Как найти точное значение числа

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения –  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Приближенным
числом или приближением называется
число,
незначительно отличающееся от точного
значения величины и заменяющее его в
вычислениях. Под погрешностью же принято
понимать разность между абсолютным
значением и его приближением.

Наличие
погрешности обусловлено рядом весьма
глубоких причин.

• Математическая
  модель является лишь приближенным
  описанием реального процесса.
  Характеристики процесса, вычисленные
  в рамках принятой модели, заведомо
  отличаются от истинных характеристик,
  причем их погрешность зависит от степени
  адекватности модели реальному процессу.

• Исходные
  данные, как правило, содержат погрешности,
  поскольку они либо получаются в
  результате экспериментов (измерений),
  либо являются результатом решения
  некоторых вспомогательных задач.

• Применяемые
  для решения задачи методы в большинстве
  случаев являются приближенными. Найти
  решение возникающей на практике задачи
  в виде конечной формулы возможно только
  в отдельных, очень упрощенных ситуациях.

• При
  вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении
  арифметических операций и выводе
  результатов производятся округления.

Классификация
погрешностей измерений

По
форме представления погрешности
разделяются на: абсолютные, относительные
и приведённые

По
причине возникновения: инструментальные,
методические погрешности, субъективные

По
характеру проявления: случайная,
систематическая, прогрессирующая
(дрейфовая),

грубая
погрешность (промах)

По
способу измерения: погрешность прямых
измерений, погрешность косвенных
воспроизводимых измерений

Абсолютная
погрешность
– разность между приближенным значением
некоторой величины и ее точным значением

Относительная
погрешность
— отношение абсолютной погрешности к
тому значению, которое принимается за
истинное.

Значащими
цифрами называются все цифры, кроме
нуля, а также и нуль в двух случаях:

• когда
  нуль стоит между значащими цифрами;

• когда
  нуль стоит в конце числа, если известно,
  что единиц соответствующего разряда
  в данном числе не имеется.

а)
1 кг = 1000 г;

б)
население США по одной из переписей
составляло 195530000

человек

В
первом случае имеем точное соотношение,
поэтому все нули здесь – значащие цифры.
Во втором случае нули стоят вместо
неизвестных цифр, и число имеет только
5 значащих цифр. Для того чтобы избежать
недоразумения, никогда не следует писать
нули вместо неизвестных цифр, а лучше
применять такую форму записи:

19553
⋅104
или
1,9553
⋅108

Связь
относительной погрешности с количеством
верных знаков числа

Если
положительное приближенное число имеет
относительную погрешность , то количество
верных знаков n данного числа можно
определить по формуле

и
в качестве n взять ближайшее целое к
число.

Пр.
округления Если абсолютная погрешность
начинается с 1 или 2,

например,
(136; 2489; 0,01567; 0,00202; 0,1450),

то
оставляем две значащие цифры (140; 2500;
0,016; 0,0020; 0,15).

Если
абсолютная погрешность начинается с 3
и более,

например,
(32; 456; 99; 0,98; 0,0791),

то
оставляем одну значащую цифру (30; 500;
100; 1; 0,08).

Основная
задача теории погрешностей состоит в
оценке погрешности результата вычислений
при известных погрешностях исходных
данных.

15.
Применение дифференциального исчисления
при оценке погрешности. Обратная задача
теории погрешностей.

Обратная
задача теории погрешностей

состоит
в том, чтобы определить с какой точностью
необходимо задавать значения аргументов
функции , чтобы ее погрешность не
превосходила заданной величины ? Эта
задача математически неопределена, так
как заданную погрешность можно обеспечить
при любом наборе предельных абсолютных
погрешностей аргументов удовлетворяющих
условию:

Простейшее
решение обратной задачи дает принцип
равных влияний, согласно кото- рому
вклады всех аргументов в формирование
абсолютной погрешности функции равны:

Отсюда

,
где

Иногда
при решении обратной задачи по принципу
равных влияний абсолютные погрешности
отдельных аргументов оказываются
настолько малыми, что вычислить или
измерить эти величины с соответствующей
точностью невозможно. В таком случае
отступают от принципа равных влияний,
чтобы увеличение погрешности одних
переменных компенсировать уменьшением
погрешности других.

16
Алгоритмизация
и программирование. Алгоритм и его
свойства.

Алгоритм
– это определённая последовательность
действий, которые необходимо выполнить,
чтобы получить результат. Алгоритм
может представлять собой некоторую
последовательность вычислений, а может
– последовательность действий
нематематического характера. Для любого
алгоритма справедливы общие закономерности
– свойства алгоритма.

Дискретность
– это свойство алгоритма, когда алгоритм
разбивается на конечное число элементарных
действий (шагов).

Понятность
– свойство алгоритма, при котором каждое
из этих элементарных действий (шагов)
являются законченными и понятными.

Детерминированность
– свойство, когда каждое действие
(операция.указание.шаг.требование)
должно пониматься в строго определённом
смысле, чтобы не оставалась места
произвольному толкованию. чтобы каждый,
прочитавший указание, понимал его
однозначно.

Массовость
– свойство, когда по данному алгоритму
должна решаться не одна, а целый класс
подобных задач.

Результативность
– свойство, при котором любой алгоритм
в процессе выполнения должен приводить
к определённому результату. Отрицательный
результат также является результатом.

Изобразительные
средства для описания (представление)
алгоритма

Для
записи алгоритма решения задачи
применяются следующие изобразительные
способы их представления:

• Словесно-
  формульное описание

• Блок-схема
  (схема графических символов)

• Алгоритмические
  языки

• Операторные
  схемы

• Псевдокод

Для
записи алгоритма существует общая
методика:

Каждый
алгоритм должен иметь имя, которое
раскрывает его смысл.

Необходимо
обозначить начало и конец алгоритма.

Описать
входные и выходные данные.

Указать
команды, которые позволяют выполнять
определенные действия над выделенными
данными

Человеку
в жизни и практической деятельности
приходится решать множество различных
задач. Решение каждой из них описывается
своим алгоритмом, и разнообразие этих
алгоритмов очень велико. Тем не менее
можно выделить лишь три основных вида
алгоритмов (для краткости далее будем
называть их просто: линейные, разветвляющиеся
и циклические алгоритмы):

линейной
структуры,

разветвляющейся
структуры,

циклической
структуры.

Линейный
алгоритм
– алгоритм, в котором порядок действий
фиксирован и каждое действие выполняется
только один раз. Разветвляющийся алгоритм
– алгоритм, порядок действий в котором
зависит от некоторых условий. Разнообразие
же алгоритмов определяется тем, что
любой алгоритм распадается на части,
фрагменты и каждый фрагмент представляет
собой алгоритм одного из трех указанных
видов. Поэтому важно знать структуру
каждого из алгоритмов и принципы их
составления.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

                             
I.          
Организационный момент       

Ребята,
встаньте, подравняйтесь.

-Здравствуйте. 
Меня зовут Анна Владимировна. Сегодня я буду вести у вас урок математики

-Проверьте
готовность к уроку. На парте лежат:  дневник , подставка, учебник, листок и
пенал.

-Пожалуйста,
садитесь.

                          
II.          
Актуализация знаний

Начнем наш урок с устного счета.

Найдите закономерность и продолжите
ряды:

(Устно) назовите 3 следующих числа:

1.
25.3000, 26.3000, 27.3000, …, …, … .

2.
8.630, 7.530, 6.430, …, …, … .

3.
33.846, 32.745, 31.644, …, …, … .

Запишите числа, в которых:

1) 8 единиц класса миллионов, 700 единиц класса
тысяч и 5 единиц класса единиц;

2) 100 единиц класса миллионов и 100 единиц класса
тысяч;

3) 1 единица класса миллиардов и 18 единиц класса
миллионов;

4) 77единиц класса миллионов и 55 единиц класса
единиц.

Теперь поменяйтесь листочками и сверьте правильные
ответы с теми, которые вы видите на доске. Поставьте отметку: если нет
ошибок, то 5, если 1-2 ошибки, то 4, если ошибок больше то ничего не ставите.

                                                 
III.          
Затруднение

Возьмите листок в клетку. Вниз пропустите 2 клетки Запишите число и «Классная
работа».

Ребята, посмотрите на слайд, скажите,
чему будет равна масса арбуза?

(На слайде изображение арбуза и указан
его вес)

А вы можете точно сказать, сколько весит
арбуз  видя только рисунок не измеряя вес?

А что мы можем о нем сказать?

Верно, ребята.

                       
IV.          
Постанова учебной задачи, формулирование
темы, планирование деятельности.

Верно!
Кто из вас догадался, какая тема урока?

Какие
цели мы можем поставить на урок? О чем будем
узнавать?

Хорошо!
Ребята, а какой мы можем составить план для работы на уроке?

Что
у нас будет главным и первым пунктом?

Чему
мы должны будем научиться, после того как будем знать определение?

А
что мы должны повторить?

                          
V.          
Открытие нового знания

Предположите, что такое приближенное
значение величины. А точное?

Совершенно верно!

Откройте учебник на странице 143,
посмотрите на номер 3. Прочитайте задание. Обратите внимание, что нам дается пояснение
к этому номера. (1 человек читает всем)

Вернитесь на страницу 142 и посмотрите задание
под номером 2.

С помощью каких весов можно точнее
определить массу апельсина?

Точно,
все правильно. Идем с вами дальше.

Напишите
под классной работой задача 4.

 Посмотрите
на номер 4. Прочитайте записи. Какая запись выражает точное значение величины,
а какая – приближенное? На сколько они отличаются друг от друга?

Запишите
на лист только ответ.

Правильно!

Переверните
страницу на 114 и прочитайте задание номер 5. Запишите это номер в тетрадь
отступив от предыдущей записи 2 клетки вниз.

Какой
перед нами стоит вопрос в задачи?

Что
нам нужно сделать?

Какое
арифметическое действие мы должны выполнить, чтобы на него ответить?

Что
потом нам нужно сделать?

Каким
арифметическим действием мы будем пользоваться?

(по
1 выходят к доске)

(Задание
8 запасное)

Отступите
2 клетки вниз и запишите задача 1.

 Прочитайте
условие на слайде.

Какое
расстояние прошли туристы за два дня, если шли со скоростью 3 км/ч? Первый день
были в пути 5 часов, это на 2 часа больше, чем во второй?

О
чем говорится в задаче?

Какие
величины нам даны?

Что
такое скорость?

Что
такое время?

Что
такое расстояние?

К
чему относится 3 км/ч?

Что
такое 5 в этой задаче?

Мы
знаем расстояние, которое прошли за первый день?

Мы
знаем время в пути во второй день?

А
что мы знаем?

Известно
нам расстояние пройденное во второй день?

Какой
главный вопрос?

Чтобы
найти пройденное расстояние в первый день, что нам нужно сделать?

Каким
арифметическим действием мы может найти расстояние?

Что
нам сказано про время в пути во второй день?

Как
мы можем его найти?

Каким
арифметическим действием мы может найти время?

Чтобы
найти пройденное расстояние во второй день, что нам нужно сделать?

Каким
арифметическим действием мы может найти расстояние?

Нам
известно пройденное расстояние в первый и во второй день, можем ли мы
ответить на главный  вопрос задачи?

Как
мы можем найти расстояние, которое туристы прошли за 2 дня?

Каким
арифметическим действием мы может найти общее расстояние?

Все
справились с задачей.

                       
VI.          
Самостоятельная работа

Отступите от ответа 2 клетки вниз и запишите номер
задача 2. Поставьте в столбик цифры от одного до 10.

Посмотрите на доску, на ней вам даны различные
величины, вам нужно написать только приближенные величины.

1.      29
мм ≈  …  в см

2.     350
см ≈ …в м

3.     17900
м ≈ …в км.

4.     9
см 9 мм  ≈  … см

5.     6
кг 900г  ≈  …кг

6.     550
см  ≈  …метров

7.     49
мм  ≈  …в см

Округлите

8.      29
до десятков  ≈ …

9.     350
до сотен  ≈  …

10. 12400
до тысяч  ≈ …

Передайте вперед листочки.

                               
VII.          
Подведение итогов.

Итак,
ребята, кто помнить какая цель перед нами стояла? Достигли ли мы ее?

Все
ли пункты плана мы выполнили?

Что
мы сегодня узнали?

Чему
научились?

Откройте
дневник и запишите домашнее задание. Страница 144 задание номер 9.

                                               
VIII.          
Рефлексия

У
вас на столах лежит карточка с таблицей, в ней три столбца.

1
урок  2 я на уроке 3 итог

Проанализируйте
какой для вас был урок интересный, скучный или вам было безразлично; какой ты
был на уроке: работал, отдыхал или помогал другим; и итог урока: понял материал,
узнал больше чем знал или не понял.

Кто
написал, передайте свои карточки на первую парту.

Ребята,
подумайте, кто из ваших одноклассников сегодня активно работал, отвечал на
все вопросы и заслужил отличную отметку?

Приветствуют учителя, проверяют готовность
к уроку

Каждое
следующее число увеличивается на 1000: 28.3000, 29.3000, 30.300.

Каждое
следующее число уменьшается на 1100: 5.330, 4.230, 3.130.

Каждое следующее
число уменьшается на 1101: 30.543, 29.442, 29.332.

8.700.005,

100.100.000,

1.018.000.000,

77.000.055.

Масса арбуза
9кг

 Нет

Можем
приблизительно назвать массу арбуза

Точные и
приближенные значения величин

Узнать про
точные и приближенные значения величин.

Узнать про
точные и приближенные значения величин.

Определять
в задании точные и приближенные значения величин

Решение задач

Приближенное
значение-это, когда мы не можем назвать точное число, но можем назвать
приближенное к нему.

Соответственно,
точное значение-это когда мы можем назвать точное число.

Точную массу
апельсина можно определить с помощью электронных часов, так как они показывают
точное значение величины (массы)

1.     S= 16 км-
приближенное значение, отличается на 200 м.(меньше)

2.     T=3 мин-
приближенное значение, отличается на 8 секунд (меньше)

3.     V=30 км/ч-приближенное
значение, отличается на 3 км (больше)

На
сколько он отличается от точного значения массы?

Мы
должны сосчитать массу гирь.

Сложением.

Мы должны
из большего вычесть меньшее

Вычитанием.

1.     5кг+2кг+1кг+500г+200г=8кг
700г.

2.     8 кг
700г – 8кг 657 г= 43 г.

Ответ: результат отличается на 43
грамма.

В задаче
говорится о туристах, которые шли 2 дня.

Скорость,
время, расстояние

Расстояние
пройденное в единицу времени ( в 1 час)

Время в
пути

Пройденный
путь

К скорости
в 1 и во второй день

Кол-во
часов ( время) в пути в 1 день

Нет.

Нет.

Что оно
меньше чем в первый день на 2 часа.

Нет

Какое расстояние
прошли туристы за 2 дня?

Скорость
умножить на время

Умножением

Что оно
меньше чем в первый день на 2 часа.

Из пяти вычесть
два.

Вычитанием

Скорость
умножить на время

Умножением.

Да,
можем

Сложить пройденное
расстояние за первый и за второй день

Сложением.

Выходят по
одному к доске, пишут действие и пояснений.

1.      3 см

2.     35 м

3.     179 км

4.     10 см

5.     61кг

6.     55 см

7.     5 см

8.     30

9.      400

10.  13000

Узнать
про точные и приближенные значения величин.

Да, мы достигли
поставленной цели.

Мы выполнили
все пункты плана.

Мы узнали
про точное и приближенное значение величины.

Мы научились
определять точное и приближенное значение величины, находить их в тексте
задания. Повторили решение составных задач.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
2. Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений.
3. Вычисление погрешностей величин и арифметических действий
4. Методы оценки погрешности приближенных вычислений

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.

Пусть X – точное значение некоторой величины, а х – наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число  для которого справедливо неравенство

Число  в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х – это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.

Пример: Возьмем число . Если же вызвать  на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что  следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки  так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГХ= 5,2, ВГХ = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

 Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности)  приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример  Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то  |π-3,14|<0,0015927<0,0016=по формуле связи получаем таким образом

1. Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385,  В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592… число = 3,142. Тогда  (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.

В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку

Рис.  Приближение числа π

разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять  т.е. а = 16,784±0,001.

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать  Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример  а) 0,2409 – четыре значащие цифры; б) 24,09 – четыре значащие цифры; в) 100,700 – шесть значащих цифр.

Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х – данное число, а х1 – результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

В отдельных случаях вместо ∆окр приходится использовать его верхнюю оценку.

Пример  Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила записи приближенных чисел.

1. Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам:     x-x <= X <= x+x

При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы

а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;

б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.

Примеры:  23,4±0,2 ;   2,730±0,017 ;   -6,970,10.

1. Приближенное число может быть записано без явного указания  его  предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его  записи  (мантиссе)  должны  присутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.

Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200  в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.

 Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в  записи чисел промежуточных результатов для сохранения  точности  вычислений.  В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Округление чисел.

1. Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых  разрядов  стоит  цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
2. При округлении числа, записанного в форме х±х, его  предельная  абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.

Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 ,  так как погрешность  округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления.  В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 .  Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ:  4,54±0,06.

Пример  Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a1 = 16,40. Погрешность округления  Для нахождения полной погрешности , нужно сложить c погрешностью исходного значения а1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

1. Вычисление погрешностей арифметических действий

1. Сложение и вычитание. Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма соответствующих погрешностей слагаемых:

Ф.1                               (X+Y) = Х + Y ,       (X-Y) = Х + Y .

Пример.  Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти (X-Y) и (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:

(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

Относительную погрешность получим по формуле связи:

2. Умножение и деление. Если   Х << |Х| и Y << |Y|,   то имеет место следующая формула:

Ф.2                                     (X · Y) = (X/Y) = X + Y.

Пример. Найти (X·Y) и (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с помощью формулы Ф.2 найдем (X·Y):

(X·Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048

Теперь (X·Y) найдем с помощью формулы связи:

(X·Y) = |X·Y|·(X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048  0,26 .

3. Возведение в степень и извлечение корня. Если   Х << |Х| , то справедливы формулы

Ф.З

4. Функция одной переменной. 

Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± с. Тогда, обозначая через  малое приращение аргумента, можно написать

Если f ‘(с)  0, то приращение функции f(с+) – f(c) можно оценить ее дифференциалом:

f(c+) – f(c)  f ‘(c) ·.

Если погрешность с достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу:

Ф.4                                               f(c) = |f ‘(с)|· с .

Пример.  Даны   f(x) = arcsin x , с = 0,5 , с = 0,05 . Вычислить f(с).

Применим формулу Ф.4:    

5. Функция нескольких переменных.

Для функции нескольких переменных f(x1, … , хn) при xk= ck ± ck справедлива формула, аналогичная Ф.4:

Ф.5             f(c1, … ,сn)  l df(c1, … ,сn) | = |f ‘x1 (с1)|·с1+… + |f ‘xn (сn)|· сn.

Пример  Пусть х = 1,5, причем  т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x. С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность:  отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.

1. Методы оценки погрешности приближенных вычислений

Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.

1.   Строгий метод итоговой оценки. Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод формулы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного метода.

Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения

С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:

 т.е.

Пользуясь МК, получим 5, что дает . Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.

2.   Метод строгого пооперационного учета погрешностей. Иногда попытка применения метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом случае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заключается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.        

3.   Метод подсчета верных цифр. Данный метод относится к нестрогим. Оценка точности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие  от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.

П.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.

П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед  выполнением  этих  действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну значащую цифру больше него.

П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.

П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k  (k – целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то – больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для  определенности  примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет  место  неравенство:

0,2·10K  < |f ‘(X) |  2·10k  .

П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну  сомнительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.

Вычисления по методу границ

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений – метод границ.

Пусть f(x, у) – функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b – приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

Здесь НГ, ВГ – обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

f(НГа, НГb< f(a, b)<f(ВГa ВГb).

Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство

f(НГa ВГb)< f(a, b)< f(ВГa, НГb).

Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=х + у. Тогда очевидно, что

Точно так же для функции f2(x, у) = х–у (она по х возрастает, а по у убывает) имеем

Аналогично для умножения и деления:

	НГа*НГb<а * b<ВГa*ВГb.
	НГа/ВГb<а / b<ВГa/НГb.

Пример. Вычислите значение где 2,57<=x<=2,58;  1,45<=y<=1,46;  8,33<=z<=8,34

Действие	Содержимое	НГ	ВГ
1	X	2.57	2.58
2	Y	1.45	1.46
3	Z	8.33	8.34
4	x+y	4.02	4.04
5	x-y	1.11	1.13
6	(x-y)z	9.24	9.43
7		2.28	2.35

Пример. В табл.  приведены вычисления по формуле  методом границ. Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0,927 все цифры верны в строгом смысле (∆a = ∆b = 0,0005), т.е. 2,1555<а<2,1565; 0,92650,9275.

	a	b	ea			b2	a+b2		A
НГ	2,1555	0,9265	8,63220	0,96255	9,59475	0,85840	3,01434	1,10338	8,6894
ВГ	2,15,65	0,9275	8,64084	0,96307	9,60391	0,86026	3,01676	1,10419	8,7041

Рис. Связь между абсолютной погрешностью и границами

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет следующий вид:

8,6894 <А< 8,7041.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2  данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1  (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

• Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
• Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
• Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:  

1. а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
2. а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на  10^р  а = 74600·10⁴
3. а = 0,35  ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

1. а = 765000  ∆а = 5 – здесь погрешность  5<10  значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
2. а = 0,3700  ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

1. а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
2. а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
3. а = 263·10⁴ , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0, а₁ а₂ … а_k  ·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0, а₁ а₂ … а_k  –  все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной   от нуля цифры, не считаются значащими  0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

• с точностью до 10^-3   (10^-3  = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7  и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

• с точностью до 10^-2  (10^-2  = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

• с точностью до 10³  (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)