Как найти точку пересечения плоскостей в кубе

Пусть даны три плоскости . Чтобы найти точку пересечения этих плоскостей, нужно, очевидно, решить систему уравнений

Если определитель этой системы

то система имеет единственное решение, т. е. три плоскости пересекаются в одной точке.

Пример. Найти точку пересечения плоскостей:

Решение. Решая систему уравнений

найдем координаты точки пересечения плоскостей:

Содержание:

Стереометрия:

Напомним, что геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур, которая состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрию – раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости, вы изучили. В модуле 1 систематизированы и обобщены факты и свойства таких фигур.

Что такое стереометрия

Стереометрия – это раздел геометрии о свойствах фигур в пространстве -изучают в старших классах.

Схематически это выглядит так:

Фигуры, которые изучаются в стереометрии, называются геометрическими или пространственными. На рисунке 2.1 изображены некоторые пространственные фигуры: пирамида, параллелепипед, конус, цилиндр.

Напомним структуру логического построения планиметрии:

Поскольку стереометрия также является составляющей геометрии, то строится она по тому же принципу. Некоторые понятия принимаются как основные (простейшие, неопределяемые). Для них формулируются основные свойства – аксиомы, а далее рассматриваются другие, определяемые, понятия и их свойства.

Все фигуры, которые рассматривались на плоскости, можно рассматривать и в пространстве. Поэтому основные фигуры (понятия) планиметрии – точка и прямая – автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Описываются они так же. В пространстве рассматривается еще одна основная фигура – плоскость. Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски или поверхность листа бумаги, которые продолжены во все стороны до бесконечности. Плоскость также понимают как множество точек.
На базе основных понятий определяются другие основные определяемые понятия: расстояние между точками, отрезок, луч, треугольник и т.д.
Прямая – подмножество точек плоскости, отрезок – подмножество точек прямой. Некоторые подмножества точек плоскости являются плоским треугольником, четырехугольником и т.д., а некоторые – неплоскими фигурами. Пространство состоит из бесконечного множества точек.
Итак, основными фигурами (понятиями) в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Эти понятия называют неопределяемыми. Каждая пространственная геометрическая фигура состоит из множества точек. Рассмотрим куб на рисунке 2.2.

У него 8 вершин (точки), 12 ребер (части прямых) и 6 граней (части плоскостей). Гранями куба являются квадраты – фигуры планиметрии.

В стереометрии рассматривают более одной плоскости. Пространство состоит из бесконечного количества плоскостей, прямых и точек. Поэтому все аксиомы планиметрии имеют место и в стереометрии. Однако при этом некоторые из них приобретают другой смысл. Так, аксиома I, в планиметрии утверждает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком понимании эта аксиома применялась в процессе построения геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой, в пространстве. Из нее непосредственно не вытекает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует уже специального доказательства.

Аксиомы стереометрии

Формулирование некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Это касается, например, аксиом .

Приведем эти уточнения.

• . Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
• . От любой полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
• . Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, который равен ему в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
• ,. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах:

1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, непринадлежащие ей (рис. 2.3, а).
2. Если две различные прямые имеют общую точку, то че рез них можно провести плоскость, и притом только одну (рис. 2.3, б).
3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.3, в).

Аксиома 1 указывает на то, что любая плоскость все пространство не исчерпывает. Существуют точки пространства, которые ей не принадлежат.

Аксиома 2 утверждает, что две прямые, пересекающиеся в пространстве, всегда определяют одну плоскость. Из аксиомы 3 следует, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, образующих прямую, которая содержит эту точку.

Эти три аксиомы дополняют пять групп аксиом планиметрии и вместе с ними образуют аксиоматику стереометрии. Аксиому 1 стереометрии отнесем к группе аксиом принадлежности (обозначим I₃), а аксиомы 2 и 3 – к группе аксиом взаимного расположения (соответственно обозначим II₃, II4).

Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита – точки – большими буквами латинского алфавита – прямые – малыми буквами латинского алфавита – или двумя прописными буквами латинского алфавита – .

Для кратких записей утверждений используют символы –  принадлежит,  – не принадлежит, – подмножество и т.д. Краткие записи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей:

1. Точка  принадлежит прямой (точка лежит на прямой , прямая проходит через точку ). Обозначение: .
2. Точка не принадлежит прямой (точка не лежит на прямой , прямая не проходит через точку ). Обозначение: .
3. Точка принадлежит плоскости (точка лежит на плоскости , плоскость проходит через точку ). Обозначение: .
4. Прямая принадлежит плоскости (прямая лежит на плоскости , плоскость проходит через прямую ). Обозначение: .

Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать:

Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей.

Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур.
Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем.

Пример №1

Точки не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые  и не пересекаются.
 

Доказательство:

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые  и пересекаются (рис. 2.5).

Тогда, по аксиоме II₃, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые и не пересекаются, что и требовалось доказать.
Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др.

Следствия из аксиом стереометрии

Проанализировав все сказанное ранее, можно утверждать, что логическое построение геометрии имеет следующий вид:

Важное место в геометрии занимают аксиомы. Они выражают наиболее существенные свойства основных геометрических фигур. Все остальные свойства геометрических фигур устанавливаются рассуждениями, опирающимися на аксиомы или ранее доказанные утверждения, которые опираются на аксиомы. Такие рассуждения называют доказательствами. Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими из них являются утверждения для основных фигур стереометрии. Они называются следствиями из аксиом стереометрии. Рассмотрим теоремы, которые являются следствиями из аксиом стереометрии.
 

Теорема 1
 

Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну.
 

Доказательство:

Пусть – данная прямая и – точка, не принадлежащая ей (рис. 2.9). Через точки и проведем прямую . Прямые и различны и пересекаются в точке . По аксиоме II₃ через них можно провести плоскость . Докажем, что она единственная, методом от противного.

Допустим, что существует другая плоскость , которая содержит прямую и точку . Тогда, согласно аксиоме II4, плоскости  и  пересекаются по общей прямой, которой принадлежат точки что противоречит условию. Предположение неверно. Плоскость – единственная. Теорема доказана.

Теорема 2
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вея прямая принадлежит этой плоскости.
 

Доказательство:

Пусть заданы прямая , плоскость и точки А и В прямой , принадлежащие (рис. 2.10). Выберем точку С, которая не принадлежит прямой . Через точку С и прямую проведем плоскость . Если  и  совпадут, то прямая принадлежит плоскости . Если же плоскости и различны и имеют две общие точки и , то они пересекаются по прямой , содержащей эти точки. Поэтому через две точки и проходят две прямые и , что противоречит аксиоме принадлежности I₂. Поэтому и – совпадают. Однако поскольку , принадлежит плоскости , то и прямая также принадлежит .

Теорема доказана.
 

Теорема 3
 

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
 

Доказательство:

Пусть – заданные точки (рис. 2.11). Проведем через точки и прямую , а через точки и – прямую . Прямые и различны и имеют общую точку . Через них можно провести плоскость . Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость , содержащая точки . Тогда, по теореме 2, прямые и принадлежат плоскости . Поэтому плоскости  и имеют две общие прямые и , которые пересекаются, что противоречит аксиоме II₃. Итак, плоскость – единственная. Теорема доказана.
 

Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например то в таком случае пользуются обозначением: (). Читается: «плоскость, заданная точками , и », или сокращенно «плоскость ».

Если грань многогранника – четырехугольник, например , то выбирают запись плоскости произвольной тройкой его вершин. Например, (), () или (). Однако иногда в записи плоскости оставляют все четыре вершины, например ().
 

Пример №2

Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая бы не лежала с ними в одной плоскости?
 

Решение:

Через прямые и (рис. 2.12), которые имеют общую точку , можно провести плоскость . Возьмем точку , которая не принадлежит . Через точки и проведем прямую . Прямая не лежит на плоскости , так как если бы прямая принадлежала плоскости , то и точка принадлежала бы плоскости . Поэтому через точку пересечения прямых и можно провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости. Ответ. Можно.
 

Почему именно так?

Очевидно, что точки плоскости задают прямые, которые будут принадлежать этой самой плоскости. Если же взять точку пересечения двух прямых на плоскости и точку вне плоскости, то через любые две точки пространства можно провести прямую. Эта прямая будет иметь только одну общую точку с плоскостью, а значит, будет ее пересекать.

Пример №3

Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
 

Доказательство:

Поскольку прямые и параллельны, то по определению эти прямые лежат в одной плоскости (рис. 2.13). Произвольная прямая , пересекающая и , имеет с плоскостью две общие точки – точки пересечения. Согласно теореме 2, эта прямая принадлежит плоскости . Следовательно, все прямые, пересекающие две параллельные прямые, лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.
 

Пример №4

Докажите, что если прямые и не лежат в одной плоскости, то прямые и также не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и лежат в одной плоскости (рис. 2.14). Тогда точки принадлежат этой плоскости, а следовательно, прямые и принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому прямые и не принадлежат одной плоскости, что и требовалось доказать.

Почему именно так?

При доказательстве принадлежности или непринадлежности часто используют метод доказательства от противного. В этом случае он сразу выводит на противоречия, а значит – доказывает требование задачи.

Пример №5

Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве?

Решение:

Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей.
Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну.
 

Ответ. Бесконечно много или одна.

Почему именно так?

Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество.
Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость.

Сечения

Анализируя окружающий мир и систематизируя его предметы по форме, мы убеждаемся, что много из них «усечены» или «склеены». Разъединив их, получим поверхность, которую называют их сечением.

С сечениями мы сталкиваемся в разнообразных ситуациях: в быту, в столярничестве, токарстве и т.д. Решением задач на сечения геометрических фигур или других тел занимаются в черчении и конструкторской практике. Сечения выполняют для пространственных геометрических фигур.

Мы будем рассматривать сечения трех пространственных фигур: пирамиды, куба и прямоугольного параллелепипеда (их относят к многогранникам; с понятием многогранника вы ознакомитесь позднее). Для введения понятия сечения геометрической фигуры напомним понятие об отрезке, пересекающем или не пересекающем прямую: если в заданной плоскости концы отрезка лежат в различных полуплоскостях относительно заданной прямой, то отрезок пересекает прямую, если же в одной, – то нет. Аналогией такой ситуации в пространстве является плоскость и отрезок, т.е. их взаимное расположение.

Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, а концы отрезка могут лежать в различных полупространствах (рис. 2.20, а) относительно некоторой плоскости, на плоскости (рис. 2.20, б) или в одном полупространстве (рис. 2.20, в).

Если ни одна из двух точек не принадлежит плоскости, а отрезок, соединяющий их, имеет с этой плоскостью общую точку, то говорят, что данные точки лежат по разные стороны относительно плоскости, или отрезок пересекает плоскость. Если же как минимум две точки пространственной геометрической фигуры лежат по разные стороны плоскости, то говорят, что плоскость эту фигуру пересекает, такую плоскость называют секущей.

Фигура, которая состоит из всех общих точек геометрической фигуры и секущей плоскости, называется сечением геометрической фигуры. На рисунке 2.21 сечения изображены цветом.

Сечение задают условием задачи. В зависимости от этих условий и выполняют построение сечения. Учитывая изученное, мы будем решать задачи, в которых сечение задается тремя точками или прямой и точкой вне ее. Почти во всем курсе стереометрии нам придется работать с разными сечениями.
Существуют различные методы построения сечений. Наиболее распространенный в практике изучения курса геометрии средней школы – метод следов. Рассмотрим его.

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей.
Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения.

При построении сечения следует помнить:

• через две точки, принадлежащие плоскости, проходит только одна прямая, и эта прямая также принадлежит этой плоскости;
• чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, которые принадлежат обеим плоскостям, и через них провести линию пересечения;
• при построении сечений многогранников секущей плоскостью нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекается с гранями многогранника.

Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью.
 

Пример №6

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной.
 

Построение

Пусть – заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например , являющуюся общей для трех ребер и . Обозначим на этих ребрах точки  и  соответственно, являющиеся их серединами. Точки и не лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость (). Точки и – общие точки плоскости сечения и грани , поэтому , – сторона сечения.
Аналогично и , поэтому и – две другие стороны сечения. Таким образом, – искомое сечение.
 

Пример №7

Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через ребро и середину ребра .
 

Построение

Плоскость сечения задается прямой и серединой ребра (обозначим ее точкой ) (рис. 2.23). (МАК) – плоскость сечения. Найдем прямые пересечения
этой плоскости с плоскостями () и (). Ими будут соответствующие прямые и , а , образованный пересечением прямых , и , – искомое сечение.

Пример №8

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, которые лежат соответственно на ребрах , .
 

Построение

Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней.

Пусть – секущая плоскость, проходящая через заданные точки , и . Построим сечение, выполняя последовательно шаги:

1. , тогда .
2. , тогда .

Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки и (рис. 2.24, а). Точка – общая точка двух плоскостей () и (). Такие плоскости (по аксиоме II₄) пересекаются по прямой, проходящей через точку . Для построения такой прямой нужна вторая точка.

3. Плоскости () и () пересекаются по прямой . по условию не параллельна и , поэтому (рис. 2.24, б).
4. Прямая – линия пересечения плоскостей () и (). Пересечение этой прямой с ребром дает точку , которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник – искомое сечение (рис. 2.24, в).

Пример №9

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины и  ребер  и  и точку пересечения диагоналей грани (рис. 2.25, а).

Построение

Обозначим секущую плоскость . Выполним последовательно шаги, выполняя поиск фигуры, образованной плоскостью сечения.

1. Найдем точку пересечения прямой с плоскостью (). Эта прямая лежит в плоскости (), пересекающейся с плоскостью () по прямой . Точка – точка пересечения прямых и . Точка  – искомая (рис. 2.25, б).
2. Аналогично находим точку как точку пересечения прямой с плоскостью (). Точка – искомая.
3. Плоскость а пересекает плоскость () по прямой, а плоскость () – по прямой . Прямые и пересекают ребра прямоугольного параллелепипеда и в точках  и соответственно (рис. 2.25, в).
4. Прямая пересекает ребро прямоугольного параллелепипеда в некоторой точке – последней вершине сечения (рис. 2.25, в).

Таким образом, пятиугольник – искомое сечение (рис. 2.25, г).
Приведем краткие описания построения сечения куба плоскостью, проходящей через три точки.

Пример №10

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам .
 

Построение

Секущая плоскость ) (рис. 2.26).

1. Точки и лежат в . Проведем прямую , .
2. Точки , лежат в . Проведем прямую , .
3. Точки , лежат в .
4. – искомое сечение.
    

Пример №11

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М, Т, которые принадлежат соответственно ребрам  , .

Построение

Секущая плоскость (рис. 2.27).

1. Точки и лежат в , .
2. Точки , лежат в , .
3. Точки , лежат в .
4. – искомое сечение.
    

Пример №12

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам ,, .

Построение

Секущая плоскость (рис. 2.28).

1. Точки , лежат в , .
2. Точки и лежат в , .
3. Точки и  лежат в , .
4. – искомое сечение.

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Задача

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Решение

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1”C” и 2”3”, совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_0γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Алгоритм построения

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_0α и h_0β. Точка L”₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L”₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L”₂.
3. Проводим прямые l’ и l” через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3”=A”B”∩f_0σ и 5”=A”С”∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N” расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

3. Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

4. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N”K” видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6” находится выше, чем (∙)7”, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Дополнительные материалы: