Как найти точку симметрии формула

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

   

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

   

   

   

   

   

   

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

	для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox	A1(x;-y)
оси Oy	A2(-x;y)
биссектрисы I и II координатных четвертей (прямой y=x)	A3(y;x)
биссектрисы I b II координатных четвертей (прямой y= -x)	A4(-y;-x)

Координаты симметричных точек

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Дробно-линейные отображения

Дробно-линейной функцией называется функция вида: , где — произвольные комплексные числа, такие, что .

Перечислим без доказательства свойства дробно-линейной функции.

1. Дробно-линейная функция осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом точка отображается в точку , а точка отображается в .
2. Дробно-линейное отображение можно представить в виде суперпозиции трех простейших отображений: целого линейного , отображения и сдвига .
3. Дробно-линейное отображение отображает окружности и прямые в окружности и прямые. При этом прямая может перейти как в прямую, так и в окружность. Окружность тоже может перейти как в прямую, так и в окружность. Это свойство называется круговым свойством дробно-линейных отображений.
4. Точки симметричные относительно прямой или окружности переходят в точки симметричные относительно образа этой прямой или окружности.
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три заданные точки в три заданные точки: дается формулой:

Пример 1 Найти образ мнимой оси при отображении .

Мнимая ось представляет собой прямую. По третьему свойству она должна перейти в окружность или в прямую. Найдем образы трех точек мнимой оси: . Так как образ одной из точек , то мнимая ось переходит в прямую проходящую через и , то есть в действительную ось.

Пример 2 Найти дробно линейное отображение, переводящее точки .

Пример 3 Найти образ области при отображении

Найдем образ мнимой оси при данном отображении. Возьмем три точки : .

Отметим также, что . Куда же перешел луч ? Подставим в формулу отображения: . При , точки переходят в точки луча действительной оси. Точки переходят в луч . Образы двух точек действительной оси у нас есть: Действительная ось переходит в окружность, проходящую через точки .

Найдем образ точки из границы нашей области:

Итак, образ луча будет полуокружность .

Теперь мы можем изобразить схему самого отображения:

Пример 4 Найти образы всех квадрантов при отображении .

Чтобы не решать опять задачи подобные примеру 3, воспользуемся следствием принципа симметрии Римана-Шварца в такой формулировке:

Пусть функция отображает область в и — дуга окружности или отрезок, принадлежащий границе области , и — область, симметричная относительно .

Пусть непрерывна на и области и не пересекаются. Тогда функция конформно отображает на , где и — образы и соответственно при отображении .

На следующем рисунке видно, что области и симметричны относительно луча , который переходит в полуокружность . Так находится образ области . Он для удобства обозначен штриховкой. Точно так же находятся образы остальных двух квадрантов.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya

http://khab.work5.ru/spravochnik/matematika/drobno-linejnye-otobrazheniya

[/spoiler]

Как найти точку, симметричную относительно прямой

Пусть даны некоторая прямая, заданная линейным уравнением, и точка, заданная своими координатами (x0, y0) и не лежащая на этой прямой. Требуется найти точку, которая была бы симметрична данной точке относительно данной прямой, то есть совпадала бы с ней, если плоскость мысленно согнуть пополам вдоль этой прямой.

Инструкция

Ясно, что обе точки — заданная и искомая — должны лежать на одной прямой, причем эта прямая должна быть перпендикулярна данной. Таким образом, первая часть задачи заключается в том, чтобы найти уравнение прямой, которая была бы перпендикулярна некоторой данной прямой и при этом проходила бы через данную точку.

Прямая может быть задана двумя способами. Каноническое уравнение прямой выглядит так: Ax + By + C = 0, где A, B, и C — константы. Также прямую можно определить при помощи линейной функции: y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — смещение.
Эти два способа взаимозаменяемы, и от любого можно перейти к другому. Если Ax + By + C = 0, то y = – (Ax + C)/B. Иными словами, в линейной функции y = kx + b угловой коэффициент k = -A/B, а смещение b = -C/B. Для поставленной задачи удобнее рассуждать, исходя из канонического уравнения прямой.

Если две прямые перпендикулярны друг другу, и уравнение первой прямой Ax + By + C = 0, то уравнение второй прямой должно выглядеть Bx – Ay + D = 0, где D — константа. Чтобы найти конкретное значение D, нужно дополнительно знать, через какую точку проходит перпендикулярная прямая. В данном случае это точка (x0, y0).
Следовательно, D должно удовлетворять равенству: Bx0 – Ay0 + D = 0, то есть D = Ay0 – Bx0.

После того как перпендикулярная прямая найдена, нужно вычислить координаты точки ее пересечения с данной. Для этого требуется решить систему линейных уравнений:
Ax + By + C = 0,

Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0.
Ее решение даст числа (x1, y1), служащие координатами точки пересечения прямых.

Искомая точка должна лежать на найденной прямой, причем ее расстояние до точки пересечения должно быть равно расстоянию от точки пересечения до точки (x0, y0). Координаты точки, симметричной точке (x0, y0), можно, таким образом, найти, решив систему уравнений:
Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,

√((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = √((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

Но можно поступить проще. Если точки (x0, y0) и (x, y) находятся на равных расстояниях от точки (x1, y1), и все три точки лежат на одной прямой, то:
x – x1 = x1 – x0,

y – y1 = y1 – y0.
Следовательно, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Подставив эти значения во второе уравнение первой системы и упростив выражения, легко убедиться, что правая его часть становится идентична левой. Дополнительно учитывать первое уравнение уже нет смысла, поскольку известно, что точки (x0, y0) и (x1, y1) ему удовлетворяют, а точка (x, y) заведомо лежит на той же прямой.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Глава
3. Геометрические преобразования

Пусть
дана прямоугольная система координат

на плоскости или

в пространстве. В теории геометрических
преобразований рассматриваются две
основные задачи, которые мы назовём
задачами А и Б. Сформулируем эти задачи
для случая плоскости, для пространства
они формулируются аналогично.

Задача
А. Пусть
система координат изменилась (например,
претерпела сдвиг или поворот на некоторый
угол) и

– новая система координат. Каждая точка

имеет определённые координаты

в старой (исходной) системе координат
и какие-то координаты

в новой системе координат

Требуется найти связь между новыми и
старыми координатами точки.

Задача
Б. Пусть
система координат

неизменна, а сама плоскость преобразуется,
т.е. точка

переходит в точку

Требуется установить связь между
координатами

и

В
каждом случае надо чётко представлять
себе, о какой задаче идёт речь. В задаче
А надо найти связь между координатами

и

одной и той
же точки в
разных
системах
координат, а в задаче Б – связь между
координатами

произвольной точки и координатами

её образа
при данном преобразовании. В обеих
задачах целью является получение формул,
выражающих

через

а также обратных
формул –

через

Позже средствами линейной алгебры эти
задачи будут разбираться в более общей
ситуации – для п-мерного
пространства.

Параллельный
перенос
системы координат

– преобразование, при котором начало
координат переходит в точку

а направления координатных осей
сохраняются. Связь между старыми и
новыми координатами произвольной точки
(решение задачи А) даётся формулами

(1)

Аналогичные формулы
справедливы для плоскости (см. рис. 1):

(2)

Рис.1.

Поворот
осей
координат
вокруг начала координат на угол

(решение задачи А) даётся формулами:

(3)

(см. рис. 2).

Рис.2.

Обратные
формулы получаются заменой

на

Приведём теперь
формулы для задачи Б.

Параллельный
перенос пространства
на вектор

задаётся формулами

(4)

Параллельный
перенос плоскости
(см. рис. 3) – формулами

(5)

Рис.3.

Поворот
плоскости
на угол

вокруг начала координат
– преобразование плоскости, при котором
каждая точка

переходит в такую точку

что угол между векторами

и

равен

(см. рис. 4).

Формулы поворота:

(6)

Примечание:
здесь речь идёт о направленном
угле, т.е. об
угле от

к

Поворот
плоскости на угол

вокруг точки

(7)

Симметрии
плоскости (или пространства) – это такие
преобразования плоскости (пространства),
при которых каждая точка

переходит в точку

симметричную точке

относительно точки, прямой или плоскости.
Разумеется, это является задачей Б.
Переход от системы координат к симметричной
системе (задача А) встречается весьма
редко и здесь рассматриваться не будет.

Формулы
симметрии плоскости: а) симметрия
относительно начала координат, б)
относительно оси

в) относительно точки

г) относительно прямой

а)

б)

в)

г)

формулы
симметрии пространства: а) относительно
начала координат, б) относительно оси

в) относительно плоскости

г) относительно плоскости

а)

б)

в)

г)

Для
симметрий относительно других осей
координат (координатных плоскостей) и
параллельных им прямых (соотв., плоскостей)
формулы пишутся аналогичным образом.
Приведём ещё формулу поворота пространства
на угол

вокруг оси

Симметрия
относительно прямой
(или
осевая
симметрия)
– преобразование плоскости, при котором
каждая точка

переходит в точку
,
расположенную симметрично

относительно
,
т.е.

и

лежат по разные стороны от

на одинаковом расстоянии от

на одном перпендикуляре к
.

Центральная
симметрия
(симметрия
относительно точки
):
если

то

Симметрия относительно точки

– это поворот плоскости на угол

вокруг точки
.

Решим две задачи
на преобразование координат.

Задача
1. Кривая
задана уравнением

Написать уравнение этой кривой в системе
координат: (а) параллельно перенесённой
на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз;
(б) повёрнутой относительно начала
координат на угол

Решение.
(а) Используя формулы (2), получим:


Напишем обратные формулы:


Подставим в уравнение кривой:

Это и будет уравнением кривой в новой
системе координат.

Задача
2. Написать
уравнение параболы

в системе координат, повёрнутой на

вокруг начала координат.

Решение.
Взяв в формулах


получим:


Подставим в уравнение

Отсюда получаем, что уравнение параболы

в новой системе координат таково:

Теперь
решим несколько задач на преобразование
плоскости или пространства.

Задача
3. Кривую

сдвинули на 4 единицы вправо, а затем на
4 единицы вверх. Написать уравнение
новой кривой.

Решение.
По формулам (5) получаем:


Отсюда получаем:

или

Таким образом, новая кривая имеет
уравнение

Задача
4. Найти образ
точки

при повороте плоскости на угол

вокруг начала координат.

Решение.
Пусть

– образ точки

Запишем формулы поворота (6) для угла

Подставим
в эти формулы


Получим:


Следовательно,

Задача
5. Дана прямая


Составить уравнение прямой, симметричной
прямой

а) относительно начала координат; б)
относительно оси

в) относительно прямой

г) относительно прямой

Решение.
Симметрия
относительно начала координат задаётся
формулами


(формулы (8а)). Подставим в уравнение
прямой

вместо

и

вместо

Получим:

Отсюда следует, что

Значит, уравнение симметричной прямой
таково:

б) Применяя формулы (8б), получим:

в) Симметрия относительно прямой

задаётся формулами


Поэтому следует подставить в уравнение
прямой

вместо

и

вместо

Мы получим:

Окончательно получаем:

г) Симметрия относительно прямой

определяется формулами


Отсюда нетрудно получить уравнение
симметричной прямой:

Задача
6. Найти образ
прямой

а) при повороте плоскости на угол

вокруг точки

б) при симметрии плоскости относительно
точки

в) при симметрии плоскости относительно
прямой

Решение.
а) Применяя формулы, обратные формулам
(7), получим:


Подставим в уравнение прямой:

Приводя
подобные члены и убирая штрихи, получим
окончательно:

б)
Используя формулы (8в), получим:


Подставим в уравнение прямой:

т.е.

Убирая штрихи, получим окончательно:

в) Заменим

на


на

получим:

После приведения подобных членов и
удаления штрихов получим:

Задача
7. Написать
формулы симметрии плоскости относительно
прямой

Решение.
Пусть

– произвольная точка плоскости,

– её образ при симметрии относительно
прямой

Тогда

Очевидно,

– направляющий вектор этой прямой.
Точку

можно найти из следующих условий: 1)
точка с координатами

(середина отрезка
)
принадлежит прямой

2)

Запишем эти условия в виде системы
уравнений:

Решив
эту систему, получим:


Это и есть формулы симметрии.

Задача
8. Дан центр
квадрата:

и уравнение
одной его стороны:

Составить уравнения других сторон
квадрата.

Решение.
Две стороны (смежные) получаются
поворотом плоскости вокруг точки

на

и
а
третья сторона (противоположная) –
поворотом на

или, что то же самое, – симметрией
относительно точки

Найдём сначала уравнения смежных сторон.
Запишем формулы поворота:

Отсюда
получаем:


т.е.

или

Подставим
оба варианта в уравнение прямой: а)

б)
Упростив и удалив штрихи, получим: а)
б)

Найдём
теперь уравнение противоположной
стороны. Запишем формулы симметрии
плоскости относительно точки



Подставим эти формулы в уравнение
прямой:

Упростив и удалив штрихи, получим:

Задача
9. Найти образ
точки

при повороте пространства на угол

вокруг оси ординат.

Решение.
Формулы поворота пространства вокруг
оси

на плоскости

совпадают с формулами поворота этой
плоскости вокруг начала координат, т.е.
мы имеем:

Добавив
уравнение

и подставив

получим:

Взяв



вычислим




Следовательно, точка

– образ точки

при повороте.

Задача
10. Поверхность
задана уравнением

Составить уравнение поверхности,
симметричной данной относительно
плоскости

Решение.
Симметрия относительно плоскости

задаётся формулами



Подставим в уравнение поверхности:

Убрав штрихи, получим искомое уравнение:

Задачи для
самостоятельного решения

1. Точка
   
   имеет координаты
   
   в одной системе координат и
   
   в другой, получающейся из первоначальной
   параллельным переносом. Написать
   формулы, выражающие новые координаты
   произвольной точки через старые. Ответ:
   
   

2. Система
   координат повернулась на угол
   
   вокруг начала координат. Написать
   формулы поворота и уравнение прямой
   
   в новой системе координат. Ответ:
   
   
   

3. Плоскость
   повернулась на
   
   вокруг точки
   
   Написать формулы поворота. Ответ:
   
   

4. Написать
   формулы параллельного переноса
   пространства, при котором точка
   
   переходит в точку
   
   Ответ:
   
   
   

5. Написать
   уравнение кривой, полученной из кривой
   
   а) параллельным переносом на 2 вправо
   и на 3 вниз; б) симметрией относительно
   точки
   
   в) симметрией относительно прямой
   
   г) симметрией относительно прямой
   
   Ответ: а)
   
   б)
   
   в)
   
   г)
   

6. Поверхность
   задана уравнением
   
   Написать уравнение поверхности,
   полученной из данной: а) симметрией
   относительно оси
   
   б)симметрией относительно плоскости
   
   в) симметрией относительно точки
   
   Ответ: а)
   
   б)
   
   в)

7. Преобразование
   плоскости задано формулами
   
   
   Доказать, что это поворот; найти центр
   и угол поворота. Ответ: центр:
   
   угол:
   

   1. Дан
      центр правильного треугольника:
      
      и уравнение
      одной его стороны:
      
      Составить уравнения двух других
      сторон. Ответ:
      

   2. Написать
      формулы симметрии плоскости относительно
      прямой
      
      Ответ:
      
      

   3. Какое
      преобразование плоскости получится,
      если сначала сделать поворот на
      
      вокруг начала координат, а затем на
      
      вокруг точки
      
      Ответ: параллельный перенос на вектор
      

Соседние файлы в папке СРС

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой?
Как найти точку, симметричную относительно прямой?

Впереди прямая река и задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение

по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние от точки  до прямой , заданной в ортонормированном базисе , выражается формулой

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», в частности:  – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Задача 81

Найти расстояние от точки  до прямой

Решение: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ:

Найденное расстояние – это в точности длина красного отрезка:
Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед.  =

1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Как найти точку, симметричную относительно прямой?

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична

точке  относительно прямой .

Предлагаю выполнить действия самостоятельно:

1) Находим прямую , которая

перпендикулярна прямой .
2) Находим точку пересечения прямых: .

3) Точка  является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам

координат середины отрезка находим

…слишком «страшные» дроби? Обычное дело! И лёгкое, если у вас есть калькулятор-«дробовик». Проверьте, что расстояние  тоже равно 2,2 единицам.

2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин