Как найти точку опоры в задаче

Привет! В этой статье предлагаю поговорить о реакциях опор, еще известных как опорные реакции. Для успешного освоения курса – «сопротивление материалов», каждый студент должен уметь определять реакции опор, чему учат еще в рамках дисциплины — «теоретическая механика». Но для тех, кто проспал механику на первом курсе, я подготовил данную статью, чтобы каждый желающий мог приобрести навыки по расчету опорных реакций.

Так как этот урок для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику.

В рамках статьи рассмотрим 4 примера: двухопорная балка, загруженная посередине пролёта сосредоточенной силой, такая же балка, но загруженная распределённой нагрузкой, консольная балка и плоская рама.

Что такое реакция опоры?

Чтобы лучше понять, что такое реакция опоры (опорная реакция), давай рассмотрим следующий пример — балку (стержень) лежащую на опорах:

На балку давит нагрузка – сила, в свою очередь, балка давит на опоры. И чтобы балка лежала на опорах (никуда не проваливалась), опоры выполняют свою основную функцию — удерживают балку. А чтобы удерживать балку, опоры должны компенсировать тот вес, с которым балка давит на них. Соответственно, действие опор можно представить в виде некоторых сил, так называемых — реакций опор.

Для балки, и нагрузка, и реакции опор, будут являться внешними силами, которые нужно обязательно учитывать при расчёте балки. А чтобы учесть опорные реакции, сначала нужно научиться определять их, чем, собственно, и займёмся на этом уроке.

Виды связей и их реакции

Связи – это способы закрепления элементов конструкций. Опоры, которые я уже показывал ранее – это тоже связи.

 В этой статье будем рассматривать три вида связей: жёсткая заделка, шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора.

Жёсткая заделка

Жёсткая заделка — это один из вариантов закрепления элементов конструкций. Этот тип связи препятствует любым перемещениям, тем самым для плоской задачи, может возникать три реакции: вертикальная (R_A), горизонтальная (H_A) и момент (M_A).

Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опора

В этой статье будем работать с двумя типами опор: шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной.

В шарнирно-неподвижной опоре возникает две реакции: вертикальная и горизонтальная. Так как опора препятствует перемещению в этих двух направлениях. В шарнирно-подвижной опоре возникает только вертикальная реакция.

Однако, видов связей и их условных обозначений достаточно много, но в рамках этой статьи их все рассматривать не будем. Так как, изученные ранее виды связей, являются основными и практически всегда, при решении задач по сопромату, ты будешь сталкиваться именно с ними.

Что такое момент силы?

Также необходимо разобраться с понятием момент силы.

Момент силы — это произведение силы на плечо. Где плечо — это кратчайшее расстояние от точки до силы, то есть перпендикуляр.

Проиллюстрирую написанное:

Правило знаков для моментов

Также для моментов, нужно задаться каким-то правилом знаков. Я в своих уроках буду придерживаться такого правила:

• если сила относительно точки стремится повернуть ПРОТИВ часовой стрелки, то момент положительный;

• если она стремится повернуть ПО часовой стрелке, то момент отрицательный.

Всю подготовительную информацию дал, теперь будем рассматривать конкретные примеры. И начнём с простейшей расчётной схемы балки.

Определение реакций для двухопорной балки

Возьмём балку, загруженную посередине сосредоточенной силой и опирающейся на шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опору:

Введём систему координат: направим ось x вдоль балки, а ось y вертикально. Обозначим реакции в опорах как H_A, R_A и R_B:

Для тех, кто пришёл сюда, ещё будучи на этапе изучения теоретической механики, а я знаю, таких будет много, важно отметить, что в сопромате не принято указывать знаки векторов над силами.

В термехе же, в обязательном порядке, преподаватель от тебя настойчиво будет требовать указывать знак вектора над всеми силами, вот так:

Условия равновесия системы

Чтобы найти все реакции, нужно составить и решить три уравнения — уравнения равновесия:

Данные уравнения являются условиями равновесия системы. А так как мы предполагаем, что опоры обеспечивают это состояние равновесия (удерживают балку). То составив и решив уравнения равновесия — найдём значения опорных реакций.

Первое уравнение называется уравнением проекций — суммой проекций всех сил на координатную ось, которая должна быть равна нулю. Два других уравнения называются уравнениями моментов — суммами моментов всех сил относительно точек, которые должны быть равны нулю.

Уравнения равновесия

Как видишь, чтобы научиться находить реакции опор, главное — научиться правильно составлять уравнения равновесия.

Уравнение проекций

Запишем первое уравнение — уравнение проекций для оси x.

В уравнении будут участвовать только те силы, которые параллельны оси x. Такая сила у нас только одна — H_A. Так как H_A направлена против положительного направления оси x, в уравнение её нужно записать с минусом:

Тогда H_A будет равна:

Поздравляю, первая реакция найдена!

Уравнения моментов

А теперь самое интересное…запишем уравнение моментов, относительно точки A, с учётом ранее рассмотренного правила знаков для моментов.

Так как сила F поворачивает ПО часовой стрелке, записываем её со знаком «МИНУС» и умножаем на плечо.

Так как сила R_B поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, пишем её со знаком «ПЛЮС» и умножаем на плечо. И, наконец, всё это приравниваем к нулю:

Из полученного уравнения выражаем реакцию R_B:

Вторая реакция найдена! Третья реакция находится аналогично, но только теперь уравнение моментов записываем относительно другой точки:

Проверка правильности найденных опорных реакций

Чем хороши задачи на определение реакций, так это тем, что правильность расчёта реакций легко проверить. Для этого достаточно составить дополнительное уравнение равновесия, подставить все численные значения и если сумма проекций сил или сумма моментов будет равна нулю, то и реакции, значит, найдены — верно, а если нет, то ищем ошибку.

Составим дополнительное уравнение проекций для оси y и подставим все численные значения:

Как видишь, реакции опор найдены правильно.

Определение реакций опор для балки с распределенной нагрузкой

Теперь рассмотрим балку, загруженную распределенной нагрузкой:

Перед тем как посчитать реакции опор, распределенную нагрузку нужно «свернуть» до сосредоточенной силы. Если умножить интенсивность q на длину участка, на которой действует нагрузка, получим силу Q. Сила Q будет находиться ровно посередине балки, как и сила F в нашем первом примере:

Подробно комментировать нахождение реакций в опорах здесь, не буду. Просто приведу решение:

Расчёт реакций для консольной балки

Давай рассмотрим теперь пример с жёсткой заделкой – консольную балку. Заодно посмотрим, как учесть силу, приложенную под углом (α = 30^°).

Силу, направленную под определённым углом, нужно разложить на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. А их значения найти из силового треугольника:

Покажем реакции в заделке и выполним расчёт:

Для этой задачи выгоднее использовать другую форму условий равновесия:

А выгодна она тем, что из каждого записанного уравнения будем сразу находить реакцию:

Не пугайся отрицательного значения реакции! Это значит, что при указании реакции, мы не угадали с её направлением. Расчёт же показал, что M_A, направлена не по часовой стрелке, а против.

В теоретической механике, когда реакции получают с «минусом» обычно не заморачиваются и не меняют их направление на схеме, так и оставляют в ответе отрицательное значение, оговаривая, что да реакция найдена, но с учётом знака, на самом деле направлена в другую сторону. Потому что найденные реакции в задачах на статику, являются конечной точкой расчёта.

У нас же, в сопромате после нахождения опорных реакций, всё только начинается. Найдя реакции, мы всего лишь находим ВСЕ силы действующие на элемент конструкции, а дальше по сценарию стоит задача определить внутренние усилия, возникающие в этом элементе, расчёты на прочность и т. д. Поэтому на схеме, обязательно следует указывать истинное направление реакций. Чтобы потом, когда будут рассчитываться внутренние усилия ничего не напутать со знаками.

Если получили отрицательное значение, нужно отразить это на схеме:

С учётом изменений на схеме реакция будет равна:

Сделаем проверку, составив уравнение равновесие, ещё не использованное – сумму моментов относительно, скажем, точки B, которая, при правильном расчёте, конечно, должна быть равна нулю:

Если не менять направление реакции, то в проверочном уравнении нужно учесть этот «минус»:

Можешь посмотреть еще один пример, с похожей схемой, для закрепления материала, так сказать.

Реакции опор для плоской рамы

Теперь предлагаю выполнить расчёт плоской рамы. Для примера возьмём расчётную схему, загруженную всевозможными видами нагрузок:

Проводим ряд действий с расчетной схемой рамы:

• заменяем опоры на реакции;
• сворачиваем распределенную нагрузку до сосредоточенной силы;
• вводим систему координат x и y.

Выполняем расчёт реакций опор:

Меняем направление реакции R_A:

В итоге получили следующие реакции в опорах рамы:

Осталось проверить наши расчеты! Для этого предлагаю записать уравнение моментов, относительно точки B. И если, эта сумма будет равна нулю, то расчет выполнен верно:

Как видим, расчет реакций выполнен правильно!

Как найти точку опоры

Рычаг – это простейший механизм, известный нашим предкам с незапамятных времен, он представляет собой твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки – точки опоры. Рычаг служит для получения выигрыша в силе, для совершения работы или для изменения направления приложения силы. В качестве рычага может выступать обычная палка, лом, доска. Разновидностью рычага являются также ворот и блок. И способы поиска точки опоры в зависимости от этого могут быть различны.

Вам понадобится

• – рычаг;
• – грузы;
• – динамометр;
• – линейка.

Инструкция

Вектор силы F, приложенной к рычагу, лежит на прямой, которая называется линией действия силы. Кратчайшее расстояние от этой линии до точки опоры – плечо силы L. Рычаг находится в равновесии при условии, что отношение приложенных к нему сил обратно пропорционально отношению плеч этих сил: F1/F2=L2/L1 (формула 1). Таким образом, точку опоры можно найти, если известны силы F1 (нагрузка), F2 (прилагаемое усилие) и длина самого рычага L.

При помощи динамометра измерьте величину сил F1 и F2 в ньютонах. Линейкой измерьте длину рычага L и запишите значение в метрах.

Нахождение точки опоры для рычага 1 рода. Такой рычаг еще называют «Коромысло» или «Весы». Линии действия сил находятся по разные стороны от оси вращения рычага. Примером такого рычага будут качели, ножницы, клещи. В этом случае L=L1+L2. Выразите длину одного из плеч рычага через длину другого плеча и длину всего рычага: L2=L-L1 (формула 2).

Подставьте формулу 2 в формулу 1: F1/F2=(L-L1)/L1 (формула 3). Из формулы 3 путем преобразований выразите L1: L1=F2*L/(F1+F2) (формула 4). Подставьте соответствующие значения F1, F2 и L в формулу 4 и вычислите значение L1. От точки приложения силы F1 отложите полученную длину L1 и сделайте засечку. Это и будет искомая точка опоры рычага 1 рода.

Нахождение точки опоры для рычага 2 рода. Такой рычаг носит название «Тачка». В данном случае силы действуют по одну сторону от точки опоры, причем усилие F2 оказывается на свободный конец рычага. По такому принципу работают щипцы для колки орехов, тачки. В данном случае точкой опоры является тот конец рычага, который ближе к точке приложения нагрузки, силы F1.

Нахождение точки опоры для рычага 3 рода. Такой рычаг называется «Пинцет». Здесь силы тоже действуют по одну сторону от точки опоры, как и в рычаге 2 рода. Но усилие F2 приложено между осью вращения рычага и нагрузкой F1. Такая схема используется при работе человеческого предплечья, пинцета. В данном случае точка опоры – это конец рычага противоположный нагрузке.

