Как найти точку пересечения треугольника с отрезком

Чертежик

Метки

Точки пересечения треугольников пошаговое выполнение

Точки пересечения треугольников определяются в следующем порядке:

1.) Согласно заданию строятся точки по координатам.

2.) Теперь важным шагом является определение плоскости относительно которой будем искать точки пересечения треугольников.

Вы можете сказать: «можно найти точки относительно плоскости АВС», но нет. Почему!? Я объясню, посмотрев на рисунок, расположенный внизу, можно увидеть что треугольник D2E2F2, а точнее две стороны пересекают треугольник А2В2С2 в четырех точках, соответственно используем треугольник D2E2F2,как опорную плоскость.

• Сторона D2E2 пересекает плоскость А2В2С2 в точках 1 2 и 2 2, эти точки переносим на нижнее изображение: на стороны относительно которых они были найдены и обозначаем 1 1 и 2 1.
• Точки 1 1 и 2 1 соединяются.
• Прямая 1 1 2 1 пересекает сторону D1E1 в точке, обозначим Р1 (первая точка найдена).

3.) Сторона E2F2 пересекает стороны B2C2 и A2C2 в точках 4 2 и 3 2. Опускаем их на нижний рисунок и обозначаем 4 1 и 3 1.

4.) Соединяются точки 3 1 и 4 1.

5.) Продливается прямая 3 1 4 1 до пересечения с отрезком E1F1. В месте пересечения ставим точку и обозначаем Н.

6.) Точки P1 и H соединяются. Полученная прямая P1H пересекает отрезок А2С2 в точке K1 (найдена вторая точка).

7.) Переносятся точки P1 и K1, расположенные на отрезках D1E1 и E1F1, на отрезки D2E2 и E2F2. И обозначаются P2 и K2.

8.) Соединяются P2 и K2.

9.) А теперь главный момент: указать видимые и невидимые стороны.

Посмотрите на рисунок снизу. На нем точки D, F, B, C и E находятся в двух проекциях «свободно», но не точка A. Соответственно, относительно ее и необходимо начинать чертить линии.

Пример выполненной работы на эту тему смотрите здесь.

Немного добавлю по этой статье: «Точки пересечения треугольников»

По своему опыту скажу: «чтобы начертить подобный чертеж, необходимо обладать пространственным воображением» и понимать, относительно какой плоскости отталкиваться для решения подобной задачи. Но благодаря этой статьи надеюсь у Вас получится разобраться с темой: пересечение плоских фигур.

Построить линию пересечения треугольников ABC и EDK и показать видимость их в проекциях.
Определить натуральную величину треугольника ABC.

1. Строим проекции треугольника АВС.

2. Строим проекции треугольника EDK.

3. Находим точку пересечения стороны АС с треугольником EDK

4. Находим точку пересечения стороны А B с треугольником EDK и строим линию пересечения MN

5. С помощью конкурирующих точек 4 и 5 определяем видимость треугольников на фронтальной плоскости проекций.

6. С помощью конкурирующих точек 6 и 7 определяем видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций.

7. В треугольнике ABC проводим горизонталь CL и плоскопараллельным перемещением относительно горизонтальной плоскости проекций располагаем горизонталь перпендикулярно фронтальной плоскости проекций.

Строим фронтальную проекцию треугольника ABC . Треугольник должен проецироваться в прямую линию.

8. Определяем действительную величину треугольника ABC и строим на нем линию пересечения MN.

Начертательная геометрия, решение задачи №5 ОмГУПС

>>>Назад к решению задачи №4

З а д а ч а 5.

Определить линию пересечения треугольников ABC и DEK с учетом их взаимной видимости.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей состоит в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и при пересечении построенных линий находят общую точку двух заданных плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью второй вспомогательной плоскости.

В качестве вспомогательных плоскостей обычно берут плоскости частного положения — плоскости уровня относительно плоскостей проекций (горизонтальные, фронтальные) или проецирующие (перпендикулярные к плоскостям проекций).

Для построения линии пересечения двух плоскостей можно использовать точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Точку пересечения прямой с плоскостью строят в следующем порядке: через заданную прямую проводят вспомогательную проецирующую плоскость; строят линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей; в пересечении построенной линии с заданной прямой отмечают искомую точку.

Видимость геометрических элементов на комплексном чертеже определяется с помощью конкурирующих точек, проекции которых на какую-либо плоскость проекций совпадают. Из двух горизонтально конкурирующих точек на П₁ видна будет та, у которой больше высота, т.е. координата z, а из двух фронтально конкурирующих точек на П₂ видна будет та, у которой больше глубина, т.е. ордината y.

Для решения задачи применен второй из указанных выше способов. Точка пересечения прямой КЕ с плоскостью треугольника АВС (точка М) найдена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости Ф, фронтальный след которой совпадает с К₂Е₂. Вспомогательная плоскость пересекается с плоскостью треугольника АВС по линии 7-8. Пересечение горизонтальных проекций этой линии и прямой КЕ (точка М), является горизонтальной проекцией первой точки линии пересечения заданных плоскостей. Ее фронтальная проекция построена по принадлежности прямой КЕ.

Аналогичным способом найдена и точка N, которая является точкой пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DEK. Разница только в том, что в качестве вспомогательной взята горизонтально проецирующая плоскость Г, горизонтальный след которой совпадает с В₁С₁. Эта плоскость пересекает треугольник DEK по линии 9-10. Пересечение фронтальных проекций этой линии и прямой ВС (точка N₂) является фронтальной проекцией искомой точки, ее горизонтальная проекция находится по принадлежности прямой ВС. Видимость плоскостей треугольников на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 9 и 11, а на фронтальной — с помощью фронтально конкурирующих точек К и 7. Точка 11 распoложена выше точки 9 (у нее больше координата z), поэтому она будет видимой на П₁. Так как эта точка принадлежит прямой BN, то и прямая будет видимой.

На фронтальной проекции видимой будет прямая AB. Принадлежащая ей точка 7 видимая — она ближе расположена к наблюдателю (у нее больше координата y), чем конкурирующая с ней точка K.

[spoiler title=”источники:”]

http://student-com.ru/%D0%BF%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%B8-%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85-%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2.html

http://stud55.ru/nachertatelnaya-omgups-z5/

[/spoiler]

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Задача
на построение линии пересечения
поверхности многогранника с плоскостью
является позиционной. И решить ее можно
двумя способами. Первый
способ
состоит в многократном решении основной
позиционной задачи на пересечение
прямой с плоскостью. Достаточно найти
точки пересечения ребер призмы с
плоскостью треугольника, или, наоборот,
точки пересечения сторон треугольника
с гранями (плоскостями) призмы.
Последовательно соединяя полученные
точки отрезками прямых, получим линию
пересечения призмы с треугольником.

Второй
способ
состоит в последовательном, многократном
решении задачи на построение линии
пересечения двух плоскостей, а именно,
плоскости треугольника с плоскостью
одной из граней призмы, затем плоскости
того же треугольника с плоскостью другой
грани призмы, и т.д.

Рассмотрим
решение задачи для обоих вариантов
задания.

3.3.1.Пересечение призмы с треугольником

Рассмотрим
решение задачи способом последовательного
пересечения прямой с плоскостью (рис.
6), принимая грани призмы за плоскости
общего положения, а стороны треугольника
– за прямые общего положения.

