В этой статье мы разберём базовый алгоритм решения номера 12 из профиля ЕГЭ по математике!
Итак, перед нами условие:
В заданиях 12 основное умение, которое вам пригодится – умение брать производную. В данном номере надо найти минимум функции. Для того чтобы найти минимум (или максимум) функции необходимо:
1) Найти производную функции
2) Найти нули производной
3) Найти промежутки возрастания или убывания функции
4) Определить точки минимума или максимума функции
5) На основе полученных данных записать ответ и ВСЁ!
Итак, следуем алгоритму. Запишем производную данной функции (про производные скоро выйдет отдельная статья):
Далее находим нули получившейся производной. У нас дробь, поэтому числитель должен быть равен 0, а знаменатель не равен 0. Получаем икс, равное -5. На всякий случай подставим его в знаменатель, чтобы убедиться, что у нас там не выйдет 0. К счастью, такого не случилось, поэтому теперь определяем возрастание и убывание функции.
Чтобы определить возрастание или убывание функции надо воспользоваться методом интервалов. Для этого изобразим прямую, отметим на ней наши нули функции:
Далее найдём промежутки возрастания и убывания функции. Для этого можно просто подставлять любые значения из получившихся промежутков (до 5 и после 5) в ПРОИЗВОДНУЮ(!) Большая ошибка подставлять значения в функцию вместо производной, может получиться неверный знак! Итак, подставляя значения правее и левее пятёрки в производную, получаем знак “плюс” справа (так как производная положительна) и знак “минус” слева (производная отрицательная):
Что мы таким образом получили? Мы получили знаки производной! А эти знаки означают, убывает ли функция или возрастает. Когда знак производной положителен, функция возрастает; когда знак производной отрицателен, функция убывает. Отметим условными стрелочками возрастание или убывание функции под прямой:
Ну что же, теперь видно невооружённым взглядом – точка -5 является точкой, где функция переходит от убывания к возрастанию! Также несложно догадаться, что она является минимумом функции, который нам надо найти. Если бы функция шла вверх, а потом начала бы убывать, то этой была бы точка максимума. Таким образом, мы нашли точку минимума функции, чего мы и добивались. Поэтому смело можем записать ОТВЕТ: -5.
Следует сказать, что этот алгоритм универсален для решения всех 12-х номеров, они все нацелены на нахождение минимумов или максимумов функции. Поэтому основной навык, который вам может пригодиться при решении этих задач – это умение искать производную.
ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ОБЯЗАТЕЛЬНО ПОДПИШИСЬ И ПОСТАВЬ ЛАЙК! ТАКЖЕ ПОДПИСЫВАЙСЯ НА МЕНЯ ВКОНТАКТЕ ПО ССЫЛКЕ: https://vk.com/hello_there_2021 Удачи!
P.S. Пишите в комментарии или в личку задачи, которые были бы Вам интересны для разбора или которые вызывают трудности. Постараюсь всем ответить!
было в ЕГЭ
в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах
Категория
Атрибут
Всего: 229 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [−2,5; 0].
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции 
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Найдите точку минимума функции 
Найдите точку минимума функции
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−2,5; 0].
Всего: 229 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
В (11) задании ЕГЭ нужно уметь находить точки минимума и максимума функции, определять наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
За правильное выполнение задания даётся (1) первичный балл.
Пример:
найди точку минимума функции
y=(x+5)2(x−1)+7
.
Алгоритм выполнения задания
1. Определи тип задания:
- найди точку максимума (минимума);
- найди точку максимума (минимума) на отрезке;
- найди максимальное (минимальное) значение функции;
- найди максимальное (минимальное) значение функции на отрезке.
2. Вычисли производную (f’(x)).
3. Реши уравнение (f’(x)=0).
4. Выполни действия в соответствии с типом задания, сделай вывод.
5. Запиши в ответе значение, которое требуется найти.
Как решить задание из примера?
1. В задании нужно найти точку максимума.
2. Производная функции:
y′=2(x+5)(x−1)+x+52=(x+5)(2x−2+x+5)=3(x+5)(x+1).
3. Приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения:
4. Найдём промежутки возрастания и убывания функции (рис. (1)). В точке (-1) функция меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.
Рис. (1). Промежутки возрастания и убывания функции
5. Запишем ответ (непосредственно в самом задании — без точки в конце).
Ответ: (-1).
Обрати внимание!
В заданиях «Как на ЕГЭ» ответы записывай в виде целого числа или десятичной дроби без пробелов и точки в конце.
Если получилась обыкновенная дробь и её нельзя перевести в конечную десятичную дробь — ищи ошибку в решении!
Источники:
Рис. 1. Промежутки возрастания и убывания функции. © ЯКласс.
Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.
Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:
$$f^{/}(x)>0 leftrightarrow f(x) Uparrow ;$$
$$f^{/}(x)<0 leftrightarrow f(x) Downarrow ;$$
Кроме этого, производная от функции может быть равна нулю. Функция в той точке, где производная равна нулю, будет принимать наибольшее или наименьшее значение в окрестности этой точки. На графике нашей функции (Рис. 1) эти точки выглядят как «холмы» и «впадины».
Обратите внимание, что «холмов» и «впадин» на графике может быть бесконечно много, какие-то из этих «холмов» будут выше, какие-то ниже. Производная равна нулю во всех таких точках. И значения функции во всех таких точках я называю наибольшими и наименьшими, хотя на самом деле это локальные наибольшие и наименьшие значения.
Кстати, ТОЧКАМИ минимума или максимума называют координаты «холмов» и «впадин» по оси (x). Еще их называют точками экстремума функции: это общее название для минимумов и максимумов. Поэтому, когда вас просят найти точки экстремума, это значит найти координаты по оси (x) и минимумов, и максимумов.
В точке (x=-2) будет минимум функции. Точка (x=-3) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.
Чтобы определить наименьшее значение, подставим в исходную функцию найденную точку минимума и концы отрезка (xin[-2,5;0]):
$$y(-2)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2)-ln(-2+3)^3=-6-0=-6;$$
$$y(-2,5)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2,5)-ln(-2,5+3)^3=-7,5-ln(0,5)^3;$$
$$y(0)=3x—ln(x+3)^3=3*0-ln(0+3)^3=ln(3)^3;$$
Обратите внимание, что значение функции в точках ((-2,5)) и ((0)) получились “плохие”: мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.
Кстати, подставлять в этом примере границы отрезка необязательно еще и по другой причине: на промежутке ([-2,5;-2)) функция убывает, а на промежутке ((-2;0]] возрастает. Минимальное значение на указанном промежутке может быть только в точке минимума.
Ответ: (-6.)
Пример 21
Найдите наименьшее значение функции (y=x*sqrt{x}-9x+25) на интервале ([1;50].)
Производную от данной функции можно посчитать, воспользовавшись формулой производной от произведения ((f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/}:)
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(xsqrt{x})^{/}-(9x)^{/}+25^{/}=x^{/}*sqrt{x}+x*(sqrt{x})^{/}-9=$$
$$=1*sqrt{x}+x*frac{1}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{sqrt{x}*sqrt{x}}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{1}{2}*sqrt{x}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$
Есть другой вариант взятия производной, на мой взгляд, он легче. Для это мы представим квадратный корень в виде степени:
$$sqrt{x}=x^{frac{1}{2}};$$
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(x*x^{frac{1}{2}}-9x+25)^{/}=(x^{frac{3}{2}-9x+25)^{/}=frac{3}[2}*x^{frac{1}{2}}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$
Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения на указанном интервале:
$$frac{3}{2}*sqrt{x}-9=0;$$
$$sqrt{x}=9*frac{2}{3};$$
$$sqrt{x}=6;$$
$$x=36;$$
На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:
Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.
(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.
(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
(-7): минимум.
(3): максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции (f'(x)).
- Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
- Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).
Ответ. (-2).
Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Скачать статью
