Проецирование точки
- Подробности
- Категория: Основы начертательной геометрии
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
Образование отрезка прямой линии АА1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости — как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).
Точка — основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.
В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями — фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).
Линия пересечения плоскостей проекций — прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.
Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н — в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.
Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а’и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Аааха’ в пространстве — прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.
Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)
Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).
Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий — точки а и а’ — называются проекциями точки А: а’ — фронтальная проекция точки А, а — горизонтальная проекция точки А.
Линия а’ а называется вертикальной линией проекционной связи.
Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.
Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а’ располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой , а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.
Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а”, получим профильную проекцию точки А.
Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.
Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: хА, уА и zA.
Например, координата zA точки А, равная отрезку а’ах (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аах, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата хА, равная отрезку аау — расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.
Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.
Если заданы координаты точки А (например, хА=20 мм, уА=22мм и zA= 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.
Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату zA и вниз координату уА.Из концов отложенных отрезков — точек az и ау (рис. 88, а) — проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате хА. Полученные точки а’ и а — фронтальная и горизонтальная проекции точки А.
По двум проекциям а’ и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:
1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оау, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки ау1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный zA;
2) из точки ау проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку ау1 и т. д.;
3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку ау1 и т. д.
Изучение
способов построения проекций любых
объектов начинают с изучения
правилпостроения проекций точек. Возьмем
в пространстве две взаимно перпендикулярные
плоскости. Одна из них располагается
горизонтально – ее называют горизонтальной
плоскостью проекций и обозначают буквой
ᴨ1.
Другая плоскость перпендикулярна
горизонтальной и называется фронтальной
плоскостью проекций. Эта плоскость
обозначается буквой ᴨ2
(рис. 1.9). Линияпересечения плоскостей
проекций называется осью проекций. Ось
проекций x разделяет каждую из плоскостей
на две полуплоскости. Четыре двугранных
угла I, II, III, IV, образованныхпри пересечении
плоскостей, называются четвертями или
квадрантами пространства.
Спроецируем
точку А, расположенную в I четверти, на
плоскости проекций 1 и 2.
Горизонтальной
проекцией точки называют прямоугольную
проекцию точки на горизонтальной
плоскости проекций. Горизонтальную
проекцию находим как точку пересечения
перпендикуляра, проведенного из точки
А, с плоскостью ᴨ1
. Обозначим ее символом А’. Проведем
източки А’ в плоскости ᴨ1
перпендикуляр на ось Оx и отметим
вспомогательную точку Ах.
Фронтальной
проекцией точки называют прямоугольную
проекцию точки на фронтальной плоскости
проекций. Фронтальную проекцию находим
как точку пересечения перпендикуляра,
проведенного из точки А, с плоскостью
ᴨ2.
Обозначим ее А”. Опустив перпендикуляр
източки А” в плоскости ᴨ2
на ось Оx, получим вспомогательную точку
Ах.
Рассмотрим
обратную задачу – построение точки А
в пространстве по двум заданным
еепроекциям – горизонтальной А’ и
фронтальной А”. Точку А находим в
пересечении перпендикуляров, проведенных
из проекции А’ к плоскости ᴨ1
и из проекции А” к плоскости ᴨ2.
Эти перпендикуляры пересекутся в
единственной искомой точке А пространства.
Таким
образом, две прямоугольные проекции
точки вполне определяют ее положение
впространстве относительно данной
системы взаимно перпендикулярных
плоскостей проекций –т. е. чертеж
становится обратимым.
Для
получения плоского чертежа точки
необходимо совместить плоскость ᴨ1
с плоскостьюᴨ2
поворотом вокруг оси Оx на угол 90 вниз
по стрелке, как это показано на рис. 1.9.
При этомотрезки АхА” и АхА’ образуют
один отрезок А”А’, перпендикулярный к
оси Оx. Этот отрезок А”А’называется
линией проекционной связи (рис. 1.10). В
результате совмещения плоскостей
проекций получается чертеж, известный
под названием эпюр Монжа (Epure – чертеж
(франц.)). Онбыл назван в честь основоположника
начертательной геометрии французского
ученого ГаспараМонжа. Без обозначения
плоскостей ᴨ1
и ᴨ2
этот чертеж будет выглядеть так, как
это показанона рис. 1.11.
Иногда
двух проекций геометрического элемента
бывает недостаточно, чтобы определитьего
форму и истинные размеры. Тогда выполняют
построение изображения на третьей
плоскости.
Введем
в систему ᴨ1,
ᴨ2
третью плоскость проекций, перпендикулярную
плоскостям ᴨ1
и ᴨ2.
Ее называют профильной плоскостью
проекций и обозначают ᴨ3
(рис. 1.12).
Три
взаимно перпендикулярные плоскости
проекций называются координатными
плоскостями. Они пересекаются по трем
взаимно перпендикулярным прямым Оx, Oy,
Oz, которыеназываются осями координат
и обозначаются x, y, z. Общая точка О –
начало координат.
Плоскости
ᴨ1,
ᴨ2,
ᴨ3,
пересекаясь между собой, делят пространство
на восемь частей, называемых октантами,
как это показано на рис. 1.12. В зависимости
от положения точки относительно
плоскостей проекций ее координаты могут
иметь положительные и отрицательные
значения. Например, в первом октанте
все координаты имеют положительные, а
в седьмом – отрицательные значения.
Соседние файлы в папке НГ 1курс. Лекции
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Проецирование точки на две и три плоскости проекций:
Если из точки А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций 
Они характеризуются координатами, которые численно равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и оси вдоль которых измеряется расстояние, с присвоением индекса самой буквы.
Так, для точки А: 
Плоскость прямоугольника 
, перпендикулярна к: оси x, а линии пересечений плоскостей 
и плоскости 
являются прямыми 
и 
, перпендикулярными к оси х.
Изображение точки и её проекций на рис.3.1 является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики.
Рис. 2.4 Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость , вокруг оси х и совмещают её с плоскостью 
(рис. 3.1), получая таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа)
Проекции 
и 
оказываются на одной линии, которая называется линией проекционной связи. Она перпендикулярна к оси х (рис. 3.2). При проецировании точки А на три плоскости проекций от плоскости 
она отстоит на расстоянии 
(рис. 3.3). При этом, аналогично вышесказанному: 
Для получения плоского чертежа в этом случае уже две плоскости и совмещаются с плоскостью путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция 
точки А находится на пересечении линий связи 
и 
(расстояние 
).
Перенос точки Ау в точку (Aу) – понятен из чертежа, а сам отрезок есть не что иное, как координата YA.
На плоском трёхмерном чертеже положительное направление оси х совпадает с отрицательным направлением оси у, а отрицательное направление оси y – с положительным направлением оси z. 
Это не означает, что модули этих величин обязательно равны между собой, т.е. 
(в частном случае это равенство Ах Ау может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4).
Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А на плоском чертеже лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси x, а фронтальная и профильная проекции точки А на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.
- Заказать чертежи
Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства
Точка, например А, принадлежит:
Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций
Точка А принадлежит:
Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают.
Так, точка А лежит на оси х, если 
совпадает с 
; на оси у, если совпадает с 
, и оси z, если совпадает с .
Правила знаков координат проекции точки
При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0).
Положительное значение координаты у будут иметь точки, находящихся перед фронтальной плоскостью проекций 
, отрицательное – расположенная за ней. Координату у можно откладывать непосредственно от оси х, от точки пересечения осей 0 (вниз – положительное значение, вверх – отрицательное).
Положительное значение координаты z будут иметь точки, расположенные выше горизонтальной плоскости проекций 
, а отрицательное – точки находящиеся ниже . Координату z на чертеже также можно откладывать от оси x, от точки пересечения осей 0 (вверх – положительное значение, вниз – отрицательное). Если рассматривать все восемь октантов пространства, то знаки для всех трёх координат точки (х, у, z) приведены в табл. 3.1
Таблица 3.1 
- Прямая в пространстве и ее изображение на чертеже
- Многогранники
- Поверхности вращения
- Пересечение прямой линии с поверхностью
- Собственные тени поверхностей вращения
- Построение падающих теней
- Проекции с числовыми отметкам
- Гранные поверхности
Лекция № 2. Точка
1. Проекции точки на две плоскости проекций
Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.
Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию а́ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией.
Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С. Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с… Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а́, b́, с́…
Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций — арабскими цифрами 1, 2… и 1́, 2́…
При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.
Через перпендикулярные прямые Аа и Аа́ проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аах, а фронтальную плоскость — по прямой а́ах. Прямые аах и а́ах являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха́ является прямоугольником.
При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а́ будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аах и а́ах не нарушится.
Получаем, что на эпюре проекции а и а́ некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.
Две проекции а и а́ некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а́ к фронтальной плоскости пройдет через точку А, т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.
Рассмотрим прямоугольник Aaaха́ (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:
1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.
Аа́ = аах;
2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а́ от оси пересечения плоскостей, т. е.
Аа = а́ах.
Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.
Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).
Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти — переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость — на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.
При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости — с верхней частью фронтальной плоскости.
На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В — во второй, точка С — в третьей и точка D — в четвертой.
При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.
Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция — ниже оси пересечения плоскостей.
Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.
В некоторых частных случаях точка (Е) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.
В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная ḱ показывает фактическое местонахождение этой точки.
Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.
Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.
Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения. В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.
2. Отсутствие оси проекций
Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.
Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.
При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а́ точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа́.
Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа́ ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а́ до их пересечения, можно получить точку А. При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.
3. Проекции точки на три плоскости проекций
Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.
Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной.
В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей — осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей — осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.
На рисунке 15а показана точка А
Конец ознакомительного фрагмента.
В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.
Проецирование, виды проецирования
Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.
Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.
Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.
Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.
Плоскость проекции – это плоскость, в которой строится изображение.
Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное.
Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.
Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.
Проекция точки на плоскость
Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.
Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.
Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем – плоскость α и точка М1, не принадлежащая плоскости α. Начертим через заданную точку М1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α. Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H1, она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость α. 
В случае, если задана точка М2, принадлежащая заданной плоскости α, то М2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α.
Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.
Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры
Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат Oxyz, плоскость α, точка М1(x1, y1, z1). Необходимо найти координаты проекции точки М1 на заданную плоскость.
Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.
Обозначим проекцию точки М1 на плоскость α как Н1. Согласно определению, H1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a, проведенной через точку М1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α.
Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:
– получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;
– определить уравнение прямой a, проходящей через точку М1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);
– найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М1 на плоскость α.
Рассмотрим теорию на практических примерах.
Определите координаты проекции точки М1 (-2, 4, 4) на плоскость 2х – 3y + z – 2 = 0.
Решение
Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.
Запишем канонические уравнения прямой a, проходящей через точку М1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a. Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2х – 3y + z – 2 = 0. Таким образом, a→ = (2, -3, 1) – направляющий вектор прямой a.
Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М1 (-2, 4, 4) и имеющей направляющий вектор a→ = (2, -3, 1):
x+22=y-4-3=z-41
Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x+22=y-4-3=z-41 и плоскости 2х-3y + z – 2 = 0. В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
x+22=y-4-3=z-41⇔-3·(x+2)=2·(y-4)1·(x+2)=2·(z-4)1·(y-4)=-3·(z+4)⇔3x+2y-2=0x-2z+10=0
Составим систему уравнений:
3x+2y-2=0x-2z+10=02x-3y+z-2=0⇔3x+2y=2x-2z=-102x-3y+z=2
И решим ее, используя метод Крамера:
∆=32010-22-31=-28∆x=220-100-22-31=0⇒x=∆x∆=0-28=0∆y=3201-10-2221=-28⇒y=∆y∆=-28-28=1∆z=32210-102-32=-140⇒z=∆z∆=-140-28=5
Таким образом, искомые координаты заданной точки М1 на заданную плоскость α будут: (0, 1, 5).
Ответ: (0, 1, 5).
В прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства даны точки А(0, 0, 2); В(2, -1, 0); С (4, 1, 1) и М1(-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М1 на плоскость АВС
Решение
В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
x-0y-0z-02-0-1-00-24-01-01-2=0⇔xyz-22-1-241-1=0⇔⇔3x-6y+6z-12=0⇔x-2y+2z-4=0
Далее рассмотрим еще один вариант решения, отличный от того, что мы использовали в первом примере.
Запишем параметрические уравнения прямой a, которая будет проходить через точку М1 перпендикулярно плоскости АВС. Плоскость х – 2y + 2z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами (1, -2, 2), т.е. вектор a→= (1, -2, 2) – направляющий вектор прямой a.
Теперь, имея координаты точки прямой М1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:
x=-1+λy=-2-2·λz=5+2·λ
Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2y + 2z – 4 = 0 и прямой
x=-1+λy=-2-2·λz=5+2·λ
Для этого в уравнение плоскости подставим:
x=-1+λ, y=-2-2·λ, z=5+2·λ
Теперь по параметрическим уравнениям x=-1+λy=-2-2·λz=5+2·λ найдем значения переменных x, y и z при λ=-1: x=-1+(-1)y=-2-2·(-1)z=5+2·(-1)⇔x=-2y=0z=3
Таким образом, проекция точки М1 на плоскость АВС будет иметь координаты (-2, 0, 3).
Ответ: (-2, 0, 3).
Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.
Пусть задана точки М1(x1, y1, z1) и координатные плоскости Oxy, Оxz и Oyz. Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x1, y1, 0), (x1, 0, z1) и (0, y1, z1). Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:
Cz+D=0⇔z=-DC, By+D=0⇔y=-DB
И проекциями заданной точки М1 на эти плоскости будут точки с координатами x1,y1, -DC, x1, -DB, z1 и -DA, y1, z1.
Продемонстрируем, как был получен этот результат.
В качестве примера определим проекцию точки М1(x1, y1, z1) на плоскость Ax+D=0 . Остальные случаи – по аналогии.
Заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и i→= (1, 0, 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz. Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:
x=x1+λy=y1z=z1
Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение Аx+ D = 0 равенства: x=x1+λ, y=y1, z=z1 и получим: A·(x1+λ)+D=0⇒λ=-DA-x1
Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ=-DA-x1:
x=x1+-DA-x1y=y1z=z1⇔x=-DAy=y1z=z1
Т.е., проекцией точки М1(x1, y1, z1) на плоскость будет являться точка с координатами -DA, y1, z1.
Необходимо определить координаты проекции точки М1(-6, 0, 12) на координатную плоскость Oxy и на плоскость 2y-3=0 .
Решение
Координатной плоскости Oxy будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0. Проекция точки М1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты (-6, 0, 0).
Уравнение плоскости 2y-3=0 возможно записать как y=322 . Теперь просто записать координаты проекции точки M1(-6, 0, 12) на плоскость y=322 :
-6, 322, 12
Ответ: (-6, 0, 0) и -6, 322, 12
