Тригонометрическая функция. Продолжаем рассматривать задачи связанные с нахождением точек максимума (минимума). Советую повторить теорию необходимую для решения задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале и на нахождение точек максимума (минимума) функции. В этой статье разберём две задачи в этой теме, рассмотрим тригонометрические функции. Задачи с логарифмами уже были нами рассмотрены ранее.
Ещё раз запишем алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:
1. Вычисляем производную функции.
2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.
3. Полученные корни разбивают числовую ось на интервалы, отмечаем их.
4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляем произвольные значения из интервалов в производную).
5. Делаем вывод.
77492. Найдите точку максимума функции y = (2x –3) cos x – 2sin x + 5
принадлежащую промежутку (0;П/2).
Найдём производную функции:
Решаем уравнение:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. Следовательно:
Решаем уравнение – sin x = 0:
В условии дан промежуток (0;П/2). Ему не принадлежит ни один из полученных корней. *Обратите внимание, что указанные границы исключены (скобки круглые).
Решаем уравнение: 2х – 3 = 0, получим х = 1,5.
Запишем данный промежуток в радианах, получим: (0;1,57), так как
Следовательно полученное значение принадлежит промежутку (0;П/2):
Конечно, нам интуитивно понятно, что полученная точка это и есть точка максимума, и казалось бы в дальнейших вычислениях и рассуждениях нет необходимости. Но любая задача данного типа должна быть решена до конца по указанному алгоритму. Это важно!
Полученное значение х разбивает данный промежуток на два других. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных промежутков (0;1,5) и (1,5;1,57) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
*В подобных случаях необязательно вычислять значения выражений. Важно установить их знаки (положительный либо отрицательный). Например, мы видим, что выражение:
(3,14/2) – 3 имеет отрицательный знак
3,14 – 3 имеет положительный знак
В целом этого достаточно для определения знака выражения.
Таким образом, в точке х = 1,5 функция меняет знак с положительного на отрицательный. Это означает, что данная точка является точкой максимума функции на заданном промежутке.
Ответ: 1,5
77493. Найдите точку минимума функции y = (0,5 – x) cos x + sin x
принадлежащую промежутку (0;П/2).
Найдём производную функции:
Решаем уравнение:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. Следовательно:
Решаем уравнение – sin x = 0:
В условии дан промежуток (0;П/2). Ему не принадлежит ни один из полученных корней.
Решаем уравнение: 0,5 – х = 0, получим х = 0,5.
Запишем данный промежуток в радианах: (0;1,57).
*Показано в предыдущем примере.
Следовательно полученное значение принадлежит промежутку (0;П/2):
Найденное значение х разбивает данный промежуток на два других. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных промежутков (0;0,5) и (0,5;1,57) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
*Синус 0,3 радиана и синус 1 радиана имеют положительные знаки, так как оба эти угла лежат в пределах от 0 до 90 градусов. А мы знаем, что синусы углов лежащих в первой четверти имеют положительные значения.
Таким образом, в точке х = 0,5 функция меняет знак с отрицательного на положительный. Это означает, что данная точка является точкой минимума функции на заданном промежутке.
Ответ: 0,5
Как видите всё просто. Необходимо понимать свойства производной для исследования функций, понимать как «работать» с мерами углов, знать основы тригонометрии.
В будущем мы рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрических функций на заданном интервале, не пропустите!
Посмотрите, что нашёл в интернете. Оказывается, что при извержении вулканов тоже молнии бывают. Да ещё какие!
На том всё. Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
10 апреля 2014
Сегодня мы продолжаем рассматривать задачи на экстремумы из ЕГЭ по математике. Итак, задача:
Задача B15. Найдите точку максимума на отрезке (0; π/2):
y = (3 − 12x) sin x − 12 cos x + 16
Сразу сделаю небольшое лирическое отступление. Дело в том, что это предпоследний урок из серии уроков, посвященным производным в ЕГЭ по математике. И сразу скажу, что оба эти урока будут посвящены тригонометрии, а точнее, нестандартным задачам на тригонометрию.
Вот и сейчас перед нами довольно-таки нестандартная задача. Хотя, как мы убедимся через пару минут, решается она довольно просто.
Решение задач на точки максимума и минимума
Давайте в первую очередь посмотрим, что от нас требуется. А требуется найти точку максимума. Заметьте: не наибольшее или наименьшее значение, а именно точку максимума. Из этого сразу следует, что наши любимые приемы, чтобы как-то подобрать х, как-то выделить красиво значение функции — в данной задаче эти приемы не работают просто потому, что значение функции нас не интересует.
Давайте работать по старинке. Прежде всего, я запишу общий алгоритм решения подобных задач.
- В первую очередь нас интересует производная: y‘ = ?
- Второй шаг — производную мы приравниваем к нулю и решаем полученное уравнение, находим корни. Их редко получается больше, чем две штуки: y‘ = 0; x1, x2, …;
- Третьим шагом мы берем эти корни и оставляем только те из них, которые лежат на интервале, указанном в условии задачи — в нашем случае речь идет об интервале (0; π/2). Итак, интересуют только те корни, которые лежат на обозначенном интервале или отрезке: x1, x2 ∈ (0; π/2);
- Наконец, мы чертим прямую, отмечаем на ней концы отрезка, а также все корни, которые лежат внутри этого отрезка. Затем смотрим знаки. Там, где «плюс» переходит в «минус», будет точка максимума. И наоборот: там, где «минус» переходит в «плюс», будет точка минимума.
Вот и все, что нам нужно знать для решения сегодняшней задачи.
Замечание по поводу тригонометрических функций
Однако некоторые ученики скажут: «На третьем этапе мы отбираем корни только в тех задачах, где требуется найти значение функции, а не точку максимума или минимума. Зачем выполнять отбор корней?»
Согласен, в большинстве задач на поиск точки экстремума отбирать точки не нужно, однако в нашем случае речь идет о тригонометрических функциях, и, как следствие, уравнение y‘ = 0 будет иметь бесконечное множество корней. Вы что будете отмечать множество корней?
А еще нужно искать между ними знаки, смотреть, где «плюс» переходить в «минус». Это бред! Поэтому, когда вы видите, что в задаче требуется найти производную тригонометрической функции, просто запомните для себя: мы в любом случае отбираем корни на интервале, независимо от того, требуется ли от нас найти значение функции или просто точку минимума или максимума.
При вычислении точек максимума/минимума тригонометрической функции отбор корней на отрезке не просто желателен — такой отбор становится необходимостью!
Это замечание существенно упрощает задачу, потому что лучше отметить один или два корня и посмотреть знаки вокруг них, чем бегать по всей числовой прямой и выяснять, где стоят плюсы, а где — минусы.
Решение задачи B15 на тригонометрию
Все, с разъяснениями мы закончили, переходим к решению конкретной задачи.
Производная тригонометрической функции
Итак, первый шаг: нужно найти производную функции:
y‘ = ((3 − 12x) sin x − 12 cos x + 16)’ = ((3 − 12x) · sin x)’ − (12 cos x)’
Первое слагаемое у нас представляет собой произведение двух функций, в каждой из которых присутствует элемент х, следовательно, нам нужно посчитать производную произведения. Напомню формулу производной произведения:
(f · g)’ = f ‘ · g + f · g‘
Запомните, что производная произведения не равна произведению производных. Считаем:
((3 − 12x) · sin x)’ = (3 − 12x)’ · sin x + (3 − 12x) · (sin x)’ = −12 · sin x + (3 − 12x) · cos x
Все, мы посчитали первое слагаемое. Переходим ко второму:
(12 cos x)’ = −12 sin x
Теперь подставляем два значения в нашу исходную формулу. Получим:
y‘ = −12 · sin x + (3 − 12x) · cos x − (− 12 sin x) = (3 − 12x) cos x
Находим точки экстремума
Мы нашли производную и выполнили первый шаг нашего алгоритма. Переходим ко второму шагу:
(3 − 12x) cos x = 0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0. Получаем:
3 − 12x = 0
cos x = 0
Из первого уравнения легко находится х:
x = 3/12 = 1/4
А второе равнение — это обычное тригонометрическое равнение. Мы можем сразу записать ответ:
x = π/2 + πn, n ∈ Z
Прекрасно, второй шаг нашего алгоритма выполнен!
Отбор корней тригонометрического уравнения на отрезке
Итак, мы нашли вес корни. Теперь отбираем те корни, которые лежат на интервале (0; π/2).
Пока отложим корти, которые получились из тригонометрического уравнения, потому что это более сложная конструкция, и таких корней бесконечное множество.
Решать будем с помощью тригонометрического круга. Давайте отметим все точки в пределах (0; π/2):
Нижняя точка нас не устраивает, как и не устраивает верхняя точка, потому что они лежат на концах интервала. А сами концы нас не устраивает просто потому, что в исходном условии задачи концы интервала обозначены выколотыми точками, т. е. круглыми скобками. Следовательно, точка π/2 нас тоже не интересует, и поэтому нужно вычеркнуть весь набор корней.
Остается лишь один корень — 1/4. Возникает вопрос: принадлежит ли он интервалу (0; π/2)? Проверяется это очень просто: приравниваем 1/4 с 0 и π/2:
0 ∨ 1/4 ∨ π/2
То, что 1/4 больше, чем 0, а вот с π/2 придется немного повозиться.
1/4 ∨ π/2 > 2 · 3 = 6
0 < 1/4 < π/2
Следовательно, корень 1/4 принадлежит к интересующему нас интервалу (0; π/2). На этом можно было бы закончить решение, потому что мы нашли единственный корень, который нас интересует и который лежит на рассматриваемом интервале и, следовательно, только он может являться ответом.
Можно записать ответ: 1/4 или 0,25.
Проверка корней тригонометрического уравнения
Однако давайте убедимся, что это действительно точка максимума. Для этого начертим прямую, т. е. перейдем к 4-ому шагу, отметим точку 1/4, а также концы интервала 0 и π/2.
Здесь же отметим знаки. Для этого подставляем любое число в пределах от 0 до 1/4 в изначальную производную. Например, какую-нибудь одну тысячную:
y‘ (0,001) = (3 − 0, 012) ∙ cos 0,001 > 0
Очевидно, что это число будет больше 0. Кроме того, cos x в пределах промежутка (0; π/2) везде положительный.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом. Следовательно, в пределах от 0 до 1/4 знак будет «плюс». А число 1/4 является корнем первой кратности, так как у нас нет никаких квадратов, т. е. при переходе через него знак поменяется:
Мы получаем, что в точке x = 1/4 знак производной меняется с «плюса» на «минус». Следовательно, точка x = 1/4 является точкой максимума. Теперь задача точно решена, и мы еще раз убедились, что ответом будет число 0,25.
Особенности решения задач B15 с тригонометрией
Итого, несмотря на довольно угрожающий вид функции, все решается просто и быстро. Главное — не забывайте, по какой формуле считается производная произведения, иначе ответ точно получится неправильный.
Кроме того, настоятельно рекомендую вам потренироваться в отборе корней на интервале, иначе вы замучаетесь отмечать бесконечный набор корней на числовой прямой.
В остальном же это стандартная задача B15 на экстремумы, которая решается классическими приемами из математического анализа и вполне доступна среднестатистическому ученику.
Надеюсь, этот урок поможет тем, кто готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на сегодня все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!
Смотрите также:
- Иррациональные функции в задаче B15: показательная функция и линейная замена
- Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
- Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
- Тест: простейшие показательные уравнения (1 вариант)
- Задача B5: вычисление площади методом обводки
- Обход точек в стереометрии — 2
1) Найдем производную функции (displaystyle f(x)=12cos x+6sqrt{3} x-2sqrt{3}pi +6{small.})
(displaystyle f^{prime}(x)=left(12cos x+6sqrt{3} x-2sqrt{3}pi +6right)^{prime}=-12sin x + 6sqrt{3}{small.})
2) Найдем точки, в которых (displaystyle f^{prime}(x)=0{small.})
Так как (displaystyle f^{prime}(x)=-12sin x+6sqrt{3}{small,}) то для этого необходимо решить уравнение
(displaystyle -12sin x+6sqrt{3}=0{small.})
(displaystyle x_1=frac{pi}{3}+2pi n{small,},, n in mathbb{Z}) и (displaystyle x_2=frac{2pi}{3}+2pi m{small,},, m in mathbb{Z}) корни уравнения (displaystyle -12sin x+6sqrt{3}=0{small.})
3) Из множества корней выберем те, которые принадлежат отрезку (displaystyle left[0;frac{pi }{2}right]{small.})
(displaystyle x=frac{pi}{3}) корень уравнения (displaystyle -12sin x+6sqrt{3}=0{small,}) лежащий на отрезке (displaystyle [ 0;frac{pi }{2} ]{small.})
4) Отметим на числовой прямой корни производной (displaystyle x_1=frac{pi}{3}+2pi n{small,},, n in mathbb{Z}) и (displaystyle x_2=frac{2pi}{3}+2pi m{small,},, m in mathbb{Z}.)
Так как ищется наибольшее значение функции на отрезке (displaystyle left[ 0;frac{pi }{2} right]{small ,}) то получаем:
Найдем знаки производной на интервалах (displaystyle left(-frac{4pi}{3};,frac{pi}{3}right)) и (displaystyle left(frac{pi}{3};, frac{2pi}{3}right).)
- на интервале (displaystyle color{green}{left(-frac{4pi}{3};,frac{pi}{3}right)}) функция (displaystyle f^{prime}(x)>0{small,})
- на интервале (displaystyle color{blue}{left(frac{pi}{3};, frac{2pi}{3}right)}) функция (displaystyle f^{prime}(x)<0{small.})
Отмечая знаки производной на картинке, получаем:
Значит, на интервале (displaystyle {left(0;,frac{pi}{3}right)}) производная положительна, на интервале (displaystyle {left(frac{pi}{3};, frac{pi}{2}right)}) производная отрицательна:
5) Определим промежутки возрастания и убывания функции (displaystyle f(x)=12cos x+6sqrt{3} x-2sqrt{3}pi +6{small ,}) пользуясь правилом.
Правило
Если для любой точки (displaystyle x_0in(a;,b)) производная (displaystyle f'(x_0)) существует и (displaystyle f'(x_0)>0{small,}) то
функция (displaystyle f(x)) возрастает (displaystyle nearrow) на всем интервале (displaystyle (a;,b){small.})
Если для любой точки (displaystyle x_0in(a;,b)) производная (displaystyle f'(x_0)) существует и (displaystyle f'(x_0)<0{small,}) то
функция (displaystyle f(x)) убывает (displaystyle searrow) на всем интервале (displaystyle (a;,b){small.})
Зная знаки производной (displaystyle f'(x){small,}) определим промежутки возрастания и убывания (displaystyle f(x){small:})
6) Схематически изобразим (displaystyle f(x)) на отрезке (displaystyle left[ 0;frac{pi }{2} right]{small:})
Видно, что на отрезке (displaystyle left[ 0;frac{pi }{2} right]) функция возрастает до точки (displaystyle x=frac{pi}{3}{small,}) а затем убывает.
Значит, наибольшее значение на отрезке (displaystyle left[0;,frac{pi}{2}right]) достигается в точке (displaystyle x=frac{pi}{3}{small.}) Вычислим его:
(displaystyle fleft(frac{pi}{3}right)=12cos frac{pi}{3}+6sqrt{3} cdotfrac{pi}{3}-2sqrt{3}pi +6=12cdotfrac{1}{2}+cancel{2sqrt{3}pi}-cancel{2sqrt{3}pi} +6=12{small.})
Ответ: (displaystyle 12{small.})
1) Найдем производную функции (displaystyle f(x)=12cos x+6sqrt{3} x-2sqrt{3}pi +6{small.})
(displaystyle f^{prime}(x)=left(12cos x+6sqrt{3} x-2sqrt{3}pi +6right)^{prime}=-12sin x + 6sqrt{3}{small.})
2) Найдем точки, в которых (displaystyle f^{prime}(x)=0{small.})
Так как (displaystyle f^{prime}(x)=-12sin x+6sqrt{3}{small,}) то для этого необходимо решить уравнение
(displaystyle -12sin x+6sqrt{3}=0{small.})
(displaystyle x_1=frac{pi}{3}+2pi n{small,},, n in mathbb{Z}) и (displaystyle x_2=frac{2pi}{3}+2pi m{small,},, m in mathbb{Z}) – корни уравнения (displaystyle -12sin x+6sqrt{3}=0{small.})
3) Из множества корней выберем те, которые принадлежат отрезку (displaystyle left[0;frac{pi }{2}right]{small.})
(displaystyle x=frac{pi}{3}) корень уравнения (displaystyle -12sin x+6sqrt{3}=0{small,}) лежащий на отрезке (displaystyle text{Large [} 0;frac{pi }{2} text{Large ]}{small.})
4) Отметим на числовой прямой корни производной (displaystyle x_1=frac{pi}{3}+2pi n{small,},, n in mathbb{Z}) и (displaystyle x_2=frac{2pi}{3}+2pi m{small,},, m in mathbb{Z}.)
Так как требуется найти наибольшее значение функции на отрезке (displaystyle left[ 0;frac{pi }{2} right]{small ,}) то получаем:
Найдем знаки производной на интервалах (displaystyle left(-frac{4pi}{3};,frac{pi}{3}right)) и (displaystyle left(frac{pi}{3};, frac{2pi}{3}right).)
- на интервале (displaystyle color{green}{left(-frac{4pi}{3};,frac{pi}{3}right)}) функция (displaystyle f^{prime}(x)>0{small,})
- на интервале (displaystyle color{blue}{left(frac{pi}{3};, frac{2pi}{3}right)}) функция (displaystyle f^{prime}(x)<0{small.})
Отмечая знаки производной на картинке, получаем:
Значит, на интервале (displaystyle {left(0;,frac{pi}{3}right)}) производная положительна, на интервале (displaystyle {left(frac{pi}{3};, frac{pi}{2}right)}) производная отрицательна:
5) Определим промежутки возрастания и убывания функции (displaystyle f(x)=12cos x+6sqrt{3} x-2sqrt{3}pi +6{small ,}) пользуясь правилом.
Правило
Если для любой точки (displaystyle x_0in(a;,b)) производная (displaystyle f'(x_0)) существует и (displaystyle f'(x_0)>0{small,}) то
функция (displaystyle f(x)) возрастает (displaystyle nearrow) на всем интервале (displaystyle (a;,b){small.})
Если для любой точки (displaystyle x_0in(a;,b)) производная (displaystyle f'(x_0)) существует и (displaystyle f'(x_0)<0{small,}) то
функция (displaystyle f(x)) убывает (displaystyle searrow) на всем интервале (displaystyle (a;,b){small.})
Зная знаки производной (displaystyle f'(x){small,}) определим промежутки возрастания и убывания (displaystyle f(x){small:})
6) Схематично изобразим график (displaystyle f(x)) на отрезке (displaystyle left[ 0;frac{pi }{2} right]{small:})
Видно, что на отрезке (displaystyle left[ 0;frac{pi }{2} right]) функция возрастает до точки (displaystyle x=frac{pi}{3}{small,}) а затем убывает.
Значит, наибольшее значение на отрезке (displaystyle left[0;,frac{pi}{2}right]) достигается в точке (displaystyle x=frac{pi}{3}{small.}) Вычислим его:
(displaystyle fleft(frac{pi}{3}right)=12cos frac{pi}{3}+6sqrt{3} cdotfrac{pi}{3}-2sqrt{3}pi +6=12cdotfrac{1}{2}+cancel{2sqrt{3}pi}-cancel{2sqrt{3}pi} +6=12{small.})
Ответ: (displaystyle 12{small.})
Тригонометрические функции
Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение имеет корни Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?
Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n . Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — Поэтому для начала берем а затем до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы Аналогично, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.
Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.
Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую
y = sin x − 5 x sin x − 5cos x + 1
y ’ = (sin x − 5 x sin x − 5cos x + 1)’ = . =
Затем решаем уравнение:
y ’ = 0;
(1 − 5 x ) cos x = 0;
.
x 1 = 0,2;
x 2 = π /2 + πn , n ∈ Z .
С корнем все понятно, а вот формула требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные
Но π /2 > π /3, поэтому корень не входит в исходный отрезок. Кроме того, поэтому нет смысла рассматривать
Но − π /2 < − π /3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни
Получается, что на отрезке лежит только корень Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:
Чтобы удостовериться, что справа производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение Мы же просто отметим, производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.
Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
y = 4 tg x − 4 x + π − 5
y ’ = (4tg x − 4 x + π − 5)’ =
Затем решаем уравнение:
y ’ = 0 ⇒ 4/cos 2 x − 4 = 0 ⇒ . ⇒
Снова выделим из этой формулы корни, подставляя
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π . поэтому надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = − π . тоже вычеркиваем.
Из всего многообразия корней остался лишь один: Поэтому вычисляем значение функции для Имеем:
y (0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y ( π /4) = 4tg π /4 − 4 · π /4 + π − 5 = 1;
y (− π /4) = 4tg (− π /4) − 4 · (− π /4) + π − 5 = . =
Теперь заметим, Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно,
Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел в бланк ответов можно записать лишь единицу.
Действительно, как написать в бланке, скажем, А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.
Случай пустого множества решений
Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.
Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!
Задача. Найдите наименьшее значение функции
y = 7sin x − 8 x + 5
Сначала находим производную:
y ’ = (7sin x − 8 x + 5)’ =
Попробуем решить уравнение:
y ’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 =
Но значения cos x всегда лежат Поэтому корней нет.
Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:
y (−3 π /2) = 7sin (−3 π /2) − 8 · (−3 π /2) + 5 = . =
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.
Поскольку число 1 в бланк ответов не записать, остается лишь
, часть 1 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве
(основные определения)
Пусть X – некоторое множество, входящее в область определения D ( f ) функции y = f (x) .
