Как найти точку минимума квадратного корня

Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о задачах, которые можно решать без нахождения производной. В данной рубрике мы уже рассмотрели некоторые примеры с логарифмами, числом е, функции  с произведениями. Смысл заданий тот же –  требуется найти либо точку максимума (минимума) функции, либо определить максимальное (минимальное) значение функции. 

В чём суть и каков «стандартный» алгоритм решения — можно посмотреть в этой статье. Но не для всех заданий применение этого алгоритма будет рационально. Если следовать ему в представленных ниже примерах, то процесс решения будет «перегружен» вычислениями. А потеря времени на экзамене вам не нужна. Так какие же задания имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе находится квадратичная функция вида:

Рассмотрим подход без нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать? Свойство параболы, напомним его:

Если а > 0, то её ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её ветви направлены вниз.

Далее вспомним  координату  (абсциссу)  вершины параболы:

То есть, это точка экстремума квадратичной функции – в ней функция меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Следующий важный факт (ключевой для этих задач):

Если исходная функция монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее указанная точка «х» также будет точкой экстремума.

Почему? Давайте рассмотрим отдельно функции подробнее.

Квадратичная функция в показателе степени (при чём n>1):

Смотрите! Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом.

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) – при х от минус бесконечности до –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция у=n^f(x) будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a, так как при минимуме в показателе получится минимум в результате.

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция у=n^f(x) будет иметь максимальное значение в точке х=–b/2a, так как при максимуме в показателе получится максимум в результате.

Квадратичная функция под знаком логарифма (при чём n>1):

Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом:

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) –  при х от минус бесконечности до  –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от–b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция log_nz будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция уменьшается при уменьшении аргумента (видно по графику).

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция log_nz будет имеет максимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция увеличивается при увеличении аргумента (видно по графику).

Квадратичная функция под знаком корня:

Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что:

При a>0 значение z минимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь минимальное значение. *Корень из наименьшего значения в результате даст наименьшее число.

При a<0 значение z максимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь максимальное значение.

Таким образом, сформулируем ключевое правило:

ВНИМАНИЕ! Конечно, если глубже уйти в тему, то возможны варианты когда сложная функция имеет отрицательный знак, когда логарифм находится в знаменателе дроби, когда основание логарифма или основание степени находится в пределах от 0 до 1. Разумеется,  важно понимать как ведёт себя данная в условии функция (возрастает или убывает). Но для решения типовых заданий экзамена указанного вывода вам будет вполне достаточно.

И конечно, не теряйте из виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под знаком  логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовал находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в представленных ниже примерах это ничего важного нам не даёт и не влияет на ответ).

Рассмотрим примеры:

Найдите точку максимума функции 

Под корнем  квадратичная функция  13+6х–х². Ее график — парабола, ветви направлены вниз, поскольку  а=–1<0. Значит максимальное значение  функция приобретает в точке:

Проверим чему равно подкоренное выражение при х=3 То есть будет ли оно числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 3² = 13 + 18 – 9 = 22 > 0 

Почему необходимо это сделать? Дело в том, что при полученной абсциссе квадратичная функция теоретически может дать отрицательное значение, то есть график такой параболы будет лежать ниже оси ох. Это  будет означать что решения (таких вариантов заданий на самом ЕГЭ не будет).

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

Под корнем  квадратичная функция   х² + 8х + 185.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а =  1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

Так как  ветви параболы направлены вверх, то в точке  х = – 4 функция

х² + 8х + 185 принимает наименьшее значение.

Функция кважратного корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума  всей функции, вычислим  её наименьшее  значение:

Ответ: 13

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у=log₇(–2 – 12х – х²) + 10. 

Под знаком логарифма квадратичная функция    –2 – 12х – х².

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = – 1 < 0 

Абсцисса вершины параболы:

Проверим, принадлежит ли полученное значение х области определения (выражение под знаком логарифма должно быть число положительное):

– 2 – 12∙(–6) – (–6)² = – 2 + 72 – 36 = 34 > 0

То есть, в точке х = – 6

функция f (х) = – 2 – 12х – х²   будет иметь  максимальное значение.

Значит, и у=log₇(–2–12х–х²)+10  в этой точке так же будет иметь максимальное значение.

Ответ: – 6.

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=log₂(2 + 2х – х²) – 2

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции  у=log₉ (х² – 10х + 754) + 3

Под корнем  квадратичная функция   х² – 10х+754.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 5 функция f (x) = х²  – 10х + 754 принимает наименьшее значение.  

Функция log₉х  монотонная, значит у =log₉ (х² – 10х + 754) + 3  в точке х = 5 также принимает наименьшее значение, вычислим его:

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции  у=log₃(х² – 6х + 10) + 2

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции 

В показателе стоит квадратичная функция   – 30 + 12х – х².     

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = –1 < 0.

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 6 функция f (х) = – 30 + 12х – х² приобретёт максимальное значение. Значит и данная функция в этой точке будет иметь также максимальное значение.

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции: 

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

В показателе стоит   квадратичная функция  х²  + 16х + 66.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = – 8 функция х²  + 16х + 66 принимает наименьшее значение.

Показательная  функция монотонна, поэтому её наименьшее значение будет также в точке х = – 8, вычислим его  

Ответ: 36

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Разумеется,  что  это краткая схема решения и, конечно же, нужно понимать свойства квадратичной, показательной, логарифмической, дробно-рациональной функции,  но эта схема работает.

В данной рубрике мы ещё рассмотрим задания с тригонометрическими функциями, не пропустите! Успеха вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

Сайты, меню, вход, новости

29 января 2012

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b], если для любых точек x₁ и x₂ этого отрезка выполняется следующее:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x₁ и x₂ этого отрезка выполняется следующее:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) > f (x₂).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log_a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a ^x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax² + bx + c. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x₀ тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x₀ для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

1. Отрезок [a; b] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы x₀, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы y = ax² + bx + c и найти ее вершину по формуле: x₀ = −b/2a;
2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x₀). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под корнем стоит квадратичная функция y = x² + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x₀ = −b/(2a) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x₀ = −3 функция y = x² + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x₀ — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log ₂ (x² + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x² + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x₀ = −b/(2a) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x₀ = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log ₂ x — монотонная, поэтому:

y_min = y(−1) = log ₂ ((−1)² + 2 · (−1) + 9) = … = log ₂ 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x². Перепишем ее в нормальном виде: y = −x² − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x₀ = −b/(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x₀ = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

   y = log_a f (x) ⇒ f (x) > 0

2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

   

3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

   

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x². Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x² ≥ 0 ⇒ x² + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x₀ = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x₀ = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x₀, а также на концах ОДЗ:

y(−3) = y(1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log _0,5 (6x − x² − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x² − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x² − 5 > 0 ⇒ x² − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x₀ = −b/(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x₀ = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x₀:

y_min = y(3) = log _0,5 (6 · 3 − 3² − 5) = log _0,5 (18 − 9 − 5) = log _0,5 4 = −2

Смотрите также:

1. Показательные функции в задаче B15: хитрости решения
2. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
3. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: площадь кольца
6. Решение задач на движение по воде

Здравствуйте, дорогие
друзья! Экзамен не за горами, мы вышли на финишную прямую, не будем суетиться и
переживать, будем готовиться. И на занятие сегодня я хочу рассмотреть некоторые
аспекты задания № 12 «Исследование функций». Мы поговорим о задачах, в которых
рассматриваются функции и в условии стоят вопросы, связанные с их
исследованием. Рассмотрим основные теоретические моменты, которые необходимо
знать и понимать для их решения.

Это
целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о
нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего)
значения функции на заданном интервале. Рассматриваются:

— Степенные и
иррациональные функции.      

— Рациональные
функции.     

— Исследование
произведений и частных.    

— Логарифмические
функции.         

—
Тригонометрические функции.

Если
вы поняли теорию пределов, понятие производной, свойства производной  для
исследования графиков функций и её геометрический смысл, то такие задачи
 никакого затруднения у вас  не вызовут и  вы решите их с
лёгкостью.

Следующая
информация — это теоретические моменты, понимание которых позволит
осознать, как решать подобные задачи. Постараюсь изложить их именно так, чтобы
даже тот, кто эту тему пропустил или изучил слабо, смог без особых затруднений
решать подобные задачи.

В
задачах данной группы, как уже сказано, требуется найти либо точку минимума
(максимума) функции, либо наибольшее (наименьшее) значение функции на
интервале.

Точки
минимума, максимума. Свойства производной.

Рассмотрим график функции:

Точка
А – это точка максимума, на интервале от О до А  функция возрастает, на
интервале от А до В  убывает.

Точка
В – это точка минимума, на интервале от А до В  функция убывает,  на
интервале от В до С возрастает.

В
данных точках (А и В) производная обращается в нуль (равна нулю).  

Касательные
в этих точках параллельны оси   ox.

Добавлю,
что точки, в которых функция меняет своё поведение с возрастания на убывание (и
наоборот, с убывания на возрастание), называются экстремумами.

Важный
момент:

1.
Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (при подстановке
значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит,
если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное
значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2.
На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке
значения из интервала в выражение производной получается отрицательное 
число). 

Значит,
если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет
отрицательное значение,  то график функции на этом интервале
убывает. 

Это
надо чётко уяснить!!!

Таким
образом, вычислив производную и приравняв её к нулю, можно найти точки, которые
разбивают числовую ось на интервалы. На каждом из этих интервалов 
можно определить знак производной и далее сделать вывод о её возрастании или
убывании.

*Отдельно
следует сказать о точках, в которых производая не существует. Например, можем
получить производную, знаменатель которой при определённом х обращается в нуль.
Понятно, что при таком х производная не существует. Так вот, данную точку также
необходимо учитывать при определени  интервалов возрастания (убывания).

Функция
в точках, где производная  равна  нулю, меняет свой знак не всегда.
Об этом можно почитать отдельно, но на самом ЕГЭ таких задач не будет.

Вышеизложенные
свойства необходимы для исследования поведения функции на возрастание и
убывание.

Что
ещё необходимо знать для решения оговоренных задач: таблицу производных 
и  правила дифференцирования. Без этого никак. Это базовые знания, в теме
производной. Производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Исследование
функций

Задачи на нахождение точек максимума и минимума

Алгоритм
нахождения точек максимума (минимума) функции: 

1.
 Находим производную функции f’(x).

2.
Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f’(x)=0  и
решаем полученное уравнение). Также находим точки, в которых производная не
существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).

3.
 Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки
производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в
выражение производной.

4.
 Далее делаем вывод.

Вывод
будет один из двух:

1.
Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с
положительного на отрицательное.

2. Точка
минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного
на положительное.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего
значения функции на интервале.

В
другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на
заданном интервале.

Алгоритм
нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1.
Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f’(x),
затем решаем f’(x)=0  (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма).

2.
 Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и
записываем  лежащие в его пределах.

3.
 Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную  в
условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в
пределах интервала (п.2).

4.
 Вычисляем значения функции.

5.
 Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от
того, какой  вопрос был поставлен в задаче и  далее записываем ответ.

Вопрос:
для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции
необходимо искать точки максимума (минимума)?

Ответ
лучше всего это проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение 
графиков, задаваемых функций:

В
случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить
наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти
нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала
(не находя нули функции),  то получим неверный ответ, это видно по
графикам.

И
всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график
на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому
находите нули функции обязательно!!!

Если
уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения, это значит, что точек
максимума-минимума  нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной
задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.

Ещё
один важный момент. Помните, что ответом должно быть целое число или конечная
десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы
будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем.
Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат
 таких выражений ответом являться не  будет. Если возникнет желание
 вычислить такое значение, то  сделайте это  (числа:  е ≈ 2,71
  Пи ≈ 3,14 ).

Много
наговорила, запутала наверное? По конкретным примерам  вы увидите, что всё
просто.

Далее
хочу открыть вам маленький секрет. Дело в том, что многие задания можно решить
без знания свойств производной и даже без правил дифференцирования. Об этих
нюансах я вам обязательно расскажу и покажу как это делается? не пропустите!

Но
тогда зачем же я вообще изложил теорию и ещё сказал, что её нужно знать
обязательно. Всё верно – знать надо.  Если её поймёте, тогда никакая
задача в этой теме в тупик вас не поставит.

Те
«хитрости», о которых вы узнаете, помогут вам при решении  конкретных
(некоторых) прототипов задач. Как дополнительный инструмент эти приёмы
использовать, конечно, удобно. Задачу можно решить в 2-3 раза быстрее и
сэкономить время на решение части С.

. Но не для всех
примеров применение «стандартного» алгоритма будет рационально. Если следовать
ему в представленных примерах, то процесс решения будет «перегружен»
вычислениями. 

Так какие же задания
имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная
функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе стоит
квадратичная функция вида:

Мы рассмотрим подход без
нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать?

Свойство параболы,
напомним его:

Если а > 0, то её
ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её
ветви направлены вниз.

Далее вспомним
 координату  (абсциссу)  вершины параболы:

То есть, это точка
экстремума квадратичной функции (в ней функция меняет своё поведение с
возрастания на убывание или наоборот).

Следующий важный факт
(ключевой для этих задач)!

Если исходная функция
монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее точка х также будет
точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

И конечно, не теряйте из
виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под
знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под
знаком  логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в
знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовала
находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в
представленных задачах это ничего нам не даёт).

Рассмотрим задачи:

Найдите точку
максимума функции 

Под корнем
 квадратичная функция  13 + 6х – х²

Ее график —
парабола, ветви направлены вниз, поскольку  а = – 1 < 0

Значит, максимальное
значение  функция приобретает в точке:

Проверим, принадлежит ли
полученное значение области определения. То есть будет ли подкоренное выражение
числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 3²
= 13 + 18 – 9 = 22 > 0

Почему необходимо это
сделать? Дело в том, что абсцисса соответствующая вершине параболы может не
войти в область определения, это будет означать, что области определения будет
принадлежать только участок ветви параболы (таких заданий на ЕГЭ не будет).

Ответ: 3

Решите самостоятельно:  Найдите
точку максимума функции 

Ответ: – 2.

Найдите наименьшее
значение функции 

Под корнем
 квадратичная функция   х² + 8х + 185.

Ее график —
парабола,  ветви направлены вверх,  т.к.  а =  1 > 0

Абсцисса вершины
параболы:

Так как  ветви
параболы направлены вверх, то в точке  х = – 4 функция

х² + 8х + 185
принимает наименьшее значение.

Функция квадратного
корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума  всей функции,
вычислим  её наименьшее  значение:

Ответ: 13

Решите самостоятельно:  
Найдите наименьшее значение функции 

Ответ: 2.

Найдите точку
максимума функции у=log₇(–2 – 12х – х²) + 10. 

Под знаком логарифма
квадратичная функция    –2 – 12х – х².

График — парабола,
ветви направлены  вниз, так как а = – 1 < 0 

Абсцисса вершины
параболы:

Проверим, принадлежит ли
полученное значение х области определения (выражение под знаком логарифма
должно быть число положительное):

– 2 –
12∙(–6) – (–6)² = – 2 + 72 – 36 = 34 > 0

То есть, в точке х = – 6

функция f (х) = – 2 – 12х – х²  
будет иметь  максимальное значение.

Значит, и у=log₇(–2–12х–х²)+10 
в этой точке так же будет иметь максимальное значение.

Ответ: – 6.

Решите самостоятельно:  Найдите
точку максимума функции у=log₂(2 + 2х – х²) – 2

Ответ: 1.

Найдите наименьшее
значение функции  у=log₉ (х² – 10х + 754) + 3

Под корнем
 квадратичная функция   х²  – 10х + 754.

Ее график — парабола,
 ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины
параболы:

То есть, в точке х
= 5 функция f (x) = х²  – 10х + 754 принимает наименьшее
значение.  

Функция log₉х
 монотонная, значит у =log₉ (х² – 10х + 754) + 3
 в точке х = 5 также принимает наименьшее значение, вычислим его:

Ответ: 6

Решите самостоятельно:  
Найдите наименьшее значение функции  у=log₃(х² –
6х + 10) + 2

Ответ: 2.

Найдите точку максимума функции 

В показателе стоит
квадратичная функция   – 30 + 12х – х².     

График — парабола,
ветви направлены  вниз, так как а = –1 < 0.

Абсцисса вершины
параболы:

То есть, в точке х = 6
функция f (х) = – 30 + 12х – х² приобретёт максимальное значение.
Значит и данная функция в этой точке будет иметь также максимальное значение.

Ответ: 6

Решите самостоятельно: Найдите
точку максимума функции: 

Ответ: 3.

Найдите наименьшее
значение функции

В показателе стоит 
 квадратичная функция  х²  + 16х + 66.

Ее график —
парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины
параболы:

То есть, в точке х
= – 8 функция х²  + 16х + 66 принимает наименьшее значение.

Показательная 
функция монотонна, поэтому её наименьшее значение будет также в точке х = – 8,
вычислим его  

Ответ: 36

Решите самостоятельно:  Найдите
наименьшее значение функции 

Ответ: 16.

Далее мы поговорим о
задачах на нахождение  наибольшего и наименьшего значения логарифмических функций.

Рассмотрим задачи:

Найдите наименьшее значение функции
у=5х–ln (х+5)⁵  на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на
концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном
интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную,
приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной
на заданном отрезке:

*Дробь равна нулю тогда,
когда числитель равен нулю.

Точка  х= – 4  принадлежит заданному интервалу. 

Таким образом, вычисляем
значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами,
которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь,
что наименьшим значением функции на данном отрезке  является  
 “– 20”.

Но вычислять их не
обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо
конечная десятичная дробь (это условие ЕГЭ в части с кратким ответом). А
значения с логарифмами:  – 22,5 – ln 0,5⁵  и   –
ln3125  такого ответа не дадут.

Кроме того, убедится в
том, что в точке х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно
определив знаки производной на интервалах от (– 5:– 4) и (– 4;+∞). 

Теперь информация для
тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет
трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних
расчётов?

Итак, если учесть, что
ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое
значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом,
либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в
скобках у нас будет единица или число е. В противном случае, мы не сможем
получить оговоренное значение. А это возможно только при  х = – 4.

Значит, в этой точке
значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить
самостоятельно:  Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln
(х+3)³ на отрезке [–2,5;0].

Ответ: – 6.

Найдите наибольшее значение функции у=ln
(х+5)⁵–5х  на отрезке [–4,5;0].

Ответ: 20.

Найдите наибольшее значение функции у=х²–13х+11∙lnх+12
на отрезке [13/14; 15/14]. 

Чтобы найти наименьшее
значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его
концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную,
приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное
уравнение,  получим

Точка  х = 1,
принадлежит заданному интервалу.

Точка  х = 22/4 ему
не принадлежит.

Таким образом, вычисляем
значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом
является целое число либо конечная десятичная дробь, значит, наибольшее
значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не
получим, так как натуральный логарифм данных дробей  такого результата не
даст.

Кроме того, убедится в
том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно
определив знаки производной на интервалах от (0:1) и (1;+∞). 

Как решить такой тип
задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом
должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие
обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с
конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма  у нас будет
единица или число е.

Это возможно только при
 х = 1.

Значит в точке х = 1  (или 14/14)
значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции 
у = 2х²–13х+9∙lnх+8 на отрезке [13/14; 15/14]. 

Отмечу, что способ
решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для
экономии времени при вычислении задания на самом ЕГЭ. И только в том случае,
когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение
производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при
решении без производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов,
которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить.
Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на
какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его
просто забудете или вам попадёт такой тип задания на ЕГЭ,  который видите
впервые.

Ну и, конечно, еще раз
повторю, что для того чтобы решать задачи на нахождение наибольшего или
наименьшего значения, задачи на нахождение экстремумов, важно понимать свойства
производной для исследования функций, знать таблицу производных и правила
дифференцирования.

После решения каждой
задачи есть разъяснения другого подхода к решению («хитрости» — они
здесь). Рассмотрим задачи: связанные с числом е

Найдите наименьшее значение функции
у = (х–17)е^х–16  на отрезке [15;17].

Мы знаем, что для того,
чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, необходимо
вычислить её значение на границах заданного интервала и в точках, где
производная равна нулю. Действуем по алгоритму:

1. Найдём производную заданной функции:

2. Найдем нули производной на заданном
отрезке, то есть приравниваем производную к нулю и вычислим корни уравнения:

*Выражение е^х-16 не
равно нулю ни при каких х, так как известно, что показательная функция имеет
положительные значения на всей области определения.

3. Определяем
принадлежит ли найденная точка интервалу.

Точка х = 16 
принадлежит интервалу  [15;17]. Значит значение функции будем вычислять в
точках  15, 16 и 17:

*Учтите, что число е ≈
2,71.  Это нецелое число и неконечная десятичная дробь, поэтому любое
выражение с этим числом в подобных задачах на ЕГЭ не является верным ответом,
но вы всё равно его проанализируйте. В данной задаче, если мы  –2 разделим
на число 2,71  то результат будет лежать в пределах от –1 до 0 (можно
посчитать столбиком для проверки).

4. Делаем вывод.

Таким образом,
наименьшее значение функции равно  –1.

Ответ: –1

Далее «хитрости»,
которые можно использовать при решении. Если вы поняли теорию производной и
знаете, как находить максимальные и минимальные значения, то тогда идем
подобные задания мгновенно.

Итак! Мы знаем, что
ответом в задачах на ЕГЭ в части с кратким ответом должно быть целое число,
либо конечная десятичная дробь.

Посмотрите на данную
функцию. Сразу можно сказать, что  значение функции будет являться целым
числом только при х = 16 или при х = 17,  и  ни при каких других
значениях х. Поэтому достаточно вычислить:

и далее записать ответ.

Ещё один путь
решения (без нахождения производной). Сразу подставляем в функцию все
целые значения из интервала (их всего три 15, 16 и 17), вычисляем и выбираем
наименьшее значение:

Решите самостоятельно:

 

Найдите наибольшее значение функции
у = (22 – х)е^х–21   на отрезке [16;25].

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Число е^х-21 не
может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в
результате число положительное, значит х = 21.

Полученное значение
принадлежит интервалу [16;25].

Вычислим значения данной
в условии функции в точках 16, 21  и 25:

*То есть на границах
интервала и в точке, где производная обращается в нуль.

Первый результат меньше
единицы (это понятно и без вычислений).

Третий результат так же
меньше единицы (отрицательное число).

Значит наибольшее
значение функции на заданном  интервале равно 1.

*Помните, что ответы с
числом е (по требованиеям ЕГЭ) не являются верными.

Ответ: 1

Если у вас всё-таки
неразрешимые проблемы с нахождением производной, то подставляйте в исходную
функцию все целые значения из интервала и выбирайте наибольшее полученное
значение.

*Кроме того, по данной
функции сразу видно, что её значение будет целым числом только при х = 21
или при х = 22.

Можете подставить только
их в функцию, далее произвести вычисления и выбрать наибольшее значение.

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции
у = (2х² – 10х + 10)е ^х   на отрезке [–4; 3].

Необходимо определить
значения на границах интервала, и в точках, где производная обращается в нуль.

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Произведение множителей
равно нулю, когда какой либо из этих множителей  равен нулю.

Число е^х не может быть равно
нулю, так как степень положительного числа всегда даст в результате число
положительное.

Значит  решением  являются корни:
х₁=0  и  х₂=3

Обе точки принадлежат интервалу [–4;3], х=3
совпадает с границей интервала.

Вычисляем значения функции в точках: – 4, 0
и 3:  

Значит наибольшее
значение функции равно 10.

Ответ: 10

*Как вы уже поняли,
можно в заданную функцию можно подставить все целые значения х из интервала, и
таким образом найти наибольшее значение функции. Но в данном случае придётся
перебрать 8 чисел (–4;–3;–2;–1;0;1;2;3).

Решите самостоятельно:

 Найдите наименьшее значение
функции  у = (х + 44)²е^–44–х      на
отрезке  [– 46; –43] 

Найдём производную заданной функции:

Обратите внимание, что результат мы
представили сразу в виде множителей, это будет удобно при вычислении нулей
производной.

Найдем нули производной:

Решением являются
корни:  х₁= – 44   и   х₂= – 42. 

Заданному интервалу [–
46;–43]  принадлежит только точка  х = – 44.

Вычисляем значения
функции в точках – 46, – 44 и – 43, то есть на границах интервала и в точке,
где производная равна нулю:

Наименьшее значение
функции равно 0.

Ответ: 0

*Как это задание решить
быстро?

Учитывая, что ответом
должно быть целое число, видно что значение данной функции будет целым только
при х= – 44 и х= 44.

указанному в условии
интервалу принадлежит х= – 44, вычисляем:

Решите самостоятельно:

Но в заданиях на нахождение точек минимума
и максимума мы ОБЯЗАТЕЛЬНО должны использовать производную.

Найдите точку
минимума функции у = (х + 18)е^х-18   

1. Найдём производную
заданной функции:

2. Найдем нули
производной:

Получаем, что х =
–19.  

*Выражение е^х-18 не
равно нулю ни при каких х, так как известно, что показательная функция имеет
положительные значения на всей области определения.

3. Определим знаки производной функции на интервалах (подставляем любые
произвольные значения в производную) и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х = –19 функция
меняет знак с отрицательного на положительный,  значит это искомая точка
минимума.

Ответ: –19 

Как решать быстрее
данный тип задач?

Когда мы получили
производную и приравняли её к нулю:

(х + 19)е^х–18
= 0

Далее получили, что х=–19. Данное решение и
будет являться ответом задачи. 

*То есть, в при решении
данного типа задач, можно обойтись без определения знаков производной на
интервалах. Но будте осторожны! В других заданиях на нахождение максимума
(минимума), где получите несколько нулей производной, её знаки на интервалах
нужно определять обязательно.

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у =
(3х² – 15х + 15)е^7–х

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Число е^7-х не
может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в
результате число положительное. 

Решаем  – 3
(х–5)(х–2) = 0.  Получим х₁ = 5  и  х₂ = 2
.

Определим знаки производной функции (подставляя любые значения из
интервалов в найденную производную) и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х = 5 функция меняет знак с
положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 5

Решите самостоятельно:

Найдите точку
максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу  запишем, что х–11>0 (по
определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию
будем на интервале (11;∞).

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в
область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на
числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции,
подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в
найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная
функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка
максимума.

Ответ: 11,2  

Решите самостоятельно:

Найдите точку
максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Найдите точку
минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству
логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию
будем на интервале  (– 5;+∞).

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5 
не входит в область определения функции и в ней производная не существует.
Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75. Определим
знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов
(–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке
поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75
 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, 
значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75 
 

Решите самостоятельно:

Найдите точку
минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Найдите точку
максимума функции у = х²–34х+140lnх–10

По свойству логарифма
выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем
рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную
заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное
уравнение, получим: D = 9    х₁ = 10   х₂
= 7.

Точка х = 0  не
входит в область определения функции и в ней производная не существует.
Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10.

Ось ох разбивается на
интервалы:  (0;7),  (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения
из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке
поведение функции:

Таким образом, в точке х = 7 производная
функции меняет знак с положительного на  отрицательный,  значит это
искомая точка максимума.

Ответ: 7

Решите самостоятельно:

Найдите точку
максимума функции у = 2х² –13х+9lnх+8

Вы уже научились находить значения некоторых квадратных
корней. Например, таких как:

Но бывает так, что необходимо найти квадратный
корень из числа, который уже нельзя так сходу определить. Тогда приходят к
нахождению приближённых значений квадратного корня.

Например:

Надо найти .

До этого мы с вами уже говорили, что нет
такого целого числа, квадрат которого бы равнялся двум.

Обратимся к параболе.

 Прямая  пересекает
параболу в двух точках. Абсцисса первой точки расположена между числами -1 и -2,
абсцисса второй точки между числами 1 и 2.

 А т.к. нас интересует арифметический
квадратный корень, то рассматриваем только точку в первой координатной четверти
(т.е. с положительной абсциссой). По рисунку можно лишь сказать, что значение
корня из двух расположено между числами 1 и 2.

Попробуем все же вычислить приближённое
значение  с
двумя знаками после запятой. Будем рассуждать следующим образом:

Т.к. нужно вычислить  с
точностью до двух знаков после запятой, то мы можем уже остановиться и не
продолжать вычисления дальше. Поэтому имеем

Это и будет ответом. Если бы необходимо было
вычислить ещё более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления,
повторяя снова и снова цепочку рассуждений. Данный приём позволяет извлекать арифметический
квадратный корень с любой точностью.

Можно показать наши рассуждения относительно
значения  на координатной прямой.

В первом шаге  показано, что значение  расположено между числами 1 и 2.  

Во втором шаге нашли значение корня с
точностью до десятых. И пришли к выводу, что это значение заключено между
числами 1,4 и 1,5.

Затем, в третьем шаге показано, что значение  расположено
между числами 1,41 и 1,42 с точностью до сотых. И т.д..

В практических расчётах для нахождения
приближённых значений квадратных корней используют специальные
таблицы или вычислительную технику.

Рассмотрим, как можно находить значения
квадратных корней с помощью калькулятора.

Для этого используют клавишу, на которой
изображён знак квадратного корня. Чтобы извлечь корень из некоторого числа,
нужно ввести это число в калькулятор. Пауза нажать клавишу со знаком корня. И
на экране высветится приближённое значение корня.

Убедимся в правильности работы калькулятора.
Сначала давайте попробуем найти значение корня, которого вы уже
помните наизусть.

Например:

Нужно найти значение .
Конечно, вы с ходу скажите, что оно равно 5. Проверим. Вводим в калькулятор
число 25, затем нажимаем волшебную клавишу со знаком корня и
видим… значение равно 5.

Проверим, правильно ли мы рассуждали
относительно значения .
Вводим число 2 в калькулятор, нажимаем клавишу с корнем и видим
такие цифры: 1, запятая, 4, 1 и дальше ещё много циферок. Обратите внимание, получили
бесконечную непериодическую дробь, т.е. значение  –
иррациональное число. Но т.к. нам нужно было найти приближённое
значение  с
точностью до сотых, то мы убедились, что .

Задание:         

Сравните числа.

Решение: