Как найти точку приложения силы давления

Решение задачи по гидравлике — сила давления на плоскую поверхность

На чтение 2 мин Просмотров 5.6к.

Определение силы давления на плоскую поверхность — это вторая тема в цикле практических занятий по механике жидкости и газа (гидравлике) в университетах.

Условие задачи:

Найти величину и точку приложения силы давления воды (F) на щит, закрывающий круглое отверстие в стенке резервуара d = 1м. Уровень воды над отверстием составляет H = 6 м.

Решение всех подобных задач выполняется в следующей последовательности.

1) Определение силы давления по величине

Сила давления может быть найдена по формуле:

Здесь p0 — избыточное давление на поверхности жидкости; в данном случае резервуар открытый, на поверхности жидкости давление атмосферное, т.к. избыточного давления нет, p0 = 0 Па.

ρ — плотность жидкости, кг/м³ , в данном случае для воды ρ = 1000 кг/м³

g = 9,81 м/c² , — ускорение свободного падения;

h_c — глубина над центром тяжести фигуры, на которую определяется сила давления. В данном случае речь идет о щите, центр тяжести круга находится в центре круга:

S — площадь фигуры, на которую определяется сила давления. В данном случае — площадь щита, т.е. площадь круга.

В итоге, сила давления будет равна:

2) Определение точки приложения силы давления

Теперь определим точку приложения силы давления на данный щит. Эта точка называется центр давления и обозначается буквой d. В задачах ищут расстояние от поверхности жидкости до этой точки d. Если фигура расположена в вертикальной плоскости, то этим расстоянием будет глубина h_d.

Таким образом, для открытого резервуара, и фигуры, расположенной в вертикальной плоскости, справедлива будет следующая формула:

Здесь h_c и S — ранее найденные глубина над центром тяжести и площадь фигуры, а I_c — момент инерции плоской фигуры относительно горизонтальной центральной оси, м⁴ .

Определение момента инерции для круглого щита

В итоге, подставляем числа и определяем глубину h_d :

Ответ: F = 50 кН, h_d = 6,51 м

4-я лекция.

4. ГИДРОСТАТИКА-2

4.1. Сила давления жидкости па плоскую стенку.

4.2. Точка приложения силы давления.

4.3 Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

4.4.Плавание тел.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

4.6. Равномерное вращение сосуда с жидкостью.

4.1. Сила давления жидкости па плоскую стенку

Рекомендуемые материалы

Давление жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом  α, определяется по  основному уравнению гидростатики

Р=Р₀+hρg

Определим силу давления F, действующую со стороны жидкости, на участок рассматриваемой стенки, ограниченный произвольным контуром, имеющим площадь S.

Ось Ох направим перпендикулярно плоскости стенки от точки ее пересечения со свободной поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно оси Ох в  плоскости стенки.

Выразим элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке δS , для остальных площадок силы будут определяться таким же образом

δFж = P*δS =(P₀ + ρhg) δS = P₀*δS + ρhg*δS,

где Р₀ — давление на свободной поверхности, h — глубина расположения площадки  δS. 

Переходя к пределу при  стремлении  площадки δS→0, получим выражение для дифференциала силы давления:

dFж = P₀*dS + ρhg*dS,

Проинтегрировав этот дифференциал по площади S,  получим выражение для определения полной силы Fж

,

где у — координата площадки dS, h = у*Sinα .

Интеграл  представляет собой статический момент площади S относительно оси Ох , который  равен произведению  площади S на координату у_с ее центра тяжести – точки С:

Усилие давления жидкости на плоскую, наклоненную стенку равно

Fж = P₀S+ρg(y_c Sinα) S = P₀S+ρgh_cS,    (4.1)

здесь h_c = (y_c Sinα)— глубина расположения центра тяжести площади S.

Fж = ρg (H₀ +h_c)S = P_cS,                     (4. 2)

Сила давления жидкости Fж  = ρgh_cS – это вес объема V = h_cS жидкости.

Полная сила давления жидкости Fж на плоскую стенку равна произведению площади стенки S  на гидростатическое давление Р_с в центре тяжести этой площади.

1.В частном случае, когда давление Р₀ является атмосферным и действует также с другой стороны стенки, сила избыточного давления жидкости F_{изб ж}  на плоскую стенку равна лишь силе Fж давления от веса столба жидкости, т. е.

F_{изб ж} = P_cS= ρgh_cS.

2. В общем случае давление Р₀ может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку можно  рассматривать как сумму двух сил: F₀ от внешнего давления Р₀ и силы Fж   от веса столба жидкости, т. е.

F= F₀ + Fж = (P₀+Pс)S.        (4.3.)

4.2. Точка приложения силы давления.

Внешнее давление Р₀ передается всем точкам площади S одинаково, и его равнодействующая сил внешнего давления F₀ будет приложена в центре тяжести площади S  с координатой  –  у_с.

Для нахождения точки D приложения силы давления Fж от веса жидкости применим теорему механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, в данном случае элементарных сил.

где у_D — координата точки приложения силы, h=y*Sinα.

Используя выражение для:

 F_ж = ρgh_c*S = ρg(y_cSinα)*S  – силы жидкости, действующей на плоскую стенку,

и для:

dF_ж= ρgh*dS= ρg(ySinα)*dS –  силы жидкости, действующей на элементарную площадку, получим 

        (4.4)

где  – момент инерции площади S относительно оси Оx.

Подставляя в формулу (4.4) значение:

 момента инерции и площади S – Jx  относительно оси х,  через момент инерции той же площади  – Jx₁  относительно центрально оси х₁ параллельной оси Ох, находим

Jx = Jx₁+y_C²S,                    (4.5)

у_D = у_C+ J_x1/(у_сS),              (4.6.)

Точка D  приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

Δу_D= у_D -Δу_C = J_x0/( у_сS),                 (4.7) .

Если давление Р₀ равно атмосферному, то точка D  будет центром давления.

При Р₀ > Pат  центр давления находят по правилам механики, как точку приложения равнодействующей двух сил F₀ и F_ж ,  чем больше первая сила по сравнению со второй  тем, очевидно, центр давления ближе к центру тяжести площади S.

Если стенка имеет форму прямоугольника размерами а × b (рис. 4.2) и с одной стороны  – атмосферное давление, центр давления D находится па расстоянии b/3 от нижней стороны.

4.3 Сила давления жидкости на криволинейную стенку.

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов.

Рассмотрим действие жидкости на цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем криволинейную поверхность АВ,  образующая которой  перпендикулярна к плоскости чертежа (рис.4.3а), определим силу давления жидкости на эту поверхность.

Выделим объем жидкости, ограниченный поверхностью АВ, вертикальными плоскостями, проведенными через границы этого участка ВС и AD,  свободной поверхностью жидкости. Рассмотрим  условия равновесия объема АВСD  в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Сила давления  жидкости P действует на стенку АВ, стенка АВ удерживает действие  жидкости силой реакции стенки Rс = P, направленной в противоположную сторону. На рис. 4.3 сила реакции стенки и сила давления жидкости  разложены на горизонтальные и вертикальные составляющие.

Условие равновесия объема АВСD в вертикальном направлении имеет вид

Rс_в =Pжв= Р₀F_г + G = Р₀F_г + ρgV₀,                (4.8)

где Р₀  – давление на свободной поверхности жидкости; F_г – площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G – вес выделенного объема жидкостиV_0. Объем V₀  называют – объем тела давления..

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕС и АD взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь ВЕ т. е. на вертикальную проекцию поверхности S_в = L_EB*B. Тогда

Rсг=Pжг= F_вρgh_c+ F_в Р₀ = F_в(ρgh_c+ Р₀).            (4.9)

Определив по формулам (4.8) и (4.9) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы Рж, найдем

 ,              (4.10).

Сила давления жидкости на криволинейную стенку будет равна сила реакции стенки Rж =  P и направлена в противоположную сторону.

Когда жидкость расположена снаружи (рис.4.3б), сила гидростатического давления на криволинейную поверхность АВ определяется также, но направление ее будет противоположным.

При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом случае вес жидкости в объеме АВСD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на  цилиндрической стенке можно найти, если известны силы Fв и Fг и определены центр давления на вертикальной проекции h_D стенки и центр тяжести выделенного объема АВСD.

Задача значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая криволинейная  поверхность является круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу.

Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии.

4.4. Плавание тел.

Описанный выше прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости па криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис.4.4).

Спроектируем его на свободную поверхность жидкости и проведем проек-тирующую цилиндрическую поверхность W, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела АСВ от нижней ее части ADB.  Вертикальная составляющая F_в1 силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме АА’BВ’CA. Вертикальная составляющая F_в2 силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме АА’В’BDA. Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности указанных двух объемов, т. е.

F_А = F_в2  – F_в1  = G_ACBD =Vρg.                     (4.11)

Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тел.

Сила F_А называется архимедовой силой,  а точка ее приложения, т. е. центр тяжести объема V — центром водоизмещения.

В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы возможны три случая:

 1) G> F_А — отрицательная  плавучесть, тело тонет;

2) G<F_А — положительная плавучесть, тело всплывает и плавает на поверхности жидкости;

3) G = F_А нулевая плавучесть, тело плавает погруженным в жидкость полностью.

Для равновесия плавающего тела, кроме равенства G = F_А  должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии,  заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения.

4.5. Прямолинейное равноускоренное движение

сосуда с жидкостью.

Если при движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции,  под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия – положение  относительного покоя.

Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действием сил тяжести и инерции в  движущемся сосуде.

При относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня,  отличается от их положения для жидкости в неподвижном сосуде.

При определении формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности уровня. 

Основное свойство поверхностей уровня  –  равнодействующая массовых сил всегда нормальна  к этим поверхностям.

В полном дифференциале давления

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz),          (4.12)

Х,У,Z – алгебраическая сумма проекций на оси координат ускорений силы тяжести и сил инерции переносного движения.

Вдоль поверхности уровня  dР=0 , так как поверхности уровня  – это поверхности равного давления. Дифференциальное уравнение поверхности равного давления:

X*dх+У*dy+Z*dz = 0          (4.13),

Этот трехчлен (4.13) определяет элементарную работу массовых сил X,У,Z на перемещениях dх, dy, dz. В данном случае перемещение взято по поверхности равного давления, dР=0.

Из этого выражения следует, что  работа массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя результирующее ускорение перпендикулярно к  соответствующему элементу поверхности равного давления.

Рассмотрим два случая относительного покоя.

Первый случай:   сосуд, движущийся прямолинейно и равноускоренно.

Второй случай: сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

На рис.4.5 изображен сосуд, движущийся вниз с ускорением а по плоскости наклонённой под углом  α   к горизонту. Оси координат оси координат связаны с движущимся телом. 

1. Пусть на жидкость действует  суммарная массовая сила F, проекции которой F_x, Fy, Fz , поделенные на  массу: Fx/m  являются проекциями единичной массовой силы на оси Ох, Оу, Oz:  Х, У и Z.

F = Fx+Fy+Fz = mа,  F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z = а.

Все выделенные составляющие являются векторными величинами.

 Проекции массовых сил, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX,               Fy = mY,                     Fz = mZ.

Результирующую единичную массовую силу, действующую на жидкость,  найдем как сумму единичных векторов силы инерции j  и силы тяжести g. Единичная сила инерции Fи = j = – a направлена в сторону  противоположную ускорению а (рис.4.5).

Проекции сумм массовых сил на оси:

          Ox: X = j – gSinα,   

         Oz : Z = –gCosα,

Оx: Y = 0.

При подстановке этих проекций в дифференциал давления, получим

(1/ρ)dp = [(j – gSinα)dx – (gCosα)dz].

Проинтегрировав дифференциал в проекциях, получим выражение для давления на поверхностях уровня

Р = ρ [(j – gSinα) x – (gCosα)z] + С.  (4.14)

На произвольной поверхности уровня давление постоянно Р = const и,  обозначив новую постоянную  С₁ – Р = const, где Р получим уравнение  изобарических поверхностей

ρ [(j – gSina) x – ρgCosa* z] +С₁ = 0                (4.15)

Это уравнение дает семейство плоскостей, параллельных оси Оу. Одной из них является свободная поверхность.

Обозначим через z₀ координату пересечения свободной поверхности с осью z. Подставив в формулу (4.15) х₀ = 0, z = z₀, находим С₁=ρg z₀Cosα для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

ρ [(j – gSina) x – ρgCosa* z] + ρg z₀Cosα = 0

 (j – gSina) x –gCosa*( z + z₀) = 0

  

 где коэффициент в линейном уравнении равен тангенсу угла β .

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно   и   равноускоренно к уравнению (4.16) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд движется только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0, то свободная поверхность параллельна  плоскости движения.

 При нулевых условиях: х = 0, z = z₀, P = P₀  в  формуле (4.14),   получим C = P₀+ (ρgCosa)z₀:  

Р = ρ [(j – gSinα) x – (gCosα)z + С

Р = P₀+ρ(j-gSina)x+ρgCosa(z₀ – z).   (4.19)

Эта формула используется для определения давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном движении

Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q для определения давления в любой точке.

Возьмем на рис.4.5 около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический  объем с осью, нормальной к  свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

РdS = P₀dS + q(ρldS),

где последний член представляет собой полную массовую силу,  q – суммарная единичная массовая сила, М = ρldS –   масса выделенного объема жидкости,  l — расстояние от точки М до свободной поверхности.

После сокращения на dS получим давление в точке

Р = P₀ + qρl,                          (4.20)

4.6. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω  вокруг его вертикальной оси. Силы трения о стенки вращающегося сосуда будут увлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, находясь по отношению к  сосуду в покое. Свободная поверхность жидкости  изменится.

В центральной части уровень жидкости опустится, у стенок  она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью вращения (рис.4.6).

На жидкость будут действовать силы давления, силы тяжести и силы инерции переносного движения. Частица жидкости будет находиться под действием ускорения силы тяжести и центростремительного ускорения, а  равное ему ускорение силы инерции будет центробежным. Единичная массовая сила тяжести F_g = g и единичная массовая центробежная сила F_цб = ω²r.

Проекции этих сил на оси координат дадут следующие выражения

X = (V²/r) Cos(r^x) = ω²r Cos(r^x)= ω²X

Y = (V²/r) Cos(r^y) = ω²r Cos(r^у)= ω²Y,  

                                      Z = -g

Подставляя эти проекции в дифференциальное уравнение поверхности   равного давления и интегрируя :                 

X*dх+У*dy+Z*dz = 0,

получим                                 ρ(ω²/2) (X²  + Y²) – ρgz + С = 0.

Уравнение  свободной поверхности, например, получим, при нулевых условиях:    Р₀ = const, х = у = 0, z= z₀,  где  координата вершины параболоида свободной поверхности. Тогда   С = ρgz₀.  

ρ(ω²/2) (X²  + Y²) – ρgz + ρgz₀  = 0,

(ω²/2) (X²  + Y²) =g(z – z₀)

и после деления на g   уравнение свободной поверхности получит вид

                      (4.22)

Таким образом, поверхности равного давления, в том числе и свободная поверхность, образуют семейство параболоидов, сдвинутых вдоль вертикальной оси. Каждому значению р соответствует свой параболоид, положение которого определяет константа С.

Эти поверхности  будут конгруэнтными параболоидами вращения  с осью Oz. Один из этих параболоидов – свободная поверхность жидкости, где Р₀= Ратм.

Две геометрические фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить одну с другой, изменив их положение в пространстве.

Подставляя проекции массовых сил в дифференциал давления

dp  = ρ(Xdx  +  Ydy + Zdz), 

получим                                  dp  = ρω² (Xdx  + Ydy) –ρ gdz,

вынесем знак дифференциала за скобки,

dp  = ρ d[(ω²/2) (X²  + Y²)] –ρ gdz,

и проинтегрировав,  получим выражение для определения давления в любой точке

 p  = ρ(ω²/2) (X²  + Y²) –ρ gz + С₁,    (4.21)

Значение константы для свободной поверхности Р = Р₀, x=y=0, z = z₀: С₁ = Р₀ + ρgz_0.

Получим уравнение для определения давления в любой точке:

             (4.22)

Пользуясь этими уравнениями  можно определить положение свободной поверхности и давление в сосуде.

Максимальная высота Н подъема жидкости в параболоиде со свободной поверхностью может быть определена, следующим образом.

 На практике часто рассматривается вращение сосуда с жидкостью, когда угловая скорость ω столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. При этом закон изменения давления в жидкости легко получить из формулы (4.22),  в которой следует принять g(z₀ – z) = 0.

Поверхности уровня примут вид цилиндров с общей осью  –   осью вращения сосуда. Если сосуд не был заполнен перед началом вращения,  давление Р₀ будет действовать не в центре, а при r = r₀,  вместо выражения (4.22) будем иметь

Р = Р₀ + ρ ω² (r —r₀²)/2g,                          (4.23)

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки).

Для этого необходимо выразить сначала силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку dS = 2πrdr радиусом r и шириной dr;

 

Уравнение, выражающее величину давления имеет вид

Ещё посмотрите лекцию “Лекция 11.1” по этой теме.

При определении давления на верхнюю крышку где Z=0,  Z₀ может быть больше нуля Z0>0, равно нулюи меньше нуля

В первом случае

а затем выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой угловой скорости жидкости можно получить весьма значительную суммарную силу давления на стенку. Этот эффект используется в некоторых фрикционных муфтах, где для осуществления сцепления двух валов требуется создание больших сил нормального давления. Способ, указанный выше,  применяют для определения силы осевого давления жидкости на рабочие колеса центробежных насосов, а также на крышки центрифуг.

1. Точка приложения силы давления жидкости на плоские стенки.

Представим
на 2.5 деталь предыдущего чертежа. Центр
давления силы
будет совпадать с центром тяжести
фигуры, так как поверхностное давление,передаваясь через жидкость, равномерно
распределяется по рассматриваемой
площади. Что касается избыточного
давления, то оно распределяется
неравномерно по площади фигуры: чем
глубже расположена точка фигуры, тем
большее давление она испытывает; поэтому
центр давления силыбудет
лежать ниже центра тяжести фигуры (см.
точку).

Искомая
сила Р_Аявляется
геометрической суммой силР_аиР. ТочкаD_A
будет лежать между точкамиСиD; эта точкаD_Aнайдется в результате геометрического
сложения силР_аиР. Таким образом, вопрос
сводится к отысканию точкиD,определяемой координатойу_D.Знаяу_D, мы далее,
как указано выше, найдем и величинуу_D,
определяющую положение точкиD_A.

Расчетную
зависимость для величины у_Dнаходят, исходя из следующего условия:
сумма моментов составляющих элементарных
силpdSотносительно
осиОхравна моменту равнодействующей
силыРотносительно той же осиОх.

Рисунок2.8 – Расчёт центра давления

Имея
в виду это условие, можем написать:

.

(2.0)

Эту
формулу можно переписать в виде

.

(2.0)

или

.

(2.0)

Откуда

.

(2.0)

где

.

(2.0)

момент
инерции плоской фигуры относительно
оси Ох,а

.

(2.0)

есть,
как это уже отмечалось, статический
момент плоской фигуры относительно оси
Ох,

Формулу
(2.41) можно еще переписать в виде

.

(2.0)

или

.

(2.0)

где
положительная величина е называется
эксцентриситетом. Эксцентриситет

.

(2.0)

причем
здесь l_Cесть момент инерции рассматриваемой
плоской фигуры относительно горизонтальной
оси, проходящей через центр тяжести
фигуры. Как видно, центр давления силыРлежит ниже центра тяжести
фигуры на величину, равнуюе.

Выше
мы ограничились отысканием только одной
координаты точки D (координаты yD). Однако
в общем случае приходится еще определять
и вторую координату (хD). Ее можно найти,
исходя из уравнения моментов соответствующих
сил (уравнения, аналогичного (2-86))
относительно оси Оу.

1. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности

Определение
давления жидкости на цилиндрическую
поверхность представляет собой частный
случай общей задачи о давлении жидкости
на криволинейные поверхности. Чтобы
получить общее решение, возьмём сосуд
произвольной формы и выделим его на
стенке какую-либо произвольную поверхность
S, ограниченную контуромAMBN. Будем искать составляющие
полного давления на эту поверхность по
координатным осям, выбрав, например,
начало координат на свободной поверхности
жидкости и расположив оси так, как это
показано на чертеже. При этом ограничимся
определением лишь одной составляющейR_x.
Параллельной осиx,
поскольку остальные составляющие можно
найти аналогичным образом. Найдём
проекцию поверхностиSна некоторую плоскостьNN,
нормальную к осиxи
расположенную между этой поверхностью
и координатной плоскостьюZOY.
Отметим, что указанную плоскость проекцииNN, как и направление самой
осиx, можно выбирать
по-разному. На жидкость, заключённую в
объёме между поверхностьюS,
плоскостьюNNи поверхностью
проектирующего цилиндра, образующие
которого параллельны осиx,
действуют следующие силы: тяжести (вес)G_xвыделенного объёма жидкости; давления
жидкостиR_Fxна проекцию поверхностиSна плоскостьNN; давления
на боковую поверхность указанного
объема (их проекция на осьxравна нулю); реакцииRсо
стороны поверхностиS,
равная по значению, но обратная по
направлению искомой силе давления
жидкости. Проектируя эти силы на осьx,
имеем:

(2.0)

откуда
для проекции силы реакции получаем

(2.0)

Аналогично
находят выражения для проекции силы
реакции и на другие координатные оси:

	(2.0)
	(2.0)

где
_x
, _y
, _z– углы между направлением линии действия
силы тяжести и осями координатx,y,z.

Таким
образом, получаем следующую общую
теорему о давлении жидкости на
криволинейную поверхность: проекция
силы давления жидкости на криволинейную
поверхность Sна заданную
осьxравна сумме проекций
на эту ось веса жидкости, находящейся
между поверхностьюS,
поверхностью проектирующего цилиндра
и плоскостью проекций, нормальной к осиx, и силы давления жидкости
на проекцию поверхностиSна ту же плоскость проекции. Силу
гидростатического давления на
криволинейную поверхность определяют
по формуле:

,

(2.0)

где
– составляющие силы избыточного давления
по соответствующим координатным осям.
В случае цилиндрической криволинейной
поверхности:

,

(2.0)

где
P_x
иP_z– горизонтальная и вертикальная
составляющие силы Горизонтальная
составляющая избыточного давленияравна силе давления на вертикальную
проекцию криволинейной поверхности:

,

(2.0)

где
– манометрическое давление на поверхности
жидкости; – глубина погружения центра
тяжести вертикальной проекции
криволинейной поверхности; – площадь
вертикальной проекции криволинейной
поверхности. Если манометрическое
давление на свободной поверхности
жидкости равно нулю, (P₀=P_ат), то

.

(2.0)

Вертикальная
составляющая равна весу жидкости
в объёме тела давления. Тело давления
расположено между вертикальными
плоскостями, проходящими через крайние
образующие цилиндрической поверхности,
самой цилиндрической поверхностью и
свободной поверхностью жидкости или
её продолжением. ( 2.8)

Рисунок 2.9 – Определение сил давления на криволинейную поверхность

Если
давление на свободной поверхности
жидкости (P₀≠P_ат),
то тело давления ограничивается сверху
пьезометрической плоскостью, удалённой
от свободной поверхности жидкости на
расстояниеНаправление силыPопределяется тангенсом угла:

.

(2.0)

Если
криволинейная поверхность не
цилиндрическая, то горизонтальную
составляющую P_yопределяют аналогичноP_z.

Соседние файлы в папке Гидравлика_для_СТбак_ФБО_на_14-15_уч._г

• #

  02.03.2016214.53 Кб29Вопросы по гидравлике СТб 14_15.xls

• #
• #

4-я лекция, 2010.

 29.09.10.

3б. ГИДРОСТАТИКА (продолжение
3-й темы-лекции)

 3.5. Сила давления жидкости на
криволинейные стенки.

Плавание тел.

3.6 Сила давления жидкости па плоскую стенку

3.7. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью.

3.8. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

3.5. Сила давления
жидкости па плоскую стенку

Давление
жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под произвольным углом,
определяется по  основному уравнению
гидростатики

Р=Р₀+hρg

Определим силу F давления,
действующую со стороны жидкости, на участок рассматриваемой стенки,
ограниченный произвольным контуром и имеющий площадь, равную S.

Ось Ох
направим перпендикулярно плоскости стенки от точки ее пересечения со свободной
поверхностью жидкости, а ось Оу — перпендикулярно оси Ох
в  плоскости стенки.

Выразим сначала
элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS (давление
действующее в точке, одинаково для произвольно расположенной площадки)

dFж = P*dS =(P₀ + ρhg)dS = P₀*dS + ρhg*dS,

где Р₀
— давление на свободной поверхности, h — глубина расположения площадки 
dS.  Для определения полной силы Fж проинтегрируем
полученное выражение по всей площади S:

,

где у —
координата площадки dS, h = у*Sinα .

Последний
интеграл  представляет собой статический
момент площади S
относительно оси Ох и равен произведению этой площади на координату ее
центра тяжести (точка С), т. е.

Следовательно,

Fж = P₀S+ρg(y_c Sinα)
S = P₀S+ρgh_cS    (3.11)

здесь h_c = (Sinα)y_c — глубина
расположения центра тяжести площади S, или

Fж = ρg (H₀ +h_c)S
= P_cS,                     (3.12)

Полная сила давления жидкости Fж на плоскую стенку
равна произведению площади стенки S  на гидростатическое давление Р_с в
центре тяжести этой площади.

1.В частном
случае, когда давление Р₀ является атмосферным и действует также с
другой стороны стенки, сила F_{изб ж} избыточного давления жидкости
на плоскую стенку равна лишь силе Fж давления от веса жидкости, т. е.

Fизб ж =Fж = P_cS= ρgh_cS.

2. В общем
случае давление Р₀ может существенно отличаться от атмосферного,
поэтому полную силу F давления жидкости на стенку 6удем рассматривать как
сумму двух сил: F₀ от
внешнего давления Р₀ и силы Fж   от веса
жидкости, т. е.

F= F₀ + Fж = (P₀+Pс)S.        (3.13.)

Рассмотрим  вопрос о точках приложения этих сил,
называемых центрами давления*.

Так  как внешнее давление Р₀ передается
всем точкам площади S
одинаково, то его равнодействующая F₀ будет приложена в центре ус тяжести площади S.

Для нахождения
точки приложения силы давления Fж
от веса жидкости (точка D)
применим теорему механики согласно которой момент равнодействующей силы относительно
оси Ох равен сумме моментов составляющих сил, т. е.

где у_D — координата
точки приложения силы.

Ранее уже было
найдено выражение для силы от веса жидкости действующей на плоскую стенку, это
выражение (3.11):  F_ж = ρgh_D*S = ρg(y_сSinα)*S  и dF_ж= ρgh*dS= ρg(ySinα)*dS. Используя  y_с и у, получаем 

       
(3.14)

где  – момент инерции
площади S относительно
оси Оx.

Учитывая, что

Jx = Jx₀+y_c²S,                    (3.15)

Jx₀  – момент инерции площади S относительно центральной
оси, параллельной оси Ох), находим

у_D
= у_с+ J_x0/(у_сS),                                  (3.16.)

Таким образом,
точка приложения силы F_ж
расположена ниже центра тяжести площади стенки; расстояние между ними

Δу = J_x0/( у_сS),                 (3.17) .

Если давление Р₀
равно атмосферному, то точка D и будет центром давления.

При Р₀
выше атмосферного центр давления находят по правилам механики, как точку
прило-жения равнодействующей двух сил F₀ и F_ж
,  чем больше первая сила по
сравнению со второй  тем, очевидно, центр
давления ближе к центру тяжести площади S.

В частном
случае,  когда стенка имеет форму
прямоугольника размерами а × b (рис. 3.9) и одна из его сторон 
а  лежит на свободной поверхности
с атмосферным давлением, центр давления D находится па расстоянии b/3 от нижней стороны.

Ранее
указывалось, что в жидкостях возможны лишь распределенные силы. Поэтому центры
давления можно рассматривать лишь условно.

3.6. Сила давления жидкости
на криволинейные стенки.

Плавание тел.

Нахождение силы
давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к
определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Чаще всего
рассматривают цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную
плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к
равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем
цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к плоскости
чертежа (рис.3.10), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в
двух случаях: жидкость расположена сверху (рис. 3.10а); жидкость расположена
снизу (рис. 3.10б).

В первом случае
выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой поверхностью АВ, вертикальными
поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободной
поверхностью жидкости, т. е. объем АВСD, и рассмотрим условия его равновесия в вертикальном и
горизонтальном направлениях. Если жидкость действует на стенку АВ с силой F, то стенка АВ действует на
жидкость с силой F, направленной
в обратную сторону. На рис. 3.10 показана эта сила реакции, разложенная на две
составляющие: горизонтальную F_г
и вертикальную F_в.

Условие
равновесия объема АВСD
в вертикальном направлении имеет вид

F_в =
Р₀S_г + G ,                     
(3.18)

где Р₀
давление на свободной поверхности жидкости; S_г — площадь горизон- тальной проекции поверхности АВ;
G — вес выделенного
объема жидкости.

Условие
равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того,
что силы давления жидкости па поверхности ЕС и АВ взаимно уравновешиваются и
остается лишь сила давления на площадь ВЕ т. е. на вертикальную проекцию поверхности
АВ –Sв. Тогда

F_г= S_вρgh_c+ Р₀S_в = S_в(ρgh_c+ Р₀).            (3.19)

Определив по
формулам (1.31) и (1.32) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы
давления F, найдем

.               (3.20)

Когда жидкость
расположена снизу (рис.3.10), гидростатическое давление во всех точках поверхности
АВ
имеет nе же значения,
что и в первом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные
силы Fв и Fг определятся теми
же формулами (3.18)  и (3/19), но с
обратным знаком. При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом случае вес
жидкости в объеме АВСD, хотя
этот объем и не заполнен жидкостью.

Положение
центра давления на  цилиндрической стенке
можно легко найти, если известны силы Fв и Fг и определены центр давления на вертикальной проекции
стенки и центр тяжести выделенного объема АВСD.

Задача
значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая цилиндрическая
поверхность является круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности,
так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена
по радиусу.

Изложенный
способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к
сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также
проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии.

Описанный выше
прием нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкости па криволинейную
стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Пусть в
жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис. 3.11).

Спроектируем
его на свободную поверхность жидкости и проведем проек-тирующую цилиндрическую
поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая
отделяет верхнюю часть поверхности тела АСВ от нижней ее части ADB.  Вертикальная составляющая F_в1 силы избыточного давления
жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу
жидкости в объеме АА’BВ’CA. Вертикальная составляющая
F_в2 силы
давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна
весу жидкости в объеме АА’В’BDA.
Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело
будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности
указанных двух объемов, т. е.

F_А
= F_в2  – F_в1  = G_ACBD =Vρg.
                    (3.21)

В этом и
заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость,
действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх, численно равная
весу жидкости вытесненной телом и приложенная в центре тяжести объема
погруженной части тел.

Сила F_А называется
архимедовой силой, или силой поддержания, а точка ее приложения, т. е. центр
тяжести объема V —
центром водоизмещения.

В зависимости
от соотношения веса G
тела и архимедовой силы возможны три случая: 1) G> F_А — тело тонет; 2) G<F_А
— тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погруженном состоянии;
3) G = F_А тело плавает в
полностью погруженном состоянии.

Для равновесия
плавающего тела, кроме равенства G = F_А
 должен быть равен нулю суммарный момент.
Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной
вертикали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела,
плавающего в полностью погруженном состоянии,  заключается в следующем: центр тяжести тела
должен находиться ниже центра водоизмещения. Устойчивость равновесия тел
плавающих на поверхности жидкости здесь не рассматривается.

3.7. Прямолинейное
равноускоренное движение

сосуда с жидкостью.

При движении сосуда
на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют еще силы инерции,  под действием этих сил жидкость принимает
новое положение равновесия. Такое равновесие жидкости называется относительным
покоем.

Относительным покоем называется равновесие жидкости
в  движущемся сосуде, находящейся под
действием сил тяжести и инерции.

При
относительном покое положение свободной поверхности и поверхностей уровня,  отличается от их положения для жидкости в неподвижном
сосуде.

Для определения
формы и положения этих поверхности учитывается основное свойство поверхности
уровня.

Поверхности
уровня – это поверхности равного давления.

Основное свойство поверхностей уровня  –  равнодействующая
массовых сил всегда нормальна  к этим поверхностям.

Пользуясь полным
дифференциалом давления  dР

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz),          (3.22)

рассмотрим взаимодействие
сил при относительном покое жидкости в сосуде.

Так как вдоль
поверхности уровня  dР=0,

X*dх+У*dy+Z*dz = 0          (3.22′),

в результате получаем
уравнение поверхности равного давления. Трехчлен (3.22′) определяет работу сил
на перемещениях dх, dy, dz. В данном случае
перемещение взято по поверхности равного давления, так как dР=0. И из этого выражения следует,
что  работа массовых сил вдоль поверхности
равного давления равна нулю. Это значит, что в состоянии относительного покоя
результирующее ускорение перпендикулярно к 
соответсвующему элементу поверхности равного давления.

Первый
случай:   сосуд, движущийся прямолинейно
и равноускоренно;

Второй случай:
сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью.

На рис.3.12 изображен
сосуд, движущийся вниз с ускорением а по плоскости наклонённой под углом  α 
 к горизонту. Оси
координат оси координат связаны с движущимся телом.  Единичная массовая сила инерции равна
ускорению а и направлена в противоположную сторону (з-н Ньютона).

1. Пусть на
жидкость действует  суммарная массовая
сила F, проекции
которой Fx, Fy, Fz , поделенные
на  массу: Fx/m  являются проекциями
единичной массовой силы на оси Ох, Оу, Oz:  Х, У и Z.

F = Fx+Fy+Fz = mа,  F/m = Fx/m +Fy/m +Fz/m = X +Y + Z = а.

Все выделенные
составляющие являются векторными величинами.

 Проекции массовых сил, действующие на
выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны произведениям
проекций единичных сил, умноженным на массу выделенного объема.

Fx = mX,               Fy
= mY,                     Fz =
mZ.

Результирующую единичную массовую силу,
действующую на жидкость,  найдем как
сумму единичных векторов силы инерции j  и силы тяжести g, при этом единичная сила
инерции Fи = j = – a направлена
в сторону  противоположную ускорению а
(рис.3.12).

Проекции сумм
массовых сил на оси

          Ox: X = j – gSinα,   

         Oz : Z = –gCosα,

Оx: Y = 0.

Подставляя эти выражения
в выражение для дифференциала, получим

(1/ρ)dp = [(j – gSinα)dx – (gCosα)dz],

после
интегрирования

p = ρ [(j – gSinα) x – (gCosα)z +С,  (3.21)

полагая Р – const,  получаем уравнение изобарических поверхностей,
к

С + Р(const) = С₁ .

ρ [(j – gSina) x – ρgCosa* z +С₁ = 0 (3.22)

Это уравнение
дает семейство плоскостей, параллельных оси у. Одной из них является свободная
поверхность. Обозначим через z₀ координату пересечения свободной поверхности
с осью z.
Подставив в формулу (3.22) х₀ = 0, z = z₀, находим
С₁=ρg z₀Cosα для
свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

   (3.23)

где коэффициент
в линейном уравнении равен тангенсу угла β

      (3.24)

Для
определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся
прямолинейно   и   равноускоренно к уравнению (3.23) нужно добавить
уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и
выразить его через размеры сосуда В и Н и первоначальный уровень h.

Если сосуд
движется без трения только под действием силы тяжести, то j= gSinα β = 0, то есть
свободная поверхность параллельна 
плоскости движения. Полагая в

формуле (3.21) х = 0, z = z₀, P = P₀, получим
C = P₀+ (ρgCosa)z₀. Формула для определения
давления в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном
движении

Р = P₀+ρ(j–gSina)x+ρgCosa(z₀ – z).   (3.25)

Можно также
использовать суммарную массовую единичную силу q.

Возьмем на
рис.3.11 около точки М площадку dS,
параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим
цилиндрический  объем с образующей,
нормальной к  свободной поверхности. Условие
равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной
поверхности будет иметь вид

РdS = P₀dS + q(ρldS),

где последний
член представляет собой полную массовую силу q – суммарная
единичная массовая сила, действующая на выделенный объем
жидкости массой М= ρldS–
масса, а l — расстояние от точки М до свободной поверхности.

После
сокращения на dS
получим

Р = P₀ +
qρl,                          (3.26)

3.8. Равномерное
вращение сосуда с жидкостью

Возьмем
открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой
скоростью ω  вокруг его вертикальной оси. Жидкость
постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная
поверхность ее изменится.

В центральной
части уровень жидкости опустится, у стенок 
она поднимется, и вся свободная поверхность жидкости станет поверхностью
вращения (рис.3.13).

На жидкость
будут действовать две массовые силы: единичная сила тяжести F_g = g и
единичная центробежная сила Fцб = ω²r.

Проекции этих
сил на оси координат дадут следующие выражения

X = (V²/r)
Cos(r^x) = ω²r Cos(r^x)= ω²X

Y = (V²/r)
Cos(r^y) = ω²r Cos(r^x)= ω²Y,   Z = -g

Подставляя это
выражение в выражение  для дифференциала
давления

dp  = ρ(Xdx  +  Ydy + Zdz),    

Получим

dp  = ρω² (Xdx 
+ Ydy) –ρ gdz,

вынеся знак дифференциала за скобки, получим

dp  = ρ(ω²/2)d(X²  + Y²) –ρ gdz,

после интегрирования получим выражение для определения давления
в любой точке

 p  = ρ(ω²/2) (X²  + Y²) –ρ gz + С,

полагая в этом выражении Р – const, получаем уравнение изобарических поверхностей

ρ(ω²/2) (X²  + Y²) – ρgz + С₁ = 0.

Это будут конгруэнтные параболоиды вращения  с осью Oz.
Один из этих параболоидов – свободная поверхность жидкости.

Обозначив через z₀ координату вершины параболоида свободной поверхности, получим
x = y = 0, откуда С₁ = ρgz₀,  

                          
ρ(ω²/2) (X²  + Y²) – ρgz + ρgz₀  = 0

 и уравнение поверхностей уровня свободной поверхности
получит вид

Z –Z₀ = (ω²/2) (x²  + y²).                    (3.27)

Уравнение свободной поверхности
получит вид

Z_П –Z₀ .                                  (3.28)

Если внешнее давление равно Р₀ то, задав в
уравнении для давления Р = Р₀, x=y=0, z = z₀ , находим
постоянную С = Р₀ + ρg z_0. Тогда
закон распределения давления выразится формулой

P               (3.29)

Пользуясь этими
уравнениями  можно определить положение
свободной поверхности в сосуде, максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту
z_{0 =} h  расположения вершины параболоида при данной
угловой скорости ω.  Для этого необходимо
использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен её
объему во время вращения.

На практике
часто рассматривается вращение сосуда с жидкостью, когда угловая скорость
ω столь велика, что силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными
силами. При этом закон изменения давления в жидкости легко получить из формулы
(3.29),  в которой следует принять g(z₀ – z) = 0.

Поверхности
уровня примут вид цилиндров с общей осью 
–   осью вращения сосуда. Если
сосуд не был заполнен перед началом вращения,  давление Р₀ будет действовать не в
центре, а при r = r₀,  вместо выражения (3.29) будем иметь

Р = Р₀ + ρ ω² (r —r²)/2g,                          (3.30)

Часто бывает
необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на
его стенку, нормальную к оси вращения (или на кольцевую часть этой стенки).

Для этого
необходимо выразить сначала силу давления, приходящуюся на элементарную
кольцевую площадку радиусом r и шириной dr;

dF = рdS = [Р₀ + ρ
ω² (r² – r₀² )/2] 2πrdr,

а затем
выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой
угловой скорости жидкости можно получить весьма значительную суммарную силу
давления на стенку. Этот эффект используется в некоторых фрикционных муфтах,
где для осуществления сцепления двух валов требуется создание больших сил
нормального давления. Способ, указанный выше, 
применяют для определения силы осевого давления жидкости на рабочие
колеса центробежных насосов, а также на крышки центрифуг.

Точка – приложение – сила – давление

Cтраница 1

Точка приложения силы давления лежит в плоскости zAx, а составляющие этой силы параллельны координатным осям.
 [1]

Точка приложения сил давления ( Р, Р) на стенку называется центром давления. Координата этой точки ( / гд или 1Я sin а) может быть найдена при помощи теоремы Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил относительно одной и той же оси.
 [3]

Точка приложения силы давления лежит в плоскости гАх, а составляющие этой силы параллельны координатным осям.
 [4]

Точка D приложения силы давления называется центром давления.
 [5]

Точку приложения силы давления на перекидной клапан можно сместить вниз, выполнив клапан пластинчатым, а также установив сопло над перекидным клапаном. По результатам испытания на стенде вибратор имеет следующие параметры: при расходе 0 010 м3 / с перепад давления 0 5 МПа, частота ударов 12 Гц. Записи колебаний вибратора, полученные на стенде, приведены на рис. 3.13. Испытания вибратора с клапаном вышеприведенной конструкции показали в промысловых условиях его хорошую работоспособность.
 [7]

Точку приложения силы давления ветра допустимо принимать по середине стрелы; Л, – расстояние от опорной плоскости крана до точки приложения.
 [8]

Центром давления называется точка приложения силы давления жидкости на заданную площадку.
 [9]

Определить величину и точку приложения силы давления на крышку, перекрывающую круглое отверстие диаметром d 500 мм в вертикальной перегородке закрытого резервуара, если левый отсек резервуара заполнен нефтью ( р 900 кг / м3), правый – воздухом.
 [10]

При криволинейной стенке определение значения, направления и точки приложения силы давления жидкости усложняется, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления.
 [12]

При криволинейной стенке задача определения величины, направления и точки приложения силы давления жидкости значительно усложняется, так как силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления.
 [13]

Касательной составляющей угла давления на коромысло & называется угол между касательной к траектории точки приложения силы давления и проекцией этой силы на плоскость вращения коромысла. Нормальной составляющей угла давления на коромысло О называется угол между направлением силы давления и плоскостью вращения коромысла.
 [14]

Касательной составляющей угла давления на коромысло д называется угол между касательной к траектории точки приложения силы давления и проекцией этой силы на плоскость вращения коромысла. Нормальной составляющей угла давления на коромысло О называется угол между направлением силы давления, и плоскостью вращения коромысла.
 [15]

Страницы:  

   1

   2