Как найти точку на плоскости конуса

Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Для нахождения недостающих проекций точек на поверхности конуса могут применяться следующие линии, принадлежащие поверхности конуса: окружность — параллель конуса (рис. 2.7, а), прямая — образующая конуса (рис. 2.7, б). Рассмотрим оба способа.

Пример 2.1. На поверхности конуса заданы проекции А₂ и В, (см. рис. 2.7). Найдите недостающие проекции точек Ли В на поверхности конуса.

Рис. 2.7. Нахождение проекций точек на поверхности конуса

Способ 1. На рис. 2.7, а точка А задана проекцией А. Для нахождения недостающих проекций точки А воспользуемся вышеизложенным алгоритмом.

• 1. Через заданную проекцию точки А_г проводим линию, принадлежащую поверхности конуса — параллель.
• 2. Строим проекции параллели на других изображениях конуса. Па виде сверху она представляет собой окружность радиусом R_vна виде слева — отрезок.
• 3. На проекциях линии находим соответствующие проекции точек.
• 4. На пересечении окружности радиусом Л., с вертикальной линией связи, опущенной из А₂, отмечаем проекцию Л,.
• 5. На виде сверху измеряем координату от проекции А, до горизонтальной оси и откладываем ее на проведенной линии связи на виде слева — получаем проекцию Л₃.
• 6. Отмечаем проекцию А._л как невидимую. Проекция А., задана как видимая, следовательно, точка лежит в той части конической поверхности, которая обращена к наблюдателю (на виде сверху это часть, расположенная ниже горизонтальной оси). Таким образом, на виде слева ее проекция не видна.

Способ 2. Па рис. 2.7, 6 точка В задана проекцией В,. Построение недостающих проекций аналогично построению проекций точки А, за исключением того, что вместо окружности используется образующая конуса, пересекающая его основание в точке 1.

Коническая поверхность вращения

Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криво-линейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.

Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.

Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность Конус с двумя параллельными основаниями, т.е. конус со срезанной вершиной, называют усеченным.

Построение проекций прямого кругового конуса

На рис. 4.71 показан пример построения проекций прямою кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения , заданной высотой и основанием радиусом .

Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса, которая представляет собой окружность заданного радиуса с вершиной , совпадающей с осью вращения .

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса:

1. Круг радиуса является невидимой проекцией основания конуса.
2. Круг радиуса с вершиной конуса является видимой проекцией боковой поверхности конуса.
3. Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса и которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник заданной высоты , ограниченный:

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:

1. ‘Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.
2. Выбрать положение базовой оси (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью вращения на профильной проекции конуса.
3. Профильная проекция конуса представляет собой треугольник ограниченный:

слева и справа очерковыми образующими и построенными по координате :

вершиной , лежащей на базовой оси ; горизонтальным отрезком проекцией основания;

профильными проекциями характерных образующих и , которые совпадают с осью вращения конуса .

. Запомните характерные признаки очерков прямого круговою конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника.

. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса окружность основания и две равнобокие трапеции.

Построение проекции точек, лежащих на поверхности конуса

Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.

На рис. 4.71 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и , заданных фронтальными проекциям и но их принадлежности круговым параллелям.

Посфоение горизонтальных проекций заданных точек:

горизонтальные проекции точек и построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекции точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки , по их при надежности круговым параллелям:

Графический алгоритм I:

1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели через заданную фронтальную проекцию точки : проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.

2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели полученным радиусом .

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки на горизонтальной проекции параллели

Повторить действия графического алгоритма 1 и построить аналогично горизонтальные проекции и точек и .

Построение профильных проекций заданных точек. Точки и построены по принадлежности характерным образующим:

точка лежит на видимой характерной образующей , совпадающей с осью конуса;

На рис. 4.72 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки по ее принадлежности образующей .

1. Построение горизонтальной проекции точки по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:

1-е действие. Провести через вершину конуса и заданную невидимую фронтальную проекцию точки вспомогательную образующую

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей проходящей через вершину конуса и вспомогательную точку , лежащую на основании конуса.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки по ее принадлежности образующей .

1. Построение профильной проекции невидимой точки выполняется по принадлежности образующей , построенной но координате .

На рис. 4.72 показано построение фронтальной и профильной проекции точки по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом окружность вспомогательной параллели или вспомогательную образующую , на которых лежит горизонтальная проекция точки .

2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели или вспомогательной образующей :

параллель провести через вспомогательную точку на образующей параллельно основанию конуса;

образующую провести через вспомогательную точку на основании конуса и вершину конуса

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки по ее принадлежности либо параллели , либо образующей .

Конические сечения

Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся):

1-й случаи. Гели секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим (фронтально-проецирующая плоскость , рис. 4.73).

2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность но окружности (горизонтальная плоскость рис. 4.73).

3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей , рис.4.74).

4-и случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость параллельна двум образующим — и , рис.4.75).

5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе, не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ), рис 4.76).

Рассмотрим построение на проекциях конуса линии пересечения для всех пяти случаев сечений.

1-й и 2-й случаи. На рис. 4.73 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью , проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью , расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость пересекает поверхность конуса по образующим , горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки лежащей на основании конуса.

Плоскость пересекает поверхность конуса по окружности радиуса ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 4.74 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , расположенной параллельно одной образующей конуса .

Плоскость пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена)

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:

• проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате ).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 4.75 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью , расположенной параллельно двум образующим конуса и .

Плоскость пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1. 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

На рис 4 75 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости под углом к оси конуса. При плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

5-й ыучай. На рис. 4.76 показано построение проекции конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью пересекающей все образующие конуса под углом к оси, отличным от прямого.

Плоскость пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и про-межуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Почки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции но координате (алгоритм I).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

. Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

Построении проекции прямого конуса со срезами плоскостями частного положения

На рис. 4.77 показан пример построения проекций прямого круговою конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью .

Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания и высоте фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью ;

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выпол-иить графический анализ сечений:

1. Фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей конуса и пересекает его поверхность по участку параболы , которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения плоскостей срезов и .

1. Профильная плоскость параллельна двум образующим конуса и и пересекает его поверхность по участку гиперболы , которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов и и плоскости с основанием конуса (4-4).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

1. Плоскость среза определяет вертикальный видимый отрезок вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки которой лежат на очерковой окружности основания конуса.

. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура:

1. Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок .
2. Внутренний контур определяет видимый участок параболы .

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, пост-роив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы , построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

1. Плоскость среза определяют видимые участки гиперболы , ограниченные видимым отрезком (построен) и видимым отрезком . точки которого построены но координате .

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

1. Профильный очерк определяют:

1. Внутренний контур определяют:

7-е действие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения

При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.

Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.

Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.

Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П₂. Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали f_γ. Точки 1 и 2 пересечения f_γ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.

Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h_0α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.

Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса

Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали h_δ. Строим горизонтальные проекции окружности и прямой h_δ. Их пересечение определяет точки 5′ и 6′ малого диаметра эллипса.

Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7′ и 8′ определяются аналогично 5′ и 6′, как это показано на рисунке.

Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.

Построение натуральной величины сечения методом совмещения

Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след h_0α. Его положение в процессе преобразований останется неизменным.

Построение начинается с определения направления фронтального следа f_1α. На прямой f_0α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E’. Из E’ опустим перпендикуляр к h_0α. Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом X_αE» определяет положение точки E’₁. Через X_α и E’₁ проводим f_1α.

Строим проекцию горизонтали h’_1δ ∥ h_0α, как это показано на рисунке. Точки O’₁ и 5′₁, 6′₁ лежат на пересечении h’_1δ с прямыми, проведенными перпендикулярно h_0α из O’ и 5′, 6′. Аналогично на горизонтали h’_1ε находим 7′₁ и 8′₁.

Строим проекции фронталей f’_1γ ∥ f_1α, f’₃ ∥ f_1α и f’₄ ∥ f_1α. Точки 1′₁, 2′₁, 3′₁ и 4′₁ лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h_0α из 1′, 2′, 3′ и 4′ соответственно.