Как найти точку устранимого разрыва функции

Как найти точку устранимого разрыва функции

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Наглядный график точки разрыва функции

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Точки разрыва функции

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

  • первый род;
  • второй род.

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

  • Точки устранимого разрыва функции. Значения вычислений обоих пределов для них равны. Но также имеется возможность «исправить ситуацию»: нахождения между двумя координатами такой, левый и правый пределы которой будут одинаковы, а сама она — соединит «порванный» участок, сделав график непрерывным.

  • Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

  • Точки разрыва второго рода отличаются тем, что вычисляемые пределы не просто различны по значению, но результат хотя бы одного из них обязательно должен быть равен бесконечности или несуществующему числу.

Точки разрыва функции - определение

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Точка разрыва

Рассмотрим более подробно каждый из этих моментов на примере нахождения нужных нам точек у конкретного примера f (y)=(y² – 25)/(y – 5):

  1. Областью определения называют множество значений, в котором существует функция. Здесь не нужны никакие сложные вычисления, достаточно взять лишь знаменатель. Если y=5, то он будет (5−5)=0 и, как всем известно, делить на него нельзя. Таким образом, получаем область допустимых y ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞) и предполагаем, что наша y = 5 является точкой разрыва.
  2. Вычисление односторонних пределов. Это самая сложная для учеников часть, т. к. пределы не всегда бывают удобными для вычисления, да не все на них «собаку съели». Но в этом случае функцию можно значительно упростить еще до начала вычисления: f (y) = (y ²-25)/(y — 5) = ((y-5)(y+5)) /(y — 5) = y+5. Никогда не пренебрегайте такой возможностью, если она есть. Заметим, что новая функция непрерывна при любом численном значении, т. ч. по всем математическим правилам пределы будут равны: lim (y + 5) = 5 + 5 = 10.
  3. Проверяя совпадение результатов, мы выяснили, что левый и правый предел функции в точке y=5 одинаковые. Но вместе с тем функция f(y) не может быть определена в этой координате, иначе ее знаменатель обращается в ноль, что невозможно по условиям. Следовательно, она действительно является разрывом, а именно: устранимым и первого рода.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Источник

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Определение 1

Функция f(x) является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)=f(x0)

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Пример 1

Дана функция f(x)=16(x-8)2-8. Необходимо доказать ее непрерывность в точке х0= 2.

Решение 

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0 =2·(хn<2). Например, такой последовательностью может быть:

-2, 0, 1, 112, 134, 178, 11516,…, 110231024,…→2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f(-2); f(0); f(1); f112; f134; f178; f11516;…; f110231024;…==8.667; 2.667; 0.167; -0.958; -1.489; -1.747; -1.874;…;-1.998;…→-2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к -2, значит limx→2-016(x-8)2-8=-2.

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0= 2 (хn>2). Например, такой последовательностью может быть:

6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,…, 211024,…→2

Соответствующая последовательность функций:

f(6); f(4); f(3); f212; f214; f218; f2116;…; f211024;…==-7.333; -5.333; -3.833; -2.958; -2.489; -2.247; -2.247; -2.124;…; -2.001;…→-2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к -2, тогда limx→2+016(x-8)2-8=-2.

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f(x)=16x-82-8 в точке х0= 2, при этом limx→216(x-8)2-8=-2.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

limx→2-0f(x)=limx→2+0f(x)=f(2)=16(2-8)2-8=-2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Покажем графически:

Непрерывность функции в точке

Ответ: Непрерывность функции f(x)=16(x-8)2-8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Определение 2

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

limx→x0-0f(x)=limx→x0+0f(x)≠f(x0)

Пример 2

Задана функция f(x)=x2-25x-5. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D(f(x))⇔Dx2-25x-5⇔x-5≠0⇔x∈(-∞; 5)∪(5; +∞)

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х0= 5. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x2-25x-5 упростим: x2-25x-5=(x-5)(x+5)x-5=x+5.

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g(x)=x+5 является непрерывной при любом действительном x, тогда:

limx→5-0(x+5)=5+5=10limx→5+0(x+5)=5+5=10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х0= 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Определение 3

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limx→x0-0f(x)≠limx→x0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.

Пример 3

Задана кусочно-непрерывная функция f(x)=x+4, x<-1,x2+2, -1≤x<12x, x≥1. Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х0=-1 или в точке х0=1.

