Как найти ток в симметричной трехфазной цепи - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Трехфазные симметричные цепи:

Основными приемниками электрической энергии как по количеству, так и по установленной мощности являются электродвигатели, применяемые для приведения в движение рабочих машин. Трехфазные асинхронные двигатели — наиболее простые, надежные и дешевые. Повсеместное применение их обусловило бурное развитие трехфазных систем — производства, передачи и распределения электрической энергии. Для этой цели применяются трехфазные генераторы, трансформаторы, линии передачи, распределительные сети.

Общие сведения о трехфазных системах

Многофазная система электрических цепей представляет собой совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные э. д. с. одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе и создаваемые одним источником энергии. Соответствующая этому определению система из трех цепей называется трехфазной.

Трехфазная система э. д .с.

В трехфазном генераторе, в котором имеются три самостоятельные обмотки, сдвинутые относительно друг друга в пространстве на 120°, образуется трехфазная симметричная система э. д .с. Схематично это показано на рис. 20.1 применительно к генератору с одной парой полюсов на статоре и обмотками на роторе. Однако нужно заметить, что в реальных генераторах обмотка переменного тока неподвижна (расположена на статоре), а магнитные полюса вращаются (расположены на роторе). Такая конструкция генератора лучше, а принцип его работы не меняется.

Если число витков в обмотках одинаково, то при вращении ротора во всех обмотках наводятся э. д. с. одинаковой величины. Начальные фазы этих э. д. с. сдвинуты относительно друг друга на 120° в соответствии с пространственным расположением обмоток.

Трехфазная симметричная система э. д. с. — это совокупность трех э. д. с., имеющих одинаковую частоту и амплитуду, сдвинутых по фазе относительно друг друга на углы 120°.

Признаком нессимметрии трехфазной системы э. д. с. является неравенство амплитуд или неравенство углов сдвига фаз между каждой парой э. д. с.
На рис. 20.1 обмотки показаны в начальном положении (t = 0). При вращении ротора против часовой стрелки уравнения э. д. с. можно записать в следующем виде:

Рис. 20.2. Графики и векторная диаграмма симметричной системы э. д. с.

Несвязанная трехфазная система электрических цепей

На схемах замещения обмотки трехфазного генератора обозначают, как показано на рис. 20.3, а, и условно принимают направление э. д .с. от конца к началу обмотки положительным.

Если каждую обмотку трехфазного генератора соединить со своим приемником, образуются три независимые цепи, каждая со своим током. Одна такая цепь с ее элементами (обмотка генератора, приемник, соединительные провода) в практике называется фазой. Термин «фаза» употреблен в своем подлинном значении, которое остается в силе и для трехфазных цепей.
В несвязанной трехфазной системе генератор с приемником энергии соединяется шестью проводами. Большое число соединительных проводов — основной недостаток несвязанных систем, которые поэтому и не применяются. Сокращение числа соединительных проводов достигается в связанных системах, где обмотки генератора, как и отдельные фазы приемника, электрически связаны между собой и образуют трехфазные цепи.

Рис. 20.3. Несвязанная трехфазная система электрических цепей

Для этой цели выдающимся русским ученым М. О. Доливо-Добровольским (1862—1919) предложены две схемы соединения: звездой и треугольником, которые применяются и в настоящее время.

Трехфазная цепь называется симметричной, если комплексы сопротивлений всех ее фаз одинаковы. Когда в такой цепи действует симметричная система э. д. с., то токи в фазах равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°, т. е. получается симметричная трехфазная система токов (рис. 20.3, б).

Нужно отметить, что приемник электрической энергии (электродвигатели, электролампы и т. п.) с генераторами, установленными на электростанциях, обычно непосредственно не связаны.

На пути электроэнергии от генератора к приемникам установлены трансформаторы, с помощью которых в электрической сети неоднократно изменяется напряжение. Для указанных приемников источником электрической энергии чаще всего служат трехфазные трансформаторы, которые по отношению к генераторам сами являются приемниками энергии. Поэтому далее все рассуждения будем относить к -трехфазному источнику, подразумевая при этом генератор или трансформатор.

Соединение звездой при симметричной нагрузке

На рис. 20.4 показана связанная система при соединении фаз источника энергии и приемника звездой. Такую систему легко получить из несвязанной системы.

Рис. 20.4. Связанные трехфазные системы электрических цепей при соединении звездой

Концы обмоток источника X, Y, Z соединяются в общую точку N, называемую нулевой точкой или нейтралью. Провода, соединяющие начала А, В и С обмоток источника с приемником (линейные провода), сохраняются; три провода, присоединенные к концам обмоток, заменяются одним. Благодаря этому в приемнике также образуется нулевая точка N’ (нейтраль). Нулевые точки источника энергии и приемника могут быть связаны проводом, который называется нулевым или нейтральным (рис. 20.4, а). В этом случае получается связанная четырехпроводная трехфазная система электрических цепей.
Далее будет показано, что в симметричных трехфазных цепях можно отказаться от нулевого провода, так как ток в нем равен нулю. В этом случае связь между источником и приемником, соединенными звездой, можно осуществлять по трехпроводной схеме (рис. 20.4, б).

Фазные напряжения

Разность потенциалов между линейными зажимами и нейтралью называется фазным напряжением (, , ).

Фазные напряжения источника есть напряжения между началами и концами фаз, они отличаются от э. д. с. на величину падения напряжения в обмотках. Если сопротивлением обмоток можно пренебречь, то фазные напряжения источника равны соответствующим э. д. с. В симметричной системе они изображаются, так же как и э. д. с., тремя равными по величине векторами, сдвинутыми по фазе на 120° (рис. 20.5, а).

Рис. 20.5. Векторные диаграммы напряжений при соединении обмоток источника звездой

В четырехпроводной и симметричной трехпроводной цепях фазные напряжения в приемнике меньше, чем в источнике, на величину падения напряжения в соединительных проводах. Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазные напряжения в приемнике считаются такими же, как в источнике.

Линейные напряжения

Разность потенциалов между каждой парой линейных проводов называется линейным напряжением (, , ).

Если принять потенциал нулевой точки N источника энергии равным нулю, то потенциалы его линейных зажимов:

Линейные напряжения:

Переходя к действующим величинам, напишем выражения в комплексной форме:

Потенциалы линейных зажимов (или линейных проводов) в каждое мгновение отличаются друг от друга из-за наличия сдвига фаз между фазными напряжениями. Следовательно, линейные напряжения не равны нулю. Их можно определить аналитически по уравнениям (20.3) или графически с помощью векторной диаграммы рис. 20.5.

Из векторной диаграммы видно, что при симметричной системе фазных напряжений система линейных напряжений тоже симметрична: равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на 120°. Вместе с тем при прямой последовательности фаз звезда векторов линейных напряжений опережает на 30° звезду векторов фазных напряжений.

Векторную диаграмму удобно выполнить топографической, тогда каждой точке цепи соответствует определенная точка на диаграмме (рис. 20.5, б). Вектор, проведенный между двумя точками топографической диаграммы, выражает по величине и фазе напряжение между одноименными точками цепи.
Действующая величина линейных напряжений легко определяется по векторной диаграмме из треугольника, образованного векторами двух фазных и одного линейного напряжения, например ANB:

Обозначая все фазные напряжения U_ф, а линейные напряжения U_л получим общее соотношение между линейными и фазными напряжениями в симметричной системе

Фазные и линейные токи

В связанной системе (см. рис. 20.4, а), так же как и в несвязанной, каждая фаза представляет собой замкнутую цепь.

В соответствии с положительным направлением э. д. с. в обмотках источника положительное направление токов в линейных проводах — от источника к приемнику, а в нулевом проводе — от приемника к источнику.

В трехфазных цепях различают фазные и линейные токи.
Токи в фазах источника и приемника называют фазными (на рис. 20.4 i’_A, i’_B, i’_С; общее обозначение i_ф). Токи в линейных проводах называют линейными (i_A, i_B, i_С; общее обозначение i_л).

При соединении звездой в точках перехода из источника в линию и из линии в приемник нет разветвлений, поэтому фазные и линейные токи одинаковы между собой в каждой фазе:

Задача 20.3.

В каждой фазе трехфазного генератора наводится э. д. с. Е = 127 В. Начертить схему, построить векторную диаграмму и определить линейные напряжения при холостом ходе, если в общую точку соединены зажимы: а) X, Y, Z; б) X, Y, C; в) X, B, Z; г) X, B, C; д)A, B, C. Буквами A, B, C обозначены начала, а X, Y, Z — концы обмоток.

Рис. 20.6. К задаче 20.3

Рис. 20.7. К задаче 20.3

Решение. Схема генератора и векторная диаграмма при соединении в общую точку зажимов X, Y, Z показаны на рис. 20.6. Из векторной диаграммы видно, что линейные напряжения одинаковы:

При соединении в общую точку зажимов X, Y, C (рис. 20.7) фаза С включена началом в нулевой точке, поэтому вектор фазного напряжения этой фазы изображен на векторной диаграмме в положении, повернутом на 180° к нормальному, и обозначен U_Z. Из векторной диаграммы следует: U_AB = 220 В; U_BZ = 127; U_ZA = 127 В.

Соединение треугольником при симметричной нагрузке

При соединении треугольником из трех обмоток источника образуется замкнутый на себя контур (рис. 20.8, а). Точно так же замкнутый контур создается из трех фаз приемника.

Общие точки двух фаз источника и двух фаз приемника соединяются между собой линейными проводами. Так образуется связанная трехфазная трехпроводная система, в которой каждая обмотка источника соединена с соответствующей фазой приемника парой линейных проводов, каждый из которых обеспечивает такую связь в двух смежных фазах.

Рис. 20.8. Связанная трехфазная система электрических цепей при соединении треугольником

Фазные и линейные напряжения

Соединение нескольких обмоток источника в замкнутый контур возможно лишь в том случае, если сумма всех э. д. с. этого контура равна нулю.
Это требование выполняется при таком порядке соединения, когда конец предыдущей обмотки соединяется с началом следующей. Например, конец X фазы А соединен с началом фазы В в общей точке ХВ, конец Y фазы В соединен с началом фазы С в общей точке YС и конец Z фазы С соединен с началом фазы А в общей точке ZА.

Симметричная система э. д. с., действующих в контуре, имеет сумму, равную нулю (рис. 20.8, б):

В этом случае при холостом ходе источника ток в его обмотках отсутствует.
При несимметрии системы э. д. с. их сумма не равна нулю, поэтому уже при холостом ходе в обмотках источника образуется ток, который может быть большим даже при малой несимметрии, так как сопротивление обмоток незначительно.

Рис. 20.9. Неправильное соединение треугольником обмоток источника

Рис. 20.10. Векторные диаграммы напряжений при соединении обмоток источника треугольником.

При неправильном включении обмоток, когда две соседние фазы соединены началами или концами (рис. 20.9), сумма э. д. с. в контуре равна удвоенной величине э. д. с. фазы.
Из схемы соединения треугольником видно, что фазные и линейные напряжения совпадают, так как конец одной фазы соединен с началом другой:

Векторную диаграмму напряжений можно построить в виде звезды или в виде замкнутого треугольника векторов (рис. 20.10). В последнем случае диаграмма является топографической.

Фазные и линейные токи

Каждая фаза приемника присоединении треугольником находится под линейным напряжением. Этим обусловлено наличие в приемнике фазных токов i_AB, i_BC, i_СA, положительное направление которых на схеме рис. 20.8 выбрано соответственно положительному направлению э. д. с. в фазах источника.

Точки А’, В’, С’ приемника, так же как и точки А, В, С источника, являются электрическими узлами, поэтому фазные токи отличаются от линейных i_A, i_B, i_С. Для узловых точек А, В, С можно написать уравнения в комплексной форме по первому закону Кирхгофа:

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы. Звезда векторов линейных токов сдвинута относительно звезды фазных токов на 30° против вращения векторов, если последовательность фаз — прямая (рис. 20.11, а).
Действующая величина линейных токов определяется по векторной диаграмме из равнобедренного треугольника, образованного векторами двух фазных и одного линейного токов, например из треугольника ANC (рис. 20.11, б):

Рис. 20.11. Векторные диаграммы токов при соединении приемников треугольником

Обозначив все фазные токи I_ф, а линейные токи I_л, получим общее соотношение между линейными и фазными токами в симметричной цепи:

Расчет симметричных трехфазных цепей

Формулы (20.4) и (20.8), как уже отмечено, справедливы только для симметричных систем напряжений и токов.

Трехфазные электродвигатели имеют три одинаковые фазы обмотки, и создаваемая ими электрическая нагрузка симметрична. Нессимметрию создают однофазные приемники, например лампы электрического освещения и другие бытовые электроприемники. Если при проектировании осветительную нагрузку разделить между фазами поровну, то в процессе эксплуатации нагрузка, как правило, будет несимметричной из-за неодновременности включения ламп.

При большом числе однофазных приемников нессимметрия нагрузки, связанная с неодновременностью их включения, невелика, поэтому линии с напряжением 3; 6 кВ и выше, предназначенные для электроснабжения промышленных предприятий или определенного района (фидерные линии), выполняют трехпроводными независимо от схемы соединения групп приемников (звездой или треугольником).

Цель расчета состоит в определении токов в фазах приемника и проводах линии, а также мощности приемника в целом и в каждой фазе. Может быть поставлена и обратная задача.

Соединение звездой

В симметричной цепи комплексы сопротивлений фаз приемника одинаковы и между зажимами приемника действует симметричная система линейных напряжений при любой схеме соединения источника (звездой или треугольником).

Поэтому на расчетной схеме источник (генератор или трансформатор) не показывают и говорят, что приемник включен в трехфазную сеть (см. рис. 21.3, о). (20.8)
В симметричной цепи достаточно провести расчет одной фазы, так как токи и мощности во всех фазах одинаковы.
При известном линейном напряжении U_л фазное напряжение

Фазный ток, равный линейному,

Соединение треугольником

При соединении треугольником фазное напряжение
Ток в фазе

Линейный ток

Определение мощности

Мощность в каждой фазе трехфазной цепи определяется теми же формулами, которые применялись при расчете однофазных цепей.
При симметричной нагрузке фазные напряжения, токи и углы сдвига фаз между ними в каждой фазе одинаковы, поэтому при определении мощности цепи можно написать общие выражения:

Учитывая, что при соединении звездой

а при соединении треугольником

мощности можно определять через линейные величины напряжений и токов:

При решении задач символическим методом мощность определяется, так же как и в однофазных цепях, произведением соответствующих комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока.

Задача 20.9.

К трехфазному трансформатору с линейным напряжением на вторичной обмотке 380 В включены звездой электрические лампы мощностью 40 Вт каждая (по 100 шт. в фазе) и трехфазный двигатель мощностью 10 кВт, имеющий к. п. д. 85%,
Пренебрегая сопротивлением проводов, определить токи в линии.
Решение. Заданная нагрузка симметрична, так как в каждой фазе включены одинаковые по величине и характеру приемники: осветительная нагрузка и одна фаза двигателя.

Рис. 20.12. К задаче 20.9

Расчет можно вести на одну фазу:

Ток осветительной нагрузки

Ток в фазе двигателя

Для нахождения тока в линии нужно сложить токи ламп и двигателя. Эти токи по фазе не совпадают, поэтому разложим их на активные и реактивные составляющие и сложим одноименные составляющие.
Ток в лампах совпадает по фазе с напряжением, поэтому реактивный ток ламп I_0р = 0, активный ток I_0а = I₀ = 18,2 А.
Активный ток в фазе двигателя

Реактивный ток в фазе двигателя

Общий активный ток. в линии

Общий реактивный ток в линии

Ток в линии

Задача 20.12.

Приемник электрической энергии, соединенный треугольником, имеет активное сопротивление R = 12 Ом и емкость С = 199 мкФ. Определить: токи в фазах приемника и в линии, с помощью которой приемник подключен к сети с линейным напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц; активную, реактивную и полную мощности приемника.
Решение.
Емкостное сопротивление фазы приемника

Полное сопротивление фазы приемника

Фазное напряжение приемника

Фазный ток

Линейный ток

Мощность приемника:
активная

реактивная

полная

Симметричный режим работы трехфазной цепи

Расчет трехфазной цепи, так же как и расчет всякой сложной цепи, ведется обычно в комплексной форме. Ввиду того что фазные э. д. с. генератора сдвинуты друг относительно друга на 120°, для краткости математической записи применяется фазовый оператор — комплексная величина

Умножение вектора на оператор а означает поворот вектора на 120° в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

Соответственно умножение вектора на множитель а2 означает поворот вектора на, 240° в положительном направлении или, что то же, поворот его на 120° в отрицательном направлении.

Очевидно,

Если э. д. с. фазы А равна то э. д. с. фаз В и С равны соответственно:

В простейшем случае симметричного режима работы трехфазной цепи, когда генератор и нагрузка соединены звездой (рис. 12-9, а), векторная диаграмма э. д. с. и токов имеет вид, показанный на рис. 12-9, б.

Ток в каждой фазе отстает от э. д. с. той же фазы на

угол где r и х — активное и реактивное сопротивления фаз.

* Кроме того, применяется понятие «фазное напряжение в данном сечении» трехфазной цепи по отношению к какой-либо точке, принимаемой за нуль, например земле, нулевой точке генератора или искусственной нулевой точке.

Ток в фазе А находят так же, как в однофазной цепи, потому что нейтральные точки генератора и нагрузки в симметричном режиме могут быть соединены как имеющие одинаковые потенциалы:

Соответственно токи в фазах В и С через ток

Наличие нейтрального провода “не вносит при симметричном режиме никаких изменений, так как сумма токов трех фаз равна нулю и ток в нем отсутствует:

Таким образом, при симметричном режиме работы трехфазной цепи задача сводится к расчету одной из фаз

аналогично расчету однофазной цепи. При этом сопротивление обратного (нейтрального) провода не учитывается, так как ток в нем и соответственно падение напряжения на нем отсутствуют.

По мере удаления от генератора фазные напряжения, определяемые падениями напряжения до нейтральной точки нагрузки, изменяются по модулю (обычно убывают) и по фазе. Линейные напряжения определяются как разности соответствующих фазных напряжений, например: В любом месте трехфазной линии при симметричном режиме соблюдается следующее соотношение между модулями линейных и фазных напряжений:

Действительно,

т. e. опережает по фазе а на 30°, причем модуль раз превышает

В случае соединения треугольником линейные токи определяются в соответствии с первым законом Кирхгофа как разности фазных токов и при симметричном режиме соблюдается соотношение

Соединение фаз генератора или нагрузки треугольником должно быть для расчета заменено эквивалентным соединением фаз звездой; вследствие этого расчет трехфазной цепи с соединением фаз треугольником приводится в конечном итоге к расчету эквивалентной трехфазной цепи с соединением фаз звездой.

Между сопротивлениями сторон треугольника и лучей звезды имеет место соотношение вытекающее из формул преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Это соотношение справедливо как для сопротивлений симметричной трехфазной нагрузки, так и для сопротивлений симметричного .трехфазного • генератора. При этом фазные э. д. с. эквивалентного генератора, соединенного звездой, берутся в раз меньшими фазных э. д. с. заданного генератора, соединенного треугольником (кроме того, они должны быть сдвинуты на угол 30°). Это легко усмотреть из векторной потенциальной диаграммы напряжений генератора.

Активная мощность симметричной трехфазной нагрузки равна:

Ввиду того что при соединении нагрузки звездой а при соединении нагрузки треугольникомактивная мощность трехфазной цепи независимо от вида соединения выражается через линейные напряжения и ток следующим образом:

здесь — угол сдвига фазного тока относительно одноименного фазного напряжения.

Аналогичным образом для реактивной и полной мощностей симметричной трехфазной нагрузки имеем:

Приведенные выражения не означают, что при пересоединении нагрузки со звезды на треугольник (или наоборот) активная и реактивная мощности не изменяются. При пересоединении нагрузки со звезды на треугольник при заданном линейном напряжении фазные токи возрастут в раз, в линейный ток — в 3 раза и поэтому мощность возрастет в 3 раза.

Если нейтральная точка симметричной трехфазной нагрузки выведена, то измерение активной мощности может быть осуществлено одним ваттметром, включенным по схеме рис. 12-10, а (одноименные или так называемые генераторные выводы последовательной и параллельной цепей ваттметра отмечены на рис. 12-10, а звездочками). Утроенное показание ваттметра равно суммарной активной мощности трех фаз.

Если нейтральная точка не выведена или нагрузка соединена треугольником, то можно воспользоваться схемой рис. 12-10, б, где параллельная цепь ваттметра и два добавочных активных сопротивления равные по величине сопротивлению параллельной цепи ваттметра, образуют искусственную нейтральную точку

* Следует заметить, что здесь применим только электродинамический или ферродинамический ваттметр, сопротивление параллельной цепи которого является чисто активным. Индукционный ваттметр неприменим по той причине, что сопротивление параллельной цепи такого ваттметра имеет реактивное сопротивление; для создания искусственной нейтральной точки в этом случае потребовались бы реактивные добавочные сопротивления.

Для получения суммарной мощности, как и в предыдущем случае, показание ваттметра утраивается.

На рис. 12-11 показан способ измерения реактивной мощности в симметричной трехфазной цепи при помощи одного ваттметра: последовательная цепь ваттметра включена в фазу А, а параллельная — между фазами В и С, причем генераторные выводы ваттметра присоединены к фазам А и В.

Показание ваттметра в этом случае равно:

Для получения суммарной реактивной мощности показание умножается на

Разделив активную мощность на полную мощность, получим:

.
Пример 12-1. Определить ток в генераторе при симметричном режиме работы трехфазной цепи, представленной на рис, 12-12, а.

Сопротивления соединенные треугольником, заменяются эквивалентной звездой из сопротивлений

При симметричном режиме нейтральные точки генератора и нагрузки, как было указано выше, могут быть объединены. Тогда режим работы каждой фазы, например фазы А, может быть рассмотрен в однофазной расчетной схеме (рис, 12-12, б),

Результирующее сопротивление цепи одной фазы равно:

Искомый ток в фазе А

Трехфазные несимметричные цепи
Вращающееся магнитное поле
Электрические цепи синусоидального тока
Электрические цепи несинусоидального тока
Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей
Метод симметричных составляющих
Цепи периодического несинусоидального тока
Резонанс токов

Источник

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и, следовательно,
все рассмотренные ранее методы расчета и анализа в символической форме в полной
мере распространяются на них. Анализ трехфазных систем удобно осуществлять с
использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять
фазовые сдвиги между переменными. Однако определенная специфика многофазных
цепей вносит характерные особенности в их расчет, что, в первую очередь, касается
анализа их работы в симметричных режимах.

Расчет симметричных режимов работы трехфазных систем

Многофазный приемник и вообще многофазная цепь называются симметричными,
если в них комплексные сопротивления соответствующих фаз одинаковы, т.е.
если . В противном случае они являются
несимметричными. Равенство модулей указанных сопротивлений не является
достаточным условием симметрии цепи. Так, например трехфазный приемник на рис.
1,а является симметричным, а на рис. 1,б – нет даже при условии: .

Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система
напряжений генератора, то в ней будет иметь место симметричная система токов.
Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме
токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе друг
по отношению к другу на угол . Вследствие указанного расчет
таких цепей проводится для одной – базовой – фазы, в качестве которой
обычно принимают фазу А. При этом соответствующие величины в других фазах получают
формальным добавлением к аргументу переменной фазы А фазового сдвига при сохранении неизменным ее модуля.

Так для симметричного режима работы цепи на рис. 2,а при известных линейном
напряжении и сопротивлениях фаз можно записать

где
определяется характером нагрузки .

Тогда на основании вышесказанного

;

Комплексы линейных токов можно найти с использованием векторной диаграммы на
рис. 2,б, из которой вытекает:

При анализе сложных схем, работающих в симметричном режиме, расчет осуществляется
с помощью двух основных приемов:

Все треугольники заменяются эквивалентными звездами. Поскольку треугольники
симметричны, то в соответствии с формулами преобразования «треугольник-звезда»
.

Так как все исходные и вновь полученные звезды нагрузки симметричны, то потенциалы
их нейтральных точек одинаковы. Следовательно, без изменения режима работы цепи
их можно (мысленно) соединить нейтральным проводом. После этого из схемы выделяется
базовая фаза (обычно фаза А), для которой и осуществляется расчет, по результатам
которого определяются соответствующие величины в других фазах.

Пусть, например, при заданном фазном напряжении необходимо определить линейные
токи и в схеме на рис. 3, все сопротивления
в которой известны.

В соответствии с указанной методикой выделим расчетную фазу А, которая представлена
на рис. 4. Здесь , .

Тогда для тока можно записать

и соответственно .

Расчет несимметричных режимов работы трехфазных систем

Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, в трехфазной цепи имеет
место несимметричный режим работы. Такие режимы при наличии в цепи только статической
нагрузки и пренебрежении падением напряжения в генераторе рассчитываются для
всей цепи в целом любым из рассмотренных ранее методов расчета. При этом фазные
напряжения генератора заменяются соответствующими источниками ЭДС. Можно отметить,
что, поскольку в многофазных цепях, помимо токов, обычно представляют интерес
также потенциалы узлов, чаще других для расчета сложных схем применяется метод
узловых потенциалов. Для анализа несимметричных режимов работы трехфазных цепей
с электрическими машинами в основном применяется метод симметричных составляющих,
который будет рассмотрен далее.

При заданных линейных напряжениях наиболее просто рассчитываются трехфазные
цепи при соединении в треугольник. Пусть в схеме на рис. 2,а . Тогда при известных комплексах
линейных напряжений в соответствии с законом Ома

; ; .

По найденным фазным токам приемника на основании первого закона Кирхгофа определяются
линейные токи:

Обычно на практике известны не комплексы линейных напряжений, а их модули.
В этом случае необходимо предварительное определение начальных фаз этих напряжений,
что можно осуществить, например, графически. Для этого, приняв , по заданным модулям напряжений,
строим треугольник (см. рис.5), из которого (путем замера) определяем значения
углов a и b.

Тогда

Искомые углы a и b могут быть также найдены аналитически
на основании теоремы косинусов:

При соединении фаз генератора и нагрузки в звезду и наличии нейтрального провода
с нулевым сопротивлением фазные напряжения нагрузки равны соответствующим напряжениям
на фазах источника. В этом случае фазные токи легко определяются по закону Ома,
т.е. путем деления известных напряжений на фазах потребителя на соответствующие
сопротивления. Однако, если сопротивление нейтрального провода велико или он
отсутствует, требуется более сложный расчет.

Рассмотрим трехфазную цепь на рис. 6,а. При симметричном питании и несимметричной
нагрузке ей в общем случае будет соответствовать
векторная диаграмма напряжений (см. рис. 6,б), на которой нейтральные точки
источника и приемника занимают разные положения, т.е. .

Разность потенциалов нейтральных точек генератора и нагрузки называется напряжением
смещения нейтральной точки (обычно принимается, что ) или просто напряжением смещения
нейтрали. Чем оно больше, тем сильнее несимметрия фазных напряжений на нагрузке,
что наглядно иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 6,б.

Для расчета токов в цепи на рис. 6,а необходимо знать напряжение смещения нейтрали.
Если оно известно, то напряжения на фазах нагрузки равны:

Тогда для искомых токов можно записать:

Соотношение для напряжения смещения нейтрали, записанное на основании метода
узловых потенциалов, имеет вид

(1)

При наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением , и из (1) . В случае отсутствия нейтрального
провода . При симметричной нагрузке с учетом того, что , из (1) вытекает .

В качестве примера анализа несимметричного
режима работы цепи с использованием соотношения (1) определим, какая из ламп
в схеме на рис. 7 с прямым чередованием фаз источника будет гореть ярче, если
.

Запишем выражения комплексных сопротивлений фаз нагрузки:

Тогда для напряжения смещения нейтрали будем иметь

Напряжения на фазах нагрузки (здесь и далее индекс N у фазных напряжений источника
опускается)

Таким образом, наиболее ярко будет гореть лампочка в фазе С.

В заключение отметим, что если при соединении в звезду задаются линейные напряжения
(что обычно имеет место на практике), то с учетом того, что сумма последних
равна нулю, их можно однозначно задать с помощью двух источников ЭДС, например,
и . Тогда, поскольку при этом , соотношение (1) трансформируется
в формулу

(2)

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

Какой многофазный приемник является симметричным?
Какой режим работы трехфазной цепи называется симметричным?
В чем заключается специфика расчета симметричных режимов работы трехфазных
цепей?
С помощью каких приемов трехфазная симметричная схема сводится к расчетной
однофазной?
Что такое напряжение смещения нейтрали, как оно определяется?
Как можно определить комплексы линейных напряжений, если заданы их модули?
Что обеспечивает нейтральный провод с нулевым сопротивлением?
В цепи на рис. 6,а ; ; ; . Линейное напряжение равно 380
В.

Определить ток в нейтральном проводе.

Ответ: .

В схеме предыдущей задачи ; . Остальные параметры те же.

Определить ток в нейтральном проводе.

Ответ: .

В задаче 8 нейтральный провод оборван.

Определить фазные напряжения на нагрузке.

Ответ: ; ; .

В задаче 9 нейтральный провод оборван.

Определить фазные напряжения на нагрузке.

Ответ: ; ; .

Источник

Тема1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Трехфазные цепи – это частный случай многофазных систем переменного тока. Многофазной системой называют совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, отличающиеся одна от другой по фазе и индуктированные в одном источнике энергии.

Обычно наведенные в катушках трехфазного генератора ЭДС имеют одинаковые амплитуды и сдвинуты по фазе относительно друг друга на один

итот же угол 120° 2π . Такую систему ЭДС называют симметричной.

Векторная диаграмма трехфазной симметричной системы ЭДС показана на рис. 3.1.

При изображении векторной диаграммы на комплексной плоскости (рис. 3.2) каждому вектору можно сопоставить комплексное число. При расчете трехфазных цепей комплексную плоскость обычно поворачивают на

угол π против часовой стрелки.

				+1
	EA			E A

	2π	ω	+j
	3

	2π			E	B
EC	E B	EC
	3
	Рис. 3.1			Рис. 3.2

Комплексы действующих значений ЭДС фаз в показательной форме могут быть записаны уравнениями:

ЕА = Е; ЕВ = Ее− j	2π	= E e− j120° = а2Е;
3
		2π		4π
E	= E e j		= E e j120° = E e− j		= аЕ,
3	3
C

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-114-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

где a = e j120°, a2 = e j 240° = e− j120°.

Значение 1+ a + a2 =1− 12 + j 23 − 12 − j 23 = 0.

Сумма комплексных значений ЭДС трех фаз равна нулю:

EA + EB + EC = E + E e− j120° + E e j120° = E − E2 − j 23 Е − E2 + j 23 E = 0.

Обычно обмотки фаз генератора соединяют звездой. При этом концы фаз объединяют в нейтральную точку N (рис. 3.3). Начала фаз генератора обозначают буквами А, В и С.

Напряжения между началом и концом фазы (см. рис. 3.3) называют фазными (uA, uB , uC ), а напряжения между началами фаз генератора –

линейными (uAB ,uBC ,uCA ).

Внутренним сопротивлением фаз генератора можно пренебречь. В этом случае фазные напряжения U A,UB и UC считают численно равными ЭДС

фаз.

eA uA

C B

eС uB

uBC

Рис. 3.3

Стрелка источника показывает направление повышения потенциала. Поэтому за условные положительные направления фазных напряжений принимают направления от начала к концу фаз обмоток, а линейных напряжений – к началу фазы, являющейся вторым индексом в обозначении напряжения.

Можно определить любое линейное напряжение, рассчитав изменение потенциалов между соответствующими началами фаз генератора:

uAB = uA −uB ; uBC = uB −uC ; uCA = uC −uA.

Для комплексных значений эти уравнения имеют вид:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-115-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

U AB =U A −U B ;

U BC =U B −UC ;

UCA =UC −U A ,

а также дают возможность построить топографическую диаграмму фазных и линейных напряжений (рис. 3.4).

	U A
U СA		U AB
120°	N 120°
		U B
U С	120°

C	U BС	B

Рис. 3.4

Следует обратить внимание на противоположное направление стрелок на схеме, указывающих условное положительное направление напряжений и соответствующих им векторов на топографической диаграмме.

Из диаграммы видно, что векторы линейных напряжений U AB , U BС , UСА опережают по фазе соответственно векторы фазных напряжений U A ,

U B и UС на угол 30°.

Линейное напряжение по величине больше фазного в 3 раз, т. е. Uл = 3Uф или Uф = U3л .

При соединении фаз обмоток генератора треугольником конец одной фазы соединяют с началом другой (рис. 3.5). В этом случае линейные напряжения равны фазным: Uл =Uф .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-116-

с,z.

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A(Z)

e		eA
C			uAB
	eB
С(Y)	B(X)	uСA


			uBC

Рис. 3.5

Топографическую диаграмму напряжений в зависимости от способа соединения фаз приемников строят, как представлено на рис. 3.6, а и б.

Приемники, включаемые в трехфазную цепь, могут быть однофазными и трехфазными. Начала и концы фаз трехфазных приемников обозначают соответственно буквами a, x; b, y;

Трехфазные приемники могут быть несимметричными. У симметричных приемников комплексные сопротивления фаз: Z a = Z b = Z c .

A		+1
		U СA
	U AB	C
U СA
		U BС

симметричными и равны между собой

A +1

U AB

C	U BС	B	B

	a		б
			Рис. 3.6

У несимметричного приемника нагрузка может быть равномерной, если сопротивления фаз равны между собой по величине (по модулю), или однородной, если ϕа = ϕb = ϕc .

Способ соединения фаз приемника не зависит от способа соединения фаз обмоток генератора.

В трехфазных цепях различают те же мощности, что и в однофазных: мгновенную р, активную Р, реактивную Q и полную S .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-117-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Мощности р, Р и Q находят как суммы мощностей трех фаз: р = ∑ рф ;

Р = ∑Рф ; Q = ∑Qф .

Мощности каждой фазы вычисляют по известным формулам. Потребляемой является активная мощность. Активную мощность фазы

проще всего определить по формуле Рф = Uф Iф cosϕф или Рф = Rф Iф2 . Реактивную мощность фазы ищут следующим образом:

Qф =Uф Iф sinϕф или Qф = Хф Iф2 .

Полную мощность трехфазной цепи вычисляют как гипотенузу суммарного треугольника мощностей:

S = P2 +Q2 = (∑Pф )2 + (∑Qф )2 .

При симметричной нагрузке мощности фаз одинаковы, поэтому

P = 3Pф = 3Uф Iф cosϕф ; Q = 3Qф = 3Uф Iф sinϕф .
При соединении звездой Uф =	U	л		и Iф = Iл , а при	соединении

	3
треугольником Uф =Uл	и Iф =	Iл	. Поэтому независимо	от схемы

	3

соединения фаз приемника можно получить одинаковые формулы мощностей, вычисленных через линейные напряжения и токи:

Р = 3Uл Iл cosϕф ; Q = 3Uл Iл sinϕф; S = P2 + Q2 = 3Uл Iл .

Для измерения активной мощности используют ваттметры. Число ваттметров и способ их включения зависят от способа соединения фаз приемника и от их параметров.

Ваттметр показывает активную мощность, которую вычисляют по формуле

PW =UW IW cos UW ^ IW или PW = Re(SW )= Re UW I*W ,

где UW и IW – действующие значения напряжения на ваттметре и тока

в нем.

Угол сдвига фаз между ними соответствует одинаковым положительным направлениям UW и IW относительно зажимов, отмеченных звездочками.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-118-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Занятие1 Расчеттрехфазнойцепиприсоединениифазприемникатреугольником

Цели занятия:

1.Научиться рассчитывать трехфазные цепи при соединении фаз приемника треугольником (нагрузка несимметричная и симметричная).

2.Научиться строить векторно-топографические диаграммы.

3.Научиться вычислять потребляемую цепью мощность.

Рассмотрим две первые целевые задачи.

В схеме замещения электрической цепи, представленной на рис. 3.7, вычислить токи, если известны напряжения генератора и сопротивления фаз приемника.

	A		I A	a

	E A		U ca		U ab
		Z ca Z ab
			I ca
EC		EB	c			I ab
N	Zbc	Ibc	b

C			B I B

				U bc

Рис. 3.7

В трехфазной цепи различают токи фазные (Iab , Ibc , Ica ) и линейные (I A, IB , IC ). Фазные токи вычисляют на основании закона Ома по формулам

		Uab	;		Ubc		Uca	,
	Iab =	Z ab	Ibc =	Z bc	; Ica =	Z ca

где Uab ,Ubc	и Uca – комплексы напряжений на фазах приемника, а Z ab,

Z bc , Z ca – комплексные сопротивления фаз.

При соединении фаз приемника треугольником напряжения на его фазах равны линейным напряжениям генератора (рис. 3.7), поэтому

	U AB	;		UBC	;	UCA	. Сопротивлением линейных проводов при

Iab =	Z ab	Ibc =	Z bc	Ica =	Z ca

этом пренебрегают.

Затем вычисляют линейные токи по уравнениям, составленным на основании первого закона Кирхгофа для узлов а, b и с:

I A = Iab − Iса; IB = Ibc − Iab ; IC = Ica − Ibc .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-119-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Из этих уравнений следует, что геометрическая сумма векторов линейных токов равна нулю: I A + IB + IC = 0 .

Топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов изображены на рис. 3.8. Вид векторной диаграммы токов зависит от характера нагрузки фаз приемника. Самой распространенной на практике является нагрузка активно-индуктивная. В этом случае вектор тока отстает от соответствующего вектора напряжения на угол ϕ, больший 0°, но меньший

90°.

Построение начинают с топографической диаграммы напряжений (см. рис. 3.6 а, б). Затем проводят векторы фазных токов под соответствующими углами к векторам фазных напряжений. Векторы линейных токов строят как геометрическую разность векторов токов тех двух фаз приемника, которые соединяют с данным линейным проводом. Удобнее вектор линейного тока получить как сумму вектора фазного тока, являющегося уменьшаемым, и вектора, противоположного вычитаемому фазному току (рис. 3.8).

	U CA	U AB	− I ca
			I ab
			ϕab	I A

Cc	U	BC
ϕbc		Bb

Ibc

I B

− I ab

Рис. 3.8

Возможен другой способ построения векторной диаграммы токов, представленный на рис. 3.9.

У симметричного приемника комплексные сопротивления равны между собой: Z ab = Z bc = Z ca . Поэтому токи в фазах равны между собой по

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-120-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

величине и сдвинуты относительно	друг друга	по фазе на		2π
120°	3	.
Достаточно вычислить по закону Ома ток только одной фазы:

Iab =	Uab	=	U AB	.

		Z ab		Z ab
I ca				Aa
ϕ
		ca
U CA
	I A		U AB
		I ab		I B
	I ca				I ab
				ϕab
		Ibc
		IC
ϕbc	U BC				Bb
	Ibc

Рис. 3.9

Токи двух других фаз вычисляют, используя значение тока Iab :

Ibc = Iab e− j120°; Ica = Iab e j120° .

Комплексы линейных токов определяют как разности комплексов соответствующих фазных токов.

Векторно-топографическая диаграмма при симметричной нагрузке изображена на рис. 3.10.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-121-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	U CA		U AB

	I A
	I ca	I ab	I B
			ϕab I ab
	IC	Ibc

Cc	U BC			Bb

Рис. 3.10

Из диаграммы видим, что линейные токи по величине равны между собой и сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол 120°. Линейный

ток по величине в 3 раз превышает фазный:

Iл = 3 Iф .

Векторы линейных токов I A, IB и IC отстают по фазе соответственно

от векторов фазных токов Iab , Ibc и Ica на угол 30°.

Вычислив фазный ток Iab , можно записать значения всех линейных токов следующим образом:

I A = 3 Iab e− j30°; IВ = I А e− j120°; IС = I А e j120° .

Если нужно вычислить только величины токов, расчет производят по формулам

	Uфп		U
Iф =	=	лг ;	Iл = 3 Iф .
Zф
		Zф
		Задача1
Определить показания амперметров в схеме рис. 3.11, если линейное
напряжение Uл = 220 В; Z ab = Z bc =	Z ca = (10 + j10) Ом. Построить

векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-122-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

a A A

Z ca

c b

Zbc

Рис. 3.11

Решение

Комплексные сопротивления фаз приемника одинаковы, нагрузка является активно-индуктивной. Приборы показывают действующие значения.

При симметричной нагрузке можно сделать расчет, не используя комплексные числа. Токи в фазах приемника одинаковы по величине. Их определяют по закону Ома:

Iф = Uфп .

Zф

Напряжение на фазе приемника равно линейному напряжению. Полное сопротивление фазы приемника

Zф = Rф2 + Хф2 = 102 +102 =14,1 Ом.

Тогда Iф = 14220,1 =15,6 А. Токи в линии Iл = 3 Iф ≈ 27 А.

Векторно-топографическая диаграмма имеет вид, представленный на рис. 3.12. При активно-индуктивной нагрузке векторы токов в фазах отстают

от соответствующих фазных напряжений на угол ϕ = arctg XR = arctg1010 = 45°.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-123-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	U CA
	I A	U AB
	I ab
	eA	I B
	Ibc	45°	I ab


	IC
Cc	UBC		Bb
	Рис. 3.12

Векторы линейных токов получают, соединяя концы соответствующих векторов фазных токов.

Задача2

Вычислить мощность, потребляемую цепью, схема замещения которой

изображена на рис. 3.13, если Uл = 220 В,	Rab =10 Ом, Rca = X ab =15 Ом,
Xbc = X ca = 25 Ом.
A		a
	Rca	I ab
		Rab

		Xca		Xab
	I ca
	Xbc		Ibc
	с
			b

B
C
		Рис. 3.13
	Пояснение к решению

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-124-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задачу можно решить без применения комплексных чисел. Так как мощность потребляют только резистивные элементы, то удобно

воспользоваться формулой P = R I 2 .

Решение

1. Вычислим токи в резистивных элементах по закону Ома для действующих значений:

Iab =

Uab

U AB

220

=12

А;

Rab2 + X ab2

102 +152

Zab

Ica =

Uca

UCA

220

= 7,6

А.

Rca2 + X ca2

152 + 252

Zca

2. Определим потребляемую мощность:

P = Rab Iab2 + Rca Ica2 =

=10 122 +15 7,62 = 2306,4 Вт.

Задача3

Вычислить фазные и линейные токи в схеме на рис. 3.14, если

Z ab = Z bc = Z ca = (8 − j10,4) Ом, Uл = 220 В. Построить векторнотопографическую диаграмму.

A	I A				a
		Rab
		Xab
			I ab	Rca
	I B	b
B			I ca
		Rbc	Ibc		Xca
	IC
C		Xbc		с

Рис. 3.14

Решение

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-125-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

1. Вычислим фазные токи по закону Ома. Приемник симметричный, поэтому токи равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на угол 120°:

	Iab	=	Uab	=				U AB		=
				Rab
				Z ab		− j X ab
=	220			=	220			=16,9e j52° А;
8 − j10,4	13e− j52°

				− j120°	=16,9e	− j 68°		А;
	Ibc = Iab e
					j120°		=16,9e	j172°	А.
	Ica =	Iab e

2. Вычислим линейные токи. У симметричного приемника

I A = 3 Iab e− j30° =

= 3 16,9e j52° e− j30° = 29,7 e j 22°А;

− j120°

= 29,7 e

j 22°

− j120°

= 29,7 e

− j98°

А;

= I A e

j120°

= 29,7 e

j 22°

j120°

= 29,7 e

j142°

А.

= I A e

3. Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.15. Ее построение начинают с топографической диаграммы напряжений генератора. Топографическая диаграмма напряжений приемника совпадает с линейными напряжениями генератора.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-126-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

				Aa
	U CA
				U AB
Cc	I A	I ab		I B
		Ibc
		I ca		120°
			IC
	U BC
			I ab 52°
		Рис. 3.15	Bb

Ток Iab опережает по фазе напряжение	Uab на угол ϕab = −52°.

Перенесем вектор тока Iab в центр топографической диаграммы. Построим векторы токов Ibc и Ica . Соединив концы векторов фазных токов и указав направление согласно уравнениям по второму закону Кирхгофа, получим векторы линейных токов I A , IB и IC .

Построенная диаграмма позволяет убедиться в правильности произведенных расчетов.

	Задача4
Вычислить показания	ваттметров в	схеме	на рис. 3.16,	если
Rab = 20 Ом, X ab = 25 Ом,	Rbc = 35 Ом,	Rca =16	Ом, X ca = 28	Ом,

Uл = 380 В. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-127-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

* W2

Rab

Xab

b I ab

Rca

Xca

Rbc

Ibс I ca

Рис. 3.16

Решение

1. Вычислим фазные токи по закону Ома:

Iab	=	Uab	=			U AB	=

		Z ab	Rab + j X ab
=	380			=	380	=
20 + j 25		32e j 51°

=11,88e− j 51° А;

Ibc =	Ubc	=	Ubc	=	380e− j120°	=
Zbc		35
		Rbc

=10,86e− j120° А;

Ica =	Uca	=	UCA	=	380e j120°	=	380e j120°	=11,88e j180° А.
Z ca	Rca − j Xca	16 − j 28	32e− j60°

2. Вычислим линейные токи по первому закону Кирхгофа:

IA = Iab − Ica =11,88e− j 51° −11,88e j180° = 7,47 − j9,23 +11,88 =

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-128-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

=19,35 − j9,33 = 21,48e− j 25,7° А;

IB = Ibc − Iab =10,86e− j120° −11,88e− j 51° = −5,43 − j9,4 −7,48 + j9,23 = = −12,91− j 0,17 =12,91e− j179° А;

IC = Ica − Ibc = −11,88 +5,43 + j9,4 = −6,45 + j9,4 =11,4e j124,5° А.

3. Найдем показания ваттметров, используя формулу комплексной мощности:

PW1 = Re U AB I*A = Re(380 21,48e25,7°)= 7355 Вт;

P			*
= Re U	CB	I		= Re(380e j 60° 11,4e− j124,5° )=
W2			C

= Re(4332e− j 64,5° )=1865 Вт.

Следует обратить внимание на то, что первым индексом у напряжения, измеряемого ваттметром, обозначают зажим, отмеченный звездочкой (UCB при вычислении PW2 ).

Правильность решения можно проверить следующим образом:

PW1 + PW2 = Rab Iab2 + Rbc Ibc2 + Rca Ica2 ;

7355 +1865 = 20 11,882 + 35 10,862 +16 11,882 ;

9220 Вт ≈9208 Вт.

Погрешность составляет 0,13 %.

4. Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.17.

Диаграмма позволяет проверить правильность вычисления линейных токов.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-129-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

				Aa
				U AB
	U CA	I ca
				I ab	I B

Cc				I A
Ibс
		I сa	Ibс

					I ab
	U BC
				51°
			IС
				Bb
		Рис. 3.17
Задачи 5–7 решите самостоятельно.
		Задача5
Вычислить ток I A в схеме рис.	3.18, если	R = X L = XC = 220 Ом,
Uл = 220 В.
A		I A				a
			R

B				b		XС
			X L
C

						с

Рис. 3.18

Ответ: I A =1,93 А.

Задача6

Определить показания ваттметров в схеме рис. 3.19, если Uф = 220 В

и Iф =10 А. Построить векторно-топографическую диаграмму.
Ответ: PW	=1100 Вт, PW =1100Вт.
1	2

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-130-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	*	*		a
A	W1
				R	X L
			с	X L	b

B
C	*	W2
	*

				Рис. 3.19
				Задача7
Вычислить показания ваттметров в схеме рис.	3.20, если Uл = 220 В,
в каждую фазу включено по одной лампе с Рн = 50 Вт, Uн = 220 В.
			*	*	a
		A	W1
		B		b

		C	*	W2	с
			*

				Рис. 3.20

Ответ: PW1 = PW2 = 75 Вт.

Следующие задачи решите для самоконтроля.

Задача8

Вычислить ток IС в схеме рис. 3.21, если Uл = 380 В, R = XС =190

Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-131-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A		a	A			a
	XC		XC
			V
		b		b	X L

B		R	B
		XC			R
C	IC		C	A
	с		с

Рис. 3.21

Рис. 3.22

Ответ: IС = 3,86 А.

Задача9

Вычислить

показания

вольтметра в

схеме

рис.

3.22,

если

R = X L = XC =100 Ом, амперметр показывает ток I A = 3,84 А.

Ответ: UV = 200 В.

Задача10

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.23,

если Rab = 22 Ом,

X ab =

28 Ом,

Rbc =14

Ом,

Xbc =16 Ом,

Rca = 8 Ом,

X ca =18

Ом,

Uл = 220 В.

Rca

Rab

Xab

Xca

Rbc

Xbc

Рис. 3.23

Ответ: PW

= −615 Вт, PW

= 3902 Вт.

Задача11

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.24, если Uл = 220 В,

Rab = 8

Ом,

X ab = 6

Ом,

Rbc = X ca =10

Ом. Построить векторно-

топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-132-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	A	*	*	a	Rab	Xab
	W1
	B		*	*	b	Rbc
		W2
	C				с	X ca


				Рис. 3.24
Ответ: PW	= 8052 Вт, PW 2 = 4248 Вт.
1

Занятие2 Расчеттрехфазнойцепиприсоединениизвездойчетырехпроводной

снейтральнымпроводом

Цели занятия:

1.Научиться вычислять токи и напряжения в схеме с нейтральным проводом, обладающим сопротивлением, при несимметричном и симметричном приемниках.

2.Научиться вычислять токи и напряжения в случае, если сопротивлением нейтрального провода можно пренебречь, при несимметричном и симметричном приемниках.

3.Научиться строить векторно-топографические диаграммы.

4.Научиться определять показания ваттметров, вычислять потребляемую мощность.