Решение
начинается на фронтальной плоскости
проекций. Через сторону треугольника
АС
проведем вспомогательную фронтально
– проецирующую секущую плоскость .
Так как эта плоскость 
перпендикулярна к фронтальной плоскости
проекций, то ее проекцией на плоскость
₂
будет прямая ₁,
совпадающая с фронтальной проекцией
стороны треугольника АС.
Точки пересечения ₁
с ребрами FF₁,
DD₁
и EE₁
обозначим соответственно 1,
2
и 3.
Проведем из этих точек линии связи до
пересечения с соответствующими ребрами
на горизонтальной плоскости проекций
(направление указано стрелками) и получим
точки 1,
2
и 3.
Соединив эти точки тонкой прямой линией,
получим фигуру – треугольник 1-2-3.
Эта фигура есть результат пересечения
призмы фронтально – проецирующей
плоскостью ₁.
Отметим одну особенность. На плоскости
₂
мы не видим этот треугольник, т.к. его
плоскость лежит в плоскости ₁,
а она проецируется в линию; на горизонтальной
плоскости проекций мы видим, что проекция
этого треугольника пересекается со
стороной АС
в двух точках М
и К.
Это и есть пересечение прямой АС
с гранями призмы. Проведем линии связи
из этих точек М
и К
на плоскость ₂
и отметим на стороне АС
фронтальные проекции М
и К
(стрелки указывают направление на ₂).

Смысл
таких построений следующий: точка
М
лежит на линии 3
– 2,
принадлежащей грани DD₁E₁E,
следовательно, М
является точкой пересечения прямой АС
с этой гранью, соответственно точка К
– результат пересечения этой же прямой
с другой гранью E₁EFF₁.
Иными словами, прямая АС
пронизывает призму в точке М
и выходит в точке К.
Считая призму непрозрачной линию М
– К
необходимо изобразить как невидимую
(штриховой линией).

Аналогично
проводим вспомогательную секущую
плоскость ₂
через ребро призмы DD₁
(₂
перпендикулярна ₂).
Эта плоскость пересекает треугольник
АВС
по прямой, проходящей через точки 4
и 5.
Точка 4
лежит на стороне АВ
(ее построение изложено ниже), а точка
5
– на стороне АС.
Проведя соответствующие линии связи
до пересечения на горизонтальной
плоскости с проекциями сторон призмы
АВ
и АС
получаем горизонтальные проекции точек
4
и 5,
через которые проводим прямую 4
– 5.
На горизонтальной плоскости проекций
эта прямая пересекается с ребром DD₁
в точке P.
От этой точки проводим линию связи вверх
до пересечения с ребром DD₁.
Таким образом, ребро DD₁
пересекается с плоскостью треугольника
АВС
в точке P.

Рис.
6.

Объединив результаты
геометрических построений в одно целое,
видим, что точки P
и М
принадлежат плоскости треугольника
АВС,
следовательно, линия P
– М
есть прямая, по которой пересекается
грань DD₁E₁E
с треугольником АВС.
Аналогично, линия P
– К
является прямой, по которой треугольник
АВС
пересекается с гранью ЕЕ₁F₁F.
Таким образом, треугольник
P–M–K
является результатом пересечения призмы
с плоскостью.

Все
эти геометрические построения можно
было выполнить, начиная с горизонтальной
плоскости проекций, проведя горизонтально
– проецирующие вспомогательные секущие
плоскости.

В
некоторых вариантах задач сторона
треугольника или ребро многогранника
могут оказаться прямой частного
положения.

В
рассмотренном примере (см. рис. 6) такой
прямой является сторона треугольника
АВ
(профильная прямая уровня). На фронтальной
плоскости проекций ₂
пересекает АВ
в точке 4.
Чтобы построить эту точку на горизонтальной
плоскости проекций, используем теорему
Фаллеса (отношение отрезков прямой
линии равно отношению их проекций)
(рис.7):

Рис.
7. Рис. 8.

Для
этого на плоскости π₁
(см. рис.6) в удобном месте чертежа строим
треугольник АВВ₀,
помня о том, что точка 4
лежит ближе к точке В,
чем к точке А.
В этом треугольнике сторона АВ₀
равна стороне АВ,
и отрезок А
– 4₀
равен отрезку А
– 4. Проводим
линию В₀
– В
и параллельно ей по стрелке линию 4₀
– 4.
На пересечении АВ
с этой линией будет лежать точка 4,
и она разделит сторону АВ
в том же отношении, что и точка 4
на фронтальной плоскости проекций
разделит сторону АВ.

Аналогично
можно построить точку 4
на π₂,
если секущая плоскость будет проведена
через ребро DD₁
на горизонтальной плоскости проекций
(рис 8).