Видео по теме

Обратите внимание

Если в качестве рычага выступают ворот или неподвижный блок, то точкой опоры является ось вращения. У подвижного блока точка опоры расположена на противоположной стороне от точки приложения усилия.

Полезный совет

При вычислениях одни и те же физические величины измеряйте в одинаковых единицах: силу – в ньютонах, длину – в метрах.

Источники:

• Физика (для углубленного изучения), Е.И. Бутиков, А.С Кондратьев, В.М. Уздин, 2004

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Определением реакций опор называют расчет величины и направления реактивных (т.е. ответных) сил и моментов, возникающих в опорах конструкций под действием системы заданных внешних нагрузок.

В рассмотренных ниже примерах, для наглядности, заданные внешние нагрузки показаны синим или зеленым цветом, а реакции опор — красным или оранжевым.

При решении задач, определяемые реакции опор могут обозначаться по разному:

1. буквой R (от англ. Reaction). В этом случае, для уточнения точки приложения и направления силы могут добавляться соответствующие индексы (например, R_A^y — это реакция в точке A направленная вдоль оси Y);
2. буквами V (Vertical) и H (Horizontal) обозначаются соответственно вертикальная и горизонтальная составляющие полной реакции (например, H_B — это реакция в точке B направленная вдоль оси балки);
3. Также возможно обозначение реакций по осям координат — Y_A, X_B и т.д.

Рассмотрим решение всех типов задач по расчету величины и направления опорных реакций в заделках, шарнирных опорах и стержнях:

Примеры нахождения реакций опор

Примеры нахождения реакций опор для различных способов закрепления и нагружения бруса, балок, рам и других элементов конструкций.

Реакции опоры и стержня системы

Невесомая балка удерживается в горизонтальном положении шарнирно-неподвижной опорой в т. A и вертикальным стержнем BC.
В точке D к балке приложена сосредоточенная сила F=30кН под углом 50°.

Требуется найти реакции, возникающие в опоре A и стержне BC.

Решение
Для решения задачи, покажем систему координат x-y и зададим произвольное направление реакций.

В точке A реакция в опоре раскладывается на две составляющие — вертикальную V_A и горизонтальную H_A.
Реакция в стержне (R_B) всегда направлена вдоль самого стержня.

Для определения трех реакций требуется три уравнения равновесия.
Это будут два уравнения суммы моментов относительно точек в опорах и сумма проекций всех сил на ось x равные нулю.
Составим их:

Из полученных уравнений выражаем и находим искомые реакции опор

Вертикальная реакция в опоре A получилась отрицательной, это значит что она направлена в противоположную сторону.
Направляем ее вниз, изменив знак на «плюс».

Выполним проверку найденных реакций, проецируя все силы на ось y.

Равенство нулю суммы проекций всех сил и реакций показывает то, что реакции опор найдены верно.

Таким образом, заданная балка удерживается в равновесии под действием одной активной и трех реактивных сил.

Расчет реакций опор балки

Простая балка на двух шарнирных опорах нагружена системой усилий, включающей силу F=60кН, приложенную под углом 40°, момент M=45кНм и равномерно распределенную нагрузку q=18кН/м.

Требуется определить реакции в опорах A и C.

Решение
Вычерчиваем заданную схему в масштабе, показываем численные значения нагрузок, систему координат x-y и задаем произвольное направление реакций.

Здесь, в шарнирно-подвижной опоре будет только одна составляющая реакции.

Для упрощения решения, распределенную нагрузку можно заменить её равнодействующей, которая при равномерном распределении q будет приложена по её центру


а силу F можно разложить на составляющие, спроецировав её на оси x и y.

В следющих примерах эти действия выполнять не будем, проводя вычисления напрямую со значениями q и F.

Аналогично тому, как это делалось при решении предыдущей задачи, записываем уравнения равновесия балки: нулевые суммы моментов всех нагрузок и искомых реакций относительно опор

и проекций сил на ось балки

Откуда находим все три опорные реакции

Все результаты положительны, следовательно, направление реакций было выбрано верно.

Проверяем найденные значения.

Величина реакций рассчитана правильно.

Подробное решение данного типа задач

Остальные задачи по определению опорных реакций с детальным разбором выполняемых действий:

При растяжении-сжатии стержней

Определение реакций в опорах стержней и стержневых систем при действии продольных сил.

• Расчет опорной реакции при растяжении-сжатии
• Расчет опорной реакции ступенчатого бруса
• Опорная реакция в заделке стержня с продольно распределенной нагрузкой

При кручении

Примеры расчета опорных моментов и реакций в подшипниках вала при кручении.

• Определение неизвестного крутящего момента вала
• Определение реакций подшипников пространственно нагруженного вала
• Расчет уравновешивающего момента вала

При изгибе балок и рам

Определение реакций в шарнирных опорах и заделках консольных балок и рам при действии систем внешних сил, моментов и распределенных нагрузок.

• Определение реакций в опорах двухопорной балки
• Расчет опорных реакций консольной балки
• Определение опорных реакций в жесткой заделке при изгибе
• Определение реакций опор балки, когда сила приложена под углом
• Проверка опорных реакций балки
• Расчет реакций в опорах рамы
• Определение опорных реакций балки (Видео)

Наш короткий видеоурок по расчету реакций опор балки:

Другие видео

Другие примеры определения реакций опор

Расчет реакций в опорах нестандартных систем.

• Определение реакции шарнира и опоры
• Реакции в шарнирах
• Реакции опор и шарнира
• Расчет веса противовеса и реакций в шарнирах
• Величина груза обеспечивающая равновесие и реакции в подшипниках
• Определение усилий в стержнях
• Натяжение троса и реакция опоры
• Реакции опор в точках системы
• Опорные реакции невесомой конструкции
• Опорные реакции в скользящей заделке
• Давление в шарнире и реакции в бискользящей заделке
• Реакции в скользящей заделке
• Расчет усилия в стержне

Типы опор и их реакции

В механике различают тела свободные: возможность перемещения, которых в любом направлении ничем не ограничена, и несвободные, когда перемещение данного тела ограничивают другие тела.

Сами тела ограничивающие свободу перемещения данного тела называют опорами (связями), а силы, с которыми опоры удерживают данное тело в равновесии, называют реакциями опор.

Направление реакций зависит от вида опор и схемы нагружения.

При решении задач очень важно правильно заменить опоры их реакциями, иначе записанные уравнения равновесия окажутся неверными.

И здесь важно помнить о том, что реакции могут появляться только по тем направлениям, в которых перемещение невозможно.

Рассмотрим определение реакций в основных типах опор:

Другие видео

Реакция гладкой поверхности

Пусть некоторое тело опирается на гладкую поверхность.

Здесь перемещение тела возможно только вдоль поверхности.
Движение перпендикулярно ей исключено.

Потому что перемещению в сторону поверхности препятствует сама поверхность, а при движении от нее нарушится сама связь.
Таким образом, гладкая поверхность препятствует перемещению тела только в направлении нормали, поэтому реакция гладкой поверхности всегда направлена по нормали к этой поверхности.

При взаимодействии криволинейных поверхностей аналогично, реакция направлена нормально к касательной в точке контакта тел.

То же самое будет при контакте в двух точках.

Реакция ребра

В случае, когда прямая балка опирается на ребро, реакции будут направлены перпендикулярно опираемой или опирающейся плоскости в точке их касания.

При повороте балки реакция всегда будет оставаться нормальной к соответствующей поверхности.

Гибкая связь

Для тела, подвешенного на нерастяжимой нити или тросе, связь не позволяет телу удаляться от точки подвеса в направлении самой нити.
Поэтому реакция гибкий связи будет направлена всегда только вдоль самой нити.

Реакции в стержнях

Как и в предыдущем пункте, в стержнях, которые с помощью шарниров соединяют какие-либо элементы с опорами, реакции направлены вдоль самих стержней.

Но в отличие от нитей, здесь может быть одно из двух направлений: растягивающее стержень или сжимающее его.

Реакции в шарнирных опорах

На плоскости возможны только три направления перемещения:
Линейные — вдоль осей x и y, и вращение относительно оси Z.

Поэтому в двумерных системах каждая опора может давать не более трех реакций.
Если свободное тело закрепить шарнирно-неподвижной опорой, которая допускает вращение, но исключает любые линейные перемещения, то в такой опоре могут возникать две реакции.

Они являются осевыми проекциями полной реакции опоры, которая может быть найдена как корень из суммы квадратов её составляющих.
Направление вектора полной реакции зависит от схемы нагружения элемента.

Встречаются разные способы изображения шарнирно-неподвижных опор в расчетных схемах.
В шарнирно-подвижных опорах, помимо вращения возможно линейное перемещение вдоль поверхности, поэтому здесь будет только одна, нормальная к поверхности, составляющая реакции, которая по направлению и величине будет совпадать с полной.

У таких опор так же существуют дополнительные варианты схематичного изображения.
Пример направления реакций опор для балки на двух шарнирных опорах.

Реакции в заделках

Вид связи, при котором брус жестко закреплен в опоре называется глухой заделкой.
В этом случае исключены любые перемещения элемента.

Поэтому в плоских заделках может возникать до трех реакций: горизонтальная и вертикальная составляющие полной реакции, а также момент.
Скользящая заделка допускает линейное перемещение вдоль одной из осей.

Следовательно, по этой оси реакции не будет.
В бискользящей заделке исключается только угловое перемещение элемента.

Здесь из реакций будет один момент.

Реакции опор в трехмерных системах

В пространстве возможно уже шесть направлений движения:
Поступательные вдоль каждой из осей и вращение относительно них.

Поэтому в трехмерных системах опоры могут давать до шести реакций.
Шкив на валу, закрепленном подшипниками, может вращаться относительно продольной оси вала.

Любые другие перемещения невозможны.
В силу конструктивных особенностей подшипников моментов в них не возникает.
Здесь имеют место только реактивные силы.
В радиальном подшипнике (который справа) все реакции поперечны оси вала.
В радиально-упорном (который слева) добавляется еще и продольная.

В трехмерном шарнире исключены любые линейные перемещения и возможны только повороты относительно трех осей, что дает до трех составляющих полной реакции R.

В жесткой заделке при общем случае нагружения может возникать до шести реакций: трёх сил и трех моментов.

Пример замены опор их реакциями для трехмерной системы:

Порядок расчета опорных реакций

В рассмотренных выше примерах при определении реакций в опорах выполняется следующая последовательность действий:

1. Вычерчивается (в масштабе) расчетная схема элемента с указанием всех размеров и приложенных внешних нагрузок;
2. Выбирается система координат и обозначаются характерные сечения бруса;
3. Определяется количество и возможное направление связей;
4. Записываются уравнения статики (по количеству неизвестных реакций);
5. Из уравнений равновесия находим величину и направление (по знаку) опорных реакций.

После расчетов выполняется проверка найденных значений.
Более подробно порядок расчета опорных реакций рассматривается в разделе «Статика» теоретической механики.

Другие примеры решения задач >

Материалы для скачивания

Рейтинг ↑ не забываем

Порядок действий при демонтаже кондиционеров (посмотреть)

Свод правил вентиляции и кондиционирования 2017 год (посмотреть)

Условные обозначения систем вентиляции и кондиционирования (посмотреть)

Требования к пожарной безопастности по вентиляции и кондиционированию (посмотреть).

Ответы на задачи по технической механике

Если Вы не нашли свой вариант ответа, обращайтесь перейдя по ссылке в группу ВК опубликовав Ваши задачи прям в ленту группы ,по возможности постараемся Вам помочь. На данной странице не все ответы, перейдя по ссылке попадаете на другую страницу с ответами

Задача № 29 Найти реакцию опор

Ответ к задачи №29

Задача № 20 Натяжка троса

Ответ к задачи № 20

Задача №7 Найти реакцию опор

Ответ к задаче №7

Задача № 9 Распределение нагрузки

Ответ к задачи № 9

Задача № 11 Определить координаты центра тяжести сечения

Ответ к задачи № 11 С решением

Задача № 12 Найти реакцию опор

Ответ к задачи №12

Задача № 13 Решить графически

Ответ к задаче №13

Задача № 33 Решить графически

Ответ к задачи № 33

Задача № 33 Силы давящие на шар

Ответ к задачи № 33 Силы давящие на шар

Задача № Задача №21 Определить координат центра тяжести

Ответ к задаче № 21 Определить координат центра тяжести

Ответ № 21 /2 Определить координат центра тяжести 30А Ответ на координат центр тяжести № 21 -27

Задача № 20 Определить опорные реакции балки.Проверить правильность их определения

Ответ к задачи № 20 Определить опорные реакции балки.Проверить правильность их определения

Задача № 22 Задача № 22 найти R(a) и R(b)

Ответ к задачи Задача № 22 найти R(a) и R(b)

Задача Определить координаты центра тяжести сечения.Показать положение центра тяжести на чертеже

Ответ к задачи Определить координаты центра тяжести сечения.Показать положение центра тяжести на чертеже

Задача № 10 Найти реакцию опор

Ответ к задачи №10 Найти реакцию опор

Задача № 16 Определить опорные реакции балки.Проверить правильность их определения

Ответ к задачи № 16

Задача № 22 Определить опорные реакции балки. Проверить правильность их определения

Ответ к задачи № 22 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения

Задача № 27 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения

Ответ к задачи № 27 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения

Задача № 26 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения

Ответ к задачи № 26 Определить опорные реакции балки Проверить правильность их определения

Вариант 32 задача № 1Определить опорные реакции балки на двух опорах. Проверить правильность их определения

Ответ к варианту 32 задача №1Определить опорные реакции балки на двух опорах. Проверить правильность их определения

Вариант 32 задача №2 Определить координаты центра тяжести сечения Показать положение центра на чертеже

Ответ к варианту 32 №2 Определить координаты центра тяжести сечения Показать положение центра на чертеже

Решение к варианту 32 № 2

Вариант 24 задача № 2 Определить координаты центра тяжести сечения Показать положения центра тяжести на чертеже

Ответ к варианту 24 задача № 2 Определить координаты центра тяжести сечения

Задача Указать положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба

Ответ к задачи Указать положение центра тяжести на рисунке, придерживаясь определенного масштаба

Задача – Определить величину и направления реакцию связей

Ответ к задаче -Определить величину и направления реакций связей

Задача- Определить опорные реакции балки на 2-х опорах

Ответ к задачи Определить опорные реакции балки на 2-х опорах

Задача № 9 Найти центр тяжести

Ответ к задаче № 9 найти центр тяжести

Найти центр тяжести

Решение к задаче Найти центр тяжести

Решение к задаче № 7

28 задача Определить положение координаты центра тяжести

Ответ к 28 задачи Определить положение координаты центра тяжести

Ответ к задаче – Момент силы относительно точки

Задача – Понятие о внецентренном растяжении ( сжатии)

Ответ к задаче – Понятие о внецентренном растяжении ( сжатии)

Ответ к заданию для Натальи Добринской

Рисунок Д вариант чисел 1 Задача

ПЕРЕХОДИ НА ДРУГУЮ СТРАНИЦУ САЙТА

ОТВЕТЫ ПО ТЕХ-МЕХУ НА СЛЕДУЮЩЕЙ СТРАНИЦЕ

Мы занимаемся установкой систем вентиляции и кондиционирования в Подольске с 2009 года, затем география наших услуг расширилась до городов Щербинка, Чехов, Серпухов, Домодедово.

Сейчас наши специалисты выезжают в города по всей Московской области. Квалификация подтверждается ежегодно, путём прохождения аттестации в климатических компаниях мировых лидеров.

Полученные знания и навыки позволяют нам найти и решить проблему любой сложности.

Наши цены Вас приятно удивят!

Монтаж кондиционера или вентиляционного оборудования можно заказать по телефонам в Подольске, Чехове, Щербинке и других городах Московской области

О Компании

Климатическая техника сегодня – уже не роскошь, а иногда, это даже потребность и необходимость. Чтобы Ваш дом был полон заботы и комфорта, кондиционер – одна из его немногих составляющих.

Меню опросов

Контакты

Адрес: МО, Г.о. Подольск,
Железнодорожная 2б, офис1

Теоретическая механика. В помощь студенту

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики

Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.

Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.

Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.

Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.

Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).

Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила — действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.

Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.

Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.

Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.

Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.

Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.

Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).

Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.

Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.

Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.

Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.

Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: .

Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.

Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
.

Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
.

Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.

Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.

Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.

Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.

Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.

Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.

Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна:

Закон 5 (закон равенства действия и противодействия). Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие — сила, приложенная к телу Б, и противодействие — сила, приложенная к телу А, не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.

Закон 6 (закон отвердевания). Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.

Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Момент силы относительно точки
• Абсолютное значение момента равно произведению модуля силы на кратчайшее расстояние h от центра вращения до линии действия силы. Расстояние h называют плечом силы.
• Момент считают положительным, если сила стремится вращать плечо h против хода часовой стрелки и отрицательным при вращении по ходу часовой стрелки.
• Свойства момента силы относительно точки:
  1) Момент силы не изменится при переносе точки приложения силы вдоль линии действия силы.
  2) Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку приложения силы.
  3) Момент равнодействующей силы относительно точки равен сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки.
  ,
  где

Момент силы относительно оси
• Момент силы относительно оси — это момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.
  Момент считается положительным, если с положительного конца оси поворот, который сила стремится совершить, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.
• Чтобы найти момент силы относительно оси, нужно:
  1) Провести плоскость перпендикулярную оси z.
  2) Спроецировать силу на эту плоскость и вычислить величину проекции .
  3) Провести плечо h из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы и вычислить его длину.
  4) Найти произведение этого плеча и проекции силы с соответствующим знаком.
• Свойства момента силы относительно оси.
  Момент силы относительно оси равен нулю, если:
  1) , то есть сила параллельна оси.
  2) h=0, то есть линия действия силы пересекает ось.

Момент пары сил
• Момент пары сил равен произведению одной силы на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары, которое называется плечом пары (пара сил оказывает на тело вращающее действие)
  ,
  где: — силы, составляющие пару;
  h — плечо пары.
  Момент пары считают положительным, если силы стремятся вращать плечо против хода часовой стрелки.
• Свойства пары сил.
  1) Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю.
  2) Не изменяя момента пары можно одновременно соответственно изменять значение сил и плечо пары.
  3) Пару можно переносить в плоскости ее действия при этом действие пары на тело не изменится.

Преобразование сходящейся системы сил
• Равнодействующая двух сходящихся сил находится на основании аксиомы о параллелограмме сил.
  Геометрическая сумма любого числа сходящихся сил может быть определена путем последовательного сложения двух сил – способ векторного многоугольника.
  Вывод: система сходящихся сил () приводится к одной равнодействующей силе .
• Аналитически равнодействующая сила может быть определена через ее проекции на оси координат:

  Согласно теореме: проекция равнодействующей на ось равна сумме проекций слагаемых сил на эту ось: , или в общем виде
  С учетом равнодействующая определяется выражением:
  .

• Направление вектора равнодействующей определяется косинусами углов между вектором и осями x, y, z:

Преобразование произвольной системы сил
• Теорема: силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, перенести параллельно в другую точку тела, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую она переносится.
  В результате указанного преобразования получается сходящаяся система сил и сумма моментов пар сил. Действие сходящейся системы сил заменяют действием суммарной силы, действие моментов — суммарным моментом.
  Суммарный вектор — это главный вектор системы сил.
  Суммарный момент — это главный момент системы сил.
  Вывод: произвольная система сил в результате тождественного преобразования приводится к главному вектору и главному моменту системы сил.
• Аналитически главный вектор и главный момент системы сил могут быть определены через их проекции на оси координат:
  ,

Условия равновесия систем сил
• Равновесие системы сходящихся сил
  Действие системы сходящихся сил эквивалентно действию одной равнодействующей силы.
  Для равновесия тела необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю .
  Из формулы следует, что для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y,Z равнялась нулю:
• Для равновесия плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси X,Y равнялась нулю:

Равновесие произвольной системы сил.
• Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. Для равновесия необходимо и достаточно выполнения условия:
  .
• Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси X,Y,Z и суммы моментов всех сил относительно осей X,Y,Z равнялись нулю:
• Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций главного вектора на оси X,Y, и алгебраическая сумма моментов сил относительно центра О были равны нулю:

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики

Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.

Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.

Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.

Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Способы задания движения точки
• Задать движение точки — значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существуют три основные системы отсчета: векторная, координатная, естественная.
• В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором.
  Закон движения: .
• В системе координат OXYZ положение точки задается тремя координатами X, Y, Z.
  Закон движения: x = x(t), y = y(t); z = z(t).
• В естественной системе отсчета положение точки задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории.
  Закон движения: .
  Движение точки, при естественном способе задания движения, определено если известны:
  1) Траектория движения.
  2) Начало и направление отсчета дуговой координаты.
  3) Уравнение движения.
  При естественном способе задания движения, в отличии от других способов, используются подвижные координатные оси, движущиеся вместе с точкой по траектории. Такими осями являются:
  Касательная (τ) – направлена в сторону возрастания дуговой координаты по касательной к траектории.
  Главная нормаль (n) – направлена в сторону вогнутости кривой.
  Бинормаль (b) – направлена перпендикулярно к осям τ, n.

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод:скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной:производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Ускорение точки
• По определению ускорение характеризует изменение скорости, то есть скорость изменения скорости.
• Ускорения точки в векторной системе отсчета
  На основании свойства производной:
  .
  Вектор скорости может изменяться по модулю и направлению.
  Вектор ускорения направлен по линии приращения вектора скорости, т. е. в сторону искривления траектории.
• Ускорение точки в координатной системе отсчета
  Ускорение изменения координат точки равно производной по времени от скоростей изменения этих координат:
  .
  Полное ускорение в прямоугольной системе координат будет определяться выражением:
  .
  Направляющие косинусы вектора ускорения:
  .
• Ускорение точки в естественной системе отсчета Приращение вектора скорости можно разложить на составляющие, параллельные осям естественной системы координат:
  .
  Разделив левую и правую части равенства на dt, получим:
  ,
  где — тангенциальное ускорение;
  — нормальное ускорение;
  R — радиус кривизны траектории в окрестности точки.

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема:при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
  Вывод:поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М, то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R. За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Плоско-параллельное движение твердого тела
• Плоско-параллельное движение твердого тела — это движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости.
  Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений:
  1) поступательного и вращательного;
  2) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.
• В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса.
  В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.
  Уравнения движения запишутся в виде:
  .
  Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.
• Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P.
  В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения:
  .
  Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.
  .
• Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:
  1) вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;
  2) модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения ();
  3) скорость в центре вращения равна нулю.
• Теорема:проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены.
  Доказательство: расстояние АВ изменяться не может, следовательно, не может быть больше или меньше .
  Вывод:.

Сложное движение точки
• Относительное движение — это движение точки относительно подвижной системы.
  Переносное движение — это движение точки вместе с подвижной системой.
  Абсолютное движение — это движение точки относительно неподвижной системы.
  Соответственно называют скорости и ускорения:
  — относительные;
  — переносные;
  — абсолютные.
• Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей (согласно теореме о сложении скоростей):
  .
  Абсолютное значение скорости определяется по теореме косинусов:
  .
• Ускорение по правилу параллелограмма определяется только при поступательном переносном движении
  .
  .
• При непоступательном переносном движении появляется третья составляющая ускорения, называемое поворотным или кориолисовым.
  ,
  где .
  Кориолисово ускорение численно равно:
  ,
  где – угол между векторами и .
  Направление вектора кориолисова ускорения удобно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, проекцию повернуть на 90 градусов в сторону переносного вращения. Полученное направление будет соответствовать направлению кориолисова ускорения.

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики

Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.

Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).

Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.

Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:

где m_k, x_k, y_k, z_k — масса и координаты k-той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.

Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:

Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:

Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела.

Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt:
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
.

Элементарная работа силы — это скалярная величина dA, равная скалярному произведению вектора силы на бесконечно малое перемещение .
Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между направлениями векторов:
,
где α — угол между направлениями векторов перемещения и силы.

Работа силы на конечном перемещении точки её приложения равна интегралу от элементарной работы, взятому по перемещению:
.
Единица измерения работы — Джоуль (1 Дж = 1 Н·м).

Количество движения материальной точки — это векторная величина , равная произведению массы m на её скорость :
.

Количество движения механической системы равно векторной сумме количества движения её точек.
или
,
где m — масса механической системы, — вектор скорости центра масс системы.

Кинетическая энергия материальной точки — это скалярная величина Т, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости:
.

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её точек:
.

Аксиомы динамики
• Первая аксиома — это закон инерции.
  Если на свободную материальную точку не действуют никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
• Вторая аксиома — закон пропорциональности ускорения.
  Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением силы: — это основной закон динамики.
• Третья аксиома — это закон противодействия.
  Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны:
  .
• Четвертая аксиома — закон независимости действия сил.
  При действии на материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений от действия каждой силы:

Дифференциальные уравнения динамики
• Дифференциальные уравнения движения точки связывают ускорение точки с действующими на нее силами. Фактически дифференциальные уравнения являются записью основного закона динамики в явной дифференциальной форме.
  Для абсолютного движения точки (движение в инерциальной системе отсчета) дифференциальное уравнение имеет вид:
  .
• Векторное уравнение может быть записано в проекциях на оси прямоугольной инерциальной системы координат:
• При известной траектория движения точки уравнение может быть записано в проекциях на оси естественной системы координат:

  С учетом того, что ,
  где — тангенциальное ускорение;
  — нормальное ускорение,
  уравнения примут вид:

Общие теоремы динамики
• Общие теоремы динамики устанавливают зависимость между мерами механического движения и механического взаимодействия. Выводы теорем являются результатом тождественного преобразования основного закона динамики.
• Теорема об изменении количества движения: изменение количества движения материальной точки (механической системы) за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени — для материальной точки;
  — для механической системы.
• Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки (механической системы) при её перемещении равно сумме работ всех действующих внешних сил на этом перемещении — для материальной точки;
  — для механической системы.
• Кинетическая энергия механической системы определяется в соответствии с , при этом для твердых тел выведены следующие зависимости:
  — при поступательном движении тела;
  — при вращательном движении тела;
  — при плоско-параллельном движении тела.
• Момент инерции цилиндра относительно его оси:
  .
• Момент инерции стержня относительно оси z:
  .
• Момент инерции прямоугольной пластины относительно осей х и y: .
• Момент инерции шара определяется по формуле:
  .
• Работа силы тяжести:
  ,
  где P — сила тяжести;
  h — изменение положения тела по вертикали.
• Работа силы при вращательном движении тела
  ,
  где M — момент силы,
  w — угловая скорость тела.
  Следует иметь в виду, что работа, как скалярная величина, может быть положительной или отрицательной. Работа будет положительной если направление действия силы совпадает с направлением движения.

Принцип Даламбера
• Формулировка принципа Даламбера: если в любой момент времени к действующим на точку силам присоединить силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной:
  .
• Для механической системы:
  .

Примеры решения задач

Решение примеров по теме: «Статика твердого тела»

Пример 1. Условия равновесия

Висящий на нити, под углом в сорок пять градусов к гладкой стене шар весом в десять Ньютон, находится в состоянии равновесия (рис. а). Необходимо определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити.

Дано: P = 10 Н; α = 45°
Найти: N, T — ?

Решение.
Отбрасываем связи, а их действие на шар заменяем реакциями.
Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О), реакция нити Т — вдоль нити от точки А к точке В.
Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару.

Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис. б).

Реакции N и Т по величине неизвестны. Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме — геометрической, аналитической).

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.).

В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. в), из которого получаем:

После подстановки в формулы числовых значений, получим:
.

Ответ: .

Решение примеров по теме: «Кинематика»

Пример 2. Уравнение траектории точки

Дано:
Движение точки задано уравнениями ;
(x, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Найти: уравнение траектории точки в координатной форме.

Решение. Для определения уравнения траектории из уравнений движения исключаем время t. Для этого из первого уравнения выражаем и подставляем это значение во второе уравнение, преобразованное к функциям одинарного угла:
.

Опуская промежуточные выражения, получаем уравнение траектории:
.

Уравнение определяет параболу, расположенную симметрично относительно оси у, с вершиной в точке (0, 4). Траекторией служит кусок этой параболы, заключенный между точками с координатами (-2, -4) и (2, -4).

Ответ: .

Решение примеров по теме: «Динамика»

Пример 3. Основной закон динамики точки

Свободная материальная точка, масса которой десять килограмм, движется прямолинейно с ускорением пол метра в секунду в квадрате. Определить силу, приложенную к точке.

Дано: m = 10 кг; a = 0,5 м/с 2 .
Найти: F — ?

Решение.
Согласно основному закону динамики: .

Подставив значения в формулу, получим:

Ответ: сила, сообщающая массе, равной 10 кг,
ускорение 0,5 м/с 2 , равна 5 Н.

В помощь студенту

Формулы, правила, законы, теоремы, уравнения, примеры решения задач

Список литературы:
Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.
Буторин Л.В., Бусыгина Е.Б. Теоретическая механика. Учебно-практическое пособие.

Задачи по теоретической механике с подробными решениями

Подробные решения задач по теоретической механике

Здесь приводятся условия задач по теоретической механике, имеющие подробные решения с ответами. Задачи сгруппированы по основным разделам теоретической механики: статика, кинематика и динамика. Чтобы посмотреть решение, нажмите на соответствующую ссылку в конце условия.

Статика

Найти графическим способом реакции опор балки AB , на которую действует сила P , приложенная в точке C .
Дано: P = 55 kH , AB = 10 м , AC = 7 м , BC = 3 м .

Кинематика

Кинематика материальной точки

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Дано: Уравнения движения точки: x = 12 sin( πt/ 6) , см; y = 6 cos 2 ( πt/ 6) , см.

Установить вид ее траектории и для момента времени t = 1 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Поступательное и вращательное движение твердого тела

Дано:
t = 2 с; r₁ = 2 см, R₁ = 4 см; r₂ = 6 см, R₂ = 8 см; r₃ = 12 см, R₃ = 16 см; s₅ = t 3 – 6t (см).

Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.

Кинематический анализ плоского механизма

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна E. Стержни соединены с помощью цилиндрических шарниров. Точка D расположена в середине стержня AB.
Дано: ω₁, ε₁.
Найти: скорости V_A, V_B, V_D и V_E; угловые скорости ω₂, ω₃ и ω₄; ускорение a_B; угловое ускорение ε_AB звена AB; положения мгновенных центров скоростей P₂ и P₃ звеньев 2 и 3 механизма.

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 – 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO ₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40( t – 2 t 3 ) – 40 ( s – в сантиметрах, t – в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s 0 точка M находится по другую сторону от точки A ).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t ₁ = 1 с .

Динамика

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Груз S, рассматриваемый как материальная точка массы m = 5кг, движется по шероховатой поверхности от точки A до точки B, в которой отрывается от поверхности и продолжает движение в воздухе до падения на наклонную поверхность в точке C. Движение происходит в плоскости рисунка.

В точке A, груз имел скорость v_A = 1 м/с. Скорость в точке B: v_B = 4 м/с. Участок AB представляет собой плоскую поверхность с углом наклона α = 30° к горизонту. На участке AB, кроме силы тяжести и силы трения, на груз действует постоянная сила Q = 10 Н, направленная под углом φ = 45° к поверхности. Коэффициент трения f = 0,1 .

На участке BC, груз движется под действием только силы тяжести. Сопротивлением воздуха пренебречь. Поверхность, на которую падает груз, является плоской с углом наклона β = 15° к горизонту (см. рисунок). Точка D расположена ниже точки B на расстояние |BD| = h = 1 м .

Найти: Время движения t_AB на участке AB; длину этого участка; время падения t_BC от точки B к точке C; расстояние |DC|; уравнение траектории BC.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости. На участке AB, длина которого l, на груз действует постоянная сила T(ее направление показано на рисунке) и сила R сопротивления среды (модуль этой силы R = μV 2 , вектор R направлен противоположно скорости V груза).

Груз, закончив движение на участке AB, в точке B трубы, не изменяя значения модуля своей скорости, переходит на участок BC. На участке BC на груз действует переменная сила F, проекция F_x которой на ось x задана.

Считая груз материальной точкой, найти закон его движения на участке BC, т.е. x = f(t), где x = BD. Трением груза о трубу пренебречь.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3, блока 4 и подвижного блока 5. Заданы радиусы ступеней и радиусы инерции шкива 3 и блока 4. Блок 5 считать сплошным однородным цилиндром. Коэффициент трения груза 2 о плоскость f = 0,1 . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К подвижному блоку 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с .

Под действием силы F = f ( s ) , зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. Деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент M сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Заданы массы тел m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ , m ₅ , коэффициент жесткости пружины c , зависимость силы от перемещения F = f ( s ) , величина момента M .

Определить значение центра масс тела 5 V_{C 5} в тот момент времени, когда перемещение s груза 1 станет равным s ₁ = 0,2 м .

Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M = 10 Н·м , приложенной к шкиву 1. Заданы радиусы ступеней шкивов, их радиусы инерции относительно осей вращения, а также веса шкивов и грузов. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза 5 .

Применение принципа Даламбера к определению реакций опор вращающегося тела

Вертикальный вал AK, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω = 10 с -1 , закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке D.

К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l₁ = 0,3 м, на свободном конце которого расположен груз массой m₁ = 4 кг, и однородный стержень 2 длиной l₂ = 0,6 м, имеющий массу m₂ = 8 кг. Оба стержня лежат в одной вертикальной плоскости. Точки прикрепления стержней к валу, а также углы α и β указаны в таблице. Размеры AB=BD=DE=EK=b, где b = 0,4 м. Груз принять за материальную точку.

Пренебрегая массой вала, определить реакции подпятника и подшипника.

[spoiler title=”источники:”]

http://1cov-edu.ru/mehanika/zadachi-s-resheniyami/

[/spoiler]