Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.
Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.
Координатный луч
Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.
Луч – это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.
На примере мы видим, что O является началом луча.
Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.
Единичный отрезок – это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.
От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.
Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 – например, 2, 3, 4, 5…
Координатный луч – это шкала, которая может длиться до бесконечности.
Зачастую его изображают лучом с началом в точке O, и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.
Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.
Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.
Координатная прямая
Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто – прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.
Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой
Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше
С левой стороны запишите натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5… с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.
Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.
Координатная прямая – это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0, единичным отрезком и заданным направлением движения.
Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами
Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.
Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.
Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.
Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.
Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (=3,141592…).
Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.
Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.
Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.
Согласно правилу,
Каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число отмечается в виде точки на координатной прямой.
Благодаря этому утверждению координатную прямую зачастую определяют как числовую.
Следует отметить, что знак, стоящий перед числом, зависит от размещения точки на прямой. Точкам, лежащим правее начала отсчета, соответствуют положительные числа, а точкам, лежащим левее, – отрицательные.
Координаты точек на координатной прямой
Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.
Ранее было отмечено, что к каждому числу относится единственная точка на прямой. Можно сказать, что координата точки определяет ее положение на прямой. Именно координата задает эту точку.
Перед тем, как завершить статью, следует упомянуть о принятых обозначениях координаты точки. Координату принято записывать в круглых скобках справа от буквы, которой обозначена точка. Например, если точка M имеет координату – 6, то можно записать как M(-6) , а запись вида M(53+7) значит, что координатой является 53+7
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В этом уроке мы познакомимся с положительными и отрицательными числами, поймем, к чему относится нуль.
Не забудем рассказать также про неположительные и неотрицательные числа, а после этого узнаем, что такое координатная прямая и из чего она состоит.
Начнем с сухих, но емких определений.
Определение: положительное число – это число со знаком «+» перед ним.
Обычно + не пишется, а просто подразумевается.
Числа 2, (mathbf{frac{1}{2}}), (mathbf{123frac{456}{789}}), 9871254 – перед ними не стоит никакой знак, соответственно, эти числа положительные.
Мы могли бы их записать и со знаком «+»:
+2, (mathbf{+frac{1}{2}}), (mathbf{+123frac{456}{789}}), +9871254
В таком случае нужно читать запись буквально: «плюс два», «плюс одна вторая» и так далее.
Такая запись добавляет громоздкости записи, и обычно все- таки «+» опускают.
Определение: отрицательное число – это число со знаком «-» перед ним.
Приведем примеры отрицательных чисел:
-3, (mathbf{-frac{1}{6}}), (mathbf{-32frac{4}{5}}), -784285332
Читать в данном случае также нужно дословно: «минус три», «минус одна шестая» и так далее.
Минус уже опустить нельзя, так как тогда получится, что число положительное.
Важные факты:
- Все положительные числа строго больше нуля
- Все отрицательные число строго меньше нуля
- 0 не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам
Если нам надо сравнить два числа, одно из которых положительное, а другое отрицательное, то можно смело утверждать, что число, которое положительно, больше числа, которое отрицательно.
Если надо сравнить число с нулем, то достаточно понять, положительное оно или отрицательное. Если положительное, значит, больше нуля, если же отрицательное, то меньше нуля.
Более подробно про сравнение чисел мы поговорим в следующих уроках, а пока потренируемся отличать положительные и отрицательные числа.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Иногда необходимо обозначить множество чисел, больших или равных нулю, или же наоборот, меньших или равных нулю.
Удобно, что для этого есть специальные определения.
Определение: Неотрицательные числа – это все положительные числа и 0.
Соответственно, если мы хотим привести примеры неотрицательных чисел, то можем привести положительные числа или 0.
Примеры: 0, 1, 956, (mathbf{frac{4}{9}}), (mathbf{342frac{1}{9}}).
Определение: Неположительные числа – это все отрицательные числа и 0.
В данном случае примерами будут соответственно отрицательные числа или 0.
Примеры: 0, (mathbf{-1}), (mathbf{-922}), (mathbf{-frac{7}{8}}), (mathbf{-4frac{1}{4}}).
Если необходимо определить, является ли число неотрицательным или неположительным, то ответить надо следующим образом:
- Отрицательное число является неположительным
- Положительные число является неотрицательным
- 0 является одновременно и неположительным, и неотрицательным числом
Также отметим важные факты про сравнение неположительных и неотрицательных чисел с нулем:
- Неположительные числа меньше или равны нулю.
- Если а – неположительное, то (mathbf{aleq0})
- Аналогично, неотрицательные числа больше или равны нулю.
- Если a – неотрицательное, то (mathbf{ageq0})
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Начнем с определения, а потом посмотрим на вариации и примеры координатных прямых в жизни.
Определение: координатная прямая – это прямая с указанной на ней точкой начала отсчета, направлением и единичным отрезком.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если хотя бы одной из этих трех составляющих нет, то прямая уже не может быть координатной.
Выше мы показали самую простую вариацию координатной прямой.
Но обычно для удобства наносят штрихи по всей длине, чтобы не отмерять единичные отрезки.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Также мы можем подписывать числа не только под точкой начала отсчета и точкой, дающей понимание о длине единичного отрезка, но и под остальными точками тоже.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Если мы не хотим загромождать картинку, то можно отмечать точки с какой-то периодичностью.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Неизменным на всех этих картинках остается наличие трех пунктов из определения:
- Точка начала отсчета
- Направление
- Единичный отрезок
В жизни координатные прямые, полностью удовлетворяющие нашему определению, могут встречаться довольно редко.
Например, на ртутном термометре подразумевается, что направление совпадает с направлением увеличения чисел на шкале.
На нем же мы видим, что числа стоят не у каждого штриха, а у каждого 5-го или каждого 10-го, так картинка становится более читаемой.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Еще один пример: обычная линейка или рулетка. Тут тоже направление подразумевается, поэтому нельзя однозначно сказать, что это координатная прямая.
На линейке, в отличие от градусника, не часто увидишь отрицательные числа. Действительно, -5 градусов интересуют нас больше, чем -5 сантиметров.
Введем еще одно определение: координата точки – это число, показывающее положение точки на координатной прямой.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На этом рисунке видно, что у точки начала координат (точка O) координата равна нулю, а у точки (А), дающей информацию о единичном отрезке,
координата- 1.
Чтобы найти координату точки мы должны отсчитать количество единичных отрезков между точкой и точкой начало отсчета. А дальше, если эта точка стоит после точки начала отсчета, то взять количество единичных отрезков. В противном случае, если точка находится перед точкой начала отсчета, то взять количество единичных отрезков со знаком «минус».
Например, чтобы найти координату точки C мы отсчитываем количество отрезков от начала координат; получаем, что их 2, запоминаем это.
Точка С находится справа от точки начала отсчета, или дальше по направлению, чем точка начала отсчета. Значит, берем непосредственно число 2 в качестве координаты.
Между точкой B и точкой начала отсчета 3 единичных отрезка, но если смотреть относительно точки начала отсчета, то она находится левее или раньше по направлению, значит, мы берем количество единичных отрезков со знаком «минус» и координатой точки B будет (mathbf{-3}).
Естественно, единичных отрезков между точкой и точкой начала отрезков может получиться нецелое число.
Этот случай иллюстрирует точка D – она находится на расстоянии полутора единичных отрезков от точки начала отсчета.
Точка D идет перед точкой начала отсчета, если смотреть по направлению, а значит, координата должна быть отрицательный.
Таким образом, координата точки D будет равна (mathbf{-1.5}).
Мы не случайно отходим от простых понятий «справа»/«слева», когда говорим о взаимном расположении точек.
Представьте, что направление идет в другую сторону.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В таком случае точки справа от точки начала отсчета будут иметь отрицательные координаты, а точки слева точки начал отсчета – положительные.
Ну и конечно же, прямая может быть вообще расположена вертикально, тогда говорить о направлениях «право»/«лево» вообще не приходится.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Сегодня Вы узнали про отрицательные числа. Интересно, а когда про отрицательные числа узнали впервые в истории?
Изначально люди оперировали в основном натуральными числами. Они удобны, когда надо посчитать количество голов скота, количество дней в каком- то процессе и так далее.
Мы уже обсуждали, что в какой- то момент пришлось работать с дробями, так как и они появляются в реальной жизни, когда мы говорим про половину килограмма крупы, треть часа на выполнение задания и так далее.
А отрицательных чисел в каком-то естественном эквиваленте не встретить, это все равно будет некоторая абстракция, поэтому древние люди относились к ним с недоверием.
Несмотря на это, китайские математики II века до нашей эры уже знали про них и умели применять к ним сложение и вычитание, но еще не научились их делить и умножать.
Различали же древние китайцы положительные и отрицательные числа не как мы, с помощью знаков, а с помощью цвета – положительным числам соответствовал красный цвет, а отрицательным- черный.
Так продолжалась до XII века, пока отрицательные числа не начали просто перечеркивать чертой слева направо.
Уже с VII века зафиксировано понимание того, что отрицательные числа нужны для оперирования долгами.
Условно, если у меня есть (mathbf{-5}) тысяч рублей, то это значит, что я кому- то 5 тысяч рублей должен.
Координатную прямую впервые ввел французский ученый Рене Декарт в 1637 году, что сильно поспособствовало популяризации отрицательных чисел.
Окончательно отрицательные числа закрепились только к началу XIX века.
Математика
5 класс
Урок № 79
Координатный луч
Перечень рассматриваемых вопросов:
– координатный луч;
– единичный отрезок;
– соотношение единичного отрезка со знаменателем дроби;
– координата точки.
Тезаурус
Единичный отрезок – это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.
Отрезок – часть прямой, ограниченная с двух сторон точками.
Луч – это часть прямой линии, расположенная по одну сторону от любой точки, лежащей на этой прямой.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Зададим прямую, на которой указано направление. Отметим на ней точку О. Примем её за начало отсчета.
Отложим на прямой вправо от точки О единичные отрезки.
Единичный отрезок – это расстояние от О до точки, выбранной для измерения.
Обозначим конец первого отрезка числом 1, второго – числом 2 и т. д.
Сформулируем определение.
Прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатной осью или координатным лучом.
С помощью координатной прямой натуральные числа изображаются точками.
Точке О на координатной прямой соответствует число 0. Обозначают: О (0).
Число, которое соответствует данной точке на координатной оси, называют координатой данной точки.
Например, точка А имеет координату 5.
Обозначают А (5).
Таким образом, на координатной прямой можно найти точку, соответствующую натуральному числу. Также с помощью натуральных чисел и числа ноль можно указать положение любой точки на прямой.
А теперь рассмотрим, как отметить на координатном луче дробь.
Чтобы удобно было изображать дробные числа, нужно правильно выбрать длину единичного отрезка.
Удобный вариант – взять единичный отрезок из стольких клеточек, каков знаменатель дробей. Например, если требуется изобразить на координатном луче дроби со знаменателем 7, единичный отрезок лучше взять длиной в 7 клеточек. В этом случае изображение дробей на координатном луче будет несложным.
можно изобразить одним единичным отрезком и ещё двумя клеточками.
Если требуется отметить на координатном луче дроби с разными знаменателями, желательно, чтобы число клеточек в единичном отрезке делилось на все знаменатели. Например, для изображения на координатном луче дробей со знаменателями 6, 4 и 12 удобно взять единичный отрезок длиной в двенадцать клеточек. Чтобы отметить на координатном луче нужную дробь, единичный отрезок разбиваем на столько частей, каков знаменатель, и берём таких частей столько, каков числитель.
Возьмём единичный отрезок, разделим на шесть частей и возьмём одну из них.
Тренировочные задания
№ 1. Подберите правильные названия к числам. Разместите нужные подписи под изображениями.
Варианты ответов: смешанное число; правильная дробь; неправильная дробь.
Чтобы правильно выполнить задание, необходимо вспомнить, какую дробь называют правильной, а какую неправильной. А также, что называют смешанным числом.
Правильный ответ:
Варианты ответа: 9; 6; 4; 3; 2
Мы знаем, что удобный вариант – взять единичный отрезок из стольких клеточек, каков знаменатель дробей. Знаменатель равен 9, значит, единичный отрезок следует выбирать в 9 клеток.
Правильный ответ: 9.
Введение
Вот такие отметки на дороге (рис. 1) выполняют сразу три функции.
Рис. 1. Отметки на дороге
- Измерение расстояний. Мы знаем, на сколько мы удалились от города. Или от другой подобной отметки.
- Адрес, имя. Мы знаем, где находимся. По телефону легко передать числовой адрес нашего места.
- Направление. Глядя на эти отметки, легко понять, в какой стороне находится город – начало отсчета.
Где ещё числа помогают нам ориентироваться? В кинотеатре. В зрительном зале все ряды и все кресла пронумерованы. И на нашем билете написаны номер ряда и номер места. С помощью двух этих чисел мы легко находим свое место (рис. 2).
Рис. 2. Место в кинотеатре
Раньше дома не имели номеров. Вы приезжаете в город и ищете дом купца Елисеева. Когда людей и домов не очень много, то это не очень трудно. Особенно, если вы ищете дом известного человека (рис. 3).
Рис. 3. Дом без номера
Но в современном городе с сотнями тысяч и миллионами жителей ориентироваться нам помогает нумерация домов (рис. 4).
Рис. 4. Нумерация домов
Но вернемся к дороге. Представьте, что вы вдруг оказались на дороге перед отметкой (рис. 5).
Рис. 5. Отметка
Понятно ли, где вы находитесь? Пока нет. Нужно знать еще вот что:
- В каких единицах это измерено: может, это километры, может, версты, а может, мы в Англии и это мили.
- Точка отсчета. А в какой стороне начало, город от которого отсчитывается? В какую сторону увеличиваются эти отметки?
Когда нам будут известны эти две вещи, то мы точно будем знать, где находимся.
Координатная (числовая) прямая
Моделью дороги в математике является прямая.
Две идеи (присвоить точкам имена и измерять расстояния) объединяются в одну – координатная (или числовая) прямая. Можно имена присваивать буквенные. Там даже функцию порядка можно сохранить – за идет , за идет и т.д. Но с измерением расстояний тут не понятно, как поступить. Поэтому удобнее присвоить точкам на прямой числовые имена.
Для этого требуется три действия.
- Отмечаем точку, относительно которой все будет считаться, начало отсчета. Самое разумное – поставить там отметку ноль, ведь если мы находимся в этой точке, то расстояние до начала отсчета равно нулю (рис. 6).
Рис. 6. Начало отсчета
- Выбираем единицы, в которых будем измерять. Для этого нужно указать длину отрезка, которую мы будем считать единичной (рис. 7).
Рис. 7. Единичный отрезок
- Выбираем направления, куда будут увеличиваться отметки. Отметим его стрелкой. Координатная прямая готова (рис. 8).
Рис. 8. Координатная прямая
Теперь каждой точке соответствует число, адрес этой точки. Это число называют координатой.
Модель дороги
Когда мы говорим «модель дороги в математике – прямая», может возникнуть резонный вопрос: но дорога далеко не всегда бывает прямой, она может быть какой угодно формы (рис. 9).
Рис. 9. Извилистая дорога
Уточним: мы говорим о модели дороги в том случае, если речь идёт не об удобстве, а только о расстоянии и порядке.
Если мы можем двигаться исключительно по дороге (не можем срезать и т.п.), то нам неважно, какой формы дорога: за столбом с номером будет идти столб с номером и т.д. Таким образом, для описания движения автомобиля, например, дорогу можно «выпрямить» и рассматривать модель – прямую
Координатная плоскость
В жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда упорядочивания по одному параметру недостаточно.
Например, в кинотеатре места занумерованы не от до нескольких тысяч (что значительно усложнило бы поиск места зрителем), а обозначены номером ряда и номером места в этом ряду. Таким образом, каждому месту мы ставим в соответствие две координаты (а не одну) – ряд и место (рис. 10).
Рис. 10. Ряд и место
В этом случае нам уже не будет хватать координатной прямой, понадобится координатная плоскость.
Посмотреть урок про координатную плоскость можно по ссылке: Координатная плоскость.
Определение координат точки
Давайте потренируемся определять эти координаты для разных точек.
Определим координату точки (рис. 11).
Рис. 11. Точка
Для этого измерим, сколько раз единичный отрезок уложится от начала отсчета до точки . раза. Точке соответствует число . Или точка имеет координату (рис. 12).
Рис. 12. Координата точки
Иногда координату записывают в скобках после названия точки (рис. 13).
Рис. 13. Запись координаты
Определим координату точки (рис. 14).
Рис. 14. Точка
Единичный отрезок поместился раз. Координата (рис. 15).
Рис. 15. Координата точки
Можно поступить наоборот: найти точку по ее координате. Точка имеет координату . Тогда от нуля нужно отложить целых единичных отрезков и (рис. 16).
Рис. 16. Расположение точки
Пусть теперь точка левее начала отсчета. Точка . Отрезок укладывается раза. Но координата уже занята для точки справа (рис. 17).
Рис. 17. Расположение точки
Да и все остальные положительные числа уже использованы для координат тех точек, что находятся справа от нуля.
Но у нас остались еще отрицательные числа. Их и будем использовать для таких точек. То есть точка имеет координату .
Две координаты, отличающиеся только знаками (то есть противоположные числа), соответствуют точкам, симметричным относительно начала координат. Например, и соответствуют двум симметричным точкам и (рис. 18).
Рис. 18. Симметричные точки
Названия числовых прямых
Если числовых прямых две или больше, то, чтобы отличать одну от другой, их обозначают буквами, , , и т.д. Например, в прямоугольной системе координат на плоскости две оси. Их обозначают обычно и . В нашем случае, хоть прямая и одна, ее все равно обычно обозначают буквой . Кроме того, чтобы не откладывать каждый раз единичные отрезки до нужной точки, на прямой часто сразу ставят несколько отметок, соответствующих целым числам.
Определение
Итак, координатная прямая (числовая прямая) – это прямая, на которой выбраны начало отсчета, направление, масштаб (единичный отрезок).
Каждой точке соответствует число, которое называют координатой. Координата является адресом точки. По этой координате можно точно найти, где находится точка, как дом по адресу. И, наоборот, по точке можно однозначно сказать, какая у нее координата (рис. 19).
Рис. 19. Координатная прямая
Использование координатной прямой
Итак, когда же мы используем координатную прямую? Представьте, что вам по телефону нужно объяснить, где находятся эти точки на прямой (рис. 20).
Рис. 20. Точки на прямой
Мы можем взять линейку, измерить все расстояния между точками и передать по телефону.
А теперь, пусть это числовая прямая. Теперь у каждой точки есть координата, ее можно продиктовать по телефону, а на том конце ваш собеседник по этим координатам может точно так же расставить точки (рис. 21).
Рис. 21. Точки на координатной прямой
Сравнение чисел и арифметические операции с помощью числовой прямой
Итак, у нас каждой точке соответствует число и наоборот. Но соответствие распространяется и дальше – на сравнение чисел и на арифметические операции.
То, что , означает, что точка с большой координатой находится правее (рис. 22).
Рис. 22. Сравнение координат
Прибавить к числу положительное число на прямой будет означать, что от исходной точки с координатой отступить вправо на единичных отрезка. Придем в точку (рис. 23).
Рис. 23. Сложение положительных чисел
Прибавить отрицательное число (вычесть положительное) означает сдвиг влево (рис. 24).
Рис. 24. Вычитание
Свойство противоположных чисел: их сумма равна нулю. Двум противоположным числам соответствуют симметричные относительно нуля точки. Например, и . Можно к прибавить , то есть сдвинуться на единиц вправо, придем в точку ноль. Или, наоборот, от точки можно сдвинуться на единиц влево (прибавить отрицательное число или вычесть ) (рис. 25).
Рис. 25. Свойство противоположных чисел
Задача
Замена в задаче чисел точками, а сложения – сдвигом может облегчить решение. Чему равна сумма бесконечного числа слагаемых: ?
Решение
Изобразим точку на прямой. Она находится посредине между и (рис. 26).
Рис. 26. Расположение точки
Добавить одну четвертую – значит найти точку, сдвинутую на единичного отрезка вправо, то есть на половину оставшегося до единицы (рис. 27).
Рис. 27. Добавили
Добавим к нему , то есть еще движемся вправо на , половину оставшегося отрезка (рис. 28).
Рис. 28. Добавили
Этот процесс будет продолжаться до бесконечности, но новая точка всегда будет левее единицы, но все ближе и ближе к ней.
То есть сумма становится всё ближе к единице, но не превосходит ее. Поэтому такую бесконечную сумму считают равной единице: .
Заключение
Мы выяснили, что числовая прямая устанавливает соответствие между точками и числами. Такое взаимно-однозначное соответствие позволяет заменить работу с точками на работу с числами или наоборот. Переход от одних объектов к другим часто позволяет упростить задачу, облегчить понимание.
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014.
- Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. Ч. 2. М. «Просвещение», 2010.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Yaklass.ru (Источник).
- Math-prosto.ru (Источник).
- School-assistant.ru (Источник).
Домашнее задание
- Укажите координату точки (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к заданию