Как найти координаты точки на окружности, зная радиус и угол прямой к точке из окружности?
Михаил
Оракул
(50492),
закрыт
12 лет назад
Угол задаётся в градусах, координаты нужно получить в полярной системе.
Нужно чтобы для всех 360 градусов работало.
У меня почему-то получается точки в 300 и 60 градусах на одном и том же месте располагаются.
Дополнен 12 лет назад
*угол прямой к точке из центра окружности
Сегодня поговорим об единичной окружности 🧑🏫
Можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?🤔
Ну, конечно, можно! Записывай и запоминай общую формулу для нахождения координат точки:
x=x0+r⋅cos δ
y=y0+r⋅sin δ
x0,y0 — координаты центра окружности;
r — радиус окружности;
δ —угол поворота радиуса вектора.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
Есть окружность с радиусом R.
Нужно найти координаты точки лежащей на окружности либо по одной из координат( скажем известен Х, найти нужно У),
либо зная угол альфа.
Мои мысли:
sin alpha = y / R
cos alpha = x / R
cos alpha * cos alpha + sin alpha * sin alpha = 1 (основное тригонометрич тожд) =>
x / R * x / R = 1 – y / R * y / R ( не умею пользоваться математическими тегами, поэтому 2 степень пишу через умножение (: )
x * x = R * R * (1 – (y / R * y / R))
| x | = кв.корень из (R-y)(R+y)
В теории должно работать но на практике както все жутко.
Особенно когда координаты центра окружности не совпадают с началом отсчета( сильно пугают много возведений в квадрат и извлечение корня).
Очень прошу помочь разобраться с решением.Неважно через угол или через одну известную координату.
Если же мои рассуждения правильны (в чем я сильно сомневаюсь) всеравно хотелось бы увидеть вариант решения через угол.
ЗЫ: вопрос на засыпку, как посчиать cos/sin угла?Ну допустим у меня есть син 43градусов.Этож не табличное значение, как быть?)
Заранее благодарен, надеюсь на вашу помощь.
Координаты точки на окружности под любым углом
Как показано выше, учитывая центр круга (Cx, Cy), радиус R, найти
θ
theta
Координаты соответствующей точки? Вот
θ
theta
Это угол относительно горизонтальной оси.
Очевидно, что мы можем использовать преобразование полярных координат, чтобы найти:
{
p
x
=
C
x
+
R
c
o
s
(
θ
)
p
y
=
C
y
+
R
s
i
n
(
θ
)
left{begin{matrix} px= Cx+Rcos(theta) \ py= Cy+Rsin(theta) end{matrix}right.
Обратите внимание, что если вертикальная система координат сверху вниз, она станет системой координат изображения, т.е.
Результат становится:
{
p
x
=
C
x
+
R
c
o
s
(
θ
)
p
y
=
C
y
−
R
s
i
n
(
θ
)
left{begin{matrix} px= Cx+Rcos(theta) \ py= Cy-Rsin(theta) end{matrix}right.
Только y изменилось.
Координаты точки на эллипсе под любым углом
Сначала рассмотрим координаты точки на стандартном эллипсе под любым углом, а затем обобщим.
Учитывая большую ось а (то есть ось, соответствующую направлению, обозначенному эллиптической стрелкой), малую ось b, решение пересекает горизонтальную ось
θ
theta
Координаты соответствующей точки?
{
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
y
x
=
tan
(
θ
)
left{begin{matrix} frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}&=&1 \ frac{y}{x}& =& tan(theta) end{matrix}right.
Приведя вышеупомянутую вторую формулу в первую формулу, вы можете решить ее следующим образом:
x
2
=
a
2
b
2
b
2
+
a
2
tan
2
(
θ
)
x^2=frac{a^2b^2}{b^2+a^2tan^2(theta)}
В настоящее время мы рассмотрим
θ
theta
Диапазон может быть получен:
(1).
0
≤
θ
<
p
i
/
2
0leqtheta<pi/2
Или
3
∗
p
i
2
<
θ
≤
2
∗
p
i
frac{3*pi}{2}<theta leq 2*pi
{
x
=
a
b
b
2
+
a
2
tan
2
(
θ
)
y
=
a
b
tan
(
θ
)
b
2
+
a
2
tan
2
(
θ
)
left{begin{matrix} x=frac{ab}{sqrt{b^2+a^2tan^2(theta)}} \ y=frac{abtan(theta)}{sqrt{b^2+a^2tan^2(theta)}} end{matrix}right.
(2).
p
i
/
2
<
θ
<
3
∗
p
i
2
pi/2<theta<frac{3*pi}{2}
{
x
=
−
a
b
b
2
+
a
2
tan
2
(
θ
)
y
=
−
a
b
tan
(
θ
)
b
2
+
a
2
tan
2
(
θ
)
left{begin{matrix} x=-frac{ab}{sqrt{b^2+a^2tan^2(theta)}} \ y=-frac{abtan(theta)}{sqrt{b^2+a^2tan^2(theta)}} end{matrix}right.
(3).
θ
=
p
i
/
2
theta = pi/2
{
x
=
0
y
=
b
left{begin{matrix} x=0 \ y=b end{matrix}right.
(4).
θ
=
3
∗
p
i
2
theta = frac{3*pi}{2}
{
x
=
0
y
=
−
b
left{begin{matrix} x=0 \ y=-b end{matrix}right.
Рассмотрим общий эллипс следующим образом:
Как указано выше
θ
∈
[
0
,
2
∗
p
i
]
thetain[0,2*pi]
Является ли угол относительно главной оси,
α
∈
[
−
p
i
,
p
i
]
alphain[-pi,pi]
, Но мы вообще только рассматриваем
α
∈
[
0
,
p
i
]
alphain[0,pi]
, умоляя
θ
theta
Координаты соответствующей точки?
Основная идея – сначала преобразовать в стандартный эллипс, а затем применить результаты к стандартному эллипсу.
Очевидно, нам нужно переместить центр указанного эллипса в начало координат, а затем повернуть вокруг начала координат.
−
α
-alpha
, Который вращается по часовой стрелке
α
alpha
,который:
(
x
y
)
=
R
(
(
X
Y
)
−
(
X
c
Y
c
)
)
begin{pmatrix} x\ y end{pmatrix}=R(begin{pmatrix} X\ Y end{pmatrix}-begin{pmatrix} X_c\Y_c end{pmatrix})
где
R
=
(
c
o
s
(
−
α
)
−
s
i
n
(
−
α
)
s
i
n
(
−
α
)
c
o
s
(
−
α
)
)
=
(
c
o
s
(
α
)
s
i
n
(
α
)
−
s
i
n
(
α
)
c
o
s
(
α
)
)
R=begin{pmatrix} cos(-alpha) &-sin(-alpha) \ sin(-alpha) & cos(-alpha) end{pmatrix}=begin{pmatrix} cos(alpha) &sin(alpha) \ -sin(alpha) & cos(alpha) end{pmatrix}
Так
(
X
Y
)
=
R
−
1
(
x
y
)
+
(
X
c
Y
c
)
begin{pmatrix} X\ Y end{pmatrix} =R^{-1}begin{pmatrix} x\ y end{pmatrix}+begin{pmatrix} X_c\Y_c end{pmatrix}
где
R
−
1
=
R
T
=
(
c
o
s
(
α
)
−
s
i
n
(
α
)
s
i
n
(
α
)
c
o
s
(
α
)
)
(
★
)
R^{-1}=R^{T}=begin{pmatrix} cos(alpha) &-sin(alpha) \ sin(alpha) & cos(alpha) end{pmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(bigstar)
Это принесет фронт
(
x
y
)
begin{pmatrix} x\ y end{pmatrix}
Четыре результата применяются для получения координат соответствующих угловых точек на наклонном эллипсе.
Расширение:
- Если вышеуказанный угол относительно горизонтальной оси, как найти координаты точек на соответствующем эллипсе?
Ответ: На самом деле это очень просто, просто нужно:
θ
′
=
{
θ
−
α
+
2
∗
p
i
,
θ
<
α
θ
−
α
,
θ
≥
α
theta'=left{begin{matrix} theta-alpha+2*pi, & theta<alpha \ theta-alpha, & theta geq alpha end{matrix}right.
будетθ
′
theta'
Заменить под стандартным эллипсом вышеθ
theta
Вот и все. - Если вертикальная ось координат направлена вертикально вниз, то есть эллипсом в системе координат изображения, как найти соответствующий угол?
Ответ:
Необходимо внести два изменения:
{
α
→
−
α
y
→
−
y
left{begin{matrix} alpharightarrow -alpha\ yrightarrow -y end{matrix}right.
Изменить первую строку★
bigstar
Внеα
alpha
Вторая строка меняет знак значения y под стандартным эллипсом.
код Matlab
demo.m
################################
center_x=282;
center_y=263;
phi=pi/6;
R1=141;
R2=62;
%DrawEllipse([center_x,center_y],R1,R2,phi);
axis equal;
hold on;
set(gca,'ydir','reverse')
for angle=linspace(0,3*pi/2,360)
[ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle );
plot(px,py,'ro');
hold on;
end
axis([0,500,0,500])
function [ px,py ] = get_points_ellipse(center_x, center_y,phi,R1,R2, angle )
% Найти координаты точки под углом эллипса.
%https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle
%https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467
%https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle
% Другое решение с точки зрения полярных координат.
Параметр% Ellipse Center (center_x.center_y) Угол phi (-pi, pi), фактически учитывает только (0, pi) радиус большой оси R1 вдоль угла и радиус другой главной оси R2
% Найти координаты соответствующей точки на угле (в диапазоне 0-2pi) относительно горизонтальной оси x.
% Обратите внимание, что решаемая система координат: горизонтальная справа - ось x, а вертикальная - ось y. Если вертикальным направлением является ось y, то следующий y должен быть преобразован в -y, и phi становится -phi
% Сначала поверните наклонный эллипс вправо и переместите его в начало координат. Метод состоит в том, чтобы перевести в центр и повернуть угол -ph, а затем использовать стандартный эллипс, чтобы найти точку.
if(angle<phi)
тета = угол-фи + 2 * пи;% Угол к главной оси
else
theta = angle-phi;
end
% тета - угол относительно главной оси
альфа = -phi;% относится к вертикальной оси, если это вертикально вверх, он становится положительным фи
% Сначала вычислите пересечение стандартного эллипса x ^ 2 / R1 ^ 2 + y ^ 2 / R2 ^ 2 = 1 и линии y / x = tan (угол).
assert(angle>=0 && angle<=2*pi);
if(theta==pi/2)
x=0;
y=R2;
elseif(theta==pi*3/2)
x=0;
y=-R2;
elseif(theta>pi/2 && theta<pi*3/2)
x=-R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
y=-R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
else
x=R1*R2/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
y=R1*R2*tan(theta)/sqrt(R2^2+R1^2*tan(theta)^2);
end
y = -y;% относится к вертикальной оси, если оно вертикально вверх, оно становится положительным y
% Преобразовать вышеуказанный результат обратно
px= cos(alpha)*x-sin(alpha)*y+center_x;
py=sin(alpha)*x+cos(alpha)*y+center_y;
end
function DrawEllipse(C,a,b,alpha)
% DRAWELLIPSE plots an ellipse
% DrawEllipse(C,a,b,alpha) plots ellipse with center C, semiaxis a
% and b and angle alpha between a and the x-axis
s=sin(alpha); c=cos(alpha);
Q =[c -s; s c]; theta=[0:0.02:2*pi];
u=diag(C)*ones(2,length(theta)) + Q*[a*cos(theta); b*sin(theta)];
plot(u(1,:),u(2,:));
hold on;
plot(C(1),C(2),'+');
Результат отображается. Начальная точка соответствует углу 0.
Ссылки
- https://math.stackexchange.com/questions/22064/calculating-a-point-that-lies-on-an-ellipse-given-an-angle (Главным образом обратитесь к этому)
- https://stackoverflow.com/questions/17762077/how-to-find-the-point-on-ellipse-given-the-angle (Существует новый вывод из угла преобразования полярной координаты)
- https://blog.csdn.net/xiamentingtao/article/details/54934467
Формула точки на окружности по углу
Формулы для вычисления координат точки
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы выведем формулы для определения координат точки с помощью понятий синуса и косинуса.
Вначале решим типовую задачу на данную тему и на ее примере рассмотрим, как выражаются координаты точки через длину отрезка и угол. Далее выразим координаты вектора и точки через произведение тригонометрических функций и длины отрезка и проанализируем знаки полученных координат.
На примере типовой задачи решим несколько конкретных задач на нахождение координат точки через синус и косинус угла.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
I. Механика
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.
Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.
Разница векторов есть . Так как , получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле
Как найти координаты точки?
О чем эта статья:
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
- Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
- Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
- Ось ординат Oy — вертикальная ось.
- Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
- Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
- верхний правый угол — первая четверть I;
- верхний левый угол — вторая четверть II;
- нижний левый угол — третья четверть III;
- нижний правый угол — четвертая четверть IV;
- Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
- Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
- Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
- Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
- Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
- Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
- Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
- Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
- Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
- Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
перед 4 стоит знак минус. - Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Формулы для вычисления координат точки
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы выведем формулы для определения координат точки с помощью понятий синуса и косинуса.
Вначале решим типовую задачу на данную тему и на ее примере рассмотрим, как выражаются координаты точки через длину отрезка и угол. Далее выразим координаты вектора и точки через произведение тригонометрических функций и длины отрезка и проанализируем знаки полученных координат.
На примере типовой задачи решим несколько конкретных задач на нахождение координат точки через синус и косинус угла.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
Окружность
Привет, друг! Ниже собрана вся информация по окружности: что это такое, как найти ее величины, как круг связан с тригонометрией. Это поможет тебе еще лучше разобраться с этими темами, а также верно решать задачи! Время прочтения — 10 минут.
Что такое окружность?
Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, а ее радиусом называют отрезок, который соединяет любую её точку с центром (все радиусы окружности равны). У окружности также есть диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр.
Выделяют также такое понятие как единичная окружность. Она представляет из себя такую окружность, центр которой располагается в начале координат, а ее радиус равен единице.
Есть еще один вид окружности — числовая. Это обычная единичная окружность, но с уже установленным соответствием между действительными числами и точками.
Как найти длину окружности
Зачастую в задачах просят найти длину окружности, как это сделать?
Так, для того чтобы найти длину окружности, нужно:
- Диаметр этой окружности умножить на , число ≈ 3,1415926535…
- Найти удвоенное произведение радиуса и числа
Формулы:
Где r — это радиус окружности, а d — ее диаметр, а число — это математическая константа (отношение длины окружности к длине ее диаметра)
Чему равен радиус окружности
Радиус окружности необходимо знать, чтобы решить многие задачи, поэтому давай вместе разберем, как его можно найти.
- Через площадь окружности : R=s, где S — площадь круга, — это математическая константа, которая объяснена выше.
- Через длину круга: R=P2, где P — длина круга.
- Через диаметр окружности: R=d2, где d — диаметр.
- Через диагональ вписанного треугольника: R=d2, где d=a2 b2.
- Через сторону описанного квадрата: R= a2, где а — сторона описанного квадрата.
- Через стороны и площадь вписанного треугольника: R=abc4S, где abc — стороны вписанного треугольника, а S — его площадь.
- Через площадь и полупериметр описанного треугольника: R=sp, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
- Через площадь сектора и его центральный угол: R=360Spa, где S — площадь сектора круга, α — его центральный угол.
- Через сторону вписанного правильного многоугольника: R=a2sin(180N), где a — сторона правильного многоугольника (все его стороны равны), N — количество сторон многоугольника.
Окружность в тригонометрии
Окружность используется и в тригонометрии:
Что значат на рисунке все обозначение?
- Присутствует перевод градусов в радианы (и наоборот). В полном круге — 360 градусов ( радиан);
- Значение косинуса угла — на оси Х, а значение синуса — на У;
- Синус и косинус имеют значения от -1 до 1;
- На тригонометрическом круге видно, что косинус как и синус — периодические (один период равен 2).
Что еще важно знать?
Полный круг — 360 градусов.
Точка с координатами (1;0) — угол 0 градусов соответствует углу ноль градусов, а точка с координатами (-1;0) соответствует углу 180 градусов, точка с координатами (0;1) — в 90 градусов.
Косинус угла — абсцисса точки на единичной окружности, которая соответствует приведенному углу.
Синус угла — ордината точки на единичной окружности, которая соответствует приведенному углу.
Потому как окружность единичная, то для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1. Так:
Из этого можно выделить основное тригонометрическое тождество:
cos^2 a + sin^2 a = 1
По рисунку видно, что
,
Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 720 — это два полных оборота по часовой стрелке. Из этого можно сделать такой вывод:
Если же применять в этих формулах не градусы, а радианы, то:
Можно также по рисунку тригонометрической окружности определить тангенс угла и котангенс:
В результате, мы получаем таблицу:
Углы поворота
Угол поворота — это угол, образованный положительным направлением оси OX и лучом OA.
Их величина не имеет зависимости от радиуса приведенной окружности.
Угол в первом квадранте(четверти круга), имеет все положительные значения тригонометрических функций.
Во втором квадранте все функции (кроме sin и cos) — отрицательные.
В третьем квадранте значения всех функций (помимо tg и ctg) меньше 0.
В четвертом квадранте все функции (кроме cos и sec) с отрицательным значением.
[spoiler title=”источники:”]
http://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/formuly-dlya-vychisleniya-koordinat-tochki
http://umschool.net/journal/uchebnik/okruzhnost/
[/spoiler]
