Резонансные явления наблюдаются в колебательных системах, когда частота собственных колебаний элементов системы совпадает с частотой внешних (вынужденных) колебательных процессов. Данное утверждение справедливо и для цепей с циркулирующим переменным током. В таких электрических цепях при наличии определённых условий возникает резонанс напряжений, что влияет на параметры тока. Явление резонанса в электротехнике может быть полезным или вредным, в зависимости от ситуации, в которой происходит процесс.
Описание явления
Если в некой электрической цепи (см. рис. 1) имеются ёмкостные и индуктивные элементы, которые обладают собственными резонансными частотами, то при совпадении этих частот амплитуда колебаний резко возрастёт. То есть происходит резкий всплеск напряжений на этих элементах. Это может вызвать разрушение элементов электрической цепи.
Давайте рассмотрим на этом примере, какие явления будут происходить при подключении генератора переменного тока к контактам схемы. Заметим, что катушки и конденсаторы обладают свойствами, которые можно сравнить с аналогом реактивного резистора. В частности, дроссель в электрической цепи создаёт индуктивное сопротивление. Конденсатор является причиной ёмкостного сопротивления.
Индуктивный элемент вызывает сдвиг фаз, характеризующийся отставанием тока от напряжения на ¼ периода. Под действием конденсатора ток, наоборот, на ¼ периода опережает напряжение.
Другими словами, действие индуктивности противоположно действию на сдвиг фаз ёмкостного сопротивления. То есть катушки индуктивности и ёмкостные элементы по-разному воздействуют на генератор и по-своему корректируют фазовые соотношения между электрическим током и напряжением.
Формула
Общее реактивное сопротивление рассматриваемых нами элементов равно сумме сопротивлений каждого из них. С учётом противоположности действий можно записать: Xобщ = XL — Xc , где XL = ωL — индуктивное реактивное сопротивление, выражение Xc = 1/ωC — это ёмкостное реактивное сопротивление.
На рисунке 2 изображены графики зависимости полного сопротивления цепи и связанной с ним силы тока, от реактивного сопротивления индуктивного элемента. Обратите внимание на то, как падает полное сопротивление при уменьшении реактивной сопротивляемости RL (график б) и как при этом возрастает ток (график в).
Электрические цепи, состоящие из последовательно соединённых конденсаторов, пассивный резисторов и катушек индуктивности называют последовательными резонансными (колебательными) контурами (см. рис. 2). Существуют также параллельные контуры, в которых R, L, C элементы подключены параллельно (рис. 3).
В режиме резонанса мощность источника питания будет рассеиваться только на активных сопротивлениях (в том числе на активном сопротивлении катушки). Для резонансных контуров характерны потери только активной мощности, которая израсходуется на поддержание колебательного процесса. Реактивная мощность на L C — элементах при этом не расходуется. Ток в резонансном режиме принимает максимальное значение:
Величину Q принято называть термином «Добротность контура». Данный параметр показывает, во сколько раз напряжение, возникшее на контактах реактивных элементов, превышает входное напряжение U электрической сети. Для описания соотношения выходного и входного напряжений часто применяют коэффициент K. При резонансе:
K = Uвых / Uвх = UC0 / U = Q
Формулировка
На основании вышеописанных явлений, сформулируем определение резонансного напряжения: «Если общее падение напряжения на ёмкостно-индуктивных элементах равно нулю, а амплитуда тока – максимальна, то такое особое состояние системы называется резонансом напряжений». Для лучшего понимания явления, немного перефразируем определение: резонансом напряжений является состояние, когда напряжение на CL — цепочке больше чем на входе электрической цепи.
Описанное явление довольно распространено в электротехнике. Иногда с ним борются, а иногда специально создают условия для образования резонанса. Основными характеристиками всякого резонансного контура являются параметры добротности и частоты [ 1 ].
В случае, если XL = Xc – справедливо равенство: ωL = 1/ωC , отсюда получаем:
Если ω = ω0 – возникает резонанс напряжений. Частоты совпадают в том случае, когда индуктивное сопротивление сравняется с ёмкостным сопротивлением конденсатора. В таких случаях в цепи будет действовать только активное сопротивление R. Наличие реактивных элементов в схеме приводит к увеличению полного сопротивления цепи (Z):
где R – общее активное сопротивление.
Учитывая, что по закону Ома U = I/Z, можно утверждать, что общее напряжение в цепи зависит, в том числе, и от слагаемых индуктивного и ёмкостного сопротивлений.
Если бы в рассматриваемой схеме (рис. 1) отсутствовало активное сопротивление R, то значение полного сопротивления Z стремилось бы к 0. Следовательно, напряжение на реактивных элементах при этом возрастает до критического уровня.
Поскольку XL и Xc зависят от частоты входного напряжения, то для возникновения резонанса следует подобрать соответствующую частоту сети, или изменять параметры катушки, либо конденсатора до тех пор, пока резонансные частоты не совпадут. Любое нарушение условий резонанса немедленно приводит к выходу системы из резонансного режима с последующим падением напряжения.
Условия наступления
Резонансные явления наступают только при наличии следующих условий:
- Наличие минимального активного сопротивления на участке электрической цепи.
- Равенство реактивных сопротивлений, возникших на цепочке LC.
- Совпадение входной частоты источника питания с резонансной частотой колебательного контура.
При резонансе в контуре напряжения на его элементах могут повышаться на порядок и больше.
Примеры применения на практике
Классическим примером применения резонанса колебательных контуров является настройка радиоприёмника на частоту соответствующей радиостанции. В качестве рабочего элемента настроечного узла используется конденсатор с регулируемой ёмкостью. Вращение ручки настройки изменяет ёмкость конденсатора, а значит и резонансную частоту контура.
В момент совпадения резонансной частоты с рабочей частотой какой-либо радиостанции возникает резонанс напряжений, в результате которого резко возрастает амплитуда колебаний принятой радиоприёмником частоты. Специальные фильтры отделяют эти колебания от несущих радиочастот, а усилители усиливают полученные сигналы. В динамике появляются звуки, генерируемые передатчиком радиостанции.
Колебательные контуры, построенные на принципе последовательного соединения LC-элементов, применяются в цепях питания высокоомных нагрузок, потребляющих токи повышенного напряжения. Такие же устройства применяют в полосовых фильтрах.
Последовательный резонанс применяют при пониженных напряжениях сети. В этом случае используют реактивную энергию обмоток трансформатора, соединённых последовательно.
Конденсаторы и различные катушки индуктивности (рис. 5) входят в конструкцию практически всех аналоговых устройств. Они используются для настройки фильтров или для управления токами в отдельных узлах.
Важно знать, что резонансные контуры не увеличивают количество электрической энергии в цепях. Они лишь могут повышать напряжения, иногда до опасных значений. Постоянный ток не причиной резонансных явлений.
Наряду с полезными свойствами резонансных явлений, в практической электротехнике часто возникают ситуации, когда резонанс напряжений приносит вред. В основном это связано с нежелательным повышением параметров тока на участках цепей. Примером могут служить опасное резонансные явления в кабельных линиях без нагрузки, что может привести к пробоям изоляции. Чтобы этого не случилось, на концевых участках таких линий устанавливают балластные нагрузочные элементы.
Режим
при котором в цепи, содержащей реактивные
элементы, ток и напряжение совпадают
по фазе, называется резонансным, т.е.
эквивалентное сопротивление цепи
является чисто активным.
2.10.3.1. Резонанс напряжений
Резонанс
напряжений возможен при (Рис.8)
последовательном соединении R,L,Cэлементов.
Условие
резонанса напряжений:
Угловая
резонансная частота
.
При
резонансе напряжений ток в контуре
.
Коэффициент
мощности
.
Напряжение
на емкости и на индуктивности одинаковы:
.
При
резонансе напряжений применяются
следующие соотношения и формулы:
характеристическое
сопротивление контура – сопротивление
каждого из реактивных элементов при
резонансе
;
-
добротность
контура
; -
затухание
контура
; -
абсолютная
расстройка
; -
относительная
расстройка
.
;
;
;
.2.10.3.2. Резонанс токов
Резонанс
токов возможен в цепи, содержащей
параллельно соединенные индуктивности
и емкости (Рис. 9)
Условие
резонанса токов:
Угловая
резонансная частота:
,
где
характеристическое сопротивление
;
добротность
контура
;
сопротивление
контура при резонансе токов
;
ток
неразветвленной части цепи при резонансе
;
полоса
пропускания определяется из условия,
что ток на частотах f1иf2,
соответствующих границы полосы
пропускания, уменьшается в
;
абсолютное
значение полосы пропускания:
;
относительное
значение полосы пропускания:
.
Пример
3.1
Электрическая
цепь состоит из последовательно
соединенных активного сопротивления
Ом,
катушки индуктивностью
мкГн
и конденсатора емкостью
пФ.
Определить
резонансную частоту
,
характеристическое сопротивление,
затухание и добротность контура. Чему
равны ток, расходуемая в цепи мощность,
напряжение на индуктивности и емкости,
если контур включен на напряжении 1 В?
Вычислить абсолютное значение полос
пропускания контура.
Решение:
Пример 3.2
На
зажимах цепи поддерживается постоянное
по действующему значению напряжение
В,
Ом,
Ом,
Ом.
Определить
,
при котором цепь будет находиться в
резонансе.
Решение:
Условие
резонанса напряжений
,
;
Ток
при резонансе
Пример
3.3
В схеме
без емкости приборы показывают
Вт,
А,
В,
Гц.
Определить
величину емкости, необходимую для
повышения коэффициента мощности (
)
до 1.
Решение:
Определим
параметры катушки по схеме без емкости
Ом;
при резонансе.
Условия
резонанса токов:
;
§2.11. Вопросы для самопроверки
1. Какой
ток называется переменным? Дайте
определение синусоидального тока.
2. Что
такое максимальное, действующее и
среднее значения синусоидальных величин
тока, напряжения, ЭДС. Запишите формулы,
связывающие действующие значения с
максимальными, средние значения с
максимальными?
3.
Назовите известные вам способы выражения
синусоидальных величин.
4. Дайте
определение векторной диаграмме.
5. Как
определяются знаки углов на векторной
диаграмме?
6. Дайте
определение индуктивности, емкости,
запишите выражения индуктивного,
емкостного сопротивления.
7. Чем
отличается реальная катушка индуктивности
от идеальной?
8.
Изобразите схему замещения реальной
катушки индуктивности и начертите для
нее векторную диаграмму.
9.
Начертите векторную диаграмму для цепи
с резистивным и емкостным элементом.
10.
Запишите закон Ома в комплексной форме
для резистивного, индуктивного и
емкостного элементов.
11. Как
определить угол сдвига фаз
по треугольнику напряжений, сопротивлений,
мощностей.
12. В
чем смысл символического метода расчета
цепей синусоидального тока?
13. В
каких электрических цепях и при каком
условии возникает резонанс напряжений?
14.
Запишите условие возникновения резонанса
токов.
Задачи
для самостоятельного решения:
Задачи
1.1. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Период
c,
амплитуда
A,начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой и амплитудой.
Записать
выражения
и
для случаев:
опережает ток
на угол
;
отстает от тока
на угол
;
находится в противофазе с током
;
совпадает по фазе с током
.
1.2. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Частота
Гц,
амплитуда
А,
начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой и амплитудой.
Записать
выражения
и
для случаев:
совпадает по фазе с током
;
отстает от тока
на угол
;
опережает ток
на угол
;
находится в противофазе с током
.
Построить
графики
.
1.3. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Период
мс,
амплитуда
A,
начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой, но амплитуда в два
раза больше.
Записать
выражения
и
для случаев:
опережает ток
а угол
;
отстает от тока
на угол
;
находится в противофазе с током
;
совпадает по фазе с током
.
Построить
графики
.
1.4. Ток
изменяется по синусоидальному закону.
Период
мс,
амплитудаIm1
= 2,8A,начальная фаза
.
Ток
изменяется по синусоидальному закону
с той же частотой и амплитудой.
Записать
выражения
и
для случаев:
опережает ток
на угол
;
отстает от тока
на угол
;
находится в противофазе с током
;
совпадает по фазе с током
.
Построить
графики
.
1.5.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.6.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.7.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.8.
Заданы мгновенные значения токов:
,
,
,
,
.
Записать
комплексные мгновенные, амплитудные и
действующие значения токов в алгебраической
и показательной формах.
Построить
векторы комплексных действующих значений
токов на комплексной плоскости.
1.9.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.10.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.11.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.12.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.13.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
1.14.
Заданы комплексные действующие значения
токов и напряжений:
,
,
,
.
Построить
векторы токов и напряжений на комплексной
плоскости.
Записать
мгновенные значения
и
.
Задачи
|
2.1. |
|
|
Построить |
В,
В.
|
2.2. |
|
|
Построить |
,
В,
В.
|
2.3. |
|
|
Построить |
В,
В,
В.
|
2.4.
|
|
|
Определить |
Ом,
мГн,
Ом,
.
,
,
,
.|
2.5.
|
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
мкФ,
В,
.
,
,
.|
2.6.
|
|
|
Определить |
мГн,
Ом,
мГн,
Ом,
В,
Гц.
,
,
,
.|
2.7.
|
|
|
Определить |
А,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
.|
2.8. |
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
В.
,
.|
2.9. |
|
|
Определить |
Ом,
мГн,
Ом,
мГн,
Ом,
В,
Гц.
,
и мощность, расходуемую в цепи. Построить|
2.10. |
|
|
Определить |
Ом,
МкФ,
Ом,
мкФ,
,
В.
.|
2.11.
|
|
|
Определить |
,
.
|
2.12. При
|
|
|
Определить |
и
.
|
2.13.
|
|
|
Вычислить, |
В,
Гц,
В,
В.
и
.|
2.14.
|
|
|
Определить Найти |
,
Ом,
Ом.
,
.|
2.15. При
а при
|
|
|
Вычислить |
Гц,
В,
А,
Гц,
В,
А.
,
.|
2.16.
При |
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
мГн,
Гц.
цепи.|
2.17. |
|
|
Определить |
|
|
2.18. |
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
В.
,
,
,
.
|
2.19. |
|
|
Найти |
,
,
Ом,
Ом.
методом эквивалентного генератора.|
2.20. |
|
|
Определить |
А,
А,
А.
|
2.21. |
|
|
Найти |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
В.
|
2.22.
|
|
|
Найти |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
В.
|
2.23.
|
|
|
Определить |
,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
и
.|
2.24.
|
|
|
Определить |
В,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом.
|
2.25.
|
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
Ом,
А.
и
.|
2.26.
|
|
|
Определить |
Ом,
Ом,
Ом,
В.
|
2.27. |
|
|
Определить |
,
Гн,
мкФ,
Ом.
3.1. При
резонансе:
В,
В,
В,
А,
Гц.
Определить
.
3.2.
Ом,
Ом,
Ом,
Гц.
При
каком значении L наступит резонанс
.
3.3. При
резонансе:
В,
В,
Ом,
Гц.
Определить
показания приборов, значения L и С.
3.4.
Ом,
Ом,
Ом.
Определить значение
при котором наступает резонанс токов.
3.5.
,
Ом.
Определить показания приборов.
3.6. При
резонансе:
Вт,
В,
Ом.
Определить
r и
.
3.7. При
резонансе:
В,
Гц,
Ом,
В.
Определить
показания
,
и добротность цепи.
3.8.
В,
мкФ,
мГн,
Дж.
Определить
ток при резонансе, добротность цепи и
сопротивление.
3.9.
мкГн,
,
Ом,
пФ.
Определить
добротность контура и резонансную
частоту
и
.
3.10.
Ом,
Ом.
При
каком значении
в цепи наступит резонанс.
3.11.
Определить r и L контура, если при
резонансной частоте
кГц
отношение напряжения на конденсаторе
к напряжению на входе равно 50. Емкость
конденсатора
мкФ.
3.12.
Гн,
Ом,
мкФ.
Определить
частоту
при которой в цепи наступит резонанс
токов.
3.13.
Ом,
мГн,
мкФ,
.
Определить
резонансную частоту, волновое сопротивление
и затухание контура, напряжения
и
.
3.14.
Ом,
В,
Ом.
Определить
сопротивление
и все токи при резонансе.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Резонанс напряжений и резонанс токов
В физике резонансом называется явление, при котором в колебательном контуре частота свободных колебаний совпадает с частотой вынужденных колебаний. В электричестве аналогом колебательного контура служит цепь, состоящая из сопротивления, ёмкости и индуктивности. В зависимости от того как они соединены различают резонанс напряжений и резонанс токов.
