Как найти точность функции

Вычислить приближенное значение функции

Исследуем график функции y=f(x), для этого задайте функцию f(x).

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Что исследует?

Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

• Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
• Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
• Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
• Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
• Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
• Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
• Наклонные асимптоты графика функции: Да
• Четность и нечетность функции: Да
• Минимум и максимум функции: Да

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Напомним, что дифференциалом функции называется выражение . Дифференциал функции можно применять для приближенного вычисления функции в окрестности точки зная значение функции и ее производной в самой точке .

Приближенная формула имеет вид:

Если представить геометрически, то мы вычисляем значение функции ,как если бы она была касательной в точке .

Имеется два момента, которые нужно учесть.

Первое . Мы не знаем, насколько функция может измениться при переходе от точки к точке . Это зависит от того насколько меняется ее производная.

И второе , мы не можем оценить точность нашего вычисления. Поэтому задачу о вычислении приближенного значения функции ставят так: найти значение функции в точке alt=»изменение точки х0″ width=»87″ height=»25″ />используя дифференциал. Иногда просят оценить погрешность или относительную погрешность, зная точное значение в точке alt=»изменение точки х0″ width=»87″ height=»25″ />.

Приведем несколько примеров.

Пример 1

Пусть мы хотим найти приближенное значение функции в точке , используя дифференциал, зная значение функции и ее производной в точке : и оценить абсолютную и относительную погрешность. По приближенной формуле имеем:.

Поскольку , то абсолютная погрешность , и относительная погрешность.

Посмотрим, как влияет расстояние между точками и на погрешность и относительную погрешность. Пусть мы хотим найти приближенное значение функции в точке . Тогда, применяя приближенную формулу, найдем: . С другой стороны , так что абсолютная погрешность , и относительная погрешность .

Мы видим, что при удалении точки достаточно далеко от исходной , погрешность может сильно возрасти.

Сделаем следующий вывод: для достаточно близких точек погрешность может быть вполне удовлетворительной. Но самое главное, мы не можем вычислить значение в близкой точке с нужной нам точностью. Это можно сделать, используя формулу Тейлора и взяв в ней достаточное число членов.

Рассмотрм еще несколько примеров.

Пример 2

Найти приближенное значение , используя дифференциал. Находим:

Подставим в приближенную формулу: .

Найдем абсолютную и относительную погрешности наших вычислений. Точное значение .

Абсолютная погрешность , относительная погрешность .

Относительная погрешность маленькая. Это связано с тем, что мы взяли значение в точке близкой к исходной точке .

Пример 3

Найти приближенное значение , используя дифференциал. Исходной точкой, в которой мы знаем значение функции и ее производной, берем точку.

По приближенной формуле находим: .

По калькулятору найдем точное значение функции .

Оценим абсолютную погрешность: .

Относительная погрешность.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Применение производной к приближенным вычислениям

Выберем на кривой (y=f(x)) начальную точку (A(x_0,y_0)). Если мы начнем перемещаться к точке (B(x,y)), то приращению аргумента (triangle x=AC) соответствует приращение функции (triangle y=BC). Если считать, что кривая приблизительно совпадает со своей касательной при малых приращениях (triangle x), то (BCapprox MC) и (triangle yapprox dy).

п.2. Алгоритм приближенных вычислений с помощью дифференциала

На входе: функция (y=f(x)), точка x*, в которой нужно посчитать значение функции
Шаг 1. Определяем ближайшую к x* начальную точку (x_0), для которой значение (y_0=f(x_0)) известно или легко находится.
Шаг 2. Находим выражение для первой производной (f'(x)).
Шаг 3. Находим значение производной в начальной точке (f'(x_0))
Шаг 4. Находим линейное приближение значения функции $$ y^*approx f(x_0)+f'(x_0)(x^*-x_0) $$ На выходе: значение y*

Например:
1) Найдем значение корня (sqrt)
Функция (y=sqrt, x^*=65)
Начальная точка (x_0=64). Начальное значение функции (y_0=sqrt=8)
Производная: (f'(x)=frac>)
Производная в начальной точке: (f'(x_0)=frac>=frac)
Подставляем: (y^*=sqrtapprox 8+frac(65-64)=8+frac=8,0625)
Оценим относительную ошибку для полученного результата.
Значение, полученное на калькуляторе: (sqrtapprox 8,062258). Откуда: $$ partial=fraccdot 100textapprox 0,003text $$ Таким образом, в данном случае линейное приближение имеет высокую точность, т.к. для (x_0=64) и (x^*=65) кривая (y=sqrt) очень близка к прямой, т.е. своей касательной.

2) Найдем значение корня (sqrt)
Пусть начальная точка (x_0=4). Начальное значение функции (y_0=sqrt=2)
Производная в начальной точке: (f'(x_0)=frac>=frac14)
(y^*=sqrtapprox 2+frac14 (5-4)=2,25)
Значение, полученное на калькуляторе: (sqrtapprox 2,23607) $$ partial=fraccdot 100textapprox 0,06text $$ Точность стала хуже. Однако, её можно повысить, если взять (x_0=4,84).

3) Найдем (sqrt) при (x_0=4,84).
(y_0=sqrt =2,2)
Производная в начальной точке: (f'(x_0 )=frac=frac)
(y^*=sqrtapprox 2,2+frac(5-4,84)=2,2+frac=2,2+frac=2,23636…)
Значение (sqrtapprox 2,23607) $$ partial=fraccdot 100textapprox 0,01text $$ Точность повысилась.

Вывод: точку (x_0) следует выбирать, исходя из поведения функции (y=f(x)) в окрестности (x^*). Чем ближе (x_0) к (x^*) и чем ближе кривая к касательной, тем точнее будет линейное приближение с помощью дифференциала.

п.3. Приближение с точностью до квадрата приращения

Например:
1) Найдем квадратичное слагаемое для (x^*=65, x_0=64, y=sqrt)
Вторая производная: (f»(x)=left(frac>right)’=frac12cdotleft(-frac12right)cdotfrac>=-frac>) $$ frac(x^*-x_0)^2=-frac=-fracapprox -0,0002 $$ Значит, квадратичное слагаемое дает поправку в 4-м знаке.
Используя полученное выше линейное приближение, получаем: $$ y^*=sqrtapprox 8,0625-0,0002=8,0623approx 8,062 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.

2) Найдем квадратичное слагаемое для (x^*=5, x_0=4, y=sqrt) $$ frac(x^*-x_0)^2=-frac=-fracapprox -0,02 $$ Получаем: $$ y^*=sqrtapprox 2,25-0,02=2,23approx 2,2 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 1-го знака после запятой.

3) Найдем квадратичное слагаемое для (x^*=5, x_0=4,84, y=sqrt) $$ frac(x^*-x_0)^2=-frac=-fracapprox -0,0003 $$ Получаем: $$ y^*=sqrtapprox 2,2367-0,0003=2,2364approx 2,236 $$ Квадратичное слагаемое указывает, что округлить результат нужно до 3-го знака после запятой.

п.4. Полезные формулы приближений для функций вблизи нуля

Рассмотрим свойства приближений некоторых функций при (x_0=0) и (triangle x=xrightarrow 0).
В разложении ограничимся слагаемым (y(0)) и линейным приближением. Только если линейное приближение равно 0, будем учитывать слагаемое квадратичного приближения.
1) (y=sinx)
(y’=cosx, y»=-sinx)
(y(0)=0, y'(0)=1, y»(0)=0)
(sinxapprox 0+1cdot x-frac02cdot x^2approx x)

4) (y=e^x)
(y’=y»=e^x)
(y(0)=y'(0)=y»(0)=1)
(e^xapprox 1+1cdot x+frac12cdot x^2approx 1+x)
Пренебрегаем (frac) как очень малым слагаемым.