Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами
Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами
Основные положения и соотношения
1. Общее выражение емкости конденсатора
C= Q U .
2. Емкость плоского конденсатора
C= ε a ⋅S d = ε r ⋅ ε 0 ⋅S d ,
здесь
S — поверхность каждой пластины конденсатора;
d — расстояние между ними;
εa = εr·ε0 — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;
εr — диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);
ε 0 = 1 4π⋅ с 2 ⋅ 10 −7 ≈8,85418782⋅ 10 −12 Ф м – электрическая постоянная.
3. При параллельном соединении конденсаторов С1, С2, …, Сn эквивалентная емкость равна
C= C 1 + C 2 +…+ C n = ∑ k=1 n C k .
4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы
1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .
Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:
C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ,
а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:
U 1 =U⋅ C 2 C 1 + C 2 ; U 2 =U⋅ C 1 C 1 + C 2 .
5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)
Рис. 0
осуществляется по формулам:
Y→Δ { C 12 = C 1 ⋅ C 2 ΣC ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 ΣC ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 ΣC , где ΣC= C 1 + C 2 + C 3 , Δ→Y { C 1 = C 12 + C 13 + C 12 ⋅ C 13 C 23 ; C 2 = C 12 + C 23 + C 12 ⋅ C 23 C 13 ; C 3 = C 13 + C 23 + C 13 ⋅ C 23 C 12 .
6. Энергия электростатического поля конденсатора:
W= C⋅ U 2 2 = Q⋅U 2 = Q 2 2C .
7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:
1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:
ΣQ=Σ Q ′ .
2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:
∑ k=1 n E k = ∑ k=1 n U C k = ∑ k=1 n Q k C k .
Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.
Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами
Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).
Рис. 1
Решение
На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U12, то на левую пластину конденсатора С1 перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С3 заряд –q.
Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С1 будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С1 и С2 соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C2 будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.
Найти эквивалентную емкость — это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.
Разность потенциалов U12 = φ1 — φ2 складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов
U 12 = φ 1 − φ 2 =( φ 1 − φ A )+( φ A − φ B )+( φ B − φ 2 )= U 1A + U AB + U B2 .
Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе
U= q C ,
запишем
q C = q C 1 + q C 2 + q C 3 .
Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов
1 C = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 .
В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов
1 C = 1 C 1 + 1 C 2 +…+ 1 C n = ∑ k=1 n 1 C k .
Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.
Рис. 2
Емкости конденсаторов: C1 =50 мкФ; C2 =150 мкФ; C3 =300 мкФ.
Решение
Эквивалентная емкость конденсаторов C1 и C2, соединенных параллельно
C12 = C1 + C2 = 200 мкФ,
эквивалентная емкость всей цепи равна
C= C 12 ⋅ C 3 C 12 + C 3 = 200⋅300 500 =120 мкФ.
Заряд на эквивалентной емкости
Q = C·U = 120·10–6·240 = 288·10–4 Кл.
Той же величине равен заряд Q3 на конденсаторе C3, т.е. Q3 = Q = 288·10–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе
U 3 = Q 3 C 3 = 288⋅ 10 −4 300⋅ 10 −6 =96 В.
Напряжение на конденсаторах C1 и C2 равно
U1 = U2 = U — U3 = 240 — 96 = 144 В.
их заряды имеют следующие значения
Q1 = C1·U1 = 50·10–6·144 = 72·10–4 Кл;
Q2 = C2·U2 = 150·10–6·144 = 216·10–4 Кл.
Энергии электростатического поля конденсаторов равны
W 1 = Q 1 ⋅ U 1 2 = 72⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈0,52 Дж; W 2 = Q 2 ⋅ U 2 2 = 216⋅ 10 −4 ⋅144 2 ≈1,56 Дж; W 3 = Q 3 ⋅ U 3 2 = 288⋅ 10 −4 ⋅96 2 ≈1,38 Дж.
Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см2, имеет диэлектрик, состоящий из слюды (εr1 = 6) толщиною d1 = 0,3 мм и стекла (εr2 = 7) толщиною d2 =0,4 мм.
Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E1 = 77 кВ/мм, E2 = 36 кВ/мм.
Рис. 3
Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.
Решение
Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов
C= C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 = ε a1 ⋅S d 1 ⋅ ε a2 ⋅S d 2 ε a1 ⋅S d 1 + ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ ε a2 ⋅S ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 .
Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив εa1 = εr1·ε0 и εa2 = εr2·ε0, получим
C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ ε r2 ⋅S ε r1 ⋅ d 2 + ε r2 ⋅ d 1 =8,85⋅ 10 −12 ⋅ 6⋅7⋅12⋅ 10 −4 6⋅0,4⋅ 10 −3 +7⋅0,3⋅ 10 −3 =99⋅ 10 −12 Ф.
Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через Uпр, при этом заряд конденсатора будет равен
Q = C·Uпр.
Напряжения на каждом слое будут равны
U 1 = Q C 1 = C⋅ U пр ε a1 ⋅S d 1 = ε a2 ⋅ d 1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр ; U 2 = Q C 2 = C⋅ U пр ε a2 ⋅S d 2 = ε a1 ⋅ d 2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U пр .
Напряженности электростатического поля в каждом слое
E 1 = U 1 d 1 = ε a2 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ′ пр ; E 2 = U 2 d 2 = ε a1 ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ⋅ U ″ пр .
Здесь U’np — общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U”np — общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.
Из последнего выражения находим
U ′ пр = E 1 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a2 =49,5 кВ; U ″ пр = E 2 ⋅ ε a1 ⋅ d 2 + ε a2 ⋅ d 1 ε a1 =27,0 кВ.
Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное
27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.
Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d1 = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см2. Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.
Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d2 = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.
Решение
Энергия заряженного плоского конденсатора равна
W 1 = C 1 ⋅ U 2 2 = ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 ,
где С1 — емкость до раздвижения обкладок.
Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения
Q = C2·U2,
где C2 — емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C2 = ε0·S/d2 стало меньше в 10 раз (d2 увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U2 увеличилось в 10 раз, т. е. U2 = 10U.
Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d2 будет больше первоначальной
W 2 = ε 0 ⋅S d 2 ⋅ U 2 2 2 = ε 0 ⋅S 10 d 1 ⋅ ( 10U ) 2 2 =10⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =10⋅ W 1 .
Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.
Таким образом, надо совершить работу, равную
W 2 − W 1 =9⋅ W 1 =9⋅ ε 0 ⋅S d 1 ⋅ U 2 2 =2,86⋅ 10 −7 Дж.
Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.
Даны: C1 = 30 мкФ; C2 = 20 мкФ; r1 = 100 Ом. r2 = 400 Ом. r3 = 600 Ом, U = 20 В.
Решение
Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям
U 1 = C 2 C 1 + C 2 ⋅U= 20⋅ 10 −6 30⋅ 10 −6 +20⋅ 10 −6 ⋅20=8 В; U 2 =U− U 1 =20−8=12 В.
Рис. 4
Ключ К замкнут. Через сопротивления r1 и r2 протекает ток
I= U r 1 + r 2 = 20 500 =0,04 А,
а через сопротивление r3 ток не протекает.
Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φc = φd). Следовательно, напряжение между точками a и c (Uac = φa — φc) равно напряжению между точками a и d (Uad = φa — φd).
Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r1
UC1 = I·r1 = 0,04·100 = 4 В.
Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно
UC2 = I·r2 = 0,04·400 = 16 В.
Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C1 = 5 мкФ; C2 = 120 мкФ. Конденсатор C2 предварительно не был заряжен.
Рис. 5
Решение
Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C1 заряжен до напряжения U и его заряд равен
Q = C1·U = 5·10–6·25 = 125·10–6 Кл.
После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C1 и C2 (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q’1 и Q’2.
На основании закона сохранения электричества имеем
Q = Q’1 + Q’2 = 125 10–6 Кл. (1)
По второму закону Кирхгофа имеем
0= U C1 − U C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 2 ,
или
Q ′ 1 5⋅ 10 −6 − Q ′ 2 120⋅ 10 −6 =0. (2)
Решая уравнения (1) и (2), найдем
Q’1 = 5 10–6 Кл; Q’2 = 120 10–6 Кл.
Доставка свежих и аппетитных японских суши в Новороссийске – ям ям..
Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным
U C1 = Q ′ 1 C 1 = U C2 = Q ′ 2 C 2 = 5⋅ 10 −6 5⋅ 10 −6 =1 В.
Энергия обоих конденсаторов будет равна
W= C 1 ⋅ U C1 2 2 + C 2 ⋅ U C2 2 2 =62,5⋅ 10 −6 Дж.
Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С1, при его подключении к источнику электрической энергии
W нач = C 1 ⋅U 2 = 5⋅ 10 −6 ⋅ 25 2 2 =1562,5⋅ 10 −6 Дж.
Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10–6 — 62,5·10–6 = 1500·10–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C1 в конденсатор C2 после перевода рубильника в положение 2.
Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.
Емкости конденсаторов равны: C1 = 10 мкФ; C2 = 30 мкФ; C3 = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.
Рис. 6
Решение
Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C1 равен
Q1 = C1·U = 10·10–6·30 = 0,3·10–3 Кл.
В указанном положении рубильника конденсаторы C2 и C3 соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q2 = Q3. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем
E= U C2 + U C3 = Q 2 C 2 + Q 3 C 3 = Q 2 ⋅ C 2 + C 3 C 2 ⋅ C 3 ,
откуда
Q 2 = Q 3 = C 2 ⋅ C 3 C 2 + C 3 ⋅E= 30⋅ 10 −6 ⋅60⋅ 10 −6 90⋅ 10 −6 ⋅50=1⋅ 10 −3 Кл.
При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q’1, Q’2 и Q’3. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.
Для узла a
Q’1 + Q’2 — Q’3 = Q1 + Q2 — Q3. (1)
Для контура 2ebda2
0= U ′ C1 − U ′ C2 = Q ′ 1 C 1 − Q ′ 2 C 1 .
Для контура bcadb
E= U ′ C2 − U ′ C3 = Q ′ 2 C 2 + Q ′ 3 C 3 .
Уравнения (1) — (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид
Q’1 + Q’2 — Q’3 = 0,3·10–3; (4)
3Q’1 — Q’2 = 0; (5)
2Q’2 + Q’3 = 3·10–3. (6)
Решая совместно уравнения (4) — (6), получим
Q’1 = 0,33·10–3 Кл; Q’2 = 0,99·10–3 Кл; Q’3 = 1,02·10–3 Кл.
Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.
Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны
U C1 = Q ′ 1 C 1 = 0,33⋅ 10 −3 10⋅ 10 6 =33 В; U C2 = Q ′ 2 C 2 = 0,99⋅ 10 −3 30⋅ 10 6 =33 В; U C3 = Q ′ 3 C 3 = 1,02⋅ 10 −3 60⋅ 10 6 =17 В.
Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C1 = 5 мкФ; C2 = 4 мкФ; C3 = 3 мкФ; э. д. с. источников E1 = 20 В и E2 = 5 В.
Рис. 7
Решение
Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках
− Q 1 + Q 2 − Q 3 =0; E 1 = U C1 − U C3 = Q 1 C 1 − Q 3 C 3 ; E 2 =− U C2 − U C3 =− Q 2 C 2 − Q 3 C 3 .
Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q1 = 50 мкКл; Q2 = 20 мкКл; Q3 = –30 мкКл.
Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C1 и C2 соответствует выбранной, а у конденсатора C3 — противоположна выбранной.
Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C1 = 2 мкФ; C2 = 3 мкФ; C3 = 5 мкФ; C4 = 1 мкФ; C5 = 2,4 мкФ.
Рис. 8
Индивидуалка Дана (34 лет) т.8 926 650-82-63 Москва, метро Сокол.
Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.
Решение
1-й способ. Звезду емкостей C1, C2 и C3 (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)
C 12 = C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 + C 3 =0,6 мкФ; C 13 = C 1 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,0 мкФ; C 23 = C 2 ⋅ C 3 C 1 + C 2 + C 3 =1,5 мкФ.
Емкости C12 и C5 оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость
C6 = C12 + C5 = 3 мкФ.
Аналогично
C7 = C13 + C4 = 2 мкФ.
Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется
C ab = C 23 + C 6 ⋅ C 7 C 6 + C 7 =2,7 мкФ.
Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.
На конденсаторе C7 напряжение равно
U 7 = C 6 C 6 + C 7 ⋅U=6 В.
Таково же напряжение и на конденсаторах C4 и C13
U4 = U31 = 6 В.
Напряжение на конденсаторе C6 равно
U6 = U — U7 = 4 В;
U5 = U12 = 4 В.
Вычислим заряды
Q4 = C4·U4 = 6·10–6 Кл;
Q5 = C5·U5 = 9,6·10–6 Кл;
Q12 = C12·U12 = 6·10–6 Кл;
Q13 = C13·U31 = 2,4·10–6 Кл.
По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем
–Q4 — Q1 + Q5 = –Q4 — Q13 + Q12 + Q5,
отсюда
Q1 = Q13 — Q12 = 3,6·10–6 Кл,
а напряжение на конденсаторе, емкостью C1 составляет
U 1 = Q 1 C 1 =1,8 В.
Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах
U31 = U1 + U3,
отсюда
U3 = U31 — U1 = 4,2 В;
Q3 = C3·U3 = 21·10–6 Кл,
также
U12 = U2 — U1 = 4,2 В,
откуда
U2 = U12 + U1 = 5,8 В;
Q2 = C2·U2 = 17,4·10–6 Кл.
Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.
2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)
для узла 1
Q5 — Q1 — Q4 = 0; (1)
для узла О
Q1 + Q2 — Q3 = 0; (2)
для контура О13О
Q 1 C 1 − Q 4 C 4 + Q 3 C 3 =0; (3)
для контура О12О
Q 1 C 1 + Q 5 C 5 − Q 2 C 2 =0; (4)
для контура a3О2b
Q 3 C 3 + Q 2 C 2 =U. (5)
Система уравнений (1) — (5) — содержит пять неизвестных: Q1, Q2, Q3, Q4 и Q5. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы Сab можно найти из отношения
C ab = Q U ,
где Q = Q3 + Q4, или Q = Q2 + Q5.
Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E1 = 20 В; E2 = 7 В; C1 = 7 мкФ; C2 = 1 мкФ; C3 = 3 мкФ; C4 = 4 мкФ; C5 = C6 = 5 мкФ.
Рис. 9
Решение
При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:
для узла а
Q1 + Q2 + Q3 = 0;
для узла b
–Q3 — Q4 — Q5 = 0;
для узла c
–Q1 + Q4 + Q6 = 0;
для контура afcba
E 1 = U C1 + U C4 − U C3 = Q 1 C 1 + Q 4 C 4 − Q 3 C 3 ;
ля контура gdbag
E 2 = U C5 − U C3 + U C2 = Q 5 C 5 − Q 3 C 3 + Q 2 C 2 ;
для контура cbdc
0= U C4 − U C5 − U C6 = Q 4 C 4 − Q 5 C 5 − Q 6 C 6 .
Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды
Q1 = 35 мкКл; Q2 = –5 мкКл; Q3 = –30 мкКл;
Q4 = 20 мкКл; Q5 = 10 мкКл; Q6 = 15 мкКл.
Таким образом, истинные знаки зарядов Q1, Q4, Q5 и Q6 соответствуют выбранным, а знаки Q2 и Q3 противоположны выбранным.
Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.
Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C1 = 6 мкФ; C2 = 2 мкФ; C3 = 3 мкФ; r1 = 500 Ом; r2 = 400 Ом; U = 45 В.
Рис. 10
Решение
Через сопротивления протекает ток
I= U r 1 + r 2 =0,05 А.
Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:
− Q 1 + Q 2 + Q 3 =0; U= U C1 + U C2 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 ; I⋅ r 1 = U C1 + U C3 = Q 1 C 1 + Q 3 C 3 ,
или
Q 1 = Q 2 + Q 3 ; 45= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 2 2⋅ 10 −6 ; 25= Q 1 6⋅ 10 −6 + Q 3 3⋅ 10 −6 .
Решив эту систему уравнений, найдем, что
Q1 = 90 мкКл; Q2 = 60 мкКл; Q3 = 30 мкКл.
последовательное соединение конденсаторов,
параллельное соединение конденсаторов,
Расчет цепи конденсаторов,
Конденсатор в цепи постоянного тока,
Цепи с конденсаторами
Комментарии
Как работает конденсатор и катушка в цепи переменного тока
Содержание
- 1 Особенности работы конденсатора
- 2 Формула ёмкости
- 3 Особенности электроцепи с емкостью и индуктивностью
- 4 Виды конденсаторов
- 5 Различные характеристики конденсаторов
- 6 Где используются конденсаторы
- 7 Видео по теме
Работа многих электрических схем строится на использовании конденсаторов. Основной особенностью этих радиоэлементов является то, что они хорошо проводят переменный ток, но не пропускают постоянный.
Особенности работы конденсатора
Радиодеталь представляет собой две пластины, к которым прикреплены металлические выводы. Пластины не соприкасаются между собой. Обычно между ними проложен слой изолятора. Постоянный электроток через конденсатор проходить не может, так как нет контакта между проводниками, но для переменного он не является препятствием.
Когда конденсатор включен в цепь переменного тока, частота напряжения меняется по закону синусоиды. Сначала электродвижущая сила растёт до своего максимума. После этого она уменьшается до нуля, а затем переходит в отрицательную область, где постепенно возрастает до амплитуды, взятой со знаком минус. Затем отрицательная ЭДС уменьшается по абсолютной величине до нуля и начинает возрастать в положительной области до наибольшего значения. Описанный цикл изменений повторяется снова и снова.
Когда конденсатор работает в цепи переменного тока, в нем циклически происходят следующие процессы:
- При возрастании амплитуды от нулевого значения до максимального происходит накопление заряда. Пластины накапливают равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку заряды.
- При уменьшении до нуля накопление прекращается, заряд уменьшается, так как начинает стекать с пластин конденсатора.
- Когда напряжение меняется на противоположное, на пластины начинают поступать заряды, которые имеют знаки, противоположные тем, что были раньше.
- Как только ЭДС достигнет максимального отрицательного значения и станет уменьшаться по абсолютной величине, начнётся разрядка конденсатора.
Описанный здесь цикл повторится с началом возрастания ЭДС. Он будет осуществляться до тех пор, пока переменный ток не будет отключён.
Формула ёмкости
Одна из самых важных характеристик конденсатора — ёмкость. Её обозначают символом C. Несмотря на то, что контакта между пластинами нет, ток будет идти через конденсатор в цепи переменного тока то к пластинам, то от них. Это обусловлено циклически происходящими процессами зарядки и разрядки конденсатора.
Величина ёмкости характеризует способность конденсатора накапливать заряд при поступлении на обкладки определённой разности потенциалов. Ее можно найти по формуле:
Используя эту формулу наряду с законом изменения напряжения, можно узнать силу тока, возникающего в процессе зарядки или разрядки пластин конденсатора в цепи переменного тока. Но для этого необходимо сделать соответствующие преобразования.
Сначала находим напряжение, возникающее на конденсаторе в цепи переменного тока, воспользовавшись формулами для определения ёмкости и разности потенциалов. После преобразований получаем выражение:
Из него находим величину заряда:
Теперь можно получить выражение для электротока в цепи с конденсатором:
Надо сказать, что при выводе формулы для нахождения силы электрического тока были использованы следующие приемы:
- От выражения для заряда была взята производная по времени.
- Затем было выполнено эквивалентное тригонометрическое преобразование.
- Um соответствует максимальному значению амплитуды колебаний электронапряжения.
Полученное выражение позволяет узнать ток зарядки и разрядки конденсатора в любой момент. Изменения тока опережают напряжение на половину «пи». Величина тока будет максимальной при нулевом напряжении. И, наоборот, значение тока станет нулевым, когда напряжение достигнет максимума.
Для определения ёмкости может быть использована еще такая формула:
Как видно из формулы, ёмкость конденсатора увеличивается при увеличении площади пластин и уменьшении расстояния между ними.
Емкостное сопротивление — ещё одна важная характеристика конденсатора. Его можно найти по формуле:
Если взять формулу для определения амплитуды электротока:
И подставить в нее значение ХС, то получим:
После изучения данной формулы становится понятно, что емкостное и активное сопротивление из закона Ома играют одну и ту же роль. Поэтому емкостное можно считать сопротивлением конденсатора переменному электротоку.
Пример использования формул для решения простых задач по нахождению емкости конденсатора можно увидеть на изображении ниже:
Особенности электроцепи с емкостью и индуктивностью
Рассматривая ранее цепь переменного тока с включенным конденсатором, мы могли видеть, что частота колебаний электротока на конденсаторе опережает частоту колебаний электронапряжения на π/2. При включении катушки индуктивности наблюдается обратное явление, то есть, электроток отстает от электронапряжения на π/2. Его амплитуда определяется по формуле:
Знаменатель в данной формуле представляет собой выражение, используемое для определения индуктивного сопротивления:
В итоге получаем формулу для силы электротока:
Индуктивное сопротивление, как и емкостное, зависит от частоты электротока. Поэтому катушка, включенная в постоянную цепь, будет иметь нулевое индуктивное сопротивление.
Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока образуют, так называемый, колебательный контур. Его колебания определяются по формуле:
При вынужденных колебаниях сила элетротока достигает максимума, если колебания электронапряжения и самого контура становятся равными:
Виды конденсаторов
На данный момент существует огромный выбор конденсаторов:
- Наиболее распространены радиодетали с двумя обкладками, но их может быть и больше.
- Плоский конденсатор состоит из двух пластин, между которыми расположен тонкий слой диэлектрика. Его толщина должна быть небольшой по сравнению с размерами пластин.
- В цилиндрическом конденсаторе обе пластины имеют цилиндрическую форму. Одна из них находится внутри другой. Между цилиндрами имеется равномерный тонкий промежуток, который заполнен диэлектриком.
- Существуют сферические конденсаторы, обкладки которых представляют собой сферы, одна из которых находится внутри другой.
Конденсаторы различаются в зависимости от вида диэлектрика. В частности, может использоваться не только твёрдый, но и жидкий или газообразный диэлектрик. Есть также вакуумные конденсаторы, в которых внутри между обкладками находится вакуум.
Существуют оксидно-полупроводниковые конденсаторы. Один из их электродов является анодом. Диэлектриком выступает покрывающий его оксид. Катодом является полупроводниковый слой, который наносится на слой оксида.
Для изолирующего слоя могут использоваться как органические, так и неорганические материалы. В первом случае применяются бумажные или плёночные материалы. Неорганический диэлектрик выполняется из керамики, стекла, слюды или неорганических синтетических плёнок. Есть и такие, внутри которых содержится электролитический раствор. Конденсаторы с подобным диэлектриком характеризуются относительно высокой ёмкостью.
Еще одна разновидность конденсаторов — подстроечные. Их использование предоставляет возможность изменять значение емкости в определенных пределах, чтобы деталь могла работать наиболее эффективно.
Наряду с конденсаторами общего назначения существуют и те, которые предназначены для специального применения. Примерами таких видов являются дозиметрические, высоковольтные, пусковые, импульсные, помехоподавляющие и некоторые другие радиоэлементы.
Различные характеристики конденсаторов
Основной характеристикой конденсатора является ёмкость. Но при выборе необходимо учитывать и другие.
Для каждого конденсатора существует номинальное напряжение. Если эксплуатация детали будет осуществляться исключительно при таком значении, производитель гарантирует качественную работу в течение всего срока службы.
При увеличении подаваемого на пластины напряжения заряд будет увеличиваться. Если разность потенциалов станет слишком большой, произойдёт пробой радиодетали. В результате между обкладками пройдёт искра, а сам конденсатор станет неисправной. Конденсатор в цепи переменного тока необходимо эксплуатировать в строго заданных параметрах. Иначе срок его эксплуатации существенно сокращается.
Ещё одна характеристика — удельная ёмкость. Она равна отношению ёмкости и массы используемого диэлектрика. С её повышением улучшаются характеристики, но возрастает вероятность пробоя.
В формуле для определения ёмкости используется понятие диэлектрической проницаемости диэлектрика, который находится между пластинами. Эта характеристика определяет то, насколько сильно данное вещество ослабляет влияние электрического поля между обкладками.
В диэлектриках электроны сильно привязаны к ядрам атомов, из-за чего они не перемещаются под действием электрического поля и не образуют электрический ток. Однако при воздействии электрического поля осуществляется поляризация атомов за счет смещения электронов внутри них. Следствием этого является ослабление электрического поля. Его величина зависит от того, какое вещество используется в качестве диэлектрика. Возмущение электрического поля, создаваемое диэлектриком, ослабляет то, которое было приложено к пластинам, и препятствует притоку заряда к пластинам.
Где используются конденсаторы
Радиодетали этого вида находят применение в разных сферах деятельности современного человека:
- Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока образуют колебательный контур, его используют во многих устройствах.
- Конденсаторы меняют свои характеристики в зависимости от температуры или влажности окружающей среды, поэтому применяются в самых разных измерительных приборах.
- Еще одна сфера применения— блоки питания.
- Используются в цепях с преобразователями переменного тока в постоянный.
- Применяются в частотных фильтрах.
- Без конденсатора трудно представить усилитель.
- Конденсатор является важным элементом для процессоров и других микросхем.
Здесь приведены только некоторые варианты использования. На самом деле их гораздо больше.
Видео по теме
Господа, в сегодняшней статье я хотел бы рассмотреть такой интересный вопрос, как конденсатор в цепи переменного тока. Эта тема весьма важна в электричестве, поскольку на практике конденсаторы повсеместно присутствуют в цепях с переменным током и, в связи с этим, весьма полезно иметь четкое представление, по каким законам изменяются в этом случае сигналы. Эти законы мы сегодня и рассмотрим, а в конце решим одну практическую задачу определения тока через конденсатор.
Господа, сейчас для нас наиболее интересным моментом является то, как связаны между собой напряжение на конденсаторе и ток через конденсатор для случая, когда конденсатор находится в цепи переменного сигнала.
Почему сразу переменного? Да просто потому, что конденсатор в цепи постоянного тока ничем не примечателен. Через него течет ток только в первый момент, пока конденсатор разряжен. Потом конденсатор заряжается и все, тока нет (да-да, слышу, уже начали кричать, что заряд конденсатора теоретически длится бесконечно долгое время, да еще у него может быть сопротивление утечки, но пока что мы этим пренебрегаем). Заряженный конденсатор для постоянного тока – это как разрыв цепи. Когда же у нас случай переменного тока – тут все намного интереснее. Оказывается, в этом случае через конденсатор может протекать ток и конденсатор в этом случае как бы эквивалентен резистору с некоторым вполне определенным сопротивлением (если пока забить забыть про всякие там сдвиги фазы, об этом ниже). Нам надо каким-нибудь образом получить связь между током и напряжением на конденсаторе.
Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома. Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор. Там совсем иная физика протекания процессов, поэтому вот так вот с наскока не получится просто связать между собой ток и напряжение. Тем не менее, сделать это надо, поэтому давайте попробуем порассуждать.
Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока. Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение
Кто-нибудь может возразить, что в той статье про силу тока запись была через Δq и Δt – некоторые весьма малые величины заряда и времени, за которое этот заряд проходит через сечение проводника. Однако здесь мы будем применять запись через dq и dt – через дифференциалы. Такое представление нам потребуется в дальнейшем. Если не лезть глубоко в дебри матана, то по сути dq и dt здесь особо ничем не отличаются от Δq и Δt. Безусловно, глубоко сведущие в высшей математике люди могут поспорить с этим утверждением, но да сейчас я не хочу концентрировать внимание на данных вещах.
Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора С, заряд q, который он в себе накопил, и напряжение U на конденсаторе, которое при этом образовалось. Ну, мы же помним, что если конденсатор накопил в себе какой-то заряд, то на его обкладках неизбежно возникнет напряжение. Про это все мы тоже говорили раньше, вот в этой вот статье. Нам будет нужна вот эта формула, которая как раз и связывает заряд с напряжением
Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:
А теперь есть очень большой соблазн подставить это выражение для заряда конденсатора в предыдущую формулу для силы тока. Приглядитесь-ка повнимательнее – у нас ведь тогда окажутся связанными между собой сила тока, емкость конденсатора и напряжение на конденсаторе! Сделаем эту подстановку без промедлений:
Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной. Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей. Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем. Почему это происходит? Ответ элементарный: по мере протекания тока на обкладках конденсатора, очевидно, заряд будет изменяться. А изменение заряда непременно приведет к изменению напряжения на конденсаторе. Поэтому напряжение можно рассматривать как некоторую функцию времени и его нельзя выносить из-под дифференциала. Итак, проведя оговоренные выше преобразования, получаем вот такую вот запись:
Господа, спешу вас поздравить – только что мы получили полезнейшее выражение, которое связывает между собой напряжение, приложенное к конденсатору, и ток, который течет через него. Таким образом, если мы знаем закон изменения напряжения, мы легко сможем найти закон изменения тока через конденсатор путем простого нахождения производной.
А как быть в обратном случае? Допустим, нам известен закон изменения тока через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения на нем. Читатели, сведущие в математике, наверняка уже догадались, что для решения этой задачи достаточно просто проинтегрировать написанное выше выражение. То есть, результат будет выглядеть как-то так:
По сути оба этих выражений про одно и тоже. Просто первое применяется в случае, когда нам известен закон изменения напряжения на конденсаторе и мы хотим найти закон изменения тока через него, а второе – когда нам известно, каким образом меняется ток через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения. Для лучшего запоминания всего этого дела, господа, я приготовил для вас поясняющую картинку. Она изображена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Поясняющая картинка
На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.
Господа, обратите внимание – полученные выражения справедливы для любого закона изменения тока и напряжения. Здесь не обязательно должен быть синус, косинус, меандр или что-то другое. Если у вас есть какой-то совершенно произвольный, пусть даже совершенно дикий, не описанный ни в какой литературе, закон изменения напряжения U(t), поданного на конденсатор, вы, путем его дифференцирования можете определить закон изменения тока через конденсатор. И аналогично если вы знаете закон изменения тока через конденсатор I(t) то, найдя интеграл, сможете найти, каким же образом будет меняться напряжение.
Итак, мы выяснили как связать между собой ток и напряжение для абсолютно любых, даже самых безумных вариантов их изменения. Но не менее интересны и некоторые частные случаи. Например, случай успевшего уже нам всем полюбиться синусоидального тока. Давайте теперь разбираться с ним.
Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом
Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше. Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную
Или можно записать вот так
Господа, хочу вам напомнить, что синус ведь только тем и отличается от косинуса, что один сдвинут относительно другого по фазе на 90 градусов. Ну, или, если выражаться на языке математики, то 
. Не понятно, откуда взялось это выражение? Погуглите формулы приведения 
. Штука полезная, знать не помешает. А еще лучше, если вы хорошо знакомы с тригонометрическим кругом, на нем все это видно очень наглядно.
Господа, отмечу сразу один момент. В своих статьях я не буду рассказывать про правила нахождения производных и взятия интегралов. Надеюсь, хотя бы общее понимание этих моментов у вас есть. Однако даже если вы не знаете, как это делать, я буду стараться излагать материал таким образом, чтобы суть вещей была понятна и без этих промежуточных выкладок. Итак, сейчас мы получили немаловажный вывод – если напряжение на конденсаторе изменяется по закону синуса, то ток через него будет изменяться по закону косинуса. То есть ток и напряжение на конденсаторе сдвинуты друг относительно друга по фазе на 90 градусов. Кроме того, мы можем относительно легко найти и амплитудное значение тока (это множители, которые стоят перед синусом). Ну то есть тот пик, тот максимум, которого ток достигает. Как видим, оно зависит от емкости C конденсатора, амплитуды приложенного к нему напряжения Um и частоты ω. То есть чем больше приложенное напряжение, чем больше емкость конденсатора и чем больше частота изменения напряжения, тем большей амплитуды достигает ток через конденсатор. Давайте построим график, изобразив на одном поле ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе. Пока без конкретных цифр, просто покажем качественный характер. Этот график представлен на рисунке 2 (картинка кликабельна).
Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе
На рисунке 2 синий график – это синусоидальный ток через конденсатор, а красный – синусоидальное напряжение на конденсаторе. По этому рисунку как раз очень хорошо видно, что ток опережает напряжение (пики синусоиды тока находятся левее соответствующих пиков синусоиды напряжения, то есть наступают раньше).
Давайте теперь проделаем работу наоборот. Пусть нам известен закон изменения тока I(t) через конденсатор емкостью C. И закон этот пусть тоже будет синусоидальным
Давайте определим, как в таком случае будет меняться напряжение на конденсаторе. Воспользуемся нашей общей формулой с интегральчиком:
По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом
Здесь мы снова воспользовались интересными сведениями из тригонометрии, что 
. И снова формулы приведения придут вам на помощь, если не понятно, почему получилось именно так.
Какой же вывод мы можем сделать из данных расчетов? А вывод все тот же самый, какой уже был сделан: ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90 градусов. Более того, они не просто так сдвинуты. Ток опережает напряжение. Почему это так? Какая за этим стоит физика процесса? Давайте разберемся.
Представим, что незаряженный конденсатор мы подсоединили к источнику напряжения. В первый момент никаких зарядов в конденсаторе вообще нет: он же разряжен. А раз нет зарядов, то нет и напряжения. Зато ток есть, он возникает сразу при подсоединении конденсатора к источнику. Замечаете, господа? Напряжения еще нет (оно не успело нарасти), а ток уже есть. И кроме того, в этот самый момент подключения ток в цепи максимален (разряженный конденсатор ведь по сути эквивалентен короткому замыканию цепи). Вот вам и отставание напряжения от тока. По мере протекания тока, на обкладках конденсатора начинает накапливаться заряд, то есть напряжение начинает расти а ток постепенно уменьшаться. И через некоторое время накопится столько заряда на обкладках, что напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника и ток в цепи совсем прекратится.
Теперь давайте этот самый заряженный конденсатор отцепим от источника и закоротим накоротко. Что получим? А практически то же самое. В самый первый момент ток будет максимален, а напряжение на конденсаторе останется таким же, какое оно и было без изменений. То есть снова ток впереди, а напряжение изменяется вслед за ним. По мере протекания тока напряжение начнет постепенно уменьшаться и когда ток совсем прекратится, оно тоже станет равным нулю.
Для лучшего понимания физики протекающих процессов можно в который раз уже использовать водопроводную аналогию. Представим себе, что заряженный конденсатор – это некоторый бачок, полный воды. У этого бачка есть внизу краник, через который можно спустить воду. Давайте этот краник откроем. Как только мы его откроем, вода потечет сразу же. А давление в бачке будет падать постепенно, по мере того, как вода будет вытекать. То есть, грубо говоря, ручеек воды из краника опережает изменение давления, подобно тому, как ток в конденсаторе опережает изменение напряжения на нем.
Подобные рассуждения можно провести и для синусоидального сигнала, когда ток и напряжения меняются по закону синуса, да и вообще для любого. Суть, надеюсь, понятна.
Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.
Пусть у нас имеется источник синусоидального напряжения, действующее значение равно 220 В, а частота 50 Гц. Ну, то есть все ровно так же, как у нас в розетках. К этому напряжению подключают конденсатор емкостью 1 мкФ. Например, пленочный конденсатор К73-17, рассчитанный на максимальное напряжение 400 В (а на меньшее напряжение конденсаторы ни в коем случае нельзя подключать в сети 220 В), выпускается с емкостью 1 мкФ. Чтобы вы имели представление, с чем мы имеем дело, на рисунке 3 я разместил фотографию этого зверька (спасибо Diamond за фото 
)
Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор
Требуется определить, какая амплитуда тока будет протекать через этот конденсатор и построить графики тока и напряжения.
Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье. Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону
Теперь мы можем воспользоваться полученной ранее формулой, которая свяжет напряжение в розетке с током через конденсатор. Выглядеть результат будет так
Мы просто подставили в общую формулу емкость конденсатора, заданную в условии, амплитудное значение напряжения и круговую частоту напряжения сети. В результате после перемножения всех множителей имеем вот такой вот закон изменения тока
Вот так вот, господа. Получается, что амплитудное значение тока через конденсатор чуть меньше 100 мА. Много это или мало? Вопрос нельзя назвать корректным. По меркам промышленной техники, где фигурируют сотни ампер тока, очень мало. Да и для бытовых приборов, где десятки ампер не редкость – тоже. Однако для человека даже такой ток представляет большую опасность! Отсюда следует вывод, что хвататься за такой конденсатор, подключенный к сети 220 В не следует 
. Однако на этом принципе возможно изготовление так называемых источников питания с гасящим конденсатором. Ну да это тема для отдельной статьи и здесь мы не будем ее затрагивать.