Рассмотрим первую целевую задачу. Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 3.25.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-133-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

						Z a	U a
	E A	U A
	I nN	Z nN		I a	n Ib
N
EC			EB		Z c	I с	Zb

С	U		B		с	U с	U b

		С U B
			IC	I B			b

Рис. 3.25

По известным значениям напряжения генератора и сопротивлений фаз приемника нужно вычислить фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, соединяющем нейтральные точки генератора и приемника.

Из схемы видим, что при соединении фаз звездой фазные и линейные токи соответственно равны между собой, например I A = Ia .

Трёхфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и рассчитать токи в ней методом напряжения между двумя узлами.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле

UnN = Y aU A +Y bUB +Y cUC ,

Y a +Y b +Y c +Y nN

где Y a =	1	,	Y b =	1	,	Y c =	1	– комплексные проводимости фаз
			Z c
	Z а		1	Z b
приемника; Y nN	=		– комплексная проводимость нейтрального провода.
Z nN

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить по закону Ома для активной ветви:

I A = Ia = Y a(U A −UnN ) ; IB = Ib = Y b(U B −UnN ) ; IC = Ic = Y c(UC −UnN ) .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-134-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (а, в, с) и концами ( n) фаз приемников, т. е. фазными

напряжениями приемника. Например, Ua = −UnN +U A. Поэтому уравнения можно переписать в виде

I A = Ia = Y a Ua ; IB = Ib = Y b Ub ; IC = Ic = Y c Uc .

Ток в нейтральном проводе можно вычислить по закону Ома для пассивной ветви или по первому закону Кирхгофа:

InN = Y nN UnN = Ia + Ib + Ic .

Топографическую диаграмму строят в два этапа:

1.Построение топографической диаграммы напряжений генератора (см. рис. 3.4).

2.Построение топографической диаграммы напряжений приемника. Напряжение – разность потенциалов между двумя точками. Если

известна картина распределения потенциалов различных точек схемы на комплексной плоскости, то, соединив две соответствующие точки, можно получить вектор нужного напряжения. Если сопротивлением линии пренебрегают, то на схеме замещения начала фаз генератора и приемника коротко соединены между собой. Тогда потенциалы их будут одинаковы, точки А и а, В и в, С и с на комплексной плоскости совпадают. Между нейтральными точками генератора N и приемника n возникает напряжение

UnN .

Точка n на комплексной плоскости смещена относительно точки N. Поэтому напряжение UnN называют напряжением смещения нейтрали.

Точку n получим, построив вектор UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений приемника Ua , Ub и Uc . Система фазных напряжений приемника

несимметрична.

Векторная диаграмма токов зависит от нагрузки. Рассмотрим первую целевую задачу на конкретном примере.

Задача1

Вычислить токи в схеме рис. 3.26, если Uф =127 В, Ra =7 Ом, Rb =0,9

Ом, Rc = 10,3 Ом, X a = 11,9 Ом, Хb = 4,2 Ом, Xc =8,2 Ом, RnN = = 10 Ом.

Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-135-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

		A	a	Ra	Xa
A	I

	I B	b Rb	Xb
B	n

			с	Rc	Xс
C	IC

				RnN
N		I nN

				Рис. 3.26

Решение

1. Вычислим напряжение смещения нейтрали:

UnN =

Y a U A +Y b UB +Y c UC

Y a +Y b +Y c +Y nN

127

127e− j120° +

127e j120°

+ j11,9

0,9 − j4,2

10,3 − j8,2

+ 0,1

7 + j11,9

0,9 − j4,2

10,3 − j8,2

127

127e− j120°

127e j120°

13,8e j60°

4,3e− j78°

13,16e− j39°

+ 0,1

13,8e j60°

4,3e− j78°

13,16e− j39°

9,2e− j60°

+ 29,53e− j42° +9,65e j159°

0,07e− j60° + 0,23e j78° + 0,076e j39°

+ 0,1

4,6 − j7,97 + 21,95 − j19,76 −9,01+ j3,46

17,54 − j24,27

0,035 − j0,06 + 0,05 + j0,22 + 0,06 + j0,048 + 0,1

0,245 + j0,208

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-136-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

= 29,94e−j j 54° = 93,6e− j94°В. 0,32e 40°

2. Найдем токи в схеме по закону Ома:

IA =Y a (U A −UnN )= 0,07e− j60°(127 −93,6e− j94°)=

= 0,07e− j60°(127 + 6,5 + j93,17)= 0,07e− j60° 162,7e j35° =11,39e− j25° А.

Напряжение на фазе приемника Uа =162,7e j35° В.

Ток IB =Y b (UB −UnN )= 0,23e j78°(127e− j120° + 6,5 + j93,17)=

= 0,23e j78°(−63,5 − j109,98 + 6,5 + j93,17)= 0,23e j78°(−57 − j16,81)= = 0,23e j78° 59,43e− j164° =13,67e− j86° А.

Напряжение на фазе приемника

Ub =59,43e− j164° В.

Ток IC =Y c (UC −UnN )= 0,076e j39°(−63,5 + j109,98 + 6,5 + j93,17)= = 0,076e j39°(−57 + j 203,15)= 0,076e j39° 211e j106° =16,04e j145° А.

Напряжение на фазе приемника

Uс = 211e j106° В.

Ток в нейтральном проводе

InN =Y nN UnN = 0,1 93,6e− j 94° = 9,36e− j94° А.

Можно сделать проверку по первому закону Кирхгофа:

InN = IA + IB + IC =11,39e− j25° +13,67e− j86° +16,04e j145° =

=10,32 − j 4,81+ 0,95 − j13,64 −13,14 + j9,2 = −1,86 − j9,25 = 9,43e− j 96° А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-137-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

3. Построение

топографической

диаграммы

(рис. 3.27) начнем

с векторов напряжений на фазах генератора.

U a

U A

I A

60°

− 94°

164°

I B

U nN 105

78°

I nN

U b

Рис. 3.27

Построив вектор напряжения UnN = 93,6e− j 94° В, получим

нейтральную точку приемника n . Сопротивлением линейных проводов пренебрегаем, поэтому точки А и а, В и b, С и с на комплексной плоскости совпадают.

Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемников, получим топографическую диаграмму напряжений приемника. Она

позволяет проверить правильность расчета напряжений Ua ,Ub и Uc .

Векторы фазных токов строим из точки n в зависимости от нагрузки в фазах. В фазе а нагрузка активно-индуктивная, поэтому ток I A отстает от

напряжения	Ua на угол ϕa = 60°. Напомним, что угол ϕф	является
аргументом комплексного сопротивления фазы.
Токи IB и IC опережают напряжения Ub и Uc соответственно на углы
ϕb = −78° и ϕc = −39°.
Ток InN	равен геометрической сумме токов I A, IB и IC .
Векторная диаграмма токов позволяет проверить правильность
произведенных расчетов.	Напомним, что углы ψu и ψi отсчитывают от
положительного направления действительной оси.
Если	приемник	симметричный ( Z a = Z b = Z c = Z) ,	формула
напряжения между двумя узлами может быть записана в виде

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-138-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

UnN =	Y(U A +UB +UC )	=	Y(EA + EB + EC )	= 0.

	3Y +Y nN	3Y +Y nN

Напряжение между нейтральными точками генератора и приёмника не возникает.

Напряжения генератора и приёмника соответственно равны. Линейные и фазные токи равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 120°.

U A

− j120°

j120°

IA = Ia =

;IB

= IA е

= a

IA;IC

= IA e

= a IA .

Z a

Ток в нейтральном проводе

= I

+ I

= I

(

1+ a2

+ a) = 0 .

Топографические диаграммы генератора и приемника совпадают. Перейдём к рассмотрению второй целевой задачи занятия.

Схема замещения цепи при соединении звездой четырёхпроводной с нейтральным проводом без сопротивления приведена на рис. 3.28.

Из схемы видим, что при соединении фаз приемника звездой фазные и линейные токи соответственно равны между собой, например I A = Ia .

I A

I a

E A

U A

Z a

U a

I nN

I с

U b

U С

U с

U B

I B

Рис. 3.28

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-139-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Нейтральный провод с нулевым сопротивлением соединяет нейтральные точки генератора и приемника, следовательно, их потенциалы

равны между собой: VN =Vn . Если сопротивлением линии пренебрегают, то потенциалы начал фаз генератора и приёмника одинаковы: VA = Va;

VB = Vb;VC = Vc .

Поэтому фазные напряжения генератора и приёмника соответственно равны:

U А =Uа;U B =Ub;UC =Uc .

Линейные и фазные токи определяют по закону Ома:

U A

I A = Ia =

Z a

; IB

= Ib

Z b

; IC = Ic =

Z c

Ток в нейтральном проводе

InN

= Ia

+ Ib + Ic

зависит не только от

характера и величины сопротивлений фаз, но и от схемы их включения. При перемене местами нагрузок двух фаз ток нейтрального провода может измениться в несколько раз.

Топографические диаграммы напряжений генератора и приемника совпадают. Нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.

Векторы фазных токов ориентируют относительно векторов соответствующих фазных напряжений приемника в зависимости от нагрузки фаз.

При наличии результатов расчёта токов соответствующие им векторы можно построить под углами ψi к положительному направлению

действительной оси. Углы ψi – аргументы комплексных значений токов. Вектор тока в нейтральном проводе InN получают как геометрическую

сумму векторов фазных токов.

Задача2

Несимметричный трехфазный приемник включен в четырехпроводную сеть с фазным напряжением генератора 100 В (рис. 3.29).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-140-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A

I nN

I B

Рис. 3.29

Определить показания амперметров в линейных и нейтральном

проводах, если Ra = 6 Ом,

Ха = 8 Ом,

Хb = 20 Ом, Rc =10 Ом. Построить

векторно-топографическую диаграмму.

Фазные напряжения

генератора

и приемника

соответственно

одинаковы: Ua =U А =100

В;

Ub =UB =100e− j120° В;

Uc =UC = =

100e j120° В.

По закону Ома вычислим комплексные значения линейных токов:

IA =

U A

100

=10e− j 53° А;

6 + j8

10e j 53°

Z a

IB =

=100e− j120°

= 5e− j 30° А;

− j 20

20e− j 90°

IC =

UС

=100e j120° =10e j120° А.

Z c

Ток в нейтральном проводе InN = IA + IB + IC =10e− j 53° +

+5e− j 30° +10e+ j120° = 6 − j8 + 4,3 − j 2,5 −5 + j8,7 =5,3 − j1,8 = =5,65e− j18°45/ А.

Амперметры показывают действующие значения токов, т. е.

I A =10 А; IB = 5 А; IC =10 А; InN = 5,65 А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-141-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Топографические диаграммы генератора и приемника совпадают

(рис. 3.30).

U CA

U A

90°

U AB

U C

I C

U BC

U B

Рис. 3.30

Нагрузка фазы а имеет активно-индуктивный характер, поэтому вектор

тока I А

отстает от вектора напряжения U А

на угол ϕa = 53°, определяемый

соотношением сопротивлений фазы (ϕа

= arc tg

Ха

т.

е.

являющийся

Z a .

IB опережает

аргументом комплексного сопротивления

Вектор

тока

вектор

напряжения U

на

угол ϕ = 90°

. Вектор тока

совпадает с

вектором UС по направлению. Вектор тока в нейтральном проводе можно

построить как геометрическую сумму линейных токов.

Векторы токов можно построить по-другому, откладывая их от положительного направления действительной оси под углами ψi (ψа = −53°;

ψb = −30°; ψс =120°; ψnN = −18°45/ ).

Если приемник симметричный, токи в фазах и линиях равны между собой по величине и сдвинуты относительно друг друга по фазе на 120°. Достаточно вычислить только один ток:

I A = Ia = U A .

Z a

Тогда IB = Ib = IА e− j120° = a2 IA ; IC = Ic = IA e j120° = a IA .

Ток в нейтральном проводе InN = Ia + Ib + Ic = 0.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-142-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача3

Определить мощность, потребляемую симметричным приемником,

схема замещения которого изображена на	рис. 3.31, если Uл = 380 В,
R = 59 Ом, Х =27 Ом.
Построить векторно-топографическую диаграмму.
	I A	*	R	X
A		* W

B	I B	R	X
		n
С IC	R	X

N			I nN

		Рис. 3.31

Решение

В симметричном приемнике достаточно измерить или вычислить мощность одной фазы, а затем ее значение утроить.

Для определения показаний ваттметра (рис. 3.31) воспользуемся формулой комплексной мощности:

= Re U

Фазное

напряжение

U A

380

= 220

В. Будем

считать его

действительным числом.

Напряжение

UnN = 0 .

Напряжения

генератора и

приемника

соответственно совпадают.

Ток I A =

U А

220

= 3,38e− j 25°

А.

Z a

59 + j 27

Z a

65e j 25

Тогда P

= Re(220 3,38e j25°)= 674 Вт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-143-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Мощность, потребляемая схемой,

P = 3PW = 3 674 = 2022 Вт.

Проверим правильность решения по формуле

P = 3R Iф2 = 3 59 3,382 = 2022 Вт.

Векторно-топографическая диаграмма представлена на рис. 3.32.

		U	A			U	AB
	U CA
				25°
						I A
	IC	N		n 120°
			U B
	120°
	U С				I B

		U BC
Cc							Bb
		Рис. 3.32

Задача4

Определить, при	каком сопротивлении резистора R (рис. 3.33) ток
в нейтральном проводе	будет равен нулю, если ХL = ХС = Х

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-144-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	R


B	I B	X L	n

	XC
С IC

N		I nN

Рис. 3.33

Решение

Благодаря наличию нейтрального провода сохраняется симметрия фазных напряжений приемника.

Токи IB и IC равны по модулю. Ток в нейтральном проводе

InN = I A + IB + IC .

Следовательно, I A = −(IB + IC ) .

Для решения задачи необходимо построить векторно-топографическую диаграмму (рис. 3.34).

U A

I A

	90° N n
U	30° I B IC	30°	U B
С
Cc	I B + IС		Bb
	Рис. 3.34

Топографические диаграммы генератора и приёмника совпадают.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-145-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вектор тока I A совпадает с вектором напряжения U A , так как нагрузка в этой фазе чисто активная. Вектор тока IB отстаёт от напряжения U B на 90°, так как в этой фазе нагрузка чисто индуктивная. Вектор тока IC опережает напряжение UC на 90° из-за емкостного характера нагрузки в этой

фазе.

Как видно из диаграммы, треугольник nkp является равнобедренным. Он отдельно изображён на рис. 3.35.

I B

30°

I A

Рис. 3.35

Из решения треугольника nkp ток IA = 2 IB cos30° = 2 IB

IB .

Uф

Ток IB =

Uф

, тогда ток I A =

Отсюда Uф = X3 I A .

Напряжения на фазах приемника равны друг другу по модулю:

Uф = RI A = X3 I A .

Следовательно, ток в нейтральном проводе равен нулю при R = X3 .

Задача5

Найти показания вольтметра в схеме рис. 3.36, если Uф = 220 В,

R = X L = XC .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-146-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	R		R

			X L
B	I B R	V
	n

С IC	R		XC

N			I nN

			Рис. 3.36

Решение

Напряжение на зажимах вольтметра

UV = − j X L IB + RI A.

Напряжения на фазах приёмника совпадают с напряжениями на фазах генератора, так как в схеме есть нейтральный провод без сопротивления.

Ток I A =

U A

220

= 110 А.

Z a

Ток IB =

220e− j120°

156 e− j165°А.

R 2 e j45°

R + jX L

Тогда UV = − j R

156 e− j165° + R110

= e− j 90° 156e− j165° +110 =

=156e j105° +110 = −40 + j150 +110 = 70 + j150 =166e j 65° В.

Вольтметр покажет напряжение UV =166 В.

Следующие задачи решите самостоятельно.

	Задача6
Вычислить	сопротивления и ток в нейтральном проводе в схеме
рис. 3.37, если	нагрузка равномерная, Uл = 380 В, Iф = 2 А. Построить

векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-147-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

X L

I nN

Рис. 3.37

Ответ: R = ХL = XC =110 Ом, InN = 5,46 А.

Задача7

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.38, если Uл = 380 В,

Ra = 0,8

Ом,

Rb =1,4 Ом,

Rc = 2,2

Ом, X a =1,8

Ом, Xb =1,6 Ом,

Xc = =2,8 Ом.

I A

* W

I a

I B

I с

I nN

Рис. 3.38

Ответ: PW 1 =10 кВт, PW2

=15 кВт, PW3 = 8 кВт.

Задачи 8 и 9 решите для самоконтроля.

Задача8

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-148-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Найти показания вольтметра в схеме рис. 3.39, если Uф = 220 В,

R = X L = XC .

X L

Рис. 3.39

Ответ: UV = 300 В.

Задача9

Вычислить входные токи и показания ваттметров в схеме рис. 3.40,

если Uл = 380

В, Ra = 0,605

Ом,

Rb = 2,065

Ом,

Rc =1,960 Ом,

R = 2,178

Ом, X a =1,047 Ом, Xb =1,548 Ом,

X c = 0,949 Ом,

X = 6,926 Ом.

I A

I a‘

* W

I a

Ib‘

‘

I B

‘ R

I с

I a

I с

Рис. 3.40

Построить векторно-топографическую диаграмму.

Ответ:

I A =162,8

А,

IB = 80,41

А,

IC =123,7

А,

InN =197,2

А,

= 22 кВт,

PW =17 кВт, PW = 22 кВт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-149-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Занятие3 Расчеттрехфазнойцепиприсоединениизвездойтрехпроводной

Цели занятия:

1.Научиться вычислять токи и напряжения.

2.Научиться строить векторно-топографические диаграммы.

3.Научиться определять показания ваттметров, вычислять потреляемую мощность.

Схема замещения анализируемой цепи представлена на рис. 3.41.

		E A					Z a
							U a
			U A
				U nN			Z c		Zb
						n
	EC	N	EB			I с

C		U С	U B	I B	c		U	с	U b	Ib
		b
			IC B

Рис. 3.41

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому для их расчета пригодны все методы, применяемые в однофазных цепях. Анализируемую схему можно рассматривать как схему с двумя узлами (N и n) и р ассчитать токи в ней методом напряжения между двумя узлами.

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника можно вычислить по формуле

UnN = Y a U A +Y b UB +Y c UC ,

Y a +Y b +Y c

где Y a =	1	,Y b =	1	,Y c =	1	– комплексные проводимости фаз приемника.
	Z a	Z b	Z c

Линейные и равные им соответственно фазные токи можно определить по закону Ома для активной ветви:

I A = Ia =Y a (U A −UnN );

IB = Ib =Y b (U B −UnN );

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-150-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IC = Ic =Y c (UC −UnN ).

Выражения в скобках являются разностью потенциалов между началами (a,b,c) и концами (n) фаз приемников, т. е. фазными напряжениями

приемника. Например, Ua = −UnN +U A .

Поэтому уравнения можно переписать в следующем виде:

I A = Ia = Y a Ua ;

IB = Ib = Y b Ub ;

IC = Ic = Y c Uc .

На основании первого закона Кирхгофа геометрическая сумма токов Ia, Ib и Ic будет равна нулю.

Уравнение Ia + Ib + Ic = 0 дает возможность проверить правильность

решения.

Топографическую диаграмму строят в два этапа:

1.Построение топографической диаграммы напряжений генератора.

2.Построение топографической диаграммы напряжений приемника. Напряжение – разность потенциалов между двумя точками. Если известна картина распределения потенциалов различных точек схемы на комплексной плоскости, то, соединив две соответствующие точки, можно получить вектор нужного напряжения. Если сопротивлением линии пренебрегают, то на схеме замещения начала фаз генератора и приемника коротко соединяют между собой, тогда потенциалы их будут одинаковы. Точки А и a , B и b , C и c на комплексной плоскости совпадают. Между нейтральными точками

генератора N и приемника n возникает напряжение UnN . Точка n на комплексной плоскости смещена относительно точки N , поэтому напряжение UnN называют напряжением смещения нейтрали. Точку n получают, построив вектор UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получают векторы фазных напряжений приемника Ua ,Ub и Uc . Система фазных напряжений приемника несимметрична.

Векторная диаграмма токов зависит от нагрузки. Если приемник симметричный

(Z a = Z b = Z c = Z, Y a =Y b =Y c =Y ),

формула напряжения между двумя узлами может быть записана в виде

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-151-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

UnN = Y (EA + EB + EC )= 0 .

Напряжение между нейтральными точками генератора и приемника не возникает.

Напряжения генератора и приемника соответственно равны. Линейные и фазные токи равны по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на угол 120°:

	U A			− j120°		j120°
I A = Ia =	;	IB = IA e	; IC = IA e		.
Z a

Векторно-топографическая диаграмма имеет вид, аналогичный диаграмме на рис. 3.32.

Итак, напряжение между нейтральными точками не возникает при симметричной нагрузке, а также при наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением.

Задача1

К трехпроводной линии с линейным напряжением Uл = 346 В

подключен симметричный трехфазный приемник, соединенный звездой. Вычислить показания амперметра в одном из линейных проводов, если Z a = Z b = Z c = (6 + j8) Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

Решение

При симметричном приемнике напряжения на фазах приемника и генератора одинаковы. Фазное напряжение вычислим по формуле

Uф = U3л = 3463 = 200 В.

Амперметр показывает действующее значение тока, которое можно найти по закону Ома:

Iл = Iф =

Uф

200

= 20

А.

Zф

Rф2 + Xф2

62 + 82

Векторно-топографическая диаграмма построена на рис. 3.42.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-152-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Векторы токов равны по величине и отстают от векторов соответствующих фазных напряжений на угол ϕ = arctg XR = arctg 86 =53°10′.

	U	A
			U a	U AB
U CA	IC			ϕ
	N
	ϕ	ϕn	I A
U С			U B

				U b
	U с
		I B
Cc		U BC	Bb
	Рис. 3.42

Задача2

Найти показания ваттметров в схеме рис. 3.43, если Uл = 220 В, а в номинальном режиме при напряжении Uн = 200 В лампочка потребляет

мощность Рлн = 50 Вт.
A	*	*
W
		1
B		n
С	*	W2
	*

		Рис. 3.43

Решение

1. Вычислим сопротивление лампочки из номинального режима:

Рлн =Uн Iн =Uн Uн = Uн2 .

R R

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-153-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Отсюда

R = Uн2 = 2002 = 800 Ом.

Рлн 50

2. Вычислим напряжение на лампочке. Так как приемник симметричный, фазное напряжение

Uфп = U3л = 2203 =127 В.

3. Вычислим нужные для определения показаний ваттметров токи по закону Ома:

I А = URА = 127800 = 0,159 А;

IС = IA e j120° = 0,159 e j120° А.

4. Вычислим	показания	ваттметров. Если U A =127	В, то U AB =
= 220e j30° В, UCB = 220e j 90°В.
Тогда P	=U		I			^	I
AB	A	cos U	AB	= 220 0,159 cos30° =30,25 Вт;
W1					A

PW2 =UBC IC cos UCB ^ IC = 220 0,159 cos30° =30,25 Вт.

Проверка: PW1 + PW2 = 3R I 2 ;

30,25 +30,25 = 3 800 0,1592 ;

60,5 Вт ≈ 60,67 Вт.

Задача3

Вычислить комплексные значения всех токов в схеме рис. 3.44, если

Uл =100 В, ХС =10 Ом, R =10 Ом, X L = 60 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-154-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

XC	R	I A	a
A

XC	R			X	L
	I ab			X
B		I B	b	X L		L

XC
R			Ibc	I
			IC		ca
С				с

Рис. 3.44

Решение

1. Заменим треугольник сопротивлений на эквивалентную звезду. Приемник симметричный, поэтому

X LY =	X L	=	60	= 20	Ом.
3	3

Схема примет вид, представленный на рис. 3.45.

	I A	XC	R	X LY
A

	I B	XC	R	X LY
B			n

С IC	XC	R	X	LY

Рис. 3.45

2. Напряжение смещения нейтрали не возникает, поэтому напряжения на фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора:

Uф = U3л = 57,8 В.

3.Вычислим линейные токи по закону Ома:

IA =

U A

U А

57,8

= 4,1e− j 45° А;

R + j (X LY − XC )

10 + j10

14,14e j 45°

Zф

− j120°

= 4,1e

− j165°

А;

= IA e

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-155-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IC = IA e j120° = 4,1e j 75° А.

4.Вычислим токи Iab , Ibc и Ica . У симметричного приемника

Iab =	IA	e j 30° = 4,1	e− j 45° e j 30° = 2,37 e− j15° А;
3
			3
			− j120°	= 2,37 e	− j135°	А;
	Ibс = Iab e
				e	j120°	= 2,37 e	j105°	А.
		Ica = Iab

Проверка решения:

IA = Iab − Ica = 2,29 − j 0,61+ 0,61− j 2,29 = 2,89 − j 2,89 = 4,1e− j 45° А.

		Задача4
Вычислить комплексные значения всех токов в схеме рис. 3.46, если
Uл =173 В, R1 = 3 Ом, R2 = 9 Ом, X L =10 Ом, X M = 2 Ом.
A	I A		X L	R		a
			1
		XM	X L	R	R2
B	I B	b	I ab
XM			1	R2
						Ibc
С	IC	XM	X	L	R
		1	R2
							I ca
							с
			Рис. 3.46

Решение

1.Заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой и применив правило магнитной развязки для каждой пары индуктивно связанных элементов, получим схему, представленную на рис. 3.47.

2.Приемник симметричный, поэтому

Uфп = U3л = 1733 =100 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-156-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

			X L − XM	R	R2
		3
		1
A I	A
			X L − XM	R	R2
		3
B			1	n
I B
			X L − XM	R	R2
	IC	3
С		1

Рис. 3.47

3. Вычислим линейные токи по закону Ома:

IA =

U A

100

=10e− j 53° А;

6 + j8

10e j 53°

Zф

+ j (X

− X

)

− j120°

=10e

− j173°

А;

= IA e

j120°

=10e

j 67°

А.

IC = IA e

4. Вычислим токи Iab , Ibc и Ica :

Iab = IA3 e j 30° = 5,78e− j 23° А;

Ibc = Iab e− j120° = 5,78e− j143°А;

Ica = Iab e j120° = 5,78e j 97° А.

Задача5

Вычислить все токи и показания ваттметров в схеме рис. 3.48, если

U л = 220 В, X a = Xb = X c = X a′b′ = 3 Ом, X M = 2 Ом, Xb′c′ = 5 Ом, Rc′a′ = 2 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-157-

	ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС
A		*	a		Xa		a‘
I A	W	*		Xa‘b‘
			1

					Xb	XM
B	I B		*	*	I a‘b‘		Rc‘a‘
		W		b‘	Xb‘c‘
			2	b
				XM	Xc			I c‘a‘
С	IC					Ib‘c‘
	с				c‘

				Рис. 3.48
					Решение

1. Сделаем магнитную развязку, воспользовавшись уравнениями на основании законов Кирхгофа. Напряжение

U AB = − j Xb IB − j X M IC + j X a′b′ Ia′b′ + j X M I A + j X a I A + j X M Ia′b′.

В этой схеме I A + IB + IC

= 0.

Отсюда IC = −I A − IB.

Тогда U

= − jX

+ jX

′ ′ I ′ ′ +

a b a b

+ jX

I ′ ′

= j

+ 2X

+ j(X

′ ′ + X

′ ′ −

a b

− j(Xb − X M )IB .

Аналогично получим выражения напряжений U BC и UCA :

= j

− X

− jX

′ ′ I

′

′ − j (X

− X

;

b c b c

= − j (X

+ 2X

)I + (R ′ ′

− j X

)I ′ ′ + j (X

− X

)I .

c a

Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема без магнитных связей, представленная на рис. 3.49. Вершины треугольника имеют иные потенциалы, чем в исходной схеме, поэтому они обозначены буквами с двумя штрихами.

2. Преобразуем треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду. Схема, полученная после преобразования, представлена на рис. 3.50.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-158-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A

Xa + 2XM

a“

Xa‘b‘ + XM

Rc‘a‘

− XM

I B

I a‘b‘

− XM

b“

Xb‘c‘

− XM

I c‘a‘

Ib‘c‘

c“

Рис. 3.49

I A

Xa + 2XM

Z a′′

I B b

Xb − XM

′′

IC с Xc − XM

Z c′′

Рис. 3.50

Вычислим сопротивления Z a′′ ,

Z b′′, Z c′′ по известным формулам:

Z a′′

Z a′′b′′ Z c′′a′′

Z a′′b′′ + Z b′′c′′ + Z c′′a′′

j (X

′ ′ + X

) (R ′ ′ −

j X

)

a b

c a

= j5Ом;

j (X

′ ′ +

)

− j X

′ ′ +(R ′ ′ − j X

)

a b

b c

c a

Z b′′

Z b′′c′′ Z a′′b′′

Z a′′b′′ + Z b′′c′′

+ Z c′′a′′

j (X

′ ′ + X

)

(− j X

′ ′ )

= (6,25 + j 6,25) Ом;

a b

b c

j (X

′ ′ + X

)− j X

′

′ +

′ ′ − j X

)

a b

b c

c a

Z с′′

Z с′′a′′ Z b′′c′′

Z a′′b′′ + Z b′′c′′

+ Z c′′a′′

′ ′ − j X

) (− j X

′ ′ )

c a

b c

= − j 5 Ом.

j (X

′ ′ + X

)− j X

′ ′

+ (R

′ ′ − j X

)

a b

b c

c a

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-159-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

3. Приемник несимметричный, поэтому возникает напряжение смещения нейтрали, которое вычислим по формуле

UnN =

Y aU A + Y b U B + Y c UC

Y a + Y b + Y c

где Y a =

= − j 0,0833 См,

Z a

j (X a + 2X M )+ Z a′′

Y b =

= (0,0682 − j 0,0792) См,

j (Xb − X M )+ Zb′′

Z b

Y c =

= j 0,25 См.

Z c

j (X c − X M )+ Z c′′

Будем считать напряжение U AB действительным числом. Тогда

U A =

U AB

e− j30° =127 e− j30° В, UB =127e− j150° В,

UC =127e j 90° В.

Подставив значения напряжений и проводимостей в формулу

напряжения UnN

и произведя вычисления, получим:

UnN = 450e j133,5° В.

4. Вычислим линейные токи:

IA =Y a (U A −UnN )=Y a Ua = 47,7e− j132,8° А;

IB =Y b (UB −UnN )=Y b Ub = 45,5e− j112,2° А;

IС =Y с(UС −UnN )=Y сUс = 92,3e j 57,3° А.

Проверка решения: I A + IB + IC = 0;

− 32,4 − j 35,8 −17,2 − j 42 + 49,8 + j 77,7 = 0,2 − j 0,1 ≈ 0.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-160-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжения на фазах приемника Ua , Ub и Uc можно было найти и из формул, выведенных из уравнений, составленных по законам Кирхгофа:

Ua = Y b U AB −Y c UCA ;

Y a + Y b + Y c

Ub = Y c U BC −Y a U AB ;

Y a + Y b + Y c

Uс = Y a UCA −Y b U BC .

Y a + Y b + Y c

5. Вычислим токи в ветвях треугольника:

′ ′

Ua′′b′′

− Z b IB + Z a I A

= 41,8e− j5,2° А;

′ ′ + X

)

a b

j (X

′ ′ + X

)

a b

′

′ =

Ub′′с′′

= − Z c IC + Z b IB

= 52,2e− j 62,3°

А;

b с

− j X

′ ′

− j X

′ ′

b c

′

′ =

Uc′a′

− Z a I A + Z c Ic = 81e j 22,5°

А.

′ ′ − j X

c a

R ′ ′ − j X

c a

6. Найдем показания ваттметров:

= Re U

− I

= Re (−U

)

− I

= Re U

= Re (220e j120° 47,7 e j132,8° )= −3120 Вт;

PW2

−

2 2 0e

− j1 2 0° Вт.

−

R e U B C

R e[

Знаки минус объясняются тем, что верхние зажимы обмоток напряжения ваттметров подключены со стороны приемника, а не генератора.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-161-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	R	X L
A
	R	X L
B	n

R X L

Рис. 3.51

Проверка решения:

P	+ P	= R ′ ′ I 2′ ′;
W1	W2	c a c a

13120 Вт ≈13122 Вт.

Следующие задачи решите самостоятельно.

	Задача6
Найти показание вольтметра в схеме рис. 3.51, если R = 3 Ом, X L = 4
Ом, а амперметр показывает ток I A =1,73 А.
A	*		Z
* W
		Z
B
				n

Рис. 3.52

Ответ: UV =12 В.

Задача7

Вычислить показание ваттметра в схеме рис. 3.52, если Uл = 380 В,

Z = − j 220 Ом.

Ответ: PW =190 Вт.

Задача8

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-162-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.53, если Uл = 220 В,

ХL =10 Ом, ХС = 60 Ом.

	A			*	X L
	* W
					1	X L	XC
	B					XC
					X L
	С		W2		XC
	*
			*

						Рис. 3.53
Ответ: РW =1397 Вт, PW	2	= −1397 Вт.
1
					Задача9
Найти комплексные значения всех токов в схеме рис. 3.54, если Uл =
= 380 В, R1 = 2 Ом,	R2 =18 Ом,	X L = 7 Ом, X M =1 Ом.
A	I A	R					X L		a
1
B I B	R1			XM	XM	X L	R2	I ab
			b	R2
						XM		Ibc
	IC	R1				X L	I ca
С					R2

Рис. 3.54

Ответ:

− j 37°

А,

− j157°

j83°

А,

− j 7°

IA = 22e

IB = 22e

А, IC = 22e

Iab =12,7e

А,

− j127°

А,

j113°

А.

Ibc =12,7e

Ica =12,7e

Задачи 10–14 решите для самоконтроля.

Задача10

Найти показание амперметра в схеме рис. 3.55, если Z = (8 + j 6)

Ом,

а вольтметр показывает напряжение UV = 380 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-163-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

V Z

B n

С A

Рис. 3.55

Ответ: I A = 22 А.

Задача11

Вычислить показания ваттметров в схеме рис. 3.56, если Uл =100 В,

ХС =10 Ом,

X L = 60 Ом.

* W

X L

Рис. 3.56

Ответ: PW = −289

Вт, PW = 289 Вт

Задача12

Определить показания всех измерительных приборов в схеме рис. 3.57,

если Uл =173 В,

Z a = Z b = Z c =10 Ом,

RA = 0 , RV

= ∞.

Ответ:

I A

= I A

= I A =10 А,

=UV

=100 В,

PW =

= PW2 =1500 Вт.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-164-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

				V1
	*	*	A1	Z a
A	W1
				V2
	*			Zb
B	* W2		A2	n
				V3
С			A3	Z c

Рис. 3.57

X L

Задача13

Вычислить комплексные

X L

значения токов в схеме рис.

3.58, если U

=173 В,

R = 6

Ом,

XM X L

X L =10 Ом, X M = 2 Ом.

Ответ: IA =10e− j 53° А,

Рис. 3.58

=10e

− j173°

j 67°

А, IC =10e

А.

A
	R		Задача14
		X L
		Найти значение тока в линии
B		R
X L	схемы рис. 3.59, если модули
	X L	всех фазных токов равны 1 А.
	R		Ответ: Iл = 2 А.
С
	Рис. 3.59
	Теоретические основы электротехники. Практикум	-165-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Занятие4

Аварийныережимывтрехфазныхцепях

Цели занятия:

1.Научиться рассчитывать токи и напряжения, строить векторнотопографические диаграммы для режимов холостого хода и короткого замыкания при соединении фаз приемника звездой четырёхпроводной.

2.Научиться рассчитывать токи и напряжения, строить векторнотопографические диаграммы для аварийных режимов при соединении фаз приемника звездой трёхпроводной.

3.Научиться анализировать аварийные режимы в схеме при соединении фаз приёмника треугольником.

Рассмотрим первую целевую задачу занятия.

Холостой ход одной из фаз Схема замещения трёхфазной цепи при обрыве в фазе а приемника

изображена на рис. 3.60. Точки а, b, с, n приемника коротко соединены соответственно с точками А, В, С, N генератора, поэтому потенциалы их одинаковы. Следовательно, напряжения на фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора. Ток I A = Ia = 0. Токи IB и IC не

изменятся по сравнению с нормальным режимом работы. Их вычисляют по

закону Ома: Iл = Iф = Uф . Ток нейтрального провода вычисляют по первому

Zф

закону Кирхгофа (InN = IB + IC ) аналитически или графически.

	A					a
		U A	I nN			U a
						Zb
	N				Z c	n
C	U С	U B	B	I B	U с		U b

			IC
				Рис. 3.60

Обрыв линейного провода

Схема замещения трёхфазной цепи при обрыве линейного провода Aа изображена на рис. 3.61.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-166-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Ток I A = Ia = 0, поэтому напряжение на фазе а приемника

Ua = Za Ia = 0. Точки b, с, n приемника соединены коротко соответственно

с точками B, C, N генератора, т. е. Ub =U B ; Uc =UC .

Токи IB и IC не изменятся по сравнению с нормальным режимом работы. Ток нейтрального провода равен геометрической сумме токов IB и

IC : InN = IB + IC .

Топографическая диаграмма приведена на рис. 3.62. Напряжение Ua = 0 , поэтому точка а на диаграмме совпадает с точкой n.

	A						a
		U A	I nN			U a

	N						n
C	U С	U B	B	I B	с	U с	U b	b

			IC
				Рис. 3.61

	N	n
	U С	a	U B

	U с
			U b
Сc	U		Bb
	BC
	Рис. 3.62

Режим короткого замыкания одной из фаз для случая, когда пренебрегают сопротивлением фаз генератора и проводов, является чисто теоретическим.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-167-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжение закороченной фазы становится равным нулю, напряжения на двух других фазах не изменятся.

На практике при возникновении такой аварийной ситуации срабатывает аппаратура защиты.

Перейдём к рассмотрению второй целевой задачи.

Холостой ход одной из фаз

Схема замещения цепи при обрыве в фазе а приемника показана на рис. 3.63.

Построение векторно-топографической диаграммы проводим в три этапа, начиная с топографической диаграммы напряжений генератора. Затем строим топографическую диаграмму напряжений приемника. Точки а, b, с приемника коротко соединены с точками А, В, С генератора, потенциалы их соответственно одинаковы, и эти точки на комплексной плоскости совпадают (рис. 3.64). Нейтральные точки генератора N и приемника n не соединены между собой. Так как сопротивление фазы а становится при обрыве бесконечно большим, приемник является несимметричным, поэтому

возникает напряжение смещения нейтрали UnN . Соединение звездой при

обрыве одной из фаз превращается в последовательное соединение двух других фаз. В схеме рис. 3.63 фазы b и с подключены под линейное напряжение U BC . Если сопротивления фаз b и с одинаковы, напряжение

Ub =Uc = U2BC , следовательно, точка n на диаграмме находится в середине

вектора U BC . Соединив точки n и N, получим вектор напряжения смещения нейтрали UnN . Соединив точки, соответствующие началам и концам фаз приемника, получим векторы фазных напряжений Ua , Ub , Uc .

	A						a
	U A				U a
	U С				Z c	n		Zb
	N
C	U B	B		с		U с	U b	b
		IC	I B

			Рис. 3.63

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-168-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжение на фазе а возрастает по сравнению с симметричным режимом работы и становится равным Ua = 23UЛ .

Напряжения на фазах b и с находятся в противофазах. Направления векторов токов определяются характером нагрузки. Ток в фазе а равен нулю. Токи в фазах b и с одинаковы по величине. С учётом направлений на схеме рис. 3.63 их можно вычислить по закону Ома:

IB = −IC =	U BC

	Z b + Z c

На диаграмме рис. 3.64 векторы токов IB и активно-емкостной нагрузки.

		N
U С		U B
		U nN	ϕ I B
		n
U BC	b
Сc U с	ϕc	IC	U b

Рис. 3.64

IC построены для случая

Обрыв линейного провода

Схема замещения цепи при обрыве линейного провода на рис. 3.65.

Ток I A = Ia = 0. Поэтому напряжение на фазе a

Aa приведена

Ua = Za Ia = 0 .

Потенциалы точек a и n одинаковы. Схема на рис. 3.65 представляет собой последовательное соединение фаз b и c , подключенных под напряжение Ubc . Расчет токов не отличается от расчета для режима холостого хода фазы.

При обрыве в фазе приемника напряжение на ней возрастает по сравнению с нормальным режимом работы, при обрыве в линии – становится

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-169-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

равным нулю. Это дает возможность определить место аварии при отсутствии тока в фазе.

A	I A = 0			a

			U a
	U A
U С		U с	n	U b
N

C		U B	B	с
U BC	I B	b
			IC

Рис. 3.65

Векторно-топографическая диаграмма для случая, когда сопротивления фаз b и c одинаковы и имеют активно-емкостной характер, показана на рис. 3.66.

	U CA		U A	U AB
			N	U B
	U С		Ib
	U		U b
Сc	с	n	Bb
		a	U BC
	I с

			Рис. 3.66

Векторно-топографическую диаграмму можно строить только для приемника, рассматривая его как однофазную цепь.

Короткое замыкание одной из фаз

Схема замещения цепи при коротком замыкании фазы а изображена на рис. 3.67.

Сопротивление фазы а Za = 0 , поэтому напряжение Ua = Za Ia = 0 .

Построение топографической диаграммы (рис. 3.68) проведем в два этапа. Начнем с построения топографической диаграммы напряжений генератора.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-170-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Потенциалы точек а и А, b и В, с и С (см. рис. 3.67) одинаковы, поэтому эти точки на диаграмме совпадают. Приемник несимметричный, поэтому между нейтральными точками генератора и приемника возникает напряжение. Точка n на диаграмме смещается относительно точки N. Так как точки а и n коротко соединены между собой, потенциалы их одинаковы и точка n на диаграмме совпадает с точкой а. Чтобы построить векторы напряжений на фазах приемника b и с, нужно соединить точки, соответствующие началам и

концам фаз. Напряжение UnN =U A .

Рис. 3.67

A a n

	U С		U B
Сc	U	BC	Bb

Рис. 3.68

Из диаграммы видим, что напряжения на фазах b и с возрастают и становятся равными по величине линейным.

Токи IB и IC вычисляем по закону Ома:

IB = Ib =	Ub	=	−U AB	;

	Z b	Z b

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-171-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IC = Ic = Uc = UCA .
Z c	Z c

Сопротивления в фазах b и с не изменяются по сравнению с нормальным режимом работы, поэтому эти токи по величине изменяются

так же, как напряжения, т. е. увеличиваются в 3 раз.

Ток I A вычисляют, пользуясь первым законом Кирхгофа:

I A + IB + IC = 0.

Отсюда I A = −(IB + IC ).

Направления векторов токов IB и IC зависят от нагрузки в этих фазах. Перейдем к рассмотрению третьей целевой задачи.

Режим холостого хода одной фазы

Схема замещения трехфазной цепи при обрыве в фазе ab изображена на рис. 3.69.

Ток Iab = 0. Точки а, b и с приемника коротко соединены с точками А,

В и С генератора, поэтому их потенциалы при обрыве фазы не изменяются. Следовательно, напряжения на фазах приемника тоже не меняются по сравнению с нормальным режимом работы. Сохраняют свои значения и токи двух других фаз:

	U BC			UCA
Ibc =		;	Ica =
Z bc	Z ca

I A

I ab = 0

U CA

U AB

U сa

U ab

Z ca

Zbc

I ca

Ibc

U BC

I B

U bc

Рис. 3.69

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-172-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Линейные токи I A и IB , как видно из рис. 3.69, становятся равными по величине соответственно фазным токам Ica и Ibc . С учетом указанных на схеме направлений токов можно записать:I A = −Ica ; IB = Ibc . Ток IC вычисляют по первому закону Кирхгофа: IC = Ica − Ibc .

			I A = −I ca
		Aa
	IC
		Ica
		U CA =U ca	U AB =U ab
− Ibc
	Ibc = I B
		U BC =U bc
Сc				Bb

Рис. 3.70

На рис. 3.70 приведены топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов для приемника, у которого нагрузка фазы bc имеет активно-емкостный характер, фазы са – активный.

Обрыв линейного провода

Схема замещения трехфазной цепи при обрыве линейного провода Аа изображена на рис. 3.71.

Соединение фаз приемника треугольником при обрыве линейного провода превращается в смешанное. Фазы ab и ca соединены между собой последовательно в ветви, концы которой подключены к точкам b и с. Фаза bc соединена с этой ветвью параллельно.

Токи Iab и Ica равны между собой. Их вычисляют по закону Ома:

Iab = Ica = − Z abU+bcZ ca

Напряжения на фазах ab и са распределяются пропорционально их сопротивлениям: Uab = Z ab Iab; Uca = Z ca Ica .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-173-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

I A = 0

I ab

U CA

U ca

U ab

U AB

Z ca Z ab

I ca

Zbc

Ibc

U BC

I B

U bc

IС

Рис. 3.71

Ток фазы bc не меняется по сравнению с нормальным режимом:

Ibc = Ubc

Z bc

Токи IB и IC равны между собой по величине. Они могут быть вычислены по первому закону Кирхгофа с учетом указанных на схеме рис.

3.71 направлений: IB = −IC = Ibc − Iab .

Линейные токи можно определить графически с помощью векторнотопографической диаграммы, построение которой проводят так же, как и для однофазной цепи со смешанным соединением приемников.

Напряжение на закороченной фазе становится равным нулю, напряжения на двух других фазах не изменяются.

На практике при возникновении такой аварийной ситуации срабатывает аппаратура защиты.

Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.

Задача1

Вычислить токи в линейных и нейтральном проводах в схеме рис. 3.72, если Uфг =127 В, Zb = (3 − j 2) Ом, Z c = (3 + j5) Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-174-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A		a		Z a



B	I B		b		Zb
								n
IC		с		Z c
С

N	I nN

			Рис. 3.72
			Решение
Ток I A = Ia = 0.	Токи IB и IC	вычислим по закону Ома:
	IB = Ib	=	Ub		=	UB	=	127e− j120°	=
	Zb		3 − j 2
				Zb

=127e− jj120° = 35,2e− j 86°А; 3,6e− 34°

IC = Ic =	Uc	=	UС	=127e j120°	=	127e j120°	=	21,9e j 61° A.
Z c
		Z с	3 + j5		5,8e j 59°
Ток в нейтральном проводе
InN = Ib + Ic = 35,2e− j 86° + 21,9e j 61° = 2,25 − j35,2 +10,18 + j19,15 =
			=12,43 − j16 = 20,3e− j 52° А.
Векторно-топографическая	диаграмма построена	на рис.	3.73
(линейные напряжения не показаны).
Вектор тока I		опережает вектор напряжения	U	b	на угол ϕ	= 34°,
B									b

являющийся аргументом комплексного сопротивления Z b . Вектор тока IC отстает от вектора Uс на угол ϕc =59°. Вектор тока InN есть геометрическая сумма векторов IB и IC .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-175-

			ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
		Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС
					+1
						U A =U a
					Aa
			IC		−52°	I nN
								I B
		+j	59°	Nn	34°
			U С =U c			U B =U b

			Сc					Bb
					Рис. 3.73
					Задача2
Найти	ток	IB в схеме	рис.	3.74, если	Uл = 220 В,	XС = 22 Ом,
R = 22 Ом.
3
				I A	a	XC
			A

			B	I B	b		n

			С			с	R

			N		I nN	R

						Рис. 3.74
					Решение
Построим векторно-топографическую диаграмму, представленную на
рис. 3.75.
Сначала построим топографическую диаграмму напряжений на фазах
генератора. Потенциалы точек а и А, b и В совпадают. Потенциал точки n
равен потенциалу точки В, поэтому на диаграмме эти точки совпадают.
Тогда		напряжение на	фазе	приемника	Ua =U AB , а	напряжение
смещения нейтрали UnN =U B .
	Теоретические основы электротехники. Практикум	-176-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вектор тока InN совпадает по направлению с вектором напряжения UnN , так как нагрузка в нейтральном проводе чисто активная. Вектор тока

Ia = I A опережает вектор напряжения Ua на 90° , так как нагрузка в фазе а чисто емкостная.

A a

U A

U a =

U AB

U С

U B =U nN

I A

B b n с

I nN

I B

Рис. 3.75

Вычислим токи InN

и I A по закону Ома:

UnN

= 220e

−

j120°

InN =

=10e− j120°

А;

3 22

U AB

IA = Ia =

220e j 30

=10e j120°

А.

− j XC

Z a

22e− j 90

Вычислим ток IB по первому закону Кирхгофа:

I A + IB − InN = 0 .

Отсюда

IB = InN − IА =10e− j120° −10e j120° = −5 − j8,66 + 5 − j8,66 = − j19,3 А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-177-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Следующие задачи решите самостоятельно.

Задача3

Найти

показание

амперметра в схеме рис.

3.76, если

Uфг =100

В,

X L = XС =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

X L

Рис. 3.76

Ответ:

I A =17,3 А.

Задача4

Определить ток I

в схеме рис. 3.77, если U

= 220 В, R

Ом,

Rа = 22 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

A	a	Ra

B	I B			n

С	с		Rc

N		RnN

	Рис. 3.77
Ответ: IB =19,3e-j135° A.
Задачи 5–7 решите для самоконтроля.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-178-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача5

Найти показание амперметра в схеме рис. 3.78, если

Uфг =100 В,

R = XС =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

Рис. 3.78

Ответ: I A =19,3 А.

Задача6

Вычислить ток Ic в схеме рис.

3.79, если U A =127

В, R = 22 Ом,

X L =

Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

I с

X L

Рис. 3.79

Ответ: Ic = j10 А.

Задача7

Найти показания ваттметров в схеме рис. 3.80, если Uф =100 В,

X L = R =10 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-179-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	*	a		R
A	* W
1
		*		X L
B		* W2
		*	*	R
С		W3	n

Рис. 3.80

Ответ: P1 = P2 = 0, P3 =1кВт.

Задача8

Определить показания амперметров в схеме рис. 3.81, если Uл = 60 В, Zb = Z c = (4 − j 3)Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

A	A1	a	Z a

B	A2	b	Zb	n


С	A3	с	Z c

		Рис. 3.81
		Решение

Амперметры показывают действующие значения токов. Ток I A = 0. Токи IB и IC равны по величине. Их можно вычислить по закону Ома:

IB = IC = U BC ,

Zbc

где Zbc – полное сопротивление двух последовательно соединенных фаз b

и с. Оно является гипотенузой суммарного треугольника сопротивлений с катетами (Rb + Rc ) и (Xb + X c ), поэтому


Z	bc	=	(R + R )2	+(X	b	+ X	c	)2	=	82 +62	=10 Ом.
		b	c

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-180-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Тогда IB = IC = 1060 = 6 А.

Векторно-топографическая диаграмма имеет такой же вид, что и на рис. 3.64.

		a	XC
A

B	I B	b	R	n

		с	X L
С	IC

Рис. 3.82

Задача9

Вычислить комплексные значения токов IB и IC в схеме рис. 3.82, если Uл = 200 В, X L = XC = R =20 Ом.

Решение

Будем считать напряжение фазы А генератора действительным числом.

Тогда

X L

Рис. 3.83

IB = −IC =

UBC

200e − j 90°

200e− j90°

= 7,14e− j135°А;

R + j X L

20 + j 20

28e j 45°

IC = 7,14e j45° А.

Задача10

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-181-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Построить топографическую диаграмму напряжений для схемы на рис. 3.83, если X L = 2XC .

Решение

На первом этапе строим топографическую диаграмму напряжений генератора (рис. 3.84).

U a

U c

U A

U AB

U CA

U BC

U B

Сc

Рис. 3.84

Ток IA

= −IС =

U AC

j(X L − Xc )

U A

действительным числом, то

Если

считать

напряжение

U AC =Uлe− j 30° . Тогда

IA = −IC =

Uл e− j 30°

Uл

− j120°

j (2XC − XC )

Напряжение на фазе приемника

Ua = − j XC

IA = − j XC

Uл e− j120° =Uл e− j 210° =Uл e j150° .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-182-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Напряжение Uc = j X L IC = − j X L IA = − j2XC Uл e− j120° =

= 2Uл e− j210° = 2Uл e j150°.

Используя значения Ua и Uс, можно найти положение точки n на

комплексной плоскости (рис. 3.84). Точка b совпадает с точкой n. Точки а и с совпадают соответственно с точкамиА и С. Подробный анализ для определения смещения нейтрали проведен в [3].

Задача11

Найти показание вольтметра и построить топографическую диаграмму для схемы нарис. 3.85, если Uл =100 В, R = X L =10 Ом.

				V
		A	a	X L
A	I

B			b	R	n


			с R
С	IC

Рис. 3.85

Решение

Подробный анализ решения подобной задачи проведен в [3].

Ток I A = −IC =

U AC

R + j X L

Если напряжение U A =U A , то U AC =100e− j 30° В.

Тогда

100e− j 30°

− j 75°

А;

j105°

А.

IA = −IC =

7,07e

IC = 7,07e

10 + j10

14,14e j 45°

Напряжения на фазах приемника найдем по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-183-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Ua = j X L IA =10e j 90° 7,07e− j 75° = 70,7e j15°В;

Uc = R IC =10 7,07e j105° = 70,7e j105° В.

Вольтметр показывает напряжение UV = 70,7 В.

Топографическая диаграмма приведена на рис. 3.86. В [3] установлено,

что в данном случае UnN =

Uфг

100

= 21,16

В. Это следует из

2,732

равенства UnN =

−

Uф

U A

U a

bn U B B

Рис. 3.86

Задача12

Найти показание вольтметра и построить топографическую диаграмму для схемы рис. 3.87, если Uл =100 В, R = X L = XC =10 Ом, RV → ∞.

A	I A	a		R
			XC
			b
B		V	n

С	IC	с		X L

Рис. 3.87

Решение

Подробный анализ приведен в [3]. Ток

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-184-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

IA = −IC =	U AC	=	100e− j30°	=
R + j X L	14,14e j 45°

= 7,07e− j 75° А.

Ток IC = 7,07e j105°А.

Напряжения на фазах приемника:

Ua = R IA = 70,7e− j 75° В,

Uc = j X L IC = 70,7e j195°В.

Топографическая диаграмма напряжений приведена на рис. 3.88.

				Aa
bn
	U a
		U CA		U A

		O
	U nN
U с				N

		U	С		U	B
Сc						B

Рис. 3.88

Показание вольтметра UV =U Bb =U Bn =UnN +U B . В этом случае

UnN =	U	л +	Uф	=	Uф	≈ 79	В.
	2		0,732
Напряжение	2
			U
	U B =	л		= 57,8 В.


			3

Тогда UV = 79 + 57,8 =136,8 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-185-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача13

Вычислить токи в линейных проводах цепи, схема замещения которой

изображена на рис. 3.89, если	Uфг =127 В, Rb = 40 Ом, Xb = 20 Ом,
Rc = 70 Ом.
A	a
		X B
	b	Rb
B

			n

С с	Rc

Рис. 3.89

Решение

Напряжения на фазах b и с приемника возросли и стали равны линейному напряжению генератора Uл = 3Uф = 220 В.

Комплексы фазных напряжений приемника можно записать, используя векторно-топографическую диаграмму рис. 3.90, следующим образом:

Ub = 220e− j150° В; Uc = 220e j150° В.

I A

25°

n		Aa
		ϕ	I B
IC		b
	U A

U c =U CA			U b = −U
U С	N	AB

U	U B
BC
Сc			Bb

Рис. 3.90

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-186-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС


Вычислим токи IB	и IC по закону Ома:
IB = Ib =	Ub	=	220 e− j150°	=	220 e− j150°	= 4,9 e− j123,5° А;
	40 − j 20	44,7 e− j 26,5°
	Zb
IC = Ic =	Uс	= 220 e j150° =3,14 e j150° А.

				Z c	70

Ток I A вычислим, воспользовавшись первым законом Кирхгофа:

IA = −(IB + IC )= −(4,9 e− j123,5° +3,14 e j150°)=

= −(− 2,70 − j 4,09 − 2,72 + j 1,57)= 5,42 + j 2,52 = 5,98 e j 25°А.

Действующие значения линейных токов I A = 5,98 А; IB = 4,9 A;

IC = 3,14 А.

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.90. Топографическая диаграмма напряжений имеет тот же вид, что и на рис.

3.68.

Вектор тока IB опережает вектор напряжения Ub на угол ϕb = 26,5°. Вектор тока IC совпадает с вектором напряжения Uс по фазе. Строим

вектор, равный геометрической сумме векторов (IB + IC ). Равный и противоположно направленный ему вектор – вектор тока I A .

	Задача14
Вычислить значение тока IC	в схеме рис. 3.91, если Uл =100 В,
X L = XC =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.
A	I A	a	X L



	I B	b	XC
B				n


С IC	с

Рис. 3.91

Решение

Вычислим токи I A и IB по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-187-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС


IA = Ia =	Ua	=	−UCA	=	100 e− j 30°	= 10 e− j120° А;
				10 e j 90°

	j X L	j X L
IB = Ib =	Ub		=		U BC	=
− j XC
						− j XC

=100 e−jj 90° =10 А. 10 e− 90°

Ток IC вычислим с помощью первого закона Кирхгофа:

IC = −IA − IB = −10 e− j120° −10 = 5 + j8,66 −10 = = −5 + j8,66 =10 e j120° А.

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.92.

U a = −U CA

U AB

I B

Сc			Bb
n	U b =U
BC
I C
		I A

Рис. 3.92

Следующие задачи решите самостоятельно.

Задача15

Вычислить значения токов IB	и IC в схеме рис. 3.93, если Uл = 200 В,
XC = R = 20 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-188-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A		a		R

B		b		R




		с	XC
С


	Рис. 3.93

Ответ: При U A =U A
IB = 7,14 e− j 45°А,
IС = 7,14 e+ j135° А.

Задача16

Вычислить показание вольтметра в схеме рис. 3.94, если Uл = 220 В. Построить топографическую диаграмму.

A		a			Z


B		b		Z
V				n




С		с	Z


	Рис. 3.94
Ответ: UV =190,5 В.
	Задача17
Вычислить ток IB в схеме рис.	3.95,			если Uл =100 В, R =10 Ом.
Построить векторно-топографическую диаграмму.
A		a		R

B	I B	b			n

С		с	R

Рис. 3.95

Ответ: IB =17,3 e− j120° А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-189-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задачи 18–22 решите для самоконтроля.

Задача18

Найти значения токов IB

и IC

в схеме на рис. 3.96, если U л = 200 В,

X L = = 50 Ом,

R = 20 Ом, XC = 30 Ом.

X L

Рис. 3.96

Ответ: IB = 7,14 e− j135° А,

IC = 7,14 e j 45°

А.

Задача19

Определить показание вольтметра в схеме рис. 3.97, если Uл = 380 В.

Ответ: UV =190 В.

Задача20

Определить показание вольтметра в схеме рис. 3.98, если известно Uл .

Uл

Ответ: UV

X L n X L

Рис. 3.97

Рис. 3.98

Задача 21

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-190-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Найти

показание

ваттметра

в схеме

на

рис. 3.99, если Uл =100 В,

R =10 Ом,

XC = 40 Ом,

X L = 30 Ом.

* W

X L

Рис. 3.99

Ответ: PW = 500 Вт.

Задача22

Вычислить значение тока IC

в схеме на рис. 3.100, если Uл = 100 В,

R = X L =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

X L

Рис. 3.100

Ответ: IC =5,18e j 75°А.

Задача23

Определить значение тока IB в схеме рис. 3.101, если U AB =100 В, X L = XC =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-191-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Рис. 3.101

Решение

В схеме наблюдается режим холостого хода фазы са. Ток Ica = 0 . Как видно из схемы, ток


			I A = Iab =	U AB	=	100	= − j10 А;
			j X L	j10

ток	Ibc = −IC =	UBC	=	100e− j120°	=10e− j 30° А.

− j XC
			10e− j 90°

Ток IB найдем по первому закону Кирхгофа:

IB = Ibc − Iab =10e− j 30° + j10 =8,66 − j5 + j10 =8,66 + j5 =10e j 30° А.

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.102.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-192-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	Ibc = −IC
	− I ab
	U CA
I B

U AB

U BC

I ab = I A

Рис. 3.102

Задача24

Вычислить значения токов I A и IC в схеме на рис. 3.103, если U AB = 100 В, R = X L =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

A	I A			a

			R	R
B		b

			I ab
			X L
	IC			I ca
С		I bc	с

Рис. 3.103

Решение

В схеме наблюдается режим холостого хода линейного провода В. Ток IB = 0 . Схема превращается в смешанное соединение, подключенное к

точкам а и с. Фазы приемника ab и bc соединены между собой последовательно, параллельно к ним подключена фаза са.

Напряжение UCA =100e j120°В. Напряжение U AC = −UCA =100e− j 60° В. Фазные токи находим по закону Ома:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-193-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС


	Ica =	UCA	=100e j120°	=10e j120° А;

			R	10
Iab = Ibc =	U AC		=	100e− j 60°	=	100e− j 60°	= 7,07e− j105° А.
		10 + j10	14,14e j 45°
	R + j X L

Линейные токи найдем по первому закону Кирхгофа:

IA = Iab − Ica = 7,07e− j105° −10e j120° = −1,83 − j 6,83 +5 − j8,66 = = 3,17 − j15,49 =15,8e− j 78,5° А,

IC = Ica − Ibc =15,8e j101,5° A = −IA .

Векторно-топографическая диаграмма приведена на рис. 3.104. Напряжение

Uab = R Iab = 70,7e− j105°В,

напряжение

Ubc = j X L Ibc = 70,7e− j15°В. Uab +Ubc = Uac .

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-194-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

b			+1
		Aa
•	U ab

	I ca		I ab	15°

U bс
		I A
	U CA		IC

Сc
			U AB
	U BC
			B
		Рис. 3.104
		Задача25
Вычислить значение тока I A	в схеме рис. 3.105, если U AB =100 В,

R =10 Ом, R1 = 5 Ом.

A	I A		R		a

				R
B		R1	b		I ca
				I ab

R R I bc

С с

Рис. 3.105

Решение

В схеме наблюдается режим короткого замыкания фазы са.

Фазы ab и bc оказались соединенными параллельно. Их эквивалентное сопротивление Rэ = R2 = 5 Ом. Схему можно заменить эквивалентной, представленной на рис. 3.106.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-195-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

A	I A	R


		R1	R
B		2
		acn

Рис. 3.106

Фазы симметричного приемника соединены звездой трехпроводной. Напряжения на фазах приемника равны напряжениям на фазах генератора.

Ток I A найдем по закону Ома:

I A = URA .

		X L	X L
B	I B	b

		XC

С IC		R
	с

		Рис. 3.107
Напряжение U A = U AB e− j 30° =
3

=1003 e− j 30° =57,8e− j 30°В.

Тогда

IA = 57,8e− j 30° =5,78e− j 30° А.

Задача26

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-196-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Вычислить ток IB в схеме рис. 3.107, если R = X L =10 Ом, XC = 5 Ом, U AB =100 В. Построить векторно-топографическую диаграмму.

Решение

Вычислим эквивалентное сопротивление параллельно соединенных фаз ab и bc:

Z э =	X L e j 90° XC e− j 90°	=10e−
j(X L − XC )

Эквивалентное сопротивление

Zb = j X L + Z э = j10 − j10

Эквивалентная схема замещения представлена на рис. 3.108. Она представляет собой соединение звездой трехпроводной с режимом КЗ в фазе b.

A I A R

С IC R

Рис. 3.108

Векторно-топографическая диаграмма представлена на рис. 3.109.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-197-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

			+1
			A
	U CA
		U AB	U An
С	U BC

U	Сn
			I A
		IC	B n
			I B

Рис. 3.109

Вычислим токи I A и I C по закону Ома:

I A = URAn = URAB = 10010 =10 А;

IC =	UCn	=	−UBC	=	100e j 60°	=10e j 60° А.
	10

	R	R

Найдем ток IB по первому закону Кирхгофа:

IB = −IA − IC = −10 −10e j 60° =

= −10 −5 − j8,66 = −15 − j8,66 =17,3e− j150° А.

Задача27

Вычислить все токи и показания ваттметров в схеме рис. 3.110 при Uл = 220 В и известных сопротивлениях.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-198-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

		*	3 Ом	j4 Ом		a
A	*	W			I A

		1				I ab

		I B 3 Ом j4 Ом	20 Ом	-j20 Ом
B		b
			I bc

				j20 Ом
		3 Ом j4 Ом
С		W2	IC
*		с
	*

		Рис. 3.110

Решение

Точки а и с соединены коротко между собой. Фазы ab и bc образуют параллельный идеальный контур из-за равенства сопротивлений X L и XC –

«пробку» для резонансной частоты. Поэтому ток в неразветвленной части цепи с этим контуром IB = 0. Схему можно рассматривать как соединение

звездой трехпроводной при режиме холостого хода фазы b. Фазы а и с соединены последовательно и подключены под линейное напряжение UCA .

Вычислим ток IC по закону Ома:

IC =	UCA	=	220e j120°	= 22e j 67° А.
Z A + ZC	6 + j8

Ток IA = −IC = 22e− j113°А.

Ток Iab = −Ibc = Uab .

j X L

Напряжение

Uab =Ucb = −U BC −UCс = −U BC − Z C IC =

=−220e− j120° −5e j 53° 22e j 67° =110 + j190 −110e j120° =

=110 + j190 +55 − j95 =165 + j95 =190 j 30°В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-199-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

	190e j 30°		− j 60°			j120°
Тогда Iab =		= 9,5e		А,	Ibc = −Iab = 9,5e	А.
20e j 90°

Ток Ica найдем по первому закону Кирхгофа:

Ica = Iab − IA =9,5e− j 60° − 22e− j113° =

= 4,75 − j8,23 +8,6 + j 20,25 =13,35 + j12 =17,95e j 42° А.

Вычислим показания ваттметров:

P		=			*		Re(220 22e j113° )= −1891	Вт,
	Re U	AB	I A =
W1

	P			*		=
	= Re U	СB	I С = Re(220e j 60° 22e− j 67° )
		W2

= Re(4840e− j 7° )= 4804 Вт.

Следующие задачи решите самостоятельно.

	Задача28
Вычислить ток IB	в схеме рис. 3.111, если U AB =100 В, X L = R =
=10 Ом.

B	I B	b
		R
		X L
С		с

Рис. 3.111

Ответ: IB =19,3e j165° А.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-200-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Задача29

Вычислить токи Ом, R =10 Ом.

I A и IB в схеме рис. 3.112, если U AB =100 В, X L = 20

A	I A		a

		X L
B	I B	b	R
	R

			С					с

					Рис. 3.112
Ответ:		− j 45°	А,		7,07e	j135°	А.
IA = 7,07e		IB =
				Задача30
Найти	значения	тока	IB в	схеме	рис. 3.113, если U AB =100 В,

R = XC =10 Ом, X L = 5 Ом.

A	I A		R	a

		XC	XC
	I B	b
B
			X L

Сс

Рис. 3.113

Ответ: IB =17,3e− j150° А.

Задачи 31–33 решите для самоконтроля.

Задача31
Вычислить линейные токи в схеме рис. 3.114,	если U AB = 220 В,
R = X L =10 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-201-

ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Тема 1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

			X L	R
				R
B	I B	b	R
			X L

				X L
С	IC
				с

		Рис. 3.114
	− j105°			− j165°	j 45°	А.
Ответ: IA =15,6e		А, IB =15,6e		А, IC = 26,9e

Задача32

Определить значения токов I A и IB в схеме рис. 3.115, если U AB =100 В, XC = 20 Ом, R =10 Ом. Построить векторно-топогра-фическую диаграмму.

I B

Рис. 3.115

Ответ:

45°

А,

7,07e

− j135°

А.

IA = 7,07e

IB =

Задача33

Вычислить ток IС

в схеме рис. 3.116,

если U BC =100 В, X L =10 Ом,

R = 20 Ом. Построить векторно-топографическую диаграмму.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-202-

Источник

Основные расчетные уравнения трехфазной цепи

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и, следовательно, все рассмотренные ранее методы расчета и анализа в символической форме в полной мере распространяются на них. Анализ трехфазных систем удобно осуществлять с использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять фазовые сдвиги между переменными. Однако определенная специфика многофазных цепей вносит характерные особенности в их расчет, что, в первую очередь, касается анализа их работы в симметричных режимах.

Расчет симметричных режимов работы трехфазных систем

Многофазный приемник и вообще многофазная цепь называются симметричными, если в них комплексные сопротивления соответствующих фаз одинаковы, т.е. если . В противном случае они являются несимметричными. Равенство модулей указанных сопротивлений не является достаточным условием симметрии цепи. Так, например трехфазный приемник на рис. 1,а является симметричным, а на рис. 1,б – нет даже при условии: .

Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система напряжений генератора, то в ней будет иметь место симметричная система токов. Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе друг по отношению к другу на угол . Вследствие указанного расчет таких цепей проводится для одной – базовой – фазы, в качестве которой обычно принимают фазу А. При этом соответствующие величины в других фазах получают формальным добавлением к аргументу переменной фазы А фазового сдвига при сохранении неизменным ее модуля.

Так для симметричного режима работы цепи на рис. 2,а при известных линейном напряжении и сопротивлениях фаз можно записать

где определяется характером нагрузки .

Тогда на основании вышесказанного

;

Комплексы линейных токов можно найти с использованием векторной диаграммы на рис. 2,б, из которой вытекает:

При анализе сложных схем, работающих в симметричном режиме, расчет осуществляется с помощью двух основных приемов:

Все треугольники заменяются эквивалентными звездами. Поскольку треугольники симметричны, то в соответствии с формулами преобразования «треугольник-звезда» .

Так как все исходные и вновь полученные звезды нагрузки симметричны, то потенциалы их нейтральных точек одинаковы. Следовательно, без изменения режима работы цепи их можно (мысленно) соединить нейтральным проводом. После этого из схемы выделяется базовая фаза (обычно фаза А), для которой и осуществляется расчет, по результатам которого определяются соответствующие величины в других фазах.

Пусть, например, при заданном фазном напряжении необходимо определить линейные токи и в схеме на рис. 3, все сопротивления в которой известны.

В соответствии с указанной методикой выделим расчетную фазу А, которая представлена на рис. 4. Здесь , .

Тогда для тока можно записать

и соответственно .

Расчет несимметричных режимов работы трехфазных систем

Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, в трехфазной цепи имеет место несимметричный режим работы. Такие режимы при наличии в цепи только статической нагрузки и пренебрежении падением напряжения в генераторе рассчитываются для всей цепи в целом любым из рассмотренных ранее методов расчета. При этом фазные напряжения генератора заменяются соответствующими источниками ЭДС. Можно отметить, что, поскольку в многофазных цепях, помимо токов, обычно представляют интерес также потенциалы узлов, чаще других для расчета сложных схем применяется метод узловых потенциалов. Для анализа несимметричных режимов работы трехфазных цепей с электрическими машинами в основном применяется метод симметричных составляющих, который будет рассмотрен далее.

При заданных линейных напряжениях наиболее просто рассчитываются трехфазные цепи при соединении в треугольник. Пусть в схеме на рис. 2,а . Тогда при известных комплексах линейных напряжений в соответствии с законом Ома

; ; .

По найденным фазным токам приемника на основании первого закона Кирхгофа определяются линейные токи:

Обычно на практике известны не комплексы линейных напряжений, а их модули. В этом случае необходимо предварительное определение начальных фаз этих напряжений, что можно осуществить, например, графически. Для этого, приняв , по заданным модулям напряжений, строим треугольник (см. рис.5), из которого (путем замера) определяем значения углов a и b .

Искомые углы a и b могут быть также найдены аналитически на основании теоремы косинусов:

При соединении фаз генератора и нагрузки в звезду и наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением фазные напряжения нагрузки равны соответствующим напряжениям на фазах источника. В этом случае фазные токи легко определяются по закону Ома, т.е. путем деления известных напряжений на фазах потребителя на соответствующие сопротивления. Однако, если сопротивление нейтрального провода велико или он отсутствует, требуется более сложный расчет.

Рассмотрим трехфазную цепь на рис. 6,а. При симметричном питании и несимметричной нагрузке ей в общем случае будет соответствовать векторная диаграмма напряжений (см. рис. 6,б), на которой нейтральные точки источника и приемника занимают разные положения, т.е. .

Разность потенциалов нейтральных точек генератора и нагрузки называется напряжением смещения нейтральной точки (обычно принимается, что ) или просто напряжением смещения нейтрали. Чем оно больше, тем сильнее несимметрия фазных напряжений на нагрузке, что наглядно иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 6,б.

Для расчета токов в цепи на рис. 6,а необходимо знать напряжение смещения нейтрали. Если оно известно, то напряжения на фазах нагрузки равны:

Тогда для искомых токов можно записать:

Соотношение для напряжения смещения нейтрали, записанное на основании метода узловых потенциалов, имеет вид

(1)

При наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением , и из (1) . В случае отсутствия нейтрального провода . При симметричной нагрузке с учетом того, что , из (1) вытекает .

В качестве примера анализа несимметричного режима работы цепи с использованием соотношения (1) определим, какая из ламп в схеме на рис. 7 с прямым чередованием фаз источника будет гореть ярче, если .

Запишем выражения комплексных сопротивлений фаз нагрузки:

Тогда для напряжения смещения нейтрали будем иметь

Напряжения на фазах нагрузки (здесь и далее индекс N у фазных напряжений источника опускается)

Таким образом, наиболее ярко будет гореть лампочка в фазе С.

В заключение отметим, что если при соединении в звезду задаются линейные напряжения (что обычно имеет место на практике), то с учетом того, что сумма последних равна нулю, их можно однозначно задать с помощью двух источников ЭДС, например, и . Тогда, поскольку при этом , соотношение (1) трансформируется в формулу

(2)

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

Какой многофазный приемник является симметричным?
Какой режим работы трехфазной цепи называется симметричным?
В чем заключается специфика расчета симметричных режимов работы трехфазных цепей?
С помощью каких приемов трехфазная симметричная схема сводится к расчетной однофазной?
Что такое напряжение смещения нейтрали, как оно определяется?
Как можно определить комплексы линейных напряжений, если заданы их модули?
Что обеспечивает нейтральный провод с нулевым сопротивлением?
В цепи на рис. 6,а ; ; ; . Линейное напряжение равно 380 В.

Определить ток в нейтральном проводе.

Ответ: .

В схеме предыдущей задачи ; . Остальные параметры те же.

Определить ток в нейтральном проводе.

Ответ: .

В задаче 8 нейтральный провод оборван.

Определить фазные напряжения на нагрузке.

Ответ: ; ; .

В задаче 9 нейтральный провод оборван.

Определить фазные напряжения на нагрузке.

Ответ: ; ; .

Трехфазные цепи

Содержание:

Трехфазные цепи:

Многофазной системой называется совокупность электрических цепей, называемых фазами, в которой действуют синусоидальные напряжения одной частоты, отличающиеся друг от друга по фазе. Чаще всего применяются симметричные многофазные системы, напряжения которых равны по величине и сдвинуты по фазе на угол

Трехфазная система

Наибольшее распространение имеет трехфазная система, созданная русским ученым М. О. Доливо-Добровольским (1891 г.); он изобрел и разработал все звенья этой системы — генераторы, трансформаторы, линии передачи и двигатели трехфазного тока.

Простейший трехфазный генератор (рис. 12.1) подобен рассмотренному в источнику однофазного напряжения; он состоит из трех одинаковых плоских витков или катушек, называемых фазами генератора, вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитных линий. В каждой фазе следует различать начало и конец. Считая, что все катушки намотаны в одном направлении, например по часовой стрелке, можно принять за начало начальный зажим катушки или, наоборот, конечный, но принятое условие должно быть одинаковым для всех фаз. Цепи нагрузки подключаются к генератору с помощью щеток, наложенных на кольца, соединенные с катушками аналогично рис. 6.1 (на рис. 12.1 они не показаны).

Три фазы трехфазного генератора расположены под углом друг к другу; первой, или фазой А, можно назвать любую из трех фаз, второй — фазу В, начало которой H_B сдвинуто в пространстве относительно начала первой Н_А на угол против направления вращения, третьей — фазу С, начало которой Н_c сдвинуто относительно начала второй H_B также на в том же направлении.

При вращении в фазах будут индуктироваться э. д. с.; период Т этих э. д. с. обороту. Катушки одинаковы, поэтому (амплитуды) э. д. с. фаз будут также одинаковы. Так как фазы сдвинуты друг относительно друга в пространстве на угол , т. е. на 1/3 полного оборота, их э. д. с. будут сдвинуты во времени на Т/3 — треть периода, что соответствует фазному сдвигу, равному:

Если за начальный взять момент времени, когда плоскость первой катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции (см. рис. 12.1), э. д. с. (отсчитываемая, например, от конца к началу)

и э. д. с. двух других катушек (отсчитываемые в том же направлении), отставая по фазе на углы и 2•, будут равны:

Временная диаграмма э. д. с. изображена на рис. 12.2. Если вектор э. д. с. первой фазы направить по оси вещественных комплексной плоскости (рис. 12.3), комплексы э. д. с. симметричной системы будут иметь вид:

является оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении. Тогда

т. е. сумма векторов симметричной системы равна нулю. Это значит, что равна нулю в любой момент времени и алгебраическая сумма мгновенных значений, что можно видеть и из рис. 12.2, если взять сумму ординат трех синусоид для любой абсциссы.

Если в цепь каждой фазы генератора включить одинаковые по величине и характеру сопротивления (рис. 12.4), то токи фаз будут равны по величине и сдвинуты по фазе относительно своих напряжений на один и тот же угол ϕ:

Они также образуют трехфазную симметричную систему векторов.

При неодинаковой нагрузке фаз максимальные значения токов и фазные сдвиги будут различны, и система токов будет несимметричной.

В электроизмерительной технике и автоматике применяется также двухфазная система, векторная диаграмма э д. с. которой показана на рис. 12.5. Хотя э. д. с. по величине равны, двухфазная система несимметрична, так как сумма

Показанная на рис. 12.4 несвязанная трехфазная система, при которой отдельные фазы не соединены между собой, на практике не применяется — генераторы и приемники связывают или в звезду, или в треугольник.

Соединение звездой

При соединении генератора звездой вместе соединяются концы фаз, образуя нулевую (нейтральную) точку 0. К началам фаз генератора с помощью трехпроводной линии передачи присоединяется приемник. Если последний также соединен звездой, нулевые точки генератора и приемника могут быть соединены нулевым (нейтральным) проводом (рис. 12.6).

Различают величины, относящиеся к фазам генератора и приемника — фазные напряжения и токи, и к линейным проводам — линейные напряжения и токи. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами генератора и приемника, линейные токи в звезде равны соответствующим фазным токам.

Для получения симметричных соотношений между величинами следует выбирать положительные направления токов во всех фазах единообразно; обычно направляют токи от генератора к приемнику (см. рис. 12.6), т. е. в сторону движения энергии. В соответствии с аналогом закона Ома положительные направления фазных напряжений совпадают с направлением токов. Положительные направления линейных напряжений могут быть выбраны произвольно, а также единообразно. Произволен также выбор направления тока на нулевом проводе.

Если выбрать направление тока в нулевом проводе от нулевой очки приемника к нулевой точке генератора (см. рис. 12.6), мгновенное значение i_N и комплекс I_N этого тока в общем случае будут:

На рис. 12.7, а изображена диаграмма фазных напряжений на фиемнике в соответствии с принятым на рис. 12.6 направлением гоков, сходящихся в нулевой точке О’ приемника.

Эта диаграмма называется топографической, так как ее точкам А, В, С, О’ соответствуют одноименные точки цепи. Векторы и комплексные линейные напряжения направлены, как это обычно принято, от точки, соответствующей первому индексу, к точке, соответствующей второму индексу; линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений:

а их мгновенные значения

Из этих соотношений вытекает, что сумма линейных напряжений равна нулю.

Топографическая векторная диаграмма рис. 12.7, а, в которой векторы фазных напряжений сходятся в одной точке, соответствующей нулевой точке приемника, обычно заменяется диаграммой рис. 12.7, б, где эти векторы выходят из этой же точки; так как при этом все векторы фазных и линейных напряжений изменяют свои направления на обратные, приведенные выше соотношения между напряжениями сохраняются.

При симметричной системе фазных напряжений векторы линейных напряжений образуют равносторонний треугольник; нулевая точка совпадает с его центром тяжести (рис. 12.8) и линейное напряжение

г. е. по абсолютной величине линейные напряжения в раз больше разных.

Далее сначала рассматриваются цепи без взаимной индукции между фазами и между фазами и нулевым проводом.

В звезде с нулевым проводом (см. рис. 12.6), если пренебречь его сопротивлением (Z_N = 0), а также сопротивлением, линейных проводов, фазные напряжения приемника будут, очевидно равны фазным напряжениям генератора; их векторные диаграммы совпадут (см. рис. 12.7, б). Следовательно, фазные комплексные токи будут определяться фазными комплексными напряжениями генератора и комплексными сопротивлениями или проводимостями тех же фаз приемника:

т. е. соединение звездой с нулевым проводом без сопротивления обеспечивает независимую работу фаз.

При симметричной системе фазных напряжений и одинаковой нагрузке фаз система фазных токов будет симметричной и ток I_N нулевого провода, равный сумме токов, будет также равен нулю независимо от величины сопротивления этого провода.

В звезде с нулевым проводом, имеющим сопротивление Z_N в общем случае, когда между нулевыми точками генератора и приемника возникает узловое напряжение что вызывает на векторной диаграмме (рис. 12.9) смещение точки О’, соответствующей нулевой точке приемника, относительно точки 0, соответствующей нулевой точке генератора. То, что вектор на рис. 12.9 направлен от 0 к О’, т. е. против направления I_N, объясняется указанным выше изменением направления векторов всех напряжений (см. рис. 12.7, а и б). В соответствии с методом узловых напряжений

где —фазные напряжения генератора; — проводимости фаз, Y_N — проводимость нулевого провода.

В звезде без нулевого провода Y_N =0 и

Фазные напряжения на приемнике и токи (см. рис. 12.9):

Выражения для узлового напряжения показывают, что будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе; вместе с будут изменяться напряжения всех фаз приемника, а следовательно, и все токи. Таким образом, звезда без нулевого провода, а также звезда с нулевым проводом, имеющим сопротивление, не обеспечивает независимой работы фаз.

В случае звезды без нулевого провода фазные напряжения на приемнике могут быть выражены через линейные напряжения:

Выражения для можно получить, пользуясь круговой перестановкой индексов:

Приведенный вывод выражений для фазных напряжений на приемнике через фазные или линейные напряжения генератора справедлив для общего случая несимметричных систем фазных и линейных напряжений.

Примером неодинаковой нагрузки фаз может служить прибор для определения порядка следования фаз (рис. 12.10). Он представляет собой три одинаковые по величине проводимости, соединенные в звезду, — две лампы накаливания и конденсатор; тогда, считая, что проводимости ламп линейны,

где а — абсолютное значение проводимостей. При симметричной системе фазных напряжений генератора, если вектор U_А направлен по оси вещественных величин (U_A = U), узловое напряжение

Тогда комплексные напряжения на лампах будут:

На рис. 12.9 показана векторная диаграмма для рассматриваемой цепи. Векторы токов совпадают по фазе с напряжениями ток I_B опережает напряжение U_в по фазе на π/2.

Действующие значения напряжений на лампах и их отношение будут:

Поэтому лампа, включенная в фазу С, будет светиться ярче лампы, включенной в фазу А, т. е. фазы следуют друг за другом в следующем порядке: яркая лампа, тусклая лампа, конденсатор.

При индуктивных связях между фазами приемника и между его фазами и нулевым проводом должны быть учтены э. д. с. взаимной индукции. Так, например, для соединения звездой с нулевым проводом или без него по схеме рис. 12.11, а при взаимной индукции только между фазами уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы А приемника будет иметь вид:

уравнения для второй и третьей фаз можно получить путем круговой перестановки индексов А, В, С.

Если нагрузка фаз одинакова, т. е.

(12.1)

Если, кроме того, нулевой провод отсутствует или при его наличии система фазных напряжений симметрична, то сумма токов 1_А + 1_в + 1_С=0, и уравнение (12.1) получит вид:

г. е. в этом случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, б без индуктивных связей, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Для дальнейшего представляет интерес случай, когда есть нулевой провод, а все фазные напряжения генератора равны между собой и совпадают по фазе: (так называемая нулевая система); тогда, очевидно, все токи также будут равны между собой:

и уравнение (12.1) получит вид:

Это значит, что в данном случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, в без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L + 2М. Ток нулевого провода будет, очевидно, равен 3I.

Соединение треугольником

Чтобы соединить генератор в треугольник, нужно связать конец каждой фазы с началом следующей; в результате фазы генератора образуют замкнутый контур. При таком соединении симметричного генератора с отключенной нагрузкой (рис. 12.12) ток внутри него не возникает, так как сумма его э. д. c., образующих симметричную систему, равна нулю.

Соединив приемник также в треугольник (рис. 12.13), можно видеть, что фазные напряжения генератора и приемника одновременно являются и линейными, линейные же токи — отличны от фазных токов Для получения симметричных соотношений между линейными и фазными токами следует выбирать их положительные направления единообразно. Для всех линейных токов обычно выбирается направление от генератора к приемнику, для фазных — по направлению обхода контура, например, против часовой стрелки для приемника (рис. 12.13). Тогда по первому закону Кирхгофа для приемника получаются следующие соотношения для мгно венных значений и комплексных токов:

Для генератора соотношения между линейными и фазными токами аналогичны. Таким образом, линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов.

Из полученных соотношений видно, что сумма линейных токов равна нулю:

Для симметричной системы фазных токов (рис. 12.14)

т. е. по абсолютной величине линейные токи в раз больше фазных.

Токи в фазах приемника будут определяться линейными напряжениями и сопротивлениями или прово-димостями фаз приемника:

По приведенным соотношениям фазных токов могут быть определены линейные токи.

Если пренебречь сопротивлением проводов, напряжения генератора будут равны напряжениям приемника и фазы будут работать независимо друг от друга: всякое изменение сопротивления какой-либо фазы приемника вызовет изменение тока этой фазы и токов двух примыкающих к этой фазе линейных проводов, но никак не отразится на токах других фаз.

Если сопротивление линейных проводов не равно нулю (рис. 12.15, а), то из-за падения напряжения в них треугольник не обеспечивает независимой работы фаз. Изменение, например, сопротивления фазы АВ вызовет изменение фазного тока I_AB, а следовательно, и линейных токов I_А и I_B. При этом изменятся падения напряжения в линейных проводах А и В, что при неизменных линейных напряжениях на зажимах генератора вызовет изменение напряжений на всех трех фазах приемника; следовательно, должны измениться также токи тех фаз, сопротивление которых оставалось неизменным.

Для расчета цепи рис. 12.15, а при заданных линейных напряжениях, помимо методов уравнений Кирхгофа, наложения, контурных токов и узловых напряжений, при отсутствии взаимной индукции можно применить метод преобразования. Треугольник Z_AB, Z_BC. Z_CA преобразуют в эквивалентную звезду Z_A, Z_B, Z_c по формулам, соответствующим (рис. 12.15, б):

Объединяя в каждой фазе сопротивление линии и приемника, приводят схему к звезде (рис. 12.15, в), после определения токов которой возвращаются к цепи рис. 12.15, б, находя фазные и линейные напряжения на звезде Z_A, Z_B, Z_c, а затем — к исходному треугольнику (см. рис. 12.15, а), чтобы найти его фазные токи.

Приведенные выше выражения для расчета соединения треугольником справедливы для общего случая несимметричной системы напряжений генератора.

При наличии взаимной индукции, одинаковой нагрузке фаз и симметричной системе напряжений (рис. 12.16, а) система фазных токов будет также симметричной, тогда

и уравнение по второму закону Кирхгофа примет вид:

т. е. в этом случае цепь рис. 12.16, а эквивалентна схеме рис. 12.16, б без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L – М.

Мощность трехфазных систем и ее измерение

Мгновенная мощность трехфазной системы, как и всякой сложной цепи, равна сумме мощностей отдельных приемников, т. е. сумме мощностей фаз. Мгновенная мощность симметричной и одинакова нагруженной трехфазной системы

Сумма трех косинусоид, сдвинутых по фазе на угол равна нулю, в чем можно убедиться, построив и сложив векторы, изображающие эти функции. Следовательно,

т. е. мгновенная мощность симметричной одинаково нагруженной трехфазной системы постоянна, тогда как мощность однофазной системы изменяется во времени с двойной частотой по сравнению с частотой напряжения и тока.

Многофазная система, мгновенная мощность которой постоянна, называется уравновешенной. Интересно отметить, что несимметричная двухфазная система с равными напряжениями (см. рис. 12.5) в случае одинаковой нагрузки фаз также является уравновешенной:

Из-за уравновешенности трехфазные и двухфазные двигатели имеют постоянный вращающий момент, тогда как момент однофазных двигателей пульсирует с двойной частотой.

Выражение для мощности уравновешенной трехфазной системы может быть преобразовано. В симметричной звезде

В симметричном треугольнике

В обоих случаях выражения для мощности получились одинаковыми.

Для измерения мощности трехфазной симметричной и одинаково нагруженной системы достаточен один ваттметр, включенный в одну из фаз и измеряющий ее мощность. Аналогично включается однофазный счетчик электрической энергии, Для получения мощности и, соответственно, энергии трехфазной системы показания этих приборов следует утроить.

В общем случае несимметричной системы и неодинаковой нагрузки мгновенная мощность р есть величина переменная, т. е. такая система является неуравновешенной. Средняя мощность этой системы равна сумме средних мощностей отдельных фаз:

Следовательно, средняя мощность в данном случае может быть измерена тремя ваттметрами, включенными в каждую фазу, как это показано на рис. 12.17, а, для звезды с нулевым проводом (точками обозначены условные «начала» параллельных и последовательных цепей ваттметров).

В случае трех проводной системы можно ограничиться двумя ваттметрами, включенными так, как показано на рис. 12.17, б для измерения средней мощности трехфазной системы, соединенной треугольником. Мгновенные мощности, усредняемые первым и вторым ваттметрами, соответственно равны:

Так как сумма этих мощностей

При переходе к средним мощностям получается, что сумма показаний ваттметров

т. е. равна мощности системы. Вывод справедлив и для звезды без нулевого провода, так как она может быть заменена эквивалентным треугольником.

Реактивная и полная мощности симметричной и одинаково нагруженной трехфазной системы равны суммам соответствующих мощностей всех фаз:

В общем случае несимметричной и неодинаково нагруженной трехфазной системы суммирование реактивных и полных мощностей фаз не дает величин, характерных для нагрузки генератора в целом, как это было в однофазной цепи с одним источником энергии. Предлагаемые в литературе определения реактивной и полной мощностей трехфазной несимметричной и неодинаково нагруженной системы чисто условны и потому здесь не рассматриваются.

Сравнение трехфазных и однофазной cиcтем

Сопротивление линейных и нулевого проводов, соединяющих генератор и приемник, обычно мало по сравнению с сопротивлением фаз приемника, и выводы, сделанные по поводу независимости работы фаз при соединении звездой и треугольником, можно обобщить следующим образом:

в звезде с нулевым проводом и в треугольнике токи фаз практически мало зависят друг от друга и поэтому эти схемы следует применять при неодинаковой нагрузке фаз;
звезда без нулевого провода может применяться только при одинаковой нагрузке фаз.

Необходимо отметить, что схема соединений генератора и приемника может быть различной, и один из них может быть соединен треугольником, другой — звездой без нулевого провода.

Представляет интерес сравнение расхода металла с удельным сопротивлением р на провода однофазной и трехфазной линий передачи (рис. 12.18) той же мощности Р на то же расстояние l при одинаковом cosϕ и том же к. п. д., т. е. тех же потерях в линии Р_л = kP, где k — относительная потеря мощности, и одинаковом линейном напряжении U.

Для однофазной двухпроводной линии (рис. 12.18, а) Р = UI₀ cosϕ; отсюда ток I₀, потери Р_л и сопротивление r₀ одного провода:

Следовательно, сечение s₀ и объем V₀ проводов соответственно равны:

Отсюда видно, что формула для сечения двухпроводной линии переменного тока отличается от аналогичной формулы для линии постоянного тока наличием множителя в знаменателе, приводящему к тем большему увеличению расхода металла, чем ниже коэффициент мощности .

Для трехфазной трехпроводной линии (рис. 12.18, б и в) и аналогично

а сечение s_T и объем V_T проводов:

В знаменателе этих выражений также присутствует множитель .

Из формул для s₀ и s_T видна эффективность высокого напряжения и большого коэффициента мощности — сечения обратно пропорциональны квадратам этих величин. Вместе с тем очевидно, что стоимость изоляции проводов растет с ростом напряжения. В результате экономически оптимальное напряжение U оказывается тем выше, чем больше передаваемая мощность Р и длина l линии.

Соотношение объемов металла линий: однофазной двухпроводной V₀ и трехфазных —- трехпроводной V_r и четырехпроводной с нулевым проводом половинного сечения (рис. 12.18, г) будет

Таким образом, при одинаковом линейном напряжении звезда без нулевого провода и треугольник, очевидно, дают одинаковый расход металла на линию передачи и экономию в 25% по сравнению с однофазной линией, а нулевой провод половинного сечения вызывает перерасход металла, но все же система остается легче однофазной на 12,5%.

Соединение звездой с нулевым проводом имеет важное преимущество: помимо трехфазных приемников, рассчитанных на линейное напряжение, оно позволяет включать однофазные приемники и на линейное, и на фазное напряжение.

Если приемники работают при одинаковом фазном напряжении, линейное напряжение звезды будет в раз больше, чем треугольника, что уменьшит расход металла в 3 раза.

Основным преимуществом трехфазной системы по сравнению с однофазной является возможность легко создавать вращающееся магнитное поле, используемое, в частности, в трехфазных асинхронных двигателях, наиболее простых по конструкции и в эксплуатации.

Пульсирующее и вращающееся магнитные поля

Электрические индуктивные машины переменного тока в большинстве случаев имеют магнитопровод в виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и разделенных воздушным зазором (рис. 12 19). Внешний цилиндр S является статором, внутренний R — ротором.

Если по обмотке статора, уложенной в его пазы н распределенной на части, например одной трети его окружности (рис. 12.19), будет проходить постоянный ток, магнитный поток, замыкающийся через статор, воздушный зазор и ротор будет постоянным. Приближенно магнитную индукцию можно считать распределенной по окружности статора по синусоидальному закону (сплошная линия на рис. 12.20); она имеет максимальные значения В_m по оси обмотки и равна нулю на нейтральной линии, перпендикулярной к оси обмотки. Такое синусоидально распределенное в зазоре машины поле можно условно изобразить постоянным вектором В_m (рис. 12.21), аналогично тому, как ранее это было сделано для величин, изменяющихся по синусоиде во времени.

Если по обмотке статора пропускать переменный ток, синусоидальное распределение магнитного поля сохранится, но поле будет пульсирующим, т. е. изменяющимся во времени по синусоидальному закону (см. рис. 12.20). Принимая за начало счета времени момент, когда индукция по оси обмотки максимальна, пульсирующее поле можно условно изобразить вектором Согласно формуле Эйлера,

(12.2)

Это значит, что пульсирующее синусоидально распределенное поле может быть представлено в виде суммы двух также синусоидально распределенных полей , постоянных во времени, но вращающихся с угловой скоростью ω в разные стороны; последнее видно из противоположных знаков показателей степени множителей вращения. Поле , вращающееся в положительном направлении вращения векторов, называется прямым, поле — обратным. Вращающиеся векторы, условно изображающие эти поля, на рис. 12.21 показаны для момента начала счета времени.

Разложение пульсирующего поля на два вращающихся используется, например, в однофазных двигателях, где прямое поле, воздействуя на ротор, приводит его во вращение, а обратное поле экранируется.

В трехфазных машинах на статор наложены три обмотки, показанные в разрезе на рис. 12.22, занимающие каждая треть его окружности; следовательно, эти обмотки и их оси сдвинуты в пространстве на угол 2π/3. Обмотки обтекаются токами, векторы которых образуют симметричную трехфазную систему. Тогда выражение для поля первой фазы А совпадает с выражением (12.2) при том же начале счета времени

Пусть обмотка, обтекаемая током второй фазы В, т. е. током, отстающим от тока первой фазы на угол 2π/3, сдвинута в пространстве вперед по направлению вращения прямого поля на тот же угол, что учитывается множителем . Тогда выражение для поля фазы В получает вид:

Аналогично записывается поле третьей фазы С, но так как она обтекается током, опережающим по фазе ток фазы А на угол 2π/3, и сдвинута в пространстве на тот же угол назад, знаки всех углов 2π/3 изменяются на обратные.

Результирующее поле определяется наложением полей всех трех фаз:

Отсюда видно, что все прямые поля трех обмоток арифметически складываются, тогда как обратные поля в сумме дают нуль и в машине возникает вращающееся поле, постоянное во времени. Амплитуда вращающегося поля в полтора раза превышает амплитуду пульсирующего поля отдельных обмоток, а фаза совпадает с фазой прямого поля обмотки первой фазы А.

В трехфазных двигателях вращающееся поле также используется для приведения во вращение ротора; из-за постоянства мощности в трехфазных системах и, следовательно, вращающего момента, а также отсутствия обратного поля эти двигатели имеют значительное преимущество перед однофазными.

Основы метода симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные, в частности, аварийные режимы в трехфазных системах и машинах. До предложения этого метода для таких расчетов надо было решать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами или оперировать с сопротивлениями, зависящими от токов.

В общем случае симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по величине векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол где k — любое целое число. Система (рис. 12.23, a), у которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется прямой системой.

Симметричные системы линейных и фазных напряжений и токов, рассмотренные выше, были именно прямыми системами. Система (рис. 12.13, в), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет обратный порядок следования фаз и называется обратной системой. Система векторов совпадающих по фазе (т. е. β = 0) называется нулевой системой (рис. 12.23, б).

Система векторов, сдвинутых по фазе на угол является также прямой системой и т. д. Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем сводится к трем системам, изображенным на рис. 12.23.

Пользуясь оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении и приняв за основные вектор A₁ прямой системы, вектор A₂ обратной системы и вектор A₀ нулевой системы, через них можно выразить остальные векторы:

(12.3)

Пусть задана несимметричная система трех векторов А, В, С. Далее доказывается, что каждый вектор этой системы может быть представлен в виде суммы трех векторов, являющихся составляющими прямой, обратной и нулевой систем:

(12.4)

Подстановка уравнений (12.3) в уравнения (12.4) дает:

(12.5)

Система уравнений (12.5) решается относительно А₀, А₁, A₂ однозначно:

(12.6)

Отсюда и следует, что несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные системы.

Из первого уравнения системы (12.6) видно, что если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, будут равны нулю и векторы нулевой системы. Следовательно, несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только прямую и обратную составляющие.

Определение симметричных составляющих несимметричной системы векторов по выражениям (12.6) может быть выполнено также графически. Пусть задана несимметричная система векторов фазных напряжений (рис. 12.24, а). Во все три суммы напряжений (см. систему 12.6) вектор U_А входит без изменений, а векторы U_в и U_с во второй и третьей суммах повернуты на угол 2π/3 или 4π/3. Следует начертить вектор U_B, из его конца (т. е. стрелки) — вектор U_A, а из конца U_А — вектор U_с (рис. 12.24, б). Если вектор U в повернуть на угол 2π/3 и 4π/3 вокруг его конца, примыкающего к началу вектора U_А, а вектор U_с — вокруг начала, совпадающего с концом вектора U_А, суммы векторов по выражениям (12.6) будут равны утроенным искомым векторам:

Далее очевидным построением определяются все векторы трех симметричных систем.

Аналогично производится разложение несимметричной системы токов.

Симметричные составляющие несимметричной трехфазной системы напряжений и токов могут быть определены экспериментально. Например, для измерения нулевой составляющей системы фазных напряжений надо однообразно включить на фазные напряжения трансформаторы малой мощности, вторичные обмотки которых и вольтметр соединяются последовательно (рис. 12.25). Тогда, считая для простоты, что у трансформаторов коэффициент трансформации напряжения равен единице, суммарное напряжение, измеряемое вольтметром,

т. е. пропорционально напряжению нулевой системы.

Для измерения напряжения прямой последовательности (рис. 12.26) трансформаторы включаются на одинаковые по величине полные сопротивления z — трансформатор фазы А на активное сопротивление Z_A=r, фазы В на активно-индуктивное сопротивление , фазы С — на активно-емкостное сопротивление . Чтобы вторичные токи трансформаторов В и С были сдвинуты по фазе относительно напряжений на дополнительные до π углы — соответственно , что соответствует умножению на операторы вторичные обмотки этих трансформаторов включаются так, как показано на рис. 12.26.

Цепи нагрузок всех трех трансформаторов соединяются параллельно и замыкаются на амперметр. Последний измеряет суммарный ток

пропорциональный напряжению U₁ системы прямой последовательности.

Если поменять местами нагрузки фаз В и С, суммарный ток

будет пропорционален напряжению U₂ системы обратной последовательности.

Рассмотренные схемы называются фильтрами симметричных составляющих. Они применяются в схемах защиты трехфазных энергетических систем от аварийных режимов, вызывающих несимметрию токов и напряжений отдельных фаз.

Разложение на симметричные составляющие позволяет весьма просто решать задачи на расчет трехфазных цепей при одинаковой нагрузке фаз с взаимной индукцией между ними при несимметричной системе напряжений, что широко используется в теории электрических машин. Система напряжений разлагается на симметричные составляющие, для каждой из них находят токи фаз и применяют метод наложения. При этом сопротивление фаз приемника для каждой составляющей может быть различным. Например, для цепи рис. 12.11, соединенной в звезду с нулевым проводом, сопротивление фаз для нулевой системы напряжений:

а для прямой и обратной составляющих, являющихся симметричными трехфазными системами, сопротивления

только для статических устройств, например для трансформаторов. Во вращающихся машинах прямая система токов создает магнитное поле, вращающееся в одном направлении с ротором, а обратная система токов — в противоположном; это приведет к неравенству . Таким образом, в общем случае

После определения комплексных токов каждой составляющей они пофазно суммируются и дают систему действительных токов фаз.

При неодинаковой нагрузке фаз приемника расчет усложняется, так как тогда каждая из симметричных составляющих системы такое зависит от всех составляющих систем напряжений. Эти задачи рассматриваются в литературе, посвященной расчету аварийных режимов в трехфазных электрических сетях и системах.

Можно показать, что в самом общем случае несимметрии средняя мощность всей цепи равна сумме средних мощностей нулевой, прямой и обратной составляющих:

Трехфазные цепи

Трехфазная система ЭДС:

Производство, передача и распределение электрической энергии осуществляется в основном трехфазным током в трехфазных цепях. Широкое распространение в качестве нагрузки в трехфазных цепях получили трехфазные потребители. В трехфазных цепях используются трехфазные трансформаторы. Электрическую энергию в трехфазных цепях производят трехфазные генераторы, создающие синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, в трехфазных системах.

Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты, Вдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов сдвига равна или 360°.

Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если ЭДС трех фаз сдвинуты друг относительно друга на угол и амплитуды этих трех ЭДС одинаковы по величине:

Комплексы этих ЭДС

Получение симметричной трехфазной системы ЭДС осуществляется в трехфазном электромашинном генераторе (рис. 16.1а), в Котором три жестко скрепленные под углом 120° обмотки пересекают магнитное поле с частотой вращаясь (в данном случае) против часовой стрелки.

Начала обмоток трехфазного генератора обозначаются прописными буквами а концы их соответственно (т.е. в трехфазном генераторе имеется три обмотки: и рис. 16.1а).

Таким образом, при вращении в магнитном поле жестко скрепленных обмоток в них индуктируются одинаковые ЭДС одинаковой частоты и сдвинутые на 120°.

Векторная диаграмма такой симметричной системы ЭДС изображена на рис. 16.1б. Как видно из векторной диаграммы, мгновенное значение ЭДС в обмотке CZ можно записать в виде

а комплекс этой ЭДС

т. е. логично, чтобы начальная фаза превышала

К каждой обмотке трехфазного генератора может быть подключена нагрузка с сопротивлениями

Если при этом три обмотки генератора электрически не соединены (рис. 16.2а), то такая трехфазная система называется несвязанной. Несвязанная трехфазная система практического применения не нашла.

Практическое применение нашла связанная трехфазная система (рис. 16.2б). Эта система экономически и энергетически более рациональна, так как используется три или четыре соединительных провода вместо шести и получить можно два различных напряжения, фазное и линейное, вместо одного.

Каждая обмотка трехфазного генератора со своей нагрузкой и соединительными проводами называется фазой (рис. 16.2). В трехфазной системе различают три фазы А, В и С (международные обозначения — прописные буквы).

Положительное направление ЭДС и токов в каждой фазе на рис. 16.26 указаны стрелками.

В связанных трехфазных системах применяется соединение обмоток генератора и потребителя звездой F или треугольником Е.

Соединение обмоток генератора звездой

При соединении обмоток генератора звездой концы обмоток X, Yи Z элeктpичecки соединяются в одну точку 0 (рис. 16.3а), которая называется нулевой, или нейтральной. При этом генератор с потребителем соединяется тремя или четырьмя проводами.

Провода, подключенные к началам обмоток генератора (А, В и С, называют линейными проводами, а провод, подключенный к нулевой точке 0, называется нулевым, или нейтральным.

В связанных трехфазных системах различают фазные и линейные напряжения и токи.

Фазным называется напряжение между началом и концом обмотки генератора или между нулевым и линейным проводом. Обозначаются фазные напряжения прописными буквами с индексами фаз (рис. 16.3а). Так как сопротивление обмоток генератора мало, то фазные напряжения практически не отличаются от ЭДС в обмотках генератора.

Линейным называется напряжение между началами обмоток генератора или между линейными проводами. Обозначаются линейные напряжения (рис. 16.3а).

Можно определить зависимость между линейными и фазными напряжениями при соединении обмоток генератора звездой.

Мгновенные значения фазных напряжений равны разностям потенциалов между началами и концами соответствующих обмоток, т.е:

Мгновенные значения, линейных напряжений равны разностям потенциалов между началами соответствуют:

Потенциалы концов обмоток одинаковы так как все они соединены электрически в одну точку.

То есть мгновенное значение линейных напряжений определяется разностью мгновенных значений двух соответствующих фазных напряжений.

При соединении обмоток генератора звездой действующее значение линейного напряжения определяется геометрической разностью двух соответствующих фазных напряжений. На этом основании построена векторная диаграмма напряжений (рис. 16.3б) для соединения обмоток генератора звездой. К такому же результат) приводит определение комплексов линейных напряжений символическим методом:

При симметричной системе ЭДС фазные напряжения равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°. По векторной диаграмме (рис. 16.3б) определяется линейное напряжение (рис. 16.4).

Линейное напряжение при симметричной системе ЭДС трехфазного генератора определяется равенством

Из диаграммы (рис. 16.4) определяется вектор (комплекс)

При симметричной системе ЭДС линейное напряжение трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой, в раза больше фазного напряжения:

Если говорят о напряжении генератора 127/220 В, то имеется в виду, что фазное напряжение в трехфазной цепи 127 В, а линейное — 220 В. В сети с напряжением 220/380 В фазное напряжение 220 В, а линейное — 380 В. Очевидно, что обмотки генератора такой симметричной цепи соединены звездой и отношение напряжений получится равным

В связанных трехфазных системах фазным называется ток, провидящий по обмотке (фазе) генератора а линейным считается ток, проходящий по линейному проводу

Как видно на рис. 16.3а, при соединении обмоток генератора звездой линейный ток равен фазному току

Соединение обмоток генератора треугольником

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) конец обмотки фазы А соединяется с началом обмотки фазы В, конец обмотки фазы В соединяется к началом обмотки фазы С, конец обмотки фазы С соединяется с началом обмотки фазы А и к точкам соединения подключаются линейные провода.

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) трехфазная цепь трехпроводная.

Как следует из схемы соединения обмоток треугольником (рис. 16.5а), линейное напряжение равно фазному напряжению

То есть

Из схемы (рис. 16.5а) следует, что три обмотки генератора, соединенные треугольником, образуют замкнутый контур, ток в котором при отсутствии нагрузки (холостой ход) определяется выражением

где – комплексы (векторы) ЭДС фаз генератора; — комплексы сопротивлений обмоток генератора т.е. каждая обмотка обладает активным R и индуктивным X сопротивлениями.

Так как сопротивления обмоток малы, падением напряжения на них можно пренебречь и считать, что напряжение на каждой обмотке генератора равно ее ЭДС.

При симметричной системе ЭДС и правильном соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) геометрическая сумма ЭДС (комплексов) обмоток генератора, образующих замкнутый контур, равна нулю (рис. 16.5б). Следовательно, и ток в замкнутом контуре обмоток, соединенных треугольником, также равен нулю при холостом ходе независимо от величины внутреннего сопротивления обмоток

Если обмотки симметричного генератора соединены «неправильным» треугольником, т. е. неправильно подключить начало и конец хотя бы одной из обмоток, например (рис. 16.5’а), то геометрическая сумма ЭДС в замкнутом контуре обмоток будет равна удвоенному значению ЭДС одной фазы (рис. 1б.5’б). С учетом малого внутреннего сопротивления обмоток генератора ток в замкнутом контуре достигает катастрофической величины даже при отсутствии нагрузки (холостой ход). Таким образом, соединена, обмоток трехфазного генератора «неправильным» треугольником равносильно короткому замыканию в замкнутом контуре обмоток.

Соединение потребителей звездой

При соединении звездой потребителя и генератора (рис. 16.6) трехфазная система представляет собой сложную цепь с двумя узловыми точками Точка 0 — нейтральная точка генератора, а 0′ — нейтральная точка потребителя. Напряжение между этими узловыми точками называется напряжением смещения нейтрали.

Соединение генератора и потребителя звездой может быть с нулевым проводом (рис. 16.6б), т.е. четырехпроводная цепь, и без нулевого провода (рис. 16.6а), т.е. трехпроводная цепь.

Величину напряжения смещения нейтрали определяют методом узлового напряжения (см. (4.9)) в символической (геометрической) форме:

где – комплекс (вектор) напряжения смещения нейтрали; комплексы (векторы) ЭДС в обмотках соответствующих фаз генератора; – комплексы проводимостей соответствующих фаз:

где – комплексы сопротивлений фаз потребителя, включая внутреннее сопротивление обмоток генератора и сопротивление соединительных проводов; — комплекс проводимости нулевого провода, a — комплекс его сопротивления.

Напряжение U’ на каждой фазе потребителя, соединенного звездой (рис. 16.6а), с учетом напряжения смещения нейтрали, определяют следующим образом:

где — комплексы (векторы) напряжений на фазах потребителей.

На основании (16.15) строится векторная диаграмма напряжений (рис. 16.7), на которой вектор напряжения смещения нейтрали взят произвольно. Из векторной диаграммы (рис. 16.7) следует, что при наличии напряжения смещения нейтрали напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, различны по величине и по начальной фазе даже при симметричной системе ЭДС в обмотках генератора.

Очевидно (рис. 16.7), что напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, будут одинаковыми по величине если напряжение смещения нейтрали отсутствует, т.е. при симметричной системе ЭДС генератора.

Напряжение смещения нейтрали отсутствует, т. е. при равномерной (симметричной) нагрузке фаз или при наличии нулевого провода.

Рассмотрим эти условия:

1. Равномерная нагрузка фаз.

Равномерной называют нагрузку, при которой комплексы сопротивлений фаз равны между собой.

То есть

или

Тогда так как при симметричной системе ЭДС сумма (см. рис. 16.5б).

Так как комплекс сопротивления фазы то равномерной считается нагрузка, при которой сопротивления фаз одинаковы по величине по характеру (активный, индуктивный или емкостной) и имеют одинаковый угол сдвига фаз

2. Наличие нулевого провода.

При наличии нулевого провода, соединяющего нейтральные точки 0 и 0′ (рис. 16.6б),

Тогда

В обоих случаях (1 и 2) напряжения на фазах потребителя, подключенного к трехфазному генератору с симметричной системой ЭДС, одинаковы по величине. При этом величина напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного звездой, в раза меньше линейного напряжения, т. е.

Ток в нулевом проводе (рис. 16.66) при соединении потребителей звездой определяется геометрической суммой токов в фазах потребителя:

Токи в фазах потребителя определяются по формулам

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз токи в фазах равны по величине «сдвинуты, как и напряжения, по фазе на 120°. Следовательно, их геометрическая сумма равна нулю, т.е. (см. рис. 16.5б, где вместо подставить ).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз нулевой провод не нужен.

При неравномерной нагрузке фаз отсутствие нулевого провода приводит к неодинаковым по величине напряжениям на каждой фазе потребителя (рис. 16.7). При этом на фазе с большим сопротивлением Z будет большее напряжение U’.

Так как отсутствие нулевого провода при неравномерной нагрузке фаз потребителя, соединенного звездой, нарушает режим работы потребителей U’, то предохранитель в нулевой провод не ставят.

Следовательно, нулевой провод служит для выравнивания напряжений на фазах потребителя при неравномерной нагрузке фаз.

При соединении потребителей звездой ток каждой фазы потребителя (рис. 16.16) равен линейному току трехфазной цепи

Соединение потребителей треугольником

При соединении потребителя треугольником (рис. 16.8) к каждой фазе потребителя приложено линейное напряжение трехфазной цепи

Так как при симметричной системе ЭДС все линейные напряжения равны по величине и сдвинуты на угол 120° по фазе, то и напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного треугольником, равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°, независимо от характера нагрузки.

При соединении потребителей треугольником линейные токи обозначаются прописными буквами с индексами фаз, т. е. а токи в фазах потребителя

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, линейные токи можно определить выражениями (рис. 16.8)

Линейный ток при соединении потребителей треугольником определяется геометрической разностью двух фазных токов, сходящихся с линейным в одной узловой точке (рис. 16.8).

Фазные токи потребителя, соединенного треугольником, определяются:

При симметричной системе ЭДС генератора и равномерной нагрузке фаз потребителя токи в фазах потребителя равны между собой по величине и, так лее как напряжения на фазах потребителя, сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол 120° (рис. 16.9).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз и симметричной системе ЭДС при соединении потребителей треугольником линейный ток в трехфазной цепи в раза больше фазного тока:

Мощность трехфазного тока

Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и потребляемая трехфазным потребителем, определяется суммой активных мощностей каждой фазы потребителя:

Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощности трехфазного тока, т. е.

Полная, или кажущаяся, мощность трехфазного потребителя равна

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз активная мощность трехфазного тока равна утроенному значению активной мощности каждой фазы

Однако на практике удобней оперировать линейными величинами, так как доступными являются линейные провода, а не обмотки генератора или двигателя.

При соединении потребителя звездой при равномерной нагрузке фаз

Тогда

При соединении потребителей треугольником при равномерной нагрузке фаз

Тогда

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного тока определяются выражениями:

При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажущаяся, мощность трехфазного тока может быть определена суммой полных мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной форме, а именно

Равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают электрические двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут гь соединены или звездой, или треугольником.

Топографическая диаграмма

Напряжение между отдельными точками трехфазной цепи можно найти графически путем построения так называемой топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма, поенная так, чтобы каждой точке цепи соответствовала определенная точка на диаграмме и чтобы вектор, проведенный в эту точку из начала координат, выражал по величине и фазе потенциал соответствующей точки цепи. Отрезок, соединяющий любые две точки на этой диаграмме, определяет напряжение между соответствующими точками цепи. Если топографическая диаграмма встроена в определенном масштабе, то по ней можно определить искомое напряжение и ток по величине и по фазе.

При построении топографической диаграммы для трехфазной цепи удобно принять за точку с нулевым потенциалом нулевую, или нейтральную, точку генератора. Этой точке генератора соответствует начало координат топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма для трехфазной цепи, изображенной на рис. 16.6, построена при условии, что точка 0 на диаграмме (рис. 16.10) соответствует нулевой точке генератора, потенциал которой равен нулю, т. е.

Из точки 0 откладываются в определенном масштабе напряжений векторы фазных ЭДС в результате чего получаются точки А, В и С на топографической диаграмме. Эти точки на диаграмме соответствуют началам обмоток генератора, Соединенного звездой точками А, В и С цепи.

Отрезок равный разности векторов представляет собой линейное напряжение (падением напряжения на внутреннем сопротивлении обмотки генератора пренебрегаем, т.е. ). Аналогично отрезки на топографической диаграмме изображают линейные напряжения соответственно.

Отложив из точки 0 (начало координат) вектор напряжения смещения нейтрали (отрезок ), определяют потенциал нулевой точки потребителя 0′ на диаграмме. Тогда отрезки выражают напряжение на фазах потребителя

Если напряжение смешения нейтрали отсутствует то точка 0′ (нулевая точка потребителя) на топографической диаграмме совпадет с точкой 0 (нулевой точкой генератора). Тогда векторы напряжений на фазах потребителя равны по величине и по фазе векторам ЭДС генератора

Применение топографической диаграммы для расчета трехфазной цепи рассмотрено в примере 16.1 настоящей главы.

Пример 16.1

К трехфазной трехпроводной сети с линейным напряжением 220 В подключен потребитель, соединенный звездой, с сопротивлениями 10 Ом (рис. 16.11).

Определить напряжение и ток каждой фазы потребителя в каждом из трех режимов:

1. Потребители соединены звездой, как показано на рис. 16.11.

2. Обрыв в фазе А, т. е.

3. Короткое замыкание в фазе А, т. е.

Решение

Решение этой задачи производится с помощью построения топографической диаграммы для каждого режима.

1. Так как в данном режиме имеет место равномерная нагрузка фаз следовательно, напряжение смещения нейтрали равно нулю и точка 0′ на топографической диаграмме совпадает с точкой 0 (рис. 16.12).

Пренебрегая внутренним сопротивлением обмоток генератора определяют напряжение на каждой фазе потребителя при симметричной системе ЭДС:

так как

Toк каждой фазы потребителя будет равен

Линейные токи в каждом линейном проводе также равны между собой и равны фазным токам каждой фазы, т.е.

2. При обрыве в фазе А схема трехфазной цепи обретает следующий вид (рис. 16.13а), а топографическая диаграмма показана на рис. 16.13б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при обрыве в фазе А как бы опустилась на вектор линейного напряжения разделив его величину поровну между т. е.

Напряжение на оборванной фазе А, т. е. напряжение между точками 0′ и А в схеме, как следует из топографической диаграммы рис. 16.13б), будет равно

Токи в фазах:

Токи в линейных проводах:

3. При коротком замыкании фазы А схема трехфазной цепи показана на рис. 16.14а, топографическая диаграмма на рис. 16.14б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при коротком замыкании фазы как бы поднялась в точку А и фазные напряжения совпали с векторами линейных напряжений соответственно и стали равными им по величине, т.е.

Токи в фазах будут равны
Ток в коротко замкнутой фазе т. е. ток в проводе, соединяющем точку 0′ и А, определяется геометрической суммой токов (рис. 16.14б), т.е.

Напряжение и токи в режимах 2 и 3 легко определить из схем рис. 16.13а и 16.14а, не прибегая к топографическим диаграммам.

Пример 16.2

К соединенному звездой генератору с фазным напряжением 127 В подключен потребитель, соединенный треугольником. Активное сопротивление каждой фазы потребителя R = 8 Ом, индуктивное = 6 Ом (рис. 16.15а).

Определить ток в каждой фазе генератора, отдаваемую им мощность и построить векторную диаграмму.

Решение

Эту задачу можно решить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Напряжение на каждой фазе потребителя равно линейному напряжению генератора

Сопротивление каждой фазы потребителя равно

Ток каждой фазы потребителя (нагрузка равномерная):

В каждой фазе генератора проходит линейный ток потребителя, единенного треугольником, т.е. (см. рис. 16.15а)

Отдаваемая генератором мощность (активная мощность) равна

Так как

Угол (Приложение 10).

Таким образом, ток фазы потребителя отстает от напряжения на угол 37°, так как нагрузка индуктивного характера.

Вычисленные величины легли в основу построения векторной диаграммы (рис. 16.15б).

Пример 16.3

Параметры трехфазного потребителя, соединенного звездой, имеют следующие значения: Линейное напряжение сети симметричной системы ЭДС

1) напряжение на каждой фазе потребителя;

2) токи каждой фазы потребителя;

3) мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

Допустим, что обмотки генератора соединены звездой, тогда напряжение каждой фазы генератора (при симметричной системе ЭДС)

Напряжение на каждой обмотке генератора в комплексной форме:

Сопротивление каждой фазы потребителя:

Проводимости каждой фазы потребителя:

Напряжение смещения нейтрали при отсутствии нулевого провода, т. е. при будет равно

При вычислении принято: и Напряжение на каждой фазе потребителя (16.15):

Токи в каждой фазе потребителя:

Мощности каждой фазы потребителя:

Мощность всей трехфазной нагрузки:

Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на рис. 16.17.

Пример 16.4

К трехфазной сети с линейным напряжением подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители (рис. 16.18).

Обмотки трехфазного двигателя мощностью кВт и = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые потребители с параметрами: — соединены звездой.

Определить: показания амперметров мощность Р, потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.

В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линейного провода С). Как при этом изменится показание вольтметpa , если оборвется и нулевой провод? Как изменится показание вольтметра

Решение

Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Амперметр включен в линейный провод С, подводящий 1ние к двигателю, обмотки которого соединены треугольником и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно (см. (16.29))

Амперметр измеряет ток в фазе В силового потребителя, соединенного звездой. При наличии нулевого провода напряжение на каждой фазе потребителя тогда ток в фазе В будет равен

так как

Показания амперметра включенного в фазу С силового потребителя:

так как

Амперметр включен в нулевой провод, ток в котором определяется геометрической суммой токов в фазах силового потребителя, соединенного звездой (см. (16.19) и рис. 16.19).

Для вычисления геометрической суммы токов фаз необходимо построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

При наличии нулевого провода напряжения на фазах сдвинуты на угол 120°. Угол сдвига фаз между током и напряжением, исходя из условий, для всех трех фаз одинаков (это видно из заданных параметров силового потребителя):

Следовательно, фазные токи сдвинуты так же, как и напряжения, на угол 120°. Величины токов определены: На основании этих данных можно построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

На векторной диаграмме складываются геометрически и получается суммарный ток, равный 14,7 А.

Поскольку этот суммарный ток находится в противофазе с током то ток в нулевом проводе равен 7,3 А:

Следовательно, амперметр покажет ток 7,3 А.

Для расчета мощности Р, потребляемой всей нагрузкой, вычисляется активная мощность каждого силового потребителя:

Тогда активная мощность, потребляемая всей нагрузкой, будет равна

При обрыве линейного провода С и нулевого провода две фазы силового потребителя А и В кажутся соединенными последовательно и подключенными к личному напряжению =380 В. Так как сопротивления этих фаз равны по величине, то это линейное напряжение распределится между ними поровну, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 220 В, которое он показывал до обрыва.

При обрыве линейного провода С фазы В и С двигателя окажутся соединенными последовательно и подключенными к линейному напряжению Так как сопротивления обмоток двигателя равны между собой, то линейное напряжение распределится поровну между обмотками В и С двигателя, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 380 В, которое он показывал до обрыва.

Вращающееся магнитное поле двухфазного тока

Двухфазным током называется совокупность двух однофазных токов, сдвинутых по фазе на угол друг относительно друга (рис. 17.3б):

Эти токи создают в обмотках переменные магнитные потоки, сдвинутые по фазе также на угол 90°:

Таким образом, если по двум неподвижно скрепленным под углом 90° обмоткам пропустить двухфазный ток, то внутри этих обмоток (рис. 17.3а) создается вращающееся магнитное поле двухфазного тока.

Как видно (рис. 17.3б), постоянный магнитный поток одной фазы) вращается против часовой стрелки, если при указанном расположении обмоток первый ток опережает второй ток по фазе.

Нетрудно убедиться в том, что если бы второй ток опережал первый то магнитное поле вращалось бы в обратную сторону. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока широко применяется для пуска и работы однофазных машин переменного тока.

Пульсирующее магнитное поле

Если по неподвижной катушке (обмотке) машины пропустить синусоидальный ток то внутри этой катушки создается пульсирующее магнитное поле, т. е. поле, изменяющееся по величине и направлению, но расположенное в одной плоскости (рис. 17.4).

Пульсирующее магнитное поле, к видно из рис. 17.4, можно рассматривать как два магнитных поля, вращающихся в разные стогны. Поэтому в машинах, в которых используется пульсирующее магнитное поле, отсутствует пусковой момент. Для работы таких машин его необходимо создать. Пусковой момент в таких машинах создают или механически, или за счет пусковой обмотки, по которой в момент пуска пропускают импульс тока, сдвинутого по фазе относительно основного синусоидального тока, проходящего по катушке (обмотке) машины (аналогично двухфазному току).

Определение трёхфазных цепей

Наряду с однофазными источниками существуют источники энергии, содержащие две, три, четыре и т.д., характеризуемые тем, что их ЭДС, имея одинаковую частоту, сдвинуты друг относительно друга на некоторый угол. Такие генераторы называются многофазными, а электрические цепи с такими источниками – многофазными.

Трёхфазный генератор

Трёхфазные цепи получили наибольшее практическое применение. В связи с этим основные исследования многофазных цепей будем проводить на примере трёхфазных. Рассмотрим вопрос реализации трёхфазного источника, которым является трёхфазный генератор (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Трёхфазный генератор

Для упрощения понимания принципа работы генератора обмотки (фазы) представлены одним витком. В качестве ротора генератора выбран постоянный магнит. Каждая из обмоток имеет начало – клеммы и конец – Обмотки в пространстве сдвинуты друг относительно друга на 120°, из чего следует, что максимумы ЭДС в них достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на одну треть периода где — угловая частота вращения ротора.

Последовательность, в которой ЭДС достигают максимума в соответствующих фазах, носит название порядка чередования фаз. Прямым порядком чередования фаз называют последовательность при которой фаза отстает от фазы на и фаза отстает от фазы на На рис. 4.2 изображен график мгновенных значений ЭДС для прямого порядка чередования фаз. Изменение направления вращения ротора трёхфазного генератора на противоположное меняет эту последовательность чередования фаз, и она станет уже

Рис. 4.2. Графики мгновенных значений ЭДС фаз

Запишем мгновенные значения ЭДС, индуктируемые в фазах при вращении ротора генератора:

Поскольку ЭДС каждой фазы генератора синусоидальна, то их можно изобразить на комплексной плоскости в виде векторов соответствующих фазных ЭДС: (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Векторная диаграмма фазных ЭДС

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

При подключении к каждой из фаз генератора нагрузки по ней будет протекать ток. Таким образом, реализуется трёхфазная система.

Способы соединения фаз генератора и нагрузки

Соединение фаз генератора и нагрузки четырехпроводной звездой:

При соединении фаз генератора звездой все концы или начала соединяют в одну общую точку. На рис. 4.4.а показана несвязанная трёхфазная система, в которой каждая фаза генератора и приемника образует отдельную электрическую цепь и поэтому для связи генератора и приемника требуется 6 проводов.

Рис. 4.4. Соединение звездой а) несвязанная трёхфазная система, b) четырехпроводная звезда

При соединении звездой количество проводов уменьшится до 4-х. Причем провод, соединяющий общие (нейтральные или нулевые) точки фаз генератора и приемника называется нейтральным или нулевым. Остальные провода, соединяющие фазы генератора и приемника – линейные.

Токи, протекающие по фазам генератора или приемника, называются фазными токами, токи, протекающие по проводам, соединяющим фазы генератора и приемника, – линейными токам, ток, протекающий по нейтральному проводу – нейтральным.

Напряжение между началом и концом фазы генератора или приемника называется фазным, напряжение между двумя фазами или линиями – линейным.

Для этого способа соединения между линейными и фазными параметрами цепи существуют следующие соотношения:

Установим взаимосвязь между комплексами линейных и фазных напряжений источника (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении приёмников звездой при симметричной активной нагрузке

В дальнейших рассуждениях фазные ЭДС заменим напряжениями на фазах источника:

Выберем любой равнобедренный треугольник, образованный двумя фазными и линейным напряжениями и опустим перпендикуляр из вершины на основание. Перпендикуляр является медианой и биссектрисой.

Из любого прямоугольного треугольника получим:

Это второе важное соотношение для соединения звездой.

Частным случаем такого соединения является соединение «звезда-звезда» без нулевого провода.

Соединение фаз генератора и нагрузки треугольником

Вторым базовым способом соединения фаз генератора и нагрузки является соединение типа «треугольник-треугольник» (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Соединение «треугольник-треугольник»

При соединении треугольником существует следующее соотношение:

Установим взаимосвязь между фазными и линейными токами:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений приемника (рис. 4.7) для данного способа соединения.

Рис. 4.7. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении

Рассмотрев любой треугольник токов, можно, аналогично напряжениям при соединении звездой, сделать вывод (только для симметричной нагрузки):

Помимо вышеназванных существуют и комбинированные способы соединения: «звезда-треугольник», «треугольник-звезда».

Режимы работы трёхфазных цепей

Различают симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. При. симметричном режиме сопротивления трех фаз одинаковы и ЭДС образуют трехфазную. симметричную систему. В этом случае токи фаз а, в, с будут равны по величине и сдвинуты по угол 120 градусов.

Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода

Поскольку трёхфазные цепи являются совокупностью однофазных цепей, то для их расчета используются все ранее рассмотренные специальные методы, в том числе и комплексный метод расчета. Следовательно, расчет трёхфазных цепей можно иллюстрировать построением векторных диаграмм токов нагрузки и топографических диаграмм напряжений.

Наиболее рациональным методом расчета такой цепи может считаться метод двух узлов. Для выбранных положительных направлений напряжений и токов на схеме (рис. 4.8) составим соответствующую систему уравнений для расчета токов. приемников треугольником и симметричной активной нагрузке

Рис. 4.8. Соединение фаз генератора и приемника по схеме «четырехпроводная звезда»

1. Симметричная нагрузка.

Нагрузка считается симметричной, если комплексные сопротивления ее фаз равны:

Для простоты в качестве потребителей фаз нагрузки будем рассматривать активные сопротивления Наличие нулевого провода делает одинаковыми потенциалы узлов и если сопротивлением нулевого провода можно пренебречь значит При этом фазные токи равны, а фазные напряжения на нагрузке будут полностью повторять фазные напряжения генератора. Для фазы

Аналогично для фаз и

Исходя из сказанного, построим топографическую диаграмму фазных напряжений и векторную диаграмму токов (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Векторно-топографическая диаграмма для симметричной нагрузки в трех- и четырехпроводной системах

При симметричной нагрузке, как и в четырехпроводной схеме, фазы приемника работают независимо друг от друга и нулевой провод не нужен. Диаграмма в данном случае будет абсолютно той же, что и для четырехпроводной звезды.

2. Несимметричная нагрузка.

Пусть

На векторно-топографической диаграмме токов и напряжений (рис. 4.10) показано суммирование фазных токов.

Рис. 4.10. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки

Пусть Из-за неравенства проводимостей ветвей не равно нулю, то есть между точками и появляется разность потенциалов – смещение нейтрали. При этом фазные напряжения на нагрузках уже не будут повторять систему фазных напряжений генератора. Поэтому задача сводится к расчету положения точки на комплексной плоскости относительно Для его определения можно воспользоваться формулой узлового напряжения и теоретически ее рассчитать. Однако это можно сделать, основываясь на экспериментальных данных, суть которых состоит в следующем: производят измерения напряжений на фазах нагрузки; в выбранном масштабе для напряжений проводят дуги окружностей радиусами, равными измеренным фазным напряжениям из точек Точка пересечения этих трех дуг и даст искомое местоположение точки внутри треугольника, ограниченного линейными напряжениями (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Определение смещения нулевой точки

Соединив точки и отрезком, получим смещение нейтрали. По найденным фазным напряжениям приемника направляем векторы токов. Должно выполняться равенство:

По результатам выполненных построений можно сделать главный вывод: если заведомо известно, что нагрузка несимметрична или может таковою стать, необходимо использовать четырехпроводную схему.

Векторная диаграмма (рис. 4.12) иллюстрирует работу четырехпроводной системы.

Рис. 4.12. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в четырехпроводной системе

Напряжение смещения можно также определить методом засечек, как это показано на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в трехпроводной системе

По первому закону Кирхгофа:

Поскольку то

Токи в фазах и должны находиться в противофазе.

4. Короткое замыкание фазы.

В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

Фазные напряжения приемника:

т.е. фазные напряжения увеличились до линейных напряжений, соответственно, токи в фазах:

возросли в раз. Ток в закороченной фазе определится по первому закону Кирхгофа:

Построение векторно-топографической диаграммы для короткого замыкания показано на рис. 4.14.

5. Разнородная нагрузка.

Общий принцип построения векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений остается тем же. Единственное отличие будет состоять в появлении фазовых сдвигов между токами и напряжениями на фазах нагрузки в зависимости от ее характера.

Рис. 4.14. Векторно-топографическая диаграмма для короткого замыкания фазы в трехпроводной системе

По схеме трехпроводной звезды включают трёхфазные симметричные приемники, например, трёхфазные асинхронные и синхронные двигатели.

Соединение потребителей треугольником

Рассмотрим различные режимы работы приемника при соединении его фаз треугольником (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Соединение фаз приемника треугольником

Вновь будем считать, что в качестве потребителей в фазах включены активные сопротивления (для простоты построений).

На рис. 4.7 построена векторная диаграмма для симметричной нагрузки при соединении фаз приемника треугольником.

Токи равны по модулю и отличаются только по фазе:

Фазы по-прежнему работают независимо друг от друга и поэтому токи будут:

Линейные токи определяются соответственно по формулам (4.9). Векторная диаграмма представлена на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки приемников, соединенных треугольником

На рис. 4.17 построена векторная диаграмма при соединении приемников треугольником для обрыва фазы.

Рис. 4.17. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы при соединении приемников треугольником

Соотношения для токов:

При разнородной нагрузке методика расчета не меняется.

Расчет мощности в трёхфазных цепях

Рассмотрим расчет мощности при соединении приемников по схеме четырехпроводной звезды и допустим, что нагрузка несимметрична. Если учесть, что сопротивление нейтрального провода не равно нулю и активное, имеем:

При симметричной нагрузке для трех- и четырехпроводной системы получим:

При соединении фаз приемника треугольником и несимметричной нагрузке имеем:

При симметричной нагрузке:

При этом необходимо учесть, что одинаковые формулы для расчета мощности при разном способе соединения фаз нагрузки (4.10-4.12) и (4.13- 4.15) не означают одинаковые численные значения.

Пример. Пусть трёхфазный приемник с сопротивлением фазы соединен «звездой», тогда активная мощность будет:

Теперь фазы того же приемника соединим «треугольником» и подключим к тому же трёхфазному источнику:

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Для измерения активной мощности в симметричной трехфазной цепи достаточно одного ваттметра, включенного на измерение мощности одной из фаз.

Соединение приемников по схеме четырехпроводной звезды

В схеме (рис. 4.18) однофазные ваттметры включаются в каждую фазу, причем через токовые катушки протекают линейные токи, а катушки напряжения ваттметров включены между нулевым проводом и соответствующими линейными проводами.

Рис. 4.18. Схема включения ваттметров для измерения мощности в четырехпроводной системе

Так как активная мощность – это вещественная часть полной мощности:

то суммарная мощность трех ваттметров может быть представлена выражением:

В случае симметричной нагрузки для измерения мощности, потребляемой ею, достаточно воспользоваться одним ваттметром, показание которого нужно утроить.

Соединение приемников по схеме трехпроводной звезды или треугольником

В этом случае измерить мощность трёхфазного приемника можно с помощью двух ваттметров (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Схема измерения активной мощности двумя ваттметрами

Если учесть, что:

Оба ваттметра выполняются в одном корпусе, и прибор имеет две пары выводов для токовых катушек и две пары выводов – для катушек напряжения. Включают трёхфазный ваттметр по приведенной на рис. 4.19 схеме или по любой схеме с циклической заменой фаз.

Метод симметричных составляющих

Любую несимметричную трёхфазную систему можно разложить на три симметричные трёхфазные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз. Такое разложение широко применяется при анализе работы трёхфазных машин и, в особенности, при расчете токов короткого замыкания в трёхфазных системах.

Пусть дана несимметричная трёхфазная система векторов (рис. 4.20).

Рис. 4.20. Несимметричная трёхфазная система векторов

Каждый из векторов этой системы можно представить в виде суммы трех составляющих:

На рис. 4.21 изображены системы указанных выше последовательностей.

Рис. 4.21. Симметричные системы векторов прямой (a), обратной (b) и нулевой (с) последовательностей

Векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей подчиняются следующим соотношениям:

где

Коэффициент называется поворотным множителем

Подставим соотношения (4.19) в систему уравнений (4.18). Тогда получим:

Решение системы уравнений (4.20) относительно дает:

Симметричные составляющие можно определить графически, если на векторной диаграмме несимметричной системы векторов выполнить построения в соответствии с системой уравнений (4.21).

Фильтры симметричных составляющих

Симметричные составляющие несимметричных систем можно определить не только аналитически или графически, но и при помощи электрических схем, называемых фильтрами симметричных составляющих.

Эти фильтры применяются в схемах, защищающих электрические установки. Степень асимметрии системы токов и напряжений не должна превосходить известные пределы, т.е. составляющие нулевой и обратной последовательностей системы напряжений и токов при нормальных режимах должны быть меньше некоторых наперед заданных величин, определяемых для каждой конкретной установки индивидуально.

Возможность выделить при помощи электрических схем отдельные симметричные составляющие позволяет осуществить воздействие любой из них на приборы, защищающие установку, которые, будучи соответствующим образом отрегулированы, отключат или всю установку, или её часть, как только величина соответствующей составляющей превысит допустимый предел.

В качестве примера на рис. 4.22 приведены схемы фильтров нулевой последовательности линейных токов и фазных напряжений.

Рис. 4.22. Схемы фильтров нулевой последовательности

В схеме (рис. 4.22,a) вторичные обмотки трансформаторов напряжения включены последовательно и поэтому вольтметр определяет сумму фазных напряжений, т.е. утроенную составляющую нулевой последовательности системы фазных напряжений.

В схеме (рис. 4.22,b) вторичные обмотки трансформаторов тока включены параллельно и поэтому амперметр измеряет сумму линейных токов, то есть утроенную составляющую нулевой последовательности линейных токов.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Электротехника
Основы теории цепей

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Периодические несинусоидальные напряжения и токи в линейных цепях
Нелинейные цепи переменного тока
Переходные процессы
Переходные процессы в линейных цепях
Четырехполюсники
Линейные диаграммы
Круговые диаграммы
Цепи с взаимной индукцией

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Трехфазные цепи

Содержание:

Общие сведения о трёхфазных цепях

Трёхфазная электрическая цепь может быть представлена как совокупность трёх однофазных цепей, в которой действуют ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые относительно друг друга на одну треть периода или, что то же самое, на угол .

Эти три составные части трёхфазной цепи называются фазами и им будем приписывать буквенные обозначения А, В, С. Таким образом, термин “фаза” в электротехнике обозначает два понятия: угол, определяющий стадию периодического процесса, и составную часть трёхфазной цепи.

Изобразим трёхфазную цепь, фазы которой не связаны друг с другом (рис. 1). Такую трёхфазную цепь называют несвязанной (в настоящее время не применяется).

Фазы изображены под углом 120° для того чтобы подчеркнуть, что напряжения источников сдвинуты относительно друг другу на одну треть периода. Следовательно,

Кривые, изображающие эти напряжения, показаны на рис. 2.

При равенстве амплитуд напряжений и одинаковых сопротивлениях нагрузки Z в фазах токи также равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на одну треть периода, образуя так называемый трёхфазный ток. Сумма этих токов в любой момент времени равна нулю:

Поэтому, если три провода, по которым токи возвращаются к источникам, объединить в один, то ток в этом проводе будет равен нулю. При отсутствии в проводе тока излишним в данном случае является и сам провод, от него можно отказаться, перейдя к схеме рис. 3.

В результате этого достигается экономия материала проводов; кроме того, по сравнению с несвязанной трёхфазной цепью исключаются потери мощности от токов в обратном проводе.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Трёхфазная цепь (рис. 3), фазы которой соединены электрически, представляет одну из разновидностей так называемых связанных трёхфазных цепей.

Необходимо отметить, что для получения связанной трёхфазной цепи не требуются отдельные однофазные генераторы, а используется один трёхфазный генератор.

Обмотки трёхфазного генератора могут быть соединены либо звездой, либо треугольником. При соединении звездой концы обмоток соединяют в общую точку, которую называют нейтральной. Начало обмоток обозначают Л, В, С; концы -х, у, z (рис. 4, а).

Начала обмоток соединяют с нагрузкой линейными проводами, по которым идут линейные токи.

Будем в дальнейшем пользоваться следующей терминологией: ЭДС, индуктируемые в обмотках генератора или трансформатора, напряжения на зажимах обмоток и токи в них называть фазными ЭДС, напряжениями и токами, а напряжения между линейными проводами и токи в них – линейными напряжениями и токами. Па схеме (рис. 4, a) , – комплексы фазных напряжений генератора; – комплексы линейных напряжений. Абсолютные значения этих напряжений являются их модулями, т.е.

Связь между линейными и фазными напряжениями устанавливается на основании второго закона Кирхгофа:

Топографическая векторная диаграмма линейных и фазных напряжений генератора приведена на рис. 4, б.

Из векторной диаграммы следует, что при соединении генератора звездой линейные напряжения равны по величине и сдвинуты относительно друг друга на угол .

Па основании геометрических соображений легко показать, что между фазными и линейными напряжениями при соединении звездой существует следующее соотношение:

Действительно из треугольника (рис. 4, б) следует

При соединении генератора треугольником конец первой фазы соединяется с началом второй фазы, конец второй – с началом третьей, конец третьей – с началом первой (рис. 5, а).

Топографическая диаграмма напряжений приведена на рис. 5, я. Векторная диаграмма напряжений показана на рис. 5, б.

Общие точки соединённых обмоток генератора выводятся на зажимы, к которым присоединяются линейные провода или нагрузка.

Нагрузка (потребитель) в трёхфазной цепи также может быть соединена звездой или треугольником.

Симметричный режим работы трёхфазной цепи

Трёхфазные цепи представляют собой разновидность цепей синусоидального тока и поэтому расчёт и исследование их производятся теми же методами, что и для однофазных цепей. Расчёт трёхфазной цепи, так же как и расчёт всякой сложной цепи, ведётся обычно в комплексной форме. Ввиду того что фазные ЭДС и напряжения генератора сдвинуты относительно друг друга на 120°, для краткости математической записи применяется фазовый оператор – комплексная величина:

Умножение вектора на оператор а означает поворот вектора на 120° в положительном направлении (против хода часовой стрелки), соответственно умножение вектора на означает поворот вектора на 240° в положительном направлении или, что то же самое, поворот вектора на 120° в отрицательном направлении:

Три вектора образуют симметричную трёхфазную систему векторов. При этом . При помощи оператора а можно, например, записать напряжения фаз трёхфазной системы как

Па практике применяются различные комбинации соединений, например, генератор и нагрузка соединяются звездой, генератор может быть соединен звездой, а нагрузка – треугольником и т.д.

На рисунке 6, а показано соединение нагрузки звездой. Па схеме обозначены: – линейные токи; -фазные напряжения нагрузки; Z-сопротивления нагрузки.

В этой схеме комплексы фазных напряжений источника и комплексы фазных напряжений нагрузки соответствующих фаз равны между собой, т.е.

Векторная диаграмма напряжений и токов имеет вид, показанный на рис. 6, б. Ток в каждой фазе отстаёт от напряжения той же фазы на угол

где R и X- активное и реактивное сопротивления фаз.

Ток в каждой из фаз находят так же, как и в однофазной цепи. Например, в фазе А

Соответственно токи в фазах В и С выражаются через ток :

Таким образом, при симметричном режиме работы трёхфазной цепи задача сводится к расчёту одной из фаз аналогичш расчёту однофазной цепи.

Линейное напряжение определяется как разности соответствующих фазных напряжений. Например:

При соединении нагрузки треугольником (рис. 7, а) сопротивления отдельных фаз находятся под линейными напряжениями, поэтому фазные токи в них определяются по закону Ома:

Линейные токи определяются на основании первого закона Кирхгофа. Так, линейный ток фазы А равен

т.е. линейный ток отстаёт по фазе на 30° от тока , причём модуль его в раз больше фазного тока .

Таким образом, при симметричном режиме работы цепи имеет место следующее соотношение:

Векторная диаграмма линейных напряжений и токов при соединении нагрузки треугольником показана на рис. 7, б. Как и при соединении звездой, угол сдвига фаз равен

Активная мощность симметричной трёхфазной цепи равна

При соединении нагрузки звездой

Поэтому активная мощность трёхфазной цепи, выраженная через линейные токи и линейные напряжения,

При соединении нагрузки треугольником

Активная мощность трёхфазной цепи будет такой же:

Следовательно, независимо от схемы соединения нагрузки

Аналогично, реактивная мощность

и полная мощность симметричной треугольной цепи

При этом коэффициент мощности определяется из соотношения

где – угол сдвига фазного тока относительно соответствующего фазного напряжения.

Измерение мощности в трёхфазной цепи

Для измерения мощности в трёхфазной цепи с нейтральным проводом простейшим является метод трёх ваттметров (рис. 12). При таком соединении каждый из ваттметров измеряет активную мощность одной фазы приёмника (нагрузки). Активная мощность всей трёхфазной цепи равна сумме показаний трёх ваттметров:

Если нагрузка симметрична, достаточно произвести измерение одним ваттметром:

При отсутствии нейтрали провода достаточно иметь два ваттметра. В соответствии с (6) для схемы рис. 13 комплекс мощности всей цепи может быть записан как

При выводе формулы (6) не делалось никаких предположений о симметрии цепи; следовательно, данный метод

измерения двумя ваттметрами применим как в случае симметричной, так и в случае несимметричной трёхфазной системы.

Показания ваттметров следующие:

Мощность всей трёхфазной цепи

т.е. равна сумме показаний отдельных ваттметров.

Измерение реактивной мощности в трёхфазных цепях производится с помощью специальных измерителей реактивной мощности, подобных по устройству ваттметрам. В симметричной трёхфазной цепи измерение реактивной мощности может быть произведено, кроме того, с помощью ваттметров активной мощности. В этом случае ваттметр может быть включён в схему, как показано на рис. 14.

Поскольку при симметричной нагрузке как при соединении треугольником, так и при соединении звездой угол между линейным напряжением и линейным током равен 90° – , то показание ваттметра будет

Для получения суммарной реактивной мощности показание ваттметра нужно умножить на :

где В данном случае , т.е. нагрузка носит индуктивный характер.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Услуги:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/trehfaznyie-tsepi

http://natalibrilenova.ru/trehfaznyie-tsepi/

[/spoiler]

Источник

Общие сведения о трехфазных системах

Трехфазная система э. д .с.

Несвязанная трехфазная система электрических цепей

Соединение звездой при симметричной нагрузке

Фазные напряжения

Линейные напряжения

Фазные и линейные токи

Соединение треугольником при симметричной нагрузке

Фазные и линейные напряжения

Фазные и линейные токи

Расчет симметричных трехфазных цепей

Соединение звездой

Соединение треугольником

Определение мощности

Симметричный режим работы трехфазной цепи

Тема1 Расчет цепей с симметричной системой ЭДС

Основные расчетные уравнения трехфазной цепи

Трехфазные цепи

Трехфазная система

Соединение звездой

Соединение треугольником

Мощность трехфазных систем и ее измерение

Сравнение трехфазных и однофазной cиcтем

Пульсирующее и вращающееся магнитные поля

Основы метода симметричных составляющих

Трехфазные цепи

Соединение обмоток генератора звездой

Соединение обмоток генератора треугольником

Соединение потребителей звездой

Соединение потребителей треугольником

Мощность трехфазного тока

Топографическая диаграмма

Вращающееся магнитное поле двухфазного тока

Пульсирующее магнитное поле

Определение трёхфазных цепей

Трёхфазный генератор

Способы соединения фаз генератора и нагрузки

Соединение фаз генератора и нагрузки треугольником

Режимы работы трёхфазных цепей

Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода

Соединение потребителей треугольником

Расчет мощности в трёхфазных цепях

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Соединение приемников по схеме четырехпроводной звезды

Соединение приемников по схеме трехпроводной звезды или треугольником

Метод симметричных составляющих

Фильтры симметричных составляющих

Трехфазные цепи

Общие сведения о трёхфазных цепях

Симметричный режим работы трёхфазной цепи

Измерение мощности в трёхфазной цепи

Вам также может понравиться

Как найти предел функции в степени

Как составить бизнес план по ремонту автомобилей

Как найти человека по кошельку биткоин

Добавить комментарий Отменить ответ