СДАМ ГИА:
РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
≡ Математика
Базовый уровень
Профильный уровень
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французский язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
Сайты, меню, вход, новости
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об экзамене
Каталог заданий
Варианты
Ученику
Учителю
Школа
Эксперту
Справочник
Карточки
Теория
Сказать спасибо
Вопрос — ответ
Чужой компьютер
Зарегистрироваться
Восстановить пароль
Войти через ВКонтакте
Играть в ЕГЭ-игрушку
Новости
1 мая
Новый сервис: можно исправить ошибки!
29 апреля
Разместили актуальные шкалы ЕГЭ — 2023
24 апреля
Учителю: обновленный классный журнал
7 апреля
Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю
30 марта
Решения досрочных ЕГЭ по математике
31 октября
Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР
НАШИ БОТЫ
 |
|
Все новости
ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!
Экзамер из Таганрога
10 апреля
Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ
Наша группа
Каталог заданий.
Исследование частных
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Тип 11 № 77467 
i
Найдите точку максимума функции 
Аналоги к заданию № 77467: 129843 129871 523993 … Все
Решение
·
Видеокурс
·
Помощь
2
Тип 11 № 77468
i
Найдите точку минимума функции 
Аналоги к заданию № 77468: 129873 129899 129901 … Все
Решение
·
1 комментарий
·
Видеокурс
·
Помощь
3
Тип 11 № 77469
i
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Аналоги к заданию № 77469: 129903 129931 129905 … Все
Решение
·
Видеокурс
·
Помощь
4
Тип 11 № 77470
i
Найдите наибольшее значение функции на отрезке 
Аналоги к заданию № 77470: 129933 129961 129935 … Все
Решение
·
Видеокурс
·
Помощь
5
Тип 11 № 77471
i
Найдите точку максимума функции 
Аналоги к заданию № 77471: 129965 129963 130011 … Все
Решение
·
1 комментарий
·
Видеокурс
·
Помощь
Пройти тестирование по этим заданиям
О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2023
Рациональная функция. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров. Требуется определить точки максимума или минимума. Ранее уже были рассмотрены подобные задания с логарифмами, тригонометрическими и степенными функциями.
Рекомендую повторить теорию, необходимую для решения, в том числе приоизводные элементарных функций и правила дифференцирования.
Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:
1. Вычисляем производную функции.
2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.
3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой.
*Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы возрастания (убывания) функции.
4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из полученных интервалов в производную).
Рассмотрим задания:
77471. Найдите точку максимума функции
Найдём производную данной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции, подставляя значения из интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции. На числовой прямой, кроме найденных корней, так же отмечаем точку в которой производная не существует, для данной функции это точка х = 0 (в ней функция прерывается):
В точке х = – 4 функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.
Ответ: – 4
77500. Найдите точку максимума функции
Найдём производную данной функции:
Найдем нули производной:
*В данном случае производная существует при всех значениях х.
Отметим на числовой прямой точки х1 = –17 и х2 = 17. Определим знаки производной функции на интервалах, подставляя значения из них в найденную производную:
В точке х = –17 функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.
Ответ: – 17
77501. Найдите точку минимума функции
Найдём производную данной функции:
Найдем нули производной:
*В данном случае производная существует при всех значениях х.
Отметим на числовой прямой точки х1 = –1 и х2 = 1. Определим знаки производной функции на интервалах, подставляя значения из них в найденную производную:
В точке х = 1 функция меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.
Ответ: 1
129871. Найдите точку максимума функции
Ответ: 18
129901. Найдите точку минимума функции
Ответ: –26
132697. Найдите точку максимума функции
Ответ: 3
132727. Найдите точку минимума функции
Ответ: 14
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
В будущем рассмотрим задания с дробно-рациональными функциями, где требуется найти наибольшее (наименьшее) значение на интервале, не пропустите!
Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.
Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.
В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.
Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.
Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).
Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:
У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).
Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).
Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:
– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.
С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.
Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).
Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.
Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.
(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.
(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.
(-7): минимум.
(3): максимум.
Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:
– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:
- Найдите производную функции (f'(x)).
- Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
- Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
- Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
- Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
- Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.
Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.
Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.
Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:
(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)
3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:
Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).
Ответ. (-2).
Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов
Скачать статью
12. Исследование функций с помощью производной
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Поиск точек экстремума у элементарных функций
(blacktriangleright) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: [begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{1} & c & 0\&&\
textbf{2} & x^a & acdot x^{a-1}\&&\
textbf{3} & ln x & dfrac1x\&&\
textbf{4} & log_ax & dfrac1{xcdot ln a}\&&\
textbf{5} & e^x & e^x\&&\
textbf{6} & a^x & a^xcdot ln a\&&\
textbf{7} & sin x & cos x\&&\
textbf{8} & cos x & -sin x\[1ex]
hline
end{array} quad quad quad quad
begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{9} & mathrm{tg}, x & dfrac1{cos^2 x}\&&\
textbf{10} & mathrm{ctg}, x & -,dfrac1{sin^2 x}\&&\
textbf{11} & arcsin x & dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{12} & arccos x & -,dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{13} & mathrm{arctg}, x & dfrac1{1+x^2}\&&\
textbf{14} & mathrm{arcctg}, x & -,dfrac1{1+x^2}\[0.5ex]
hline
end{array}]
(blacktriangleright) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).
Пример: (f(x)=4cos x +dfrac{x^3}2)
(blacktriangleright) Основные формулы поиска производной ((f=f(x), g=g(x)) – функции):
1. Умножение функции на число: [(ccdot f)’=ccdot f’]
2. Сумма или разность двух функций: [(fpm g)’=f’pm
g’]
(blacktriangleright) Хитрости, упрощающие поиск производной:
I. Т.к. (sqrt[n]{x^m}=x^{frac mn}), то производную этой функции можно искать по формуле (2).
Частный случай: (sqrt x =x^{frac12}): [(sqrt x)’=dfrac1{2sqrt x}]
II. Т.к. (dfrac1{x^a}=x^{-a}), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): [left(dfrac1{x^a}right)’=-dfrac a{x^{a+1}}]
(blacktriangleright) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания ((f’>0)) и убывания ((f'<0)) функции, критические точки (где (f’=0) или (f’) не существует).
Задание
1
#2390
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите точку максимума функции (y = -x^2).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = -2x]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [-2x = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика:
Таким образом, (x = 0) – точка максимума функции (y).
Ответ: 0
Задание
2
#2391
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите точку минимума функции (y = x^2 + 2x + 2) на отрезке ([-2; 2]).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = 2x + 2]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [2x + 2 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = -1,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-2; 2]):
4) Эскиз графика на отрезке ([-2; 2]):
Таким образом, (x = -1) – точка минимума функции (y) на ([-2; 2]).
Ответ: -1
Задание
3
#2392
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Найдите точку минимума функции (y = 3x^2 – 6x + pi) на отрезке ([-3; 3]).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = 6x – 6]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [6x – 6 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 1,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-3; 3]):
4) Эскиз графика на отрезке ([-3; 3]):
Таким образом, (x = 1) – точка минимума функции (y) на ([-3; 3]).
Ответ: 1
Задание
4
#2691
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального минимума функции (y = x^3 – 3x).
ОДЗ: (x) – произвольный.
1) [y’ = 3x^2 – 3]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [3x^2 – 3 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = pm 1,.] Производная существует при любом (x).
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 1) – точка локального минимума функции (y).
Ответ: 1
Задание
5
#2710
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального максимума функции
(y = x^3 – 15x^2 + 48x + e).
1) (y’ = 3x^2 – 30x + 48 = 3(x^2 – 10x + 16)).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):
[3(x^2 – 10x + 16) = 0qquadLeftrightarrowqquad x^2 – 10x + 16 = 0,] откуда находим (x_1 = 2, x_2 = 8). Таким образом, [y’ = 3(x – 2)(x – 8).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 2) – точка локального максимума функции (y).
Ответ: 2
Задание
6
#869
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального максимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 – 8x^2 + 55x + 11).
1) (y’ = x^2 – 16x + 55).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):
(x^2 – 16x + 55 = 0), откуда находим корни (x_1 = 5, x_2 = 11). Таким образом, [y’ = (x-5)(x-11).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 5) – точка локального максимума функции (y).
Ответ: 5
Задание
7
#868
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите точку локального минимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 – 3x^2 + 8x + 2).
1) (y’ = x^2 – 6x + 8).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):
(x^2 – 6x + 8 = 0), откуда находим корни (x_1 = 2, x_2 = 4). Таким образом, [y’ = (x-2)(x-4).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):
3) Эскиз графика (y):
Таким образом, (x = 4) – точка локального минимума функции (y).
Ответ: 4
Задачи, при выполнении которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций, в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Уметь справляться с ними должны школьники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Научившись безошибочно находить максимум и минимум элементарной функции в задачах ЕГЭ, выпускники смогут выполнить задание и получить конкурентные баллы.
Восполнить пробелы в знаниях и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Чтобы учащимся было легче справляться с задачами ЕГЭ, в которых необходимо найти минимум и максимум элементарной функции, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Эту информацию мы разместили в разделе «Теоретическая справка». Здесь собран материал, подготовленный нашими специалистами для выпускников средних школ.
Чтобы закрепить усвоенную информацию и научиться справляться с задачами в ЕГЭ, выполните упражнения, в которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Выполнить упражнения на нахождение точек экстремума у элементарных функций, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
УСТАЛ? Просто отдохни
Значения функции и точки максимума и минимума
Наибольшее значение функции
Наменьшее значение функции
Точки max
Точки min
Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!
Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.
12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.
12 задание бывает двух видов:
- Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
- Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).
Как же действовать в этих случаях?
Найти точку максимума / минимума
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
Задания с ЕГЭ:
Найдите точку максимума функции
- Берем производную:
- Приравняем ее к нулю:
- Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15
Найдите точку минимума функции
- Преобразуем и возьмем производную:
- Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.
- Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!
Ответ: −2
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
- В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
- Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.
Задания с ЕГЭ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]
- Преобразуем и возьмем производную:
- «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
- Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:
Ответ: −6
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]
- Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
Ответ: 11
Выводы:
- 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
- Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
- Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
- В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
- А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
