Как найти ток нелинейного элемента

Содержание:

Расчет нелинейных электрических цепей:

Законы Кирхгофа в первой форме записи (

Приведение нелинейных цепей к линейным

Такое приведение можно сделать, если нелинейные элементы цепи работают в узком диапазоне напряжений и токов, где соответствующие участки вольтамперных характеристик близки к прямым.

Пусть это, например, имеет место для участков ab и cd характеристик 1 и 2 (рис. 4.1) нелинейных резисторов R₁ и R₂ цепи рис. 4.2, а. Так как продолжения этих прямых составляют с осью токов углы и пересекают ось напряжений в точках , уравнения прямых получают следующий вид:

где R₁₁ и R₁₂ — дифференциальные сопротивления этих резисторов, имеющие постоянные значения на участках ab и cd; k — масштабный коэффициент.
Следовательно, каждый такой нелинейный элемент может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из последовательного соединения — резисторов R₁₁ или R₁₂ и источника напряжения U₀₁ или — U₀₂ включенного навстречу внешнему напряжению, так как последнее должно преодолеть напряжение этого источника.

В результате нелинейная цепь рис. 4.2, а заменяется линейной цепью рис. 4.2, б. Так как при принятом положительном направлении напряжение U₀₂ второго источника отрицательно, его направление совпадает с напряжением U всей цепи. Полученная цепь рис. 4.2, б рассчитывается обычными методами. Решение будет правильным только в том случае, если токи I₁ и I₂ не выйдут за пределы участков ab и cd (см. рис. 4.1).

Графические методы расчета нелинейных цепей

Вольтамперная характеристика одиночного нелинейного резистора (см. рис. 1.9—1.11) сразу позволяет определить ток по заданному напряжению или напряжение по заданному току. При последовательном соединении любого числа нелинейных и линейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования ординат характеристик отдельных резисторов в соответствии с зависимостью

На рис. 4.3 показано такое построение для двух последовательно соединенных резисторов. По характеристике всей цепи для заданного значения напряжения U’ определяется соответствующий ему ток I’, а по Рис. 4.3 нему — напряжения участков цепи.

Если нужно определить ток и напряжения на участках цепи из двух приемников только при одном значении напряжения U всей цепи, нет надобности строить вольтамперную характеристику всей цепи, следует лишь отложить горизонталь для заданного значения U, а oт нее вниз — характеристику U₂ (I) (рис. 4.4, а). Её пересечение с характеристикой U₁(I) даст рабочую точку и определит тем самым ток I’ цепи и напряжения U’₁ и U’₂ на участках.

Рис. 4.4, а иллюстрирует также графическое решение задачи определения тока и напряжения цепи при питании нелинейного резистора с вольтамперной характеристикой U_l (I) от источника напряжения с нелинейной внешней характеристикой U₂ (I).

При параллельном соединении нескольких линейных и нелинейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования абсцисс характеристик, т. е. токов отдельных резисторов:

На рис. 4.5 показано такое построение для двух параллельно соединенных резисторов. По характеристике для всей цепи для любого заданного тока I определяется напряжение U’, а по нему — токи I₁‘ и I₂‘ участков цепи.

Для определения токов ветвей только при одном значении тока I всей цепи можно применить упрощенное построение, аналогичное рис. 4.4, а и показанное на рис. 4.4, б для резисторов с теми же вольтамперными характеристиками. Характеристика U (I₂) строится влево от вертикали для заданного значения I. Ее пересечение с характеристикой U (I₁) определяет напряжение U’ цепи и токи I₁‘ и I₂‘ на ее участках.

При смешанном соединении, например при расчете цепи рис. 4.6, а, также строится вольтамперная характеристика всей цепи по характеристикам отдельных резисторов (рис. 4.6, б). С помощью суммирования абсцисс, т. е. токов I2 и I₃, строится характеристика параллельного разветвления U₂₃ (I₁), затем, суммируя ординаты этой характеристики и характеристики U_l (I₁), т. е. напряжения U₂₃ и U₁ строят характеристику U(I₁) всей цепи. По этой характеристике для заданного напряжения U’ определяется ток I’₁ цепи,
после чего по характеристикам U_l (I₁) и U₂₃ (I₁), находят напряжения участков, а для напряжения U’₂₃ по характеристикам U₂ (I₂) и U₃(I₃) — токи

Совершенно аналогичны построения, если цепь со смешанным соединением, помимо линейных и нелинейных резисторов, содержит источники электрической энергии, например источники напряжения, вольтамперные характеристики которых без учета внутренних сопротивлений представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс.

Их ординаты и следует алгебраически просуммировать с ординатами
вольтамперных характеристик участков (в том числе внутренних сопротивлений), соединенных последовательно с этими источниками, чтобы получить полные характеристики ветвей. При этом необходимо соблюдать правило знаков. Так как напряжение всей ветви должно преодолевать э. д. с. включенного в ветвь источника, то при э. д. с., направленной навстречу току (рис. 4.7, а), нужно при суммировании брать ее с положительным знаком (рис. 4.7, б), и наоборот.

После построения аналогичных характеристик для всех ветвей подобно предыдущему постепенно строится характеристика всей цепи и по заданному ее напряжению обратным построением определяются напряжения и токи всех ветвей цепи. Аналогичным образом решаются задачи при заданных источниках тока.

Если любая сложная цепь содержит одну нелинейную ветвь, для расчета может быть применен метод эквивалентного источника энергии: вся цепь, кроме нелинейной ветви, заменяется эквивалентным источником напряжения или тока, после чего задача сводится к только что рассмотренной задаче последовательного или параллельного соединения двух элементов — нелинейной ветви и внутреннего сопротивления (проводимости) эквивалентного источника. Это позволит определить ток или напряжение нелинейной ветви, после чего может быть рассчитана линейная часть цепи.

Метод последовательных приближений

Этот метод, называемый также итерационным, является приближенным аналитическим способом решения нелинейных алгебраических уравнений.
В качестве примера рассматривается расчет простой цепи рис. 4.8, состоящей из резистора с нелинейным сопротивлением R(I) с заданной вольтамперной характеристикой, питаемого от источника напряжения с заданной постоянной э. д. с. и нелинейной внешней характеристикой, из которой может быть получена вольтамперная характеристика его внутреннего сопротивления R_B. Вольтамперные характеристики могут быть заданы не графически, а аналитически.

Расчет этой цепи может быть произведен по уравнению

где n — порядковый номер приближения.

Задавшись произвольно нулевым приближением тока I₀, по вольтамперным характеристикам находят соответствующие ему напряжения: U₀ на внешнем сопротивлении R₀ и U_0B на внутреннем сопротивлении R_0B. Затем определяют эти сопротивления и суммарное сопротивление цепи:

а из исходного уравнения — первое приближение тока

Исходя из этого значения тока, весь ход расчета повторяется для определения второго приближения I₂ и так до тех пор, пока из-за сходимости итерационного процесса результат не начнет практически повторяться.

Как известно из математики, итерация в зависимости от вида характеристик может дать расходящийся процесс. Тогда сходимость можно получить на основе исходного уравнения для другой величины, например для напряжения на приемнике:

В случае сложной цепи, например моста с двумя нелинейными резисторами (рис. 4.9), исходные уравнения могут быть составлены по методу контурных токов. При этом контуры должны быть выбраны так, чтобы контурный ток нелинейных ветвей одновременно был их действительным током. В противном случае действительный ток нельзя находить путем алгебраического суммирования проходящих по нелинейной ветви двух контурных токов, так как принцип наложения для нелинейных сопротивлений неприменим.

Правильный выбор контурных токов показан на рис. 4.9. Здесь токи нелинейных участков цепи
Тогда система уравнений получает вид:

Если нелинейное сопротивление R₂(I₂) с увеличением тока убывает, a R₃(I₃) — возрастает, можно показать, что для обеспечения сходимости итерационного процесса из этой системы уравнений надо найти ток I₃ = I_A и напряжение U₂ = R₂I_B = R₂I₂ выразив их через все постоянные заданные величины и нелинейные сопротивления R₂ и R₃. Результаты расчетов целесообразно вносить в табл. 4.1,
из которой видны последовательность и способ получения отдельных величин.
Таблица 4.1

Закончив вычисления после практической сходимости итерационного процесса и определив тем самым напряжения и токи нелинейных
участков цепи, на основе законов Кирхгофа определяют напряжения
и токи всех линейных участков, например ток I₁ из уравнения

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

В автоматике, электронике и радиотехнике широко применяются элементы электрических цепей, имеющие нелинейную зависимость между током и напряжением U = f(I).

Электрическая цепь, в которую входят нелинейные элементы, называется нелинейной.

Нелинейную вольт-амперную характеристику имеют электровакуумные приборы (см. рис. 2.6), фотоэлементы (см. рис. 2.7), газоразрядные приборы (см. рис. 2.8—2.10), полупроводниковые приборы (см. рис. 2.15).

Большую группу нелинейных элементов представляют нелинейные сопротивления: терморезисторы, варисторы, бареттеры и др.

В данной главе рассмотрены принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей

Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Однако рассмотренные ранее методы расчета для нелинейных цепей непосредственно применить нельзя.

Аналитический расчет нелинейной цепи можно выполнить при условии, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов выражаются относительно простыми уравнениями I = f(U). Например, для электронной лампы известна зависимость I = kU^3/2. Кроме того, характеристики некоторых нелинейных элементов в определенном интервале изменения напряжения и тока прямолинейны или близки к прямой. В таких случаях можно составить для нелинейного элемента эквивалентную схему замещения с линейными элементами и ввести ее в аналитический расчет.

В других случаях схемы замещения остаются нелинейными, но с их помощью достигаются упрощения схем нелинейных цепей.

Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента

У нелинейных элементов различают статическое и динамическое сопротивления (рис. 6.1, а).

Статическим сопротивлением в данной точке a вольт-амперной характеристики называют отношение напряжения к току, соответствующих этой точке:

где m_u и m — масштабы напряжения и тока; m_R = m_u /m_i — масштаб сопротивления.

Динамическое сопротивление в точке a определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения dU и тока dI:

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке a.

Рис. 6.1. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Приведение нелинейных цепей к линейным

Если продолжить линейный участок h-b-a характеристики до пересечения с осью напряжения, то он пересечет ее в точке f.

Отрезок в принятом масштабе напряжений выражает постоянное напряжение U₀. Нетрудно заметить, что в любой точке h прямолинейной части вольт-амперной характеристики напряжение складывается из постоянного напряжения U₀ и изменяющейся части, определяемой произведением тока и динамического сопротивления IR_дин, т. е. прямая выражается уравнением

На основании уравнения (6.3) нелинейный элемент можно представить схемой последовательного соединения э. д. с. Е₀ = U₀ и динамического сопротивления R_дин (рис. 6.1, б). При этом

Аналогичную схему замещения можно получить для нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой, обращенной выпуклостью к оси токов (рис. 6.2, а). Э. д. с. Е₀ в этом случае будет направлена по направлению тока. На примере данной характеристики покажем, что нелинейный элемент можно представить схемой параллельного соединения источника тока и динамической проводимости G_дин.

В линейной части характеристики ток можно представить в виде суммы

Этому равенству соответствует схема замещения рис. 6.2, б.

Рис. 6.2. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Рис. 6.3. Вольт-амперные характеристики и схемы замещения нелинейного двухполюсника

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь можно рассчитать одним из методов, применяемых для расчета линейных цепей.
 

Нелинейный активный двухполюсник

Нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого не проходит через начало координат (рис. 6.3, а), можно представить схемой последовательного соединения постоянной э. д. с. и нелинейного сопротивления.

Если характеристику нелинейного элемента перенести так, чтобы она проходила через начало координат, то получится зависимость I(U) нелинейного сопротивления эквивалентной схемы, в которую кроме этого нелинейного сопротивления последовательно включен источник э. д. с. Е₀.
Эквивалентная схема рис. 6.3, б представляет собой активный нелинейный двухполюсник, для которого справедливо уравнение по второму закону Кирхгофа. В данном случае

Эту схему вводить в аналитический расчет нельзя, так как она остается нелинейной в отличие от схемы рис. 6.1, б или 6.2, б, но ее можно использовать для упрощения более сложной схемы, в которую она входит как часть.
В некоторых случаях полезно или необходимо обратное построение: по известной вольт-амперной характеристике нелинейного сопротивления и величине э. д. с. Е последовательно с ним включенного источника строят вольт-амперную характеристику активного нелинейного двухполюсника (рис. 6.3, в).

Графический расчет нелинейных электрических цепей

Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, имеют вольт-амперные характеристики, у которых нет линейных участков, и уравнения для их аналитического выражения.

Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности.
Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц.

Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданную величину отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомую величину.
Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи.
 

Последовательное соединение двух нелинейных элементов

Для расчета такой цепи (рис. 6.4, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов и I(U₁) и I(U₂) строят в общей системе координат (рис. 6.4, б).
Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей цепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения.
Ток I обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U = U₁ + U₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U₁) и I(U₂).

Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответствующую току I₁. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражают напряжения U₁, U₂ на участках. Сложив эти отрезки, на той же прямой получим точку 4 общей вольт-амперной характеристики.

Для других значений тока аналогично найден еще ряд точек, через которые проведена общая вольт-амперная характеристика.

Построение вольт-амперных характеристик (рис. 6.4, б) является подготовительным этапом для решения различных задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например, определить ток в цепи и напряжения U₁ и U₂ на участках, если общее напряжение U известно.

На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжение U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжение в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой I(U) в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную оси абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3 — напряжения на участках (соответственно U₁ и U₂).
 

Параллельное соединение двух нелинейных элементов

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 6.5, а) к ним приложено одно и то же напряжение U, а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики I(U) нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперных характеристик элементов, как показано на рис. 6.5, б. При напряжении U₁ (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток I₁) и 1-3 (ток I₂) равна отрезку 1-4 (ток I).

Предположим, что по заданному значению U = U₁ нужно определить токи в ветвях и общий ток I. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение U₁, и через точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Определяем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными характеристиками. Отрезки 1-2, 1-3, 1-4 в масштабе токов выражают токи в цепи I₁, I₂, I.

Аналогично решают задачи при параллельном соединении нелинейного элемента с линейным, а также при большем числе линейных и нелинейных элементов.
 

Смешанное соединение нелинейных элементов

При смешанном соединении нелинейных элементов графический расчет цепи производится методом «свертывания» схемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики.
Рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 6.6, а.

Рис. 6.4. К расчету нелинейной электрической цепи при последовательном соединении элементов

Рис. 6.5. К расчету нелинейной электрической цепи при параллельном соединении элементов    

Рис. 6.6. К расчету нелинейной электрической цепи при смешанном соединении элементов

По заданным характеристикам I₂(U₂), I₃(U₃) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками b, c.
Для примера на рис. 6.6, б при напряжении U₂ (отрезок 0-1) определены токи I₂ (отрезок 1-2) и I₃ (отрезок 1-3), а затем ток I₁ = I₂ + I₃ (отрезок 1-4).

Далее строим вольт-амперную характеристику I₁(U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками b, c включен последовательно с нелинейным элементом на участке a-b. Для примера при токе I₁ (отрезок 0-7) определены напряжения U₁ (отрезок 7-5) и U₂ (отрезок 7-4), а также общее напряжение U = U₁ + U₂ (отрезок 7-6).

После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках.

Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой I₁(U). Отрезком 11-6 определяется ток I₁ в неразветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые I₁(U₁) и I₂(U₂) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения U₂ и U₁ на участках. Напряжение U₂ — общее для параллельно соединенных участков с токами I₂ и I₃. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси ординат. Пересечение этой прямой с кривыми I₂(U₂) и I₃(U₂) в точках 2 и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи I₂ и I₃.

Рис. 6.7. К задаче 6.6
 

Задача 6.6.

Для поддержания постоянным тока нагрузки при колебаниях входного напряжения U последовательно с нагрузочным резистором R_н = 1 Ом (рис. 6.7, а) включен бареттер Б, вольт-амперная характеристика которого дана в табл. 6.2.

Таблица 6.2

U, В	0	0,5	1	2	4	6	8	10	12	14
I, А	0	1	1,6	2	2,1	2,15	2,2	2,25	2,5	3,2

Построить график изменения тока в цепи при изменении входного напряжения
Решение. Определим ток в цепи и напряжение на участках графически. Для этого на одном чертеже построим вольт-амперные характеристики бареттера и нагрузочного резистора (рис. 6.7, б), выбрав предварительно масштабы по обеим осям.

Для построения на миллиметровой бумаге рекомендуются масштабы:
напряжений m_u = 2 В/см; токов m_i = 1 А/см.
Вольт-амперная характеристика нагрузочного резистора — прямая, проходящая через начало координат под углом α к оси токов (см. пунктир Oa на рис. 6.7,6). Определим угол

Ток в цепи и падение напряжения U₁ связаны между собой двумя зависимостями: вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента I(U₁) и уравнением  которое при постоянной величине R_н изображается на графике прямой. Точка пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента на графике определяет величины I и U₁, удовлетворяющие обеим зависимостям.

Построим указанную прямую при заданной величине R_н = 1 Ом и входном напряжении V = 8 В. Для этого определим положение точек, в которых прямая пересекается с осями координат:
при I = 0

при U₁ = 0

Прямая, построенная по двум точкам, пересекается с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента в точке b.

Спроектируем эту точку на оси координат и найдем величины тока и напряжения на участках: I = 2.2 А; U₁ = 5,8 В; U₂ = 2,2 В. Аналогично находим те же величины для других напряжений U, для чего прямую перемещаем параллельно самой себе (на рис. 6.7, б показаны такие характеристики для U = 6 и 10 В).

График I(U) для заданной цепи построен на рис. 6.7, в. Из графика видно, что при изменении входного напряжения в пределах от 5до 13 В ток в цепи остается практически постоянным.

Примеры упрощения схем нелинейных цепей

Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
 

Цепь с двумя узлами

Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 6.8) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной э. д. с.

Рис. 6.8. Схема нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Рис. 6.9. К расчету нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными характеристиками I₁(U₁); I₂(U₂); I₃(U₃) (рис. 6.9).

Ток каждой ветви можно выразить в зависимости от напряжения между узлами: U_1.2 = Е₁ — U₁(I₁); U_1.2 = E2 — U₂(I₂); U_1.2 = U₃(I₃).

Построение кривых I₁(U_1.2) и I₂(U_1.2) проводится так: для ряда значений тока определяют разность э. д. с. и соответствующих значений напряжения; через полученные точки проводят кривые. Кривая I₃(U_1.2) совпадает с заданной кривой I₃(U₃), так как U_1.2 = U₃.

Далее строится кривая (I₁ + I₂)(U_1.2); для ряда значений U_1.2 определяют сумму токов I₁ + I₂, которая согласно первому закону Кирхгофа равна I₃ : I₁ + I₂ = I₃.
Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (I₁ + I₂) и I₃(U₃), определяет величину тока I₃ (отрезок 3-4). Опустив перпендикуляр к оси U через точку 3, находят другие величины: ток I₁ — отрезок 1-4; ток I₂ — отрезок 2-4; напряжение U_1.2 — отрезок 0-4.

Заметим, что кривая (I₁ + I₂)(U_1.2) является вольт-амперной характеристикой нелинейного активного двухполюсника, эквивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение этой кривой означает замену двух ветвей (1 и 2) одной ветвью, что является упрощением заданной схемы. Нетрудно представить, что такой путь можно применить при наличии в схеме большего числа ветвей и постепенно привести ее к схеме простейшего активного нелинейного двухполюсника.
 

Цепь с одним нелинейным сопротивлением

Предположим, что в разветвленную цепь входит несколько линейных элементов, в том числе источники э. д. с., и одно нелинейное сопротивление (рис. 6.10, а). Ветвь с нелинейным сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейную часть представить в виде активного двухполюсника.
Включим в нелинейную ветвь э.д.с. E’ такой величины, чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного двухполюсника такое состояние является режимом холостого хода, поэтому Е’ = U_x, где U_x — напряжение холостого хода.

Для того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначальному режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну э. д. с. Е”, равную по величине Е’, но направленную ей встречно (рис. 6.10., б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает только э. д. с. Е”, а остальные э. д. с. (Е’ и активного двухполюсника) тока не вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко замкнув точки, к которым эти источники присоединены.
В результате получается схема последовательного соединения пассивного линейного двухполюсника с активным нелинейным двухполюсником (рис. 6.10, в).

Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной нелинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода и входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 6.10, г); 2) находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной ветви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая сопротивление нелинейной ветви R = U/I постоянным.

Рис. 6.10. К расчету разветвленной электрической цепи с одним нелинейным элементом

Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями

В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся к одному сопротивлению (рис. 6.11, а).
Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению.
В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же как на рис. 6.10, и провести аналогичные рассуждения (рис. 6.11, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Т-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 6.11, в.

Рис. 6.11. К расчету разветвленной электрической цепи с двумя нелинейными элементами

Затем надо определить сопротивления Т-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Т-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме, считая при этом сопротивления нелинейных ветвей постоянными, так как токи в них найдены.

Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя (и более) нелинейными сопротивлениями.
 

Метод последовательных приближений

Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении.
Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Ток в цепи по закону Ома

где n — порядковый номер приближения.
Первое значение тока I₁ в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольт-амперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах U₁ и U₂ и затем по закону Ома — сопротивления R₁ и R₂:

По формуле (6.6) находят второе приближение тока:

По найденной величине тока I₂ и вольт-амперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат на начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ достигается после 4-5 повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины [вместо (6.6)], например для напряжения на одном из нелинейных элементов

 

Задача 6.7.

Лампа накаливания включена параллельно с линейным резистором R₂ = 30 Ом (рис. 6.12, а). Построить зависимость эквивалентного сопротивления R_эк цепи от напряжения U на его зажимах.
Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5 А. Вольт-амперная характеристика лампы задана в табл. 6.3.

Таблица 6.3

U, В	0	20	40	60	80	100	120
I, А	0	0,6	1,1	1,5	1,85	2,15	2,4

Решение. Построим вольт-амперные характеристики элементов цепи. На рис. 6.12, б: I₁(U) — характеристика лампы и I₂(U) — характеристика резистора R₂. Сложив ординаты этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную характеристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем как отношение R_эк = U/I для различных значений приложенного напряжения.
Результаты вычислений приведены на графике рис. 6.12, б.

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейными называются цепи, в которые включены нелинейные элементы (нэ).

Элемент электрической цепи, сопротивление которого зависит от чины и направления тока в нем или от напряжения, называется нелинейным. Нелинейными такие элементы называются потому, что их вольт-амперная характеристика (т. е. зависимость тока от напряжения, приложенного к элементу) — нелинейная. Виды нелинейной зависимости показаны рис. 5.26, 5.36, 5.46 и др.

Примерами нелинейных элементов могут служить электронные газонаполненные лампы, полупроводниковые приборы, ламп накаливания и пр. нелинейную цепь наряду с нелинейными элементами могут быть включены линейные. Сопротивление линейных элементов практически не зависит от тока или напряжения (резистор). Вольт-амперная характеристика линейного элемента — прямая линия, ходящая через начало координат, точку О (рис. 5.1).

Вторую точку (точку А) для построения вольт-амперной характеристики линейного элемента определяют вычислением тока Г в линейном менте при произвольно выбранном напряжении U’, приложенном к этому элементу, т.е. , где – заданное сопротивление линейного элемента — величина постоянная, аналитический расчет нелинейных цепей весьма сложен, так как противление нелинейного элемента — непостоянная величина, зависящая от величины тока. Таким образом, в уравнении закона Ома две переменные величины. Поэтому при расчете линейных цепей к нелинейным элементам не применим закон а ни для участка, ни для замкнутой нелинейной цепи.

Для расчета нелинейных цепей рационально использовать графо-аналитический метод, который предусматривает построение суммарной вольт-амперной характеристики цепи. По суммарной характеристике и характеристикам элементов определяются искомые величины (обычно токи и напряжения).

Построение суммарной вольт-амперной характеристики нелинейной цепи зависит от схемы соединения элементов нелинейной цепи и производится по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов и построенным характеристикам линейных элементов, если они включены в цепь.

Кроме того, если в нелинейной цепи имеется линейный элемент, то расчет нелинейной цепи можно производить построением так называемой нагрузочной характеристики (рис. 5.36).

Неразветвленная нелинейная цепь

В неразветвленной нелинейной электрической цепи все элементы соединены последовательно и по всем элементам проходит одинаковый ток (рис. 5.2а).

Для расчета цепи с последовательно соединенными нелинейными элементами по заданным вольт-амперными характеристикам этих элементов строится суммарная вольт-амперная характеристика нелинейной цепи (рис. 5.26).

При последовательном соединении элементов для построения суммарной вольт-амперной характеристики суммируются абсциссы (напряжения) вольт-амперных характеристик элементов при различных токах (например, в точках 1, 2, 3, 4 рис. 5.26).

Зная напряжение, приложенное к цепи (), по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) определяем ток в нелинейной цепи (). Этот ток создает падение напряжения на пер-элементе U₁ (точка С) и на втором элементе U₂ (точка В). и же задан ток в рассматриваемой цепи, то по суммарной вольт-амперной характеристике можно найти напряжение цепи (точка А) и напряжение на элементах (точки С и В). нелинейных элементов различают статическое  и динамиков сопротивления.

Статическое сопротивление – это сопротивление нелинейного элемента в режиме работы цепи, т. е. сопротивление нелинейного элемента в определенной точке его вольт-амперной характеристики.

Вычислить статические сопротивления нелинейных элементов в режиме работы рассматриваемой цепи, т. е. сопротивления для С и В вольт-амперных характеристик (при токе  рис 5.26), можно следующим образом:

Динамическое сопротивление нелинейных элементов () в режиме работы цепи определяется как

где бесконечно малое приращение напряжения (определяет-по вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов чек С и В), a dl – бесконечно малое приращение тока у этих чек.

Вели в неразветвленную нелинейную цепь включен линейный элемент с заданным сопротивлением R, то для расчета такой нелинейной цепи можно произвести суммирование абсцисс (напряжений) всех элементов цепи, включая линейный, построив предварительно его вольт-амперную характеристику в той же системе ординат (рис. 5.1).

По суммарной вольт-амперной характеристике нелинейной пи определяется режим работы цепи и ее элементов. Для расчета нелинейной цепи с последовательно включенным линейным элементом с сопротивлением R (рис. 5.3а) можно воспользоваться построением нагрузочной характеристики рис. 5.36).

Нагрузочная характеристика представляет собой прямую линию, проведенную через две точки А и В (рис. 5.36). Точка А расположена на оси ординат (ток). Точка В- на оси абсцисс (напряжение).

Построение нагрузочной характеристики осуществляется с использованием двух уравнений (5.3 и 5.4) для рассматриваемой цепи в системе координат

Откуда 

Точка В соответствует величинам (см. (5.3)). Точка А соответствует величинам (см. (5.4)). При построении в тех же координатных осях заданной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента отмечается точка пересечения С этих характеристик, которая является единственно возможной при заданном режиме работы цепи:

• отрезок DC – ток цепи ,
• отрезок OD – напряжение на нелинейном элементе ,
• отрезок DB — напряжение на линейном элементе

Такой метод расчета неразветвленных нелинейных цепей называется методом пересечений.

На рис. 5.36 можно проследить изменения режима работы цепи () при изменениях напряжения сети U’ (пунктирные линии). На том же рисунке показаны изменения режима работы цепи при изменении сопротивления линейного элемента R (перемещение точки С’ на рис. 5.36).

Если точка А, соответствующая измененному значению напряжения сети U’ или сопротивления линейного элемента R (см. (5.4)), выходит за пределы графика (рис. 5.36), то определяют , который нагрузочная характеристика (прямая) составляет вертикалью, проведенной из точки В (на оси U), соответствующей напряжению сети U’, т. е.

– принятый на графике масштаб тока; – принятый на графике масштаб напряжения; U” – произвольно выбранное напряжение (например, U’); I” – ток, соответствующий напряжению U” и сопротивлению R”, т.е.:

Тогда нагрузочную характеристику из точки В доводят только до сечения с вольт-амперной характеристикой нелинейного мента (точка С’ рис. 5.36) и определяют режим работы цепи, соответствующий измененному значению сопротивления линейного элемента R или напряжения сети V.

Разветвленная нелинейная цепь

В разветвленной нелинейной электрической цепи нелинейные менты могут быть соединены параллельно. При параллельном соединении нелинейных элементов напряжение на всех элементах будет одинаковым.

Для расчета цепи с параллельным соединением нелинейных ментов (рис. 5.4а) строится суммарная вольт-амперная характеристика цепи по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов, при этом суммируются ординаты (токи), соответствующие различным значениям напряжений (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 5.46).

При заданном значении тока в неразветвленной части нелинейной цепи Г по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) можно определить напряжение цепи U’. Это напряжение создает ток в первом элементе (точка С) и во втором элементе (точка В).

Если задано напряжение U’, приложенное к элементам, то по суммарной вольт-амперной характеристике определяется ток в неразветвленной части цепи (точка А), а по вольт-амперным характеристикам элементов определяются токи (точки С и В рис. 5.46).

Включение в нелинейную цепь линейного элемента не меняет характера и порядка расчета.

Нелинейная цепь со смешанным соединением элементов

Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов (в общем виде) рассмотрен на примере 5.1 (рис. 5.5).

Пример 5.1

По заданному напряжению цепи U’ требуется определить токи , напряжения на участках (рис. 5.5а), а также сопротивления нелинейных элементов в заданном режиме работы цепи. Заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элементов (рис. 5.56) и сопротивление линейного элемента .

Решение

По заданному сопротивлению Я линейного элемента строится вольт-амперная характеристика этого элемента (см. рис. 5.1). Линейный элемент с сопротивлением включен параллельно с нелинейным элементом , и суммарная вольт-амперная характеристика для участка АВ цепи (AB) строится так же, как на рис. 5.46 суммируются ординаты (токи) характеристик и R).

Участок АВ соединен последовательно с нелинейным элементом . Суммарная вольт-амперная характеристика цепи (I) строится так же, как на рис. 5.26.

Напряжение цепи U’, по суммарной характеристике цепи К) определяется ток в неразветвленной части цепи рис. 5.56). Этот ток создает падение напряжения (точка С) и на параллельном участке (точка Е).

Напряжение на участке АВ (U_AB) в разветвленной цепи создает А (точка D) и (точка L).

Определив напряжения и токи нелинейных элементов, можно определить статические сопротивления этих элементов в заданном режиме работы цепи

Таким образом, по вольт-амперным характеристикам соединен-смешанно элементов и их суммарным характеристикам можно определить все параметры нелинейной цепи (), если задан хотя бы один из этих параметров (рис. 5.56).

Стабилизаторы тока и напряжения

Есть такие нелинейные элементы, вольт-амперная характеристика которых имеет участки, параллельные оси абсцисс или оси ординат (рис. 5.6). Такие нелинейные элементы применяют в качестве стабилизаторов тока (рис. 5.6а) и стабилизаторов напряжения ис. 5.66).

В качестве стабилизатора тока можно использовать, например бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке В’В’ (рис. 5.6а) характеристика бареттера почти параллельна оси абсцисс. Если бареттер включить последовательно с участком (io цепи (рис. 5.8), то ток цепи почти не изменяется при изменении напряжения или сопротивления (рис. 5.6а) — бареттер стабилизирует ток в цепи.

Эффективность стабилизации характеризует коэффициент стабилизации, показывающий, во сколько раз относительное изменение тока меньше относительного изменения напряжения :

Для стабилизации напряжения применяют газоразрядные или полупроводниковые (кремниевые) стабилизаторы. Рабочий участок В’В” вольт-амперной характеристики стабилизатора напряжения почти параллелен оси ординат (рис. 5.66). Стабилизатор напряжения включается параллельно сопротивлению , на котором он стабилизирует напряжение.

Последовательно с разветвленным участком (ab) включается балластное сопротивление (рис. 5.7). Как видно из рис. 5.66, изменение балластного сопротивления в определенных пределах от  почти не вызывает изменения напряжения на стабилизаторе и, следовательно, на нагрузке R (U_aь на рис. 5.7).

Пример 5.2

Для стабилизации напряжения и тока накала электронной лампы (4 В; I А) включен бареттер Б (рис. 5.8а), вольт-амперная характеристика которого приведена на рис. 5.86.

Определить все токи и напряжения на бареттере U₁ и нити накала U₂, если напряжение сети , а сопротивление . Определить пределы изменения напряжений сети, при которых ток цепи остается практически неизменным.

Решение

Масштаб напряжения на графике

Масштаб тока на графике принят

Нагрузочная характеристика строится в координатах:

, где сопротивление нити накала лампы Ом.

Следовательно, точка пересечения вольт-амперной характеристики бареттера и нагрузочной характеристики В (рис. 5.86) сет координаты , а ток цепи . Напряжение R , а токи

Нагрузочная характеристика проведена под углом к оси орди-т. е.

Нагрузочные характеристики, соответствующие пределам изменил напряжений сети, при которых ток цепи остается практики неизменным (), проводятся параллельно основной нагрузочной характеристике под углами к оси ординат.

Таким образом, как следует из графиков рис. 5.86, эти напряжения соответственно равны

Определение нелинейных электрических цепей переменного тока

Нелинейные элементы

Нелинейными электрическими цепями переменного тока называются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных сопротивлений (нелинейных элементов) переменного тока.

Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока являются нелинейная вольт-амперная, кулон-вольтовая, вебер-амперная и другие характеристики.

Переменному току оказывают сопротивление активные сопротивления, индуктивности и емкости. В соответствии с этим нелинейные сопротивления переменного тока могут быть разделены на три группы: 1) группа нелинейных активных сопротивлений; 2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа нелинейных емкостных сопротивлений.

Каждая из этих групп сопротивлений подразделяется на управляемые и неуправляемые.

1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивлений широкое распространение получили электронные и полупроводниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства. Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители, лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы способствуют созданию несинусоидальных токов в электрических цепях.
2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или иначе нелинейными индуктивностями, понимают катушки с ферромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от тока в катушке нелинейна. Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока искажает форму кривой тока, т. е. является генератором несинусоидального тока. Катушку со стальным сердечником называют дросселем (рис. 19.4).
3. Для нелинейных конденсаторов зависимость заряда Q на обкладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелинейна. Нелинейные конденсаторы называют варикоидами или вари капами. Пространство между обкладками нелинейного конденсатора заполнено сегнетодиэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит от напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. Сегнетодиэлектрики обладают гистерезисом, т.е. отставанием изменения электрического смещения в диэлектрике от изменения электрического поля в нем.

Такие явления, как выпрямление переменного тока в постоянный, стабилизация напряжения, умножение и деление частоты, получение сигналов различной формы и т. д., можно получить только в нелинейных цепях переменного тока.

В настоящей главе рассматривается работа двух нелинейных элементов: вентили (1-я группа нелинейных активных сопротивлений) и катушки с ферромагнитным сердечником (2-я группа нелинейных индуктивных сопротивлений).
 

Выпрямители – источники несинусоидального тока

Выпрямителями называют аппараты, преобразующие переменный ток в постоянный.

Основным элементом любого выпрямителя является электрический вентиль. Электрический вентиль обладает малым сопротивлением в прямом направлении и большим в обратном направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную характеристику (рис. 19.1), поскольку обладает практически односторонней проводимостью. Графическое изображение электрического вентиля в электрических схемах и положительное направление прямого напряжения и тока показано на рис. 19.1а.

Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно нулю, а в обратном – бесконечно большое, считается идеальным вентилем. Характеристика идеального вентиля дана на рис. 19.1б. Вентиль, сопротивлением которого в прямом направлении пренебречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет вольт-амперную характеристику, изображенную на рис. 19.1в. Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового вентиля изображена на рис. 19.1г.

Как видно, если к реальному вентилю приложено увеличивающееся по величине обратное напряжение  то его ток в обратном направлении увеличивается незначительно. Однако когда это обратное напряжение превышает номинальное обратный ток становится ощутимым и при некотором обратном предельном напряжении вентиль теряет свои вентильные свойства.

Основными параметрами вентилей наряду с вольт-амперной характеристикой являются допустимая температура, плотность тока и допустимое обратное напряжение.

В выпрямителях вентиль включается по различным схемам.

В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается последовательно с потребителем R, ток которого необходимо выпрямить (рис. 19.2а).

Если к цепи, изображенной на рис. 19.2а, приложено синусоидальное напряжение (и обратным током вентиля можно пренебречь), то ток в положительный полупериод изменяется также по синусоидальному закону:

В течение же отрицательного полупериода напряжения тока в цепи нет, так как предполагается Таким образом, в рассматриваемой цепи создается однополупериодное выпрямление синусоидального тока (рис. 19.2б). При однополупериодном выпрямлении образуется значительная пульсация тока, т.е. большая переменная составляющая (гармоника) выпрямленного тока и незначительная величина среднего значения (постоянная составляющая) этого тока (см. кривую 5 таблицы 18.1).

Таким образом, на сопротивлении R в результате выпрямления синусоидального напряжения и создается несинусоидальный ток и несинусоидальное напряжение

Если вентили включены по мостовой схеме (рис. 19.3а) и к мосту подведено синусоидальное напряжение то по сопротивлению потребителя R проходит несинусоидальный пульсирующий ток, полученный в результате двухполупериодного выпрямления (рис. 19.3б).

В положительный полупериод синусоидального напряжения и ток проходит через вентили 1, 2 и через потребитель слева направо (рис. 19.3а). В отрицательный полупериод напряжения и ток проходит через вентили 3, 4 и через потребитель также слева направо. Таким образом, ток через потребитель изменяется по величине, но не меняется по направлению (рис. 19.3б), т.е. через потребитель проходит пульсирующий ток, который складывается из постоянной составляющей и четных гармоник. Таким же будет и напряжение на потребителе (см. кривую 6 таблицы 18.1). При двухполупериодном выпрямлении постоянная составляющая несинусоидального тока и напряжения больше, чем при однополупериодном выпрямлении, а пульсации, т.е. гармоники, меньше.

При выпрямлении трехфазного тока (см. кривую 7 таблицы 18.1) несинусоидальный ток раскладывается на постоянную составляющую и гармоники, кратные трем, т. е. 3, 6, 9 и т.д. При этом постоянная составляющая тока (напряжения) на потребителе увеличивается, а пульсации уменьшаются (по сравнению с однофазным током). Для уменьшения пульсаций на потребителе в любой схеме соединения вентилей используются электрические фильтры (см. § 18.7).
 

Катушка с ферромагнитным сердечником

Наиболее распространенным нелинейным элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 19.4).

Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции

Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, определяемой по (11.9):

где , а действующее значение напряжения

или 
Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток.

Ток в катушке при этом оказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитим потоком и током На рис. 19.5а показана петля гистере-1иса, изображающая эту зависимость.

Для каждого момента времени по петле гистерезиса находят значение тока и откладывают его на ординате магнитного потока (смотри пунктирные линии на рис. 19.5). При увеличении магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса, при уменьшении — участком be и т. д.

Как видно (рис. 19.56), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке несинусоидальна.

Кривая намагничивания ферромагнитного материала (рис. 8.3) выражает зависимость индукции В в ферромагнитном материале от напряженности Я магнитного поля в катушке. Напряженность Н в катушке пропорциональна току I в катушке. Магнитный поток в ферромагнитном материале связан с напряжением , приложенным к катушке, прямой пропорциональностью (19.1). Следовательно, основную кривую намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода можно считать вольт-амперной характеристикой катушки с сердечником из ферромагнитного материала (рис. 8.3), если изобразить ее в координатах и I (рис. 19.5в). Таким образом, катушка с ферромагнитным сердечником является нелинейным элементом переменного тока, т. е. источником несинусоидальности.
 

Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником

При расчете цепи катушки со стальным сердечником несинусоидальный намагничивающий ток часто заменяют эквивалентным синусоидальным, который имеет то же действующее значение, что и несинусоидальный. При этой замене пользуются поправочным коэффициентом  зависящим от формы кривой тока, которая в свою очередь зависит от максимального значения индукции в сердечнике

Значение коэффициента для электротехнической стали при индукции, не превышающей принимается равным единице. При больших значениях магнитной индукции поправочный коэффициент можно найти по графику (рис. 19.6).

При синусоидальном токе векторная диаграмма для катушки (без активного сопротивления) со стальным сердечником (без рассеяния) может быть построена как для идеальной индуктивности (рис. 11.4б), т. е. ток отстает от напряжения на угол 90°.

Если учесть потери на циклическое перемагничивание в сердечнике и на вихревые токи т.е. потери в стали то ток в катушке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол (рис. 19.7а). При этом появляется активная составляющая тока

совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляющая тока

Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнитным потоком и намагничивающая сердечник, называется намагничивающим током катушки.

Угол  на который ток опережает по фазе магнитный поток Ф (рис. 19.7а), называется углом потерь

Потери в стали (магнитные потери) можно определить выражением

где G — масса ферромагнитного сердечника, кг; — удельная мощность потерь в стали, Вт/кг.

Удельную мощность потерь вычисляют по формуле

где — потери в стали при индукции 1 Тл и частоте – максимальное значение индукции.

Значения для различных марок электротехнической стали даны в Приложении 8.

Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки R, то падение напряжения на этом сопротивлении совпадает по фазе с током На активном сопротивлении возникают потери мощности, которые являются электрическими потерями и называются потерями в меди Эти потери складываются с магнитными и создают суммарные потери в катушке со стальным сердечником Суммарные потери Р влияют на угол потерь и на активную составляющую тока катушки так как

Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, замыкается в сердечнике, а незначительная часть потока рассеивается (рис. 19.46). Поток рассеяния индуктирует в катушке ЭДС рассеяния где — индуктивность рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, приложенном к катушке, появляется составляющая которая опережает ток на угол 90°. Поток рассеяния совпадает по фазе с током.

Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником складывается из напряжения создается основным магнитным потоком Ф, падения напряжения на активном сопротивлении катушки и напряжения т.е. Это выражение используется при построении векторной диаграммы катушки со стальным сердечником (рис. 19.7б).
 

Схема замещения

Эквивалентная схема катушки со стальным сердечником изображена на рис. 19.4в. На эквивалентной схеме выделены активное сопротивление R и индуктивное сопротивление рассеяния Оставшуюся катушку с сердечником можно считать идеальной.

Напряжение для идеальной катушки можно представить суммой падений напряжений на активном сопротивлении и индуктивном

Эти соображения легли в основу построения схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. 19.8а).

Реальная катушка (рис. 19.4а) и схема ее замещения (рис. 19.8б) при одинаковых напряжениях на зажимах U имеют одинаковые токи и мощности.

Активная составляющая тока определяет активную проводимость идеальной катушки а намагничивающий ток – реактивную проводимость  На рис. 19.86 показана схема замещения катушки со стальным сердечником с учетом этих проводимостей.
 

Пример 19.1

На среднем стержне Ш-образного магнитопровода (рис. 19.9), выполненного из листовой стали Э42 (1512) с воздушным зазором расположена обмотка, к которой подведено напряжение U= 220 В при частоте 10 % объема сердечника заполнено изоляцией. Активным сопротивлением обмотки и рассеянием можно пренебречь. Размеры магнитопровода указаны в мм.

Определить число витков обмотки W, ток в обмотке потери в стали коэффициент мощности цепи coscp и угол потерь для того, чтобы создать максимальную магнитную индукцию в среднем стержне

Решение

По выражению (19.1) определяется число витков обмотки

где 

– площадь сечения среднего стержня сердечника; — коэффициент заполнения сердечника сталью,

Расчет намагничивающего тока произведен по закону полного тока для половины симметричной магнитной цепи. Сечение всех участков половины магнитной цепи одинаковое (рис. 19.9) и определяется по формуле

Длина средней линии половины сердечника

Напряженность магнитного поля в магнитопроводе (Приложение 5) для стали Э42 (1512) так как действующее значение заданной индукции а в Приложении 5 указаны действующие значения магнитной индукции. Напряженность в воздушном зазоре будет равна

Поправочный коэффициент для максимальной индукции определяется из графика (рис. 19.6), Тогда намагничивающий ток определяется по формуле

Масса стали сердечника

где — плотность стали.

Потери в стали

где так как для стали Э42 при толщине листов (Приложение 8).

Активная составляющая тока обмотки обусловлена этими потерями, т. е.

Ток в обмотке (рис. 19.7) будет равен

Коэффициент мощности цепи  угол а угол потерь
 

Феррорезонанс

В цепи с нелинейной индуктивностью (катушка со стальным сердечником) существует нелинейная зависимость напряжения на индуктивности от тока (рис. 19.5в). Следовательно, резонанса напряжений, т. е. равенства напряжений на емкости и индуктивности , можно добиться изменением тока при последовательном соединении конденсатора и нелинейной индуктивности (рис. 19.10а).

Цепи, содержащие нелинейную индуктивность и линейную емкость, называют феррорезонансными, а явление равенства напряжений описанное выше, называют феррорезонансом.

Для объяснения явления феррорезонанса можно воспользоваться вольт-амперной характеристикой нелинейной индуктивности линейной емкости и линейного активного сопротивления

При построении суммарной вольт-амперной характеристики

рассматриваемой цепи исходят из того, что напряжение источника U уравновешивается суммой напряжений:

Из векторной диаграммы для рассматриваемой цепи (рис. 12.46) следует, что индуктивное напряжение U_L опережает по фазе ток на угол 90°, а емкостное напряжение U_c — отстает на 90 (Для упрощения несинусоидальные величины заменены эквивалентными синусоидальными, т. е. вольт-амперная характеристика нелинейной катушки U_L=f(I) аналогична характеристике, показанной на рис. 19.5в.) Следовательно,, реактивные напряжения U_L и U_c находятся в противофазе, т. е. U_p = U_L – U_c.

Величину емкости можно подобрать так, чтобы прямая U_c=f(I) пересекла кривую U_L=f(I). Точка их пересечения и является том кой феррорезонанса напряжений (U_L = U_c), при котором U_p = U_L – U_с =0. Следовательно, (U_p – реактивное напряжение цепи).

Из графика (рис. 19.106) следует, что с увеличением тока I напряжение U сначала растет (участок 0—2), затем уменьшается (участок 2—3), достигая минимального значения при феррорезонансе (точка 3), затем снова растет (участок 3—5).

Из того же графика видно, что при непрерывном увеличении напряжения источника U ток плавно увеличивается до значения и скачком увеличивается до , после чего продолжает плав но расти (участок 4—5).

При плавном уменьшении напряжения U ток уменьшается до и скачком уменьшается до /ь затем плавно падает до нуля (при U= 0).

Характерно, что при каждом скачке тока его фаза по отношению к напряжению Uизменяется на 180°, поэтому это явление называют «опрокидыванием фазы». «Опрокидывание фазы» в феррорезонансной цепи происходит потому, что до значения тока цепь имеет индуктивный характер, т. е. X_L > Х_с, а после значения тока — емкостной, т.е. X_LC (рис. 19.105). Вызвано это тем, что после феррорезонанса происходит магнитное насыщение сердечника катушки, стабилизируется X_L и U_L, а I растет.

Явление «опрокидывания фазы» проиллюстрировано на рис. 19.10в, на котором показаны кривые напряжений U=f(I) и U_L =f(I). Из кривой U_L =f(I) видно, что напряжение на выводах катушки (точки В и С схемы — рис. 19.10а) остается почти неизменным () даже при значительном изменении () напряжения сети U (точки А и D), если незначительным значением напряжения можно пренебречь.

Это явление используется в феррорезонансных стабилизаторах напряжения, в которых значительное изменение входного напряжения () на клеммах AD вызывает незначительное изменение выходного напряжения () на клеммах ВС, к которому подключен потребитель.

При параллельном соединении катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора может возникнуть феррорезонанс токов, если

Элементы нелинейных цепей, их характеристики и параметры

Все ранее выполненные исследования касались анализа режима работы линейных электрических цепей. В их составе присутствовали исключительно линейные элементы, ток и напряжение в которых были связаны линейным уравнением. В подавляющем большинстве реальных цепей зависимость тока от напряжения в большей или меньшей степени отлична от линейной и в этом случае говорят о нелинейных цепях.

Цепь считается нелинейной, если емкость, сопротивление или индуктивность любого участка является функцией напряжения и тока, а также их направления. Особо подчеркнем, что принцип наложения в таких цепях неприменим. В отличие от линейных элементов, характеристики которых задаются аналитическими функциями, нелинейные задаются экспериментальными зависимостями, с помощью таблиц или приближенными эмпирическими формулами. Все это усложняет расчет цепей и требует специальных методов расчета.

Нелинейное сопротивление характеризуется нелинейной вольтамперной характеристикой, нелинейная катушка задаётся вебер-амперной характеристикой, ёмкость характеризуется кулон-вольтной характеристикой. Все перечисленные зависимости весьма разнообразны, но их можно систематизировать по двум основным группам: симметричные и несимметричные. Нелинейный элемент будет иметь симметричную характеристику, если форма кривой не зависит от направления тока или направления приложенного напряжения, в противном случае характеристика становится несимметричной. На рис. 9.1-9.2 изображены симметричные вольтамперные характеристики (В.А.Х.) и, соответственно, на рис. 9.3-9.4 – несимметричные.

Рис. 9.1. В.А.Х. лампы накаливания

Рис. 9.2. В.А.Х. характеристика бареттера

Рис. 9.3. В.А.Х. электрической дуги

Рис. 9.4. В.А.Х. диода

Нелинейные элементы могут быть подразделены на управляемые и неуправляемые. Отличительной особенностью управляемых элементов является наличие семейства характеристик: транзисторы, тиристоры, магнитные усилители и т.д.

Статистические и дифференциальные характеристики нелинейных элементов

Режим работы нелинейного элемента (НЭ) во многом зависит от положения рабочей точки на характеристике (рис. 9.5). Пусть точка  характеризует рабочий режим работы нелинейного элемента. При неизменном напряжении на зажимах НЭ положение точки также неизменно. В этом случае режим работы НЭ можно оценить с помощью статического сопротивления  которое определяется отношением напряжения на НЭ к току, протекающему через него:

Сопротивление численно равно тангенсу угла  между осью ординат и секущей, идущей из начала координат и точку умноженному на отношение масштабов 

Дифференциальное сопротивление равно отношению бесконечно малого приращения напряжения к бесконечно малому приращению тока, т.е.:

Рис. 9.5. В.А.Х. НЭ

Численно дифференциальное сопротивление равно тангенсу угла наклона касательной  проведенной к В.А.Х. в точке и осью ординат, умноженному на отношение масштабов напряжения и тока

Замена нелинейного элемента линейным и источником ЭДС – один из вариантов линеаризации цепи.

Если заранее известен участок  характеристики, по которой будет перемещаться рабочая точка при изменении входного напряжения, и при этом участок рабочей части характеристики достаточно линеен, то его можно заменить линейным элементом и источником ЭДС. На рис. 9.6 показано определение параметров линеаризованного НЭ. Через точки  проведена прямая, причём сопротивление элемента  пропорционально  т.е.:

где  – масштаб сопротивления, а участок слева от начала координат отсекает по оси абсцисс величину 

Рис. 9.6. Линеаризация НЭ

Следовательно, уравнение электрического равновесия на основании рис. 9.6 примет вид:

Таким образом, исходный нелинейный элемент (рис. 9.7) заменяется на линейный, схема замещения которого изображена рис. 9.8.

Рис. 9.7. Исходный НЭ

Рис. 9.8. Эквивалентная схема замещения НЭ

При ином наклоне характеристики НЭ (рис. 9.9) получим:

Рис. 9.9. Вольт-амперная характеристика НЭ

Расчет электрической цепи при смешанном соединении нелинейных элементов

Рассмотрим общий принцип расчета нелинейных цепей с использованием графоаналитического метода.

Пусть дана цепь, содержащая три нелинейных элемента, каждый из которых задан своей вольтамперной характеристикой (рис. 9.10-9.11).

Рис. 9.10. Исследуемая цепь с НЭ

Применительно к цепи по рис. 9.10 запишем уравнения по законам Кирхгофа:

Рис. 9.11. В.А.Х. элементов исходной цепи

Расчет будем вести в следующей последовательности.

Произвольно задаваясь значениями напряжения на параллельном участке цепи, просуммируем ординаты графиков 2 и 3 и построим вспомогательную зависимость заменяющую нелинейные элементы НЭ2 и НЭЗ. Теперь схема состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений и  Задаваясь значением тока суммируем абсциссы графиков 1 и (2 + 3) и получим В.А.Х. для данной схемы соединения нелинейных элементов По заданному напряжению определяем ток 

Из точки ординаты, соответствующей току опустим перпендикуляр до пересечения с кривой 2+3, тем самым найдем напряжение  Точки пересечения с кривыми НЭ2 и НЭЗ дают значения токов и 

Метод двух узлов

Для нелинейной цепи, имеющей два узла, расчет можно вести методом двух узлов. Покажем его применимость на примере цепи следующего вида (рис. 9.12).

Рис. 9.12. Нелинейная электрическая цепь

Каждый из элементов и задан своей В.А.Х. (рис. 9.13).

Напряжение на каждом из элементов может быть определено следующим образом:

Рис. 9.13. В.А.Х. нелинейных элементов

Поскольку напряжение входящее в каждое из уравнений – общее, то для определения токов выполним следующие преобразования.

Трансформируем данные функции относительно общего напряжения  т.е. построим зависимости  При этом В.А.Х. каждого из элементов должны быть сдвинуты с учетом знака ЭДС в формулах (9.3) вправо или влево на величину ЭДС. Через соответствующие значения ЭДС, на которые сдвинуты графики, проводятся перпендикуляры, относительно которых В.А.Х. зеркально отражаются. Объясним такое построение на примере первой В.А.Х.: при и  По мере роста тока в соответствии с В.А.Х. растет и уменьшается  (см. формулу 9.3), при отрицательных значениях тока по модулю увеличивается. Аналогичные рассуждения можно провести и для других В.А.Х. На основании первого закона Кирхгофа:

Задаваясь рядом значений просуммируем ординаты перестроенных кривых и получим зависимость При каком-то значении напряжения суммарный ток равен нулю, следовательно, при этом напряжении выполняется первый закон Кирхгофа, оно и является искомым решением задачи. Восстановив в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс, найдем токи ветвей.

Первый и третий токи положительны, а второй ток отрицателен, т.е. его направление на схеме нужно изменить на противоположное.

Стабилизация напряжения и тока с помощью нелинейных элементов

В линейных цепях это явление не может быть реализовано.

В основе стабилизации лежит наличие у В.А.Х. элемента участков практически параллельных осям напряжений или токов.

Основная задача стабилизации состоит в том, что при существенных изменениях входных напряжений выходные напряжения или токи меняются незначительно. Вводится коэффициент стабилизации, например, по напряжению:

Качество стабилизации зависит не только от наличия элемента с требуемой характеристикой, но и поддержания требуемого режима работы этого элемента, т.е. стабильности рабочей точки. Изобразим простейшие схемы стабилизации (рис. 9.14,a,b).

Рис. 9.14. Схемы стабилизации напряжения: а) последовательная, b) параллельная

Рассмотрим процесс стабилизации на примере последовательной цепи (рис. 9.14,а).

При значительном изменении напряжения на входе изменение напряжения на нагрузке незначительно, что очевидно из построений на рис 9.15.

Рис. 9.15. Стабилизация напряжения

Метод эквивалентного генератора

Если в схеме есть один нелинейный элемент, а остальные – линейные и необходимо рассчитать ток через нелинейный элемент, то выделяют ветвь с нелинейным элементом, а оставшуюся линейную схему представляют в виде активного двухполюсника (рис. 9.16).

Рис. 9.16. Активный двухполюсник, нагруженный нелинейным сопротивлением

Активный линейный двухполюсник замещается источником ЭДС и некоторым внутренним линейным сопротивлением  Тогда расчетная схема применит вид (рис. 9.17).

После проведенных преобразований, рассмотренных выше, определение тока в ветви с нелинейным элементом не представляет трудностей.

Нелинейные магнитные цепи при постоянных токах

Самостоятельную группу нелинейных цепей образуют магнитные цепи. Магнитной цепью называется совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, процессы в которых описываются понятиями магнитодвижущей или намагничивающей силы (МДС), магнитного потока и падения магнитного напряжения или разности магнитных потенциалов. Из курса физики известен закон полного тока, который формулируется так: циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охваченных этим контуром, т. е.:

Этот закон связывает магнитное поле с напряженностью и электрическое поле, характеризуемое величиной тока 

Магнитная индукция  – это векторная величина, характеризующая силовое воздействие магнитного поля на ток:

где – намагниченность, характеризующая магнитный момент единицы объема вещества; относительная магнитная проницаемость;  – магнитная постоянная вакуума; – абсолютная магнитная проницаемость вещества.

В системе СИ единица индукции В – тесла единица намагниченности и напряженности  – ампер на метр

Магнитный поток через некоторую поверхность – это поток вектора магнитной индукции через эту поверхность:

Для ферромагнитных материалов связь между  и является нелинейной и характеризуется явлением гистерезиса, т. е. отставанием изменения магнитной индукции от изменения напряженности магнитного поля  При этом магнитная проницаемость ферромагнитной среды может многократно превышать магнитную проницаемость вакуума. При расчетах реальных магнитных цепей всегда можно выделить участки, где его магнитные свойства, а также линейные размеры остаются неизменными. Это позволяет в законе полного тока (9.4) перейти от интеграла к сумме, что упрощает расчет цепей. Кроме того, если катушка, намотанная на магнитопровод, содержит  витков, то вводится понятие МДС – магнитодвижущая или намагничивающая сила Для участка магнитопровода, представленного на рис. 9.18, закон полного тока может быть записан в форме:

Рис. 9.18. Неразветвленный магнитопровод переменного сечения с зазором  

Поскольку магнитопровод неразветвлен и его сечение на разных участках неодинаково, то и магнитная индукция также не одинакова, а магнитный поток  в любом сечении один и тот же. Это позволяет принять:

Используя данное соотношение, подставим его в (9.6) и получим следующее выражение:

откуда:

Выражение (9.7) есть закон Ома для магнитных цепей.

Магнитное сопротивление участка цепи длиной и сечением будет:

Разветвленные магнитные цепи, как и электрические цепи, можно описать законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю:

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений магнитных напряжений в контуре равна алгебраической сумме МДС, действующих в этом контуре:

где  падение магнитного напряжения; — МДС.

Постоянный магнит

Постоянный магнит нашел широкое практическое применение (генераторы тока, магнето, преобразующие элементы приборов магнитоэлектрической системы, динамики, громкоговорители и т.д.). Рассмотрим принцип расчета постоянного магнита. Если на замкнутый магнитопровод, выполненный из магнитотвердого материала (широкая петля гистерезиса) намотать обмотку и пропустить через неё ток, то магнитопровод можно довести до насыщения. Затем ток уменьшить до нуля, при этом напряженность также снижается до нуля, а индукция не обращается в нуль (кривая размагничивания стали, рис. 9.19). После этого катушку снимают и остается рассчитать магнитную индукцию  и напряженность магнитного поля в теле магнитопровода

Рис. 9.19. Кривая размагничивания стали

Для получения реального магнита в магнитопроводе делают тонкий пропил, при этом будем считать, что площадь сечения магнитопровода с пропилом и площадь без пропила стали одинаковы. Будем полагать известными кривую размагничивания магнитопровода, длину воздушного зазора и длину ферромагнитной части магнита В соответствии с законом полного тока запишем:

Нуль в правой части уравнения объясняется отсутствием катушки на магнитопроводе.

Если зазор достаточно мал, то потоком рассеяния в зазоре можно пренебречь:

где — площадь поперечного сечения магнита, — площадь поперечного сечения воздушного зазора.

Так как магнитопровод не разветвленный, то магнитный поток в пропиле и стали, будет одинаков:

После этого магнитопровод перестает быть однородным и из уравнения (9.8) получим:

Тогда:

Таким образом, между и имеется линейная зависимость. Это позволяет провести из начала координат прямую по уравнению (9.9) до пересечения с кривой размагничивания. Точка пересечения этих функций  дает искомые результаты.

Особенности работы нелинейных элементов в цепях переменного тока

Работа нелинейных элементов в цепях переменного тока приводит к возникновению явлений, принципиально невозможных в линейных цепях, причем на этих особенностях базируются принципы действия новых приборов. С помощью нелинейных элементов осуществляется выпрямление переменного тока, умножение и деление частоты, стабилизация напряжения, усиление сигнала и т.д. Работа нелинейных элементов и электрических цепей, в которые входят эти элементы, описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, точных методов решения которых в математике не существует. Поэтому для проведения инженерных расчетов применяют различные приближенные методы расчёта этих дифференциальных уравнений и в соответствии с этим существуют разные методы расчета нелинейных цепей на переменном токе. Назовем некоторые из них.

1. Метод малого параметра и условной линеаризации. Основан на пренебрежении относительно малыми величинами. При этом полученная условно линейная цепь рассчитывается известными методами расчета линейных цепей, но с учетом нелинейной зависимости между действующими значениями токов и напряжений.
2. Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики. Основан на замене нелинейной зависимости неким аналитическим выражением так, чтобы оно достаточно точно описывало нелинейную зависимость и полученное дифференциальное уравнение решалось относительно просто.
3. Метод кусочно-линейной аппроксимации и припасовывания линейного решения. Основан на замене нелинейной характеристики ломаной кривой и применении на каждом участке ломаной кривой методов линейной электротехники, а переход от одного участка ломаной кривой к другому участку осуществляется соответствующим выбором постоянных интегрирования.
4. Итерационный метод. Основан на подстановке некоторого приближенного решения в исходное уравнение и последующем уточнении этого решения.

Нелинейные магнитные цепи при периодических процессах

Нелинейные магнитные цепи при периодических процессах также нашли широкое практическое применение, это различного рода электромагнитные аппараты и устройства, основным элементом которых является катушка с ферромагнитным сердечником (рис. 9.20). Исследование ее режимов работы позволит сделать количественную и качественную оценку происходящих в ней явлений.

Рис. 9.20. Катушка с ферромагнитным сердечником

В катушке с ферромагнитным сердечником необходимо выделить два магнитных потока: основной замыкающийся в сердечнике, и поток рассеяния замыкающийся вокруг витков катушки в воздухе, оба магнитных потока создают соответствующие ЭДС самоиндукции:

где — потокосцепление основного магнитного потока.

С учетом того, что сама обмотка, выполненная из медного провода, имеет сопротивление уравнение электрического равновесия катушки имеет вид:

Уравнение (9.10) нелинейно, т.к. и, соответственно, нелинейно зависят от напряженности магнитного поля и, соответственно, тока  С учетом того, что и падение напряжения на активном сопротивлении катушки мало, воспользуемся для расчета методом малого параметра и условной линеаризации. Пренебрегая этими составляющими, получим идеальную катушку.

Идеальная катушка индуктивности

Таким образом, уравнение равновесия идеальной катушки имеет вид:

Будем считать, что напряжение сети изменяется по косинусоидальному закону  Найдем закон изменения магнитного потока  Учитывая, что основной магнитный поток определится по формуле:

Действующее значение напряжения, выраженное через магнитный поток:

Магнитный поток, так же, как и приложенное напряжение, изменяется по синусоидальному закону. ЭДС самоиндукции отстает от магнитного потока на угол 90°, в свою очередь напряжение и ЭДС находятся в противофазе, поэтому напряжение опережает магнитный поток на 90°.

Определим форму тока в катушке, считая, что магнитопровод изготовлен из магнитомягкого материала. Для решения этой задачи воспользуемся графоаналитическим методом (рис. 9.21).

Рис. 9.21. Графическое определение закона изменения тока в катушке

Форма тока получилась несинусоидальная, что указывает на искажение тока в нелинейных цепях и, соответственно, усложняет расчет. Если учесть петлю гистерезиса реального магнитопровода, то форма кривой тока еще более усложнится (рис. 9.22).

Рис. 9.22. Графическое определение закона изменения тока при учете петли гистерезиса

Появление угла  говорит о том, что ток в катушке не совпадает с магнитным потоком по фазе, а именно, опережает его. При расчете методом малого параметра несинусоидальный ток можно заменить эквивалентной синусоидой, который будем считать эквивалентом реального несинусоидального тока. Это верно при условии равенства тепловых потерь при действии реального несинусоидального тока и эквивалентного синусоидального. Введение эквивалентных синусоид позволяет использовать комплексный метод расчета и строить векторные диаграммы.

Уравнение электрического равновесия идеальной катушки запишется в виде:

Анализ поведения тока идеальной катушки позволяет построить векторную диаграмму (рис. 9.23).

Рис. 9.23. Векторная диаграмма идеальной катушки

Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига между током и напряжением катушки  не равен 90°, несмотря на пренебрежение тепловыми потерями на нагрев обмотки, т.е. активная мощность следовательно, эта мощность соответствует потерям на нагрев сердечника. Эту мощность принято называть потерями в стали Часть этой мощности затрачивается на перемагничивание стали (зависит от площади петли гистерезиса) и на нагрев, вызванный вихревыми токами (токи Фуко). Учет этого фактора является важным условием расчета любого электротехнического устройства, поскольку он задает тепловой режим и эффективность его работы.

Потери на гистерезис

Мощность этой составляющей потерь зависит от целого ряда факторов. Одной из эмпирических зависимостей, полученных для расчета потерь на перемагничивание, является формула Штейнмеца:

где — коэффициент, зависящий от сорта материала (стали); — частота переменного тока; – масса магнитопровода; — амплитуда магнитной индукции.

Степень  зависит от величины магнитной индукции:

1) при

2) при 

Потери на вихревые токи

Вихревые токи возникают ввиду того, что магнитопровод, изготовленный из стали, является проводящим, и под действием наведенной ЭДС линии тока расположены в контуре, перпендикулярно силовым линиям. Величина наведенной ЭДС зависит от частоты и магнитной индукции и мощность, расходуемая на тепловые потери, вызванные вихревыми токами, рассчитывается по формуле:

где — коэффициент, определяемый электропроводящими свойствами материала.

Для уменьшения этих потерь поступают следующим образом: магнитопровод набирают из листов стали, изолированных друг от друга с помощью лака или добавляют в ферромагнитный материал примеси, увеличивающие удельное сопротивление стали. Так как сильно зависит от частоты, то с ее увеличением частоты толщина листа уменьшается:

1) при

2) при

На очень высоких частотах магнитопровод изготавливают из магнитодиэлектриков – ферритов, которые представляют собой смесь из мелких ферромагнитных частиц и диэлектрика.

Схема замещения идеальной катушки

На векторной диаграмме идеальной катушки (рис. 9.23) показано разложение вектора тока на активную  (совпадающую по фазе с напряжением) и реактивную (намагничивающую)  составляющие тока. На этом основании делаем вывод, что схему замещения катушки можно представить в виде параллельно соединенных индуктивного и активного сопротивлений или проводимостей, что удобнее при параллельном соединении (рис. 9.24).

Рис. 9.24. Схема замещения идеальной катушки

Активная составляющая тока протекает по нелинейной активной проводимости  и ей соответствует мощность потерь в стали:

Реактивная составляющая тока протекает по нелинейной индуктивности и, соответственно, реактивная мощность:

Векторная диаграмма и схема замещения реальной катушки

Возвращаясь к уравнению (9.10) и учитывая, что несинусоидальный ток заменен эквивалентным синусоидальным, перепишем это уравнение в комплексной форме:

где – сопротивление провода; – индуктивность потока рассеивания (является линейной, т.к. силовые линии замыкаются по воздуху, минуя магнитопровод);  – индуктивное сопротивление потока рассеяния.

На основании уравнения (9.12) схема замещения реальной катушки примет вид (рис. 9.25):

Рис. 9.25. Последовательно-параллельная схема замещения реальной катушки

Параметры схемы замещения могут быть получены на основании экспериментальных измерений напряжения, тока и мощности, потребляемой катушкой из цепи. По результатам этих измерений вначале строят более простую – последовательную схему замещения (рис. 9.26).

Параметры последовательной и последовательно-параллельной схем замещения связаны между собой следующими соотношениями:

На основании схемы замещения можно построить и векторную диаграмму (рис. 9.27).

Рис. 9.26. Последовательная схема замещения реальной катушки

Рис. 9.27. Векторная диаграмма реальной катушки

Трансформатор с ферромагнитным сердечником

Основным элементом трансформатора является рассмотренная выше катушка с ферромагнитным сердечником и дополнительно намотанной на него второй катушкой. По сравнению с линейным трансформатором у трансформатора с ферромагнитным сердечником резко увеличивается магнитный поток, что в свою очередь приводит к увеличению мощности, передаваемой из одной обмотки в другую, но трансформатор с ферромагнитным сердечником становится нелинейным и в его магнитопроводе появляются потери. Как и при анализе работы катушки, используют понятия эквивалентных синусоид. Потому напряжения, токи и магнитный поток считают синусоидальными. Подавляющее большинство трансформаторов конструируется с максимальной близостью к линейным. Область использования трансформаторов весьма широка – это силовые, измерительные, согласующие, сварочные и т.д. Так как принцип работы воздушного трансформатора ранее был подробно рассмотрен, то ограничимся лишь составлением и анализом схемы замещения трансформатора с сердечником (рис. 9.28).

Рис. 9.28. Схема замещения трансформатора с ферромагнитным сердечником

Запишем уравнения трансформатора для мгновенных величин токов и напряжений. Первые два – это уравнения электрического равновесия для первичной и вторичной цепи, третье – уравнение намагничивающих сил:

В комплексной форме эта система уравнений примет вид:

Некоторого пояснения требует уравнение магнитного равновесия.

В режиме холостого хода  магнитный поток создается только током первичной обмотки и уравнение магнитного равновесия упростится:

где  — ток холостого хода трансформатора.

При этом МДС первичной обмотки равна  При подключении нагрузки магнитный поток трансформатора создают обе катушки и их суммарная намагничивающая сила равна:

Поскольку подводимое к первичной обмотке напряжение не изменилось, то не изменился и магнитный поток трансформатора:

Следовательно, МДС в режиме холостого хода и в нагрузочном режиме равны:

Тогда:

где:

У приведенной схемы замещения трансформатора (рис. 9.28) все вторичные параметры изменились и поэтому уравнения (9.13), описывающие его работу, видоизменятся:

Для составления схемы замещения трансформатора необходимо определить ее параметры, т. е. сопротивления С этой целью проводят опыты холостого хода и короткого замыкания.

Опыт холостого хода.

Проводится при номинальном первичном напряжении и разомкнутых вторичных зажимах При этом напряжение холостого хода на вторичных зажимах принимают равным номинальному вторичному напряжению  Схема замещения примет вид (рис. 9.29):

Рис. 9.29. Схема замещения трансформатора при опыте XX

Ток холостого хода из-за резко возросшего сопротивления составляет порядка Таким образом, потери на нагрев первичной обмотки малы и ими можно пренебречь, а с учетом того, что то потери холостого хода принимают равными потерям в стали Таким образом, по показаниям трех приборов, включенных в цепь первичной обмотки (вольтметра, амперметра и ваттметра) рассчитывают параметры контура намагничивания

Примечание: сопротивлением можно пренебречь, т.к. основной магнитный поток трансформатора значительно больше потока рассеяния.

Поскольку у трансформаторов малы активные сопротивления обмоток, а также потоки рассеяния, то можно принять поэтому коэффициент трансформации определяют следующим образом:

Опыт короткого замыкания.

Проводится при замкнутой накоротко вторичной обмотке трансформатора и таком пониженном первичном напряжении  чтобы ток первичной обмотки равнялся номинальному току

Так как составляет от то пропорционально ему уменьшился магнитный поток в сердечнике, а пропорционально квадрату магнитного потока уменьшились потери в стали. Таким образом потери при коротком замыкании трансформатора принимают равными потерям в меди. По измеренным в режиме короткого замыкания величинам  рассчитывают сопротивления обмоток 

Примечание. При приведении вторичной обмотки к первичной сопротивления

Для режима короткого замыкания схема замещения представлена на рис. 9.30. Пунктиром показано положение ветви намагничивания.

Рис. 9.30. Схема замещения трансформатора в режиме КЗ

В режиме КЗ намагничивающей составляющей можно пренебречь и уравнение намагничивающих сил примет вид:

Тогда коэффициент трансформации можно определить следующим образом:

Векторная диаграмма трансформатора под нагрузкой

Используя систему уравнений (9.13), а также соотношения, полученные выше, построим векторную диаграмму, приняв для определенности, что трансформатор работает под нагрузкой при

Рис. 9.31. Векторная диаграмма трансформатора, работающего под нагрузкой

Построение диаграммы начнем с вектора  который располагается на комплексной плоскости произвольно. С учетом заданного характера нагрузки вектор напряжения  направлен с опережением относительно тока  на угол  К его концу пристраивается вектор падения напряжения на активном сопротивлении вторичной обмотки а перпендикулярно ему строится вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении Геометрическая сумма этих трех векторов дает вектор Вектор приводится к вектору с учетом соотношения С другой стороны этот же вектор  Далее строим вектор который является частью напряжения Магнитный поток опережает ЭДС индукции на угол 90°. Ток холостого хода опережает магнитный поток на угол  По заданному току строим вектор который определяется по формуле и суммируем его с вектором тока Геометрическая сумма этих токов дает ток первой катушки  Определим напряжения в первом контуре. К концу вектора присоединяем вектор падения напряжения на активном сопротивлении первой катушки который располагается параллельно току Перпендикулярно ему располагается вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении первой катушки  Сумма всех составляющих падений напряжений в первой катушке дает вектор трансформатора.

Феррорезонансные явления

В нелинейных цепях, составленных из нелинейных индуктивностей и линейных емкостей или наоборот, линейных индуктивностей и нелинейных емкостей возможны резонансные явления, как и в линейных цепях, но они характеризуются рядом особенностей. Феррорезонанс – это резонанс в цепи, содержащей катушку с ферромагнитным сердечником, который последовательно или параллельно подсоединен к линейному конденсатору. В линейных цепях резонанс возникал при изменении каких-либо параметров цепи: индуктивности емкости  или частоты шине зависел от величины подводимого напряжения. В нелинейных цепях плавное изменение напряжения может привести к скачкообразному изменению фазы и амплитуды основной гармоники тока и наоборот, плавное изменение тока источника приводит к скачкообразному изменению фазы и амплитуды основной гармоники напряжения. Явление феррорезонанса сопровождается изменением знака угла сдвига фаз между основными гармониками тока и напряжения при плавном изменении напряжения или тока источника, вызванное нелинейностью катушки с ферромагниттным сердечником. Различают феррорезонанс напряжения и тока. Исследование данного явления будем производить в упрощенном варианте, считая, что токи, напряжения и магнитные потоки заменены эквивалентными синусоидами, а нелинейная индуктивность заменена условно нелинейной и зависящей от тока, а потери в стали катушки пренебрежимо малы, то есть активное сопротивление равно нулю.

Феррорезонанс напряжений

Феррорезонанс напряжений возникает в последовательном колебательном контуре (рис. 9.32).

Рис. 9.32. Схема для исследования феррорезонанса напряжения

На рис. 9.33 построены В.А.Х. линейной емкости нелинейной индуктивности и В.А.Х. всей цепи  С учетом соотношений:

Рис. 9.33. Вольтамперные характеристики цепи при феррорезонансе напряжений

График зависимости имеет явно выраженный минимум вблизи резонанса, что требует детального исследования этой функции.

При работе схемы от источника напряжения и плавном росте напряжения до происходит плавный рост тока, а при — скачок тока от до (см. рис. 9.33), сопровождаемый одновременно изменением фазы на 180°. На самом деле в реальных цепях необходимо учитывать активное сопротивление катушки и появление высших гармоник из-за ее нелинейности. Поскольку резонанс возникает на основной (первой) гармонике, то от остальных не скомпенсированных гармоник тока вблизи резонанса дополнительно появляются падения напряжения и поэтому реальная В.А.Х. всей цепи выглядит иначе (рис. 9.34), т.е. при резонансе суммарное напряжение не снижается до нуля из-за перечисленных выше причин.

Модуль напряжения сети подсчитывается по приведенной ниже формуле:

Скачкообразное изменение тока при увеличении напряжения выше (из точки 2 в точку 4) и снижении напряжения ниже (из точки 3 в точку 1) носит название релейного или триггерного эффекта. Участок характеристики между точками 2 и 3 называется неустойчивым, т.к. он характеризуется отрицательным дифференциальным сопротивлением. Получить в явном виде эту часть характеристики представляется невозможным, т.к. при питании цепи от источника напряжения в интервале напряжений от до любому значению напряжения соответствует не одно, а несколько значений тока. Для получения всей характеристики необходимо подключить схему к источнику тока. Тогда каждому значению тока источника соответствует одно значение напряжения на В.А.Х. Это объясняется тем, что внутреннее сопротивление источника тока намного больше сопротивления цепи при всех его изменениях.

Рис. 9.34. Реальная вольт-амперная характеристика цепи при феррорезонансе напряжений

Феррорезонанс токов

Феррорезонанс токов наблюдается при параллельном соединении нелинейной индуктивности и линейного конденсатора (рис. 9.35).

Рис. 9.35. Схема для исследования феррорезонанса токов

Будем полагать, что известны В.А.Х. идеальной нелинейной индуктивности и идеальной емкости, построенные для действующих значений. На рис. 9.36 построены В.А.Х. рассматриваемых элементов и суммарная В.А.Х., полученная на основании уравнения:

Рис. 9.36. Вольтамперные характеристики цепи при феррорезонансе токов

Из построений следует, что одному и тому же значению тока в диапазоне соответствуют три значения напряжения Это объясняется наличием участка, характеризуемого отрицательным дифференциальным сопротивлением. При некоторой резонансной величине напряжения сети ток в неразветвленной части цепи равен нулю.

В реальной цепи при учете потерь и высших гармоник общая В.А.Х. цепи имеет вид, показанный на рис. 9.37.

При плавном изменении напряжения источника можно получить всю кривую Если же схема работает от источника тока, то при плавном изменении тока происходит скачкообразное изменение напряжения, т.е., наблюдается, как и при феррорезонансе напряжений, триггерный эффект.

Рис. 9.37. Реальная вольт-амперная характеристика цепи при феррорезонансе токов

На практике он используется при создании так называемых ферромагнитных стабилизаторов напряжения. Ниже (рис. 9.38,a,b) приведены примеры простейших схем стабилизации.

Рис. 9.38 а,b. Схемы ферромагнитных стабилизаторов напряжения

Ферромагнитный усилитель

Нелинейность свойств магнитопроводов лежит в основе работы многих устройств, среди которых особое место отводится управляемым нелинейным элементам. Примером таких устройств являются магнитные усилители, способные усиливать ток и мощность при сохранении формы выходного напряжения. Результирующий магнитный поток магнитного усилителя является суммой магнитных потоков, создаваемых МДС на различных частотах, источниками которых в магнитном усилителе служат рабочая обмотка и обмотка управления. Общий принцип работы простейшего магнитного усилителя рассмотрим на примере схемы рис. 9.39.

Рис. 9.39. Схема простейшего магнитного усилителя

На ферромагнитный сердечник наматывают две обмотки: – рабочая обмотка.  – обмотка управления. Отличительной особенностью магнитного усилителя является то, что по обмотке управления протекает постоянный ток, который дополнительно создаёт в магнитопроводе постоянный магнитный поток. Последовательно с рабочей обмоткой подключено сопротивление нагрузки Рабочая обмотка питается от источника синусоидального тока. Магнитный усилитель сконструирован так, что в отсутствии тока управления магнитопровод не насыщен и его магнитная проницаемость велика.

Рассмотрим принцип работы магнитного усилителя. Для этого сделаем ряд графических построений (рис. 9.40) и при этом будем считать, что вебер-амперная характеристика магнитопровода известна. Используем магнитопровод из магнитомягкого материала (узкая петля гистерезиса).

При отсутствии тока в обмотке управления и синусоидальном напряжении магнитный поток и пропорциональная ему МДС рабочей обмотки также изменяются по синусоидальному закону. Это объясняется работой магнитного усилителя на линейной части вебер-амперной характеристики. При подаче на обмотку управления некоторого постоянного напряжения дополнительно появляется постоянный магнитный поток который суммируется с синусоидальным магнитным потоком рабочей обмотки Это приводит к росту магнитодвижущей силы и, как следствие, к смещению рабочей области веберамперной характеристики в зону насыщения. Результирующая кривая магнитного потока искажается, то есть амплитуды положительной и отрицательной полуволны имеют разные численные значения, значит и наводимые ими ЭДС самоиндукции существенно отличаются по амплитуде.

Рис. 9.40. Схема усиления сигнала

Напишем уравнение электрического равновесия для рабочей обмотки магнитного усилителя:

Из данного уравнения следует, что уменьшение ЭДС самоиндукции в рабочей обмотке приведет к увеличению тока, протекающего через сопротивление нагрузки при неизменности амплитуды рабочего напряжения Таким образом, изменяя ток в обмотке управления, можно значительно изменять ток в нагрузке. Однако на практике такая схема не используется ввиду целого ряда присущих ей недостатков. Главный недостаток – влияние рабочей обмотки на обмотку управления. Этот недостаток может быть преодолён путём использования двух магнитопроводов (рис. 9.41).

Рис. 9.41. Схема магнитного усилителя мощности

Эффективность работы магнитного усилителя определяется коэффициентами усиления по току и мощности:

Оптимальный режим работы магнитного усилителя можно рассчитать, если известно семейство его вольтамперных характеристик (рис. 9.42).

На основании второго закона Кирхгофа и учитывая, что получим:

Рис. 9.42. Семейство В.А.Х. магнитного усилителя

Данное уравнение представляет собой уравнение окружности радиусом Проведя дугу окружности в первой четверти, находим точки пересечения с семейством В.А.Х. По величине рабочего напряжения и известному току управления находим рабочую точку и определяем по заданному току управления соответствующие ток и напряжение на рабочей обмотке.

Вентиль в цепи синусоидального тока

Полупроводниковые электронные приборы с практически односторонней проводимостью носят название вентиля (диода). Они относятся к классу активных нелинейных сопротивлений, которые так же задаются нелинейной В.А.Х. Кроме того, они относятся к классу безынерционных нелинейных элементов. На рис. 9.43 приведена В.А.Х. диода.

Рис. 9.43. Вольтамперная характеристика вентиля

Главное назначение вентиля – выпрямление переменного тока. Рассмотрим простейшую схему однополупериодного выпрямителя (рис. 9.44).

Рис. 9.44. Схема однополупериодного выпрямителя

Реализация принципа выпрямления тока в нагрузке иллюстрируется рис. 9.45.

Рис. 9.45. Графическое определение временной зависимости тока  через вентиль

Из построения видно, что при отрицательной полуволне напряжения источника амплитуда тока резко уменьшается, а большей амплитуде входного напряжения соответствует больший выпрямительный эффект. Ток и, соответственно, падение напряжения на нагрузке имеют явно выраженную несинусоидальную форму и поэтому могут быть разложены в ряд, который содержит постоянную составляющую, первую и все четные гармоники. Если на нагрузке необходимо иметь постоянное напряжение, то перед нагрузкой включают фильтры, не пропускающие первую и все гармоники более высокого порядка. Аналогично работают выпрямители, построенные по более сложным схемам.

Выбор метода расчета
нелинейной цепи в значительной мере
зависит от того, как заданы ВАХ нелинейных
элементов – графиком, таблицей или
аналитическим выражением. В зависимости
от условий выбирают следующие методы:

1. Графический метод, когда ВАХ нелинейных
элементов и линейной части цепи
представлены в виде графиков, а система
уравнений Кирхгофа решается графически.

2. Аналитический метод, когда ВАХ
нелинейных элементов аппроксимированы
аналитическими функциями.

3. Графо-аналитический метод, когда ВАХ
линейной части цепи представлена
аналитически, а нелинейных элементов
– в виде графиков.

Нелинейные
электрические цепи простой конфигурации
удобно рассчитывать графическим методом.
Расчет нелинейной цепи сводится к
нахождению токов и напряжений на участках
цепи с помощью вольтамперных характеристик.

6.2.1. Последовательное соединение нелинейных элементов

На
рис. 6.3 а показано последовательное
соединение двух нелинейных элементов
НС1 и НС2, характеристики которыхипредставлены на рис. 6.3 б.

Рис. 6.3

Для
определения тока в цепи и напряжений
на нелинейных элементах запишем уравнение
по второму закону Кирхгофа:,
т.е. представим последовательное
соединение двух нелинейных элементов
одним нелинейным элементом с эквивалентной
ВАХ (рис. 6.3 в). Для получения эквивалентной
(результирующей) ВАХ необходимо сложить
абсциссыипри одинаковых ординатах,
для чего провести прямые, параллельные
оси абсцисс (),
и сложить напряжения при одинаковых
токах. По точкам строим результирующую
ВАХ.
Затем по напряжению источниканаходим токи напряженияина каждом нелинейном элементе.

Такие
же построения для расчета тока и
напряжений можно выполнить, если один
из элементов линейный. Аналогично
решается задача расчета цепи, состоящей
из трех или более последовательно
соединенных нелинейных элементов.

Ток и напряжения
на линейных элементах (рис. 6.3 а)
могут быть найдены без построения
результирующей характеристики по
второму закону Кирхгофа в виде.
Для этого кривуюследует перенести параллельно оси
абсцисс вправо от начала координат на
напряжение источника(рис. 6.4) и повернуть ее так, чтобы получить
зеркальное отображение относительно
оси тока. Точка пересечения зеркальной
характеристикиодного нелинейного элемента с
характеристикой другогодаст ток в цепи и напряженияи.

6.2.2. Параллельное соединение нелинейных элементов

На рис. 6.5 а показаны
соединенные параллельно два нелинейных
элементы НС1 и НС2, ВАХ которых
изаданы (рис. 6.5 б).Если напряжение
на входе цепиUизвестно,
то по ВАХилегко определить токиив нелинейных элементах и по первому
закону Кирхгофа найти ток в неразветвленной
части цепи.

Если
задан ток
то для определения напряженияи токов
иче–

Рис. 6.5

рез нелинейные элементы необходимо
построить результирующую характеристику
,
т.е. зависимость суммарного тока от
напряженияТак как при
параллельном соединении
то для построения этой характеристики
в соответствии с уравнениемсуммируем ординаты кривыхидля одних и тех же значений напряжения
(рис. 6.5 б). Полученная ВАХсоответствует эквивалентному НС12 (рис.
6.5 в). Далее по известному токунаходят напряжениеи токи в ветвях (рис. 6.5 б).

Таким же способом можно рассчитать
электрическую цепь с любым числом
параллельно включенных нелинейных
элементов.

Соседние файлы в папке Лекции

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Расчет электрических цепей, содержащих нелинейные элементы, может проводиться аналитическим или графическим методом расчета.

Рассмотрим расчет неразветвленной нелинейной электрической цепи графическим методом (рисунок 1).

Для определения параметров нелинейной электрической цепи необходимо построить вольт-амперные характеристики нелинейных элементов в одном масштабе по оси абсцисс и ординат (рисунок 2).

При последовательном соединении элементов в электрической цепи сумма напряжений на каждом элементе равна прикладываемому к цепи напряжению источника напряжения. Для построения вольт-амперной характеристики цепи необходимо для одного и того же значения тока по оси произвести сложение координат абсцисс точек вольт-амперных характеристик нелинейных элементов (О’А= О’А’ + О’А’ ‘).

Вольт-амперная характеристика I1(U1) соответствует для нелинейного элемента НЭ1, характеристика I2(U2) — для НЭ2. ВАХ I (U) — является «суммой» двух первых характеристик.

Полученная ВАХ I(U) дает возможность по заданному напряжению найти ток в цепи н напряжения на нелинейных элементах и, наоборот, при заданном токе определить общее напряжение и напряжения на нелинейных элементах.

Например при заданном токе I’ напряжение на НЭ1 будет равно U’2, на НЭ2 — U’1

---

Рассмотрим графический метод расчета для параллельно соединенных элементов.

При расчете нелинейной электрической цепи с параллельно включенными элементами необходимо определить по вольт-амперным характеристикам токи в ветвях I₁ и I₂, т.к. напряжения на этих элементах равны.

Отложив на оси абсцисс заданное напряжение источника питания (отрезок 0А) и восстановив перпендикуляр из точки А, найдем отрезки AA₁ и АА₂, выражающие токи I₁ и I₂. Ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях.

Если требуется найти токи по заданному току в неразветвленной части цепи, то необходимо построить общую ВАХ I(U), складывая ординаты ВАХ параллельных ветвей, соответствующие одним и тем же значениям напряжения (рис. 4).

---

Графический метод расчета цепей со смешанным соединением нелинейных элементов заключается в построении общих вольт-амперных характеристик для разветвленных участков цепи и для последовательно соединенных участков. Полученная таким образом общая ВАХ цепи дает возможность определить токи и напряжения yа всех участках цепи.

Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный
элемент.

Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или)
направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного
потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются
нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения,
определяются экспериментально и задаются таблично или графиками.

Нелинейные элементы можно разделить на двух – и многополюсные. Последние
содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные
усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов,
с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью
многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются
семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик
от входных переменных и наоборот: входные характеристики строят для ряда фиксированных
значений одного из выходных параметров, выходные – для ряда фиксированных значений
одного из входных.

По другому признаку классификации нелинейные элементы можно разделить на инерционные
и безынерционные. Инерционными называются элементы, характеристики
которых зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические
характеристики, определяющие зависимость между действующими значениями переменных,
отличаются от динамических характеристик, устанавливающих взаимосвязь
между мгновенными значениями переменных. Безынерционными называются элементы,
характеристики которых не зависят от скорости изменения переменных. Для таких
элементов статические и динамические характеристики совпадают.

Понятия инерционных и безынерционных элементов относительны: элемент может
рассматриваться как безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне
частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных.

В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными
и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика,
не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию
относительно начала системы координат: . Для несимметричной характеристики
это условие не выполняется, т.е. . Наличие у нелинейного элемента
симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ
схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта.

По типу характеристики можно также разделить все нелинейные элементы на элементы
с однозначной и неоднозначной характеристиками. Однозначной называется
характеристика , у которой каждому значению х
соответствует единственное значение y и наоборот. В случае неоднозначной характеристики
каким-то значениям х может соответствовать два или более значения y или наоборот.
У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием
падающего участка, для которого , а у нелинейных индуктивных и
емкостных элементов – с гистерезисом.

Наконец, все нелинейные элементы можно разделить на управляемые и неуправляемые.
В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех-
и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой
поток и др. в которых, изменяют их основные характеристики: вольт-амперную,
вебер-амперную или кулон-вольтную.

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейные свойства таких цепей определяет наличие в них нелинейных резисторов.

В связи с отсутствием у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между
напряжением и током их нельзя охарактеризовать одним параметром (одним значением
). Соотношение между этими величинами
в общем случае зависит не только от их мгновенных значений, но и от производных
и интегралов по времени.

Параметры нелинейных резисторов

В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают
статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления.

Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми
двумя из перечисленных параметров.

Статическое сопротивление
равно отношению напряжения на резистивном элементе к протекающему через
него току. В частности для точки 1 ВАХ на рис. 1

.

Под дифференциальным сопротивлением понимается отношение бесконечно
малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока

.

Следует отметить, что у неуправляемого нелинейного резистора всегда, а может принимать и отрицательные
значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 1).

В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического
сопротивления

,

определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения переменной,
например тока, может меняться не только величина, но и знак .

Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного
тока

Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа,
которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных
цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные
для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае
не распространяются на нелинейные цепи.

Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы
имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе
нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена
следующими методами:

• графическими;
• аналитическими;
• графо-аналитическими;
• итерационными.

Графические методы расчета

При использовании этих методов задача решается путем графических построений
на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции
одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному
нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи
с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.

а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.

При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента
принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет
проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе
декартовых координат строится результирующая зависимость
. Затем на оси напряжений откладывается
точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на
входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью
. Из точки пересечения перпендикуляра
с кривой опускается ортогональ на ось
токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению
которого с использованием зависимостей определяются напряжения на отдельных резистивных элементах.

Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б,
соответствующие цепи на рис. 2,а.

Графическое решение для последовательной
нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим
методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов,
например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним
сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения
точка а (см. рис. 3) пересечения
кривых и определяет режим работы цепи.
Кривая строится путем вычитания абсцисс
ВАХ из ЭДС Е для различных значений
тока.

Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении
линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается
за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по
двум точкам.

б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.

При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента
принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет
проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе
декартовых координат строится результирующая зависимость
. Затем на оси токов откладывается
точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника
на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается
сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному
напряжению источника, до пересечения с ВАХ ), из которой восстанавливается
перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра
с кривой опускается ортогональ на ось
напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах,
по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются токи в ветвях с отдельными резистивными
элементами.

Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б,
соответствующие цепи на рис. 4,а.

в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных
элементов.

1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:

Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для
чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это
показано в пункте б).

2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных
элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных
параллельных ветвях.

Метод двух узлов

Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод
двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается
в следующем:

Строятся графики зависимостей токов во всех i-х ветвях в функции
общей величины – напряжения между узлами m и n, для чего
каждая из исходных кривых смещается вдоль оси напряжений
параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей
ЭДС в i-й ветви, а затем зеркально
отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.

Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа . Соответствующие данной точке
токи являются решением задачи.

Метод двух узлов может быть
реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом
графических построений.

В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 5. Для нее выражаем напряжения на
резистивных элементах в функции :

;

(1)

;

(2)

.

(3)

Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй
ветви , и рассчитываем , а затем по с использованием (1) и (3) находим
и и по зависимостям и – соответствующие им токи и и т.д. Результаты вычислений
сводим в табл. 1, в последней колонке которой определяем сумму токов

.

Таблица 1. Таблица результатов расчета методом двух узлов

Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна
равнять нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 1 величина указывает, каким значением следует задаваться на следующем
шаге.

В осях строим кривую зависимости и по точке ее пересечения с осью
напряжений определяем напряжение между точками m и n. Для найденного
значения по (1)…(3) рассчитываем напряжения
на резисторах, после чего по заданным зависимостям определяем токи в ветвях схемы.

Литература

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
   С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
   цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
   специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под
   общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные
   электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Почему метод наложения неприменим к нелинейным цепям?
2. Какие параметры характеризуют нелинейный резистор?
3. Почему статическое сопротивление всегда больше нуля, а дифференциальное
   и динамическое могут иметь любой знак?
4. Какие методы используют для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного
   тока?
5. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с последовательным
   соединением резисторов?
6. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с параллельным
   соединением резисторов?
7. Какой алгоритм анализа цепи со смешанным соединением нелинейных резисторов?
8. В чем сущность метода двух узлов?
9. В цепи на рис. 2,а ВАХ нелинейных резисторов и , где напряжение – в вольтах,
   а ток – в амперах; . Графическим методом определить
   напряжения на резисторах.

Ответ: .

10. В цепи на рис. 4,а ВАХ нелинейных резисторов и , где ток – в амперах, а напряжение
    – в вольтах; . Графическим методом определить токи и .

Ответ: .

11. В цепи на рис. 5 , где ток – в амперах, а напряжение
    – в вольтах; третий резистор линейный с . Определить токи в ветвях методом
    двух узлов, если .

Ответ: .

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные положения и соотношения

1. Кривая, выражающая функциональную зависимость напряжения от тока, называется вольт-амперной характеристикой элемента цепи.

Нелинейные элементы цепей могут иметь симметричные или несимметричные (относительно начала координат U = 0, I = 0) характеристики. Несимметричными характеристиками обладают так называемые полупроводниковые элементы цепей.

При расчете нелинейных цепей вводят следующие понятия:

а) Статическое сопротивление — отношение напряжения к току,

r ст ( I )= U I .   (1)

б) Дифференциальное сопротивление (динамическое сопротивление) — предел отношения малого приращения напряжения к малому приращению тока при неограниченном уменьшении последнего,

r д ( I )= dU dI .   (2)

Для некоторой точки a характеристики (рис. 1) величина статического сопротивления пропорциональна тангенсу угла α, образованному лучом, проведенным из начала координат в данную точку, с осью токов

r ст ( I )=k⋅tgα,   (3)

а величина динамического сопротивления пропорциональна тангенсу угла β, образованному касательной к характеристике в точке a с осью токов

r д ( I )=k⋅tgβ,   (4)

где

k= m U m I .   (5)

Здесь m_U — масштаб напряжений, m_I — масштаб токов.

Для пассивных элементов (т.е. не содержащих источников энергии) всегда r_ст > 0, a r_д > 0 — для точек, лежащих на восходящей части характеристики (рис. 1, точка a), r_д < 0 — для точек, лежащих па падающей части характеристики (рис. 1, точка b).

2. Графический метод расчета электрических цепей, состоящих из последовательно, параллельно или смешанно соединенных ветвей и участков, содержащих нелинейные элементы, производится следующим порядком: строятся характеристики отдельных элементов цепи, по которым, на основании соотношений, определяемых законами Кирхгофа, вычерчиваются характеристики цепи, состоящей из нескольких элементов, соединенных между собой тем или иным способом. Используя эти характеристики, можно определить величины напряжений и токов в отдельных участках цепи.

При последовательном соединении двух нелинейных элементов (рис. 2, а), характеристики которых I = F_l (U₁) и I = F₂ (U₂), строится характеристика I = F (U₁ + U₂), точки которой получатся путем сложения для каждого значения тока соответствующих им значений напряжений U₁ и U₂ (на рис. 2, б для любой точки характеристики km + kn = kp).

Пример — в задаче 4.

В случае последовательного соединения нелинейного элемента, характеристика которого I = F_l (U₁), с линейным сопротивлением r, включенными на напряжение U (рис. 3, а), помимо указанного, часто используется и другой путь.

Строятся характеристика нелинейного элемента и прямая по уравнению U₂ = U — I·r (рис. 3, б). Точка их пересечения m определяет режим работы схемы (на рис. 3, б отрезок 0a в масштабе токов выражает ток, а отрезок 0b в масштабе напряжений — напряжение U₁ на нелинейном элементе).

Пример — в задаче 4.

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 4, а) по заданным характеристикам I₁ = F_l (U) и I₂ = F₂ (U) строится характеристика I = I₁ + I₂ = F (U) (рис. 4, б). Она получается из заданных путем сложения для каждого значения напряжения соответствующих им токов в параллельных ветвях (на рис. 4, б для любой точки характеристики km + kn = kp).

Пример — в задаче 6.

При смешанном соединении нелинейных элементов сначала строится характеристика для параллельных ветвей и затем — характеристика для последовательных элементов: заданного и эквивалентного параллельным ветвям.

Пример — в задаче 10.

3. В ряде практических задач в целях упрощения расчета цепи, содержащей нелинейные элементы, ее заменяют эквивалентной линейной цепью. Такая замена называется линеаризацией. В простейшем случае можно нелинейную вольт-амперную характеристику заменить ломаной линией, состоящей из ряда прямолинейных участков (кусочно-линейная аппроксимация); тогда в пределах каждого участка зависимость между током и напряжением выражается линейным уравнением.

Так, в случае линеаризации участка ab характеристики в пределах U₁ < U < U₂ (рис. 5) уравнение прямой будет иметь следующий вид

U=I dU dI −E=I⋅ r д −E,   (6)

где производная  dU dI = r д  – динамическое сопротивление, которое в пределах рассматриваемого интервала предполагается постоянным.

Нелинейный участок ab характеристики может быть заменен эквивалентной схемой, состоящей из линейного сопротивления r_д и э.д.с. E, включенным согласно схеме рис. 6.

Следует помнить, что замена справедлива лишь в таком режиме работы, когда напряжение на нелинейном элементе цепи лежит в пределах линеаризированного участка (U₁ < U < U₂, рис. 5). При выходе за эти пределы эквивалентная схема потеряет силу.

При линеаризации участка ab характеристики (рис. 7) вблизи точки c (соответствующей напряжению U₁) уравнение будет

U=I dU dI +E=I⋅ r д +E,   (7)

а нелинейный элемент цепи в этом режиме работы может быть заменен эквивалентной схемой по рис. 8.

Пример — в задаче 16.

4. При последовательном соединении нелинейного элемента, характеристика которого задана, и источника с постоянной э.д.с. E (рис. 9), характеристика всей ветви строится на основании уравнения второго закона Кирхгофа

U_ac = U_ab — E.  (8)

Для рис. 10 характеристика ветви строится по следующему уравнению

U_ac = U_ab + E.  (9)

При параллельном соединении ветвей, содержащих нелинейный элемент и источник э.д.с., для каждой из ветвей по только что указанному способу строят соответствующие характеристики, затем на их основе, как и в случае параллельного соединения нелинейных элементов, строят характеристику параллельных ветвей (см. п. 2).

При смешанном соединении ветвей, содержащих нелинейные элементы и источники э.д.с., пользуются теми же приемами, как и при смешанном соединении нелинейных элементов (см. п. 2), при этом предварительно строят характеристики для каждой из ветвей, содержащей нелинейный элемент и э.д.с.

5. Расчет токов в сколь угодно сложной цепи, состоящей из любого числа линейных сопротивлений и э.д.с. и содержащей лишь один нелинейный элемент (рис. 11), производится при помощи метода эквивалентного генератора.

Ветвь ab, содержащая нелинейный элемент, мысленно размыкается, и так же, как в линейных цепях, определяются напряжение холостого хода U_ab = E и сопротивление короткого замыкания r_k по отношению к зажимам ab. На этой основе заданная схема может быть заменена ей эквивалентной согласно рис. 12.

Последняя же может быть рассчитана, как указано выше (п. 2 и 4). Таким образом будет определен ток I в нелинейном элементе. Наконец, возвращаясь к исходной схеме, на основании законов Кирхгофа можно рассчитать токи в остальных ветвях.

Пример — в задаче 20.

---

Упражнения и задачи

Задача 1. Нелинейный элемент имеет вольт-амперную характеристику, уравнение которой

I=a⋅U+b⋅ U 3    ( a=8⋅ 10 −3    1 Ом ,   b=5⋅ 10 −4    1 Ом⋅ В 2 ).

Построить вольт-амперную характеристику элемента. Определить статическое и динамическое сопротивления элемента. Подсчитать значения величин этих сопротивлений для напряжения U_а = 4 В.

Построить кривую зависимости отношения  r ст r д  в функции U.

Решение

Вольт-амперная характеристика элемента представляет собой кубическую параболу. Построим ее по точкам следующей таблицы, рассчитанной по заданному уравнению:

Выберем масштабы: для напряжения –  m U =2   В см ; для тока –  m I =0,05   А см .

По данным таблицы и выбранным масштабам на рис. 13. а построена характеристика I = F (U).

Подсчитаем статическое и динамическое сопротивления по формулам (1) и (2)

r ст = U I = U aU+b U 3 = 1 a+b U 2 , r д = dU dI = 1 dI dU = 1 a+3b U 2 .

Для точки a (U = 4 В)

( r ст ) a = ( 1 a+b U 2 ) U=4 = 1 8⋅ 10 −3 +5⋅ 10 −4 ⋅ 4 2 =62,5  Ом; ( r д ) a = ( 1 a+3b U 2 ) U=4 = 1 8⋅ 10 −3 +3⋅5⋅ 10 −4 ⋅ 4 2 =31,25  Ом.

Те же значения можно получить и графическим путем. По формуле (5) вычисляем

k= m U m I = 2   В см 0,05   А см =40   Ом.

Из рис. 13, а для точки a находим

tg α a = 20  мм 12,8  мм =1,5625, tg β a = 20  мм 25,6  мм =0,78125.

По формулам (3) и (4) получаем

( r ст ) a =k⋅tg α a =40⋅1,5625=62,5   Ом; ( r д ) a =k⋅tg β a =40⋅0,78125=31,25   Ом.

Отношение

r ст r д = a+3b U 2 a+b U 2 .

При U = 0 отношение  r ст r д =1 , а при неограниченном увеличении U, пользуясь правилом раскрытия неопределенностей, получим

r ст r д = lim U→∞ a+3b U 2 a+b U 2 = lim U→∞ 3b U 2 b U 2 =3.

На рис. 13, б начерчена кривая отношения

r ст r д =F( U ).

---

Задача 2. Дан нелинейный элемент, характеристика которого

I=a⋅ U 2 +2ab⋅U   ( a=2⋅ 10 −3    1 Ом⋅В ,   b=0,5  В ).

Построить характеристику элемента. Найти выражения для r_ст и r_д. Найти значения этих величин для напряжения U = 5 В. Построить кривую  r ст r д =F( U ).

Ответ:  r ст = 500 U+1 ,    r д = 250 U+0,5 ;   при U = 5 В: r_ст = 83,3 Ом, r_д. = 45,5 Ом.

---

Задача 3. Ток кенотрона (в пределах от нуля до тока насыщения) в зависимости от анодного напряжения (при постоянстве напряжения накала) выражается уравнением, получившим название «закона степени трех вторых»,

I a =g⋅ U a 3/2 ,

где коэффициент g зависит от формы и размеров электродов и для данной лампы является постоянной величиной.

Начертить вольт-амперную характеристику. Вычислить крутизну характеристики S в точке, соответствующей анодному напряжению 200 В.

Чему равно внутреннее сопротивление лампы постоянному и переменному токам при том же напряжении, т.е. статическое и динамическое сопротивления лампы.

Коэффициент g принять равным  0,07⋅ 10 −3     1 Ом⋅ В 1/2 .

Указание. Крутизной характеристики в заданной точке называется отношение приращения анодного тока к приращению анодного напряжения, т.е.

S= d I a d U a .

Крутизна характеристики — величина обратная динамическому сопротивлению.

Решение

Начертим вольт-амперную характеристику (рис. 14) на основе данных следующей таблицы, рассчитанной по уравнению

I a =7⋅ 10 −5 ⋅ U a 3/2 :

Крутизна характеристики

S= d I a d U a = d d U a ( g⋅ U a 3/2 )= 3 2 g⋅ U a 1/2 .

Вычислим ее значение в точке, требуемой условиями задачи

S U a =200 = [ 3 2 g⋅ U a 1/2 ] U a =200 = 3 2 ⋅0,07⋅ 10 −3 ⋅ 200 1/2 =1,49⋅ 10 −3   А В =1,49  мА В .

Внутреннее сопротивление лампы постоянному току (статическое сопротивление)

Внутреннее сопротивление лампы изменению тока (динамическое сопротивление)

r д = d U a d I a = 1 d I a d U a = 2 3g⋅ U a 1/2 , ( r д ) U a =200 = [ 2 3g⋅ U a 1/2 ] U a =200 = 2 3⋅7⋅ 10 −5 ⋅ 200 =675   Ом.

---

Задача 4. Даны нелинейное сопротивление r₁ (I₁) вольт-амперная характеристика которого

I 1 =a⋅ U 1 2    ( a=0,02   1 Ом⋅В ),

и линейное сопротивление r₂ = 12 Ом.

Определить ток, протекающий в цепи, и напряжение на каждом сопротивлении при их последовательном соединении и включении на постоянное напряжение U = 4 В (рис. 15, а).

Задачу решить аналитически и графически.

Решение

1) Аналитическое решение. Приложенное к цепи напряжение

U = U₁ + U₂,

где U₁ — напряжение на нелинейном элементе, причем I₁ = a·U₁², U₂ — напряжение на линейном сопротивлении (U₂ = I₂·r₂). Учитывая, что при последовательном соединении сопротивлений ток во всех элементах цепи имеет одинаковое значение I = I₁ = I₂, можно записать

U = U₁ + U₂ = U₁ + I·r₂ = U₁ + a·r₂·U₁²

или

a·r₂·U₁² + U₁ — U = 0,

или после подстановки чисел

0,24·U₁² + U₁ — 4 = 0.

Решая квадратное уравнение получим

U₁ = 2,5 В.

Второе, отрицательное значение корня отбрасываем, как лишенное физического смысла.

Теперь найдем искомые величины

I = a·U₁² = 0,02·2,5² = 0,125 А,

U₂ = I·r₂ = 0,125·12 = 1,5 В.

2) Графическое решение. Первый способ. Вначале по точкам, рассчитанным по уравнению I₁ = a·U₁², построим вольт-амперную характеристику нелинейного элемента:

Выберем масштабы: для напряжения m_U = 1 В/см, для тока — m_I = 0,5 А/см.

На рис. 15, б построена кривая I₁ (U₁) = a·U₁². Теперь построим вольт-амперную характеристику линейного сопротивления r₂. График этой зависимости I₂ (U₂) = U₂/r₂ = U₂/12 выражен прямой, проходящей через начало координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен 1/12. Проще всего эту прямую построить так: зададимся любым значением U₂, например, U₂ = 3 В, и подсчитаем соответствующее значение I₂ = U₂/r₂ = 3/12 = 0,25 А; полученную таким образом точку А соединяем прямой с началом координат. Это и будет нанесенная на рис. 15, б прямая I₂ (U₂).

Затем построим вольт-амперную характеристику зависимости тока I в функции общего напряжения U₁ + U₂. Так как ток в обоих элементах имеет одно и то же значение, то для построения характеристики I в зависимости от U₁ + U₂ просуммируем напряжения U₁ и U₂ для одних и тех же значений тока. Для этого через ординаты, соответствующие 0,05 А; 0,10 А; 0,15 А …, проводим прямые, параллельные оси U, и для каждого значения тока откладываем соответствующие значения абсцисс. Таким образом, получим результирующую кривую I (U₁ + U₂). На рис. 15, б показано построение для одной точки I = 0,225 А, при этом U₁ = 3,36 В (дочка m), U₂ = 2,7 В (точка n) и общее напряжение

U = U₁ + U₂ = 6,06 В (точка p).

Теперь на основании проведенных построений можно ответить на вопросы, поставленные в условии задачи. Для этого отложим на оси абсцисс отрезок ab, соответствующий напряжению U = 4 В, и из точки b проводим прямую, параллельную оси ординат, до пересечения ее с кривой I (U₁ + U₂) в точке c. Отрезок bc дает в выбранных масштабах искомый ток I = 0,125 А. Наконец, проводя из точки c прямую cd, параллельную оси абсцисс, найдем искомые напряжения: отрезок de дает напряжение на нелинейном элементе U₁ = 2,5 В, отрезок df — напряжение на сопротивлении r₂: U₂ = 1,5 В.

Второй способ. При расчете цепи по этому способу нет необходимости строить результирующую характеристику всей схемы. По закону Ома имеем

U₁ + I·r₂ = U.

Это уравнение перепишем в виде

U₁ = U — I·r₂.  (1)

Левая часть последнего уравнения определяет вольт-амперную характеристику нелинейного элемента — кривая I₁ (U₁) на рис. 15, б, а правая — прямую ab, отсекающую на оси абсцисс отрезок 0b, равный U, и наклоненную к ней под углом, тангенс которого равен отношению отрезков 0a к 0b умноженному на отношение масштаба тока m_I к масштабу напряжения m_U, т. е.

Oa⋅ m I Ob⋅ m U =− 1 r 2 =− 1 12 .

Иными словами, прямая ab является опрокинутой характеристикой линейного элемента относительно вертикали, проходящей через точку b. Очевидно, что точка e пересечения прямой ab с вольт-амперной характеристикой удовлетворяет уравнению (1). Ордината точки e в соответствующем масштабе дает искомый ток (отрезок eh соответствует 0,125 А).

---

Задача 5. Последовательно с нелинейным сопротивлением r₁ (I) (лампа с угольной нитью), вольт-амперная характеристика которого представлена на рис. 16, включено линейное сопротивление r₂ = 40 Ом.

а) Определить ток, протекающий в цепи при подключении к схеме напряжения U = 115 В. Каково при этом напряжение на лампе U₁ и напряжение U₂ на линейном сопротивлении?

б) При каком напряжении на зажимах цепи напряжение на лампе будет U₂ = 60 В?

в) Какое напряжение надо подключить к цепи, чтобы напряжение на линейном сопротивлении было в 2,5 раза меньше, чем на лампе?

г) Чему равно статическое сопротивление схемы в случаях «а», «б», «в»?

Ответ: а) 0,72 А; U₁ = 85 В; U₂ = 30 В, б) 80 В, в) 29 В, г) для «а» 118 Ом; для «б» 125 Ом; для «в» 138 Ом.

---

Задача 6. Нелинейное сопротивление r₁ (I₁) вольт-амперная характеристика которого  I 1 =a⋅ U 1 2    ( a=0,02   1 Ом⋅В ),  и линейное сопротивление r₂ = 25 Ом соединены параллельно; при этом в неразветвленном участке цепи проходит ток I = 225 мА. Определить, какое напряжение U подключено к цепи и чему равны токи, протекающие через каждое из сопротивлений (рис. 17, а).

Задачу решить аналитически и графически.

Решение

1) Аналитическое решение. На основании первого закона Кирхгофа имеем

I = I₁ + I₂ = a·U² + U/r₂,

или после подстановки числовых значений

0,02U² + 0,04U — 0,225 = 0.

Решая полученное квадратное уравнение, найдем искомое напряжение U = 2,5 В.

Второй корень (отрицательный) отбрасываем, как не удовлетворяющий смыслу задачи.

При найденном напряжении токи в отдельных ветвях равны

I₁ = a·U² = 0,02·2,5² = 0,125 А;

I₂ = U/r₂ = 2,5/25 = 0,1 А.

2) Графическое решение. Построим характеристику нелинейного элемента по данным следующей таблицы, рассчитанным по уравнению I₁ = a·U²:

Для построения характеристики выберем масштабы: напряжений — m_U = 1 В/см, для тока — m_I = 50 мА/см. Далее, по уравнению I₂ (U₂) = U₂/r₂ = U₂/25 построим вольт-амперную характеристику I₂ (U) линейного сопротивления r₂. Для этого зададимся произвольным значением U, например, равным 1 В, тогда соответствующее значение тока I₂ (U₂) = U₂/r₂ = 1/25 = 0,04 А = 40 мА.

Характеристика I₂ (U) пройдет через начало координат и точку a, абсцисса которой соответствует 1 В и ордината — 40 мА. Наконец, по уравнению первого закона Кирхгофа I₁ (U) + I₂ (U) = I (U) строим характеристику I (U), выражающую зависимость тока в неразветвленной части цепи I от напряжения U (рис. 17, б). Для этого суммируем ординаты I₁ (U) и I₂ (U), соответствующие одинаковым абсциссам.

Чтобы определить напряжение, приложенное к схеме, из точки b (отрезок 0b соответствует току 225 мА) проводим прямую bc, параллельную оси абсцисс; из точки c опускаем перпендикуляр cd на ось абсцисс. Отрезок 0d соответствует искомому напряжению U = 2,5 В, отрезок de — току I₁ =125 мА и отрезок df — току I₂ = 100 мА (df + de = dc).

---

Задача 7. Параллельно с нелинейным сопротивлением r₁ (I₁) (лампа с вольфрамовой нитью), вольт-амперная характеристика которого представлена на рис. 18, а, соединено линейное сопротивление r₂ = 180 Ом (рис. 18, б).

а) Построить зависимость тока I, протекающего в неразветвленной части цепи, от приложенного напряжения U.

б) Определить токи, протекающие через каждую из параллельных ветвей, если ток в неразветвленной части цепи равен 0,6 А.

в) При каком значении напряжения ток, протекающий через линейное сопротивление, равен току, протекающему через лампу; чему равен этот ток?

г) При каком значении приложенного напряжения ток, протекающий через линейное сопротивление, будет в 2 раза меньше, чем ток, протекающий через лампу?

д) Чему равно эквивалентное статическое сопротивление схемы в случаях «б», «в» и «г»?

Ответ: б) 0,336 А и 0,264 А, в) 0,416 А при 75 В, г) 23 В, д) для «б» 79,2 Ом; для «в» 180 Ом; для «г» 60 Ом.

---

Задача 8. Вольт-амперная характеристика тиритового диска выражается уравнением I = 2,13·10^–10·U^3,5 (I — в амперах, U — в вольтах).

Подобрать линейное сопротивление r, подключаемое параллельно к тиритовому диску так, чтобы при напряжении U = 550 В ток в неразветвленной части цепи равнялся I = 1 А.

Тиритовые элементы используются в нелинейных мостовых схемах автоматики, в защитных устройствах при передаче энергии высоким напряжением. Тирит — керамическое вещество, основу которого составляет мелкоизмельченный графит и карборунд, подвергнутые определенной термической обработке.

Решение

Определим ток, протекающий через тиритовый диск при заданном напряжении.

Пусть

x = 550^3,5,

тогда

tgx = 3,5·lg550 = 3,5·2,74036 = 9,59126,

x = 3,9·10⁹.

Ток

I = 2,13·10^–10·550^3,5 = 2,13·10^–10·3,9·10⁹ = 0,83 А.

Ток, проходящий через       линейное сопротивление, будет равен

1,0 — 0,83 = 0,17 А.

Искомое сопротивление

r = 550/0,17 ≈ 3240 Ом.

---

Задача 9. Какое сопротивление надо включить последовательно с тиритовым элементом, вольт-амперная характеристика которого I = 3,1·10^–8·U^3,5 (I — в амперах, U — в вольтах), для того, чтобы при напряжении генератора, подключенного к цепи U = 120 В, в ней проходил ток I = 0,22 А.

Вычислить, какая мощность будет при этом расходоваться в тиритовом элементе и в сопротивлении r.

Решение

Найдем напряжение U₁ на тиритовом элементе при заданном токе I

0,22 = 3,1·10^–8·U₁^3,5,

или

U₁^3,5 = 0,22·10⁸/3,1;

логарифмируя, получим

3,5·lgU₁ = lg (7,1·10⁶) = 6,85126;

или

lgU₁ = 6,85126/3,5 = 1,9575,

отсюда

U₁ = 90,7 В.

По закону Ома U = U₁ + I·r, откуда

r= U− U 1 I = 120−90,7 0,22 =133   Ом.

Мощность, расходуемая в тиритовом элементе

P₁ = U₁I₁ = 90,7·0,22 = 19,95 Вт.

Мощность, расходуемая в сопротивлении

P₂ = I²r = 0.22²·133 = 6,45 Вт.

---

Задача 10. Для измерительных цепей собрана цепь (рис. 19, а), состоящая из двух линейных сопротивлений r₁ = 100 Ом и r = 20 Ом и меднозакисного выпрямителя, характеристика которого в проводящем направлении имеет вид, представленный кривой 1 на рис. 19, б.

Найти все токи и напряжения на сопротивлениях r₁ и r₂, если цепь подключена к напряжению U = 1,4 В.

Определить при этом напряжении эквивалентное сопротивление цепи и сопротивление нелинейного элемента r₂.

Решение

На рис. 19, б построены: характеристика выпрямителя — кривая 1, характеристика сопротивления r₁ — прямая 2, характеристика параллельного участка цепи — кривая 3 (ее ординаты являются суммами соответствующих ординат кривой 1 и прямой 2); затем построены: характеристика сопротивления r — прямая 4 и характеристика всей цепи — кривая 5. Абсциссы кривой 5 равны суммам соответствующих абсцисс кривой 3 и прямой 4. Через точку a, соответствующую заданному напряжению U = 1,4 В, проводим ординату до пересечения ее с кривой 5 в точке b. Отрезок 0c выражает собой ток I = 25 мА. Через точки d и f пересечения прямой bc с кривыми 3 и 4 опускаем перпендикуляры de и fg на ось абсцисс. Отрезок 0g, соответствующий 0,5 В, выражает собой напряжение на сопротивлении r, а отрезок 0e, соответствующий 0,9 В, выражает напряжение на параллельных ветвях цепи. Отрезки eh и ek выражают собой токи, протекающие через линейное и нелинейное сопротивления, соответственно равные 9 и 16 мА.

Проверка дает

U = I·r + I₁·r₁ = 0,025·20 + 0,009·100 = 1,4 В.

Определим эквивалентное сопротивление цепи

r э = U I = 1,4 0,025 =56   Ом.

Сопротивление нелинейного элемента

r 2 = U 2 I 2 = 0,9 0,016 =56 ,25  Ом.

Таким образом, эквивалентное сопротивление цепи

r э =r+ r 1 ⋅ r 2 r 1 + r 2 =20+ 100⋅56,25 100+56,25 =20+36=56   Ом.

---

Задача 11. Электронная лампа работает в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 20, а.

Анодная характеристика лампы (т.е. зависимость анодного тока лампы от напряжения анода, при неизменных напряжениях других электродов) дана на рис. 20, б.

Определить ток в лампе, если r₁ = 2 кОм, r₂ = 24 кОм, E = 120 В.

Ответ: 8 мА.

---

Задача 12. Цепь состоит из линейного сопротивления r = 5 Ом, последовательно с которым соединены два включенных параллельно друг другу нелинейных элемента, вольт-амперные характеристики которых

I 1 = a 1 ⋅ U 1 2 +b⋅ U 1    ( a 1 =0,02   1 Ом⋅В ,   b=0,01   1 Ом ), I 2 = a 2 ⋅ U 2 2    ( a 2 =0,03   1 Ом⋅В ).

Определить ток, протекающий в каждой ветви, если к цепи приложено напряжение U = 7,8 В.

Задачу решить аналитически и графически.

Ответ: 0,28 А, 0,48 А.

---

Задача 13. Для поддержания постоянства тока в цепи накала электронной лампы (r_н), питаемой от аккумуляторной батареи (U = 24 В), применен барретер типа Б-3. Определить, чему должны быть равны сопротивления r₁ и r₂, включаемые как показано на рис. 21, а, если напряжение на нити накала U₁ = 6,3 В, а ток нити накала I₁ = 0,7 А.

Границы участка, на котором значение тока поддерживается практически стабильным, определяются следующими величинами: U_fl = 10 В, I_fl = 0,97 А; U_f2 == 17 В, I_f2 = 1,03 А. На рис. 21, б представлена зависимость тока от напряжения для барретера типа Б-3.

Барретер (бареттер) представляет собой заполненный водородом стеклянный баллон, внутрь которого помещена тонкая платиновая, железная или вольфрамовая проволока (нить).

Принцип действия состоит в том, что при увеличении приложенного напряжения возрастает температура нити накала и, следовательно, ее сопротивление. В результате при изменении напряжения на бареттере сила тока практически не изменяется. Таким образом, бареттер, включенный последовательно с нагрузкой, поддерживает в ней стабильный ток при изменениях напряжения питания.

Решение

По условию задачи применен барретер, рассчитанный на стабилизацию тока в 1 А, т.е. через сопротивление r₂, включенное последовательно с барретером, должен проходить ток, равный 1 А. Этот ток распределяется по двум параллельным ветвям, причем, согласно условию, в цепи накала лампы (r_н) протекает ток, равный 0,7 А; следовательно, через параллельно включенное к нити накала лампы сопротивление r₁ должен проходить ток, равный 1 — 0,7 = 0,3 А. Напряжение на сопротивлении r₁ таково же, как и на нити накала, U₁ = 6,3 В, следовательно,

r₁ = 6,3/0,3 = 21 Ом.

Для получения наиболее широкой области стабилизации целесообразно выбрать рабочую точку посредине участка характеристики барретера, на котором значение тока практически постоянно; этой точке соответствует напряжение барретера

U_б = (10 + 17)/2 = 13, 5 В.

По второму закону Кирхгофа

U = I·r₂ + U_б + U₁.

Откуда

r 2 = U− U б − U 1 I = 24−13,5−6,3 1 =4,2   Ом.

---

Задача 14. Мост собран из двух линейных сопротивлений r по 100 Ом каждое и из двух одинаковых тиритовых элементов Т, вольт-амперная характеристика которых

I 1 =M⋅ U T m ,

где  M=3,1⋅ 10 −8   1 Ом⋅ В 2,5 ,   m=3,5  (I₁ — в амперах, U — в вольтах).

Одинаковые элементы включены в противолежащие ветви моста (рис. 22).

Найти, чему должно быть равно напряжение, к которому подключен мост для того, чтобы ток в диагонали моста был равен нулю.

Решение

При заданной схеме равновесие моста требует, чтобы сопротивление тиритового элемента равнялось r_Т = r.

Из характеристики

r T = U T I 1 = U T M⋅ U T m = 1 M⋅ U T m−1 =r,

откуда напряжение на тиритовом элементе

U T = 1 r⋅M m−1 = 1 100⋅3,1⋅ 10 −8 2,5 =160  В= 1 2 U,

отсюда искомое напряжение моста

U = 2·160 = 320 В.

---

Задача 15. Решить задачу 14 в случаях, если сопротивление будет равно: а) r = 80 Ом, б) r = 120 Ом.

Ответ: а) 350 В, б) 300 В.

---

Задача 16. Найти распределение токов и напряжений в цепи (рис. 23, а) при U = 12 В. Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов r₁ (I₁) и r₂ (I₂) представлены на рис. 23, б. Линейное сопротивление r₃ = 150 Ом.

Задачу решить методом линеаризации (см. п. 3), при этом следует исходить из того, что в рассматриваемом режиме рабочие участки вольт-амперных характеристик могут быть представлены прямыми:

для нелинейного сопротивления r₁ (I₁)

U₁ = I₁·r_д1 — E₁,

для нелинейного сопротивления r₂ (I₂)

U₂ = I₂·r_д2 + E₂,

при

r д1 = d U 1 d I 1 =380  Ом,     E 1 =12   В, r д2 = d U 2 d I 2 =30  Ом,     E 1 =1,8   В.

Решение

Искомые токи и напряжения с учетом заданных аналитических выражений для U₁ можно определить из следующих уравнений

U = U₁ + U_ab = I₁·r_д1 — E₁ + I₂·r_д2 + E₂, (1)

I₃·r₃ = I₂·r_д2 + E₂,  (2)

I₁ + I₂·= I₃.  (3)

Решаем эти уравнения совместно. Для этого подставляем значение I₃ из (3) во (2) и из полученного уравнения находим

I 1 = E 2 r 3 + I 2 r д2 + r 3 r 3 .   (4)

Подставляя I₁ в уравнение (1), получим

I 2 = U⋅ r 3 − E 2 ⋅ r д1 + E 1 ⋅ r 3 − E 2 ⋅ r 3 r д1 ⋅ r д2 + r 3 ⋅ r д1 + r 3 ⋅ r д2 .   (5)

Подставляя сюда числовые значения, найдем

I₂ = 36,2 мА,

а затем из (4), после подстановки чисел,

I₁ = 55,5 мА

и, наконец, из (3)

I₃ = 19,3 мА.

Теперь определим напряжения на отдельных участках цепи. Из уравнения (2)

U_ab = I₃·r₃ = 2,9 В,

а из уравнения (1)

U₁ = U — U_ab = 12 — 2,9 = 9,1 В.

Осуществим проверку того, что найденные величины соответствуют выбранным участкам. Действительно, обращаясь к характеристикам рис. 23, б, видим, что найденные значения для токов лежат в пределах линеаризированных участков. Следовательно, расчет правилен.

Рекомендуем читателю решить задачу графическим путем.

---

Задача 17. Воспользовавшись данными задачи 16, ответить на вопросы, поставленные в ней в случаях: 1) U = 13 В, 2) U = 14 В.

Ответ:  1) U₁ = 10,05 В, U₂ = 2,95 В, I₁ = 58 мА, I₂ = 38,3 мА, I₃ = 19,7 мА;

2) U₁ = 11 В, U₂ = 3 В, I₁ = 60,4 мА, I₂ = 40,4 мА, I₃ = 20 мА.

---

Задача 18. Определить напряжение на линейных элементах схемы, 24, а и токи в ветвях, если напряжение U_АВ = 25 В, E₁ = 15 В, E₂ = 10 В.

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов представлены на рис. 24, б.

Ответ: U_ab = 40 В, I₁ = 38 мА, U_cd = 15 В, I₂ = 7 мА.

---

Задача 19. В схеме рис. 25, содержащей два одинаковых нелинейных элемента, определить все токи, если E₁ = 2 В, E₂ = 3 В при значениях: а) U_АВ = 5 В, б) U_АВ = 1 В.

Вольт-амперные характеристики каждого из элементов

I=a⋅U+b⋅ U 3    ( a=8⋅ 10 −3    1 Ом ,   b=5⋅ 10 −4    1 Ом⋅ В 2 ).

Ответ: а) I = 57,5 мА, I₁ = 37,5 мА, I₂ = 20 мА; б) I = 28,5 мА, I₁ = 8,5 мА, I₂ = 20 мА.

---

Задача 20. Рассчитать токи в схеме, изображенной на рис. 26, а. Вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления r₆ (I₆) приведена на рис. 26, б.

Электродвижущие силы E₁ = 12 В, E₂ = 23 В; линейные сопротивления r₁ = 250 Ом, r₂ = 150 Ом, r₃ = 700 Ом, r₄ = 100 Ом, r₅ = 50 Ом. Внутренние сопротивления источников э. д. с. принять равными нулю.

Решение

Задача решается в соответствии с указаниями, данными в п. 5. Размыкаем ветвь с нелинейным сопротивлением r₆ и методом эквивалентного генератора (см. Линейные электрические цепи постоянного тока п. 4 Метод эквивалентного генератора напряжения) определяем напряжение холостого хода U_ab = E_х (рис. 26, в) и сопротивление короткого замыкания по отношению к зажимам ac (рис. 26, г).

Расчеты дают U_ab = E_х ≈ 18 В, r_k = 160 Ом (предлагается читателю проделать эти расчеты самостоятельно).

Заданная схема может быть заменена ей эквивалентной, согласно рис. 26, д. Ток в ней может быть определен графически, как показано в п. 2.

По уравнению U_bc = E_х — I₆·r_k = 18 — 160·I₆ на рис. 26, б построена прямая, выражающая зависимость U_bc = f (I₆). Абсцисса точки ее пересечения с заданной вольт-амперной характеристикой нелинейного сопротивления r₆ (I₆) определяет искомый ток I₆ = 0,05 А; при этом U_ac = 10 В. Остальные токи находятся путем применения законов Кирхгофа (рис. 26, а):

E_l = I₁·r₁ + I₅·r₅ + I₄·r₄,

E₂ = I₂·r₂ + I₅·r₅ + U_ас,

U_ас = I₄·r₄ + I₃·r₃,

I₁ + I₂ — I₅ = 0,

I₄ — I₁ — I₃ = 0.

Совместное решение этих уравнений дает:

I₁ = 0,02 А, I₂ = 0,06 А, I₃ = 0,01 А, I₄ = 0,03 А, I₅ = 0,08 А.

---

Задача 21. В схеме рис. 27, а рассчитать токи.

Даны: E₁ = 10 В, E₂ = 14 В, r₂ = 50 Ом, r₃ = 100 Ом, r₄ = 40 Ом, r₅ = 500 Ом, вольт-амперная характеристика сопротивления r₁ (I₁) приведена на рис. 27, б.

Ответ: I₁ = 0,04 А, I₂ = 0,08 А, I₃ = 0,06 А, I₄ = 0,1 А, I₅ = 0,02 А.

---

---

дифференциальное сопротивление,
кусочно-линейная аппроксимация,
графический метод расчета нелинейных электрических цепей,
динамическое сопротивление,
статическое сопротивление,
ВАХ нелинейного элемента,
вольт-амперная характеристика нелинейного элемента,
нелинейный элемент