Резонанс напряжений
Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC-цепи.
Условием возникновения резонанса является равенство частоты источника питания резонансной частоте w=wр, а следовательно и индуктивного и емкостного сопротивлений xL=xC. Так как они противоположны по знаку, то в результате реактивное сопротивление будет равно нулю. Напряжения на катушке UL и на конденсаторе UC будет противоположны по фазе и компенсировать друг друга. Полное сопротивление цепи при этом будет равно активному сопротивлению R, что в свою очередь вызывает увеличение тока в цепи, а следовательно и напряжение на элементах.
При резонансе напряжения UC и UL могут быть намного больше, чем напряжение источника, что опасно для цепи.
С увеличением частоты сопротивление катушки увеличивается, а конденсатора уменьшается. В момент времени, когда частота источника будет равна резонансной, они будут равны, а полное сопротивление цепи Z будет наименьшим. Следовательно, ток в цепи будет максимальным.
Из условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений найдем резонансную частоту
Исходя из записанного уравнения, можно сделать вывод, что резонанса в колебательном контуре можно добиться изменением частоты тока источника (частота вынужденных колебаний) или изменением параметров катушки L и конденсатора C.
Следует знать, что в последовательной RLC-цепи, обмен энергией между катушкой и конденсатором осуществляется через источник питания.
Резонанс токов
Резонанс токов возникает в цепи с параллельно соединёнными катушкой резистором и конденсатором.
Условием возникновения резонанса токов является равенство частоты источника резонансной частоте w=wр, следовательно проводимости BL=BC. То есть при резонансе токов, ёмкостная и индуктивная проводимости равны.
Для наглядности графика, на время отвлечёмся от проводимости и перейдём к сопротивлению. При увеличении частоты полное сопротивление цепи растёт, а ток уменьшается. В момент, когда частота равна резонансной, сопротивление Z максимально, следовательно, ток в цепи принимает наименьшее значение и равен активной составляющей.
Выразим резонансную частоту
Как видно из выражения, резонансная частота определяется, как и в случае с резонансом напряжений.
Явление резонанса может носить как положительный, так и отрицательный характер. Например, любой радиоприемник имеет в своей основе колебательный контур, который с помощью изменения индуктивности или емкости настраивают на нужную радиоволну. С другой стороны, явление резонанса может привести к скачкам напряжения или тока в цепи, что в свою очередь приводит к аварии.
Что такое резонанс токов и как он возникает
Содержание
- 1 Суть процессов, происходящих при резонансе
- 2 Частотное условие для возникновения РТ
- 3 Расчёт месторасположения частотной точки при РТ
- 4 Как влияет напряжение
- 5 Изменения тока, протекающего в последовательном контуре
- 6 Видео по теме
Следует отметить, что такое явление, как резонанс токов наблюдается только в электрических цепях, которые работают с переменным током. В ней обязательно должны присутствовать элементы индуктивности и ёмкости. В сильноточных электрических контурах режим резонанса распространения не получил, но он активно реализуется в системах современной звукозаписывающей и звуковоспроизводящей техники, поскольку позволяет значительно улучшить частотные характеристики выходного аудиосигнала, не увеличивая мощность исходных компонентов.
Суть процессов, происходящих при резонансе
Резонанс токов и напряжений — процесс, в результате которого происходит усиление амплитуды сигнала. При этом резонанс токов (РТ) является более действенный способом управления, поскольку даже при незначительном росте данного параметра электроцепи амплитуда сигнала существенно увеличивается. Резонанс напряжений подобного эффекта вызвать не может, даже после заметного усложнения схемы устройства.
Резонанс токов возникает в электрической цепи переменного тока, для которой частота электропитания обеспечивает одинаковое значение напряжения на основных элементах схемы — катушке индуктивности L, конденсаторе C и резисторе R. При этом фазы напряжений противоположны. Показатели частотности контура варьируются вследствие изменения абсолютных значений частоты. Таким образом, резонансом тока пользуются, если возникает необходимость создания определённой частотной характеристики конкретного участка цепи.
Условия возникновения резонанса электротоков могут быть реализованы лишь при параллельном соединении катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Основные признаки резонанса — это равенство резонансной частоты и частоты источника электротока или индуктивной и емкостной проводимости BL=BC.
Изучая, что такое резонанс токов, следует понимать, что общий ток в электроцепи представляет собой сумму токов в ее разветвлениях. В индуктивной ветви электроток отстает от электронапряжения на ¼ периода, а в емкостной ветви, наоборот, электроток опережает электронапряжение на ¼ периода. Следовательно, электротоки в ветвях сдвинуты по фазе относительно друг друга на ½ периода, то есть пребывают в противофазе. Вектор общего электротока в колебательном контуре равен геометрической сумме векторов элетротоков в каждой из ветвей.
Следовательно, значение модуля электротока определяется так:
Частотное условие для возникновения РТ
В цепи синусоидального тока, которая содержит R, L и C компоненты, можно получить режим, когда показатель индуктивного сопротивления оказывается идентичным по своему значению показателю емкостного сопротивления. Другими словами, XL=XC . Место, где это происходит, называется точкой формирования резонансной частоты (ƒr) электроцепи. Наличие такой точки — это непременное условие резонанса токов.
Резонанс может быть двух видов:
- последовательный;
- параллельный.
Последовательный тип резонанса отличается минимальным сопротивлением при нулевой фазе. Параллельный резонанс появляется при равных по величине сопротивлениях на индуктивности и емкости, но компенсирующих друг друга, поскольку являются противоположно направленными. Параллельный тип более распространён и часто встречается в различных электрических, радиотехнических и электронных устройствах, например, в:
- фильтрующих узлах систем переменного электротока;
- фильтрах, предназначенных для целей шумоподавления;
- настроечных системах радиотелевизионных передающих центров.
Параллельный колебательный контур называют также RLC-контуром. Это связано с аббревиатурой физических величин, свойственных элементам, составляющих данный контур — сопротивления, индуктивности и емкости. Он характеризуется следующими особенностями.
При росте показателей индуктивности или частотных характеристик сигнала суммарное значение индуктивного сопротивления увеличивается. В том случае, когда показатель частоты стремится к бесконечности, реактивное сопротивление индукторов резко возрастает, а участок схемы, где это происходит, ведёт себя как разомкнутая цепь. Однако в противоположном случае может возникнуть обратный эффект, проявляющийся в форме короткого замыкания при нулевом сопротивлении. Это происходит, если катушка индуктивности имеет сопротивление:
- Пропорциональное изменению частотной характеристики.
- Слабо реагирующее на изменения в области низких частот.
- Сильно реагирующее на изменения в области высоких частот.
В таких случаях значение индуктивного (реактивного) сопротивления катушки увеличивается прямо пропорционально росту частотной характеристики. Подобный же эффект наблюдается и на конденсаторе, но в обратной последовательности. Если требуется изменить (увеличить) параметры контура, тогда уменьшают значение емкостного сопротивления.
Если частота электроцепи приближается к бесконечности, то сопротивление на конденсаторах практически принимает нулевое значение. В результате данные компоненты устройства превращаются в стопроцентные проводники переменного тока с сопротивлением равным нулю. Однако при этом происходит мгновенный рост реактивной составляющей сопротивления, и контур становится разомкнутым.
Суммируя, можно придти к заключению, что реактивное сопротивление конденсатора изменяется обратно изменению частоты, причём номинальная ёмкость компонента значения не имеет.
Зависимость значений сопротивления конденсатора от частоты электроцепи представляет собой гиперболическую функцию. При низких значениях частот реактивное сопротивление конденсатора велико, но в случае роста частотной характеристики оно стремительно снижается. Отсюда можно сделать вывод, что значение сопротивления конденсатора зависит от частоты обратно пропорционально.
На выше приведенных графиках видно, что при более высокой частоте наблюдается максимум XL, а при низкой — максимум XC. Следовательно, резонанс появляется при условии, что изменения двух противоположных, но равных по своему значению реактивных сопротивлений, накладываясь друг на друга, нивелируют возникающие особенности прохождения переменного тока слабой мощности, т. е. наблюдается условие XL=XC.
Расчёт месторасположения частотной точки при РТ
Последовательность вычислений приведена ниже:
В случае появления РТ происходит математическое уравновешивание значений реактивных сопротивлений, т. е. справедливым является равенство XL–X C=0. Комбинируя индуктивное и емкостное сопротивление, в цепи можно вызвать короткое замыкание (из-за малой мощности тока разрушения контура обычно не происходит). Сдерживающим фактором считается наличие ненулевого общего сопротивления R электрической цепи, которое называют импедансом.
Для контуров переменного электрического тока сопротивление рассматривают в комплексной форме. В этом случае полное сопротивление цепи, которая содержит активное сопротивление, емкость и индуктивность, представляет собой действительную, а не мнимую часть. Приняв это допущение, импеданс электрической цепи в случае резонансной частоты равен величине активного сопротивления: Z=R.
При РТ импеданс минимален, поэтому понятие полного сопротивления цепи иногда называют динамическим. С преобладанием высоких частот импеданс зависит преимущественно от XC, а при низких — от XL.
Важно, что в ситуации, когда контур содержит компоненты, имеющие емкостное сопротивление, кривая зависимости полного сопротивления от частоты переменного тока всегда отображается в форме гиперболы. Функция может быть несимметричной относительно fr, если влияние индуктивности велико.
В том случае, когда полное сопротивление цепи имеет минимальное значение (а это часто отмечается именно при резонансе токов), проводимость участка приобретает своё наибольшее значение. На практике возникновение подобных ситуаций может привести к опасному явлению, когда РТ многократно увеличивает ток. Устройство при этом, скорее всего, выйдет из строя.
Как влияет напряжение
В последовательном контуре цепи переменного тока напряжение определяется в результате векторного суммирования значений VR, VL и VC. При этом сумма каждых двух из определяемых значений напряжения представляется с поворотом осей на 90 градусов, причём по и против часовой стрелки. Если справедливо равенство VL=–VC, то конечные значения реактивных напряжений снимаются, поэтому напряжение от источника питания поступает исключительно на активное сопротивление. Другие изменения, когда короткое замыкание присутствует (справа) и отсутствует (слева), ясны из рисунка, приведенного ниже.
Ток, который проходит в работающем последовательном контуре, определяется как сумма произведений напряжения, отнесённого к значениям импеданса. В случае резонанса токов значение импеданса минимально. Поэтому РТ в отличие от резонанса электронапряжений является безопасным для электроустановок. Электротоки большой величины возможны в ветвях лишь при наличии больших реактивных проводимостей, то есть, в случае использования больших батарей конденсаторов, мощных реактивных катушек. Ничего необычного в этом нет, поскольку электротоки в ветвях взаимно независимы, их определение основывается на законе Ома.
Изменения тока, протекающего в последовательном контуре
Амплитуда силы тока при резонансе в последовательном контуре является максимальной.
Рассматривая частотную характеристику последовательного резонансного контура, становится ясно, что фактическая величина тока в условиях РТ функционально зависит от ƒr. Вначале ток минимален, при IMAX =IR достигает наибольшего значения, а далее, когда значение ƒr стремится к своему максимальному показателю, вновь уменьшается.
Как следствие, фактическое значение напряжения на обмотках катушки индуктивности L и на пластинах конденсатора C может быть во много раз выше, чем напряжение, которое вырабатывается источником питания. Но при резонансе эти напряжения равны и направлены противоположно друг другу. Поэтому происходит суперпозиция напряжений, что обуславливает возможность практического применения резонанса токов в радиоэлектронных устройствах. Вместе с тем надо помнить, что последовательный резонансный контур действителен лишь для определённых значений ƒr.
Значение наибольшего напряжения в последовательной цепи переменного тока обязательно должно согласовываться с током по фазе. Фазовый угол между напряжением зависит от частоты, если напряжение питания неизменно, а для точки ƒr вообще равен нулю. Соответственно, мощность устройства будет наибольшей.
Определить направление фазового угла можно по текущему значению частоты: если ƒ>ƒr, то фазовый угол следует отсчитывать против часовой стрелки, в противном случае (ƒ<ƒr) — по часовой стрелке.
Когда RLC-цепь управляется от источника с постоянным напряжением, то фактическое значение тока линейно зависит только от полного сопротивления цепи. Таким образом, важным следствием резонанса токов является наибольшее значение мощности, которая требуется для работы устройства. При этом образуются две точки, которые называются точками половинной мощности. Для устройств, занимающихся формированием и обработкой аудиосигналов, эти точки располагаются в зонах, отстоящих на 3 дБ от наибольших частотных границ. При этом в качестве оси симметрии принимают линию, соответствующую 0 дБ.
Для половинной мощности параметр ƒL носит название нижней границы, а ƒН — верхней. Диапазон между этими точками представляет так называемую полосу пропускания (BW). Практически полоса пропускания — это интервал, где реализуется не менее 50% от наибольшей мощности устройства.
Видео по теме
Содержание:
Резонанс в электрических цепях:
Явление резонанса можно наблюдать в любых колебательных системах, в том числе механических и электрических. Электрический резонанс возникает при определенных условиях в электрических цепях переменного тока, содержащих индуктивности и емкости.
Изучение электрического резонанса
Изучение электрического резонанса необходимо, так как это явление широко используется в технике электросвязи, а в установках сильного тока, где его возникновение специально не предусматривается, резонанс может оказаться опасным (могут возникнуть перенапряжения и пробой изоляции).
Колебательный контур
Для того чтобы понять резонансные явления, переходные процессы в электрических цепях переменного тока, которые рассматриваются далее, важно иметь представление о процессах в колебательном контуре, состоящем из идеальных катушки и конденсатора, т. е. в контуре без потерь.
Колебательный процесс в таком контуре заключается во взаимном преобразовании электрического и магнитного полей. При этом изменяется энергия полей, поэтому колебательный процесс в контуре с количественной стороны будем, как и раньше, характеризовать изменением энергии.
Ток и напряжение в колебательном контуре
Предположим, что конденсатор с емкостью С получил от источника запас энергии 
В первую часть периода (0 — T/4) конденсатор разряжается и в цепи существует ток. В это время в обособленной цепи конденсатор играет роль источника энергии (рис. 17.1, б). В начальный момент ток равен нулю, далее он увеличивается. Увеличение тока в цепи вызывает возникновение э. д. с. самоиндукции eL и накопление энергии в магнитном поле катушки. Э. д. с. самоиндукции уравновешивает напряжение на конденсаторе: 
Напряжение на конденсаторе в процессе разрядки уменьшается, поэтому вызываемый в цепи ток растет все медленнее, соответственно с этим уменьшается и э. д. с. самоиндукции, которая пропорциональна скорости изменения тока. Таким образом, к концу разрядки конденсатора (
) энергия электрического поля перешла в энергию магнитного ноля и накопилась в количестве 
Рис. 17.1. К анализу колебательного контура
С этого момента ток начинает уменьшаться (но не прекращается), сохраняя свое направление. В следующую часть периода (от T/4 до T/2) направление тока сохраняется, потому что э. д. с. самоиндукции при уменьшении тока меняет свой знак, и роль источника энергии переходит к катушке. Уменьшающийся ток теперь является зарядным током конденсатора, заряжающегося в обратном направлении (рис. 17.1, в). Напряжение на конденсаторе увеличивается, уравновешивая теперь э. д. с. самоиндукции: 
При увеличении напряжения на конденсаторе его зарядный ток уменьшается все быстрее, в результате чего э. д. с. eL увеличивается. Таким образом, к концу зарядки конденсатора напряжение на его обкладках достигает наибольшего значения, э. д. с. самоиндукции тоже максимальна, а ток становится равным нулю. Энергия магнитного поля снова перешла в энергию электрического поля . С этого момента рост э. д. с. самоиндукции прекращается и начинается ее уменьшение. Роль источника энергии снова переходит к конденсатору. Начинается третья часть периода (от Т/2 до 3T/4). В рассматриваемом процессе конденсатор второй раз становится источником энергии. Но по сравнению с первым он имеет обратную полярность, поэтому его разрядный ток изменяет направление и далее увеличивается. Снова энергия убывает в электрическом поле и накапливается в магнитном поле (рис. 17.1, г).
В момент времени t = 3T/4 напряжение на конденсаторе и э. д. с. самоиндукции становятся равными нулю, а ток — наибольшим. В последнем отрезке времени (от 3T/4 до Т) процесс протекает в том же порядке, что и во втором, но при обратном направлении тока (рис. 17.1, д).
В момент времени t = Т конденсатор заряжен в том же направлении и тем же количеством энергии, как и при t = 0. Ток переходит через нуль к положительным значениям и далее увеличивается. Процесс повторяется в порядке, рассмотренном ранее.
Характеристики колебательного контура
Энергетический процесс в колебательном контуре имеет периодический характер с периодом Т. Колебания в электрической цепи, не связанной с источником энергии, называют собственными или свободными.
Этот процесс рассмотрен по графикам изменения тока i, напряжения uC и э.д.с. eL, которые приняты синусоидальными функциями времени.
Для такого предположения имеется полное основание, так как эти величины взаимно связаны соотношением
Вместе с тем ток в контуре пропорционален скорости изменения заряда конденсатора, причем он увеличивается, когда конденсатор разряжается. Следовательно,
Такая взаимная связь переменных величин говорит о синусоидальном законе изменения тока и напряжения, но при наличии сдвига фаз между ними на 90°, т. е. при
Это можно проверить:
Величину ω0 в уравнениях тока и напряжения называют угловой частотой собственных колебаний в контуре. Найдем ее, используя равенство наибольшего количества энергии в конденсаторе и катушке:
и связь между амплитудами тока и напряжения:
Сокращая, получим
Частота собственных колебаний
Период собственных колебаний
Из равенства (17.1) вытекает еще одно важное соотношение
Величина, стоящая в знаменателе, имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением контура:
Колебательный контур с потерями энергии
Незатухающие колебания в контуре получаются в предположении, что потери энергии отсутствуют, т. е. R = 0.
Если активное сопротивление контура не равно нулю, то запас энергии в контуре сокращается (энергия превращается в тепло), амплитуды тока и напряжения с каждым периодом убывают, как показано на рис. 17.2.
Более детальное исследование колебательного контура показывает, что частота собственных колебаний зависит от активного сопротивления:
При R = 0 это выражение совпадает с (17.2).
При 
колебания в контуре не возникают, в чем нетрудно убедиться, подставив значение R в формулу (17.7). В этом случае процесс в контуре после подключения конденсатора к катушке является апериодическим, напряжение на конденсаторе с максимальной величины постепенно падает до нуля, а ток сначала растет, а потом тоже падает до нуля, не меняя знака (рис. 17.3).
Рис. 17.2. График изменения тока в колебательном контуре с потерями
Рис. 17.3. Апериодический разряд конденсатора на катушку индуктивности
Резонанс напряжений
При рассмотрении различных режимов электрических цепей был отмечен случай равенства реактивных сопротивлений ХL = ХC при последовательном соединении элементов, содержащих индуктивность и емкость.
В этом случае электрическая цепь находится в режиме резонанса напряжений, который характеризуется тем, что реактивная мощность цепи равна нулю, ток и напряжение совпадают по фазе.
Условие возникновения резонанса
Резонанс напряжений возникает при определенной для данной цепи частоте источника энергии (частоте вынужденных колебании), которую называет резонансной частотой ωр.
При резонансной частоте, как будет показано далее, 
.
Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и емкостью, характеризующийся равенством индуктивного и емкостного сопротивлений, называют резонансом напряжений.
Резонанс напряжений рассмотрим, сначала на схеме идеализированной цепи (рис. 17.4, а), в которой последовательно с резистором R включены идеальные (без потерь) катушка L и конденсатор С.
Рис. 17.4. К вопросу о резонансе напряжений
Реактивные сопротивления ХL и ХC (рис. 17.4, б) зависят от частоты вынужденных колебаний ω:
Приравнивая реактивные сопротивления и учитывая, что ω = ωр, получим
.
Отсюда резонансная частота
В данном случае выражение для резонансной частоты совпадает с формулой (17.3) для частоты собственных колебаний в контуре без потерь.
Основные соотношения между величинами, характеризующими режим электрической цепи и энергетические процессы. Нужно отметить, что в неразветвленной цепи обмен энергией между катушкой и конденсатором совершается через источник энергии, который восполняет потери энергии в активных сопротивлениях.
Резонансные кривые
Резонанс напряжений в цепи можно установить двумя путями: 1) изменением параметров L и С (одного из них или обоих вместе) при постоянной частоте источника или 2) изменением частоты источника энергии при постоянных L и С.
В связи с этим большой практический интерес представляют зависимости напряжений и токов на отдельных элементах цепи от частоты. Эти зависимости называют резонансными кривыми (рис. 17.4, в).
Реактивные сопротивления с изменением частоты меняются, как показано на рис. 17.4, б. При увеличении частоты ХL увеличивается пропорционально частоте, а ХC уменьшается по закону обратной пропорциональности.
Соответственно полное сопротивление Z цепи при резонансной частоте ωр оказывается наименьшим, равным активному сопротивлению R; при частоте 
полное сопротивление увеличивается с уменьшением частоты за счет роста ХC; при частотах 
полное сопротивление растет с увеличением частоты за счет роста ХL .
Такая зависимость полного сопротивления от частоты определяет характер изменения тока при постоянном напряжении в цепи (рис. 17.4, в). При 
ток равен нулю, далее с увеличением частоты ток увеличивается и при 
достигает максимума Iр. Дальнейшее увеличение частоты ведет к постепенному уменьшению тока до нуля при 
Аналогично изменяется напряжение на активном сопротивлении UR, которое пропорционально току: 
.
Напряжение на конденсаторе UC при равно напряжению на зажимах источника U, так как сопротивление конденсатора 
что соответствует разрыву цепи на его зажимах. С ростом частоты UC увеличивается, достигая наибольшей величины при частоте, несколько меньшей резонансной, и далее уменьшается до нуля при
Индуктивное напряжение 
при частоте 
так как сопротивление 
Увеличение частоты ведет к увеличению UL, которое при частоте, несколько большей резонансной, достигает максимума, а затем уменьшается до величины напряжения источника при когда сопротивление 
что соответствует разрыву цепи на зажимах катушки.
При частотах, меньших резонансной, реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (отрицательно), поэтому и угол сдвига фаз в цепи отрицательный. Уменьшаясь с ростом частоты, он становится равным нулю при резонансе 
, а затем меняет знак и увеличивается при дальнейшем увеличении частоты.
Добротность контура
При резонансе напряжений отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному к цепи (напряжению источника), равно отношению волнового сопротивления к активному. Действительно, при резонансе сопротивления реактивных элементов
Поэтому
Из этого выражения следует, что при 
напряжение на реактивных элементах больше напряжения источника.
Такое превышение может оказаться значительным, если реактивные сопротивления много больше активного, и изоляция катушки или конденсатора может быть пробита. На практике подобный случай возможен, если на конце кабельной линии включается приемник, обладающий индуктивностью.
В радиотехнике качество резонансного контура считается тем выше, чем больше отношение 
называемое добротностью контура Q:
Чем меньше мощность потерь энергии в контуре (этому соответствует меньшая величина R), тем больше добротность контура.
Большей величине добротности соответствует больший ток Iр при резонансе и более острая резонансная кривая.
На рис. 17.5 показаны две резонансные кривые тока, построенные в относительных единицах при двух величинах добротности. По горизонтальной оси отложены отношения изменяющейся частоты источника энергии к резонансной частоте ω/ωр, а по вертикальной —отношения тока при данной частоте к току при резонансной частоте I/Iр.
Рис. 17.5. Резонансные кривые при двух значениях добротности контура
Все рассуждения о резонансе напряжений в идеализированной цепи можно распространить и на цепи, содержащие последовательно соединенные катушку и конденсатор с потерями. Как известно, реальные катушки и конденсатор могут быть представлены схемами последовательного соединения активного и реактивного сопротивлений (рис. 17.5). Активные сопротивления катушки и конденсатора можно рассматривать как часть общего активного сопротивления цепи R, тогда схема на рис. 17.4, а будет пригодна и в этом случае.
Резонанс в электрических цепях
Резонансные (колебательные) цепи:
Резонансными или колебательными цепями называются электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжений или токов.
Резонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю реактивная мощность на выводах цепи.
Резонанс напряжения наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Неразветвленная цепь, состоящая из последовательно соединенных элементов r, L и С, рассмотренная, представляет собой один из простейших случаев такой цепи. В радиотехнике ее называют последовательным колебательным контуром.