Определение 1. Значение f (x0) функции y = f (x) в точкеназывают наибольшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство
Наибольшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
Определение 2. Значение f (x0) функции y = f (x) в точке называют наименьшим значением функции f (x) на множестве X , если для любой точки выполнено неравенство
Наименьшее значение функции f (x) на множестве X часто обозначают
Определение 3. Наибольшее значение функции на множестве X часто называют максимальным значением функции f (x) на множестве X или максимумом функции f (x) на множестве X . Наименьшее значение функции на множестве X часто называют минимальным значением функции f (x) на множестве X или минимумом функции f (x) на множестве X .
Пример 1. Минимальным значением функции y = x 2 на множестве является число 0 (рис. 1).
Максимального значения функция y = x 2 на множестве не имеет.
Пример 2. Максимальным значением функции y = – x 2 на множестве является число 0 (рис. 2).
Минимального значения функция y = – x 2 на множестве не имеет.
Пример 3. Функция y = x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 3).
Пример 4. Функция y = arctg x на множестве не имеет ни максимального, ни минимального значений (рис. 4).
Существование наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса
Как мы видели в примерах 1 — 4, даже такие хорошо известные функции, как
не имеют наибольших или наименьших значений на множестве. Однако, если бы в качестве множества X мы взяли произвольный отрезок, то ситуация стала бы принципиально иной, что вытекает из следующей теоремы.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, а также точка, в которой функция принимает наименьшее значение.
Доказательство теоремы Вейерштрасса выходит за рамки школьного курса математики и здесь не приводится.
Примеры решения задач
| y = 2x 3 + 3x 2 – 36x + 30 | (1) |
Из формулы (2) получаем, что критическими точками функции (1) являются точки x = – 3 , x = 2, причем только точка x = 2 принадлежит отрезку [–2, 4] . Вычисляя значения функции (1) в критической точке x = 2, а также на концах отрезка x = – 2 и x = 4 , получим:
| y (2) = – 14 , |
| y (– 2) = 98 , |
| y (4) = 62 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно 98 , а наменьшее значение функции (1) на отрезке [–2, 4] равно – 14 .
на отрезке [–1, 27] .
Решая уравнение y’ = 0 , получим
Заметим также, что производная (4) функции (3) не существует в точке x = 0 . Следовательно, у функции (3) есть три критические точки: x = 0, и , причем все эти точки лежат на отрезке [–1, 27] . Вычисляя значения функции (3) в критических точках x = 0, и , а также на концах отрезка x = – 1 и x = 27 , получим:
| y (0) = 0 , |
| y (– 1) = – 1 , |
| y (27) = 99 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно 99 , а наменьшее значение функции (3) на отрезке [–1, 27] равно – 1 .
Решение. Для того, чтобы найти критические точки функции (5), перепишем правую часть формулы (5), используя определение модуля:
В точке x = 0 производная функции (5) не существует. Критическими точками являются точки
Все критические точки принадлежат отрезку [–1, 6] . Вычисляя значения функции (5) в критических точках x = 0, x = 3, x = 5, а также на концах отрезка x = – 1 и x = 6 , получим:
| y (0) = – 4 , |
| y (3) = – e 3 , |
| y (5) = e 5 , |
| y (– 1) = – 5e , |
| y (6) = 2e 6 . |
Ответ. Наибольшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно 2e 6 , а наменьшее значение функции (5) на отрезке [–1, 6] равно – e 3 .
| y = (x – 27) e 28 – x | (6) |
на отрезке [23, 40] .
Решая уравнение y’ = 0 , получаем, что функция (6) имеет единственную критическую точку x = 28 , причем эта точка лежит на отрезке [23, 40] . При переходе через точку x = 28 производная функции (7) меняет знак с «+» на «–» , откуда вытекает, что точка x = 28 является точкой максимума функции (6) на множестве . Следовательно, точка x = 28 является точкой максимума функции (6) и на отрезке [23, 40] . Найдем значение функции (6) в точке x = 28 :
Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике
Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
Нахождение точек максимума и минимума функций
Исследование сложных функций
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
2. Найдите точку минимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.
при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .
Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при
4. Найдите абсциссу точки максимума функции
Напомним, что абсцисса — это координата по
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции
Это вершина квадратичной параболы
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому
и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. при
Если то Если , то
Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции
Приравняем производную к нулю:
Найдем знаки производной на отрезке
При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции
При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при
