Как найти точность оценки доверительного интервала

Определение 1

Точечная оценка — оценка, которая определяется одним числом.

Определение 2

Интервальная оценка — оценка, которая определяется двумя числами, которые являются концами интервала.

Определение 3

Определение 4

Чаще всего надежность имеет значения $0,95, 0,99 и 0,999$, то есть значения, близкие к единице.

Доверительный интервал

Понятие доверительного интервала существует для оценки многих параметров выборки: математического ожидания, среднего квадратического отклонения, дисперсии

В данной статье мы не будем вдаваться в подробности вывода формул для нахождения доверительных интервалов.

• Доверительный интервал для оценки математического ожидания при заданном среднем квадратическом отклонении $sigma $.

[left(overline{x}-frac{sigma t}{sqrt{n}};overline{x}+frac{sigma t}{sqrt{n}}right)]

где $t$ находится из равенства $2Фleft(tright)=gamma $.

• Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении $sigma $.

[left(overline{x}-frac{St}{sqrt{n}},overline{x}+frac{St}{sqrt{n}}right)]

• Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения.

[left(Sleft(1-qright),Sleft(1+qright)right), при q1.]

• Доверительный интервал для оценки дисперсии.

[left(S^2left(1-qright),S^2left(1+qright)right), при q1.]

В последних двух пунктах $q$ имеет табличное значение (таблица 1).

Пример задачи на нахождения доверительных интервалов

Точечной называют оценку, которая
определяется одним числом. Все оценки,
рассмотренные выше,- точечные. При
выборке малого объема точечная оценка
может значительно отличаться от
оцениваемого параметра, т. е. приводить
к грубым ошибкам. По этой причине при
небольшом объеме выборки следует
пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют
оценку, которая определяется двумя
числами – концами интервала. Интервальные
оценки позволяют установить точность
и надежность оценок (смысл этих понятий
выясняется ниже).

Пусть найденная по данным
выборки статистическая характеристика
Θ* служит оценкой неизвестного параметра
Θ. Будем считать Θ постоянным числом (Θ
может быть и случайной величиной). Ясно,
что Θ* тем точнее определяет параметр
Θ, чем меньше абсолютная величина
разности |Θ – Θ*|. Другими словами, если
δ>0
и |Θ – Θ*|<δ,
то чем меньше δ,
тем оценка точнее. Таким образом,
положительное число δ
характеризует точность
оценки.

Однако статистические
методы не позволяют категорически
утверждать, что оценка Θ * удовлетворяет
неравенству |Θ – Θ*|<δ;
можно лишь говорить о вероятности γ, с
которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной
вероятностью)
оценки Θ по Θ* называют
вероятность γ,
с которой осуществляется
неравенство |Θ – Θ*|<δ.
Обычно надежность оценки задается
наперед, причем в качестве γ берут число,
близкое к единице. Наиболее часто задают
надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что
|Θ – Θ*|<δ,
равна γ:

Р[|Θ –
Θ*|<δ]=
γ.

Заменив неравенство |Θ –
Θ*|<δ
равносильным ему двойным неравенством
-δ <Θ
– Θ*< δ,
или Θ*- δ <Θ<
Θ* + δ,
имеем

Р[Θ* – δ
<Θ< Θ* + δ]
= γ.

Это соотношение следует
понимать так: вероятность того, что
интервал(Θ*-δ,
Θ*+δ)
заключает в себе (покрывает) неизвестный
параметр Θ, равна γ.

Доверительным называют
интервал (Θ*-δ,
Θ*+δ),
который покрывает неизвестный параметр
с заданной надежностью γ.

Замечание.
Интервал (Θ*-δ,
Θ*+δ)
имеет случайные концы (их называют
доверительными границами). Действительно,
в разных выборках получаются различные
значения Θ*. Следовательно, от выборки
к выборке будут изменяться и концы
доверительного интервала, т. е.
доверительные границы сами являются
случайными величинами – функциями от
х₁,
x₂,
…,
х_n.

Так
как случайной величиной является не
оцениваемый параметр Θ, а доверительный
интервал, то более правильно говорить
не о вероятности попадания Θ в доверительный
интервал, а о вероятности того, что
доверительный интервал покроет Θ.

