Как найти точку пересечения отрезков формула

Как найти точку пересечения отрезков

Простейшие геометрические примитивы, такие как точки, прямые, плоскости, фигурируют в большинстве научных и инженерных задач, связанных с проектированием, графическими построениями, визуализацией и машинной графикой. Подобные задачи, как правило, решаются путем применения принципа декомпозиции и сведения их к последовательностям элементарных действий с геометрическими примитивами. Так, сложные трехмерные объекты в машинной графике аппроксимируются полигонами, а те в свою очередь – треугольниками, треугольники задаются отрезками ребер, которые определяются их конечными точками. Именно поэтому понимание того, как решить простейшие геометрические задачи, например того, как найти точки пересечения отрезков, весьма важно для любого технического специалиста.

Вам понадобится

• Лист бумаги, ручка.

Инструкция

Подготовьте исходные данные. В качестве исходных данных удобно принять отрезки, заданные координатами точек их концов в декартовой системе координат. В данной системе координатные оси ортогональны и имеют одинаковый линейный масштаб. Допустим, имеются отрезки O1 и O2. Отрезок O1 задан точками с координатами P11(x11, y11) и P12(x12, y12), а отрезок O2 задан точками с координатами P21(x21, y21) и P22(x22, y22).

Составьте уравнения прямых, к которым принадлежат отрезки O1 и O2. Уравнение прямой отрезка O1 будет иметь вид: K1*x+d1-y=0. Уравнение прямой отрезка O2 будет иметь вид: K2*x+d2-y=0. Здесь K1=(y12-y11)/(x12-x11), d1=(x12*y11-x11*y12)/(x12-x11), K2=(y22-y21)/(x22-x21), d2=(x22*y21-x21*y22)/(x22-x21).

Решите систему уравнений, состоящую из уравнений прямых, составленных на предыдущем шаге. Вычтя из первого уравнения второе, можно получить: K1*x-K2*x+d1-d2=0. Откуда x=(d2-d1)/(K1-K2). Подставив x в первое уравнение, получим: y=K1*(d2-d1)/(K1-K2)+d1. Значения K1, K2, d1, d2 известны. Точка P(x, y) является пересечением прямых, на которых лежат исходные отрезки.

Проверьте, является ли точка с найденными координатами точкой пересечения именно отрезков, а не прямых, на которых они лежат. Для этого убедитесь, что координата точки x принадлежит одновременно диапазонам значений [x11,x12] и [x21,x22], а координата y принадлежит одновременно диапазонам [y11,y12] и [y21,y22].

Видео по теме

Источники:

• как пересекаются два отрезка

Нахождение точки пересечения двух прямых (и отрезков)

Введение

Довольно часто при разработке игр возникает необходимость находить точку пересечения прямых, отрезков, лучей и т.д. О том, как реализовать это максимально простым способом, в этой статье.

Популярные способы и их критика

Возможно, многие вспомнят способ из школьной алгебры — составить уравнения двух прямых, приравнять их правые части, найти x, и подставить его в уравнение прямой, чтобы найти y (Подробнее здесь).

Однако данный способ становится достаточно громоздким при написании кода (возможно поэтому вы сейчас читаете эту статью), к тому же, он не является универсальным: если одна из прямых параллельна оси Y, мы получим ошибку деления на ноль при вычислении углового коэффициента, и нам придётся прописать код на этот случай; если две прямые перпендикулярны осям, требуется повозиться с обработкой и этого случая. Такой код становится длинным и некрасивым.

В поисках более элегантного решения данной проблемы я наткнулся на весьма интересные способы, основанные на векторном умножении ( habr.com/ru/post/267037 ) и ray castinging’е ( ru.wikipedia.org/wiki/Ray_casting#Концепция ). Но на мой взгляд, они неоправданно сложные в вычислительном плане. Поэтому представляю вашему вниманию (и критике) мой способ.

Мой способ

Задача

Даны координаты двух отрезков. Нужно узнать, пересекаются ли отрезки, и если да, в какой точке. Для этой цели напишем функцию.

Решение

Условные обозначения для исключения недопониманий: a — вектор a, a(y) — проекция вектора a на ось Y, a{x1,y1} — вектор a, заданный координатами x1,y1.

Представим наши отрезки в виде двух векторов: a{x2-x1; y2-y1} и b{x3-x4; y3-y4}. Обратите, внимание, что вектор b имеет противоположное от ожидаемого направление. Введём вектор c{x3-x1; y3-y1}. Заметим, что a*k+b*n=c, где k,n — некоторые коэффициенты. Таким образом, получаем систему уравнений:

a(x)*k+b(x)*n=c(x)
a(y)*k+b(y)*n=c(y)
Наша задача сводится к нахождению этих коэффициентов (правда сказать, достаточно найти лишь один из них).

Предлагаю домножить обе части нижнего уравнения на q= -a(x)/a(y). Так после сложения двух уравнений, мы сразу избавимся от k. Нахождение n сведётся к решению обыкновенного линейного уравнения. Важно обратить внимание, что у n может не быть решения.

Внимательный читатель заметит, что при a(y)=0, мы получим ошибку. Пропишем ветвление на этапе нахождения a(y). Этот случай ещё проще, ведь мы сразу получаем уравнение с одной неизвестной.

Рекомендую попробовать вывести n самостоятельно, так будет понятнее, что откуда берётся в коде ниже.

Зная n, можно найти точку пересечения, для этого мы отнимем от координаты точки (x3,y3) вектор b*n

Собираем воедино

float dot[2];  // точка пересечения

bool cross(float x1, float y1, float x2, float y2, float x3, float y3, float x4, float y4) {
    float n;
    if (y2 - y1 != 0) {  // a(y)
        float q = (x2 - x1) / (y1 - y2);   
        float sn = (x3 - x4) + (y3 - y4) * q; if (!sn) { return 0; }  // c(x) + c(y)*q
        float fn = (x3 - x1) + (y3 - y1) * q;   // b(x) + b(y)*q
        n = fn / sn;
    }
    else {
        if (!(y3 - y4)) { return 0; }  // b(y)
        n = (y3 - y1) / (y3 - y4);   // c(y)/b(y)
    }
    dot[0] = x3 + (x4 - x3) * n;  // x3 + (-b(x))*n
    dot[1] = y3 + (y4 - y3) * n;  // y3 +(-b(y))*n
    return 1;
}

Данная функция принимает координаты вершин и возвращает значение 1, если прямые отрезков (именно прямые) пересекаются, иначе 0. Если же вам нужны координаты вершин, вы сможете взять их из массива dot[].

Важно: при введении двух совпадающих прямых, алгоритм выводит отсутствие пересечения. Алгоритм находит точку пересечения прямых, на которых лежат отрезки, поэтому точка может оказаться за пределами отрезка (что вам придётся дополнительно проверить в уже своём коде).

Применим функцию:

int main() {
    if (cross(1,1,7,2, 7,3,5,6)) {
        std::cout << dot[0] << " " << dot[1] << std::endl;
    }
    else {
        std::cout<<"Not cross!"<<std::endl;
    }
    return 0;
}

Послесловие

Хоть я и не встретил этот способ в процессе гугления своей проблемы и вывел алгоритм самостоятельно, я не претендую на его полную оригинальность (и правильность). Поэтому добро пожаловать в комментарии!

Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x₁-x₂) никак не разделить и т.д.

Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.

Коэффициенты А, B, C

Все помним со школы формулу:

Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):

Те же фаберже, только сбоку.

В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.

Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.

В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:

Путем несложных операций приходим к следующей записи:

Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:

Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.

Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.

Система уравнений

Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.

Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.

Сразу же запишем метод под нашу систему.

Имеем следующую систему:

Определители будут такими:

Исходя из метода, решение выглядит так:

Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности).  В коде, естественно, этот момент надо учитывать.

Практика 1

Частные случаи

• Прямые параллельны: ∆_ab = 0
  • (A₁B₂ – B₁A₂ = 0);
• Прямые совпадают:  ∆_ab = ∆_X = ∆_Y = 0 
  • (A₁B₂ – B₁A₂ = 0) И (A₁C₂ — A₂C₁ = 0) И (C₁B₂ -B₁C₂ = 0);
• Прямые перпендикулярны:
  • (A₁ A₂ + B₁ B₂ = 0).

Принадлежность точки отрезку

В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:

1. Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
2. Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.

Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:

• Логически, т.е. (x₁ <= x <= x₂) ИЛИ (x₁ >= x >= x₂). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
  • (y₁ <= y <= y₂) ИЛИ (y₁ >= y >= y₂).
• Арифметически. Сумма отрезков |x-x₁| + |x-x₂| должна быть равна длине отрезка |x₁-x₂|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
  • |y-y₁| + |y-y₂| = |y₁-y₂|

Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.

Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p₁ и p₂, получим направляющий вектор V(p₁,p₂), и аналогично второй вектор M(p₃,p₄). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.

Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:

α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:

α = arctan (A₁ / B₁)

Где расстояния:

A₁ = (y₁ — y₂)

B₁ = (x₂ — x₁)

Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…

Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.

Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.

По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.

От теории к практике

Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.

Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.

Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:

Тут ситуация с вертикальной прямой, т.е. когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Она корректно обрабатывается функцией ArcTan2, которая вернет в этом случае и знак, и 90 градусов.  

Практика 2

В дополнение к функции нахождения точки пересечения, напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет нахождение на каждом из отрезков, и определяет угол между направляющими векторами. Или же определяет, что прямые параллельны/совпадают.

Исходники

Небольшие комментарии по интерфейсу.

Скачать (219 Кб): Исходники (Delphi XE 7-10)

Скачать (1.14 Мб): Исполняемый файл

При запуске генерируется случайным образом 4 точки, по две на прямую. Точки и отрезки можно перетаскивать мышкой. Также, слева присутствует панель, на которой можно ввести координаты точек или коэффициенты уравнения прямой. При нажатии «Enter» или когда элемент ввода теряет фокус, происходит перерасчет и перерисовка.

Внизу есть 4 кнопки переключения режимов отображения. Начиная со второй, помимо координат точки пересечений в верхнем левом углу будет отображаться текущий угол пересечения между направляющими векторами.

Если точка пересечений попадает в какой-либо из отрезков, соответствующий заголовок линии отрезка станет жирным. На рисунке это зеленая линия 2.

По умолчанию, рабочее поле системы координат имеет размерность [-10..10], которую можно изменить ползунком в нижнем правом углу.

Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P₁(x₁;y₁) и P₂(x₂;y₂). Второй задан точками P₃(x₃;y₃) и P₄(x₄;y₄).

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Рассмотрим отрезок P₃P₄ и точки P₁ и P₂.

Точка P₁ лежит слева от прямой P₃P₄, для нее векторное произведение v₁ > 0, так как векторы положительно ориентированы.
Точка P₂ расположена справа от прямой, для нее векторное произведение v₂ < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки P₁ и P₂ лежали по разные стороны от прямой P₃P₄, достаточно, чтобы выполнялось условие v₁v₂ < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P₁P₂ и точек P₃ и P₄.

Итак, если v₁v₂ < 0 и v₃v₄ < 0, то отрезки пересекаются.

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

где:
ax, ay – координаты первого вектора,
bx, by – координаты второго вектора.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P₁ с координатами (x₁;y₁) и P₂ с координатами (x₂; y₂). Соответственно вектор с началом в точке P₁ и концом в точке P₂ имеет координаты (x₂-x₁, y₂-y₁). Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P₁P равны (x – x₁, y – y₁).

С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов P₁P и P₁P₂ можно записать так:
|P₁P,P₁P₂|=0, т.е. (x-x₁)(y₂-y₁)-(y-y₁)(x₂-x₁)=0
или
(y₂-y₁)x + (x₁-x₂)y + x₁(y₁-y₂) + y₁(x₂-x₁) = 0

Последнее уравнение переписывается следующим образом:
ax + by + c = 0,     (1)
где
a = (y₂-y₁),
b = (x₁-x₂),
c = x₁(y₁-y₂) + y₁(x₂-x₁)

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Как найти точку пересечения прямых?
Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых:

ax₁+by₁=-c₁
ax₂+by₂=-c₂     (2)

Ввести обозначения:

Здесь D – определитель системы, а D_x,D_y – определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0, то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x₁=D_x/D, y₁=D_y/D, которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.