Как найти точку симметричную точке относительно центра

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

   

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

   

   

   

   

   

   

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

	для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox	A1(x;-y)
оси Oy	A2(-x;y)
биссектрисы I и II координатных четвертей (прямой y=x)	A3(y;x)
биссектрисы I b II координатных четвертей (прямой y= -x)	A4(-y;-x)

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Симметрия окружности

Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?

Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.

Проведём произвольный диаметр AB окружности.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.

Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.

Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.

Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.

Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.

Что и требовалось доказать .

Окружность — центрально-симметричная фигура.

Осью симметрии окружности является её центр.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Проведем через точку X диаметр XX1.

XO=X1O (как радиусы).

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.

Осевая и центральная симметрии. Проводим урок с ЭФУ

Что такое симметрия

Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.

В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.

Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.

Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью

Видео

Симметрия геометрических фигур и тел

Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.

Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.

У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.

Осевая симметрия

Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.

Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии

Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же — центр симметрии.

В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.

Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.

Рис. 4 Примеры осевой симметрии

Теорема и доказательство

Осевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется.

Если отрезок MN симметричен отрезку M₁N₁ относительно прямой a, то MN = M₁N₁.

Чтобы доказать, что MN = M₁N₁, сделаем дополнительные построения:

• P – это точка пересечения MM₁ и прямой a;
• Q – это точка пересечения NN₁ и прямой a;
• построим отрезок MK, перпендикулярный NN₁;
• тогда точка K отразится в точку K₁.

Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M₁N₁K₁ равны. Стороны MN и M₁N₁ являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.

МК = М₁К₁ , так как перпендикулярны к параллельным прямым.

Точка N отобразилась в точку N₁, значит:

Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть MN = M₁N₁, что и требовалось доказать.

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Пример задачи

Постройте осевую симметрию тетраэдра, относительно оси $l$, изображенных на рисунке 4. Решение. Для построения такой осевой симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет перпендикулярна к оси $l$ (рис. 5). Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $A$ перейдет в такую точку $A’$, которая будет принадлежать прямой $a$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B’$, которая будет принадлежать прямой $b$. Точка $C$ перейдет в такую точку $C’$, которая будет принадлежать прямой $c$. Аналогично, и точка $D$ перейдет в такую точку $D’$, которая будет принадлежать прямой $k$. Причем, при этом первоначальная ось $l$ делит отрезки $[AA’]$, $[BB’]$, $[CC’]$, $[DD’]$ пополам. Таким образом, осевая симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.

Получи деньги за свои студенческие работы Курсовые, рефераты или другие работы

[spoiler title=”источники:”]

http://naiti-ludei.ru/posts/osevaya-i-centralnaya-simmetrii-provodim-urok-s-efu/

[/spoiler]

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Координаты на плоскости
5. Осевая и центральная симметрии

Советуем посмотреть:

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые

Координатная плоскость

Координаты на плоскости

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 1248,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1250,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1253,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1258,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1269,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1271,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1317,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

§ 4. Симметрия относительно точки

Если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки O также принадлежит этой фигуре, то фигура называется центрально-симметричной относительно точки O.