Метод доверительных интервалов разработал
американский статистик Ю. Нейман, исходя
из идей английского статистика Р. Фишера.

§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ

Пусть количественный признак
X
генеральной совокупности
распределен нормально, причем среднее
квадратическое отклонение σ
этого распределения известно. Требуется
оценить неизвестное математическое
ожидание а
по выборочной средней
.
Поставим своей задачей
найти доверительные интервалы, покрывающие
параметр а с
надежностью γ.

Будем рассматривать
выборочную среднюю

как случайную величину(изменяется от выборки к выборке) и
выборочные значения признаках₁,
x₂,
…,х_n
– как одинаково распределенные независимые
случайные величины Х₁,
Х₂,
…,Х_n
(эти числа также
изменяются от выборки к выборке). Другими
словами, математическое ожидание каждой
из этих величин равно а
и среднее квадратическое
отклонение – σ.

Примем без доказательства,
что если случайная величина X
распределена нормально,
то выборочная средняя
,
найденная по
независимым наблюдениям, также
распределена нормально. Параметры
распределения

таковы (см. гл. VIII,
§ 9):

M()=a,

.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(|Х
– а| < δ)
= γ,

где γ
– заданная
надежность.

Пользуясь формулой (см. гл.
XII,
§ 6)

Р(|Х-а|
< δ)
= 2Ф(δ/σ),

заменив X
на

и σ
на
,
получим

Р(|Х-а|)
<δ)
= 2Ф(δ)
= 2Ф (t),

где t
=
δ.

Найдя из последнего равенства

, можем написать

Р (|—а
| <
)
= 2Ф(t).

Приняв во внимание, что
вероятность P
задана и равна γ,
окончательно
имеем (чтобы получить рабочую формулу,
выборочную среднюю вновь обозначим
через
)

Смысл полученного соотношения
таков: с надежностью γ
можно утверждать,
что доверительный интервал (,
) покрывает неизвестный
параметр а;
точность оценки
.

Итак, поставленная выше
задача полностью решена. Укажем еще,
что число t
определяется из равенства 2Ф(t)
= γ. или Ф(t)=
γ /2;
по таблице функции
Лапласа (см. приложение 2) находят аргумент
t, которому
соответствует значение функции Лапласа,
равное γ /2.

Замечание
1.
Оценку
называют
классической. Из формулы
,
определяющей
точность классической оценки, можно
сделать следующие выводы:

1) при
возрастании объема выборки п
число
δ
убывает
и, следовательно, точность оценки
увеличивается;

2)
увеличение надежности оценки γ
= 2Ф(t)
приводит к увеличению t(Ф
(t)
— возрастающая функция), следовательно,
и к возрастанию δ;
другими словами, увеличение надежности
классической оценки влечет за собой
уменьшение ее точности.

Пример.
Случайная величина X
имеет
нормальное распределение с известным
средним квадратическим отклонением σ
= 3. Найти доверительные интервалы для
оценки неизвестного математического
ожидания а
по
выборочным средним
,
если
объем выборки n
= 36 и задана надежность оценки
γ= 0,95.

Решение.
Найдем
t.
Из
соотношения 2Ф(t)=0,95
получим Ф(t)
= 0,475. По таблице приложения 2 находим
t=1,96.

Найдем точность
оценки:

.

Доверительный
интервал таков: (-0,98;

+ 0,98). Например, если

= 4,1, то доверительный интервал имеет
следующие доверительные границы:

–
0,98
= 4,1- 0,98 = 3,12;
+
0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Таким
образом, значения неизвестного параметра
а,
согласующиеся
с данными выборки, удовлетворяют
неравенству 3,12 < а
< 5,08.
Подчеркнем, что было бы ошибочным
написать Р(3,12
<
а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а
–
постоянная величина, то либо она заключена
в найденном интервале (тогда событие
3,12 < а
< 5,08
достоверно и его вероятность равна
единице), либо в нем не заключена (в
этом
случае событие 3,12 < а
<
5,08 невозможно и его вероятность равна
нулю). Другими словами, доверительную
вероятность не следует связывать с
оцениваемым параметром; она связана
лишь с границами доверительного
интервала, которые, как уже было указано,
изменяются от выборки к выборке.

Поясним
смысл, который имеет заданная надежность.
Надежность γ = 0,95 указывает, что если
произведено достаточно большое число
выборок, то 95% из них определяет такие
доверительные интервалы, в которых
параметр действительно заключен; лишь
в 5% случаев он может выйти за границы
доверительного интервала.

Замечание
2.
Если требуется оценить математическое
ожидание с наперед заданной точностью
δ
и
надежностью γ, то минимальный объем
выборки, который обеспечит эту точность,
находят по формуле

(следствие
равенства
).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Погрешность и доверительный интервал: в чем разница?

Содержание:

1. Точечные и интервальные оценки параметров распределения
2. Примеры решения задач

Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Оценка параметра распределения совокупности в общем случае является случайной величиной, которая определяется по данным выборки и используется вместо неизвестного значения параметра, который нужно оценить.

Оценка называется обоснованной, если она совпадает по вероятности с соответствующим параметром при 

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает со значением параметра.

В случае выбора из всех известных несмещенных обоснованных оценок определенной оценки, необходимо указать критерий, по которому сделан выбор.

Чаще всего используется критерий, который состоит в выборе оценки, имеющей наименьшую возможную дисперсию. Такая оценка называется эффективной. Нижняя граница дисперсии несмещенной оценки параметра (которую будем обозначать ) определяется по формуле:

где – плотность распределения случайной величины (для дискретной случайной величины ).

Оценки параметров распределения находят методами максимальной правдоподобности и моментов. Метод максимальной правдоподобности состоит вот в чем. Пусть закон распределения случайной величины определяется через параметр  который в общем случае -мерный. Тогда для выборки общий закон распределения представляется функцией правдоподобности (запишем, например, для непрерывных величин):

За оценки максимальной правдоподобности параметров  берутся выборочные функции, которые является решением системы уравнений:

Использование метода моментов основывается на сходстве (по вероятности) статистических моментов распределения с соответствующими теоретическими моментами распределения, которые в этом случае должны существовать. Как известно, теоретические моменты распределения выражаются через параметры распределения. Составим систему уравнений, в которой попарно приравняем соответствующие теоретические и статистические моменты. Решением этой системы являются оценки для параметров распределения.

Пусть есть точечная оценка параметра  Найдем для параметра интервальную оценку, воспользовавшись условием  В этом случае  называется точностью оценки, а – ее надежностью. Тогда интервальная оценка (доверительный интервал) для параметра  принимает вид  Параметр  – не случайная величина, надежность  можно рассматривать как вероятность того, что случайный интервал покрывает действительное значение параметра. Величины  и  тесно связаны с объемом выборки  Если задать две из этих величин, то модно найти третью. Для этого нужно знать закон распределения для 

Примеры решения задач

Пример 1. Выборка объемом  сделана из совокупности, распределенной по закону Релея 

Найти оценку для параметра  и преобразовать ее в  несмещенность, обоснованность и эффективность.

Решение. Применим метод максимальной правдоподобности. Построим функцию правдоподобности, составим и решим уравнение для определения оценки:

Проверим оценку на несмещенность, найдя ее математическое ожидание:

Преобразование выполнено согласно свойствам математического ожидания и с учетом того, что результаты выборки являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Найдем  случайной величины, распределенной по закону Релея:

Тогда  то есть оценка несмещенная.

Проверку обоснованности оценки выполним, второй формой неравенства Чебышева, то есть оценим вероятность  Чтобы найти дисперсию оценки, выполним вычисления:

(Последний интервал, который является математическим ожиданием квадрата случайной величины, равен и вычислялся ранее). Тогда  Следовательно, получим:

Подставляя дисперсию оценки в неравенство Чебышева, получим:

 если 

Следовательно, оценка обоснованная.

Находим дисперсию эффективной оценки:

Дисперсия эффективной оценки совпадает с дисперсией найденной оценки для  а это означает, что оценка эффективная.

Пример 2. Методом моментов найти оценку параметра  геометрического распределения поп данным выборки объемом 

Решение. Геометрический закон распределения определяется формулой Поскольку нужно найти оценку одного параметра, сравниваем теоретические и статистические начальные моменты первого порядка:

Пример 3. По данным выборки объемом  из нормально распределенной совокупности, дисперсия которой а надежность  найти интервальную оценку для математического ожидания этой совокупности.

Решение. Интервальная оценка для математического ожидания, если дисперсия совокупности известна, представляется в виде  где где  – функция Лапласа.

Для построения оценки рассматривалась выборочная функция  которая имеет нормальный закон распределения с нулевым математически ожиданием и единичной дисперсией. 

Пример 4. Решить предыдущую задачу для случая, когда дисперсия совокупности неизвестна.

Решение. В этом случае интервальную оценку построим с помощью выборочной функции  которая распределена по закону Стьюдента с  степенями свободы. Доверительный интервал где  где – функция распределения Стьюдента с  степенями свободы. Если количество степеней свободы превышает 20, то распределение Стьюдента практически не отличается от нормального закона распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. 

Пример 5. По результатам выборки объемом из нормально распределенной совокупности с надежностью  найти доверительный интервал для дисперсии совокупности.

Решение. Для определения доверительного интервала берем выборочную функцию  которая имеет распределение с  степенями свободы. Доверительный интервал представляется в виде Значения и  определяются с помощью таблиц распределения  с соответствующим количеством степеней свободы: 

Пример 6. Найти с надежностью  интервальную оценку для вероятности наступления события в каждом из независимых повторных испытаний, если событие произошло  раз.

Решение. Для определения доверительного интервала берем выборочную функцию  которая имеет закон распределения близкий к нормальному, с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Доверительный интервал:

где – значение найдено по таблицам функции Лапласа. Вычислим  и  – левую и правую границы доверительного интервала:

Получим интервал 

Пример 7. Определить минимальный объем выборки  для того, чтобы с надежностью  можно было получить оценку математического ожидания нормально распределенной совокупности  если среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности и оценка находится с помощью выборочной средней величины.

Решение. Воспользовавшись формулой получаем Найдем  из формулы  По таблицам функции Лапласа  следовательно, 

Пример 8. Из партии однотипных высокоомных сопротивлений взяли для контроля 10 штук. Измерения показали такие отклонения от номинала, кОм:

Найти выборочную среднюю и дисперсию отклонения фактического значения сопротивления от номинала в этой партии и определить точность оценки математического ожидания выборочной средней величиной с надежностью (использовать распределение Стьюдента).

Решение. Считаем, что отклонение  имеет нормальный закон распределения с неизвестными параметрами и  Находим числовые характеристики  и  выборочной совокупности: Точность оценки определяем по формуле  Значение  ищем по таблицам функции распределения Стьюдента с 9 степенями свободы: 

Следовательно, получим такой доверительный интервал для математического ожидания: 

Пример 9. В ВТК были измерены диаметры 200 валов, изготовленных на станке-автомате. Отклонения измеренных диаметров от номинала, мкм, приведены в таблице.

Считая, что выборка сделана из нормально распределенной совокупности, определить с надежностью  точность оценки дисперсии выборочной дисперсией 

Решение. С помощью условных моментов распределения, вычислим выборочную дисперсию  составив таблицу:

найдем условные моменты распределения и выборочную дисперсию на основании расчетов в таблице:

Точность оценки равна половине длины доверительного интервала Значения и вычислим с помощью таблиц распределения  с  степенями свободы. Но в этой задаче объем выборки тогда как таблицы составлены для значений  которые не превышают 30. Поэтому воспользуемся тем, что при распределение  приближается к нормальному закону распределения с соответствующими математическим ожиданием и дисперсией. Выборочная функция  имеет распределение  с  степенями свободы. Поэтому 

Выборочная функция распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Доверительный интервал найдем из условия:

Выполним преобразование для определения границ доверительного интервала:

Следовательно, доверительный интервал для дисперсии такой: 

Найдем точность оценки как половину длины доверительного интервала:

Согласно значению по таблицам функции Лапласа 

Окончательно получим: