Сегодня мы продолжим разговор о точности вычислений, причем он уже будет касаться не только ЭВМ. Не смотря на то, что термины разрешающая способность и погрешность обычно применяются к измерительным приборам в метрологии, они имеют отношение и к самой обычной математике. Когда мы ее используем для расчетов даже на листке бумаги.
В предыдущей статье
мы уже касались вопросов точности как представления чисел, так и вычислений. Не смотря на то, что разговор шел о вычислительных машинах, затронутые вопросы имеют самый общий характер.
И сегодня мы увидим, что не только в метрологии, но и в математических расчетах, разрешающая способно и точность это совсем не одно и тоже!
Разрешающая способность реального мира и математика
С точки зрения математики, числа образуют непрерывные и бесконечные множества значений. Во всяком случае, действительные, вещественные, числа. Можно сказать, что математика рассматривает числа как аналоговые величины. Что это означает?
Мы можем взять любые два числа, сколь угодно близкие. И в промежутке между этими числами можно разместить любое (даже бесконечное!) количество других чисел. Два числа образуют на числовой прямой отрезок, который можно разделить на еще более мелкие отрезки. И каждый из этим мелких отрезком мы можем делить на еще более мелкие. И так до бесконечности.
Конечно, речь не идет о целых числах. Целые числа образуют бесконечное, но дискретное множество. Мы не можем разместить между двумя соседними целыми числами ни одного дополнительного числа. Но самые интересные для нас числа, действительные, образуют непрерывное множество. Комплексные числа тоже образуют непрерывное бесконечное множество. Но если действительные числа можно представить в виде числовой оси, то комплексные числа уже в виде числовой плоскости.
Но в реальном, а не идеальном математическом, мире непрерывность превращается в дискретность. На практике непрерывность недостижима. И это касается не только ЭВМ. И при вычислении в уме, и при вычислении на листке бумаги, и при использовании логарифмической линейки, мы записываем ограниченное количество цифр чисел. И тем самым порождаем дискретность.
Причем эта дискретность является неустранимой. Мы можем записывать очень большое количество цифр в числах, но некоторые числа все равно не получится записать абсолютно точно. Примерами таких чисел являются число e (число Эйлера) и число π (число Пи).
Intel, документацию которой на их FPU мы уже использовали в предыдущей статье, иллюстрирует дискретность машинного представления действительных чисел так
В самом верху изображена числовая ось, непрерывная и бесконечная, на которой располагаются действительные числа. Чуть ниже показано подмножество действительных чисел, уже дискретное, которое образуют представимые в машине числа. В самом низу, в виде “картинки под микроскопом” показано, что в машинном представлении между числами образуются неустранимые промежутки. Числа, попавшие в эти промежутки, не могут быть представлены точно. Мы будем вынуждены использовать одно из близлежащих чисел для их представления.
Думаете, что это касается только вычислительных машин? Ошибаетесь! Тоже самое происходит и числами, которыми мы пользуемся при вычислениях на листке бумаги. Можно сказать, что числа, которыми мы пользуемся в реальном мире, вне зависимости от способа их представления, образуют шкалу с делениями. И мы пользуемся делениями этой шкалы для записи чисел и вычислений.
Давайте рассмотрим экспоненциальную запись действительных чисел, например, с 5 цифрами после запятой. Количество цифр порядка нам не важно, но для определенности предположим, что их две. Мантисса наших чисел будет представлена 6 цифрами. Одна до запятой и пять после запятой. Что можно сказать о двух соседних числах, которые еще будут различимы (не будут сливаться в одно число) при таком представлении?
Очевидно, что разность этих двух чисел, по модулю, должна удовлетворять условию
|x1 – x2| ≥ 0.00001
Если разность меньше, два числа будут неразличимы при записи 5 цифр после запятой. Это и есть разрешающая способность записи мантиссы. Цена деления шкалы мантиссы. Чем больше цифр в записи мантиссы, тем лучше разрешающая способность. Поэтому в ЭВМ и были введены форматы повышенной точности. Мы уже рассматривали их в предыдущей статье.
Но это касается только мантиссы, для оценки разрешающей способности всего числа нам уже требуется учитывать порядок. Предположим, наше число имеет порядок +5. И “магическим образом” последняя цифра нашей мантиссы (пятая, после запятой в ее записи) оказывается первой цифрой до запятой в числе в целом. Для мантиссы разрешающая способность не изменилась, но для числа в целом разрешающая способность гораздо хуже, всего то 1, а не 0.00001. Если порядок числа будет равен -5, то разрешающая способность записи числа будет гораздо лучше, чем разрешающая способность мантиссы.
Вот это и показано на иллюстрации Intel как различная плотность точек, дискретных представлений чисел. Чем дальше от центра числовой оси, тем больше значение порядка. И тем хуже разрешающая способность представления чисел. При ограничении количества цифр после запятой в числе.
Увеличивая количество цифр в мантиссе, количество разрядов мантиссы, мы увеличиваем, улучшаем, разрешающую способность и мантиссы, и числа в целом. Деления нашей числовой оси становятся более мелкими, а точность представления чисел растет. Но решает ли это все проблемы? Нет, не решает! И сейчас мы будем с этим разбираться.
При этом мы уже не будем рассматривать потерю точности при выполнении арифметических операций с числами с существенно различными порядками. Мы рассмотрели это в предыдущей статье.
Составляющие погрешности вычислений
Очень многие, к сожалению, попадают в ловушку “безусловно высокой точности вычислений с большим количеством разрядов” на ЭВМ. Реальность такова, что точность вычислений, погрешность вычислений, определяются далеко не только разрядностью (количеством цифр) в используемых числах. Более того, в большинстве практических случаев дискретность представления чисел (разрешающая способность) даже не стоит на первом месте при обсуждении вопросов погрешностей вычислений.
Погрешность математической модели
Математическая модель это не что-то абстрактное и статичное. Это описание на языке математики реальных процессов. И в большинстве случаев математическая модель учитывает не все тонкости реального процесса, а только самые важные. С точки зрения прикладной, практической, задачи.
Давайте начнем с чего-нибудь простого… Например, несколько человек принесли яблоки. Сколько всего яблок у нас оказалось? Мы, еще со школьной скамьи, знаем, что нельзя складывать яблоки с апельсинами, например. Но тут у нас только яблоки. Значит складываем? А если несколько яблок оказались червивыми? Должны ли мы их учитывать в общем количестве яблок?
Простая математическая модель, сумма количества яблок, оказалась определена не совсем точно. И результат использования этой модели может оказаться разным в разных ситуациях. Вы считаете, что это не неточность модели, а специфика прикладной задачи? Хорошо, тогда вот другой пример.
В курсе школьной физики, при изучении тепловых явлений, можно найти задачи на нагревание некоторого количества воды сжиганием газа или электрическим нагревателем. Выглядят эти задачи, примерно, так
“Какое количество газа с теплотворной способностью Х потребуется для нагревания Y литров воды с начальной температурой Т1 до температуры Т2. Считать, что газ сгорает полностью, а выделившееся тепло полностью идет на нагрев воды“
Знакомая задачка, правда? Сжигание газа может быть заменено на электрический нагреватель, что для сегодня не суть важно. В условиях задачи четко оговорено, что теплообмен с окружающей средой отсутствует, а газ сгорает полностью. И это автоматически делает школьную математическую модель, которая лежит в основе решения задачи, неполной. И неточной.
В реальных условиях газ сгорает не полностью. Часть выделившегося тепла уходит в окружающую среду, а не нагревает воду. Теплоемкость воды зависит от температуры. Нагреваемая вода отдает часть тепла окружающей среде. И результат расчетов, по школьной модели, будет отличаться от результатов реально проведенного эксперимента.
Неточность, упрощенность математической модели, автоматически вносит погрешность в результаты расчетов. Причем в этом случае не спасет какое угодно наращивание разрядности используемых в расчетах чисел. Точность вычислений ограничена самой математической моделью, а не дискретностью чисел.
Может показаться, что причина в крайней упрощенности школьной модели процессов. Но мы можем заглянуть в любой учебник для ВУЗов, почти в любую научную книгу, в любую книгу для инженеров, и увидим массу упрощений в описании реальных процессов. Вот небольшой фрагмент из классического учебника электроники
Исходная формула коэффициента ослабления синфазного сигнала упрощается до вида (11.6). Да, этой упрощенной формулы достаточно для практических расчетов при соблюдении указанных условий. Но даже в этом случае вычисления будут содержать погрешность, которую не устранить никаким наращиваем точности представления чисел! И погрешность будет больше, чем менее строго соблюдаются указанные условия.
Погрешность исходных данных
Числа, которые используются при вычислениях, тоже могут иметь погрешности. Причем вызванные отнюдь не ограничением их разрядности. Например, мы можем измерять температуру воды (в школьной задаче) с точностью до одного градуса. Или напряжение с точностью до 0.01 В. И эти погрешности исходных данных автоматически отражаются в погрешности результата вычислений. И никакое наращивание разрядности представления чисел не спасет!
Да, повышение разрядности представления чисел поможет снизить накапливающуюся при вычислениях погрешность. Но погрешность результата будет не меньше суммарной погрешности исходных данных. И это реалии сурового реального мира. Если мы измеряем напряжение от 0 до 100 В с точностью 10 мВ, то результат измерений будет лежать от 00.00 до 99.99. То есть, нам достаточно 4 цифр для его представления. Мы можем использовать машинное представление с 20 цифрами, но это никак не повлияет погрешность. Все равно значащими будут только 4 цифры.
Если это измерение напряжения используется для вычисления сопротивления, то количество значащих цифр в результате вычисления будет не больше 4. Мы никак не сможем повысить точность, уменьшить погрешность, результата вычислений.
Погрешность метода вычисления
Погрешность метода вычисления уже довольно близка к погрешности представления чисел. И эти погрешности иногда можно считать тождественными. Тем не менее, погрешность метода следует выделять отдельно.
Давайте представим, что в формуле, которую мы используем для вычисления, используется значение функции синуса. Как мы можем найти значение синуса для некоторого аргумента? Мы можем использовать таблицы. Например, таблицы Брадиса. В этих таблицах аргумент синуса задается с точностью до десятых долей градуса (в минутах), а значение синуса указано с 4 значащими цифрами после запятой. То есть, у нас есть ограничения и на точность аргумента, и на точность значения синуса.
Использование табличных значений функций можно условно считать эквивалентным уже рассмотренному нами ограничению точности исходных данных. Как это влияет на точность результата мы уже знаем.
Но есть и другой метод. Мы можем использовать разложение синуса, например, в ряд Тейлора
и попробовать самостоятельно вычислить его значение. Но этот ряд бесконечный, когда мы должны остановить вычисления? На практике, у нас есть только два варианта. Первый, выполнять вычисления до тех пор, пока очередной член ряда не окажется малым настолько, что будет неотличим от нуля для нашего представления чисел. Оптимальный вариант? Да, но есть один небольшой нюанс.
Дело в том, что для представления действительных чисел в формате с плавающей запятой мы очень долго не достигнем равенства нулю очередного члена ряда. У нас будет увеличиваться отрицательное значение порядка, пока мы не достигнем предела его значений, но мантисса не будет обнуляться. Мы выполним очень много лишних вычислений, бесполезных. На самом деле, нам достаточно выполнять вычисления, пока вычисленные значения синуса на предыдущем и текущем шагах не будут равны.
Но в предыдущей статье мы уже говорили, что два числа ф формате плавающей запятой не нужно слепо сравнивать. Нужно сравнивать разность чисел с некоторым пороговым малым значением. Это пороговое значение и будет определять условие окончания вычислений.
Второй вариант, просто заранее определить количество вычисляемых членов ряда.
Значение синуса можно вычислять и используя другие ряды. Для вычисления других функций могут использоваться различные методы и формулы. Не всегда погрешность вычислений можно свести к минимуму увеличивая количество итераций. Нужно понимать, что вычисление значения функции это точно такое же вычисление, как и вычисление итогового значения. Просто это небольшая часть всей работы.
Погрешность представления чисел и вычислений
И только теперь мы добрались до того, что рассматривали в предыдущей статье и начале этой статьи. В эту погрешность, кроме того, входит и погрешность преобразования между системами счисления. И погрешность округления.
И именно погрешность представления и вычислений мы можем снизить увеличивая разрядность. В меньшей степени разрядность влияет на погрешности методов вычислений. И уже совсем разрядность не влияет на погрешности исходных данных и математических моделей.
К сожалению, мой оппонент Николай не хочет этого признавать. Он полагает, что просто увеличение разрядности представления чисел автоматически решает все проблемы. Но как мы видели, это совсем не так.
Погрешности чисел и вычислений
При решении задач на ЭВМ, так же, как и при ручных расчетах, итоговая погрешность вычислений определяется суммарной погрешностью всех составляющих. И здесь есть прямая аналогия с метрологией. Причем довольно близкая аналогия. В частности, погрешности представления чисел и погрешности вычислений тоже делятся на абсолютные и относительные.
И точно так же, как в метрологии, нам известно число содержащее погрешность, но неизвестно точное значение и точная величина ошибки. Поэтому вводится понятие предельной абсолютной погрешности как предела сверху для различных значений погрешности числового значения.
Например, мы можем вычислить значение синуса в пределах углов от 0 до 90 градусов с некоторым шагом и получим набор числовых значений. Найдем абсолютное значение погрешности вычисления вычитанием наших значений из “эталонных” (считающихся точными). В результате, у нас будет набор абсолютных погрешностей, причем из значения будут разными для разных точек. Найдем в этом наборе максимальное, по модулю, значение погрешности. Это и будет предельное значение абсолютной погрешности для нашего метода вычисления.
Точно так же мы можем найти значения относительных погрешностей. И эти погрешности будут ограничены сверху предельной относительной погрешностью. Здесь нет ничего необычного.
А теперь давайте разберемся с очень важными понятиями значимых цифр и верных значимых цифр чисел. Не смотря на то, что и здесь все очень похоже на метрологию, нужно выделить важные именно для вычислений и представления чисел нюансы.
Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его изображении, отличная от ноля, и ноль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного разряда.
Это определение может показаться запутанным, но все очень просто. Пусть у нас есть число
123.456789014620
не суть важно, записали мы его или получили в результате вычислений. В этом числе есть цифры ноль. Должны ли мы считать их значащими? В общем и целом, да. Но какой ноль будет не значащим? Давайте посмотрим на тоже самое число, но записанное немного по иному
000123.456789014620
Первые три ноля не будут являться значащими. Незначащие ноли часто не выводятся на экраны цифровых измерительных приборов.
Что такое сохраненные разряды? Предположим, нам нужно обеспечить точность до 7 знака после запятой. Таким образом, наше число можно записать так
123.4567890 (14620)
В скобках через пробел я написал цифры, которые отбрасываются в нашем представлении числа. Они “лишние” и не являются значащими. Остальные цифры мы сохранили в представлении числа. Это и есть сохраненные разряды. Они соответствуют значащим цифрам (разрядам). И не важно, идет речь о десятичных разрядах, как в нашем примере, или о двоичных, как в представлении чисел в ЭВМ.
Внимательные читатели уже заметили, что значащие цифры (разряды) в точности соответствуют тому, что мы ранее называли разрешающей способностью в представлении чисел. И это действительно так. Для действительных чисел в экспоненциальной форме записи, которая соответствует представлению чисел в формате с плавающей запятой в ЭВМ, количество значащих цифр определяется разрядностью мантиссы.
Влияние разрядности мантиссы мы уже рассматривали ранее, поэтому повторяться не будем. Но мы уже знаем, что погрешность чисел и вычислений определяется отнюдь не только, и даже не столько, разрядностью. Поэтому нам нужно отделять значащие цифры от верных значащих цифр.
Значащая цифра, входящая в запись приближенного значения некоторой величины называется верной, если абсолютная погрешность значения не превосходит единицы (половины единицы) разряда, соответствующего этой цифре.
И опять, все на самом деле проще, чем кажется при прочтении определения. Предположим, у нас есть число и предельное значение абсолютной погрешности для него. Например
123.456780735412±0.00002
Вполне возможно, что это число получено в результате вычислений для исходных данных с погрешностями или с использованием не точной математической модели. Давайте по прежнему будем считать, что у нас значащими являются 7 цифр после запятой. Значит, нам нужно отбросить лишние цифры. В результате получим
123.4567807 (35412) ±0.00002
Значение абсолютной погрешности 2 единицы пятого разряда после запятой. Это больше половины единицы данного разряда. Значит, в нашем числе верными будет только 4 цифры после запятой. Не смотря на то, что мы записали 7 цифр.
Это наглядно демонстрирует то, что разрешающая способность, определяемая количеством разрядов в числе (мантиссе), не тождественно точности соответствующего данному числу значения. Это важно понимать.
В нашем случае, было бы правильным записать число в виде
123.4568000
где все цифры после запятой не только значащие, но и верные.
Еще раз отмечу, что увеличение разрядности числа не даст никакого результата, если точность значения ограничена верными цифрами, причем количество верных цифр (разрядов) меньше общего количества цифр (разрядов) в числе. Просто последние цифры, даже отличные от нуля, не имеют смысла. Это очень важно понимать.
Работа с неточными числами и вычислениями
Вот теперь мы можем посмотреть, что происходит с погрешностями двух чисел при выполнении с ними арифметических операций. Я буду сразу приводить готовые результаты, без выводов и обоснований. Подробности, кому это интересно, могут найти в курсах вычислительной математики или численных методов.
- При сложении неточных чисел абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Относительная погрешность при сложении не возрастает.
- При вычитании неточных чисел абсолютная погрешность разности будет равна сумме абсолютных погрешностей чисел. Относительная погрешность разности, определяемая как отношение суммы абсолютных погрешностей к разности чисел, может оказаться значительно больше относительной погрешности исходных чисел. Это произойдет, если вычитаются близки по значению числа. При этом знаменатель дроби может оказаться меньше 1, что и приведет к резкому росту относительной погрешности. Это важный нюанс!
- При умножении и делении относительная погрешность результата равна сумме относительных погрешностей исходных чисел.
Такой учет погрешностей называется аналитическим. Он ориентирован на худший случай, как и арифметическое суммирование погрешностей в метрологии. При большом объеме вычислений становится возможным применять не аналитическую, а статистическую оценку погрешностей. Точно так же, как мы делали в метрологии с оценкой погрешностей независимых величин.
Заключение
Сегодняшняя статья больше является чисто описательной, чем строгой с точки зрения математики или метрологии. Такая научно-популярная беллетристика. При этом затронутые вопросы являются действительно важными для тех, кто занимается вычислительными задачами или разрабатывает измерительные приборы, которые используют косвенные измерения с множеством вычислений.
Вместе с предыдущей статьей и некоторыми статьями из цикла “Нескучная метрология” я постарался хоть как то показать, что не разрядностью единой определяется точность получаемых результатов. Что работа с результатами измерений, с приближенными числами, с неточными математическими моделями, гораздо интереснее и шире, чем простой учет погрешностей. Что нет ничего второстепенного. Что надо учитывать множество деталей, которые важны для достижения результата. Что нельзя выдергивать лишь отдельные факты или умозаключения из большого целого.
Это то, что так и отказывается признавать мой оппонент Николай. Только теперь он говорит об этом через посредника.
Ну а выводы… Выводы делать вам, уважаемые читатели.
Но новых встреч! Приходите, будет интересно!
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В области математики и точных наук слова правильность и точность имеют численное выражение. Часто правильность и точность используют как синонимы, но они означают различные понятия. Правильность является мерой того, насколько измеренное значение близко к действительному. Точность — это мера разброса повторных измерений. Высокая точность означает высокую повторяемость результата. Высокая правильность означает высокую близость к действительному значению. Иногда следует затратить усилия, чтобы вычислить точность; в итоге получается наиболее ожидаемое значение и оценка погрешности. Ниже описано, как произвести подобные вычисления.
Шаги
-
1
Найдите подходящий объект для измерений, например, ручку.
-
2
Разграфите лист бумаги на две колонки и семь рядов для записи результатов измерений.
- Напишите “Испытание” в левой верхней ячейке и “Длина в сантиметрах” в правой верхней.
- Пронумеруйте ячейки испытаний от 1 до 5.
- Напишите “Среднее значение” в нижней левой ячейке.
-
3
Измерьте длину ручки пять раз до сотой доли сантиметра и запишите результаты измерений в таблицу.
- Полученные результаты будут слегка отличаться друг от друга. Например, первое значение будет равняться 12,54 см, второе — 12,57, третье — 12,52, четвертое — 12,53, и пятое — 12,55.
-
4
Вычислите среднее значение.
- Сложите результаты всех измерений и поделите полученную сумму на количество измерений, то есть на 5. В нашем примере средняя величина равна 12,54 см.
- Запишите вычисленное среднее значение в нижней правой ячейке таблицы.
-
5
Нарисуйте линию с числовыми метками, которая включала бы все результаты ваших измерений.
- Проведите на листке бумаги прямую горизонтальную линию. Нанесите на нее десять перпендикулярных ей меток. Отметьте каждую из них числом; начните с 12,50, затем следуют 12,51, 12,52, и так вплоть до 12,60.
-
6
Нанесите на линию результаты ваших измерений.
- Отметьте каждый результат точкой на линии.
- Полученное ранее среднее значение нанесите на линию точкой другого цвета или формы.
-
7
Определите интервал неопределенности.
- Возьмите среднее значение и вычтите из него минимальный результат измерений. В нашем примере получится 12,54 минус 12,52, что равняется 0,02. Повторите это для максимального результата измерений, но поменяйте среднее значение и результат местами. В нашем случае будет 12,57 минус 12,54, то есть 0,03.
- Сложите две полученных величины для определения диапазона неопределенности. В нашем примере получится 0,02 плюс 0,03, что равно 0,05. Интервал неопределенности составляет среднее значение плюс и минус полученный диапазон, то есть в нашем случае интервал равен 12,54 � 0,05 см.
-
8
Запишите полученное значение.
-
9
Готово.
Реклама
Советы
- Если одно из измерений дало намного больший или меньший результат, чем все остальные, не исключайте его из последующих вычислений. Даже если это была ошибка, тем не менее это результат измерения, который следует учитывать в расчетах.
- При измерении других объектов вы получите иные величины, нежели приведенные в нашем примере для ручки. Следуйте шагам, описанным в этой статье, но подставляйте измеренные вами величины.
- Для более точных расчетов проведите более пяти измерений. Чем больше испытаний (измерений) вы сделаете, тем более точное значение получите.
Реклама
Что вам понадобится
- Лист бумаги
- Ручка
- Калькулятор
- Измерительная линейка
- Карандаш
Об этой статье
Эту страницу просматривали 8771 раз.
Была ли эта статья полезной?
•обучение проведению моделирования процессов и систем;
•повышение способности оценивания качества и надежности функционирования объекта проектирования.
При решении практических задач очень часто нет необходимости производить точные вычисления, поэтому используют приближенные вычисления и приближенные числа. Но при любых приближенных вычислениях очень важна точность, с которой производятся данные вычисления и точность, которая необходима для округления различных величин. Встает вопрос о погрешности величин и вычислений. Погрешности бывают двух видов: устранимые и неустранимые.
Источниками погрешностей могут служить различные причины. Вопервых, очень часто исходные данные получаются из эксперимента, а это само по себе влечет достаточно сильный разброс данных и ограниченную их точность, погрешности дают также и физические приборы, используемые во время эксперимента. Во-вторых, математическая модель, которая используется для формализации данного физического или химического процесса сама по себе является достаточно приблизительной, что тоже влечет за собой погрешности. В-третьих, иррациональные числа и физические константы в процессе вычисления берутся тоже с определенной точностью. Кроме того, потеря точности возможна и при выполнении арифметических операций, использовании бесконечных последовательностей и т.д. Влияние погрешностей на результат может быть достаточно велико, поэтому необходимо очень аккуратно обращаться с приближением чисел.
1.1. Абсолютная и относительная погрешности
Обозначим A точное значение некоторого числа, а a его приближенное значение. Записывается это следующим образом A ≈ a . Если A > a , то это
– 4 –
приближение по недостатку, а если A < a , то это приближение по избытку. Например, 3,14 <π < 3,15, поэтому приближение по недостатку 3,14, а по избытку 3,15.
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а
называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением числа:
|
∆ = |
A − a |
. |
(1.1) |
||
В практике возможны два случая:
1.Если точное значение известно тогда легко можно использовать формулу (1.1),
2.Если точное значение не известно, как чаще всего и бывает, то тогда используют понятие предельной абсолютной погрешности.
Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется погрешность, которая не меньше абсолютной погрешности этого числа.
|
∆a ≥ ∆ = |
A − a |
. |
(1.2) |
||
Таким образом, точное значение числа заключено в границах: a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a ,
A = a ± ∆a ,
где a − ∆a – приближение по недостатку, а a + ∆a – приближение по избытку. Пример. Определить предельную абсолютную погрешность числа
е=2,71828…с точностью до тысячных. Число е можно оценить следующим образом 2,7181<e< 2,7183. Тогда предельная абсолютная погрешность: ∆e = 0,0001. Отметим, что этот вариант не единственный, возможны и другие значения предельной абсолютной погрешности.
Ответ: ∆e = 0,0001.
Таким образом, предельной абсолютной погрешностью может являться любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел,
– 5 –
которые удовлетворяют неравенству (1.2). Но из разумных соображений выбирают наименьшее из этих чисел. Абсолютная погрешность характеризует ошибку, приходящуюся на единицу измерения той или иной величины.
Пример. Необходимо измерить длину некоторого расстояния. Измерения
|
были проведены с |
некоторой точностью:456,25 ≤ l ≤ 456,35м. Погрешность |
|
∆l = 0,05м. Запись |
результата в этом случае имеет следующий вид: |
l = 456,3 ± 0,05 м, где 456,3 – длина отрезка, а 0,05 – точность измерения.
Ответ: l = 456,3 ± 0,05 м.
Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а
называют отношение абсолютной погрешности приближенного числа к точному значению этого числа:
|
δ = |
∆ |
= |
A − a |
. |
(1.3) |
||||
|
A |
|||||||||
|
A |
Здесь надо отметить, что, во-первых, A ≠ 0 , а во-вторых, очень редко бывает известно точное значение A. Тогда вместо A берут приближенное значение а.
Так же как и в предыдущем случае введем понятие предельной относительной
|
погрешности. |
||||
|
Определение. |
Предельной |
относительной |
погрешностью |
|
|
приближенного числа а |
называется |
погрешность, которая не меньше |
||
|
относительной погрешности этого числа: |
||||
|
δa ≥δ . |
(1.5) |
Отсюда следует, что ∆ = Aδ ≤ Aδa . На практике A ≈ a , поэтому считают ∆ = a δa . Границы точного числа А: A = a(1±δa ).
Пример. Вычислить предельную относительную погрешность при округлении числа е = 2,71828.… В одном из предыдущих примеров было
– 6 –
получено, что число e = 2,7182 ± 0,0001. Тогда предельная относительная погрешность δe = 2,718280,0001 ≈ 3,7 10−5 ≤ 4 10−5 .
Ответ: δe = 4 10−5
Докажем следующую формулу, связывающую предельную абсолютную и предельную относительную погрешности:
|
∆a = |
aδa |
. |
(1.6) |
|
1−δa |
Для определенности будем считать, что A > 0,a > 0,∆a < a .
По определению относительной и предельной относительной
|
погрешностей |
получаем δ = |
∆ |
≤ |
∆ |
, а |
δa = |
∆a |
. |
Тогда |
абсолютную |
|||||
|
A |
a + ∆ |
||||||||||||||
|
a + ∆a |
|||||||||||||||
|
погрешность |
можем представить |
∆ = |
A |
δ ≤ (a + ∆)δa . |
Выделив из этого |
||||||||||
|
неравенства |
∆, получаем |
∆ ≤ |
aδa |
. |
Тогда |
предельная |
абсолютная |
||||||||
|
1−δa |
|
погрешность равна ∆a = |
aδa |
. |
||
|
1−δa |
||||
|
На практике стараются, чтобы ∆a << a , а δ <<1; тогда можно принять |
||||
|
δ ≈ |
∆a , а ∆a ≈ aδa . |
(1.7) |
||
|
a |
Достаточно часто относительную погрешность измеряют в процентном отношении к приближенной величине. Относительная погрешность показывает, насколько велика абсолютная погрешность по отношению к самой величине.
1.2. Десятичная запись приближенных чисел. Значащие цифры
Любое положительное число А можно представить в виде бесконечной десятичной дроби
|
A =α |
m |
10m +α |
10m−1 |
+α |
m−2 |
10m−2 |
+… +α |
10m−n+1 |
+…, |
(1.8) |
|
m−1 |
m−n+1 |
– 7 –
|
где αi цифры (αi =0,1,2,…,9), |
i=m, m-1,…, причем |
αi ≠ 0 , m– |
старший |
|
десятичный разряд числа а. |
|||
|
Пример. Число 7654,7683… |
можно представить |
следующим |
образом: |
7654,7683… = 7 103 + 6 102 + 5 101 + 4 100 + 7 10−1 + 6 10−2 + 8 10−3 +…
Но работать с бесконечными числами не очень удобно, поэтому берут числа приближенные:
|
a ≈α |
m |
10m +α |
10m−1 +α |
m−2 |
10m−2 +… +α |
10m−N +1. |
|||
|
m−1 |
m−N +1 |
||||||||
|
Число (1.8) сохранено до m-N+1 разряда. |
|||||||||
|
Определение. Пусть |
αN |
первая ненулевая цифра в десятичной записи |
|||||||
|
приближенного |
числа а, |
считая слева. Тогда сама |
цифра |
αN и |
все, |
||||
|
последующие за ней, называются значащими цифрами. |
|||||||||
|
Пример. Рассмотрим |
приближенное число а=0,00234. Это число имеет |
||||||||
|
три значащие цифры 2,3,4. А приближенное число |
а=1,1030 |
имеет |
пять |
||||||
|
значащих цифр 1,1,0,3,0. |
Определение. N первых значащих цифр αm ,αm−1,…,αm−N +1 приближенного числа а называют верными, если выполняется следующее
неравенство: ∆ = A − a ≤ 12 10m−N +1 , то есть абсолютная погрешность этого
числа не более чем половина единицы разряда, выражаемого N-й значащей цифрой, считая слева направо.
Пример. Рассмотрим точное и приближенное числа А=78,98 и а=79,00. Определим количество верных цифр у приближенного числа при данном округлении.
Приближенное число будет иметь три верных цифры, так как
∆= A − a = 0,02 ≤ 12 10−1, а m − N +1 = −1 и m=1. Следовательно, N = 3 .
Ответ: приближенное число имеет три верные цифры.
–8 –
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2187.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2187.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2187.
А какая ваша оценка?
Download Article
Download Article
Precision means that a measurement using a particular tool or implement produces similar results every single time it is used. For example, if you step on a scale five times in a row, a precise scale would give you the same weight each time. In math and science, calculating precision is essential to determine if your tools and measurements work well enough to get good data. You can report precision of any data set using the range of values, the average deviation, or the standard deviation.
-
1
Determine the highest measured value. It helps to begin by sorting your data in numerical order, from lowest to highest. This will ensure that you do not miss any values. Then select the value at the end of the list.[1]
- For example, suppose you are testing the precision of a scale, and you observe five measurements: 11, 13, 12, 14, 12. After sorting, these values are listed as 11, 12, 12, 13, 14. The highest measurement is 14.
-
2
Find the lowest measured value. Once your data has been sorted, finding the lowest value is as simple as looking at the beginning of the list.[2]
- For the scale measurement data, the lowest value is 11.
Advertisement
-
3
Subtract the lowest value from the highest. The range of a set of data is the difference between the highest and lowest measurements. Just subtract one from the other. Algebraically, the range can be expressed as:
-
4
Report the range as the precision. When reporting data, it is important to let the readers know what you have measured. Because there are different measures of precision, you should specify what you are reporting. For this data, you would report Mean=12.4, Range=3, or simply that the Mean=12.4±3.[3]
- The mean is not actually part of calculating the range or precision, but it is generally the primary calculation for reporting the measured value. The mean is found by adding up the sum of the measured values and then dividing by the number of items in the group. For this set of data, the mean is (11+13+12+14+12)/5=12.4.
Advertisement
-
1
Find the mean of the data. The average deviation is a more detailed measure of the precision of a group of measurements or experiment values. The first step in finding the average deviation is to calculate the mean of the measured values. The mean is the sum of the values, divided by the number of measurements taken.[4]
- For this example, use the same sample data as before. Assume that five measurements have been taken, 11, 13, 12, 14, and 12. The mean of these values is (11+13+12+14+12)/5=12.4.
-
2
Calculate the absolute deviation of each value from the mean. For this calculation of precision, you need to determine how close each value is to the mean. To do this, subtract the mean from each number. For this measurement, it does not matter whether the value is above or below the mean. Subtract the numbers and just use the positive value of the result. This is also called the absolute value.[5]
-
3
Find the average deviation. Use the absolute deviations and find their mean. As you did with the original data set, you will add them together and divide by the number of values. This is represented algebraically as:[6]
-
4
Report the precision result. This result may be reported as the mean, plus or minus the average deviation. For this sample data set, this result would look like 12.4±0.88. Note that reporting precision as the average deviation makes the measurement appear much more precise than with the range.[7]
Advertisement
-
1
Use the correct formula for standard deviation. For any size data set, the standard deviation is a reliable statistic for reporting precision. There are two formulas for calculating standard deviation, with a very slight difference between them. You will use one formula if your measured data represents an entire population. You will use the second formula if your measured data is from only a sample of the population.[8]
-
2
Find the mean of the data values. As with calculating the average deviation, you will begin by finding the mean of the data values.[9]
- Using the same set of measurements as above, the mean is 12.4.
-
3
Find the square of each variation. For each data point, subtract the data value from the mean, and square that result. Because you are squaring these variations, whether the difference is positive or negative does not matter. The square of the difference will always be positive.[10]
-
4
Calculate the sum of the squared differences. The numerator of the standard deviation fraction is the sum of the squared differences between each value and the mean. To find this sum, add together the figures from the previous calculation.[11]
- For the sample data set, these are:
- For the sample data set, these are:
-
5
-
6
Find the square root of the result. At this point, the calculation represents what is called the variance of the data set. The standard deviation is the square root of the variance. Use a calculator to find the square root, and the result is the standard deviation.[13]
-
7
Report your result. Using this calculation, the precision of the scale can be represented by giving the mean, plus or minus the standard deviation. For this data, this will be 12.4±1.14.
- The standard deviation is perhaps the most common measurement of precision. Nevertheless, for clarity, it is still a good idea to use a footnote or parentheses to note that the precision value represents the standard deviation.
Advertisement
-
1
Use the word precision correctly. Precision is a term that describes the level of repeatability of measurements. When collecting a group of data, either by measurement or through an experiment of some kind, the precision describes how close together the results of each measurement or experiment are going to be.[14]
- Precision is not the same as accuracy. Accuracy measures how close experimental values come to the true or theoretical value, while precision measures how close the measured values are to each other.
- It is possible for data to be accurate but not precise or to be precise but not accurate. Accurate measurements are close to the target value but may not be close to each other. Precise measurements are close to each other, whether or not they are close to the target.
-
2
Choose the best measure of precision. The word “precision” does not have a single meaning. You can represent precision using several different measurements. You need to decide the best one.
- Range. For small data sets with about ten or fewer measurements, the range of values is a good measure of precision. This is particularly true if the values appear reasonably closely grouped. If you see one or two values that appear far from the others, you may wish to use a different calculation.
- Average deviation. The average deviation is a more accurate measure of precision for a small set of data values.[15]
- Standard deviation. The standard deviation is perhaps the most recognized measure of precision. Standard deviation may be used to calculate the precision of measurements for an entire population or a sample of the population.
-
3
Report your results clearly. Very often, investigators will report data by giving the mean of the measured value, followed by a statement of the precision. The precision is shown with a “±” symbol. This provides an indication of precision, but it does not clearly explain to the reader if the number following the “±” symbol is a range, standard deviation, or some other measurement. To be very clear, you should define what measure of precision you are using, either in a footnote or parenthetical note.
- For example, for one series of data, the result could be reported as 12.4±3. However, a more explanatory way to report the same data would be to say “Mean=12.4, Range=3.”
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do you measure accuracy?
Accuracy is a measure of how close you are to the known, expected value of what you are measuring. If you have a known weight of 10 kg, for example, and you put it on a scale and the scale says “9.2,” then your scale is accurate within 0.8 kg.
-
Question
How do I calculate the level of precision of an equipment? It’s an electrolyte analyser
Use it to take several measurements and then follow the directions in this article.
-
Question
How do you know if a measurement is precise?
When the mean absolute deviation or the standard range is as close to zero as possible.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
If one of your trial values is much higher or lower than the rest of your values, do not exclude this number from your calculations. Even if it was a mistake, it is data and should be utilized for a proper calculation.
-
In this article, only five values were used for mathematical simplicity. In an actual experiment, you should perform more than five trials to achieve a more accurate calculation. The more trials you run, the closer you will get to a clear precision value.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate precision using a range of values, start by sorting the data in numerical order so you can determine the highest and lowest measured values. Next, subtract the lowest measured value from the highest measured value, then report that answer as the precision. When reporting precision data, be sure to specify what you measured and what you’re reporting, such as the range or mean! For tips on calculating average and standard deviation, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 545,505 times.
Reader Success Stories
-
“Thanks a lot. Before I read this article, all my work was without organization. From now on I’ll apply your…” more
