Как найти точку равноудаленную от сторон треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.

Точка равноудалена от сторон треугольника центр окружности

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c – стороны треугольника

$$m_a$$ – медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ – высота к стороне a угла A

$$l_a$$ – биссектриса к стороне a угла A

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

• Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
• Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

• Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
• Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
• В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
• Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
• Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

• Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
• Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Точка равноудалена от сторон треугольника центр окружности

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p – a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

[spoiler title=”источники:”]

http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=702368

http://reader.lecta.rosuchebnik.ru/demo/8068/data/Chapter29.xhtml

[/spoiler]

На этой странице находится ответ на вопрос Найдите точку, равноудаленную от всех сторон треугольника?, из категории
Геометрия, соответствующий программе для 5 – 9 классов. Чтобы посмотреть
другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов
подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью
соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого
интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе.
Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не
только просмотреть, но и прокомментировать.

Как найти точку равноудаленную от трех сторон треугольника

1. 

   Димитриан
   
   22 января, 10:04

   
   0
   

   Построй биссектрисы двух любых углов треугольника (двух достаточно), и точка их пересечения будет искомой.

   • Комментировать
   • Жалоба
   • Ссылка

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Как найти точку равноудаленную от трех сторон треугольника …» по предмету 📙 Геометрия, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Новые вопросы по геометрии

Главная » Геометрия » Как найти точку равноудаленную от трех сторон треугольника

§ 21. Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

На рисунке 299 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность.

Центр описанной окружности треугольника равноудалён от всех его вершин. На рисунке 299 точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, поэтому OA = OB = OC.

Теорема 21.1

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника ABC существует точка O, равноудалённая от всех его вершин. Тогда точка O будет центром описанной окружности, а отрезки OA, OB и OC — её радиусами.

На рисунке 300 изображён произвольный треугольник ABC. Проведём серединные перпендикуляры k и l сторон AB и AC соответственно. Пусть O — точка пересечения этих прямых. Так как точка O принадлежит серединному перпендикуляру k, то OA = OB. Поскольку точка O принадлежит серединному перпендикуляру l, то OA = OC. Значит, OA = OB = OC, т. е. точка O равноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры k и l (см. рис. 300) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудалённая от всех вершин треугольника.

Следствие 1 

Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2 

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 301 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка O (рис. 301) — центр вписанной окружности треугольника ABC, отрезки OM, ON, OP — радиусы, проведённые в точки касания, OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ AC. Поскольку OM = ON = OP, то центр вписанной окружности треугольника равноудалён от всех его сторон.

Теорема 21.2

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника ABC существует точка O, удалённая от каждой его стороны на некоторое расстояние r. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка O будет центром окружности радиуса r, которая касается сторон AB, BC и AC.

На рисунке 302 изображён произвольный треугольник ABC. Проведём биссектрисы углов A и B, O — точка их пересечения. Так как точка O принадлежит биссектрисе угла A, то она равноудалена от сторон AB и AC (теорема 19.2). Аналогично, так как точка O принадлежит биссектрисе угла B, то она равноудалена от сторон BA и BC. Следовательно, точка O равноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов A и B (см. рис. 302) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудалённая от сторон треугольника.

Следствие 1 

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2 

Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения его биссектрис.

Задача. Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле , где r — радиус вписанной окружности, a и b — катеты, c — гипотенуза.

Решение. В треугольнике ABC ∠ACB = = 90°, BC = a, AC = b, AB = c, точка O — центр вписанной окружности, M, E и K — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно (рис. 303).

Отрезок OM — радиус окружности, проведённый в точку касания. Тогда OM ⊥ BC.

Так как точка O — центр вписанной окружности, то CO — биссектриса угла ACB, следовательно, ∠OCM = 45°. Тогда треугольник CMO — равнобедренный прямоугольный, CM = OM = r.

Используя свойство отрезков касательных, проведённых к окружности через одну точку, получаем: CE = CM. Поскольку CM = r, то CE = r. Получаем AK = AE = b – r; BK = BM = a – r.

Так как AK + BK = AB, то b – r + a – r = c, 2r = a + b – c, .

1. Какую окружность называют описанной около треугольника?
2. Какой треугольник называют вписанным в окружность?
3. Около какого треугольника можно описать окружность?
4. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?
5. Какую окружность называют вписанной в треугольник?
6. Какой треугольник называют описанным около окружности?
7. В какой треугольник можно вписать окружность?
8. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?

Практические задания

540.Начертите разносторонний остроугольный треугольник.

1)Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите центр окружности, описанной около данного треугольника.

2)Опишите около треугольника окружность.

Выполните задания 1 и 2 для разносторонних прямоугольного и тупоугольного треугольников.

541.Начертите:

1)равнобедренный остроугольный треугольник;

2)равнобедренный тупоугольный треугольник.

Выполните задания 1 и 2 из задания 540.

542.Перерисуйте в тетрадь рисунок 304. Проведите через точки A, B, C окружность, пользуясь линейкой со шкалой, угольником и циркулем.

543.Начертите разносторонний треугольник.

1)Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.

2)Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

3)Впишите в данный треугольник окружность.

544.Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 543.

Упражнения

545.Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану, проведённую к его основанию.

546.Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.

547.Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник — равнобедренный.

548.Докажите, что центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

549.На рисунке 305 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно. Докажите, что ∠O1DO2 — прямой.

550.На рисунке 306 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, ∠ABC = 50°. Найдите угол O1BO2.

551.Через центр O окружности, описанной около треугольника ABC, провели прямую, перпендикулярную стороне AC и пересекающую сторону AB в точке M. Докажите, что AM = MC.

552.Окружность, вписанная в треугольник ABC (рис. 307), касается его сторон в точках M, K и E, BK = 2 см, KC = 4 см, AM = 8 см. Найдите периметр треугольника ABC.

553.Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и E, AM = 13 см, BK = 3 см, периметр треугольника ABC равен 46 см. Найдите длину стороны AC.

554.Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555.Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556.Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557.Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558.Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A. Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559.В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC.

561.Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

562.В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M, BС = a. Докажите, что AM = p – a, где p — полупериметр треугольника ABC.

563.К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a, провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

564.В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK, BEF и CMN. Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565.В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD.

566.Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠AMN = ∠CMN.

567.Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B.

568.Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC. Найдите углы треугольника ABC.

Упражнения для повторения

569.Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC. Найдите угол ABC.

570.В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571.На рисунке 311 BC ‖ AD, AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K. Найдите отрезки BK и KC.

572.В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

573.В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.