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

  • слева от точки х0=-1 заданная функция есть f(x)=x+4, тогда в силу непрерывности линейной функции: limx→-1-0f(x)=limx→-1-0(x+4)=-1+4=3;
  • непосредственно в точке х0=-1 функция принимает вид: f(x)=x2+2, тогда: f(-1)=(-1)2+2=3;
  • на промежутке (-1; 1) заданная функция есть: f(x)=x2+2. Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: limx→-1+0f(x)=limx→-1+0(x2+2)=(-1)2+2=3limx→1-0f(x)=limx→1-0(x2+2)=(1)2+2=3
  • в точке х0=-1 функция имеет вид: f(x)=2x и f(1)=2·1=2.
  •  справа от точки х0 заданная функция есть f(x)=2x. В силу непрерывности линейной функции: limx→1+0f(x)=limx→1+0(2x)=2·1=2

Ответ: в конечном счете мы получили:

  • limx→-1-0f(x)=limx→-1+0f(x)=f(-1)=3 – это означает, что в точке х0=-1 заданная кусочная функция непрерывна;
  • limx→-1-0f(x)=3, limx→1+0f(x)=2 – таким образом, в точке х0=1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Неустранимый разрыв первого рода

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Определение 4

Функция имеет разрыв второго рода в точке х0, когда какой-либо из пределов слева limx→x0-0f(x) или справа limx→x0+0f(x) не существует или бесконечен.

Пример 4

Задана функция f(x)=1x. Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение 

Запишем область определения функции: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞).

Найдем пределы справа и слева от точки х0= 0.

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 слева. К примеру:

-8; -4; -2; -1; -12; -14;…; -11024;…

Ей соответствует последовательность значений функции:

f(-8); f(-4); f(-2); f(-1); f-12; f-14;…; f-11024;…==-18;-14; -12; -1; -2; -4;…; -1024;…

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда limx→0-0f(x)=limx→0-01x=-∞.

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 справа. К примеру: 8; 4; 2; 1; 12; 14;…; 11024;…, и ей соответствует последовательность значений функции:

f(8); f(4); f(2); f(1); f12; f14;…; f11024;…==18; 14; 12; 1; 2; 4;…; 1024;…

Эта последовательность  – бесконечно большая положительная, а значит limx→0+0f(x)=limx→0+01x=+∞.

Ответ: точка х0= 0 – точка разрыва функции второго рода.

Проиллюстрируем:

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Содержание:

  • Определение точки разрыва
  • Точка разрыва первого рода
  • Точка разрыва второго рода
  • Точка устранимого разрыва
  • Примеры решения задач

Определение точки разрыва

Определение

Точка $a$, в которой нарушено хотя бы одно
из трех условий непрерывности функции, а именно:

  1. функция $f(x)$ определена в точке и ее окрестности;
  2. существует конечный предел функции $f(x)$
    в точке $a$;
  3. это предел равен значению функции в точке $a$,
    т.е. $lim _{x rightarrow a} f(x)=f(a)$

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция $y=sqrt{x}$ не определена в точке
$x=-1$, а значит, эта точка является точкой
разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке $a$ существуют конечные
пределы $f(a-0)$ и
$f(a+0)$, такие, что
$f(a-0) neq f(a+0)$, то точка
$a$ называется точкой разрыва первого рода.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Функция $f(x)=left{begin{array}{l}{0, x>1} \ {1, x leq 1}end{array}right.$ в точке
$x=1$ имеет разрыв первого рода, так как

$f(1-0)=1$, а
$f(1+0)=0$

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или
$f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то
точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции $y=frac{1}{x}$ точка
$x=0$ – точка разрыва второго рода, так как
$f(0-0)=-infty$ .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют
левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением
функции $f(x)$ в точке
$a$:
$f(a) neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция
$f(x)$ не определена в точке
$a$, то точка
$a$ называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=left{begin{array}{l}{3 x+1, x lt 0} \ {1-4 x, x>0} \ {e^{2}, x=0}end{array}right.$ .
Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x=0$:

$f(0)=e^{2}$

$f(0-0)=lim _{x rightarrow 0-} f(x)=lim _{x rightarrow 0-}(3 x+1)=1$

$f(0+0)=lim _{x rightarrow 0+} f(x)=lim _{x rightarrow 0+}(1-4 x)=1$

Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в
точке, то точка $x=0$ – точка устранимого разрыва.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Исследовать функцию $f(x)=left{begin{array}{l}{x^{2}, x lt 1} \ {(x-1)^{2}, 1 leq x leq 2} \ {3-x, x>2}end{array}right.$ на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и
непрерывна на промежутках
$(-infty ; 1)$,
$(1 ; 2)$ и
$(2 ;+infty)$, на которых она задана непрерывными
элементарными функциями $y_{1}(x)=x^{2}$,
$y_{2}(x)=(x-1)^{2}$ и
$y_{3}(x)=3-x$ соответственно. А тогда, разрыв возможен
только на концах указанных промежутков, то есть в точках
$x=1$ и
$x=2$ .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку $x=1$ . Для нее

$f(1)=left.(x-1)^{2}right|_{x=1}=0$

$f(1-0)=lim _{x rightarrow 1-} f(x)=lim _{x rightarrow 1-} y_{1}(x)=lim _{x rightarrow 1-} x^{2}=1$

$f(1+0)=lim _{x rightarrow 1+} f(x)=lim _{x rightarrow 1+} y_{2}(x)=lim _{x rightarrow 1+}(x-1)^{2}=0$

Так как $f(1-0) neq f(1+0)$ , то в точке
$x=1$ функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки $x=2$ имеем:

$f(2)=left.(x-1)^{2}right|_{x=2}=1$

$f(2-0)=lim _{x rightarrow 2-} f(x)=lim _{x rightarrow 2-} y_{2}(x)=lim _{x rightarrow 2-}(x-1)^{2}=1$

$f(2+0)=lim _{x rightarrow 2+} f(x)=lim _{x rightarrow 2+} y_{3}(x)=lim _{x rightarrow 2+}(3-x)=1$

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке
$x=2$ функция непрерывна.

Ответ. В точке $x=1$ функция
терпит разрыв первого рода, а в точке $x=2$ непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y=e^{frac{1}{x-1}}$
на непрерывность в точках $x_{1}=1$ и
$x_{2}=0$ .

Решение. 1) Исследуем функцию на
непрерывность в точке
$x_{1}=1$:

$f(1-0)=lim _{x rightarrow 1-} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-infty}=0$

$f(1+0)=lim _{x rightarrow 1+} e^{frac{1}{x-1}}=e^{+infty}=infty$

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка $x_{1}=1$
– точка разрыва второго рода.

2) Для точки $x_{2}=0$ получаем:

$f(0-0)=lim _{x rightarrow 0-} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-1}=frac{1}{e}$

$f(0+0)=lim _{x rightarrow 0+} e^{frac{1}{x-1}}=e^{-1}=frac{1}{e}$

и значение функции в точке

$f(0)=e^{frac{1}{x-1}}=frac{1}{e}$

Таким образом, в точке $x_{2}=0$ заданная
функция является непрерывной.

Ответ. $x_{1}=1$
– точка разрыва второго рода, а в точке $x_{2}=0$
функция непрерывна.

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Источник

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

  • – она определена в этой точке и ее некоторой Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения-окрестности;
  • – существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

– предел функции в точке Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения равен значению функции в исследуемой точке, т.е. Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Пример:

Найти область непрерывности функции Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Решение:

Данная функция непрерывна Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Пример:

Доказать, что функция Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решенияв точке Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решенияРис. 64. График функции Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения Область определения функции: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения т.е. точка Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функцияНепрерывность функций и точки разрыва с примерами решения имеет в точке Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения устранимый разрыв.

Решение:

В точке Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения функция имеет неопределенность Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Решение:

Найдем область определения этой функции: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения т.е. точка

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Решение:

Найдем область определения этой функции: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения т.е. точка Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решенияявляется точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решениякоторые определены в некоторой Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения-окрестности точки Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решениянепрерывны в некоторой Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения-окрестности точки Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения то выполняются равенства: Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения при условии, что во всех точках общей области определения функция Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения, есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Рис. 65. Поведение графика функции Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения в малой окрестности точки разрыва второго рода Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Из рисунка видно, что график функции Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения —неограниченно приближается к вертикальной прямой Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения.

Определение: Замкнутый интервал Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения.

Теорема: Если функция Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения непрерывна на сегменте Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения, то она достигает своего наименьшего (Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения) и наибольшего (Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения) значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения и наибольшего Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения значений на концах сегмента Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения На графике б) функция достигает своего наименьшего Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения и наибольшего значения Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения во внутренних точках сегмента Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения На графике в) функция достигает своего наименьшего значения Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения на левом конце сегмента Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения а наибольшего значения Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения во внутренней точке сегмента Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Тб. Если функция Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения непрерывна на сегменте Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения и достигает своего наименьшего (Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения) и наибольшего (Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения) значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения, найдется хотя бы одна точка Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения такая, что Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67). Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения непрерывна на сегменте Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения такая, чтоНепрерывность функций и точки разрыва с примерами решения.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

  • Точки разрыва и их классификация
  • Дифференциальное исчисление
  • Исследование функций с помощью производных
  • Формула Тейлора и ее применение
  • Векторное и смешанное произведения векторов
  • Преобразования декартовой системы координат
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
Источник

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.
График непрерывной функции является непрерывной линией.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.
Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение[править | править код]

Continuidad de funciones 04.svg

Пусть Dsubset mathbb {R} и f:Dto mathbb {R} .
Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке x_{0}in D.

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента x удовлетворять условию {displaystyle 0<leftvert x-arightvert }, то есть быть отличными от а.

