Как найти точку пересечения плоскостей в пространстве - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Пусть даны три плоскости . Чтобы найти точку пересечения этих плоскостей, нужно, очевидно, решить систему уравнений

Если определитель этой системы

то система имеет единственное решение, т. е. три плоскости пересекаются в одной точке.

Пример. Найти точку пересечения плоскостей:

Решение. Решая систему уравнений

найдем координаты точки пересечения плоскостей:

Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, необходимо решить эти уравнения относительно х, у и z, при этом координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.

Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁= 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂= 0

A₃x + B₃y + C₃z + D₃= 0

Если определитель этой системы не равен нулю,

то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.

Замечания

1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.

Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей

x+y+z=1, x-2y-3z=5, 2x-y-2z=6

Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую.

Пример 2

х-у+2=0

х+2у-1=0

x+y-z+2=0

Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки x=-1; y=1; z=2.

Таким образом плоскости имеют одну общую точку (-1; 1; 2), так как система уравнений имеет единственное решение.

Пример 3
Плоскости

4х-2у+z-4=0 (1)

8х-4у+2z+9=0 (2)

x+y-5z=0 (3)

не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны.

Система уравнений несовместима (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу).

7760

Источник

В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β. Разместим их в прямоугольной системе координат Oхуz трехмерного пространства.

Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0. Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A1x+B1y+C1z+D1=0, а плоскости β уравнение A2x+B2y+C2z+D2=0. В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

n1→≠λ·n2→⇔A1, B1, C1≠λ·A2, λ·B2, λ·C2 , λ∈R

Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a. Т.е. a=α∩β. Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β. Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Фактически, они являются частным решением системы уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

Общее решение системы линейных уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β. Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат Oxyz.

Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

Пример 1

Прямая Ox – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Зададим плоскость Oxy уравнением z=0, а плоскость Oxz уравнением у=0. Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая Ox определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y=0z=0.

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oхуz. Линия, по которой пересекаются две плоскости a, задана системой уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Дана точка трехмерного пространства M0 x0, y0, z0.

Давайте определим, принадлежит ли точка M0 x0, y0, z0 заданной прямой линии a.

Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A1x0+B1y0+C1z0+D1=0 и A2x0+B2y0+C2z0+D2=0, то точка М0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A1x0+B1y0+C1z0+D1=0 и A2x0+B2y0+C2z0+D2=0 окажется неверным, то точка М0 не принадлежит прямой линии.

Рассмотрим решение примера

Пример 2

Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2x+3y+1=0x-2y+z-3=0. Определите, принадлежат ли точки M0(1, -1, 0) и N0(0, -13, 1) прямой линии пересечения плоскостей.

Решение

Начнем с точки М0_.Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2·1+3·(-1)+1=01-2·(-1)+0-3=0⇔0=00=0.

В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.

Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N0(0, -13, 1). Получаем 2·0+3·-13+1=00-2·-13+1-3=0⇔0=0-113=0.

Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N0 не принадлежит заданной прямой.

Ответ: точка М0принадлежит прямой линии, а точка N0не принадлежит.

Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

Приведем пример.

Пример 3

Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x+3z+7=02x+3y+3z+2=0. Найдите координаты любой из точек этой прямой.

Решение

Перепишем систему уравнений x+3z+7=02x+3y+3z+2=0⇔x+0y+3z=-72x+3y+3z=-2.

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1023=3≠0. Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.

Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:

x+0y+3z=-72x+3y+3z=-2⇔x+0y=-7-3z2x+3y=-2-3z

Введем произвольное действительное число λ и примем, что z=λ.

Тогда x+0y=-7-3z2x+3y=-2-3z⇔x+0y=-7-3λ2x+3y=-2-3λ.

Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:

∆=1023=1·3-0·1=2∆x=-7-3λ0–3λ3=-7-3λ·3-0·(-2-3λ)=21-9λ⇒x=∆x∆=-7-3λ∆y=1-7-3λ2-2-3λ=1·-2-3λ–7-3λ·=12+3λ⇒y=∆y∆=4+λ

Общее решение системы уравнений x+3z+7=02x+3y+3z+2=0 будет иметь вид x=-7-3λy=4+λz=λ, где λ∈R.

Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ=0, то x=-7-3·0y=4+0z=0⇔x=-7y=4z=0.

Это позволяет нам получить координаты искомой точки -7, 4, 0.

Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей -7+3·0+7=02·(-7)+3·4+3·0+2=0⇔0=00=0.

Ответ: -7, 4, 0

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

Плоскости α и β пересекаются по линии a. Направляющий вектор a→ прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n1→=(A1, B1, C1) плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и нормальному вектору n2→=(A2, B2, C2) плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n→1=(A1, B1, C1) и n2→=A2, B2, C2.

a→=n→1×n2→=i→j→k→A1B1C1A2B2C2

Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ·a→=λ·n1→×n2→, где λ – это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

Пример 4

Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oхуz задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x+2y-3z-2=0x-z+4=0. Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.

Решение

Плоскости x+2y-3z-2=0 и x-z+4=0 имеют нормальные векторы n1→=1, 2, -3 и n2→=1, 0, -1. Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:

a→=n→1×n2→=i→j→k→12-310-1=i→·2·(-1)+j→·(-3)·1+k→·1·0–k→·2·1-j→·1·(-1)-i→·(-3)·0=-2·i→-2j→-2k→

Запишем ответ в координатной форме a→=-2, -2, -2. Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».

Ответ: a→=-2, -2, -2

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В этих уравнениях ax, ay, az – координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 – координаты некоторой точки прямой, а λ – параметр, принимающий произвольные действительные значения.

От уравнения прямой вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассмотрим написанное выше на примере.

Пример 5

Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0. Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n1→=2, 1, -1 плоскости 2x+y-z-1=0и n2→=(1, 3, -2) плоскости x+3y-2z=0:

a→=n1→×n2→=i→j→k→21-113-2=i→·1·(-2)+j→·(-1)·1+k→·2·3–k→·1·1-j→·2·(-2)-i→·(-1)·3=i→+3·j→+5·k→

Координаты направляющего вектора прямой a→=(1, 2, 5).

Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0⇔2x+y-z=1x+3y-2z=0.

Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2113=2·3-1·1=5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ:

2x+y-z=1x+3y-2z=0⇔2x+y=1+zx+3y=2z⇔2x+y=1+λx+3y=2λ, λ∈R

Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:

∆=2113=2·3-1·1=5∆x=1+λ12λ3=(1+λ)·3-1·2λ=3+λ⇒x=∆x∆=3+λ5=35+15·λ∆y=21+λ12λ=2·2λ-(1+λ)·1=-1+3λ⇒y=∆y∆=-1+3λ5=-15+35·λ

Получаем: 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0⇔x=35+15y=-15+35z=λ

Примем λ=2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x1=35+15·2y1=-15+35·2z1=2⇔x1=1y1=1z1=2. Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔x-11=y-13=z-25x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ⇔x=1+1·λy=1+3·λz=2+5·λ⇔x=1+λy=1+3·λz=2+5·λ

Ответ: x-11=y-13=z-25 и x=1+λy=1+3·λz=2+5·λ

Данная задача имеет еще один способ решения.

Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ.

Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ, приравниваем правые части равенства.

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ⇔λ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

Применим данный способ к решению задачи.

Пример 6

Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0. Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.

Решение

Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0⇔x=35+15·λy=-15+35·λz=λ.

Это параметрические уравнения прямой в пространстве.

Канонические уравнения получаем следующим образом: x=35+15·λy=-15+35·λz=λ⇔λ=x-3515λ=y+1535λ=z1⇔x-3515=y+1535=z1

Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.

Ответ: x-3515=y+1535=z1 и x=35+15·λy=-15+35·λz=λ

Источник

Линия
пересечения двух плоскостей – прямая
линия. Рассмотрим сначала частный случай
(рис. 3.9), когда одна из пересекающихся
плоскостей параллельна горизонтальной
плоскости проекций (α ׀׀
π₁,
f⁰_α׀׀Х).
В этом случае линия пересечения а,
принадлежащая плоскости α,
будет также параллельна плоскости π₁,
(рис. 3.9. а) т.
е. будет совпадать с горизонталью
пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

Если одна из
плоскостей параллельна фронтальной
плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия
пересечения а, принадлежащая этой
плоскости, будет параллельна плоскости
π₂
и будет совпадать с фронталью
пересекающихся
плоскостей (а ≡ f).

а)
б)

Рис. 3.9. Частный
случай пересечения плоскости общего
положения с плоскостями: а) горизонтального
уровня; б) фронтального уровня

Пример построения
точки пересечения (К) прямой а (АВ) с
плоскостью α (DEF)
показан на рис. 3.10. Для этого прямая а
заключена в произвольную плоскость β
и определена линия пересечения плоскостей
α и β.

