Как найти точку перегиба на интервале

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Точки перегиба графика функции

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки. 

Точка перегиба функции – это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

1. Найти вторую производную функции $ y”(x) $
2. Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
3. Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y”'(x) $

Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y”'(x)$. Если $ y”'(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка – это точка перегиба.

Примеры решений 

Пример 1

Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $

Решение

Найдем первую производную, заданной функции: $$ y’ = (2x^4 – 6x^2 + 1)’ = 8x^3 – 12x $$ Теперь получим вторую производную: $$ y” = (y’)’ = (8x^3 – 12x)’ = 24x^2 – 12 $$ Приравниваем к нулю $ y” = 0 $ и решаем уравнение: $$ 24x^2 – 12 = 0 $$ $$ x^2 = frac{1}{2} $$ $$ x_1 = -frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$ Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $: $$ y”'(x) = (y”(x))’ = 48x $$ $$ y”'(x_1) = y”'(-frac{1}{sqrt{2}}) = -frac{48}{sqrt{2}} $$ $$ y”'(x_2) = y”'(frac{1}{sqrt{2}}) = frac{48}{sqrt{2}} $$ Так как $ y”'(x_1) $ и $ y”'(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ x_1 = – frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$

Пример 2

Узнать, является ли для графика функции $ y = cos x $ точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точкой перегиба

Решение

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче: $$ y'(x) = (cos x)’ = – sin x $$ $$ y”(x) = (-sin x)’ = -cos x $$ $$ y”'(x) = (-cos x)’ = sin x $$ Вычислим значения $ y”(x_0) text{ и } y”'(x_0) $: $$ y”(x_0) = y”(frac{pi}{2}) = – cos frac{pi}{2} = 0 $$ $$ y”'(x_0) = y”'(frac{pi}{2}) = sin frac{pi}{2} = 1 $$ Так как $ y”(frac{pi}{2}) = 0 $, а $ y”'(frac{pi}{2}) neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ является точкой перегиба для функции $ y = cos x $

Ответ

Точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точка перегиба

Точки
перегиба и общее исследование функций.
Лекция 17.

Точки
перегиба.

Основные
понятия.

График
дифференцируемой функции

называется выпуклым
(вогнутом)
на интервале
,
если он расположен выше (ниже) ее любой
касательной на этом интервале (рис. 72).

Точка
графика непрерывной функции
,
в которой она меняет вогнутость на
выпуклость называется точкой
перегиба.

Так
на рис. 73 функция на интервале

является выпуклой а на интервале

– вогнутой. Следовательно, точка

является точкой перегиба.

Достаточные
условия выпуклости и вогнутости функции
на интервале.

Выпуклость
и вогнутость функции на интервале можно
определить с помощью ее вторых производных.

Теорема
37.
Если
функция

во всех точках из интервала

имеет отрицательную (положительную)
вторую производную

(),
то график функции на этом интервале
является выпуклым (вогнутым).

Доказательство.
Пусть
.
Возьмём на графике функции произвольную
точку М с координатами

и проведём через неё касательную.
Покажем, что график функции расположен
ниже этой касательной. Для этого возьмём
произвольную точку

и сравним ординаты в этой точке графика

и касательной
.
Уравнение касательной имеет вид
,
поэтому
.

Тогда
.
По теореме Лагранжа

=

Снова
применим теорему Лагранжа (для разности
производных):

.

Исследуем
знак этого выражения в зависимости от
взаимного расположения точек
.

Случай
1. Точка

(рис. 74).
Тогда

и
,
следовательно

или
.

Случай
2.

(рис. 75).
Тогда

и
,
следовательно

или опять
.

В
любом случае
,
т.е. ордината касательной больше ординаты
графика для любой точки интервала
.
По определению, график функции

является выпуклым. Аналогично можно
рассмотреть случай, когда

и показать, что график функции в этом
случае будет вогнутым.

Достаточное
условие существования точек перегиба.

Теорема
38.
Если
вторая производная

при переходе через точку

, в которой она не существует или равна
нулю, меняет знак, то точка

является точкой перегиба.

Доказательство.
Пусть

при

и

при
.
Это означает, что слева график функции
является выпуклым, а справа – вогнутым,
следовательно, точка
является
точкой перегиба по пределению.

Пример
62.
Найти промежутки выпуклости, вогнутости
функции

и
установить ее точки перегиба.

Решение.
Найдем последовательно первую и вторую
производные функции

Определим
на числовой оси знаки второй производной.
Из рисунка видно, что вторая производная
отрицательна (там функция выпукла) на
интервале

и положительна на интервале
.
В точке

она меняет знак с (-) на (+), следовательно,
эта точка является точкой перегиба
(рис. 76).

Асимптоты.

Асимптотой
кривой
называется прямая, расстояние до которой
от точки, лежащей на кривой, стремится
к нулю при неограниченном удалении этой
точки от начала координат.

Асимптоты
могут быть вертикальными, наклонными
и горизонтальными.

Вертикальные
асимптоты.

Прямая

является вертикальной асимптотой
графика функции
,
если

Обычно
такими точками являются точки разрыва
второго рода (рис. 77). Для отыскания
вертикальных асимптот нужно найти те
значения
,
вблизи которых функция неограниченно
возрастает по модулю. Так функция
обратной пропорциональности

имеет вертикальную асимптоту
,
т. е. ось

(рис. 78).

Наклонные
и горизонтальные асимптоты.

Уравнение
наклонной асимптоты имеет вид
.
Пусть

– произвольная точка графика функции
,
по формуле расстояния от точки до прямой,
имеем

Так как

Разхделим
обе части равенства на
,
получим

Применяя
к левой части правило Лопиталя, получим

Коэффициент

найдем из условия

Отсюда

Если
хотя бы один из этих пределов (или оба)
не существуют, то функция

не имеет наклонных асимптот. Если
,
то прямая

в этом случае является горизонтальной
асимптотой. Так функция
имеет вертикальную асимптоту

и наклонную

(рис. 79).

Пример
63.
Исследовать на асимптоты функцию

Решение.
Так как при

функция имееи разрыв 2 – го рода, то
график имеет вертикальную асимптоту
.
Наклонные асимптоты имеют вид

Найдем коэффициенты

и

Таким
образом, график имеет наклонную асимптоту

(рис. 80).

Схема
исследования функций и построения их
графиков.

1)
Находят область определения функции
;

2)
определяют (если возможно) точки
пересечения графика с осями координат;

3)
проверяют чётность или нечётность,
периодичность функции. Графики четной
и нечетной функции строят только для
,
затем четную функцию отображают
симметрично относительно оси
,
нечетную – относительно точки
.
Периодическую функцию строят на
интервале, равном периоду, затем
продолжают на всю числовую ось
;

4)
находят первую производную и исследуют
интервалы монотонности и находят точки
экстремума;

5)
находят вторую производную и исследуют
промежутки выпуклости и вогнутости,
устанавливают точки перегиба;

6)
исследуют функцию на наличие асимптот
(вертикальных, наклонных, горизонтальных).

На
основании всех этих свойств строят
эскиз графика
.

Пример
64.
Исследовать и построить график функции

Решение.
1) Найдем область определения функции.
Так как знаменатель дроби равен нулю
при

и при
,
то в этих точках функция не определена
и имеет разрыв второго рода, поэтому

2)
При

переменная
.
Таким образом, ось

пересекается в точке
.
Если же
,
то

и

,
.
Эти точки иявляются точками пересечения
графика с осью
;

3)
Так как

то
функция не является четной и не является
нечетной, т. е.

– функция общего вида. Заметим, что этот
вывод следует так же из того, что она
определена на не симметрическом
множестве. Из последнего факта следует
так же непериодичность функции;

4)
Найдем производную функции и исследуем
ее на монотонность и точки экстремума:

Отсюда

при

и
,
.
Нанесем на числовую ось критические
точки и определим знаки производной на
промежутках

Из
рисунка видно, что функция

убывает на промежутках
,
,

и возрастает на промежутках
,
.
Точка

является точкой минимума а точка

– точкой максимума. Причем

5)
Найдем вторую производную и исследуем
промежутки выпуклости, вогнутости
функции, определим точки перегиба:

Отсюда

и

или

Проверяя
целые делители числа 216, убеждаемся,
что значение

является корнем уравнения. Разделив в
соответствии с теоремой Безу выражение
в правой части на
,
получим разложение на множители

Уравнение

корней не имеет, так как дискриминант

Нанесем
на числовую ось точки, в которых вторая
производная равна нулю или не существует
и определим промежутки выпуклости и
вогнутости.

Из
рисунка видно, что вторая производная
функции положительна на промежутках

и
,
следовательно, на них график является
выпуклым. На промежутках

и

вторая производная отрицательна и
функция является выпуклой на них. В
точке

функция определена и

меняет знак с (+) на (-) и поэтому она
является точкой перегиба, причем

6)
Исследуем график на асимптоты.
Так как функция в точках

и

имеет разрыв второго рода, то прямые

и

являются вертикальными асимптотами.
Для определения наклонных (и горизонтальных)
асимптот вида
,
определим коэффициенты

и
.

Таким
образом график функции имеет горизонтальную
асимптоту
.

На
основании полученных данных, строим
график функции (рис. 81).

101

Точкой перегиба
функции называется такая точка

в которой выпуклость меняется на вогнутость.

Поясним вышесказанное на примере. Рассмотрим функцию, изображенную на рисунке.

Из графика следует, что на интервале

график функции является выпуклым вверх (или вогнутым вниз). На интервале

– выпуклым вниз (или вогнутым вверх). При этом точка

является точкой перегиба функции.

Интервалы выпуклости (вогнутости) функции легко найти, используя следующую теорему:

Если на некотором промежутке вторая производная функции положительна, тогда график функции является выпуклым вниз на этом промежутке. Если отрицательна – выпуклым вверх. Т.е.:

Стоит также отметить, что в точках перегиба функции вторая производная равна нулю и при переходе через такие точки меняет свой знак.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет найти точки перегиба функции с описанием подробного хода решения.