Все это хорошо, но мы чуть не забыли про графики, которые должны построить. Надо срочно исправляться! Итак, они представлены на рисунке 4 и рисунке 5. На рисунке 4 вы можете наблюдать график напряжения в розетке, а на рисунке 5 – закон изменения тока через конденсатор, включенный в такую розетку.
Рисунок 4 – График напряжения в розетке
Рисунок 5 – График тока через конденсатор
Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть. И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность. Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!
Вступайте в нашу группу Вконтакте
Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.
Найди разность потенциалов между точками (A) и (B) батареи конденсаторов известной ёмкости, подключённой к источнику постоянного тока с напряжением (U) (рис. (1)).
Рис. (1). Физическая ситуация задачи
1. Физическая модель задачи:
– конденсаторы (C_1) и (C_2) соединены последовательно (Rightarrow) заряд на каждом их них равен (Q_{1});
– конденсаторы (C_3) и (C_4) соединены последовательно (Rightarrow) заряд на каждом их них равен (Q_{2});
– левые обкладки конденсаторов (C_{1}) и (C_{3}) соединены с положительной клеммой источника тока (Rightarrow) их заряд положительный;
– правые обкладки конденсаторов (C_{2}) и (C_{4}) соединены с отрицательной клеммой источника тока (Rightarrow) их заряд отрицательный;
– введём дополнительные обозначения узлов (a) и (b) (рис. (2)).
Рис. (2). Физическая модель задачи
2. Физические законы:
– разность потенциалов (varphi_a) и (varphi_b):
(varphi_a – varphi_b=U); ((1))
– ёмкость конденсатора (C_{1}):
(C_{1}=frac{Q_{1}}{varphi_a-varphi_A}); ((2))
– ёмкость конденсатора (C_{2}):
(C_{2}=frac{Q_{1}}{varphi_A-varphi_b}); ((3))
– ёмкость конденсатора (C_{3}):
(C_{3}=frac{Q_{2}}{varphi_a-varphi_B}); ((4))
– ёмкость конденсатора (C_{4}):
(C_{4}=frac{Q_{2}}{varphi_B-varphi_b}). ((5))
3. Математическое решение задачи:
– выражаем разности потенциалов из формул ((2))–((5)):
(varphi_a-varphi_A=frac{Q_1}{C_1}); ((6))
(varphi_A-varphi_b=frac{Q_1}{C_2}); ((7))
(varphi_a-varphi_B=frac{Q_2}{C_3}); ((8))
(varphi_B-varphi_b=frac{Q_2}{C_4}); ((9))
– складываем левые и правые части уравнений ((6)) и ((7)) с учётом формулы ((1)):
(U=frac{Q_{1}}{C_1}+frac{Q_1}{C_{2}}); ((10))
– складываем левые и правые части уравнений ((8)) и ((9)) с учётом формулы ((1)):
(U=frac{Q_{2}}{C_3}+frac{Q_2}{C_{4}}); ((11))
– выражаем заряды (Q_1) и (Q_2) из формул ((10)) и ((11)) соответственно:
(Q_{1}=frac{C_1 C_2}{(C_1+C_2)}U); ((12))
(Q_{2}=frac{C_3 C_4}{(C_3+C_4)}U); ((13))
– подставляем формулы ((12)) и ((13)) в ((6)) и ((8)) соответственно (или в ((7)) и ((9)):
(varphi_a-varphi_A=frac{C_2 U}{C_1+C_2}); ((14))
(varphi_a-varphi_B=frac{C_4 U}{C_3+C_4}); ((15))
– вычитаем левые и правые части формул ((15)) и ((14)) друг из друга и находим искомую разность потенциалов:
(varphi_A-varphi_B=left(frac{C_4}{C_3+C_4}-frac{C_2}{C_1+C_2}right) U;) ((16))
– проверяем размерность формулы ((16)):
(varphi_A-varphi_B=left( frac{Ф}{Ф}-frac{Ф}{Ф}right)В=В).
Источники:
Рис. 1. Физическая ситуация задачи. © ЯКласс.
Рис. 2. Физическая модель задачи. © ЯКласс.
Электрическая цепь RC
Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе,
согласно закону Ома, составит U/R, где U – напряжение заряда конденсатора.
Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и
противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:
Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R
Интегрируем: 
Из таблицы интегралов здесь используем преобразование 
Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = – t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e-t/RC * eConst.
Решение примет вид:
U = e-t/RC * Const.
Здесь Const – константа, величина, определяемая начальными условиями.
Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону
e-t/RC.
Экспонента – функция exp(x) = ex
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828…
Постоянная времени τ
Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U,
в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения UC и определится выражением:
Тогда напряжение UC на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:
UC = U(1 – e-t/RC)
При t = RC, напряжение на конденсаторе составит UC = U(1 – e-1) = U(1 – 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.
Постоянная времени τ = RC
За время τ конденсатор зарядится до (1 – 1/e)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 – 1/e3)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 – 1/e5)*100% ≈ 99% значения U.
Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R,
тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.
Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять UC = Ue-t/τ = U/et/τ.
За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения U.
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e3)*100% ≈ 5% от значения U.
За время 5τ до (1/e5)*100% ≈ 1% значения U.
Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.
Замечания и предложения принимаются и приветствуются!
