Как найти ток протекающий через конденсатор

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Основные положения и соотношения

1. Общее выражение емкости конденсатора

C= Q U .

2. Емкость плоского конденсатора

C= ε a ⋅S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅S d ,

здесь

S — поверхность каждой пластины конденсатора;

d — расстояние между ними;

ε_a = ε_r·ε₀ — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

ε_r — диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);

ε 0 = 1 4π⋅ с 2 ⋅ 10 −7 ≈8,85418782⋅ 10 −12    Ф м  – электрическая постоянная.

3. При параллельном соединении конденсаторов С₁, С₂, …, С_n эквивалентная емкость равна

C= C 1 + C 2 +…+ C n = ∑ k=1 n C k .

4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ,

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:

U 1 =U⋅ C 2 C 1 + C 2 ;    U 2 =U⋅ C 1 C 1 + C 2 .

5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)

Рис. 0

осуществляется по формулам:

Y→Δ { C 12 = C 1 ⋅ C 2 ΣC ;   C 13 = C 1 ⋅ C 3 ΣC ;   C 23 = C 2 ⋅ C 3 ΣC , где          ΣC= C 1 + C 2 + C 3 , Δ→Y { C 1 = C 12 + C 13 + C 12 ⋅ C 13 C 23 ; C 2 = C 12 + C 23 + C 12 ⋅ C 23 C 13 ; C 3 = C 13 + C 23 + C 13 ⋅ C 23 C 12 .

6. Энергия электростатического поля конденсатора:

W= C⋅ U 2 2 = Q⋅U 2 = Q 2 2C .

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:

ΣQ=Σ Q ′ .

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:

∑ k=1 n E k = ∑ k=1 n U C k = ∑ k=1 n Q k C k .

Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.

Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).

Рис. 1

Решение

На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U₁₂, то на левую пластину конденсатора С₁ перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С₃ заряд –q.

Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С₁ будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С₁ и С₂ соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C₂ будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.

Найти эквивалентную емкость — это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.

Разность потенциалов U₁₂ = φ₁ — φ₂ складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов

U 12 = φ 1 − φ 2 =( φ 1 − φ A )+( φ A − φ B )+( φ B − φ 2 )= U 1A + U AB + U B2 .

Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе

U= q C ,

запишем

q C = q C 1 + q C 2 + q C 3 .

Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 .

В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов

1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .

Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.

Рис. 2

Емкости конденсаторов: C₁ =50 мкФ; C₂ =150 мкФ; C₃ =300 мкФ.

Решение

Эквивалентная емкость конденсаторов C₁ и C₂, соединенных параллельно

C₁₂ = C₁ + C₂ = 200 мкФ,

эквивалентная емкость всей цепи равна

C= C 12 ⋅ C 3 C 12 + C 3 = 200⋅300 500 =120  мкФ.

Заряд на эквивалентной емкости

Q = C·U = 120·10^–6·240 = 288·10^–4 Кл.

Той же величине равен заряд Q₃ на конденсаторе C₃, т.е. Q₃ = Q = 288·10^–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе

U 3 = Q 3 C 3 = 288⋅ 10 −4 300⋅ 10 −6 =96  В.

Напряжение на конденсаторах C₁ и C₂ равно

U₁ = U₂ = U — U₃ = 240 — 96 = 144 В.

их заряды имеют следующие значения

Q₁ = C₁·U₁ = 50·10^–6·144 = 72·10^–4 Кл;

Q₂ = C₂·U₂ = 150·10^–6·144 = 216·10^–4 Кл.

Энергии электростатического поля конденсаторов равны

W 1 = Q 1 ⋅ U 1 2 = 72⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈0,52  Дж; W 2 = Q 2 ⋅ U 2 2 = 216⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈1,56  Дж; W 3 = Q 3 ⋅ U 3 2 = 288⋅ 10 −4 ⋅96 2 ≈1,38  Дж.

Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см², имеет диэлектрик, состоящий из слюды (ε_r1 = 6) толщиною d₁ = 0,3 мм и стекла (ε_r2 = 7) толщиною d₂ =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E₁ = 77 кВ/мм, E₂ = 36 кВ/мм.

Рис. 3

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a1 ⋅S d 1 ⋅ ε a2 ⋅S d 2 ε a1 ⋅S d 1 + ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ ε a2 ⋅S ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 .

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив ε_a1 = ε_r1·ε₀ и ε_a2 = ε_r2·ε₀, получим

C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ ε r2 ⋅S ε r1 ⋅ d 2 + ε r2 ⋅ d 1 =8,85⋅ 10 −12 ⋅ 6⋅7⋅12⋅ 10 −4 6⋅0,4⋅ 10 −3 +7⋅0,3⋅ 10 −3 =99⋅ 10 −12   Ф.

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через U_пр, при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C·U_пр.

Напряжения на каждом слое будут равны

U 1 = Q C 1 = C⋅ U пр ε a1 ⋅S d 1 = ε a2 ⋅ d 1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр ; U 2 = Q C 2 = C⋅ U пр ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ d 2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр .

Напряженности электростатического поля в каждом слое

E 1 = U 1 d 1 = ε a2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ пр ; E 2 = U 2 d 2 = ε a1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ пр .

Здесь U’_np — общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U”_np — общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

U ′ пр = E 1 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a2 =49,5  кВ; U ″ пр = E 2 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a1 =27,0  кВ.

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d₁ = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см². Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.

Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d₂ = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора равна

W 1 = C 1 ⋅ U 2 2 = ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 ,

где С₁ — емкость до раздвижения обкладок.

Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения

Q = C₂·U₂,

где C₂ — емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C₂ = ε₀·S/d₂ стало меньше в 10 раз (d₂ увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U₂ увеличилось в 10 раз, т. е. U₂ = 10U.

Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d₂ будет больше первоначальной

W 2 = ε 0 ⋅S d 2 ⋅ U 2 2 2 = ε 0 ⋅S 10 d 1 ⋅ ( 10U ) 2 2 =10⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =10⋅ W 1 .

Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.

Таким образом, надо совершить работу, равную

W 2 − W 1 =9⋅ W 1 =9⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =2,86⋅ 10 −7   Дж.

Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.

Даны: C₁ = 30 мкФ; C₂ = 20 мкФ; r₁ = 100 Ом. r₂ = 400 Ом. r₃ = 600 Ом, U = 20 В.

Решение

Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям

U 1 = C 2 C 1 + C 2 ⋅U= 20⋅ 10 −6 30⋅ 10 −6 +20⋅ 10 −6 ⋅20=8  В; U 2 =U− U 1 =20−8=12  В.

Рис. 4

Ключ К замкнут. Через сопротивления r₁ и r₂ протекает ток

I= U r 1 + r 2 = 20 500 =0,04  А,

а через сопротивление r₃ ток не протекает.

Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φ_c = φ_d). Следовательно, напряжение между точками a и c (U_ac = φ_a — φ_c) равно напряжению между точками a и d (U_ad = φ_a — φ_d).

Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r₁

U_C1 = I·r₁ = 0,04·100 = 4 В.

Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно

U_C2 = I·r₂ = 0,04·400 = 16 В.

Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C₁ = 5 мкФ; C₂ = 120 мкФ. Конденсатор C₂ предварительно не был заряжен.

Рис. 5

Решение

Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C₁ заряжен до напряжения U и его заряд равен

Q = C₁·U = 5·10^–6·25 = 125·10^–6 Кл.

После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C₁ и C₂ (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q’₁ и Q’₂.

На основании закона сохранения электричества имеем

Q = Q’₁ + Q’₂ = 125 10^–6 Кл. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем

0= U C1 − U C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 2 ,

или

Q ′ 1 5⋅ 10 −6 − Q ′ 2 120⋅ 10 −6 =0.   (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем

Q’₁ = 5 10^–6 Кл; Q’₂ = 120 10^–6 Кл.

Доставка свежих и аппетитных японских суши в Новороссийске – ям ям..

Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным

U C1 = Q ′ 1 C 1 = U C2 = Q ′ 2 C 2 = 5⋅ 10 −6 5⋅ 10 −6 =1  В.

Энергия обоих конденсаторов будет равна

W= C 1 ⋅ U C1 2 2 + C 2 ⋅ U C2 2 2 =62,5⋅ 10 −6   Дж.

Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С₁, при его подключении к источнику электрической энергии

W нач = C 1 ⋅U 2 = 5⋅ 10 −6 ⋅ 25 2 2 =1562,5⋅ 10 −6   Дж.

Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10^–6 — 62,5·10^–6 = 1500·10^–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C₁ в конденсатор C₂ после перевода рубильника в положение 2.

Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.

Емкости конденсаторов равны: C₁ = 10 мкФ; C₂ = 30 мкФ; C₃ = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.

Рис. 6

Решение

Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C₁ равен

Q₁ = C₁·U = 10·10^–6·30 = 0,3·10^–3 Кл.

В указанном положении рубильника конденсаторы C₂ и C₃ соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q₂ = Q₃. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем

E= U C2 + U C3 = Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = Q 2 ⋅ C 2 + C 3 C 2 ⋅ C 3 ,

откуда

Q 2 = Q 3 = C 2 ⋅ C 3 C 2 + C 3 ⋅E= 30⋅ 10 −6 ⋅60⋅ 10 −6 90⋅ 10 −6 ⋅50=1⋅ 10 −3   Кл.

При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q’₁, Q’₂ и Q’₃. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.

Для узла a

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = Q₁ + Q₂ — Q₃. (1)

Для контура 2ebda2

0= U ′ C1 − U ′ C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 1 .

Для контура bcadb

E= U ′ C2 − U ′ C3 = Q ′ 2 C 2 + Q ′ 3 C 3 .

Уравнения (1) — (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид

Q’₁ + Q’₂ — Q’₃ = 0,3·10^–3; (4)

3Q’₁ — Q’₂ = 0; (5)

2Q’₂ + Q’₃ = 3·10^–3. (6)

Решая совместно уравнения (4) — (6), получим

Q’₁ = 0,33·10^–3 Кл; Q’₂ = 0,99·10^–3 Кл; Q’₃ = 1,02·10^–3 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.

Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны

U C1 = Q ′ 1 C 1 = 0,33⋅ 10 −3 10⋅ 10 6 =33  В; U C2 = Q ′ 2 C 2 = 0,99⋅ 10 −3 30⋅ 10 6 =33  В; U C3 = Q ′ 3 C 3 = 1,02⋅ 10 −3 60⋅ 10 6 =17  В.

Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C₁ = 5 мкФ; C₂ = 4 мкФ; C₃ = 3 мкФ; э. д. с. источников E₁ = 20 В и E₂ = 5 В.

Рис. 7

Решение

Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках

− Q 1 + Q 2 − Q 3 =0; E 1 = U C1 − U C3 = Q 1 C 1 − Q 3 C 3 ; E 2 =− U C2 − U C3 =− Q 2 C 2 − Q 3 C 3 .

Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q₁ = 50 мкКл; Q₂ = 20 мкКл; Q₃ = –30 мкКл.

Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C₁ и C₂ соответствует выбранной, а у конденсатора C₃ — противоположна выбранной.

Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C₁ = 2 мкФ; C₂ = 3 мкФ; C₃ = 5 мкФ; C₄ = 1 мкФ; C₅ = 2,4 мкФ.

Рис. 8

Индивидуалка Дана (34 лет) т.8 926 650-82-63 Москва, метро Сокол.

Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.

Решение

1-й способ. Звезду емкостей C₁, C₂ и C₃ (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)

C 12 = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 + C 3 =0,6  мкФ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,0  мкФ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,5  мкФ.

Емкости C₁₂ и C₅ оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость

C₆ = C₁₂ + C₅ = 3 мкФ.

Аналогично

C₇ = C₁₃ + C₄ = 2 мкФ.

Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется

C ab = C 23 + C 6 ⋅ C 7 C 6 + C 7 =2,7  мкФ.

Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.

На конденсаторе C₇ напряжение равно

U 7 = C 6 C 6 + C 7 ⋅U=6  В.

Таково же напряжение и на конденсаторах C₄ и C₁₃

U₄ = U₃₁ = 6 В.

Напряжение на конденсаторе C₆ равно

U₆ = U — U₇ = 4 В;

U₅ = U₁₂ = 4 В.

Вычислим заряды

Q₄ = C₄·U₄ = 6·10^–6 Кл;

Q₅ = C₅·U₅ = 9,6·10^–6 Кл;

Q₁₂ = C₁₂·U₁₂ = 6·10^–6 Кл;

Q₁₃ = C₁₃·U₃₁ = 2,4·10^–6 Кл.

По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем

–Q₄ — Q₁ + Q₅ = –Q₄ — Q₁₃ + Q₁₂ + Q₅,

отсюда

Q₁ = Q₁₃ — Q₁₂ = 3,6·10^–6 Кл,

а напряжение на конденсаторе, емкостью C₁ составляет

U 1 = Q 1 C 1 =1,8  В.

Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах

U₃₁ = U₁ + U₃,

отсюда

U₃ = U₃₁ — U₁ = 4,2 В;

Q₃ = C₃·U₃ = 21·10^–6 Кл,

также

U₁₂ = U₂ — U₁ = 4,2 В,

откуда

U₂ = U₁₂ + U₁ = 5,8 В;

Q₂ = C₂·U₂ = 17,4·10^–6 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.

2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)

для узла 1

Q₅ — Q₁ — Q₄ = 0; (1)

для узла О

Q₁ + Q₂ — Q₃ = 0; (2)

для контура О13О

Q 1 C 1 − Q 4 C 4 + Q 3 C 3 =0;  (3)

для контура О12О

Q 1 C 1 + Q 5 C 5 − Q 2 C 2 =0;  (4)

для контура a3О2b

Q 3 C 3 + Q 2 C 2 =U.  (5)

Система уравнений (1) — (5) — содержит пять неизвестных: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ и Q₅. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы С_ab можно найти из отношения

C ab = Q U ,

где Q = Q₃ + Q₄, или Q = Q₂ + Q₅.

Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E₁ = 20 В; E₂ = 7 В; C₁ = 7 мкФ; C₂ = 1 мкФ; C₃ = 3 мкФ; C₄ = 4 мкФ; C₅ = C₆ = 5 мкФ.

Рис. 9

Решение

При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:

для узла а

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0;

для узла b

–Q₃ — Q₄ — Q₅ = 0;

для узла c

–Q₁ + Q₄ + Q₆ = 0;

для контура afcba

E 1 = U C1 + U C4 − U C3 = Q 1 C 1 + Q 4 C 4 − Q 3 C 3 ;

ля контура gdbag

E 2 = U C5 − U C3 + U C2 = Q 5 C 5 − Q 3 C 3 + Q 2 C 2 ;

для контура cbdc

0= U C4 − U C5 − U C6 = Q 4 C 4 − Q 5 C 5 − Q 6 C 6 .

Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды

Q₁ = 35 мкКл; Q₂ = –5 мкКл; Q₃ = –30 мкКл;

Q₄ = 20 мкКл; Q₅ = 10 мкКл; Q₆ = 15 мкКл.

Таким образом, истинные знаки зарядов Q₁, Q₄, Q₅ и Q₆ соответствуют выбранным, а знаки Q₂ и Q₃ противоположны выбранным.

Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.

Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C₁ = 6 мкФ; C₂ = 2 мкФ; C₃ = 3 мкФ; r₁ = 500 Ом; r₂ = 400 Ом; U = 45 В.

Рис. 10

Решение

Через сопротивления протекает ток

I= U r 1 + r 2 =0,05  А.

Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:

− Q 1 + Q 2 + Q 3 =0; U= U C1 + U C2 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ; I⋅ r 1 = U C1 + U C3 = Q 1 C 1 + Q 3 C 3 ,

или

Q 1 = Q 2 + Q 3 ; 45= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 2 2⋅ 10 −6 ; 25= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 3 3⋅ 10 −6 .

Решив эту систему уравнений, найдем, что

Q₁ = 90 мкКл; Q₂ = 60 мкКл; Q₃ = 30 мкКл.

---

последовательное соединение конденсаторов,
параллельное соединение конденсаторов,
Расчет цепи конденсаторов,
Конденсатор в цепи постоянного тока,
Цепи с конденсаторами

Комментарии

The charge on a capacitor works with this formula: Q = C * V

To compute changes in that charge (we call this the current), take the derivative

dQ/dT = C * dV/dT + V * dC/dT

Now proclaim the capacitance to be a constant, and that simplifies to

dQ/dT = C * dV/dT = I (the current)

Suppose you are standing in dry cotton socks, largely air we shall assume, atop a concrete floor. You touch a 117VAC (160 volt Peak) 60Hz power wire. How much current flows through you, thru the socks, and into the concrete?

To compute this, we need “C” and “dV/dT”

First the C. Using C = E0 * Er * Area / Distance,

and assuming your feet are each 10cm by 30cm, the capacitance over the 1milliMeter of cotton+air insulation is

C ~~ 9e-12 Farad/meter * (Er=1) * (Area = 2 * 10cm * 30cm)/1mm

and to avoid being too precise with this approximation, round the 9e-12 up to 10e-12, and we now have

C = 10e-12 * 600 cm^2 / 0.1cm

C = 10e-12 Farad/meter * 6,000 cm

C = 10e-12 Farad/meter * 60 meter

C = 600e-12 Farad = 600 picoFarad between you and the concrete

Now we need the voltage SlewRate dV/dT

The voltage is 160 * sin (2 * pi * 60 * time) = 160*sin(377*time)

The derivative with respect to time is

160 * 377 *cosine (377*time), where our Peak SlewRate is 160 *377
or ~~ 60,000

Now compute I = C * dV/dT = 600e-12 * 60,000 or 0.6e-9 * 60e+3
and that you can do in your head

36e-6 = 36 microAmps of 60Hz current.

Точная формула для расчёта тока питания или заряда, при использовании балластного конденсатора.

I=4FC(Ua-Un)

I – ток (Ампер),

Ua – амплитуда питающего напряжения (Вольт),

Un – напряжение на нагрузке (Вольт),

F – частота напряжения питания (Герц),

C – ёмкость балластного конденсатора (Фарад).

Un – напряжение на нагрузке, – должно включать в себя и падение напряжения на диодах выпрямителя, и падение напряжения на резисторах стоящих после фильтрующего конденсатора.

Падение напряжения на резисторе, включенном последовательно с балластным конденсатором, учитывать не надо, если его сопротивление не брать слишком большим, например, для схем ниже (Ua = 325 В, Un = 150 В, F = 50 Гц …), при его сопротивлении равном 10 %, от сопротивления реактивного сопротивления конденсатора, погрешность в расчёте – менее 1,1 % , а при его сопротивлении равном 5 %, от сопротивления реактивного сопротивления конденсатора, погрешность в расчёте – менее 0,4 %.

Дальше можно не читать.

Один из способов её вывода (составления) (ЗЫ подкорректировал вывод формулы и на словах описал производимые преобразования).

Зная, что: (1)   C=∆Q/∆U и (2)   ∆Q=I∆t (формулы известные из физики), то подставив выражение – ∆Q, из формулы (2), в формулу (1), получаем – (3)   I=C∆U/∆t. ∆t принимаем равным одной секунде, так как за одну секунду происходит F периодов колебаний питающего напряжения, а за один период происходит четыре перезаряда балластного конденсатора, то формула (3) приобретает вид – (4)   I=4FC∆U.

Так как балластный конденсатор перезаряжается, до амплитуды напряжения питания, минус напряжение на нагрузке, то – (5)   ∆U=Ua-Un.

Подставив выражение – ∆U, из формулы (5), в формулу (4), получаем – (6)   I=4FC(Ua-Un).

Многим радиолюбителям известна формула для нахождения реактивного сопротивления – Xc=1/(2PiFC), которую они обычно применяют не задумываясь, и  упускают из вида то, что работают (делят действующее напряжение сети, на реактивное сопротивление – Id=Udc/Xc=230/Xc и не знают, что результат ещё надо умножить на 0,9, чтоб получить среднее значение тока… кстати, так же надо поступить и когда используется балластный резистор…) с действующим напряжением, а не средним, и соответственно, получают действующий ток, а не средний. Чтоб получить средний ток,  полученный ток (или действующее напряжение питания (из полученного среднего значения напряжения питания следует вычесть напряжение на нагрузке)) нужно умножить на коэффициент пересчёта между действующим и средним током. Для тока синусоидальной формы ((2/Pi)/(1/√2)) равный – 0,90031631615710606955519919100674. При использовании формулы реактивного сопротивления, следует иметь в виду, что чем больше будет напряжение на нагрузке, тем ток через нагрузку будет меньше по форме напоминать выпрямленную синусоиду и будет расти погрешность в вычислениях.

Формула – I=4FC(Ua-Un), – точная, её погрешность нулевая.

Проверим соответствие расчёта по формуле, используя симулятор – Micro-Cap:

Пример 1

Соберём зарядное устройство имеющее схему интегратора – для определения зарядного тока аккумулятора (на 150 Вольт), вместо аккумулятора, может к примеру быть цепочка светодиодов с таким же падением напряжения.

Конденсатор интегратора, емкостью 10 микроФарад, через резистор 10 килоОм,  разрядился/зарядился от падения напряжения на резисторе 10 Ом, которое прямо-пропорционально протекающему через него току, за 1 секунду, на ∆U=9,426-5,956=3,47 Вольт.

Значит, через конденсатор протекал ток I=C∆U/t  

I=10E-6*3,47/1=34,7 мкАмпер, значит на резисторе 10 кОм было падение напряжения U=I*R

U=34,7E-6*10E3=0,347 Вольт, значит через резистор 10 Ом протекал ток I= U/R

I=0,347/10=0,0347 Ампер или 34,7 мА.

Расчёт по формуле:

амплитуда питающего напряжения 325,27 (Вольт),

напряжение на нагрузке 150 (Вольт),

частота напряжения питания 50 (Герц),

ёмкость балластного конденсатора 1E-6 (Фарад) – 1 мкФ.

I=4FC(Ua-Un).

I=4 *50*1E-6*(325,27-(150+0,65+0,65)) = 0,034794 Ампера.

I=0,034794 Ампера.

Пример 2

Соберём зарядное устройство имеющее фильтр – для уменьшения пульсаций до приемлемой величины, чтоб можно было сопоставить ток рассчитанный используя  Micro-Cap и ток рассчитанный по формуле.

Расчёт по формуле:

амплитуда питающего напряжения 325,27 (Вольт),

напряжение на нагрузке 150 (Вольт),

частота напряжения питания 50 (Герц),

ёмкость балластного конденсатора 1E-6 (Фарад) – 1 мкФ.

I=4FC(Ua-Un).

I=4*50*1E-6*(325,27-(150+0,65+0,65+0,35+0,35)) = 0,034654 Ампера.

I= 0,034654 Ампера.

Дополнение.

Решил немного дополнить статью, где рассматриваю случаи практических расчётов радиолюбителей.

Способ 1.

Воспоминание о величине действующего тока через конденсатор 1 мкФ, при частоте сети 50 Гц и напряжении 220 Вольт (теперь 230 Вольт) – 69,12 мА (72,26 мА), полученное используя формулу I=U/Xc, где Xc=1/(2PiFC). И последующего пересчёта под требуемый ток. Например, для получения 100 мА, (100/69,12)=1,447 мкФ.

Обычно не знают, что для зарядного или БП требуется рассчитывать – среднее арифметическое тока, а не среднее квадратичное (действующее) и требуется 69,12 умножить на 0,9003, тогда средний ток будет 69,12*0,9003=62,23 мА. И это ток когда напряжение на нагрузке равно 0, т.е. нагрузку замкнули амперметром. Но на нагрузке всегда есть какое-то напряжение. Это может быть как 4 Вольта на батарее щелочных аккумуляторов или 5 Вольт на стабилизаторе, выполненном на стабилитроне, для питания микроконтроллера, так и 100 или 150 Вольт, для питания последовательно соединённой цепочки светодиодов. И если для низких напряжений ещё можно смириться с небольшой ошибкой в расчетах, то когда напряжение на нагрузке нужно большое, то возникают проблемы в расчёте.

Способ 2.

Использование формулы C=3200*I/√(U²–Un²)

Используя специальное программное обеспечение, я выяснил (Если вернуть переменную F, перевести емкость с микроФарад в Фарады, то формула выглядит так – C=I/(2PiF√(U²–Un²))

(

C=I/(2PiF√(U²–Ur²))

I=2PiFC√(U²–Ur²)

I=√(U²–Ur²)/Xc

Ic=Uc/Xc

)

), что применительно к простейшим цепям в электронике, наиболее близкой к рассматриваемым схемам, является схема – из последовательно соединённых резистора и конденсатора,

если соединить резистор через диодный мост,

то при высоком питающем напряжении по сравнению с падением напряжения на диодах выпрямителя, формула, можно сказать, останется точной. Только проблема в том, что используют её для другой схемы (две схемы выше), – в которой отсутствует конденсатор (или аккумулятор) после выпрямителя, а это всё меняет.

Способ 3.

Когда напряжение на нагрузке больше нескольких десятков вольт, и нельзя пренебречь падением напряжения на нагрузке, то для ориентировочного расчёта, вычитают из напряжения питания, напряжение на нагрузке. Выглядит примерно так.

I=(U-Un)/Xc. Если преобразовать формулу к виду применяемой в  способе 2, то  C=3200*I/(U–Un)

Применим формулы на практике.

Вот таблица расчёта ёмкости, для напряжения сети равного 230 Вольт, частоте 50 Герц, тока нагрузки 0,035 Ампер, и разных напряжений на нагрузке, от 0 до 320 Вольт включительно. Колонка E – для формулы  C=3200*I/√(U²-Un²), колонка F – для формулы  C=3200*I/(U–Un) и колонка G – для формулы C=I/(4F(Ua-Un)) (точные значения (при идеальном выпрямителе)).

Всё очевидно. Формулы C=3200*I/√(U²-Un²) и C=3200*I/(U–Un) для значений напряжения на нагрузке превышающих действующее значение напряжения питания, в принципе не применимы, а в диапазоне допустимых значений имеют большую погрешность.