При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой ее части, последовательно соединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.
В свою очередь резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Один из простейших примеров такой цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С. В радиотехнике такую цепь называют параллельным колебательным контуром.
При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной с первой. В результате реактивная проводимость и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.
Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.
Исследование резонансных режимов в электрических цепях заключается в нахождении резонансных частот,
зависимостей различных величин от частоты
или параметров L и С, а также в рассмотрении энергетических соотношений при резонансе.
Резонансные цепи очень широко применяются в электротехнике и представляют собой неотъемлемую часть всякого радиотехнического устройства. Изучению явления резонанса, свойств и частотных характеристик простейших резонансных цепей посвящена данная глава.
Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений
Резонансная цепь с последовательным соединением r, L и С (рис. 5-1) является простейшей цепью для изучения явления резонанса напряжений и подробно рассматривается ниже. Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:
Резонанс напряжений наступает при частоте 
когда
отсюда
Мгновенные энергии выражаются формулами:
Если принять
Поэтому
и
Такие зависимости называются частотными характеристиками
Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как
Это следует и из того, что реактивное сопротивление цепи, содержащей индуктивность и емкость, при любой схеме соединений пропорционально разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:
Поэтому условию резонанса (х = 0) соответствует равенство
Мгновенные значения 
колеблются с удвоенной частотой около среднего значения 
причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:
.
В рассматриваемом случае (резонанс напряжений, рис. 5-1) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении r.
Мы уже встречались с понятием добротности индуктивной катушки 
и конденсатора 
. Умножив и разделив выражение для
получим:
Здесь 
— максимум энергии, периодически запасаемой индуктивностью L; Р — активная мощность, расходуемая в сопротивлении при амплитуде тока 
Аналогично рассуждая, т. е. умножив и разделив выражение 
получим:
где 
— максимум энергии, периодически запасаемой емкостью С, а Р— активная мощность потерь в параллельном сопротивлении r при амплитуде напряжения на емкости 
Следовательно, в обоих случаях добротность определяется в, зависимости от отношения максимума энергии реактивного элемента к энергии РТ, выделяемой в виде тепла за период.
В случае резонансной цепи также пользуются понятием добротности цепи, подразумевая под этим в общем случае величину
здесь 
— резонансная частота; 
— сумма максимальных значений энергии, периодически запасаемой при резонансе в индуктивных (или емкостных) элементах; Р — активная мощность на выводах цепи при резонансе.
Знак 
в (5-3) относится к случаю, когда число индуктивных (или емкостных) элементов превышает единицу. В рассматриваемом нами случае резонанса напряжений в цепи рис. 5-1 знак 
опускается.
Для схемы рис. 5-1 на основании (5-3) получаем:
где
называется характеристическим (а также волновым) сопротивлением резонансного контура.
Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной
частоте контура величину
Сопротивление контура согласно (5-1) и с учетом (5-2) и (5-4)
откуда, используя
получаем:
Следовательно, полное сопротивление цепи
и угол
Ток в цепи
При частоте, близкой к резонансной,
значительно меньше единицы, и поэтому приближенно
Выражения (5-7) практически достаточно точны при 
. При 
погрешность в сопротивлении z меньше 10%.
На рис. 5-2 кривые даны в относительных значениях: по оси абсцисс отложена относительная расстройка частоты 
по оси ординат — отношение полного сопротивления z к активному сопротивлению r (рис. 5-2, а) и угол 
(рис. 5-2, б).
Следует обратить внимание на то, что частотам выше резонансной
соответствуют положительные значения расстройки
а частотам ниже резонансной 
— отрицательные значения 
нулевой частоте
соответствует 
при резонансной частоте 
Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений при этом ток в цепи достигает своего максимального значения 
На рис. 5-3 изображены резонансные кривые тока в относительных значениях: по оси абсцисс, как и на предыдущих графиках, отложены значения 
по оси ординат — отношения токов к максимальному току при резонансе:
Чем выше добротность цепи Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величина Q характеризует остроту резонансной кривой («остроту настройки»); согласно (5-3) чем больше отношение максимума энергии поля реактивного элемента к количеству теплоты, рассеиваемой за один период в резонансном контуре, тем острее резонансная кривая.
Резонансные кривые были построены здесь в зависимости от относительной расстройки частоты 
Можно
вывести расчетные выражения и построить резонансные кривые в зависимости от 
или относительной частоты 
Следует заметить, что максимумы резонансных кривых на рис: 5-3 равны, так как по оси ординат отложено отношение 
Если откладывать ток I, то при разных r максимумы резонансных кривых, естественно, не совпадут в одной точке.
Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается до
максимального (резонансного) значения 
принято называть полосой пропускания резонансного контура. При токе
мощность, расходуемая в сопротивлении r, равна:
т. е. составляет половину мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. На границах полосы пропускания резонансного контура активное и реактивное сопротивления равны 
Это следует из условия
что дает 
Соответственно и фазовый сдвиг между напряжением на выводах цепи и током составляет 
на нижней границе комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер (ток опережает напряжение) и 
= —45°; на верхней границе комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (ток отстает от напряжения) и 
= 45°.
На основании (5-8) условие для границы полосы пропускания записывается в следующем виде:
или
откуда
(знак минус перед корнем, получающийся в результате решения квадратного уравнения, опускается, как не имеющий смысла). Индексы 1 и 2 и соответственно знаки минус и плюс в выражении (5-9) относятся к границам ниже и выше резонанса.
По определению полоса пропускания резонансного контура находится из условия
или
Величина d, обратная добротности контура, называется затуханием контура.
При достаточно высокой добротности резонансного контура 
подкоренное выражение (5-9) может быть приравнено единице, откуда 
т.е. пропуская практически симметрична относительно резонансной частоты.
В радиотехнических устройствах к одному из реактивных элементов колебательного контура, например емкости, подключается нагрузка в виде сопротивления 
Вследствие этого возрастают потери в цепи и соответственно уменьшается добротность. Для определения добротности нагруженного контура параллельное соединение 
и С может быть заменено эквивалентным при резонансной частоте последовательным соединением емкости и «вносимого сопротивления»
С этой целью используются условия эквивалентности цепей с последовательным и параллельным соединениями.
Так как обычно 
С учета того,что
получаем: 
При этом, как отмечалось в конце емкости эквивалентных схем могут быть практически приравнены друг другу.
Таким образом, добротность нагруженного контура равна:
а затухание увеличивается на вносимое затухание 
Если вносимое сопротивление
значительно превышает сопротивление к, то
Внутреннее сопротивление источника э. д. с. 
добавляемое к сопротивлению r, влияет на добротность и полосу пропускания колебательного контура: чем больше 
тем ниже добротность и шире полоса пропускания
контура. Поэтому с точки зрения сокращения полосы пропускания последовательного колебательного контура выгоден источник напряжения с малым внутренним сопротивлением.
В условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и емкости могут быть весьма велики, что необходимо учитывать во избежание повреждения изоляции.
На рис. 5-4 показана векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе. Напряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выражения
При Q > 1 эти напряжения превышают напряжение U — Е, приложенное к резонансному контуру. Однако значения, получаемые на основании (5-11), не являются максимальными: максимум напряжения 
располагается
несколько выше (правее), а максимум Uc — ниже (левее) резонансной частоты (рис. 5-5).
Напряжение на индуктивности 
равное нулю при 
= 0, с увеличением 
может возрастать только до тех пор, пока ток не начнет снижаться быстрее, чем возрастает 
. После этого
спадает, стремясь, в пределе к Е. Напряжение на емкости 
равное при 
= О приложенному напряжению U = Е, увеличивается, пока ток растет быстрее, чем 
; затем 
спадает, стремясь в пределе к нулю. Кривые 
пересекаются при резонансе, причем ордината точки пересечения в соответствии с (5-11) равна QE.
Эго также вытекает из анализа следующих ниже выражений, полученных с учетом (5-5) и (5-6):
и
Напряжение 
достигает максимума при
а напряжение 
Пренебрегая 
по сравнению с единицей, получаем приближенную формулу
Возвращаясь к определению понятия добротности рассматриваемой резонансной цепи, мы видим, что наряду с формулами (5-3) и (5-4) добротность цепи характеризуется выражениями (5-10) и (5-11), а именно:
Последняя формула показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность перенапряжения на L и С при резонансной частоте.
