Как найти точку пересечения прямой перпендикулярной плоскости

Точка пересечения прямой и плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямой и плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости задайте вид уравнения прямой (“канонический” или “параметрический” ), введите данные в уравнения прямой и плоскости и нажимайте на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Точка пересечения прямой и плоскости − теория, примеры и решения

1. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в каноническом виде

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямая L₁:

,

(1)

и плоскость α:

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁={m₁, p₁, l₁} − направляющий вектор прямой L₁, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.

Найти точку пересечения прямой L₁ и плоскости α (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (2), (5), (6) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого в уравнении (2) переведем свободный член в правую часть уравнения и запишем эту систему в матричном виде:

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (2), (5), (6)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или на примерах ниже. Если система линейных уравнениий (7) несовместна, то прямая L₁ и плоскость α не пересекаются. Если система (7) имеет множество решений, то прямая L₁ лежит на плоскости α. Единственное решение системы линейных уравнений (7) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямой L₁ и плоскости α.

Замечание. Если прямая задана параметрическим уравнением, то уранение прямой нужно приводить к каноническому виду и применить метод, описанный выше, или же

2. Точка пересечения плоскости и прямой, заданной в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L₁ в параметрическом виде:

и плоскость α:

где M₁(x₁, y₁, z₁) − точка, лежащая на прямой L₁, q₁={m₁, p₁, l₁} − направляющий вектор прямой L₁, а n={A,B,C} − нормальный вектор плоскости α.

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и плоскости α можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямой L₁ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (8) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Так как левые части уравнений (10) равны, то можем записать:

Далее, для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α решим совместно уравнения (8) и (9). Из уравнений (8) подставим x, y, z в (9):

Откроем скобки и найдем t:

Если числитель и знаменатель в уравнении (14) одновременно равны нулю, то это значит, что прямая L₁ лежит на полскости α. Если в уравнении (14) числитель отличен от нуля, а знаменатель равен нулю, то прямая и плоскость параллельны.

Если же числитель и знаменатель в уравнении (14) отличны от нуля, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Для нахождения координат точки пересечения прямой L₁ и плоскости α подставим полученное значение t из (14) в (8).

3. Примеры нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Пример 1. Найти точку пересечения прямой L₁:

и плоскости α:

Представим уравнение (15) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (17) и (18):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (19) и (20). Для этого переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (19) и (20):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −7/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 4/3:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −3/2:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 1/2:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Запишем решение:

Ответ. Точка пересечения прямой L₁ и плоскости α имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямой L₁:

и плоскости α:

Представим уравнение (22) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (24) и (25):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Упростим:

Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плосклсти α нужно решить совместно уравнения (2), (26) и (27). Переведем в уравнении (2) свободный член на правую сторону уравнения и построим матричное уравнение для системы линейных уравнений (2), (26) и (27):

Решим систему линейных уравнений (21) отностительно x, y, z. Для этого построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 6/5:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на −1/5:

Из расширенной матрицы восстановим систему линейных уравнений:

Легко можно заметить, что последнее уравнение в (29) несовместна, так как несуществуют такие x, y, z чтобы выполнялось это равенство. Следовательно система линейных уравнений (2), (26) и (27) несовместна. Тогда прямая L₁ и плоскость α не пересекаются, т.е. они параллельны.

Ответ. Прямая L₁ и плоскость α параллельны, т.е. не имеют общую точку.

Пример 3. Найти точку пересечения прямой в параметрическом виде L₁:

и плоскости α:

Решение. Для нахождения точки пересечения прямой L₁ и плоскости α нужно найти такое значение t, при котором точка M(x, y, z) удовлетворяет уравнению (31). Поэтому подставим значения x, y, z из (30) в (31):

Откроем скобки:

Упростив уравнение, получим:

Как видим, любое значение t удовлетворяет уравнению (33), т.е. любая точка на прямой L₁ удовлетворяет уравнению плоскости α. Следовательно прямая L₁ лежит на плоскости α.

Ответ. Прямая L₁ лежит на плоскости α.

Точка
пересечения прямой и плоскости

Постановка
задачи.
Найти точку пересечения прямой

 и
плоскости

.

План
решения.

1.
Находим параметрические уравнения
прямой. Для этого полагаем

.

откуда
получаем

2.
Подставляя эти выражения для

 в
уравнение плоскости и решая его
относительно t,
находим значение параметра

,
при котором происходит пересечение
прямой и плоскости.

3.
Найденное значение

 подставляем
в параметрические уравнения прямой и
получаем искомые координаты точки
пересечения:

Замечание.
Если в результате решения уравнения
относительно параметра

 получим
противоречие, то прямая и плоскость
параллельны (это эквивалентно условию

).

Задача
13.
Найти точку пересечения прямой и
плоскости.

Запишем
параметрические уравнения прямой.

Подставляем
в уравнение плоскости:

Откуда
координаты точки пересечения прямой и
плоскости будут

Задача 14

Симметрия
относительно прямой или плоскости

Симметрия относительно прямой

Постановка
задачи.
Найти координаты точки

,
симметричной точке

 относительно
прямой

.

План
решения.

1.
Находим уравнение плоскости, которая
перпендикулярна данной прямой и проходит
через точку

.
Так плоскость перпендикулярна заданной
прямой, то в качестве ее вектора нормали
можно взять направляющий вектор прямой,
т.е.

Поэтому
уравнение плоскости будет

2.
Находим точку

 пересечения
прямой

 и
плоскости

 (см.
задачу 13).

3.
Точка

 является
серединой отрезка

,
где точка

 является
точкой симметричной точке

,
поэтому

Задача
14.
Найти точку

,
симметричную точке

 относительно
прямой.

.

Уравнение
плоскости, которая проходит через точку

 перпендикулярно
заданной прямой будет:

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда

 –
точка пересечения прямой и плоскости.

 является
серединой отрезка

,
поэтому

Т.е.

.

Симметрия относительно плоскости

Постановка
задачи.
Найти координаты точки

,
симметричной точке

 относительно
плоскости

.

План
решения.

1.
Находим уравнение прямой, которая
перпендикулярна данной плоскости и
проходит через точку

.
Так прямая перпендикулярна заданной
плоскости, то в качестве ее направляющего
вектора можно взять вектор нормали
плоскости, т.е.

.

Поэтому
уравнение прямой будет

.

2.
Находим точку

 пересечения
прямой

 и
плоскости

 (см.
задачу 13).

3.
Точка

 является
серединой отрезка

,
где точка

 является
точкой симметричной точке

,
поэтому

Задача
14.
Найти точку

,
симметричную точке

 относительно
плоскости.

Уравнение
прямой, которая проходит через точку

 перпендикулярно
заданной плоскости будет:

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда

 –
точка пересечения прямой и плоскости.

 является
серединой отрезка

,
поэтому

Т.е.

.

Литература

1. Ван дер Варден
   Б.Л. Алгебра. – СПб. : Лань, 2004. – 624 с.

2. Кузнецов Л.А.
   Сборник заданий по высшей математике
   (типовые расчеты). — СПб: «Лань»,
   2008.- 240 c.

3. Привалов И.И.
   Аналитическая геометрия. – СПб. ; М. ;
   Краснодар: Лань, 2007. – 304 с.

4. Цубербиллер О.Н.
   Задачи и упражнения по аналитической
   геометрии. – СПб.: Лань, 2003. – 336 с.

5. Фаддеев Д.К.,
   Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре.
   – СПб.; М. ; Краснодар : Лань, 2007. – 288 с.

6. Курош А.Г. Курс
   высшей алгебры. – СПб. ; М. ; Краснодар :
   Лань, физматкнига, 2007. – 432 с.

7. Окунев Л.Я. Высшая
   алгебра.- СПб.: Лань, 2009. – 336 с.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лидеры категории

М.И.

Искусственный Интеллект

Y.Nine

Искусственный Интеллект

•••

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, проецируется на последнюю в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает такую плоскость ¹).

На рис. 159 фронтальная проекция К” точки пересечения прямой АВ с треугольником CDE определяется в пересечении проекций А”В” и С”Е”, так как треугольник проецируется на пл. π₂ в виде прямой линии. Найдя точку К”, определяем положение проекции К’. Так как прямая АВ в направлении от К к В находится под треугольником, то на чертеже часть горизонтальной проекции прямой проведена штриховой линией.

¹) Точку пересечения прямой с плоскостью называют также точкой встречи прямой с плоскостью.

На рис. 160 фронтальный след пл. γ является ее фронтальной проекцией. Проекция К” определяется в пересечении проекции А”В” и следа γ”.

На рис. 161 дан пример построения проекций точки пересечения прямой с гори- зонтально-проецирующей плоскостью.

Для большей наглядности изображают проекции отрезков прямой линии, пересекающей плоскость, одни — сплошными линиями, другие — штриховыми, руководствуясь при этом следующими соображениями:

1. Условно считают, что данная плоскость непрозрачна и точки и линии, лежащие хотя бы и в первой четверти, расположенные для зрителя,за плоскостью, будут невидимыми, видимыми же будут точки и линии, расположенные по одну сторону плоскости со зрителем, который, как мы будем считать, находится в первом октанте и бесконечно далеко от соответствующей плоскости проекций.
2. Видимые отрезки линий вычерчиваются сплошными линиями, а невидимые — штриховыми.
3. При пересечении прямой с плоскостью часть этой прямой делается для зрителя невидимой; точка пересечения прямой с плоскостью служит границей видимости линии.
4. Вопрос о видимости линии всегда можно свести к вопросу о видимости точек. При этом не только плоскость может закрывать точку, но и точка может закрывать другую точку (см. рис. 87).
5. Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей прямой, то видимой будет только одна из них:
1. поотношениюкпл. π₁ — точка,наиболееудаленнаяот π₁
2. поотношениюкпл. π₂ — точка,наиболееудаленнаяотπ₂;
3. поотношениюкпл. π₃ — точка,наиболееудаленнаяотπ₃.
6. Если чертеж содержит оси проекций, то для определениявидимости точек, располо
   женных на общей для них проецирующей прямой, служат расстояния их соответствующих проекций от оси проекций:
1. относительно пл. π₁ видима точка, фронтальная проекция которой находится дальше от оси х;
2. относительно пл. π₂ видима точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси х;
3. относительно пл. π₃ видима точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси у.

Как надо поступать в случае, если чертеж не содержит осей проекций? Рассмотрим рис. 162. Точки 1 и 2 двух скрещивающихся прямых расположены на общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. π₂, а точки 3 и 4 — на проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. π₁

Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой АВ, а точка 3 — прямой CD. Так как 3″3′ > 4″4′, то видима относительно пл. π₁ точка 3, принадлежащая прямой CD, а точка 4 точкой 3 закрыта.

Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых АВ и CD представляет собой слившиеся проекции двух точек 1 и 2, из которых точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 — прямой CD. Так как 1’1″ > 2’2″, то видима относительно пл. π₂ точка 1, закрывающая собой точку 2.

Это — общий способ : так можно поступать и на чертежах с осями проекций.



5.6.2. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

Ответим на этот (и не только) вопрос на конкретном примере, я постарался собрать в одной задаче всё, что связано с этой точкой:

Задача 162

Дана прямая  и плоскость . Требуется:

а) доказать, что прямая пересекает плоскость;
б) найти точку пересечения прямой и плоскости;

в) через прямую  провести плоскость , перпендикулярную плоскости ;

г) найти проекцию прямой  на плоскость ;

д) найти угол между прямой  и плоскостью .

НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)
…и осталось тут ещё местечко на странице, поэтому давайте улыбнёмся друг другу 🙂 🙂 и  продолжим. Хотя, штанга не располагает к улыбкам 🙂

Решение: сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:

а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:

Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:

Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.

б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не

«Чёрный квадрат» Малевича, но я тоже надеюсь:

Приём решения стандартен и неоднократно применялся в

предыдущем параграфе. Сначала перепишем уравнения прямой в параметрической форме:

Точка  принадлежит данной прямой, поэтому её координаты  при некотором значении параметра  удовлетворяют параметрическим уравнениям:
, или одной строчкой: .

С другой стороны, точка  принадлежит и плоскости , следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению , то есть должно выполняться равенство:
 – ну, или попросту параметрические координаты точки нужно подставить в

уравнение плоскости.

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим «тэ нулевое»:

 – полученное значение параметра подставляем в параметрические выражения

координат нашей точки:

Самостоятельно выполните устную проверку – подставьте координаты точки в уравнение плоскости и в уравнения прямой. Они должны

«подойти» и там и там.

в) Найдём уравнение плоскости  («омега»),

которая перпендикулярна плоскости  и проходит через прямую . Задача весьма напоминает Задачу 142, где мы рассмотрели построение перпендикулярной

плоскости, проходящей через две точки.

Выполним схематический чертёж:

Уравнение плоскости  можно составить по любой точке, которая принадлежит прямой , направляющему вектору  прямой  и вектору нормали  плоскости .

В качестве точки, принадлежащей прямой «дэ», не возбраняется, конечно, взять найденную в предыдущем пункте точку пересечения , но в произвольной практической задаче она чаще всего не известна. Поэтому обычно используют

самую «лёгкую добычу». В данном случае, очевидно, точку:
.

Уравнение плоскости «омега» составим по точке  и двум неколлинеарным

векторам :

Таким образом:

Проверка опять же простая:

1) Мысленно вычислим скалярное произведение нормальных векторов  двух

плоскостей. Оно равно нулю, значит, плоскости перпендикулярны.

2) Теперь нужно убедиться, что прямая «дэ» действительно лежит в найденной плоскости «омега». Можно использовать типовой алгоритм, но тут есть быстрое решение – устно подставляем координаты двух известных точек  в полученное уравнение плоскости . Обе точки «подходят», и это гарантирует, что и вся прямая  лежит в плоскости .

5.6.3. Как найти проекцию прямой на плоскость?

5.6.1. Взаимное расположение прямой и плоскости

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин