Мы нашли производную и выполнили первый шаг нашего алгоритма. Переходим ко второму шагу:

(3 − 12x) cos x = 0

Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем:

3 − 12x = 0
cos x = 0

Из первого уравнения легко находится х:

x = 3/12 = 1/4

А второе равнение — это обычное тригонометрическое равнение. Мы можем сразу записать ответ:

x = π/2 + πn, n ∈ Z

Прекрасно, второй шаг нашего алгоритма выполнен!

Отбор корней тригонометрического уравнения на отрезке

Итак, мы нашли вес корни. Теперь отбираем те корни, которые лежат на интервале (0; π/2).

Пока отложим корти, которые получились из тригонометрического уравнения, потому что это более сложная конструкция, и таких корней бесконечное множество.

Решать будем с помощью тригонометрического круга. Давайте отметим все точки в пределах (0; π/2):

Нижняя точка нас не устраивает, как и не устраивает верхняя точка, потому что они лежат на концах интервала. А сами концы нас не устраивает просто потому, что в исходном условии задачи концы интервала обозначены выколотыми точками, т. е. круглыми скобками. Следовательно, точка π/2 нас тоже не интересует, и поэтому нужно вычеркнуть весь набор корней.

Остается лишь один корень — 1/4. Возникает вопрос: принадлежит ли он интервалу (0; π/2)? Проверяется это очень просто: приравниваем 1/4 с 0 и π/2:

0 ∨ 1/4 ∨ π/2

То, что 1/4 больше, чем 0, а вот с π/2 придется немного повозиться.

1/4 ∨ π/2 > 2 · 3 = 6
0 < 1/4 < π/2

Следовательно, корень 1/4 принадлежит к интересующему нас интервалу (0; π/2). На этом можно было бы закончить решение, потому что мы нашли единственный корень, который нас интересует и который лежит на рассматриваемом интервале и, следовательно, только он может являться ответом.

Можно записать ответ: 1/4 или 0,25.

Проверка корней тригонометрического уравнения

Однако давайте убедимся, что это действительно точка максимума. Для этого начертим прямую, т. е. перейдем к 4-ому шагу, отметим точку 1/4, а также концы интервала 0 и π/2.

Здесь же отметим знаки. Для этого подставляем любое число в пределах от 0 до 1/4 в изначальную производную. Например, какую-нибудь одну тысячную:

y‘ (0,001) = (3 − 0, 012) ∙ cos 0,001 > 0

Очевидно, что это число будет больше 0. Кроме того, cos x в пределах промежутка (0; π/2) везде положительный.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, в пределах от 0 до 1/4 знак будет «плюс». А число 1/4 является корнем первой кратности, так как у нас нет никаких квадратов, т. е. при переходе через него знак поменяется:

Мы получаем, что в точке x = 1/4 знак производной меняется с «плюса» на «минус». Следовательно, точка x = 1/4 является точкой максимума. Теперь задача точно решена, и мы еще раз убедились, что ответом будет число 0,25.

Особенности решения задач B15 с тригонометрией

Итого, несмотря на довольно угрожающий вид функции, все решается просто и быстро. Главное — не забывайте, по какой формуле считается производная произведения, иначе ответ точно получится неправильный.

Кроме того, настоятельно рекомендую вам потренироваться в отборе корней на интервале, иначе вы замучаетесь отмечать бесконечный набор корней на числовой прямой.

В остальном же это стандартная задача B15 на экстремумы, которая решается классическими приемами из математического анализа и вполне доступна среднестатистическому ученику.

Надеюсь, этот урок поможет тем, кто готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на сегодня все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена
2. Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
4. Тест: простейшие показательные уравнения (1 вариант)
5. Задача B5: вычисление площади методом обводки
6. Обход точек в стереометрии — 2