Выше была рассмотрена неразветвленная электрическая цепь с последовательно соединенными r, L н С. Для исследования явления резонанса в более сложных разветвленных цепях, где резонанс напряжений может возникать на одной или нескольких частотах, наряду с аналитическим методом расчета, иллюстрированным выше, целесообразно также пользоваться методом геометрических мест.
Следует отметить, что при 
максимум функции 
наступает при 
т. е. в этом случае 
с ростом частоты непрерывно стремится к значению приложенного напряжения U — Е; максимум же функции 
в рассматриваемом случае имеет место при
= —1, т. е. при нулевой частоте 
когда 
Параллельный колебательный контур и резонанс токов
Явление резонанса токов удобно изучать применительно к электрической цепи с параллельно соединенными r, L и С (рис. 5-6), так как при этом можно непосредственно воспользоваться результатами, полученными в предыдущем параграфе.
Действительно, выражение для комплексной проводимости такой цепи
по своей структуре аналогично выражению (5-1), причем резонансная частота определяется согласно (5-2).
Добротность резонансной цепи на основании (5-3)
По аналогии с предыдущим выражение (5-13) приводится к виду:
Сравнивая полученный результат с (5-6), убеждаемся в том, что выражение Y/g для схемы рис. 5-6 имеет тот же вид, что и выражение 
для схемы рис. 5-1.
Поэтому кривые рис. 5-2 применимы и в данном случае: кривые рис. 5-2, а выражают зависимость от 6 Отношения y/g, а кривые рис. 5-2, б — зависимость угла —
Кривые рис. 5-2, а показывают, что при резонансе токов полная проводимость цепи минимальна, т. е. входное сопротивление достигает максимума.
При заданном напряжении 
на выводах цепи ток, идущий от источника в цепь, равен:
Этот ток достигает минимума при резонансной частоте, так как при этом
Следовательно, отношение. токов 
определяется из выражения
правая часть которого полностью совпадает с (5-8).
В связи с этим резонансные кривые рис. 5-3 выражают применительно к схеме рис. 5-6 зависимость
В случае резонанса токов токи в индуктивном и емкостном элементах схемы рис. 5-6 равны и противоположны по знаку:
Полученное выражение показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность токов в L и С по отношению к суммарному току 
При Q > 1 эти токи превышают 
Если параллельный колебательный контур питается от источника тока с внутренним сопротивлением
то чем меньше сопротивление 
присоединяемое параллельно сопротивлению r, тем ниже добротность и шире полоса пропускания контура. Поэтому в отличие от последовательного колебательного контура с точки зрения сокращения. полосы пропускания параллельного колебательного контура выгоден источник тока с большим внутренним сопротивлением.
Для схемы рис. 5-6 при резонансе токов остается в силе вывод, сделанный в предыдущем параграфе о непрерывном обмене энергией между индуктивным и емкостным элементами при резонансе напряжений.
Схема рис. 5-6 является идеализированной, так как она не учитывает активных потерь в ветвях L и С. Поэтому рассмотрим другие схемы,’приняв во внимание активные сопротивления в ветвях L и С (рис. 5-7, а и б).
Условие резонанса токов для схемы рис. 5-7, а записывается в виде равенства реактивных проводимостей:
Откуда
Явление резонанса возможно при этом только в случае, если подкоренное выражение (5-15) имеет положительный
знак или, что то же, величины
имеют одинаковый знак Если 
то цепь резонинует на любой частоте.
.
На рис. 5-8 показана векторная диаграмма при резонансе токов в цепи рис. 5-7, а. Токи в индуктивной и емкостной ветвях слагаются из активных 
и реактивных 
составляющих, причем
Чем меньше 
по сравнению с
и тем ближе
к 
угол фазового сдвига между 
при этом токи в ветвях образуют как бы один контурный ток 
замыкающийся в колебательном контуре
При резонансе вся цепь имеет только активную проводимость
откуда с учетом (5-14)
Для колебательного контура с малыми потерями можно пренебречь слагаемым 
по сравнению с 
и считать,
что 
При этом проводимость колебательного контура приближенно выразится формулой, широко распространенной в практике радиотехнических расчетов:
При 
(5-15)
Кроме того, если
при любой
частоте (резонанс в такой цепи называют «безразличным» резонансом).
Легко убедиться в том, что и в. случае резонансной цепи с двумя параллельными ветвями (см. рис. 5-7) соблюдается условие 
Для этого достаточно
умножить обе части уравнения (5-14) на 
Выше отмечалось, что в схеме с параллельно соединенными r, L и С (см. рис. 5-6) полная проводимость всей цепи имеет минимум при резонансной частоте.
Для схемы рис. 5-7, б нетрудно показать, что при изменении частоты о) или индуктивности L минимум полной проводимости цепи, а также минимум общего тока наступают не при резонансной частоте. В том же случае, когда переменным параметром является емкость С, проводимость и общий ток достигают минимума при резонансе токов.
Добротность параллельного колебательного контура рис. на основании (5-3) равна:
но
откуда
где резонансная частота
определяется по формуле (5-15).
Часто в ветви с емкостью сопротивлением 
можно пренебречь. Тогда формулы значительно упрощаются.
Рассмотрим этот случай (см. рис. 5-7, б).
Резонанасная частота такого контура согласно (5-15)
а добротность цепи в соответствии с полученным выше выражением
Из сопоставления (5-16) и (5-2) видно, что при одних и тех же параметрах r, L и С резонансные частоты для схем рис. 5-1 и 5-7, б отличаются множителем
При 
разность резонансных частот не превышает 1%. Кроме того, выражение (5-16) показывает, что резонанс токов возможен в охеме рис. 5-7,6 только при 
Общее сопротивление колебательного контура (см. рис, 5-7, б)
На основании соотношений (5-16) и (5-17) можно получить:
Учитывая также соотношения
получаем выражение для сопротивления колебательного контура:
.
При резонансной частоте
В тех случаях, когда 
весьма велико по сравнению с единицей выражение (5-18) упрощается:
В режиме, близком к резонансу, когда
несоизмеримо меньше единицы, данное выражение заменяется приближенным:
При высокой добротности колебательного контура
Приэтом токи в ветвях
Здесь
— ток, входящий в цепь.
Напряжение на выводах цепи 
связано с током I следующим образом:
Приближенные выражения (5-19) и (5-20) аналогичны при заданном Q выражениям(5-12) и (5-7), выведенным для цепи рис. 5-1, при условии замены напряжений токами и обратно. Поэтому кривые сопротивлений, токов и напряжений, соответствующие схеме рис. 5-1, в известном масштабе приближенно выражают проводимости, напряжения и токи в схеме рис. 5-7, б.
Следует обратить внимание на то, что в схеме рис. 5-6 мгновенная мощность в цепи при резонансе токов равна мгновенной мощности, расходуемой в сопротивлении r; в схемах с двумя параллельными ветвями (рис. 5-7) мгновенная мощность на выводах цепи отлична от мгновенной мощности, расходуемой в сопротивлениях ветвей. Например, в тот момент, когда ток, входящий в цепь, проходит через нулевое значение, мгновенная мощность на выводах цепи равна нулю; в этот момент токи в ветвях, сдвинутые по фазе относительно суммарного тока цепи, отличны от нуля и поэтому мгновенная мощность, расходуемая в сопротивлениях ветвей, также не равна нулю. Объясняется это тем, что в схемах ~рис. 5-7, а и б энергия, накапливаемая реактивными элементами, периодически преобразуется частично в теплоту (в сопротивлениях ветвей), а затем вновь пополняется за счет энергии источника.
Для повышения крутизны резонансных характеристик, необходимой для более четкого разделения колебаний разных частот, в радиотехнике широко применяются двухконтурные резонансные цепи: два резонансных контура, настроенных каждый в отдельности на одну и ту же частоту, связываются индуктивно или электрически. В отличие от «одногорбой» резонансной кривой одиночного контура в связанных цепях получаются «двугорбые» кривые; например, ток в каждом контуре может иметь максимумы при двух частотах, расположенных ниже и выше резонансной частоты одиночного контура.
Частотные характеристики сопротивлений и проводимостей реактивных двухполюсников
Двухполюсником называется любая электрическая цепь или часть электрической цепи, имеющая два вывода. Ниже рассматриваются только линейные двухполюсники, т. е. такие, которые состоят из линейных элементов.
Различают двухполюсники активные и пассивные.
Активным называется двухполюсник, содержащий источники электрической энергии, которые не компенсируются взаимно внутри двухполюсника.
Пассивным называется двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии; в случае линейного двухполюсника он может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых выводах равно нулю. Такой линейный двухполюсник относится к категории пассивных; его сопротивление, измеренное на выводах, не изменится, если источники электрической энергии внутри него заменить пассивными элементами — внутренними сопротивлениями источников э. д. с. или соответственно внутренними проводимостями источников тока. Пример двухполюсника, содержащего компенсированные источники, показан на рис. 5-9.
По числу элементов, входящих в двухполюсник, различают одноэлементный, двухэлементный и многоэлементный двухполюсники.
По характеру этих элементов двухполюсники делятся на реактивные, т. е. состоящие из индуктивностей и емкостей, и двухполюсники с потерями, содержащие активные сопротивления. Реактивные двухполюсники представляют собой идеализированные электрические системы, приближающиеся по своим свойствам к физически существующим цепям с малыми потерями.
Частотные характеристики сопротивлений или проводимостей двухполюсников, образующих электрическую цепь, предопределяют частотные и резонансные свойства цепи, т. е. зависимости амплитуд и фаз токов и напряжений от частоты.
Настоящий параграф посвящен изучению частотных характеристик пассивных реактивных двухполюсников.
Одноэлементные реактивные двухполюсники
Индуктивность и емкость представляют собой простейшие одноэлементные реактивные двухполюсники. Знак комплексного сопротивления и комплексной проводимости каждого из этих двухполюсников не зависит от частоты; этим они существенно отличаются от других, более сложных реактивных двухполюсников, содержащих неоднородные реактивные элементы, т. е. индуктивность и емкость в разных сочетаниях.
Комплексное сопротивление индуктивного элемента во всем спектре частот имеет положительный знак, а комплексная проводимость — отрицательный:
Комплексное сопротивление емкостного элемента во всем спектре частот имеет отрицательный знак, а комплексная проводимость — положительный:
В рассматриваемом случае реактивных двухполюсников комплексные сопротивления и проводимости являются мнимыми. Поэтому для сохранения знаков частотные ха-рактернстнкн сопротивлений и проводимостей удобно рисовать в прямоугольной системе координат, в которой вверх откладываются мнимые величины со знаком плюс, а вниз — со знаком минус.
Частотные характеристики
построенные в прямоугольной системе координат, представляют собой прямые линии, а частотные характеристики 
— равнобочные гиперболы (рис. 5-10). Таким образом, кривые 
и 
аналогичны кривым 
Следует заметить, что как сопротивления, так и проводимости рассматриваемых здесь одноэлементных реактивных двухполюсников возрастают (с учетом знака) по мере повышения частоты, т. е.
Это является общим свойством всех реактивных двухполюсников, а не только одноэлементных.
Двухполюсник, состоящий из последовательно или параллельно соединенных однородных элементов (индуктивностей или емкостей), относится к числу одноэлементных двухполюсников, так как последовательно или параллельно соединенные однородные элементы могут быть заменены одним эквивалентным реактивным элементом того же характера.
Двухэлементные реактивные двухполюсники
Двухэлементные двухполюсники, составленные из индуктивности и емкости, представляют собой простейшие резонансные цепи.
При последовательном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются комплексные сопротивления. На рис. 5-11, а жирной линией показана частотная характеристика двухполюсника, полученная в результате графического сложения кривых 
Она пересекает ось абсцисс при резонансной частоте 
(резонанс напряжений). Эта частота, при которой функция Z 
обращается в нуль, называется нулем данной функции; точка на оси абсцисс, которая соответствует нулю функции, обозначается кружком.
Частотная характеристика проводимости того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную сопротивлению: 
Кривая Y показана на рис. 5-11, б.
При резонансной частоте проводимость рассматриваемого двухполюсника обращается в бесконечность; эта точка носит название полюса функции Y и обозначается на чертеже крестиком
Частотные характеристики Z и Y, построенные таким образом1, соответствуют уравнениям:
и
или с учетом(5-2):
На осях ординат частотных характеристик чисто реактивных цепей откладываются мнимые значения сопротивлений и проводимостей.
В области частот ниже резонансной
сопротивление емкостного элемента превышает по абсолютному значению сопротивление индуктивного элемента; при этом сопротивление двухполюсника имеет емкостный характер.
В области частот выше резонансной
абсолютное значение емкостного сопротивления меньше, чем индуктивного; сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер.
При параллельном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются их комплексные проводимости. На рис. 5-12, а жирной линией показана частотная
характеристика двухполюсника, полученная в результате графического сложения 
Частотная характеристика сопротивления того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную проводимости: Z — 1/Y. Кривая Z показана на рис. 5-12, б.
Частота, при которой характеристика Y пересекает ось абсцисс (нуль функции У), а характеристика Z уходит в бесконечность (полюс функции Z), является резонансной частотой (резонанс токов).
Частотные характеристики, построенные на рис. 5-12, соответствуют уравнениям:
И
или с учетом (5-22)
В области частот ниже резонансной проводимость индуктивного элемента перекомпенсирует проводимость емкостного элемента и сопротивление двухполюсника получается, индуктивным. В области частот выше резонансной наблюдается обратное явление и сопротивление двухполюсника имеет емкостный характер.
Таким образом, в зависимости от частоты двухэлементный реактивный двухполюсник может иметь либо индуктивное, либо емкостное сопротивление. При этом, так же как и в случае одноэлементного реактивного двухполюсника, кривые Z и Y возрастают, т. е. производные от 
и 
по частоте положительны.
В отличие от сопротивлений одноэлементных двухполюсников, которые выражаются только через текущую частоту, сопротивления двухэлементных реактивных двухполюсников зависят также и от разности квадратов резонансной и текущей частот (формулы (5-21) и (5-22)1.
Как видно из выражений (5-21), для построения частотных характеристик двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных элементов L и С, достаточно знать нуль функции Z или, что то же, полюс функции Y. Параметр L, входящий в (5-21), влияет только на выбор масштаба Z и Y по оси ординат.
Аналогично в соответствии с (5-22) для построения частотных характеристик двухполюсника, состоящего из параллельно соединенных элементов L и С, достаточно знать полюс Z или, что то же, нуль Y, причем параметр С влияет только на масштаб Z и Y.
Двухполюсники, имеющие одинаковые частотные характеристики Z или Y, эквивалентны.
Многоэлементный реактивный двухполюсник
Многоэлементный реактивный двухполюсник может быть получен в результате различных сочетаний одноэлементных и двухэлементных двухполюсников. Пользуясь частотными характеристиками, приведенными выше, можно построить частотные характеристики для трех-, четырех- и много-элементных реактивных двухполюсников. При этом одно-
родные элементы (или группы элементов с одинаковыми резонансными частотами), соединенные параллельно или последовательно, должны быть сначала заменены одним элементом (или эквивалентной группой элементов, как это, например, показано на рис. 5-13).
Такие двухполюсники будем называть «приведенными».
Из свойства положительности производной 
(или 
следует, что нули и полюсы функций Z (или Y) должны чередоваться, так как при наличии двух последовательных нулей, не разделенных полюсом, имелся бы участок характеристики с отрицательной производной.
В общем случае, если при 
сопротивление реактивного двухполюсника равно нулю, т. е. имеется путь для постоянного тока, то первым наступает резонанс токов, за ним следует резонанс напряжений и т. д.
В противном случае порядок расположения резонансов обратный: первым наступает резонанс напряжений, вторым — резонанс токов и т. д.
На рис. 5-14, а дана схема многоэлементного двухполюсника, а на рис. 5-14, б — соответствующая ему частотная характеристика сопротивления.
У реактивных двухполюсников сумма чисел полюсов и нулей (не считая точек 
на единицу меньше числа элементов данного «приведенного» двухполюсника.
Расположение нулей и полюсов, как указывалось выше, поочередное, а все ветви частотной характеристики с увеличением 
возрастают.
- Соединение звездой и треугольником в трехфазных цепях
- Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
- Метод симметричных составляющих
- Цепи периодического несинусоидального тока
- Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи
- Энергия магнитного поля
- Синусоидальные Э.Д.С. и ток
- Электрические цепи с взаимной индуктивностью