В рассматриваемом
примере прямые АВ и MN
принадлежат одной плоскости β и
пересекаются в точке К, а т. к. прямая MN
принадлежит заданной плоскости α (DEF),
то точка К является и точкой пересечения
прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 11).

Рис. 3.10. Построение
точки пересечения прямой с плоскостью

Для решения подобной
задачи на комплексном чертеже необходимо
уметь находить точку пересечения прямой
общего положения с плоскостью общего
положения.

Рассмотрим пример
нахождения точки пересечения прямой
АВ c
плоскостью треугольника DEF
представленный на рис. 3.11.

Для нахождения
точки пересечения через фронтальную
проекцию прямой А₂В₂
проведена фронтально-проецирующая
плоскость β которая пересекла треугольник
в точках M
и N.
На фронтальной плоскости проекций (π₂)
эти точки представлены проекциями M₂, N₂.
Из условия принадлежности прямой
плоскости на горизонтальной плоскости
проекций (π₁)
находятся горизонтальные проекции
полученных точек M₁
N₁.
В пересечении горизонтальных проекций
прямых А₁В₁
и M₁N₁
образуется горизонтальная проекция
точки их пересечения (К₁).
По линии связи и условиям принадлежности
на фронтальной плоскости проекций
находится фронтальная проекция точки
пересечения (К₂).

Видимость
отрезка АВ относительно треугольника
DEF
определена методом конкурирующих
точек.

На плоскости π₂
рассмо- трены две точки NEF
и

Рис. 3.11. Пример
определения точки

пересечения прямой
и плоскости

1АВ.
По горизонтальным проекциям этих
точек можно установить, что точка N
рас- положена ближе к наблюда-
телю (Y_N>Y₁
), чем точка 1 (направление луча
зрения параллельно S).
Следовательно, прямая АВ, т. е. часть
прямой АВ (К₁)
закрыта плоскостью DEF
на плоскости π₂
(ее проекция К₂1₂
показана штриховой линией). Аналогично
установлена видимость на плоскости
π₁.

Вопросы для
самоконтроля

В чем заключается
сущность метода конкурирующих точек
?
Свойства прямой.
Каков алгоритм
определения точки пересечения прямой
и плоскости ?
Каков алгоритм
определения линии пересечения плоскостей
?
Какие задачи
называются позиционными ?
Сформулируйте
условия принадлежности прямой плоскости.

Соседние файлы в папке Лекции нг

Источник

Две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.

Параллельность двух плоскостей

Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Основные свойства параллельности плоскостей.

Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, равны по длине.

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой. Общая прямая двух плоскостей называется ребром двугранного угла, образованного при пересечении данных плоскостей. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Если все они равны, то плоскости называются перпендикулярными.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Из признака перпендикулярности плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Угол между плоскостями — наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Угловая величина двугранного угла — это величина линейного угла данного двугранного угла.

Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Тренировочные задания

Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Найдите угол между плоскостями $AD_{1}C_{1}$ и $A_{1}D_{1}C$ .
Дан куб $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Точка — середина ребра $C_{1}D_{1}$ . Найдите угол между плоскостями $KBA_{1}$ и $BCC_{1}$ .
В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ все рёбра равны . На его ребре $BB_{1}$ отмечена точка так, что . Через точки и $C_{1}$ построена плоскость , параллельная прямой $BD_{1}$ . Найдите угол наклона плоскости к плоскости грани $BB_{1}C_{1}C$ .
Дана правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ , у которой сторона основания равна , а боковое ребро равно . Через точки , $C_{1}$ и середину ребра $A_{1}B_{1}$ проведена плоскость. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ имеют длину . Точки и — середины рёбер $AA_{1}$ и $A_{1}C_{1}$ соответственно. Найдите угол между плоскостями и .
Основанием пирамиды является прямоугольник , в котором . Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Отрезок является высотой пирамиды . Из вершин и опущены перпендикуляры и на ребро . Найдите двугранный угол пирамиды при ребре , если .
В основании прямой призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ лежит квадрат со стороной , а высота призмы равна . Точка лежит на диагонали $BD_{1}$ , причём . Найдите угол между плоскостью $A_{1}C_{1}E$ и плоскостью .