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C^{0} и пишут: fin C^{0}(E) или, подробнее, fin C^{0}(E,mathbb {R} ).

Точки разрыва[править | править код]

Запрос «Точка разрыва» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если A — значение функции f в точке a, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с A. На языке окрестностей условие разрывности функции f в точке a получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки A области значений функции f, что как бы мы близко не подходили к точке a области определения функции f, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки A.

Классификация точек разрыва в R¹[править | править код]

Классификация разрывов функций f:Xto Y зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — f:mathbb {R} to mathbb {R} . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в mathbb {R} различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

  • если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
  • если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

  • Устранимый разрыв

    Устранимый разрыв

  • Разрыв типа «скачок»

    Разрыв типа «скачок»

  • Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».

    Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».

  • Точка существенного разрыва

    Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва[править | править код]

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

lim limits _{xto a}f(x)neq f(a),

то точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию f в точке устранимого разрыва и положить f(a)=lim limits _{xto a}f(x), то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»[править | править код]

Разрыв «скачок» возникает, если

lim limits _{xto a-0}f(x)neq lim limits _{xto a+0}f(x).

Точка разрыва «полюс»[править | править код]

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

lim limits _{xto a-0}f(x)=pm infty или lim limits _{xto a+0}f(x)=pm infty .[источник не указан 2705 дней]

Точка существенного разрыва[править | править код]

В точке существенного разрыва хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rn, n>1[править | править код]

Для функций f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n} и f:mathbb {C} to mathbb {C} нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в mathbb {R} считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства[править | править код]

Локальные[править | править код]

Глобальные[править | править код]

  • Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
  • Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
  • Областью значений функции f, непрерывной на отрезке [a,b], является отрезок {displaystyle [min f, max f],} где минимум и максимум берутся по отрезку [a,b].
  • Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и {displaystyle f(a)cdot f(b)<0,} то существует точка xi in (a,b), в которой {displaystyle f(xi )=0}.
  • Теорема о промежуточном значении: если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и число varphi удовлетворяет неравенству {displaystyle f(a)<varphi <f(b)} или неравенству {displaystyle f(a)>varphi >f(b),} то существует точка xi in (a,b), в которой {displaystyle f(xi )=varphi }.
  • Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
  • Монотонная функция на отрезке [a,b] непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами f(a) и f(b).
  • Если функции f и g непрерывны на отрезке [a,b], причем {displaystyle f(a)<g(a)} и {displaystyle f(b)>g(b),} то существует точка xi in (a,b), в которой {displaystyle f(xi )=g(xi ).} Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры[править | править код]

Элементарные функции[править | править код]

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом[править | править код]

Функция fcolon mathbb {R} to mathbb {R} , задаваемая формулой

f(x)={begin{cases}{frac {sin x}{x}},&xneq 0\0,&x=0end{cases}}

непрерывна в любой точке xneq 0. Точка x=0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

lim limits _{xto 0}f(x)=lim limits _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=1neq f(0).

Функция знака[править | править код]

Функция

f(x)=operatorname {sgn} x={begin{cases}-1,&x<0\0,&x=0\1,&x>0end{cases}},quad xin mathbb {R}

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке xneq 0.

Точка x=0 является точкой разрыва первого рода, причём

lim limits _{xto 0-}f(x)=-1neq 1=lim limits _{xto 0+}f(x),

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда[править | править код]

Функция Хевисайда, определяемая как

f(x)={begin{cases}1,&xgeqslant 0\0,&x<0end{cases}},quad xin mathbb {R}

является всюду непрерывной, кроме точки x=0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x=0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

f(x)={begin{cases}1,&x>0\0,&xleqslant 0end{cases}},quad xin mathbb {R}

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле[править | править код]

Функция

f(x)={begin{cases}1,&xin mathbb {Q} \0,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана[править | править код]

Функция

{displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {1}{n}},&x={frac {m}{n}}in mathbb {Q} , {text{НОД}}(m,n)=1\0,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}}

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел (mathbb {R} setminus mathbb {Q} ), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность {displaystyle x_{k}=m_{k}/n_{k}to xnotin mathbb {Q} }, то с необходимостью {displaystyle n_{k}to infty }).
Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения[править | править код]

Равномерная непрерывность[править | править код]

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого varepsilon >0 существует delta >0 такое, что для любых двух точек x_{1} и x_{2} таких, что |x_{1}-x_{2}|<delta , выполняется |f(x_{1})-f(x_{2})|<varepsilon .

Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность[править | править код]

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

Односторонняя непрерывность[править | править код]

Функция f называется непрерывной слева (справа) в точке x_{0} её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}-}f(x) (f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}+}f(x)).

Непрерывность почти всюду[править | править код]

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
Источник

Добавить комментарий